Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 835.9KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Aniqmasliklar. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi

Sotib olish
Aniqmasliklar. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi Farg‘ona 2026 MUNDARIJA KIRISH ............................................................................................................................................................... 2 Kurs ishining dolzarbligi Matematik analiz kursida funksiya limiti va hosila tushunchalari fundamental asos hisoblanadi. Amaliyotda, xususan, fizika, iqtisodiyot va muhandislik modellarini yaratishda ko‘pincha argument ma’lum bir qiymatga intilganda funksiyaning o‘zi aniq bir qiymatga ega bo‘lmaydigan, ya’ni yoki ko‘rinishidagi aniqmasliklar yuzaga keladi. Bunday funksiyalarning limit holatidagi xarakterini o‘rganish o‘ta muhimdir. .............................................................................................................................. 3 Kurs ishining obyekti. Matematik analizdagi funksiya limiti tushunchasi va limitlarni hisoblash jarayonida yuzaga keladigan turli ko‘rinishdagi aniqmasliklar (funksional munosabatlar). ............................................ 4 Kurs ishining predmeti. Ushbu ko‘rinishidagi aniqmasliklarni ochishda differensial hisob (hosila) va Lopital qoidasini qo‘llash metodikasi, algoritmlari hamda cheklovlari. .................................................................... 4 ASOSIY QISIM .................................................................................................................................................... 5 Funksiya va uning limiti ..................................................................................................................................... 5 2. Aniqmas ifodalar .......................................................................................................................................... 7 3. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi ................................................................................................. 12 Xulosa ............................................................................................................................................................. 26 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .................................................................................................................... 28 1 KIRISH O‘zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan tub islohotlar, jamiyatda ijtimoiy-siyosiy va iqtisodiy rivojlanishning o‘ziga xos yo‘li, tanlov, shuningdek, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” g‘oyasi va talablari asosida dunyo talablariga javob beradigan uzluksiz ta’lim tizimning shakllanishi uchun qulay sharoitlar yaratdi. Ta’lim yetakchi va aniq maqsadga yo‘naltirilgan davlat jamiyatning barqaror rivojlanishini ta’minlaydigan ijtimoiy siyosat yo‘nalishlaridan biri sifatida tan olindi. Ushbu yo‘nalishda amalga oshiriladigan muhim choralar qatorida yangi avlod mutaxassislari ham boy shakllantirish, ma’naviy va axloqiy yetuklik, mustaqil dunyoqarash, ijodiy mutafakkir, boy milliy meros, shuningdek umuminsoniy va milliy qadriyatlarga sodiq bo‘lgan yetuk insonni tarbiyalash funksiyalari aniqlangan. Jamiyatdagi islohotlar soha talablariga to‘liq mos keladi. Raqobatbardosh, keskin o‘zgarishlarga moslashuvchan, shuningdek, mehnat bozoridagi mutaxassislarning malakasiga qo‘yiladigan talablar ta’sirchan shaxsni shakllantirishda muammo tug‘dirmoqda. O‘qituvchi kasbi umrbod davom etadigan kasb hisoblanadi. Inson paydo bo‘lgandan buyon u o‘z tajribasini o‘rgatishga xohish va extiyoj sezgan. Bu vazifani bajarish, asosan katta tajribalilar zimmasiga tushgan. O‘qituvchi kasbining xususiyatlaridan biri uning jamiyatda o‘rgatuvchi, ustoz deb belgilanishidir. O‘qituvchi jamiyat o‘sib kelayotgan shaxs o‘rtasidagi vositachisidir. Shuning uchun ham o‘qituvchi jamiyatda eng qiyin jarayonni boshqaradi- bu shaxsni shakllanishi jarayonidir. Bu jarayonni qiyinligi tarbiyalanuvchi shaxsning o‘zgaruvchanligidadir. Mustaqillikka erishilgan kundan boshlab, maktablarga o‘qituvchi murabbiylarga ularni moddiy ma’naviy rag‘batlantirish, yordam berish masalalariga e’tibor kuchaytirildi. Chunki o‘qituvchi mehnatini hech narsaga tenglashtirib bo‘lmaydi. Har kim ham bu kasbning egasi bo‘la olmaydi, o‘qituvchi bo‘lib faqat shu kasbning fidoyisi bo‘lganlardagina ishlay olishi mumkin va shundaylarni hamma e’zozlab hurmat bilan boshiga ko‘tarishi mumkin. 2 Respublikamiz birinchi Prezidenti I.A.Karimovning ushbu aytgan so‘zlari o‘qituvchilarga bo‘lgan hurmatni yanada orttirib, bu kasbni qanchalik sharafli ekanligini yana bir bor ta’kidlaydi: «O‘z-o‘zini el ishiga bag‘ishlagan, inson tarbiyasiga jon tikkan oliyjanob o‘qituvchilarni, mo‘tabar muallimlarni bundan buyon ham boshimizga ko‘taramiz», chunki muallim va ustoz shunday zotki, u har qanday insonning ruhini tarbiyalaydi, ma’naviy boylik bilan to‘ldiradi. Har qanday ruhiy va ma’naviy kamchilik va illatlardan poklaydi, jaholat degan buyuk aybdan holi va ozod etadi. Muallim va ustoz shunday zotki u imkoniyatni ilm bezagi bilan ziynatlaydi, ularga chiroyli va yoqimli fazilatlar bilan chiroy va oro beradi, tushuntirish bilan foydasiz narsalardan odamni xalos etadi, insonni haqiqiy komil insonlik darajasiga yetkazuvchi bilim xazinasini ularning qalbiga joylaydi. Kurs ishining dolzarbligi Matematik analiz kursida funksiya limiti va hosila tushunchalari fundamental asos hisoblanadi. Amaliyotda, xususan, fizika, iqtisodiyot va muhandislik modellarini yaratishda ko‘pincha argument ma’lum bir qiymatga intilganda funksiyaning o‘zi aniq bir qiymatga ega bo‘lmaydigan, ya’ni yoki ko‘rinishidagi aniqmasliklar yuzaga keladi. Bunday funksiyalarning limit holatidagi xarakterini o‘rganish o‘ta muhimdir. Aniqmasliklarni an’anaviy algebraik usullar (ko‘paytuvchilarga ajratish, qo‘shmasiga ko‘paytirish) bilan ochish har doim ham imkonli yoki qulay bo‘lavermaydi, ayniqsa transsendent (ko‘rsatkichli, logarifmik, trigonometrik) funksiyalar qatnashgan holatlarda. Lopital qoidasi esa hosila tushunchasiga tayanib, murakkab aniqmasliklarni yechishning eng universal, samarali va algoritmlashgan usuli hisoblanadi. Ushbu kurs ishida aniqmasliklarning turlari, ularni Lopital qoidasi yordamida ochish mexanizmlari va qoidaning qo‘llanilish chegaralarini chuqur tadqiq etish mavzuning dolzarbligini belgilaydi. Kurs ishining maqsadi va vazifalari Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi — matematik analizning muhim vositalaridan biri bo‘lgan Lopital qoidasini chuqur o‘rganish, uning qo‘llanilish shartlarini aniqlash, har xil noaniqlik turlarini ochib 3 berish hamda u orqali limitlarni hisoblashda yuzaga keladigan aniqmaslik holatlarini to‘g‘ri aniqlash va yechish yo‘llarini tushuntirishdan iborat. 1. Lopital qoidasining nazariy asoslarini o‘rganish va uning matematik isbotini ko‘rib chiqish. 2. Noaniqlik tushunchasini aniqlashtirish va uni yuzaga keltiradigan matematik holatlarni tasniflash. 3. Lopital qoidasining qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan holatlari (masalan, , turlari) va mumkin bo‘lmagan holatlarini (masalan, , kabi) ko‘rsatish. 4. Turli aniqmaslik turlarini Lopital qoidasiga keltirish usullarini tahlil qilish va amaliy misollar bilan ko‘rsatish. 5. Lopital qoidasiga muqobil yondashuvlarni (masalan, Taylor qatorlari, grafik analiz, sondagi yaqinlashuv usullari) qisqacha tahlil qilish. 6. Mavzuga oid amaliy misollarni yechish va ularning natijalarini tahlil qilish orqali qoida qo‘llanilishining samaradorligini ko‘rsatish. 7. Nazariy bilimlarni amaliy masalalarda qo‘llash malakasini rivojlantirish va limitlar mavzusini o‘rganish. Kurs ishining obyekti . Matematik analizdagi funksiya limiti tushunchasi va limitlarni hisoblash jarayonida yuzaga keladigan turli ko‘rinishdagi aniqmasliklar (funksional munosabatlar). Kurs ishining predmeti . Ushbu ko‘rinishidagi aniqmasliklarni ochishda differensial hisob (hosila) va Lopital qoidasini qo‘llash metodikasi, algoritmlari hamda cheklovlari. 4 ASOSIY QISIM Funksiya va uning limiti Aytaylik, va ha qiqiy sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin. 1.1-ta’rif . Agar to‘plamning har bir elementiga to‘plamning yagona elementi mos qo‘yilsa, u holda bu moslik funksiya deyiladi va uni kabi yoziladi. Bu yerda − erkli o‘zgaruvchi (argument); −erksiz o‘zgaruvchi ni ga mos qo‘yuvchi qoida. 1.2-ta’rif . Argument ?????? ning berilgan funksiya ma’noga ega bo‘ladigan qiymatlar to‘plamiga funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va uni bilan belgilanadi. 1.3-ta’rif . ning o‘zgarishiga ko‘ra ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plamiga funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi va uni bilan belgilanadi. Funksiyaning limiti berilgan funksiya nuqtaning shu nuqtani o‘zi kirishi shart bo‘lmagan biror atrofida aniqlangan bo‘lib, biror haqiqiy son bo‘lsin. Agar ixtiyoriy son uchun shunday son topilib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, u holda sonini funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi. kabi belgilanadi. Umuman ?????? argument ?????? ga o‘ngdan yoki chapdan intilishi mumkin. Agar bu limitlar mavjud bo‘lsa, ular mos ravishda ?????? ( ?????? ) funksiyaning o‘ng va chap limitlari deyiladi va ularni va ko‘rinishda yozamiz. Agar bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada limitga ega deyiladi. Cheksiz katta va cheksiz kichik miqdorlar. 5 Agar ga intilganda yoki bo‘lsa, u holda funksiyani cheksiz katta funksiya deymiz. Agar bo‘lsa funksiyani cheksiz kichik funksiya deb ataymiz. Funksiya limitining xossalari Agar , bo‘lsa, u holda 1. 2. 3. 4. Misol . hisoblang. Yechish: 3-xossaga ko‘ra hisoblaymiz. Bundan esa 1/5 degan javobga kelamiz. Mustaqil bajarish uchun misollar. Eslatma. Bu misollar ham namunadagi misol kabi ishlanib, 4 ta xossadan foydalanib ishlash kerak bo‘ladi. 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. 6 2. Aniqmas ifodalar Aniqmasliklar, aniqmasliklarning turlari va ularni ochishni o‘rganish matematik analiz fanida muhim ahamiyatga ega. Umuman olganda, aniqmasliklarga olib keladigan hollar, ularga uzviy bog‘liq bo‘lgan tushunchalarni o‘rganish, aniqmasliklarlarni turlarini va ularni bartaraf etishning qulay usullari izlab topish matematiklarning e’tiborini tortishi kerak. Biz ularning ustida izlanishlar olib borar ekanmiz, fan doirasida muhim, amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan ishlarni amalga oshirishimiz mumkin. Biz funksiyalarning limitini o‘rganish jarayonida ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish bilan shug‘ullangan edik. Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda, berilgan aniqmasliklarni ochish masalasi yengillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarinng bayoni bilan shug‘ullanamiz. Matematikada ko‘p hollarda ifodalar limitga ega bo‘ladi – ya’ni biror son yoki qiymatga intiladi. Biroq bazi hollarda ifodaning limitini aniqlash to‘g‘ridan - to‘g‘ri bo‘lmaydi, chunki u aniqmas shaklga kiradi. Aniqmaslik - bu ifoda shaklan mavjud bo‘lsa ham, uning limitini aniqlash uchun qo‘shimcha tahlil qiladigan holatdir. Bizga va ketma - ketliklar berilgan bo‘lsin. Bu ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib, , , ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda va ketma – ketliklarning limitlariga nisbatan quyidagi shartlar bajariladi. 1) va ketma – ketliklarning limitlari chekli; 2) ketma – ketliklarning limitiga oid mulohazada . 7 Endi bu shartlar bajarilmagan holda , , ketma – ketliklarning limitini o‘rganamiz. 1. ko‘rinishidagi aniqmaslik. , bo‘lsin. bo ‘ lganligi uchun ning limitiga tatbiq qilinmaydi . va ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlikning xarakteri va ketma – ketliklardan tuzilgan har birining nolga qanday intilishiga qarab turlicha bo ‘ lishi mumkin . Buni quyidagi misollarda ham ko ‘ rish mumkin . 1. va ketma – ketliklarning limitlari 0 teng ekanligi ravshan. Endi ketma – ketlikni tuzaylik. . Demak, 1. va ketma – ketliklarning har birining limiti 0 ga teng. Bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlik limitga ega emas. Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki, va ekanligini bilgan holda, bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlikning limiti to‘g‘risida tayin xulosaga kelib bo‘lmaydi. Shuning uchun , bo‘lganda, ketma – ketlik ko‘rinishdagi aniqmas ifoda yoki aniqmaslik deyiladi. 8 va da xarakterini aniqlash aniqmaslikni ochish deyiladi. Biz yuqorida ko‘rgan misollarda aslida tegishli aniqmasliklarni ochib berdik. 1. ko‘rinishdagi aniqmaslik. va ketma – ketliklardan har birining limitlari cheksiz bo‘lsin. , . Bu holda ham ketma – ketlikning xarakteri qanday bo‘lishini yuqoridagidek aytib bo‘lmaydi. Buni misollarda ko‘raylik. 1. ketma – ketliklardan har birining limiti cheksiz bo‘ladi. . Bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlikning limiti ham cheksizdir. . 1. va ketma – ketliklardan har birining limiti cheksiz bo‘lib, bu ketma – ketliklardan tuzilgan ketma – ketlik limitga ega emas. Bu misollardan ko‘rinadiki, va ketma – ketliklardan har birining limiti cheksiz bo‘lgan holda, bu ketma – ketliklar nisbatidan tuzilgan ketma – ketlikning limiti to‘g‘risida tayin xulosaga kelib bo‘lmaydi. Shuning uchun da ketma – ketlik ko‘rinishdagi aniqmas ifoda yoki aniqmaslik deyiladi. Bu holda ham da ning xarakterini 9 aniqlash aniqmasliklarni ochish deyiladi. Ko‘rilgan misollarda tegishli aniqmasliklar ochib berildi. 1. ko‘rinishidagi aniqmaslik. va ketma – ketliklar berilgan bo‘lib, bo‘lsin. Bu holda ham ketma – ketlikning limitini xarakterlaydigan misollar ko‘raylik. 1. ketma – ketliklarning limiti mos ravishda va dir. Bu ketma – ketliklar ko‘paytmasidan tuzilgan ketma – ketlikning limiti bo‘ladi. 2. , bo‘lsin. Ularning limiti mos ravishda va bo‘lib bu ketma – ketliklar ko‘paytmasidan tuzilgan ketma – ketlik limitga ega emas. Demak, bo‘lgan holda ketma – ketlikning xarakteri turlicha bo‘ladi. Shuning uchun bo‘lishini bilgan holda ning limiti haqida aniq xulosaga kelib bo‘lmaydi. Shu sababdan da ketma – ketlik ko‘rinishidagi aniqmas ifoda yoki aniqmaslik deyiladi. 4. ko‘rinishidagi aniqmaslik. va ketma – ketliklar berilgan bo‘lib, ular turli ishorali cheksizga intilsin, masalan, deylik. Bu ketma – ketliklar yig‘indisidan tuzilgan ketma – ketlikdan xarakteri ham turlicha bo‘lishi mumkin. Buni misollarda qaraylik. ketma – ketliklar uchun bo‘lib, bo‘ladi. 10 va ketma – ketliklar uchun va bo‘lib, bu ketma – ketliklar yig‘indisidan tuzilgan ketma – ketlik limitga ega emas. Yuqoridagi kabi, bu holda ham , da ketma – ketlik aniqmaslikni ifodalaydi. Bu aniqmaslik ko‘rinishidagi aniqmas ifoda yoki aniqmaslik deyiladi. Mavzuga doir mustahkamlash uchun misollar 1. 11. 2. 12. 3. 13. 4. 14. 5. 15. 6. 16. 7. 17. 8. 18. 9. 19. 11 10. 20. 3. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi Hosilalardan foydalanib aniqmasliklarni ochish Lopital qoidasi deb ataladi. Biz quyida aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi bilan shug‘ullanamiz. 1. ko‘rinishidagi aniqmaslik. Ma’lumki, da bo‘lsa, nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha da nisbatning limitini topishga qaraganda nisbatning limitini toppish oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitining tengligini quyidagi teorema ko‘rsatadi. 3.1-teorema . intervalda aniqlangan, uzluksiz va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin: 1) , ; 2) da chekli va hosilalar mavjud va ; 3) ( chekli yoki cheksiz ) U holda tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. hamda funksiyalarning nuqtadagi qiymatlari 0 ga teng ya’ni , deb olsak, natijada , (1) tengliklar o‘rinli bo‘ladi. nuqta olib, segmentda va funksiyalarni qaraymiz. Bu segmentda va funksiyalar Koshi 12 teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. U holda Koshi teoremasiga ko‘ra bilan orasida shunday nuqta topiladiki, ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan esa (1) ga ko‘ra bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, da . Demak, Ushbu limitni hisoblang. Bu holda bo‘lib, ular uchun teoremaning barcha shartlari bajariladi. Haqiqatan ham, 1) 2) 3) bo‘ladi. U holda teoremaga ko‘ra 13 Shu teoremadan, ya’ni Lopital qoidasidan foydalanib, muhim limitni osonlik bilan isbotlash mumkin. Haqiqatan, Eslatma . Yuqorida keltirilgan teoremaning 3-sharti bajarilmaganda, ya’ni da va funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lib, da nisbatning limiti mavjud bo‘lmaganda ham mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan, bo‘lsin. Bu funksiyalar uchun bo‘lib, da nisbat limitga ega emas. 3.2-teorema. intervalda aniqlangan va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin: 1) , 2) da chekli va hosilalar mavjud va 3) ( chekli yoki cheksiz). U holda tenglik o‘rinli bo‘ladi. 14 Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi sonni musbat deb olish mumkin. o‘zgaruvchini ushbu formula yordamida o‘zgaruvchiga almashtiramiz. U holda da . Natijada va funksiyalar o‘zgaruvchining va funksiyalari bo‘lib, ular intervalda aniqlangan. Teoremaning 1- sharti quyidagi ko‘rinishni oladi. intervalda va funksiyalar hosilalarga ega. Haqiqatan ham, murakkab funksiya hosilasi haqidagi teoremaga ko‘ra topamiz: Bu munosabatlardan hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi. So‘ngra 15 bo‘lishidan esa ning mavjudligi va ekanini topamiz. Shunday qilib, intervalda aniqlangan va funksiyalar uchun quyidagiga egamiz: 1) 2) intervalda hosilalar mavjud va 3) U holda yuqorida isbot etilgan teoremaga ko‘ra bo‘ladi. Keyingi tenglikdan esa bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi. Misol. Ushbu limitni hisoblang. Bu holda bo‘lib, ular uchun teoremaning barcha shartlari bajariladi, jumladan 16 bo‘lib, bo‘ladi. Teoremaga ko‘ra 2. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, da bo‘lsa, nisbat ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Bunday aniqmaslikni ochishda ham va funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkin. 3.3-teorema . intervalda va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin: 1) 2) intervalda chekli va hosilalar mavjud va 3) ( chekli yoki cheksiz). U holda tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. ning chekli hamda cheksiz bo‘lgan hollarini alohida-alohida qarab o‘tamiz. 17 a) bo‘lib, - chekli bo‘lsin. Limit ta’rifiga ko‘ra, olinganda ham ga ko‘ra shunday son topiladiki, tengsizliklar bajarilganda tengsizlik ham bajariladi. Ushbu tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va tayinlangan nuqtalarni olib, segmentda va funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llaymiz. U holda tenglik o‘rinli bo‘lib, bunda bo‘ladi. Ravshanki, bu nuqta ga bog‘liqdir. Teoremaning bo‘lishi shartiga asoslanib deb olsak bo‘ladi. Endi yuqoridagi tenglikning chap tomonida turgan nisbatni quyidagicha yozib olamiz. U holda yuqoridagi munosabat ushbu 18 ko‘rinishga keladi. tenglikning o‘ng tomonidagi nisbat da ga intiladi: Endi deb belgilaylik. Ravshanki, miqdor ga va u orqali va nuqtalarga bog‘liq bo‘lib, bo‘lganda munosabatga ko‘ra tengsizlikni qanoatlantiradi. tenglikdagi nisbat, nuqta tayinlangan holda, da ga intiladi, ya’ni Endi 19 deb belgilasak, u holda bo‘ladi. Demak, o‘sha olinganda ham ga ko‘ra shunday son topiladiki, bo‘lganda tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Agar va sonlarning kichigini deb olsak, unda uchun va tengsizliklar bir vaqtda o‘rinli bo‘lib, tengsizlik bajariladi. Demak, olinganda ham shunday son topiladiki, bo‘lganda bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. 20 b) bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko‘ra olinganda ham shunday son topiladiki, bo‘lganda bo‘ladi. Yuqoridagi a) holidagidek tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyori va tayin nuqtalarni olamiz. Bundan va demak, tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, bo‘lganidan jumladan, uchun shunday son topiladiki, bo‘lganda bo‘ladi. Keyingi tengsizlikdan esa 21 bo‘lishi kelib chiqadi. Yuqoridagi tenglikdan topamiz: Endi deb olsak, u holda bo‘lganda yuqoridagi tengsizliklar baravariga o‘rinli bo‘ladi. Natijada bo‘lganda bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi. Teorema. intervalda va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin: 1) 2) intervalda chekli hosilalar mavjud va ; 3) ( chekli yoki cheksiz). U holda 22 bo‘ladi. Bu teorema yuqorida keltirilgan teoremaga o‘xshash isbotlanadi. 3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, bo‘lganda ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib, uni quyidagicha yozish orqali yoki ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shuningdek, bo‘lganda ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidagicha o‘zgartirish natijasida ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida hamda ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochishda, ularni yoki ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirilib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi. Ma’lumki, da funksiya va ga, funksiya esa mos ravishda va ga intilganda darajali-ko‘rsatkichli ifoda ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishidagi aniqmasliklarni ochish uchun avval ni logarifmlanadi: 23 da ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Faraz qilaylik, da aniqmas ifodani o‘zgartirib, yuqoridagi teoremalardan birini (Lopital qoidasini) qo‘llanib ( chekli yoki cheksiz) bo‘lishini topdik, deylik. Unda bo‘ladi. Eslatma. Agar va funksiyalarning va hosilalari ham va lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi. Misol. Ushbu limitni hisoblang. Ravshanki, da ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslik. Sodda hisoblashlar yordamida topamiz: 24 Demak, 25 Xulosa Ushbu kurs ishida avvalo aniqmasliklar va ularni ochishni o‘rganish haqida g‘oya va ma’lumotlar keltirdim. Unda quyidagilarga e’tibor qaratdim: 1.Funksiya limitini hisoblash 2. Aniqmasliklarning ta’rifini o‘rganish va turlarini farqlash. 3.Aniqmasliklarni ochishning qulay usullarini o‘zlashtirish. Biz aniqmasliklar va ularni ochish mavzusini o‘rganar ekanmiz, kurs ishida funksiyaning limiti hamda aniqmasliklarning ta’rifi, ularning ko‘rinishi, turlari, aniqmasliklarni ochishning qulay usullari, jumladan, Lopital qoidasiga ko‘ra aniqmasliklarni ochishni o‘z rejalarimda yoritishga harakat qildim. Mavzu doirasida unga bevosita taaluqli bo‘lgan amaliy ma’noga ega bo‘lgan hosila, limit tushunchalar, ajoyib limitlar va ularni ta’riflarini ko‘rib chiqdim. Shuningdek, ta’kidlash joizki, aniqmasliklar va ularni Lopital qoidasi yordamida ochish matematik analiz fani doirasida ham o‘z muhim ahamiyatiga ega hisoblanadi. Biz bu mavzuni chuqur o‘zlashtirish orqali, o‘z ustimizda ishlab, soha taraqqiyotiga munosib xissamizni qo‘shishimiz kerak. Ushbu kurs ishida matematik analizning muhim mavzularidan biri — Lopital qoidasi va uning limitlar hisobidagi o‘rni chuqur tahlil qildim. Ayniqsa, limitlarni hisoblashda uchraydigan aniqmasliklar (noaniqliklar) turlari, ularni qanday aniqlash va Lopital qoidasini to‘g‘ri qo‘llash shartlari batafsil yoritdim. Lopital qoidasining asosiy maqsadi — yoki ko‘rinishidagi limitlarni hisoblashni soddalashtirishdir. Bu qoida shunchaki formulani yodlash emas, balki u mavjud bo‘lgan shartlarni chuqur tushunishni talab qiladi. Har qanday aniqlanmagan ifoda uchun Lopital qoidasini to‘g‘ridan-to‘g‘ri qo‘llash mumkin emas. Amaliy misollar yordamida qoida qanday ishlashi ko‘rsatildi va uni noto‘g‘ri qo‘llash natijasida yuzaga keladigan xatoliklar muhokama qilindi. Shuningdek, Lopital qoidasiga muqobil bo‘lgan ba’zi usullar (masalan, Taylor qatori yoki grafik yondashuv) ham qisqacha ko‘rib chiqildi.Umuman olganda, Lopital qoidasini puxta o‘zlashtirish — bu nafaqat limitlarni hisoblash malakasini oshiradi, balki talabani aniqmaslik turlarini farqlash, matematik fikrlashni chuqurlashtirish, 26 hamda murakkab ifodalarni soddalashtirishga o‘rgatadi. Kurs ishining nazariy va amaliy qismi bu maqsadlarga erishishda samarali asos bo‘lib xizmat qiladi deyish mumkin. 27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz. T., 1994. 2. Y.Y.Soatov. Oliy matematika asoslari. T.: O‘zbekiston nashriyoti, 1998. 3. Azlarov T. A., Mansurov X. T. Matematik analiz. I, II tom 1994, 1995. 4. G. Xudoyberganov, A. Vorisov, X. Mansurov . “Matematik analiz” . Nasaf nashriyoti. 2003. 5. A.Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Varisov, R. G‘ulomov Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami I, II tom. O ` zbekiston , 1993, 1995. 6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М. Наука 1977 7. Кудряцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. Сборник задач по математическому анализу. М. Наука 1986. 8. Азларов Т. А., Мансуров Х. Математик анализ, I -қисм. — Т., Ўқитувчи, 1986. 9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М. Наука, 1977 ва бошқа йилларда нашрлари. 10. Кудрявцев Л. Д., Куташов А. Д., Чехлов В. Н., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. Л. Д. Кудрявцев таҳрири остида. — М.: Наука, 1984. 11. Кудрявцев Л. Д., Куташов А. Д., Чехлов В. Н., Шабунин М. И. Интеграл. Ряд. Л. Д. Кудрявцев — М. Наука, 1986. 12. www . ziyoNET . uz 13. www . referat . uz 14. www.arxiv.uz 28
Sotib olish