Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 742.5KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

203 Sotish

Aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash 2-variant

Sotib olish
Aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash REJA KIRISH …………………………………………………………………………3 I BOB . Aniqmas integral ………………………………………………………6 1.1 - §. Aniqmas integral tushunchasi ………………………………………….6 1.2 - § . Integrallash usullari ……………………………………………………12 II BOB.Ratsional funksiyalarni integrallash ……………………………….14 2.1 - § . Ratsional funksiyalarni sodda kasrlarga ajratish ……………………….14 2.2 - § .Sodda kasrlarni integrallash ……………………………………………...17 2.3 - § . Ba‘zi ratsional funksiyalarni integrallash …………………………….19 2.4-§.Ratsional funksiyalarni integrallashni Ostrogradskiy usuli ……..………26 XULOSA ……………………………………………………………………...29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR …………………………………….31 KIRISH “ Agar mendan Sizni nima qiynaydi? deb so ‘ rasangiz, farzandlarimizning ta ‘ lim va tarbiyasi deb javob beraman” Sh.M.Mirziyoyev Fan – bu ta ‘ limning mazmuni va sifatini ta ‘ lim standartlari, o ‘ quv dasturlari, darsliklar va o ‘ quv-uslubiy qo ‘ llanmalar tayyorlashda, ilmiy–uslubiy ta ‘ minotni amalga oshirishda bevosita va bilvosita ishtirok etadi. Fan vatanning eng kichik qiyofasi bo‘lmog‘i zarur, zotan barcha xalqlar ichida fikr va aqliy faoliyat sohasida boshqalardan o‘zib ketgan xalqgina birinchi o‘rinni oladi. Ishlab chiqarish milliy modelda malakali kadrlar tayyorlash tizimining huquqiy me ‘ yorlarini tartibga soladi. Xulosa qilib shuni ta‘kidlash joizki, mustaqil O‘zbekiston davlat hokimiyati ishlab chiqqan va hozirgi kunda hayotga tadbiq etilayotgan kadrlar siyosatida erkinlik, ijodkorlik, tashabbuskorlik, yaratuvchanlik muhitini vujudga keltirish ko‘zda tutilgan bo‘lib, unda barcha mutahassis kadrlarni ijtimoiy, iqtisodiy-siyosiy, madaniy, ma‘naviy-axloqiy muammolarning samarador yechimini izlab topishga, ro‘yi-rost fikrlashuvga undaydigan demokratik shart-sharoitlar yaratib berish mo‘ljanlanganligi muhim ahamiyat kasb etadi. Har bir tarixini o ‘ tish, o ‘ rganish ta ‘ lim nazariyasidagi, tamoyillaridagi va jamiyat mafkurasida talab etiladigan mantiqiy talablardan kelib chiqiladi. Bo‘lajak oliy ma‘lumotli mutahassisda ilmiy, ob‘ektiv tasavvur va dunyoqarashning shakllanishida tarixiy materiallar shubhasiz alohida o‘rin tutadi. Ta‘lim va tarbiyaning mohiyatini ochib beruvchi, pedagogika fani ham bundan istisno emas. Turfa olam, turli davlatlar va turli millatlardagi ta‘lim- tarbiyaga oid qimmatbaho tarixiy materiallarni qiyosiy tarzda o‘rganish jarayonida bo‘lajak mutahassislarda nisbiylik tushunchasining shakllanishiga hamda tabiat va jamiyatdagi barcha narsalarni qiyosiy tarzda o‘rganish zarurligini talabalar o‘zlariga amaliy ko‘nikma va malakalar tarzida singdiradilar. Hоzirgi zamоn talablariga javоb beradigan mutaxassislar tayyorlashda ularning nazariy va amaliy masalalarni chuqur o ‘ zlashtirishiga yordam 4 beradigan o ‘ zbek tilida yozilgan darsliklar va o ‘ quv qo ‘ llanmalar bilan ta ‘ minlash muhim masalalardan biridir. Ushbu kurs ishi matematik fizika tenglamalari fanining amaliy mashg ‘ ulоtlari uchun mo ‘ ljallangan. O ‘ zbekistonning kadrlar tayyorlash o ‘ yicha noyob milliy modeli jahon hamjamiyati tomonidan keng e ‘ tirof etilmoqda. Mamlakatimizda qabul qilingan Kadrlar tayyorlash milliy dasturining o ‘ ziga xos jihati shundan iboratki, u yaxlit samarali tizimga asos bo ‘ lib davlat va jamiyat manfaatlariga xizmat qiladi. Uzluksiz ta ‘ lim, ilm-fan va ishlab chiqarish bu yaxlit jarayonning uzviy tarkibiy qismlaridir. Mustaqil O ‘ zbekistonimizda yuz berayotgan siyosiy, iqtisodiy, ilmiy-texnikaviy va madaniy o ‘ zgarishlar Oliy ta‘lim tizimida o ‘ z aksini topmoqda. Kurs ishining dolzarbligi. Yoshlarga ta ‘ lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o ‘ qituvchining g ‘ oyaviy e ‘ tiqodi, kasb- mahoratiga, san ‘ ati, iste ‘ dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog ‘ liqdir. Ta ‘ lim-tarbiya jarayonini to ‘ g ‘ ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o ‘ qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o ‘ sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o ‘ quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o ‘ quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o ‘ quvchilarda maqsadga yo ‘ naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to ‘ g ‘ ri, go ‘ zal tuzilganligi, o ‘ quvchilarni didli, go ‘ zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Aniqmas integra va ularni integrallash usullari, ratsional funksiyalar haqida tushuncha shu bilan bir qatorda, ratsional funksiyalarni integrallash mavzusini chuqurroq o ‘ rganib, o ‘ sib kelayotgan yosh avlodga tushuntirishdan iborat. Kurs ishining maqsadi . Aniqmas integral, ratsional funksiyalar va ratsional funksiyalarni integrallash haqidagi tushunchalar berish hamda ularni integrallash usullarini o ‘ rganish. Kurs ishining obyekti . Oliy va o ‘ rta maxsus ta ‘ lim muassasalarida matematik analiz fanini o ‘ qitish jarayoni. 5 Kurs ishining predmeti. Matematik analiz fanini o ‘ qitish metodlari va vositalari. Kurs ishining vazifalari. Aniqmas integrallar haqida tushuncha, ratsional funksiyalarni integrallashdan iborat. Kurs ishining hajmi va tuzilishi. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat bo ‘ lib, 31 betni tashkil etadi. I BOB. ANIQMAS INTEGRALLAR 1.1 - §. Aniqmas integral tushunchasi 6 Aniqmas integral ta‘rifi. funksiya biror (chekli yoki cheksiz) intervalda aniqlangan bo‘lsin. 1-ta‘rif . Agar da funksiya shu intervalda differensiallanuvchi funksiyaning hosilasiga teng ya‘ni bo‘lsa, u holda funksiya intervalda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi. Bu ta‘rifni funksiya differensiali orqali ham aytish mumkin. 2-ta‘rif . Agar da ifoda shu intervalda differensiallanuvchi funksiyaning differensialiga teng, ya‘ni bo‘lsa, u holda funksiya intervalda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deb ataladi. Endi funksiya segmentda berilgan bo‘lsin. 3-ta‘rif. Agar da funksiya shu oraliqda differensiallanuvchi funksiyaning hosilasiga teng, ya‘ni bo‘lib, va nuqtalarda esa , tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya segmentda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deb ataladi. Misollar 1. bo‘lsin.Bu funksiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki da 2. funkiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasi 7 bo‘lishi ravshan. Shuni takidlab, o‘tamizki intervalda uzluksiz bo‘lgan har qanday funksiya shu intervalda boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘ladi. va funksiyalarning har biri intervalda bitta funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, bu va funksiyalar intervalda bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi. Haqiqatan ham, boshlang‘ich funksiyani ta‘rifiga ko‘ra da , bo‘ldi, Demak, . tenglik kelib chiqadi. Modomiki, intervalda berilgan funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari bir-biridan o‘zgarmas songa farq qilar ekan, bu funksiyaning shu intervalda biror boshlang‘ich funksiyasi yordamida uning istalgan boshlang‘ich funksiyasi ushbu ko‘rinishda ifodalanadi. 1-eslatma. Funksiyaning aniqlanish sohasi oraliq bo‘lishi muhim. Agar funksiyaning aniqlanish sohasi oraliq bo‘lmasa, uning boshlang‘ich funksiyalari farqi o‘zgarmas bo‘lmasdan qolishi mumkin. Masalan, funksiyani to‘plamda qaraylik. Bu funksiya uchun funksiyalarning har biri boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishi ravshan. Ushbu ayirma uchun quyidagiga egamiz: 8 Shunday qilib, bu ayirma E to‘plamda consta emas. 4-ta‘rif. intervalda berilgan funksiya boshlang‘ich funksiyalarining umumiy ifodasi , , shu funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va kabi belgilanadi. Bunda integral beligisi, integral ostidagi funksiya, esa integral ostidagi ifoda deyiladi. Demak, (1) Misol 1. Ushbu aniqmas integral (qisqacha, integral) ni toping. Ta‘rifga ko‘ra integral shunday funksiyaki, uning hosilasi ( differensiali ) ga teng. Quyidagi funksiya uchun bo‘ladi. Demak, 2-eslatma. funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladigan oraliq ko‘rsatilmagan holda bunday oraliq sifatida funksiyaning aniqlanish oralig‘i tushuniladi. 2. Aniqmas integrallarning sodda xossalari. Aniqmas integralning ta‘rifidan bevosita uning quyidagi sodda xossalari kelib chiqadi. . funksiya aniqmas integrali ning differensiali 9 ga teng, ya‘ni (2) Haqiqatan ham, funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin: . U holda bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: . Bu xossa avval differensial belgisi , so‘ngra integral belgisi kelib, ular yonma-yon turganda o‘zaro biri-birini yo‘qotishini ko‘rsatadi. . Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan o‘zgarmas son yig‘indisiga teng, ya‘ni (3) funksiya ning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin: . U holda tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan, Oxirgi ikki tenglik -xossani isbot etadi. Shunday qilib, (2) va (3) formulalar, differensiallash amali aniqmas integralni topish amaliga nisbatan o‘zgarmas qo‘shiluvchi aniqligida o‘zaro teskari ekanligini ko‘rsatadi. 3. Integrallashning sodda qoidalari. 10 . Agar va funksiyalar boshlang‘ich funksiyalarga ega bo‘lsa, u holda ham boshlang‘ich funksiyalarga ega va (4) formula o‘rinli. Isbot. funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi , funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. U holda ta‘rifga ko‘ra bo‘lib, , bo‘ladi va demak, (5) Agar deb olsak, unda bo‘ladi. Bu esa, funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi ekanligini bildiradi. Demak, (6) Endi (5) va (6) munosabatlardan integral ko‘rinishida, integral esa ko‘rinishida yozish mumkin ekanini ko‘ramiz. Bu munosabatdagi o‘zgarmas sonlarning ixtiyoriyligidan esa 11 hamda ifodalarning biriga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, (4) formula isbotlandi. Odatda, integralning bu (4) formula bilan ifodalangan xossasi uning additivlik xossasi deb ataladi. .Agar funksiya boshlang‘ich funksiyasiga ega bo‘lsa, u holda xam boshlang‘ich funksiyaga ega va da (7) formula o‘rinli bo‘ladi. Isbot. funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. U holda va bo‘lib, (8) bo‘ladi, C-ixtiyoriy o‘zgarmas son.Ushbu (9) bunda, - ixtiyoriy o‘zgarmas son. Endi (8) va (9) munosabatlardan va o‘zgarmas sonlarning ixtiyoriyligi hamda bo‘linishidan (7) formulaning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 3-eslatma. Yuqorida keltirilgan (4) va (7) tengliklarni hamda kelgusida uchraydigan shunga o‘xshash tengliklarni o‘ng va chap tomonlaridagi ifodalar orasidagi ayirma o‘zgarmas songa barobarligi ma‘nosida (o‘zgarmas son aniqligida) tengliklar deb qaraladi. 4. Elementar funksiyalarning aniqmas integrallari. Boshlang‘ich funksiya ta‘rifidan hamda elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan foydalanib elementar funksiyalar aniqmas integrallari jadvalini keltiramiz (har bir formula integral ostidagi funksiyaning aniqlanish sohasida qaraladi): 12 Bazi funksiyalarni boshlang‘ichlari . Bu – -integrallar qisqacha jadval integrallari deb ham aytiladi. Yuqoridagi -formulaning to‘riligini tekshirishda va bo‘lgan hollarni alohida-alohida ko‘rish lozim. bo‘lganda bo‘lib, bo‘ladi. bo‘lganda bo‘lib, 13 bo‘ladi. -formuladan esa bu ikki holni birlashtiradi. Keltirilgan jadval va (4), (7) formulalar bilan ifodalangan qoidalar turli funksiyalarni integrallash imkonini beradi. 1.2 - § . Integrallash usullari 1. O‘zgaruvchilarni almashtirib integrallash usullari Funksiyalarning integrallashni hisoblashda o‘zgaruvchilarni almashtirib integrallash usuli keng qo‘llaniladi. Ushbu aniqmas integralni hisoblash talab etilgan bo‘lsin. Bunda funksiya biror intervalda aniqlangan va (10) ko‘rinishida yozish mumkin deylik. Agar funksiya intervalda boshlang‘ich funksiya ga ega bo‘lib, funksiya intervalda (bunda, ) differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda (11) formula o‘rinli. Bu tasdiqni isbotlash uchun funksiya funksiya uchun boshlang‘ich ekanligini ko‘rsatish yetarli. Haqiqatan, . Tasdiq isbot bo‘ldi. Bu tasdiqdan 14 ko‘rinadiki, ni hisoblash almashtirish yordamida ni hisoblashga keltiriladi. Odatda integralni bunday usul bilan hisoblash o‘zgaruvchini almashtirish usuli bilan integralllash deb ataladi. O‘zgaruvchilarni almashtirish usulining muhim tomoni o‘zgaruvchilarni juda ko‘p usul bilan almashtirish imkoni bo‘lgan holda ular ichidan integralni sodda va hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olishdan iborat. 2. Bo‘laklab integrallash usuli. Ikki va funksiya intervalda uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsin. Bu tenglikdan (12) Endi (12) tenglikni integralllab topamiz: Shunday qilib, quyidagi (13) formulaga kelamiz. Bu (13) formula bo‘lakalab integrallash formulasi deyiladi. U ni integrallashni ni integralllashga olib keladi. Bo‘laklab integrallash formulasidan foydalanish uchun integral ostidagi ifodani hamda lar ko‘patmasi ko‘rinishida yozib olinadi, bunda albatta hamda ifodalarning integrallarini oson hisoblana olishi lozimligini e‘tiborda tutish kerak. 15 II BOB. RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH 2.1 - § . Ratsional funksiyalarni soda kasrlarga ajratish. 1. Ko‘phad va uning ildizlari haqida. Biror (14) Ko‘phad berilgan bo‘lsin, bunda - o‘zgarmas haqiqiy sonlar, esa ko‘phadning darajasi. Ma‘lumki, biror son uchun bo‘lsa, son ko‘phadning ildizi deb ataladi. U holda Bezu teoremasiga ko‘ra ko‘phad ga qoldiqsiz bo‘linib, u quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi, bunda – -darajali ko‘phad. Agar (14) ko‘phad ga qoldiqsiz bo‘linsa, son (14) ko‘phadning karrali ildizi bo‘ladi. Bu holda ko‘phadni ushbu ko‘rinishida ifodalash mumkin, bunda – - darajali ko‘phad. Agar kompleks son ko‘phadning ildizi bo‘lsa, u holda kompleks son ham bu ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Shuningdek, son karrali ildizi bo‘lsa, son ham bu ko‘phadning karrali ildizi bo‘ladi. Demak, ko‘phad kompleks ildizga ega bo‘lganda uning ifodasida ko‘paytuvchi ham qatnashadi. Bunday holda ko‘phadning ifodasida quyidagi 16 kvadrat uchhad ko‘paytuvchi bo‘lib qoladi. Faraz qilaylik, ko‘phad berilgan bo‘lib, lar uning mos ravishda karrali haqiqiy ildizlari, lar esa ko‘phadning mos ravishda karrali kompleks ildizlari bo‘lsin. Bu ko‘phadni uning ildizlariga ko‘ra ko‘paytuvchilarga ajratish haqidagi ushbu teoremani isbotsiz keltiramiz. 1-teorema. Har qanday darajali ko‘phad ( – o‘zgarmas haqiqiy sonlar, ), ushbu ko‘rinishida ifodalanadi, bunda bo‘lib, tenglamalar haqiqiy ildizga ega emas. 2. Sodda kasrlar. To‘g‘ri kasrlarni sodda kasr orqali ifodalash. Ushbu (15) 17 ko‘rinishidagi kasrlar sodda kasr deb ataladi, bunda hamda lar o‘zgarmas sonlar, kvadrat uchhad esa haqiqiy ildizga ega emas. Ma‘lumki, quyidagi va ko‘phadning ( –o‘zgarmas sonlar, ) nisbati kasr ratsional funksiya deyiladi, bo‘lganda esa u to‘g‘ri kasr deb ataladi. Har qanday to‘g‘ri kasr (15) sodda kasr orqali ifodalanadi. Buni isbotlashdan oldin ikkita lemmani keltiramiz. 1-lemma. Agar to‘g‘ri kasr maxrajidagi ko‘phad ushbu ko‘rinishida bo‘lib, ko‘phad esa ga bo‘linmasa, u holda berilgan to‘g‘ri kasr quyidagi ko‘rinishida ifodalaninshi mumkin, bunda – o‘zgarmas haqiqiy sonlar, – ko‘phad. 2-lemma. Agar to‘g‘ri kasr maxrajidagi ko‘phad 18 ko‘rinishiga ega bo‘lib ( kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas), ko‘phad ga bo‘linmasa, u holda berilgan to‘g‘ri kasr quyidagi ko‘rinishda ifodalanishi mumkin: bunda , –o‘zgarmas sonlar, –ko‘phad. 2-teorema. Har qanday to‘g‘ri kasr sodda kasrlar yig‘indisi orqali ifodalanadi. 2.2 - §.Sodda kasrlarni integrallash. Sodda kasrlarning aniqmas integrallarini hisoblaymiz. . sodda kasrning aniqmas integrali: . sodda kasrning aniqmas integrali ham tez hisoblanadi: . sodda kasrning integrali ni hisoblash uchun avval kasrning maxrajida turgan kvadrat uchhadni ushbu 19 ko‘rinishida yozib olamiz. U holda bo‘ladi, bunda . Bu intervalda almashtirish bajaramiz: Demak, bunda –ixtiyoriy o‘zgarmas. . sodda kasrning integrali ni hisoblash uchun – xossadagidek o‘zgaruvchini almashtiramiz: . 20 Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz: Bu munosabatdagi integral rekkurent formula orqali hisoblanadi. 2. Ratsional funksiyalarni integrallash. ratsional funksiya bo‘lib , uning integralini hisoblash talab etilsin. Ma‘lumki, ratsional funksiya ikkita va – butun ratsional funksiyalar nisbatidan iborat, ya‘ni . Agar noto‘g‘ri kasr (suratidagi ko‘phad darajasi maxrajidagi ko‘phadning darajasidan kattta) bo‘lsa, uning butun qismini ajratib, butun ratsional funksiya hamda to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishida quyidagicha ifodalab olinadi: U holda (16) 21 bo‘ladi. (16) munosabatdagi integral butun ratsional funksiya (ko‘phad) ning integrali bo‘lib, u oson hisoblanadi. Demak, noto‘g‘ri kasrni integrallash to‘g‘ri kasrni integrallashga keladi. To‘g‘ri kasrni integrallash uchun avval bu kasrni yuqoridagi isbotda aytilgan teoramadan foydalanib sodda kasrlar orqali ifodalab olinadi. 2.3 - §. Ba‘zi ratsional funksiyalarni integrallash Ikki va o‘garuvchilar berilgan bo‘lib, bu o‘zgaruvchilar yordamida ko‘paytmani tuzamiz. Bu ko‘paytmalardan tuzilgan ushbu funksiya va o zʻ garuvchilarning ko‘phadi deb ataladi, bunda – o‘zgarmas haqiqiy sonlar (koeffitsientlar). hamda lar va o‘zgaruvchilarning ko‘phadlari bo‘lsin. Ushbu nisbat va o‘zgaruvchilarning ratsional funksiyasi deb ataladi va u orqali belgilanadi: Endi, va o‘zgaruvchilarning har biri o‘z navbatida bitta o‘zgaruvchining funksiyalar bo‘lsin. U holda funksiya va funksiyalarning 22 ratsoinal funksiyasi bo‘ladi. Masalan, ushbu funksiya , larning ratsional funksiyasidir, chunki, . Hususan, va larning har biri o‘zgaruvchining ratsional funksiyalari bo‘lsa, u holda ushbu Funksiysi shu o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘ladi. Haqiqatan, o‘zgaruvchining ratsional funksiyalaridan iborat va lar ustida qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish hamda bo‘lish amallari bajarilsa, natijada ning yana ratsional funksiyasi hosil bo‘ladi. 1. ko‘rinishidagi ratsional funksiyalarni integrallash. Ushbu, (17) integralni qaraylik, bunda funksiya va larning ratsional funksiyasidir. Agar funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘lsa, u holda ham o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘ladi va ushbu integral ratsional funksiyalarning integrali bo‘ladi. 23 Agar funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘lmasa, u holda ravshanki , ham o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘lmaydi. Bu holda o‘zgaruvchini almashtirish yordamida ni ratsional funksiyaga keltirish masalasi kelib chiqadi. Agar biz shunday almashtirish topsakki, natijada , lar ning ratsional funksiyalari bo‘lsa, (bunda ham ratsional funksiya bo‘ladi), u holda bo‘lib, integralni hisoblash ushbu ratsional funksiyalarning integrallini hisoblashga keltiriladi. Endi funksiyaning ba‘zi bir konkret ko‘rinishiga ega bo‘lgan hollarini qaraymiz: . (17) integralda bo‘lsin, bunda –o‘zgarmas sonlar, . Bu holda (17) integral quyidagi (18) ko‘rinishini oladi. Endi sonlardan tuzilgan determinant noldan farqli, ya‘ni 24 deb qaraymiz. Agar bo‘lsa, va sonlar, , sonlarga proporsional bo‘lib, nisbat ga bog‘liq bo‘lmaydi va funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘lib qoladi. Shunday qilib, keyingi mulohazalarda deymiz. (18) integralda almashtirish bajaramiz. Natijada bo‘lib, (18) integral ushbu ko‘rinishini oladi. Demak, qaralayotgan 25 integralni hisoblash ushbu ratsional funksiyaning integralini hisoblashga keladi. Misol 1. Ushbu integralni qaraylik. Bu integralni hisoblash uchun deb olamiz. U holda bo‘lib, bo‘ladi. Natijada berilgan integral uchun topamiz: . (17) integralda bo‘lsin, bunda – o‘zgarmas sonlar bo‘lib, kvadrat uchhad teng ildizlarga ega emas. (17) integralni quyidagi (19) ko‘rinishini oladi. Quyida keltiriladigan uchta almashtirish yordamida (19) integral ratsional funksiya integraliga keltiriladi. 26 a) bo‘lsin. Bu holda (19) integralda (20) ( yoki ) almashtirish bajaramiz. (20) tenglikni kvadratga ko‘tarsak, bo‘lib, undan , bo‘ladi. Agar ekanini e‘tiborga olsak, u holda (19) integral ushbu ko‘rinishini oladi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral ostida turgan funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi ekanligi ravshandir. Shunday qilib, (19) integralni hisoblash bo‘lganda (20) almashtirish yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. b) bo‘lsin. U holda (19) integralda (21) ( yoki ) 27 almashtirish bajaramiz. (21) tenglikni kvadratga ko‘tarib, , undan , ni topamiz, shuningdek . Natijada (19) integral quyidagicha yoziladi: Ravshanki, funksiya o‘zgaruvchining ratsional funksiyasidir. Demak, bu holda ham Integralni hisoblash (21) almashtirish natijasida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. 2. Binomial differensiallarni integrallash. Ushbu Differensial ifoda binomial differensial deb ataladi, bunda –o‘zgarmas sonlar, –ratsional sonlar. 28 Binomial differensiallarning (22) integralni qaraymiz. Ravshanki, bu integralni hisoblash –ratsional sonlarga bog‘liq. Mashhur rus matematigi P.L.Chebishev ko‘rsatganki, (22) integral quyidagi uchta 1) –butun son, 2) –butun son, 3) – butun son holdagina ratsional funksiyalarning integrali orqali ifodalanadi. 1) – butun son bo‘lsin. Bu holda va ratsional sonlar (ya‘ni kasrlar) maxrajining eng kichik umumiy bo‘luvchisini orqali belgilab, (22) integralda almashtirish bajarilsa, integral ostidagi funksiya ratsional funksiyaga aylanib, (22) integral ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi. 2) – butun son bo‘lsin. Avval (22) integralda almashtirish bajaramiz. Natijada (22) integral quyidagi (23) ko‘rinishini oladi. Qisqalik uchun deb belgilaymiz. Bu holda –kasr sonning maxrajini bilan belgilab, (23) integralda 29 almashtirish bajarilsa, natijada integral ostidagi ifoda ratsional funksiyaga aylanib, yana (22) integral ratsional funksiya integralini hisoblashga keltiriladi. 3) –butun son bo‘lsin. Yuqoridagi (23) integralni quyidagicha yozib olamiz: Agar keyingi integralda Almashtirish bajarilsa, (22) integral ratsional funksiyalarning integraliga keladi. 2.4-§.Ratsional funksiyalarni integrallashning Ostrogradskiy usuli . Biz yuqoridagi usullarga qo‘shimcha ravishda quyidagi ratsional funksiyani integrallashni Ostrogradskiy usuli bilan tanishamiz. (24) Ostrogradskiy usuli: (25) formula Ostrogradskiy formulasi bo‘lib,bunda funksiya karrali ildizga ega bo‘lib, -to‘g‘ri kasr ratsional funksiya, esa va larning eng kata umumiy bo‘luvchisi, , va koeffitsiyentlar noma‘lum darajalari esa mos xolda va darajalaridan bitta kam. Noma‘lum koeffitsiyentlar (26) ayniyatdan noma‘lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topiladi.Ushbu usulda (25) integralni hisoblashni 30 ko‘raylik.U holda, (27) formulaga asosan (28) deb yozib olamiz.A,B,C,D,E,F noma‘lum koeffitsiyentlarni topish uchun,yuqoridagi (28) tenglikni ikkala tomonini differensiallaymiz. bundan tenglikni o‘ng tomonidagi qavslarni ochib, ko‘pxadlarning o‘zaro tengligi haqidagi xossadan foydalanib, x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarini tenglashtiramiz: bo‘lsa, ekanligini topamiz. No‘malum koeffitsiyentlarni (28) tenglikka olib borib qo‘ysak (29) (30) Ushbu integralni hisoblab (29) tenglikka olib borib qo‘ysak yechimga ega bo‘lamiz: Javob: Demak, ratsional ko‘rinishdagi integralni hisoblashda qulayligi va integralning qisqa yo‘l 31 bilan hisoblash mumkinligini ko‘rsatish mumkin. Xulosa Hozirda respublikamizda ta‘lim sifatiga alohida e‘tibor berilmoqda, juda ko‘p islohotlar olib borilmoqda. Ayniqsa aniq fanlarga alohida ahamiyat qaratilmoqda. Matematika fani ham aniq fanlar qatoriga kirib, bugungi kunda bu yo‘nalish bo‘yicha ko‘plab yutuqlarga erishilmoqda. Bu fanning asosi oliy ta‘lim muassasalarida o‘qitiluvchi “Matematik analiz” fani bo‘lib, hozirda bu fanni o‘qib, o‘rganish va o‘qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushunib yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab etilmoqda. Matematikada ko ‘ p misollar hosila va integral orqali hisoblab topiladi. Bundan ko ‘ rinadiki, “Matematik analiz” kursida integralni hisoblashda ham oson hisoblanadigan, qulay usullarni o ‘ rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko‘zlangan asosiy maqsad esa fan tarixidagi integralni hisoblashga oid bajarilgan ishlar bilan yanada chuqurroq tanishib chiqish va ular 32 orasidan hisoblashda bizga qulaylik tug‘diradigan usullarni tanlab olib, integralni hisoblashda ularni qo‘llash. Chunki integraldan geometrik masalalarni hisoblashda ham foydalaniladi. Ushbu kurs ishida aniqmas integral va ratsional funksiyalarni integrallash va ularni hisoblash usullari chuqur o‘rganildi. Birinchi bobim ikkita rejadan iborat. Birinchi rejam aniqmas integrallar haqidagi ma‘lumotlarga bag‘ishlangan bo‘lib, unda elementar matematikaga oid tushunchalardan foydalanildi. Bu tushunchalar yordamida aniqmas integral atamasi yoritilib berildi. Ikkinchi reja esa integrallash usullari haqida yozilgan. Bu usullarni har biriga misollar keltirilib tushuntirilgan. Ikkinchi bobim esa ratsional funksiyalarni integrallash haqida bo‘lib, bu bob uchta rejadan iborat. Birinchi rejada ratsional funksiyalarni integrallash haqida ma‘lumotlar berilgan. Ularni hisoblashda foydalaniladigan formulalar keltirilgan. Ikkinchi rejada ratsional funksiyalarning xossalari haqida tushunchalar berilgan. Barcha xossalari keltirilgan. Uchinchi rejada esa ba‘zi ratsional funksiyalarni integrallash usullari berilgan va barcha kerakli ma‘lumotlar keltirilgan. Kurs ishida mavzular yuzasidan ham nazariy ham amaliy ma‘lumotlar berilgan. Bu ma‘lumotlardan akademik litsey va oliy ta‘lim muassasalarida foydalanilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi deb o‘ylayman. Chunki talabalar o‘zlariga kerakli ma‘lumotlarni oladilar. Kurs ishida keltirilgan misollar eng oson va tushunarli usulda ishlangan. Bu kurs ishini yozish davomida ko`p bilimlar orttirdim. Bilmaganlarimni o`rgandim. Ushbu na‘munalar yordamida misollarni qiyinchiliksiz ishlash mumkin. 33 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati 1.Азларов Т., Мансуров Х. Математик анализ асослари. Т. 1,2-қимлар. 1 980 yil . 2. A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil. 3.T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T: “Universitet” 2007 yil. 4.G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil. 5.B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil. Elektron ta’lim resurslari 1. http:// www.arki.ru / 2. http:// www.lib.ru / 34 3. http://www.edunet.uz/ 4. http:// www.study.uz / 5. http:// www.ziyonet.uz / 35
Sotib olish