Aniq integral va uning xossalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	874.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Aniq integral va uning xossalari

Sotib olish

Aniq integral va uning xossalari

REJA
Kirish
Asosiy qism
1. Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar
2. Aniq integral ta’rifi
3. Darbu yig‘indilari
4. Aniq integralning asosiy xossalari
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

KIRISH
Mamlakatimizning ertangi taraqqiyoti, xalqimizning farovonligi va
davlatimizning jahon hamjamiyatidagi o‘rni bugungi yosh avlodning intellektual
salohiyatiga, ya’ni ularning ilm-fan cho‘qqilarini qay darajada egallashiga bevosita
bog‘liqdir. Har qanday buyuk kelajakning poydevori bilim dargohlarida qo‘yiladi.
Shu boisdan ham, mustaqil O‘zbekistonimizda ta’lim tizimini tubdan isloh qilish,
yoshlarga zamonaviy fan asoslarini chuqur o‘rgatish davlat siyosatining ustuvor
yo‘nalishiga aylandi. Zero, fundamental fanlarni, xususan, matematikaning murakkab
qonuniyatlarini mukammal egallagan mutaxassislarsiz hayotimizda kutilayotgan
ijobiy «portlash effekti»ga va yangi iqtisodiy-ijtimoiy modelning yuksak samarasiga
erishish qiyin.
Matematika — barcha fanlarning asosi va mantiqiy tafakkur qurolidir. Uning
eng muhim ustunlaridan biri bo‘lgan aniq integral va uning xossalari nazariyasi
bugungi kunda muhandislik, texnologiya va raqamli iqtisodiyotning texnik asosi
bo‘lib xizmat qilmoqda. Zamonaviy dunyoda integral hisobi orqali murakkab fizik
jarayonlarni boshqarish, iqtisodiy o‘sishni prognoz qilish va texnologik
innovatsiyalarni yaratish imkoniyati kengaydi. Gottfrid Leybnis va Bernhard Riman
kabi buyuk olimlar poydevor qo‘ygan bu nazariya, bugun bizning qo‘limizda
kelajakni qurishning kuchli instrumentiga aylangan.
Kurs ishining dolzarbligi. Matematik analiz fanining fundamental
tushunchalaridan biri bo‘lgan aniq integral, zamonaviy fan va texnikaning ko‘plab
sohalarida asosiy hisoblash vositasi bo‘lib xizmat qiladi. Xususan, murakkab
geometrik shakllarning yuzasi va hajmini topish, o‘zgaruvchan kuchning bajargan
ishini hisoblash, iqtisodiy jarayonlarni modellashtirish hamda ehtimollar
nazariyasidagi taqsimotlarni tahlil qilishda aniq integralning o‘rni beqiyosdir. Shu
sababli, aniq integralning xossalarini va uning hisoblash usullarini chuqur o‘rganish,
talabalarning nazariy bilimlarini amaliy masalalarga tatbiq etish mahoratini
oshirishda muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari. Ushbu kurs ishining bosh maqsadi aniq
integral tushunchasini Riman nazariyasi asosida chuqur tahlil qilish, uning
3

fundamental xossalarini tizimlashtirish va ushbu bilimlarni amaliy, geometrik hamda
fizik masalalarni yechishda qo‘llash ko‘nikmalarini rivojlantirishdan iboratdir.
Mazkur maqsadga erishish yo‘lida bir qator vazifalarni amalga oshirish ko‘zda
tutilgan. Avvalo, aniq integralning ta’rifini Riman yig‘indilari, ya’ni kesmani
bo‘laklash va limit jarayoni orqali aniq ketma-ketlikda bayon etish hamda
funksiyaning integrallanuvchanlik shartlarini tahlil qilish lozim. Shuningdek, aniq
integralning chiziqlilik, additivlik, o‘rta qiymat haqidagi teoremalarini va
integralning modul bo‘yicha baholanish xossalarini mantiqiy isbotlar asosida
tizimlashtirish talab etiladi. Ish davomida Nyuton-Leybnis formulasi, o‘zgaruvchini
almashtirish va bo‘laklab integrallash kabi asosiy hisoblash usullarining qo‘llanilish
doirasini belgilash, shuningdek, integral yordamida yuzalar, hajmlar va yoy
uzunliklarini hisoblashning geometrik usullarini, fizik ishlarni hisoblashdagi amaliy
rolini ochib berish asosiy vazifa etib belgilangan. Tadqiqot obyekti sifatida uzluksiz
va bo‘lakli-uzluksiz funksiyalarning integrallanish jarayoni olinsa, tadqiqot predmeti
sifatida aniq integralning xossalari va ularning matematik modellashtirishdagi o‘rni
belgilanadi. Yakuniy xulosa sifatida olingan natijalar asosida aniq integralning
matematik analizdagi o‘rnini umumlashtirish va uning boshqa fanlar bilan
aloqadorligini ko‘rsatish ko‘zda tutilgan.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi. Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish qismida
kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon etilgan.
4

1. Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar
Aniq integral tushunchasi matematik analizning fundamental qismlaridan biri
bo‘lib, u asosan yuzalarni, hajmlarni va boshqa fizik miqdorlarni hisoblashda
qo‘llaniladi.
Avvalo aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalardan ba’zi birlarini
keltiramiz.
1. Bosib o‘tilgan yo‘l haqidagi masala. Biror moddiy nuqta to‘g‘ri chiziq
bo‘yicha vaqt oralig‘ida tezlik bilan harakat qilayotgan
bo‘lsa, uning bosib o‘tgan yo‘li ni topish talab etilsin. Ravshanki, agar nuqta
tezligi o‘zgarmas (tekis harakat) bo‘lsa, ya’ni , u holda
bo‘ladi. Endi ixtiyoriy funksiya bo‘lsin. Bu holda masalani hal
etish uchun vaqt oralig‘ini
nuqtalar yordamida ta bo ‘ lakka bo ‘ lamiz va har bir bo ‘ lakda ( segmentda ) ixtiyoriy
nuqtani olamiz .
Agar har bir segmentda nuqtaning tezligi
o‘zgarmas va ga teng deb olinsa, u holda nuqtaning vaqt oralig‘ida
bosib o‘tgan yo‘li ushbu
miqdor bilan, uning vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan yo‘li esa

5

miqdor bilan aniqlanadi. Bunda deb belgilasak,
yuqoridagi ifodani qisqacha, yig‘indi belgisi (summa) yordamida
quyidagicha yozish mumkin:
n u q taning da bosib o‘tgan yo‘lini ifodalovchi formula taqribiydir.
Haqiqatan, biz nuqtaning tezligi vaqtning funksiyasi bo‘lsa ham, uni har bir
vaqt oralig‘ida o‘zgarmas deb hisobladik.
Endi oraliqning bo‘laklari sonini shunday orttira boraylikki, bunda har
bir oraliq uzunligi nolga intila borsin. U holda
miqdor biz izlayotgan yo‘l miqdorini tobora aniqroq ifodalay boradi, deb
hisoblash tabiiydir.
2. Egri chiziq trapetsiyaning yuzi. funksiya segmentda
aniqlangan, uzluksiz hamda da bo‘lsin. Yuqoridan
funksiya grafigi, yon tomonlardan vertikal chiziqlar hamda pastdan -
abssissa o‘qi bilan chegaralangan shaklni qaraylik (2-chizma).
Odatda, bunday shakl egri chiziqli trapetsiya deb ataladi. egri chiziqli
trapetsiyaning yuzini topish talab etilsin.
6

Agar funksiya segmentda o‘zgarmas, ya’ni
bo‘lsa, u holda shakl to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lib, uning yuzi
formula bilan aniqlanadi .
Agar funksiya uchun segmentda bo ‘ lib , u
ning ixtiyoriy uzluksiz funksiyasi bo ‘ lsa , u holda shaklning yuzini topish
uchun segmentni
nuqtalar bilan ta bo‘lakka bo‘lamiz va har bir segmentda ixtiyoriy
nuqta olamiz. Har bir
segmentda funksiyani o‘zgarmas va uni ga teng qilib olsak, u holda
egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
ga teng bo‘lib, shaklning yuzi esa
miqdor bilan aniqlanadi. Demak,

bunda Ko‘rinib turibdiki, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
ifodalovchi formula taqribiy formuladir. Endi segmentning bo‘laklari
sonini shunday orttira boraylikki, bunda har bir segment uzunligi nolga intila
borsin. U hol da yig‘indining miqdori ham o‘zgara boradi. Ravshanki,
7

bu miqdorlar borgan sari egri chiziqli trapetsiyaning yuzini aniqroq ifodalay
boradi.
Yuqorida keltirilgan ikki masalani hal qilishda undagi va
funksiyalar ustida bir xil tadbirlar amalga oshirildi, ya’ni
a) funksiya aniqlanish sohasini (to‘plamini) bo‘laklarga bo‘lish;
b) har bir bo‘lakda ixtiyoriy nuqtani olib, bu nuqtada funksiyaning qiymatini
hisoblash;
d) funksiyaning nuqtadagi qiymatini, mos oraliqning uzunligiga ko‘paytirib,
ulardan yig‘indi tuzish ishlari bajarildi.
So‘ng oraliqning bo‘laklari sonini shunday orttira borildiki, bunda har bir
oraliqcha uzunligi nolga intila bordi. Natijada tuzilgan yig‘indilarning miqdorlari mos
ravishda o‘tilgan yo‘l yoki egri chiziqli trapetsiya yuzini tobora aniqroq ifodalay
borishini payqadik. Umuman, juda ko‘p masalalarning yechimi yuqoridagiga
o‘xshash yig‘indilarning limitini topish bilan hal qilinadi.
Bunday yig‘indilarning limiti matematik analizning asosiy tushunchalaridan
biri aniq integral tushunchasiga olib keladi.
2. Aniq integral ta’rifi
Funksiyaning aniq integralini ta’riflashdan avval ba’zi bir tushunchalar,
jumladan segmentni bo‘laklash, funksiyaning integral yig‘indisi tushunchalari
bilan tanishamiz.
1.Segmentni bo‘laklash. Biror segment berilgan bo‘lsin. Bu
segmentning quyidagi
munosabatda bo‘lgan

nuqtalari to‘plamini olaylik.
Ravshanki, to‘plam segmentni
8

bo‘laklarga ajratadi.
2.1-ta’rif. Ushbu
munosabatda bo‘lgan
nuqtalar to‘plami segmentni bo‘laklash deyiladi va
kabi belgilanadi.
Bunda har bir nuqta segmentning bo‘luvchi nuqtasi,
segment esa bo‘laklashning oralig‘i deyiladi.
Quyidagi
miqdor bo‘laklashning diametri deyiladi.
Masalan, bo‘lganda quyidagi
nuqtalar sistemasi segmentning
bo‘laklashlarini hosil qiladi. Ularning diametrlari mos ravishda
bo‘ladi.
9

Y u qoridagi keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, segmentning
turli usu l lar bilan istalgan sondagi bo‘laklashlarini tuzish mumkin. Bu
bo‘laklashlardan iborat to‘plamni bilan belgilaymiz:

2.Integral yig‘indi . segmentda funksiya aniqlangan bo‘lsin,
segmentni
bo‘laklashni va bu bo‘laklashning har bir oraliqda
ixtiyoriy nuqtani olamiz. Berilgan funksiyaning nuqtadagi
qiymati ni ga ko‘paytirib, quyidagi yig‘indini tuzamiz:
2.2-ta’rif. Ushbu
yig‘indi funksiyaning integral yig‘indisi deb ataladi.
Masalan, Dirixle funksiyasi

ning integral yig‘indisi quyidagi

ko‘rinishga ega bo‘ladi.
3.Aniq integral ta’rifi. funksiya segmentda aniqlangan bo‘lsin.
segmentning shunday
10

bo‘laklarini qaraymizki, ularning mos diametrlaridan tashkil
topgan
ketma-ketlik nolga intilsin: .
Bunday bo‘laklashlarga nisbatan funksiyaning integral
yig‘indilarini tuzamiz. Natijada segmentni bo‘laklashlarga mos
funksiyaning integral yig‘indilari qiymatlaridan iborat quyidagi

ketma-ketlik hosil bo‘ladi. Ravshanki, bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga
bog‘liqdir.
2.3-ta’rif. Agar segmentning har qanday bo‘laklashlar ketma-
ketligi olinganda ham unga mos integral yig‘indi qiymatlaridan iborat
ketma-ketlik nuqtalarning tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda hamma vaqt
bitta songa intilsa, bu son yig‘indining dagi limiti deb ataladi.
U
(*)
kabi belgilanadi.
Yig‘indi limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
2.4-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday son topilsaki,
segmentni diametri bo‘lgan har qanday bo‘laklash uchun tuzilgan
yig‘indi Ixtiyoriy nuqtalarda
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda son yig‘indining dagi limiti deb
ataladi. U yuqoridagidek ((*) ga qarang) belgilanadi.
Yig‘indi limitining bu ta’riflari ekvivalent ta’riflardir.
11

2.5-ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig‘indisi chekli
limitga ega bo‘lsa, u holda funksiya segmentda integrallanuvchi
deyiladi, yig‘indining chekli limiti, esa funksiyaning segmentdagi
aniq integrali deb ataladi.
Funksiyaning aniq integrali
kabi belgilanadi.
Demak,
bunda son integralning quyi chegarasi, son esa integralning yuqori chegarasi,
segment integrallash oralig‘i deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan masalalarning birinchisida yo‘l , tezliklarning
segmentdagi aniq integrali:
ikkinchisida esa egri chiziqli trapetsiyaning yuzi funksiyaning
segmentdagi aniq integrali
dan iborat.
3. Darbu yig‘indilari
funksiya da ani q lan gan va chegaralangan bo‘lsin. Unda
bo‘ladi.
Aytaylik,
12

segmentning biror bo‘laklashi bo‘lsin. U holda bu bo‘laklashning har bir
oralig‘ida
mavjud bo‘lib

bo‘ladi.
3.1 -ta’rif. Ushbu
yig‘indi funksiyaning segmentning bo‘laklashiga nisbatan Darbuning
quyi yig‘indisi deyiladi.
Ravshanki, bu yig‘indi funksiyaga hamda ning bo‘laklashiga
bog‘liq bo‘ladi:
3.2 -ta’rif. Ushbu
yig‘indi funksiyaning segmentning bo‘laklashiga nisbatan Darbuning
yuqori yig‘indisi deyiladi.
Bu yig‘indi funksiyaga hamda ning bo‘laklashiga bog‘liq
bo‘ladi:
Endi har bir ning qiymatida segmentda ixtiyoriy
nuqtani tayinlaymiz: , Natijada ning
bo‘laklashiga nisbatan
13

nuqtalar to‘plami hosil bo‘ladi. Bu nuqtalardagi funksiyaning
qiymatlari yordamida ushbu
yig‘indini tuzamiz.
3.3-ta’rif. Quyidagi
yig‘indi funksiyaning segmentning bo‘laklashiga nisbatan integral
yig‘indisi deyiladi.
Integral yig‘indi, funksiyaga, bo‘laklashga hamda har bir da
olingan nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi:
Ravshanki, uchun
bo‘lib, ayni paytda

tengsizliklar bajariladi.
1- misol. Ushbu
funksiyaning segmentda quyidagi
bo‘laklashga nisbatan Darbu yig‘indilari hamda
deb, integral yig‘indi topilsin.
14

Berilgan funksiya uchun segmentning
bo‘laklashida
hamda
bo‘ladi.
Endi bo‘lishini e’tiborga olib topamiz:
Faraz qilaylik, funksiya da berilgan va chegaralangan bo‘lsin.
Unda oraliqning har qanday bo‘laklashi hamda har qanday
15

larda yuqoridagi va munosabatlar
o‘rinli bo‘lib,

bo‘ladi.
Endi segmentning bo‘laklashlar to‘plami ning har bir
bo‘laklashga funksiyaning Darbu yig‘indilari va ni tuzib ,
ushbu
to‘plamlarni qaraymiz. Bu to‘plamlar munosabatga ko‘ra chegaralangan
bo‘ladi.
3.4-ta’rif. to‘plamning aniq yuqori chegarasi funksiyaning
oraliqdagi quyi integrali deyiladi va
kabi belgilanadi.
Demak,
3.5-ta’rif. to‘plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning
oraliqdagi yuqori integrali deyiladi va
kabi belgilanadi.
Demak,
16

3.6-ta’rif. Agar funksiyaning quyi hamda yuqori integrallari bir-biriga
teng
bo‘lsa, funksiya oraliq bo‘yicha integrallanuvchi (Riman ma’nosida
integrallanuvchi) deyiladi.
Bunda quyi hamda yuqori integrallarning umumiy qiymati funksiyaning
oraliq bo‘yicha aniq integrali (Riman integrali) deyiladi va
kabi belgilanadi.
Demak,
son integralning quyi chegarasi, son esa integralning yuqori chegarasi,
segment integrallash oralig‘i deyiladi.
Eslatma. Yuqorida keltirilgan funksiyaning integrali ta’rifiga binoan
integral
o‘zgarmas sonni ifodalaydi. Binobarin, integral ostida o‘zgaruvchining qanday
yozilishiga bog‘liq bo‘lmaydi:
2- misol. bo‘lsin.
17

Bu funksiyaning integrallanuvchanligi aniqlansin.
Yechish: segmentning ixtiyoriy
bo‘laklashini olib, unga nisbatan Darbu yig‘indilarini topamiz:

Bundan

bo‘lib,
bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, funksiya da integrallanuvchi va
Xususan , bo‘lganda
bo‘ladi.
3-misol . bo‘lsin. Bu Dirixle funksiyasini da
integrallanuvchilikka tekshirilsin.
Yechish: segmentning ixtiyoriy bo‘laklashiga nisbatan Dirixle
funksiyasining Darbu yig‘indilari

b o ‘ lib,
18

bo‘ladi . Demak,
Dirixle funksiyasi integrallanuvchi emas.
4. Aniq integralning asosiy xossalari
Endi funksiya aniq integralining xossalarini o‘rganamiz.
1-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
ixtiyoriy kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.
2-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi va
bo‘lsa, u holda

tenglik o‘rinli.
Eslatma . Agar bo‘lib, funksiya kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, u kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va
tenglik o‘rinli.
Eslatma. Agar bo‘lib, funksiya nuqtada aniqlangan bo‘lsa, u
holda ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.
Agar bo‘lib , funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
deb qabul qilamiz.
19

3-xossa . Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va
tenglik o‘rinli.
4-xossa. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi
va ushbu
tenglik o‘rinli.
5-xossa . Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
Eslatma. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
uchun funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo‘ladi.
6-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lib, u shu
oraliqda manfiy bo‘lmasa, ( uchun ), u holda
bo‘ladi.
1 -natija . Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi
bo‘lib, uchun ≤ tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu
tengsizlik ham o‘rinli .
20

2 -natija. (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ) . Agar va funksiyalar
kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda - a , ( a -ixtiyoriy
o‘zgarmas) funksiya ham kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va
tengsizlik o‘rinli.
Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifoda ga nisbatan kvadrat uchhad bo‘lib,
u ning barcha haqiqiy qiymatlarida manfiy emas. Demak, kvadrat uch- hadning
diskriminanti musbat emas, ya’ni

bu tengsizlik, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
7-xossa. Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa , u holda
| x f | funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
Eslatma. |
 x f | funksiyaning kesmada integrallanuvchiligidan ,
funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo‘lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi.
O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.
funksiya kesmada aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. U holda
, mavjud va tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema . Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda shunday o‘zgarmas son mavjud bo‘lib, ushbu

21

tenglik o‘rinli bo‘ladi .
N atija. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday
nuqta topiladiki,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2 -teorema. Agar va funksiyalar kesmada integrallanuvchi
bo‘lib, funksiya shu oraliqda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda shunday
o‘zgarmas son mavjud bo‘lib,
tenglik o‘rinli.
Natija . Agar kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda kesmada
shunday nuqta topiladiki,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Aniq integrallarni hisoblash usullari . Har doim, har qanday integrallanuvchi
funksiyaning aniq integralini, integral yig‘indining limiti sifatida qarab, hisoblash
oson bo‘lavermaydi, ya’ni integral yig‘indini tuzib, uning limitini hisoblashda ancha
noqulayliklar va qiyinchiliklarga duch kelinadi.
Shuning uchun, aniq integralni yuqoridagi ta’rif bo‘yicha hisoblash usulidan
boshqa soddaroq usulini topish zaruriyati tug‘iladi. Bu usullarni quyida keltirib
o‘tamiz.
Nyuton-Leybnis formulasi. Yuqorida ko‘rdikki, agar funksiya
kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada boshlang‘ich funksiyalarga ega
bo‘ladi. Aniq integralning xossasiga asosan,
22

funksiya, funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biridir.
funksiyaning kesmadagi ixtiyoriy boshlang‘ich funksyasi bo‘lsin. Ma’lumki,
va boshlang‘ich funksiyalarning biri, ikkinchisidan o‘zgarmas songa
farq qiladi, ya’ni
.
Bundan, deb olib,
e kanligini topamiz, ya’ni uchun,

Nyuton – Leybnis formulasiga ega bo‘lamiz. Odatda, formula, integral
hisobning asosiy formulasi , deb ham yuritiladi.
E slatma . Odatdagidek,
belgilashni olsak, u holda , Nyuton – Leybnis formulasini,
ko‘rinishda ham yozish mumkin.
4- m isol. Ushbu integralni Nyuton – Leybnis formulasi orqali
hisoblang.
Yechish: Ma’lumki, integral ostidagi funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi, dan iborat. Nyuton – Leybnis formulasiga asosan ,
23

bo‘ladi. Xususiy holda, bo‘lganda,
.
Shunday qilib, aniq integralni hisoblash masalasi, integral ostidagi
integrallanuvchi funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish masalasiga keltirilar
ekan. Lekin, har qanday integrallanuvchi funksiyaning ham boshlang‘ich funksiyasini
topish oson bo‘lavermaydi. Shuning uchun, aniq integralni hisoblashda, boshqa
usullardan ham foydalanishga to‘g‘ri keladi.
Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo‘laklab integrallash formulasi deb
ataluvchi
formuladan foydalaniladi.
Berilgan uzluksiz y = f ( x )
funkisiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan
aniq integiralni ba’zi hollarda biror differensiallanuvchi funksiya orqali
“eski” x o‘zgaruvchidan “yangi” t o‘zgaru v chiga o‘tish usulida foydalanib hisoblash
mumkin bo‘ladi. Bunda quyidagi shartlar qo ‘ yiladi :
1. ,
2. va funksiyalar kesmada uzluksiz ,
3. murakkab funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz .
bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:
bu formula aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.
MISOLLAR
24

1. integral hisoblansin.
Yechish:

2. ni hisoblang.
Yechish:
3. integral hisoblansin:
Yechish:

Endi yangi chegaralarni
aniqlaymiz: da
dan da dan kelib
chiqadi.
Topilganlarni berilgan integralga qo‘yamiz:
.
25

4. integral hisoblansin:
Yechish :

almashtirish qilamiz: U holda , , ,
bo‘ladi. Bundan tashqari yangi o‘zgaruvchi t ning qiymatlarini
aniqlaymiz. da va
da . Ularni e’tiborga olsak,
5. integral hisoblansin.
Yechish:
almashtirish qilamiz. U holda .
bo‘lganda
bo‘lib,
undan
kelib chiqadi.
bo‘lganda
bo‘lib, undan kelib
chiqadi. Demak,
6. integral hisoblansin.
Yechish:
26

Bu integralni bo‘laklab integrallash formulasidan foydalanib integrallaymiz.
27

XULOSA
Ushbu kurs ishi doirasida matematik analizning ustuvor yo‘nalishlaridan biri
bo‘lgan aniq integral tushunchasi, uning fundamental xossalari va amaliy tatbiqlari
atroflicha tadqiq etildi. Olib borilgan nazariy tahlillar va o‘rganilgan manbalar shuni
ko‘rsatadiki, aniq integral tushunchasi shunchaki matematik yig‘indi emas, balki
uzluksiz jarayonlarni miqdoriy jihatdan baholash imkonini beruvchi mukammal
mantiqiy modeldir. Riman yig‘indilari orqali berilgan ta’rif integral hisobining
naqadar qat’iy poydevorga qurilganini isbotlab, har qanday uzluksiz funksiyaning
integrallanuvchanlik xususiyatini nazariy jihatdan tasdiqlaydi. Shu bilan birga, aniq
integralning chiziqlilik, additivlik va o‘rta qiymat haqidagi teoremalari kabi
fundamental xossalari tizimlashtirilib, ularning murakkab matematik ifodalarni
soddalashtirishdagi ahamiyati ochib berildi. Ayniqsa, Nyuton-Leybnits formulasi
differensiallash va integrallash amallari o‘rtasidagi uzviy bog‘liqlikni ko‘rsatib
beruvchi asosiy vosita sifatida tahlil qilindi. Kurs ishi davomida o‘zgaruvchini
almashtirish va bo‘laklab integrallash usullari amaliy misollar bilan mustahkamlanib,
ularning hisoblash samaradorligi ko‘rsatildi. Aniq integralning amaliy tatbiqlari uning
fan va texnikadagi o‘rnini yanada mustahkamlaydi; geometrik nuqtayi nazardan
yuzalar va hajmlarni, fizik nuqtayi nazardan esa ish va massa markazini hisoblashda
ushbu apparat almashtirib bo‘lmas kuchga ega. Yakuniy xulosa sifatida aytish
mumkinki, aniq integral va uning xossalarini chuqur o‘rganish nafaqat nazariy bilim,
balki zamonaviy fan-texnika taraqqiyoti talab qiladigan murakkab muammolarni
yechishning asosiy kalitidir. Ushbu izlanishlar kelgusida yanada murakkabroq
matematik sohalarni o‘zlashtirishda mustahkam poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
28

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1. Азларов Т ., Мансуров Х . Математик анализ асослари . Т . 1,2- қимлар . 198
0 yil .
2. A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik
analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil.
3.T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T: “Universitet”
2007 yil.
4.G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil.
5.B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik
analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil.
Elektron ta’lim resurslari
1. http:// www.arki.ru /
2. http:// www.lib.ru /
3. http://www.edunet.uz/
4. http:// www.study.uz /
5. http:// www.ziyonet.uz /
29

MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………………………………………4
1. Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar……………...………5
2. Aniq integral ta’rifi…………………………………………...…...……...…8
3. Darbu yig‘indilari…………………………………...………...………...…13
4. Aniq integralning asosiy xossalari………………………......…………......20
XULOSA ……………………………………………………………………...27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ………………………………….….28
30

Sotib olish