Aniq integrallarning mexanika va fizikaga tadbiqlari 26 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	1.0MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Aniq integrallarning mexanika va fizikaga tadbiqlari 26

Sotib olish

“Matematik analiz” fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Aniq integrallarning mexanika va fizikaga tadbiqlari

Anniq integralning mexanika va fizikaga tadbiqlari
MUNDAREJA:
KIRISH .....................................................................................................................3
I BOB. Aniq integral tushunchasi va uning tadbiqlari
1.1-§. Aniq integralning ta`rifi ……………………….…………..………………...6
1.2-§. Aniq integralning asosiy xossalari. ……………………………………….....7
1.3-§. Аniq intеgrаl yordаmidа yoy uzunligini va yassi figuralarni yuzalarini
hisоblаsh… ………………………………………………………………………....9
II BOB. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari
2.1-§. Moddiy nuqtaning statik momenti va og‘irlik markazi..…………………..17
2.2- §. Tekis egri chiziqning statik momenti va og‘irlik markazi.. ……………......18
2.3-§. Aniq integralni fizika masalalariga tadbiqlari ………..………………........23
Xulosa ………..…………………………………………………………............. 29
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati …………………………………………….30

2

KIRISH
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev raisligida
19-mart kuni yoshlarga e’tiborni kuchaytirish, ularni madaniyat, san’at, jismoniy
tarbiya va sportga keng jalb etish, ularga axborot texnologiyalaridan foydalanish
ko‘nikmalarini singdirish, yoshlar o`rtasida kitobxonlikni targ‘ib qilish, xotin-
qizlar bandligini oshirish masalalariga bag`ishlangan videoselektor yig‘ilishi
o‘tkazildi. Mamlakat aholisining 30 foizini 14 yoshdan 30 yoshgacha bo‘lgan
yigit-qizlar tashkil etadi. Ularning ta’lim olishi, kasb-hunar egallashi uchun keng
sharoit yaratilgan. Shu bilan birga, yoshlarning bo‘sh vaqtlarini mazmunli
o‘tkazishni tashkil etish dolzarb masala hisoblanadi. Yoshlar qanchalik ma’naviy
barkamol bo‘lsa, turli yot illatlarga qarshi immuniteti ham shunchalik kuchli
bo‘ladi.Ma’lumki, O‘zbekiston rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi
ishlarni yangi tizim asosida yo‘lga qo`yish bo`yicha 5 ta muhim tashabbusni ilgari
surgan edi. Birinchi tashabbus – yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va
san’atning boshqa turlariga qiziqishlarini oshirishga, iste’dodini yuzaga
chiqarishga xizmat qiladi. Ikkinchi tashabbus – yoshlarni jismoniy chiniqtirish,
sport Uchinchi tashabbus – aholi va yoshlar o‘rtasida kompyuter texnologiyalari va
internetdan samarali foydalanishni tashkil etishga qaratilgan. To‘rtinchi tashabbus
– yoshlar ma’naviyatini yuksaltirish, ular o‘rtasida kitobxonlikni keng targ`ib
qilish bo`yicha tizimli ishlarni tashkil etishga yo`naltirilgan. Beshinchi tashabbus
– xotin-qizlarni ish bilan ta’minlash masalalarini nazarda tutadi. Ana shu ezgu
g‘oya Prezidentning Sirdaryo viloyatiga tashrifi chog`ida boshlanib, qisqa vaqtda
ulkan ishlar amalga oshirildi. Sirdaryo viloyatidagi tuman va shaharlar
kutubxonalariga 300 ming nusxada badiiy adabiyotlar yetkazib berildi. Musiqa va
san’at maktablari cholg`u asboblari, sport ob’ektlari jihozlar bilan ta’minlandi. Bu
ishlar Namangan viloyatida ham davom ettirilib, “Ma’rifat karvoni” tashkil etildi.
Yoshlar uchun 25 ming dona kitob, 80 turdagi sport jihozlari va musiqa asboblari
yetkazib berildi. Bir so`z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa,
yoshlar tomonidan katta qiziqish bilan kutib olindi.Bir so`z bilan aytganda, ushbu
5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta qiziqish bilan kutib olindi.
3

Yig`ilishda bu tajribani mamlakatning barcha hududlarida keng joriy qilish
masalalari muhokama qilindi. Bugungi kunda mamlakatdagi 800 dan ortiq
madaniyat markazlari, 312 ta musiqa va san’at maktablariga atigi 130 ming nafar
o‘g‘il-qiz qamrab olingani, mazkur muassasalarning aksariyati o`quvqo`llanmalari,
notalar to‘plami, musiqa asboblari, mebel va jihozlar bilan yetarli darajada
ta’minlanmagani ko`rsatib o`tildi.Davlat rahbari joylardagi madaniyat markazlari,
musiqa va san’at maktablarining moddiy-texnik bazasi va ulardan foydalanish
holatini o`rganib, ularning faoliyatini yaxshilash bo`yicha topshiriqlar berdi.
Kurs ishining dolzarbligi : Qadim zamonlardan buyon odamlar ekin
maydoni yuzalarini o‘lchash uchun ekin maydonini kichik to‘rtburchaklarga
ajratib, so‘ngra ularning yuzalarini qo`shib maydon yuzi kattaligini taqribiy
topishgan. Xuddi shu usulni Arximed geometrik figuralarni yuzasi va hajmini
topishda qo`llagan. Nyuton barcha fizikaviy hodisalar differensiallash va
integrallash amallarining ketma-ket takrorlanish natijasida ro`y berishini kuzatadi.
Shu prinsipni qo`llab ko‘pgina natijalarga erishadi. Shu sababli ham integral va
differensial tushunchalari Nyuton nomi bilan bog‘liq.
Integral tushunchasi matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri
bo‘lib matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning eng kuchli quroli
hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzlarni, egri chiziq yoylari va
uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo‘llarni, inersiya momentlarini va
hokazolarni hisoblashga ishlarining hammasi integral hisoblashga keltiriladi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro`yxatidan tashkil topgan bo`lib, kirish
qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon
etilgan.
Kurs ishining maqsad va vazifalari : O‘quv jarayonida interfaol xorijiy
usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda
nazariy mashg‘ulotlarni olib borish pedagogik texnologiyalarga asoslangan.
Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg`ulotlarga oid fan materiallari bilan
4

birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng
dolzarb muammolardan biri hisoblanadi.

5

I BOB. Aniq integral tushunchasi va uning tadbiqlari
1.1- §. Aniq integralning ta’rifi
Aniq integral Qadim zamonlardan buyon odamlar ekin maydoni yuzalarini
o‘lchash uchun ekin maydonini kichik to‘rtburchaklarga ajratib, so‘ngra ularning
yuzalarini qo‘shib maydon yuzi kattaligini taqribiy topishgan. Xuddi shu usulni
Arximed geometrik shakllar yuzasi va hajmini topishda qo`llagan. Nyuton barcha
fizikaviy hodisalar differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket
takrorlanish natijasida ro‘y berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo‘llab ko‘pgina
natijalarga erishadi. Shu sababli ham integral va differensial tushunchalari Nyuton
nomi bilan bog`liq.
Ma’lumki, Integral tushunchasi matematik analizning asosiy
tushunchalaridan biri bo‘lib, matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning
eng kuchli quroli hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, egri
chiziq yoylari va uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo‘llarni , inersiya
momentlarini va hokazolarni hisoblashga ishlarning hammasi integral hisoblashga
keltiriladi. Ko`pincha aniq integrallarni integral yig‘indining limiti sifatida
bevosita hisoblash juda qiyin, chunki uzoq hisoblashlar talab qilinadi va amalda
kam qo‘llanadi. Shunga ko`ra integrallar Nyuton-Leybnis teoremasi asosida
hisoblanadi, matematik tahlilning eng asosiy amallaridan biridir. Yuzalarni, yoy
uzunliklarini, hajmlarni, o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishini hamda iqtisodning
bir qancha masalalari aniq integralga keltiriladi
Ta’rif. ∑
i=1
n
f(ci)Δx i integral yig`indining [a,b] kesmaning
[xi−1,xi](i= 1,2,3 ,...,n)
qismiy kesmalarga bo`linish usuliga va ularda
c1,c2,....,cn
nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmagan λ→ 0 dagi chekli
limiti mavjud bo`lsa, bu limitga
f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi aniq
integrali deyiladi va

6

∫
a
b
f(x)dx
simvol bilan belgilanadi. Kattaligi o‘zgaruvchan va funksiya bilan
aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo‘yicha harakatlantirganda
bajarilgan A
ish

formula bilan hisoblanadi.
1.2- §. Aniq integral asosiy xossalari
Funksiyaning aniq integrali qator xossalarga ega. Bu xossalardan aniq
integralni hisoblashdi va uning turli sohalarga tatbiqlarida foydalaniladi. Ko‘p
hollarda xossalarning isboti aniq integral ta’rifi va funksiya limiti xossalaridan
kelib chiqadi. Biz xossalarni keltirish bilan kifoyalanamiz:
1) chekli sondagi integrallanuvchi funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq
integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni

∫
a
b
[f1(x)+ f2(x)− f3(x)]dx =∫
a
b
f1(x)dx +∫
a
b
f2(x)dx −∫
a
b
f3(x)dx ;
2) o‘zgarmas ko`paytuvchini aniq integral belgisidan chiqarish mumkin,
ya’ni,

∫
a
b
kf (x)dx = k∫
a
b
f(x)dx ;
3)
[a,b] kesmada f(x)≥ 0 bo`lsa,

∫
a
b
f(x)dx ≥0.
bo`ladi;
4)
[a,b] kesmada f(x)≤ g(x) tengsizlik bajarilsa,

7

∫
a
b
f(x)dx ≤∫
a
b
g(x)dx
bo‘ladi;
5)
c [a,b] kesmadagi biror nuqta bo‘lsa,

∫
a
b
f(x)dx =∫
a
c
f(x)dx +∫
c
b
f(x)dx
tenglik o‘rinli bo‘ladi;
6)
m va M sonlar y= f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi mos ravishda
eng kichik va eng katta qiymatlari bo`lsa,

m (b− a)≤ ∫
a
b
f(x)dx ≤ M (b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi;
7)
∫
a
b
f(x)dx =−∫
b
a
f(x)dx ;
8)
9)
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
b
f(t)dt =∫
a
b
f(n)dn
bo‘ladi;
10)
y= f(x) [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday bir c
nuqta topiladiki

∫
a
b
f(x)dx = f'(c)(b− a)
tengsizlik o‘rinli bo`ladi. Bunga o‘rta qiymat haqidagi teorema deb ham aytiladi.

8

1.3-§. Аniq intеgrаl yordаmidа yoy uzunligini va yassi figuralar yuzalarini
hisоblаsh
Elеmеntаr gеоmеtriyadа to ‘g‘ ri chiziqli kеsmаlаr, аylаnа vа uning
bo ‘ lаklаri o ‘ lchаngаn edi. Аylаnа uzunligi uchun ungа ichki chizilgаn muntаzаm
ko‘pburchаklаr tоmоnlаri pеrimеtrining tоmоnlаri sоni chеksiz оrttirib
bоrilgаndаgi limiti qаbul qilingаn edi. Fаzоdа АB yoy bеrilgаn bo‘lsin.
M
1
M
2 А M
n-1

1-chizma
Uni M
1 ,
M
2 , ...,
M
n-1 nuqtаlаr yordаmidа n tа bo`lаkkа аjrаtаmiz. Qo‘shni bo`linish
nuqtаlаrini kеsmаlаr bilаn tutаshtirib АB yoygа ichki chizilgаn siniq chiziqni hоsil
qilаmiz. Siniq chiziq bog‘inlаrining uzunliklаri uchun quyidаgichа bеlgilаsh
kiritаmiz M
0 M
1 =Δ L
1 , M
1 M
2 = Δ L
2 , M
n-1 M
n = Δ L
n , u hоldа siniq chiziq pеrimеtri
L
n =
Δ L
1 + Δ L
2 + ... + Δ L
n L
n = Δ L
i
Ta’rif . Yoygа ichki chizilgаn siniq chiziq pеrimеtri intilgаn limit АB
yoyining l uzunligi dеyilаdi.

Bu limit mаvjud vа ichki chizilgаn siniq chiziqlаrning tаnlаnishigа bоg‘liq
bo‘lmаydi.
Tеоrеmа . АB egri chiziq y=f(х) tеnglаmа bilаn bеrilgаn bo‘lsin, bu yеrdа
f(х) - [ a,b ] kеsmаdа uzluksiz birinchi tаrtibli хоsilаgа egа bo‘lgаn uzluksiz
funksiya. U hоldа АB yoy l =
∫
a
b
√1+(f'(x))2dx gа tеng uzunlikkа egа.
Isbot. АB yoyni M
1 ,
M
2 , ...,
M
n nuqtаlаrbilаn n tа bo‘lаkkа аjrаtаmiz. а = х
0 <х
1 <
х
2 < ... х
n = b . Siniq chiziq pеrimеtri
∑i−1
n
Δ L
1 .
9

M
1 M
B
А M
n-1
M
а х х
2 х
n-1 х
n =b

Δ L
1 = √(xi− xi−1)2+(yi− yi−1)2 y
i -y
i-1 = f(х
1 )-f(х
i-1 )
Lаgrаnj tеоrеmаgа ko‘rа f(х
i )-f(
хi-1 ) = f(c
i ) (х
i -х
i-1 ), х
i-1 < c<х
i,

Δ L
1 =
√(Δx i)2+(Δy i)2=
√
1+(
Δy 1
Δx 1)
2
⋅Δx 1
Δ
L
1 = √1+(f1(x))2 Δ x
i ; ∑i−1
n
Δ L
1 = ∑i−1
n
√1+(f1(c))Δ x
i , λ=max ΔL i
d eb olsak,
l =
∑i−1
n
ΔL 1 = ∑i−1
n
√1+(f1(c2))2
Δ x
i = ∫
a
b
√1+(f1(x))2 dх yoki
(
ℓ =
∫
a
b
√1+(y1)2)→ ℓ=∫
a
b
√1+(y1)2 dх ).
1-misоl. х 2
+ y 2
= r 2
аylаnа uzunligi аniqlаnsin.
y= √r2− x2
y1=− − x
√r2− x2
Demak,
ℓ
4
=
∫
0
r
√
1+ x2
r2− x2 dx = ∫
0
r r
√r2− x2 dx = 2arc sin
x
r
∫
0
2 =r
π
2 ℓ = 2 πr
.
Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash

y= f(x) funksiya grafigi, x= a, x= b ikkita to‘g‘ri chiziqlar va OX
o‘qi bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Bunday egri
chiziqli trapetsiyaning yuzi

S=∫
a
b
ydx =∫
a
b
f(x)dx (1.3.1)
10

formula bilan hisoblanadi
Umumiy hol, ya’ni y1= f1(x), y2= f2(x), f2(x)≥ f1(x) chiziqlar
bilan chegaralangan yuza

S1=∫
x1
x2
[f2(x)− f1(x)]dx (1.3.2)
aniq integralga teng bo‘ladi .

x= ϕ(y), y= c, y= d ,x= 0
chiziqlar bilan chegaralangan yuza
(1.3.3)
aniq integral bilan hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik
{x=x(t),¿¿¿¿
¿
¿
tenglama bilan berilgan bo‘lsa, u holda shu egri chiziq , to`g`ri
chiziqlar va o‘q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(1.3.4)
formula bo‘yicha hisoblanadi, bunda va
tenglamalardan aniqlanadi.
funksiya grafigi va , ikkita nur bilan chegaralangan figura
egri chiziqli sektor deyiladi, bunda va qutb koordinatalari.
Egri chiziqli sektorning yuzi
11

formula bo‘yicha hisoblanadi.
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
To‘g‘ri burchakli koordinatlar sistemasida y= f(x) [a ,b] kesmada silliq
(ya’ni
y= f(x) hosila uzluksiz) bo‘lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi

l= ∫
a
b
√1+ (y')2dx (1.3.5)
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik tenglama

{x=x(t)¿¿¿¿
ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, bu egri chiziqning parametrning monoton
o‘zgarishiga mos yoyning uzunligi bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi
aniq integral bilan hisoblanadi.
Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalarida
r= r(ϕ), (α≤ ϕ≤ β)
tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi

l= ∫
α
β
√r2+(r')2 dϕ (1.3.6)
formula bilan hisoblanadi.
12

Aylanma jism hajmini hisoblash
y= f(x), x= a,x= b, y= 0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OX
o‘qi atrofida ay lanishidan hosil bo`lgan jismning hajmi

V x= π∫
a
b
y2dx = π∫
a
b
f2(x)dx (1.3.7)
aniq integral bilan hisoblanadi.
x= ϕ(y), y= c, y= d , x= 0
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OY
o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi

V y= π∫
c
d
x2dy = π∫
c
d
ϕ2(y)dy (1.3.8)
formula bilan hisoblanadi.
Agar yuz jismning o‘qqa perpendikulyar tekslik bilan
kesishishidan hosil bo‘lgan kesim bo`lib, kesmada uzluksiz funksiya bo‘lsa,
jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar
y= f(x), x= a,x= b, y= 0 chiziqlar bilan chegaralangan
figuraning o‘qi atrofida ay lanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
13

Agar va (bu yerda ) egri chiziqlar
hamda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan figura o‘qi atirofida
aylansa, aylanish jismning hajmi

formula bo‘yicha hisoblanadi.
Agar shu figuraning o‘zi o‘q atirofida aylansa aylanish jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar va egri chiziqlar va to‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan figura o‘qi atirofida aylansa, u holda aylanish
jismining hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar shu figuraning o‘zi o‘qi atirofida aylansa, u holda aylanish
jismining mos hajmi ushbuga teng bo`ladi:
formula bilan hisoblanadi.

Trapetsiyalar formulasi∫
a
b
f(x)dx
aniq integralni hisoblash talab etilsin
y= f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz
[a,b]
kesmani a= x0< x1< x2< ....< xn= b nuqtalar orqali n ta teng qismiy
kesmalarga ajratamiz. Funksiyaning
xi nuqtalaridagi yi= f(xi) qiymatlarini
14

hisoblaymiz (i= 1,n). [xi−1,xi] qismiy kesmalarning uzunligi
(b− a)
n kattalik
integrallash qadami deyiladi. Bo‘linish nuqtalaridan
y0, y1, y2,...., yn
ordinatlarni o‘tkazamiz. Ordinatlar oxirlarini to‘g‘ri chiziqlar bilan tutashtirib
trapetsiyalar hosil qilamiz.
Aniq integralning taqribiy qiymati uchun, hosil bo‘lgan trapetsiyalar
yuzlarining yig‘indisini olamiz. Bu holda
(1.3.9)
Shunday qilib, natijada formulani olamiz. (1.3.9) formulaga trapetsiyalar formulasi
deb ataladi. Bu formulada egri chiziqli trapetsiyalarning yuzlarini to‘g‘ri chiziqli
trapetsiyalar yuzlari bilan taqriban almashtirdik.
n o‘sib borishi bilan to‘g‘ri
chiziqli trapetsiyalarning yuzi egri chiziqli trapetsiyalar yuzlariga cheksiz
yaqinlashib boradi.
Bu taqribiy hisoblashda yo‘l qo‘yilgan absolyut xato .

M 2
(b− a)3
12 n2
ifodadan katta emasligini ko‘rsatish mumkin, bunda
M 2, |f''(x)| ning [a,b]
kesmadagi eng katta qiymati.
Simpson formulasi

[a,b] kesmani n= 2m ta juft miqdordagi teng qismlarga bo‘lamiz. Uchta
(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)
nuqtalar olib ulardan parabola o‘tkazamiz. Bu
parabola bilan
y= f(x) funksiyaning [x0,x2] kesmadagi grafigini
15

almashtiramiz. Xuddi shunga o`xshash y= f(x) funksiyaning grafigini
[x2,x4], [x4,x6]
va boshqa kesmalarda ham almashtiramiz.
Shunday qilib, bu usulda berilgan
y= f(x) egri chiziq bilan chegaralangan
trapetsiyaning yuzini
[x0,x2],[x2,x4],[x4,x6],..... kesmalarda parabolalar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisi bilan almashtiriladi.
Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolik trapetsiya deyiladi.
Parabolik trapetsiyalar yuzlarini qo`shib,
(1.3.10)
Bu formula Simpson (parabolalar) formulasi deyiladi. Simpson formulasining

absolyut xatosi
M 4
(b− a)5
2880 n4
dan katta bo‘lmaydi, bunda M 4, |f5(x)|
funksiyaning
[a,b] kesmadagi eng katta qiymati. Xatolarni baholash ifodalaridan
ma’lumki
n4
kattalik n2
kattalikka nisbatan tezroq o‘sgani uchun Simpson
formulasining xatoligi trapetsiyalar formulasi xatosiga nisbatan ancha tez
kamayadi.

16

II BOB. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari
2 . 1 §. Moddiy nuqtaning statik momenti va og`irlik markazi
Faraz qilaylik, XOY koordinatalar tekisligida quyidagi moddiy nuqtalar
sistemasi berilgan bo‘lsin:
A
1 ( x
1 , y
1 ), A
2 ( x
2 , y
2 ),…….., A
n ( x
n , y
n ) . (2.1.1)
Bu nuqtalarning massalari mos ravishda
m
1 , m
2 ,…, m
n (2.1.2)
dan ibort bo`lsin. U holda, moddiy nuqtalarning OX o`qqa nisbatan statik momenti
 M
x ) quyidagidan iborat bo‘ladi:
M
x  m
1 y
1  m
2 y
2  ………  m
n y
n , (2.1.3)
yoki summa belgisidan foydalanib quyidagini xulosaga kelib olamiz
. (2.1.3  )
OY o‘qqa nisbatan statik momenti esa
M
y  m
1 x
1  m
2 x
2  ……  m
n x
n
(2.1.4)
yoki summa belgisidan foydalanib quyidagini xulosaga kelib olamiz
M
y = mx
c . (2.1.5)
Ta’rif: m  m
1  m
2  …..  m
n bo‘lganda
koordinatali nuqtaga moddiy nuqtalar sistemasining og‘irlik markazi deyiladi.
Misol. m
k  m
l  m
n  1 birlik massalari qo‘yilgan K , L va N nuqtalarning
og‘irlik markazi uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi bo‘lishini
ko`rsating.
3-chizma
18

Yechilishi. K , L , N nuqtalarni koordinatalar sistemasida tasvirlashda
K nuqtani koordinatalar markaziga, L va N nuqtalarning o‘rtasi, ya’ni С nuqtani
OX o‘qida yotadigan qilib joylashtiramiz. U holda, K nuqtaningkoordinatalari
 0; 0  L nuqtaning ordinatasi y
0 , N nuqtaning ordinatasi (  y
0 ) dan iborat bo‘ladi.
Bundan ko‘rinadiki, С og‘irlik markazining y
c ordinatasi quyidagidan iborat
bo`ladi:
.
Demak, С nuqta OX o‘qida yotishi ma’lum bo`ldi.
Agar massalar uchta nuqtaga emas, balki figuraning hamma joyiga tekis
qo‘yilgan bo‘lsa, bunday figuralarning statik momentini topishda
yig‘indining o‘rniga integralda foydalaniladi.

2.2- §. Tekis egri chiziqning statik momenti va og‘irlik markazi
[ a , b ] oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo‘lgan AB egri chiziqli f  x 
funksiya berilgan bo`lib , u L uzunlikka ega bo‘lsin. Bunda AB egri chiziqni bir
jinsli, ya’ni chiziqli zichligi  o‘zgarmas, soddalik uchun   1 deb qaraymiz.
AB egri chiziqning OX va OY o‘qlarga nisbatan statik momentlarini hamda egri
chiziqning y og‘irlik markazini topamiz. Buning uchun AB egri chiziqni
A  A
0 (x
0 ,y
0 ) , A
1 ( x
1 , y
1 ) ,…….., A
n ( x
n , y
n )  B
nuqtalar orqali n ta bo‘lakka ajratamiz.

4-chizma
19

Bu nuqtalarga l parametrning
l
0 =0<l
1 <l
2 <l
3 <…..<l
n =L
Qiymatlari mos kelsin . l parameter A nuqtadan boshlangan yoydan iborat. A
i A
i+1
yoyning uzunligini
 l
i  l
i+1  l
i ,

shu yoyning massasini esa  m
i bilan belgilaymiz. U holda,   1
bo‘lganda massa quyidagicha bo‘ladi:

Qism yoyning uzunligini moddiy nuqta deb qarasak, u holda, uning og‘irlik
markazi unga mos keladigan qism yoy uzunligiga teng bo‘ladi, ya’ni  m
i   l
i
. Moddiy nuqtaning OX o‘qdan y
i , OY o‘qdan esa x
i masofalarda
yotganligini e’tiborga olsak, quyidagi tenglamalar o‘rinli bo`ladi:
,
va
bo‘lganligi sababli,
,

va
U holda, AB egri chiziq bo‘laklari yig‘indisining  = max{  l
i }  0
(1  i  n) dagi limitlari quyidagilardan iborat bo‘ladi:
, (2.2.1)
,
( 2.2.2)
20

. ( 2.2.3)
(2.1.5) - (2.2.3) formulalardan foydalanib, tekis egri chiziq og‘irlik
markazining formulalarini hosil qilamiz:
; (2.2.4)
. (2.2.5)
Agar f  x  ni y  f  x  va ekanligini e’tiborga
olsak, (2.2.4) va (2.2.5) ni soddalik uchun quyidagi ko‘rinishlarda yozish ham
mumkin:
, (2.2.6)
. (2.2.7)
(2.2.7) formuladan:
(2.2.8)

hosil bo‘ladi. (2.2.8) ning ikkala tomonini 2  ga ko‘paytirib, quyidagi
formulaga ega bo‘lamiz:
. (2.2.9)
(2.2.9) ning chap tomoni y
c radiusli aylana uzunligini, o‘ng tomoni esa AB
yassi
21

egri chiziqning OX o`qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzasini ifodalaydi,
ya’ni .
Demak, yoy uzunligi
esa aylanma jism sirtining yuzini topish formulasidir. Yuqridagilarni xulosalash
uchun quyidagi Gulden teoremasini keltiramiz.
Teorema. Tekis egri chiziqni shu chiziq bilan kesishmaydigan biror o‘q
atrofida aylantirishdan hosil qilingan sirtning yuzi bu chiziq uzunligini C og‘irlik
markazi tomonidan chizilgan aylana uzunligiga ko‘paytirilganiga tengdir..
Tekis figuralarning statik momenti va og`irlik markazi
[ a , b ] oraliqda x  a va x  b to`g`ri chiziqlar hamda OX o‘q bilan
chegaralangan, manfiymas egri chiziqli trapesiya y  f  x  funksiya orqali
berilgan. Egri chiziq massasi   1 zichlikda uzluksiz taqsimlangan bo‘lsin. U
holda, egri chiziqli trapesiyaning massasi uning yuzasini son qiymatiga
teng. Egri chiziqli trapesiyaning y statik momentlari M
x va M
y ni
topish uchun uni
x
i =a+ [(b-a)/n]*i ( i  0,1,2,1,0 …, n ) nuqtadan o‘tuvchi va ordinata
o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar yordamida n ta bo‘lakka ajratamiz.
5-chizma
22

Ajratilgan bo‘laklardan birining massasi

dan iborat. Bo‘lakning og`irlik markazi (x
i ,y
i /2) ni hisobga olib, quyidagilarni
hosil qilamiz:
, .
Ularning barchasining yig‘indisini  = max{  x
i }  0 (1  i  n) dagi
limitini topamiz:
, (2.2.10)
(2.2.11)
(2.2.12)
(2.2.18) formula berilgan egri chiziqli trapesiyaning massasidan iborat. (10) va
(2.2.5) yoki (2.2.6) va (2.2.7) dan og‘irlik markazining koordinatalarini
aniqlaymiz:
, (2.2.13)
. (2.2.14)
(2.2.14) tenglamaning ikkala tomonini 2  m ga ko‘paytiramiz:
(2.2.15)
Hosil bo‘lgan tenglamaning o‘ng tomoni aylanish jismining hajmi formulasidir.
Agar m  S ekanligini e’tiborga olsak, (2.1.15) ni quyidagicha
ifodalash mumkin bo‘ladi:
. (2.2.16)
Tekis figurani u bilan kesishmagan o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan
jismning hajmi - shu figura yuzining shu shakl og‘irlik markazi chizgan aylana
uzunligi bilan ko‘paytimasiga teng. Bu Guldenning ikkinchi teoremasi edi.
23

misol. Plastinka x  a  t  sin t) , y  a  1  cos t ) (bunda t  0;2   )
sikloidaning bitta arkasi va asosi bilan plastinkaning OX o‘qqa nisbatan
statik momentini toping.
Yechilishi: Plastinkaning OX o‘qqa nisbatan statik momentini topish uchun
(2.2.1) formuladan foydalanamiz:
(2.2.17)
2.3- §. Aniq integralning fizika masalalariga tadbiqlari
1. F kuch OX o‘qi bo‘ylab yo`naltirilgan hamda uning P
nuqtasi OX o‘qi bo‘ylab  a , b) kesmada joylashgan bo‘lsin. U holda, shu
kesmada kuchning bajargan ishi
(2.3.1)
formula yordamida hisoblanadi. Agar F kuch o‘zining kattaligini o‘zgartirsa,
kuch ishini (1) formula yordamida hisoblashning imkoni bo‘lmay qoladi.
Shuningdek, kuch bajargan ishni hisoblashda ko‘pincha quyidagi Guk
qonunidan foydalaniladi:
F  kx ,
(2.3.2)
bunda F -kuch, x - prujinaning F kuch ta’sirida absolyut uzayishi, k -
proporsionallik koeffisiyenti.
2. Kattaligi o‘zgaruvchan va f(x) funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy
nuqtani
[a,b] kesma bo‘yicha harakatlantirganda bajarilgan A
ish
formula bilan hisoblanadi.
Biror o‘zgarmas tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo`ylab tekis harakat qilayotgan
moddiy nuqtaning vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan
S masofasi
formula bilan hisoblanadi.
Tezligi har bir
t vaqtda o‘zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan
notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan
s masofasi
24

formula bilan aniqlanadi.
Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim
tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda m massaga ega bo`lgan A
moddiy
nuqta berilgan bo‘lib, bu nuqtadan biror
l o`qqacha ( yoki O
nuqtagacha) bo‘lgan
masofa r
ga teng bo‘lsin. U holda miqdor A
moddiy nuqtaning l
o‘qga ( O
nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi
Masalan, tekislikdagi massaga ega bo‘lgan moddiy nuqtaning
koordinata o‘qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos
ravishda
, ,
formulalar orqali hisoblanadi.
Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega bo‘lgan
, , …., moddiy nuqtalar sistemasining
koordinata o‘qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos
ravishda

formulalar orqali ifodalanadi.
Biror egri chiziq yoyi bo‘yicha massa tarqatilgan bo‘lsin. Bu
massali egri chiziq yoyining koordinata o‘qlari hamda koordinata boshiga nisbatan
inersiya momentlari

formulalar orqali ifodalanadi.
tekislikda massalari bo‘lgan
material nuqtalar sistemasi berilgan bo‘lsa, u
holda, va ko‘paytmalar massaning va o‘qlariga nisbatan
statik momentlari deyiladi.
Berilgan sistemaning og‘irlik markazi koordinatalarini va lar bilan
belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo‘lgan
25

,
formulalarni yozishimiz mumkin.
tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining og‘irlik
markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :

,
,
chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura
og‘irlik markazining koordinatalari
,
formulalardan topiladi.
3. Vintsimon prujinaning bir uchi mustakamlangan, ikkinchi uchiga esa
kuch ta’sir etib prujinani qismoqda. Agar prujinaning qisilishi unga
ta’sir etayotgan kuchga proporsional bo‘lsa, prujinani a birlikka qisish
uchun kuchni bajargan ishini toping.
Yechish: Agar kuch ta’sirida prujinaning qisilish miqdorini x deb
olsak, u holda bo`ladi. Bunda proporsionallik koeffitsienti (qisilish
koeffitsienti). Bajarilgan ishni topish formulasidan foydalanamiz:
26

4. Tezligi qonun bo`yicha o`zgaradigan notekis harakatda
vaqt oralig‘ida bosib o‘tilgan S masofa topilsin.
Yechish: formuladan foydalanamiz. Demak,
S =
∫
38(
3 t + t 2 )
dt = 3
∫
38
tdt + ¿
∫
38
t 2
dt = ¿ ¿ 3 t 2
2 |
38
+ ¿ t 3
3 |
38
= 3 ∙ 64
2 − 3 ∙ 9
2 + ¿ ¿ ¿
+ 8 3
3 − 3 3
3 = 96 − 27
2 + 512
3 − 27
3 = 87 + 1024 − 81
6 = 87 + 943
6 = 244 1
6
5. OX o‘qining yuqorisida joylashgan yarim aylana og‘irlik
markazining koordinatalari topilsin.
Yechish: Og‘irlik markazining ordinatasini topamiz.
, ,

bo`ladi. Chunki yarim aylana o‘qqa nisbatan simmetrik joylashgan.
6. parabolaning to‘g‘ri chiziq bilan kesishishidan hosil
bo‘lgan segmentning og‘irlik markazi koordinatalari topilsin.
Yechish: Masalaning shartidan va Shuning uchun
.
Segment o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun bo`ladi.
27

7. Asosi ga va balandligi ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning
asosiga nisbatan inersiya momenti topilsin.
Yechish: To‘g‘ri to`rtburchakda uning asosidan masofada joylashgan va
kengligi bo‘lgan elementar polosa ajratamiz. Bu polosaning massasi shu
polosaning yuziga, ya’ni ga teng.
Bundan tashqari,
va .
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1. Jism m/s tezlik bilan harakatlanmoqda. Jismning harakat
boshlangandan keyingi 10 sek. davomida bosib o`tgan yo‘li topilsin.
Javob: 23,7.
2. Moddiy nuqtaning harakat tezligi m/s formula yordamida
aniqlanadi. Nuqtaning dastlabki 4 sek davomidagi bosib o`tgan yo`li topilsin.
Javob: 244m.
3. Massasi m
ga teng bo`lgan jismni yerdan balandlikka ko`tarish uchun
sarf qilish kerak bo`lgan ish aniqlansin.
Ko`rsatma: Yer markazidan x masofada markazga tortish kuchi F ushbu
proporsiyadan aniqlanadi. Bunda R − ¿
yer sharining radiusi.
Javob:
4. kuch, prujinani ga cho‘zishi uchun qancha ish bajarishi kerak ?
Javob: 24 j
5. va chiziqlar bilan chegaralangan to‘g‘ri
to‘rtburchakning va o‘qlarga nisbatan inersiya momentari topilsin.
Ko`rsatma : To‘g‘ri to‘rtburchakni gorizontal yuzlarga ajratib, har bir yuzni
undan o‘qqacha bo‘lgan masofa kvadratiga, ya’ni ga ko‘paytiramiz.
Ko‘paytmalarni qo‘shib limitga o‘tsak, quyidagini hosil qilamiz:
28

Shunga o‘xshash Jy=∫0
a
bx2dx
Javob:
Jx= ab3
3 ;Jy= a3b
3 .
6.
x=0 va x + y = a
chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakning ox
va oy
o‘qlarga
nisbatan statik momenti va og‘irlik markazining koordinatalari topilsin.
Ko‘rsatma: Statik momentlar quyidagilardan iborat :
M
x =
∫
0a
xydy , M
y =
∫
0a
xydx .
og‘ irlik markazining koordinatalari:

xc= M y
S ,yc= M x
S
Bunda S − ¿
shaklning yuzi.
Javob: M
x = M
y = a 3
6 ; x
c ¿ y
c = a
3 .
7.
x2+y2= R2 aylananing birinchi chorakda yotuvchi yoyining Oy
o‘qiga
nisbatan inersiya momenti topilsin.
Javob: 0,25
πR3 .
8.
y2= 4ax parabol va x=a to‘g‘ri chiziq bilan chegaralangan shaklning
oy
o‘qiga nisbatan inersia momenti topilsin.
Javob:
8
7a4 .
9.
y2= 2x parabolani x = 0
dan x=2 gacha bo‘lgan yoyning ox
va oy
o‘qlarga
nisbatan statik momentlari topilsin.
Javob : M
x = 1
3
( 5 √ 5 − 1 ) ; M
y = 9
8 √ 5 + 1
16 ln ( 2 + √ 5 ) .
10. y = 1
2
( e x
+ e − x )
= c h x
zanjir chiziqning A ( 0 ; 1 )
nuqtadan B ( a ; c h a )
nuqtagacha
bo‘lgan yoyi og`irlik markazining koordinatalari topilsin.
Javob: x
c = a − t h a
2 ;
yc= a
2sha+cha
2 .
11.
4x2+9y2=36 ellips va x2+y2=9 aylananing kesishishidan hosil bo‘lgan
shaklning birinchi chorakdagi qismi og‘irlik markazining koordinatalari topilsin.
Javob:
xc¿4
π ;y
c
= 20
3π.
29

XULOSA
Xulosa o`rnida shuni aytish joizki, xususan, aniq integralni bir necha
arlardan buyon odamlar ekin maydoni yuzalarini o‘lchash uchun ekin maydonini
kichik to‘rtburchaklarga ajratib, so‘ngra ularning yuzalarini qo‘shib maydon yuzi
kattaligini taqribiy topishgan. Xuddi shu usulni Arximed geometrik figuralarni
yuzasi va hajmini topishda qo‘llagan. Nyuton barcha fizikaviy hodisalar
differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket takrorlanish natijasida ro‘y
berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo`llab ko`pgina natijalarga erishadi. Shu sababli
ham integral va differensial tushunchalari Nyuton nomi bilan bog‘liq.
Integral tushunchasi matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri
bo`lib matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning eng kuchli quroli
hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzlarni, egri chiziq yoylari va
uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo`llarni , inersiya momentlarini va
hokazolarni hisoblashga ishlarining hammasi integral hisoblashga keltiriladi. Aniq
integralning tatbiq doirasi kengdir. Jumladan, yoy uzunligi, tekis shaklning yuzini,
o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishini, aylanma jismning yon sirtini, jismning
og‘irlik markazini va boshqalarni toppish masalalari aniq integral yordamida hal
etiladi. Undan keyin integralni hayotdagi boshqa sohalarga tatbiq etish mumkin va
bu hozirda keng ko‘lamda qo`llanadi.
30

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI
1.T.Azlarov, H.Mansurov. “Matematik analiz”. –T., 1994.
2. Y.Y.Soatov. Oliy matematika asoslari. –T.: “O`zbekiston” nashriyoti, 1998.
3. Azlarov T. A., Mansurov X. T. “Matematik analiz”. I, II tom 1994, 1995.
4. G. Xudoyberganov, A. Vorisov, X. Mansurov . «Matematik analiz» . Nasaf
nashriyoti. 2003 yil.
5. A. Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Varisov, R. G`ulomov
“Matematik analiz kursidan misol va masalalar to`plami ” 1,2 tom. ”O`zbekiston”,
1993, 1995
6.Alimov Sh, Ashurov R “Matematik analiz “ 1, 2, 3 tom Toshkent “MUMTOZ
SO`Z” 2018.
7. www.ziyoNET.uz
8. www.referat.uz
9. www . arxiv . uz
31

Sotib olish