Aniq integralni hisoblash. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash 26
![7Yechish. Bu funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
Bo‘ladi, chunki
Agar va funksiyalar funksiyadan kеsmada
bоshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, ular оrasida ayirma o‘zgarmas sоnga tеng bo‘ladi.
Agar bеrilgan funksiya uchun qanday bo‘lmasin birgina bоshlang‘ich
funksiya tоpilgan bo‘lsa, funksiya uchun har qanday bоshlang‘ich funksiya
k o‘rinishga ega bo‘ladi.
1.2-§. Aniq integralf(x)
funksiya [a,b] kesmada aniqlangan bo‘lsin. [a,b] kesma ning
a= x0< x1< x2<...< xn−1< xn= b
shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi
{xk}k=1
n
nuqtalar sistemasiga
[a,b] kesman ing bo‘linishi deyiladi va u
kabi belgilanadi.
xk(k= 1,n) nuqta P bo‘linishning bo‘luvchi nuqtasi [xk,xk+1]
kesma esa, qism oralig‘i deyiladi. Agar
[a,b] kesmaning ixtiyoriy P
bo‘linishidagi qism oralig‘ining uzunliklari bir xil bo‘lsa, u holda, bunday
bo‘linish,
[a,b] kesmaning regulyar bo‘linishi deyiladi.
d= d(P )= max
0≤k≤n−1
Δx k (Δx k= xk+1− xk)
, P bo‘linishning diametri, deb ataladi.
Har bir
[xk,xk+1] kesma dan (k=0,n−1) ∀ ξk nuqtani olamiz: xk≤ ξk≤ xk+1 .
1.2.1–ta’rif . Ushbu
σP(f)= σP(f,{ξk})= ∑
k=0
n−1
f(ξk)Δx k (1.2.1)
yig‘indiga,
f(x) funksiyaning, P bo‘linishga va ξk nuqtani tanlashga mos kelgan,](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_7.png?v=1)
![8integral yig‘indisi (Riman yig‘indisi) deb ataladi.
1.2.2–ta’rif . Agar ∀ ε>0 olinganda ham, shunday σ= σ (ε)>0 mavjud
bo‘lib, diametri
d(P)<σ bo‘lgan [a,b] kesma ning har qanday P bo‘linishida,
hamda
∀ ξk (xk≤ ξk≤ xk+1) nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘lmagan holda,
|J− ∑
k=0
n−1
σP(f,{ξk})|<ε (1.2.2)
tengsizlik bajarilsa, u holda, shu
J son, integral yig‘indining limiti deyiladi va u
J= lim
d(P)→0
σP(f)
kabi yoziladi.
1.2.3–ta’rif . Agar
f(x) funksiya uchun, (1.2.1) integral yig‘indining
d(P )→ 0
da J limiti mavjud bo‘lsa, u holda, f(x) funksiya [a,b] kesmada Riman
ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Integral yig‘indining
J limitiga f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha
olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u
∫
a
b
f(x)dx = J
(1.2.3)
simvol orqali belgilanadi (1.2.3) da,
f - integral ostidagi funksiya, a son-
integralning quyi chegarasi,
b son esa,- integralning yu qori chegarasi, deb ataladi.
Integral ostidagi
x o‘zgaruvchini boshqa o‘zgaruvchiga almashtirish ham
mumkin, ya’ni
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
b
f(t)dt =∫
a
b
f(z)dz
va h.k..
Ta’rif bo‘yicha,
∫
a
a
f(x)dx = 0, ∫
a
b
f(x)dx = −∫
b
а
f(x)dx
(
a<b deb olamiz).
1. 2. 1 - misol .
f(x)= x funksiya ixtiyoriy [a,b] kesmada Riman ma’nosida](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_8.png?v=1)
![9integrallanuvchi ekanligini ko‘rsating.
Yechilishi. [a,b] kesmaning ∀ P= {xk}k=1
n bo‘linishini olamiz. Natijada
[a,b]
kesma [x0,x1],[x1,x2],...,[xn−1,xn] bo‘laklarga bo‘linadi va
ξi=
xi+xi−1
2 (ξk∈ [xi−1,xi]),i= 1,n
deb belgilaymiz. P bo‘linishga mos kelgan
integral yig‘indini tuzamiz:
σP(f)= σP(f,{ξi})= ∑i=1
n
f(ξi)Δx i= ∑i=1
n xi+xi−1
2 (xi− xi−1)= ∑i=1
n xi2− x
2i−1
2 =
= 1
2
[(x1
2− x0
2)+(x2
2− x1
2)+...+(xn
2− xn−1
2 )]= 1
2 (xn
2− x0
2)= 1
2
(b2− a2)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bundan (1.2.4)
Demak,
f(x)= x funksiya ixtiyoriy [a,b] kesmada Riman ma’nosida
integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi
funksiya chegaralangan bo‘lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har
qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo‘lavermaydi.
1.2.2–misol . Ushbu
Dirixle funksiyasi
[a,b]⊂ R (a<b) kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi
emasligini ko‘rsating.
Yechilishi.
[a,b] kesmaning ∀P bo‘linishini olib, quyidagi
σP(D ;{ξk})= ∑
k=1
n
D (ξk)⋅Δx k,
σP(D ;{ηk})= ∑
k=1
n
D (ηk)Δx k
yig‘indilarni tuzamiz.
ξk∈[xk−1,xk] nuqta sifatida [xk−1,xk] kesmadagi ixtiyoriy](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_9.png?v=1)
![10ratsional nuqtani, ηk sifatida esa (ηk∈[xk−1,xk]) , shu kesmadagi ixtiyoriy
irratsional nuqtani olamiz. U holda,
D (ξk)= 1,D (ηk)= 0 bo‘ladi. Shuning uchun,
σР(D ;{ξk})= ∑
k=1
n
Δx k= b− a, σР(D ;{ηk})= 0
(1.2.4)
Demak,
b− a≠ 0 uchun Dirixle funksiyasining integral yig‘indisi, (1.2.2) –
ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi
[a,b]
kesmada integrallanuvchi emas.
1.2. 3 –misol . Ushbu
funksiya ning
[a,b]⊂ R (a<b) kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi
emas ligini ko‘rsating .
Yechilishi.
P J= [a,b] kesmaning ixtiyoriy bo‘linishi bo‘lsin. Unda
J=[a,b]
kesma J1,J2,...,Jn kesmalarga bo‘linadi. ξk∈[xk−1,xk]= Jk nuqta
sifatida,
[xk−1,xk] kesmadagi ixtiyoriy ratsional nuqtani, ηk(ηk∈[xk−1,xk])
sifatida esa, shu kesmadagi ixtiyoriy irratsional nuqtani olamiz. U holda,
σP(f;{ξk})= ∑
k=1
n
f(ξk)⋅Δx k= ∑
k=1
n
ξk⋅Δx k,
σP(f;{ηk})= ∑
k=1
n
f(ηk)Δx k= ∑
k=1
n
(− ηk)⋅Δx k
y ig‘indilarni tuzamiz. Bunda
σP(f;{ξk}) yig‘indi f1(x)= x funksiya uchun
integral yig‘indi bo‘ladi va u ( 1.2.1 ) -misolga asosan,
lim
d(P)→0
σP(f;{ξk})= b2− a2
2
= ∫
a
b
xdx . (1.2.5)
b o‘ladi.
σP(f;{ηk}) yig‘indi esa, f2(x)=− x funksiya uchun integral yig‘indi
bo‘lib,](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_10.png?v=1)
![11 lim
d(P)→0
σP(f;{ηk})=− b2− a2
2
= −∫
a
b
xdx . (1.2.6)
bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan integral yig‘indi yagona limitga ega emas.
Demak, berilgan funk s iya
[a,b] kesma da Riman ma’nosida
integrallanuvchi e mas.
1.3-§. Aniq integralning xossalari
1) Tengliklar bilan ifoda qilinadigan xossalar.
1.3.1-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
ixtiyoriy [ a , b ] Ì
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.
1.3.2-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi va
a<c<b
bo‘lsa, u holda
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
c
f(x)dx +∫
c
b
f(x)dx (1.3.1)
tenglik o‘rinli.
1.3.1-eslatma . Agar
a<c<b bo‘lib, f(x) funksiya [a,c],[c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, u
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va (1.3.1)
tenglik o‘rinli.
1.3.2-eslatma. Agar
a=b bo‘lib, f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan
bo‘lsa, u holda
∫
a
a
f(x)dx =0 ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.
Agar
a<b bo‘lib , f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
∫
a
b
f(x)dx =−∫
b
a
f(x)dx , a<b
(1.3.2)
deb qabul qilamiz.
1.3.3-xossa . Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_11.png?v=1)
![12holda k f(x)(k= const ) funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va
∫
a
b
kf (x)dx = k∫
a
b
f(x)dx (1.3.3)
tenglik o‘rinli.
1.3.4-xossa. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham
[a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘ladi va ushbu
∫
a
b
[f(x)± g(x)]dx =∫
a
b
f(x)dx ±∫
a
b
g(x)dx
(1.3.4)
tenglik o‘rinli.
1.3. 5-xossa . Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda
f(x)g(x) funksiya ham [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
1.3.3-eslatma. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa,
u holda
∀ n∈N uchun |f(x)|n funksiya ham shu [a,b] oraliqda integrallanuvchi
bo‘ladi.
2) Tengsizliklar orqali ifoda la nadigan xossalar.
6-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lib, u shu
oraliqda manfiy bo‘lmasa, (
∀ x∈[a,b] uchun f(x)≥ 0 ), u holda
∫
a
b
f(x)dx ≥ 0 (a<b)
(1.3.5)
bo‘ladi.
1.3 . 1 -natija . Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘lib,
∀ x∈[a,b] uchun f(x) ≤ g(x) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u
holda ushbu](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_12.png?v=1)
![13∫
a
b
f(x)dx ≤∫
a
b
g(x)dx (1.3.6)
tengsizlik ham o‘rinli .
1.3. 2 -natija (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ) . Agar
f(x) va g(x)
funksiyalar
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda f(x) - a g(x) ( a -
ixtiyoriy o‘zgarmas) funksiya ham
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va
∫
a
b
[f(x)− αg (x)]2dx ≥ 0
tengsizlik o‘rinli.
Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifoda
α ga nisbatan kvadrat uchhad
bo‘lib, u
α ning barcha haqiqiy qiymatlarida manfiy emas. Demak, kvadrat uch-
hadning diskriminanti musbat emas, ya’ni
[∫
a
b
f(x)g(x)dx ]2−∫
a
b
f2(x)dx ⋅∫
a
b
g2(x)dx ≤ 0,
|∫
a
b
f(x)⋅g(x)dx |≤ √∫
a
b
f2(x)dx ⋅√∫
a
b
g2(x)dx (1.3.7)
Bu tengsizlik, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
1.3.7-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa , u
holda |
x f | funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
1.3.4-eslatma. |
x f | funksiyaning [a,b] kesmada integrallanuvchiligidan ,
f(x)
funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo‘lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi.
3) O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.
f(x)
funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. U
holda
m= inf {f(x)} , M = sup {f(x)} mavjud va m≤ f(x)≤ M , ∀ x∈[a;b]
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_13.png?v=1)
![141.3.1-teorema . Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib, ushbu
∫
a
b
f(x)dx = μ(b− a)
tenglik orinli bo‘ladi .
N atija. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday
c (c∈[a,b])
nuqta topiladiki,
∫
a
b
f(x)dx = f(c)(b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1.3.2 -teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada
integrallanuvchi bo‘lib,
g(x) funksiya shu oraliqda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u
holda shunday o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib,
∫
a
b
f(x)g(x)dx = μ∫
a
b
g(x)dx
(1.3.8)
tenglik o‘rinli.
Natija . Agar
f(x) [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda [a,b] kesmada
shunday
c (c∈[a,b]) nuqta topiladiki,
∫
a
b
f(x)g(x)dx = f(c)∫
a
b
g(x)dx (1.3.9)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Chegaralari o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integrallar .
f(x) funksiya [a,b]
kesma da aniqlangan va u shu kesma da integrallanuvchi bo‘lsin. U holda aniq
integralning 1-xossasiga asosan ,
f(x) funksiya istalgan [a,x] Ì [a,b] kesmada
ham integrallanuvchi bo‘ladi, ya’ni](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_14.png?v=1)
![15F(x)=∫
a
x
f(t)dtintegral mavjud bo‘ladi.
1.3.3-teorema. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa,
F(x)
funksiya shu oraliqda uzluksiz bo‘ladi.
1.3.4-teorema. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lib,
x0
Î [a,b] nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda F(x) funksiya x0 nuqtada
differensiallanuvchi bo‘ladi va
F ¿(x0)= f(x0)
tenglik o‘rinli.
1.3.5 -eslatma. Agar
a= x0 bo‘lsa, u xolda F ¿(a+0)= f(a) , agar b= x0
bo‘lsa,
F ¿(b− 0)= f(b) deb qarash lozim .
Natija. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u xolda " x Î
[a,b]
lar uchun F¿(x)= f(x) , ya’ni
F (x)=∫
0
x
f(t)dt +C funksiya ,
f(x) uchun
boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
II BOB. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH
2.1-§Aniq integrallarni taqribiy hisoblash masalasi
Amaliy va nazariy masalalarning ko pchiligi biror
ʻ oraliqda uzluksiz
bo‘lgan funksiyadan olingan aniq integralni hisoblashga
keltiriladi. Ammo integral hisobining asosiy formulasi](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_15.png?v=1)
![20Eng sodda kvadratura formulalari: to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson
formulalari hisoblanadi.
2.2-§. To‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli
Mazkur bo‘limda biz eng sodda va fundamental taqribiy integrallash
usullaridan biri, yani to‘g‘ri to‘rtburchaklar usuli bilan tanishamiz. Ushbu
usulning mohiyati ma’lum bir oraliqdagi funksiya grafigi ostida yotgan yuzani
hisoblashda, integral ostidagi funksiyaning qiymatlarini to‘g‘ri to‘rtburchaklar
yordamida taqribiy ifodalashga asoslanadi. Aniq integralning ta’rifidan kelib
chiqqan holda, yuzani hisoblash jarayoni funksiyaning grafigi ostida yotgan
sohaga bo‘linib, har bir kichik sohaga mos keluvchi yuzani taqribiy baholashni
o‘z ichiga oladi. To‘g‘ri to‘rtburchaklar usulida, integrallash oralig‘i teng
bo‘laklarga bo‘linadi va har bir bo‘lakda funksiyaning qiymati ushbu bo‘lakning
chap, o‘ng yoki o‘rta nuqtasidagi qiymati bilan almashtiriladi. Natijada, ushbu
nuqtalardan o‘tuvchi vertikallar hamda oraliqning chegaralarini tutashtiruvchi
gorizontal chiziqlar bilan hosil bolgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisi, aslida
aniq integralning taqribiy qiymatini beradi. Bu usulning soddaligi uni tushunish
va qo‘llashni osonlashtiradi, biroq uning aniqligi ba’zan yetarli bo‘lmasligi
mumkin.
To‘g‘ri to‘rtburchaklar usulining matematik formulasini ko‘rib chiqaylik.
Oraliq [a,b] ni n
ta teng bo‘lakka bo‘lamiz, bunda har bir bo‘lakning uzunligi
bo‘ladi. Bo‘lish nuqtalari
, bu yerda
Chap nuqtalar usulida, har bir bo‘lak uchun yuzani hisoblashda biz
bo‘lakning chap nuqtasidagi funksiya qiymatini olamiz va uni bo‘lak
uzunligi ga ko‘paytiramiz. Shuning uchun, chap nuqtalar usulining integrali
taqribiy qiymati quyidagicha yoziladi:](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_20.png?v=1)
![34FOYDALANILADIGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
Asosiy adabiyotlar
1. Alimov SH.O., Ashurov R.R. Matematik analiz 1,2,3 q. T. “Mumtoz so‘z”,
2018.
2. Tao T. Analysis 1,2. Hindustan Book Agency, India, 2014.
3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. I, II q. T.: «Voris-nashriyot». 2010 y.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, «Лань»,
2016.
5. Shoimqulov B.A., Tuychiyev T.T., Djumaboyev D.X. Matematik analizdan
mustaqil ishlar. T. “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”, 2008
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 1,2,3 т. М. “ФИЗМАТЛИТ”, 2001.
7. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, I, 2-q. T. "O‘qituvchi", 1994,
1995.
Qo‘shimcha adabiyotlar
1. A.Gaziyev, I.Israilov, M.Yaxshibayev “Matematik analizdan misol va
masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.-
2. G‘aymnazarov G., G‘aymnazarov O.G. Funksional analiz kursidan masalalar
yechish. T.: “Fan va texnologiya”, 2006.-114b.
3. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому
анализу» Учеб. Пособие для вузов. М.: ООО «Издателство Астрел» ООО
«Издателство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст.
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциалним уравнениям.
М.:Интеграл-Пресс, 1998,-208с.
5. Иванова Е.П. Линейние дифференциалние уравнения с постоянними
коеффитсиентами. Учебное пособие к расчетной работе - Москва: МАИ,
2003.- 52 с. ИСБН 5-7035-1283-2.
6. М.А. Краснов, Г.И. Макаренко, А.И. Киселев. Вариационное исчисление.](https://docx.uz/documents/956028ef-5598-4e8f-a144-a49a4ec71ea6/page_34.png?v=1)
-
O'xshash dokumentlar
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq