Bessel funksiyalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	386.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	29 May 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Bessel funksiyalari

Sotib olish

MAVZU: BESSEL FUNKSIYALARI
MUNDARIJA:
I. KIRISH
II. ASOSIY QISM
2.1. Birinchi turdagi Bessel funksiyalari
2.2. Ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari
2.3. Bessel funksiyalarining ayrim xususiy holatlari.
2.4. Ixtiyoriy funksiyani Bessel funksiyalari bo‘yicha qatorga yoyish.
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

2.1. Birinchi turdagi Bessel funksiyalari
Ushbu
yoki
tenglama Bessel tenglamasi deyiladi, bunda ν o‘zgarmas son
tenglamaning indeksi deb ataladi. (22) tenglamani (15) gipergeometrik
tenglamadan keltirib chiqarish qiyin emas. Buning uchun
va da quyidagi tenglama hosil bo‘ladi:
4

Bu tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglamada almashtirish
bajarib, desak,
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama esa (22) Bessel
tenglamasining o‘zginasidir. bo‘lsin. Keyingi hisoblashlarni
soddalashtirish maqsadida (22) tenglamada
almashtirish bajarilsa, z funksiyani aniqlash uchun quyidagi
tenglamaga ega bo‘lamiz:
Bu tenglamaning yechimini
5

darajali qator ko‘rinishida izlaymiz. Bundan:
Hosil bo‘lgan qatorlarni (23) tenglamaga qo‘yib, quyidagi
tenglikni hosil qilamiz:
Aniqmas koeffitsiyentlar usuliga asosan, x ning barcha darajalari
oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglaymiz.
6

(24) va (25) ga asosan
Umuman,
Shunday qilib, (23) tenglamaning yechimi ushbu qator bilan
ifodalanadi:
7

Bunda — o‘zgarmasni ixtiyoriy tanlab olish mumkin. Dalamber
belgisiga asosan, (26) qatorining x ning barcha qiymatlarida
yaqinlanuvchi bo‘lishini tekshirib ko‘rish qiyin emas.
Darajali qatorni xadlab differensiallash (yaqinlashish oralig‘i
ichida) hamma vaqt qonuniy bo‘lgani uchun (26) qator bilan ifodalangan
$z$ haqiqatan ham (23) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Odatda o‘zgarmas
deb tanlab olinadi.
Tengliklarni e’tiborga olsak, z quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
8

(22) tenglamaning yechimi funksiyadan iboratdir. Bu
funksiyani orqali belgilab olamiz. Demak,
funksiyasi birinchi turdagi v indeksli yoki v tartibli Bessel
funksiyalari deyiladi. Ayrim adabiyotlarda bu funksiyalar tsilindrik
funksiyalar deb ham ataladi.
da esa
9

Umuman butun musbat v larda
(28) va (29) formulalardan ko‘rinamdiki, ν = 0 yoki ixtiyoriy butun
va juft ν lar uchun J(x) funksiya juft funksiyadan iboratdir.
Izox. ν kasr bo‘lganda x < 0 lar uchun J(x) funksiya, umuman
aytganda, mavhum qiymatlarni qabul qiladi. (27) ga qaralsin).
Mavhum qiymatlar bilan ish ko‘rmaslik uchun J(x) ni (ν kasr
bo‘lganda) x ≥ 0 lar uchun tekshiramiz.
(22) tenglamada ν indekster ehtiyotkaligini tufayli yuqoridagi
mulohazalar ν ni −ν bilan almashtirganda ham (22) tenglamaning
yechimiga olib keladi.
(27) da ν ni −ν ga almashtirsak
10

funksiya hosil bo‘ladi. funksiya ham birinchi turdagi −ν
indeks Bessel funksiyasi deyiladi.
funksiyalar ν indeks butun bo‘lmaganda chiziqli
bog‘liq bo‘lmaydi, chunki bu funksiyalarni ifodalovchi (27) va (30)
qatorlarning boshlang‘ich hadlari noldan farqli koeffitsientlarga ega
bo‘lib, x ning turli darajalarini o‘z ichiga oladi.
Shunday qilib, butun bo‘lmagan indeks uchun (22) tenglamaning
umumiy yechimi quyidagidan iborat:
bu yerda — ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
11

2.2. Ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari.
Agar ν butun son bo‘lsa, lar uchun ifoda
nol yoki manfiy butun qiymatlarga teng bo‘ladi.
Demak ning bu qiymatlarida bo‘ladi, shuning
uchun ham (30) qatordnnng mos hadlarini nolga teng deb hisoblaymiz.
Shunday qilib, butun ν lar uchun
yoki, desak,
Demak, butun son bo‘lgan holda (32) ga asosan va
funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘ladi, ya’ni bu holda, aslini olganda
(22) tenglama bitta xususiy yechimga ega bo‘ladi. Shuning uchun (31)
Bessel tenglamasining umumiy yechimi bo‘la olmaydi. (22) tenglamani
12

ikkinchi xususiy yechimini aniqlash uchun kasr lar uchun (31) dan
va o‘zgarmaslarni maxsus tanlab, ushbu
funksiyani tuzamiz butun bo‘lganda (33) formulaning surati
ga teng bo‘lib, bu ifoda (32) ga asosan nolga teng,
maxraji ham nolga teng bo‘ladi, ya’ni (33) aniqmaslikdan iborat bo‘ladi.
butun songa intilib, bu aniqmaslikni ochamiz. Lopital qoidasiga
asosan
13

Oxirgi ifodada va o‘rniga ularni ifodalovchi (27), (30)
qatorlarni qo‘yib, u bo‘yicha differensiallab, so‘ngra o‘rniga butun
sonni qo‘ysak, bir qator hisoblashlardan keyin (bu hisoblashlar ancha
mayda va -funksiyaning maxsus xossalari bilan bog‘liq bo‘lgani
uchun ularni keltirmadik), quyidagini hosil qilamiz:
- ,
bu yerda C = 0.577215664 — Eyler o'zgaruvchisi. Xususiy n = 0
bo'lgan holda
funksiyani bo'lganda (22) tenglamaga qo'yib,
haqiqatdan ham bu tenglamaning yechimi ekanligiga ishonch hosil
qilamiz. Shu bilan birga va funksiyalarining chiziqli bog'lik
bo'lishi mumkin emas, chunki bularning birinchisi chekli qiymatga ega,
14

ikkinchisi esa cheksizlikka aylanadi. Demak, funksiyasi (22)
tenglamaning ikkinchi xususiy yechimi bo'ladi.
(34) formula bilan aniqlangan ikkkinchi turdagi n -tartibli Bessel
funksiyasi yoki Veber funksiyasi deyiladi.
Bessel tenglamasining butun bo'lganda umumiy yechimi
ushbu}
formula bilan aniqlanadi. Bunda, va — ixtiyoriy
o'zgaruvchilar.
Turli indeksli Bessel funksiyalari orasidagi munosabatlar.
Ixtiyoriy uchun ushbu
15

formulalar o'rganiladi. Huddi shunga o'xshash formulalar ikkinchi
turdagi mos funksiyalar uchun ham to'g'ri bo'ladi.}
(35) formula o‘rniga uning (27) ifodasini qo‘yish natijasida
darhol kelib chiqadi. Haqiqatan ham
Xuddi shunga o‘xshash (36) formula isbotlanadi. Agar (36)
formulada
u ni -u bilan almashtirib
tenglikka ega bo‘lamiz. Avvalo uni kasr hisoblab, (35) ni
ga, (37) ni esa ga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan ifodalarni birini
ikkinchisidan ayiramiz. U holda
formulalarni e’tiborga olsak,
16

yoki
tenglik hosil bo‘ladi.
(35) da u ni -u ga almashtirsak,
formulaga ega bo‘lamiz. Endi (36) ni ga, (39) ni ga
ko‘paytirib, ularni ayirsak,
tengliklarga asosan, kasr u lar uchun (40) formula:
Butun lar uchun (38), (40) formulalar ni butun songa intiltirib,
limitga o‘tish natijasida hosil bo‘ladi.
(35) va (36) formulalarning natijasi sifatida quyidagi formulalar
kelib chiqadi:
17

Bu formulalarning birinchi ikkitasi (35), (36) ni bevosita
differensiallsh natijasida, keyingi ikkita-si esa avvalgilarini qo‘shish va
ayirish natijasida hosil bo‘ladi.
Xuddi shunday formulalar ikkinchi tur funksiyalar uchun ham
qo‘llaniladi.
2.3. Bessel funksiyalarining ayrim xususiy holatlari.
Matematik fizika’da ushbu
Bessel funksiyalari eng ko‘p uchraydi.
(41) formulalarning oxirgisidan ko‘rinadiki, va h.k.
funksiyalarni hisoblash funksiyalarining mos qiymatlarini hisoblashga
keladi.
Endi , bunda n – butun son, funksiyani ko‘ramiz.
Avvalo funksiyalarining qiymatlarini hisoblaymiz.
18

(27) ga asosan:
Ma'lumki
Shunday qilib,
,
"Bu yerda oxirgi yig‘indi ning darajali qatorga
yoyilmasidan iboratdir. Demak,",
"Xuddi shunga o‘xshash, (30) dan",
"tenglikni hosil qilamiz.",
"(41) formulalarning oxirgisiga asosan",
19

Umuman, Bessel funksiyasi butun n da elementar
funksiyalar orqali ifodalanadi, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:"
2.4. Ixtiyoriy funksiyani Bessel funksiyalari bo‘yicha qatorga
yoyish.
lar o‘sish tartibi bo‘yicha joylashtirilgan
tenglamaning musbat ildizlari bo‘lsin.
Yuqorida biz ko‘rdikki,
funksiyalar 0,l segmentda x vaznli ortogonal sistemani tashkil
qiladi. Faraz qilaylik, ixtiyoriy funksiya ushbu
qator bilan ifodalangan bo‘lsin.
20

Bu qatorni tekis yaqinlashuvchi hisoblab, (51) tenglikni
ga ko‘paytirimiz va hosil bo‘lgan ifodani 0 dan l gacha oraliqda
integrallaymiz:
(50) formulaga asosan
Ko effitsientlari (52) formula bilan aniqlangan (51) yoi lma ʻ ʻ
funksiyaning Furye – Bessel qatoriga yoyilmasi deyiladi.
funksiyaning (51) qatorga yoyilishi uchun u qanday shartlarni
qanoatlantirishi kerak degan savolga quyidagi teorema javob beradi, biz
uni isbotsiz keltiramiz.
21

Furye – Bessel qatori yaqinlanshuvchi va uning yig indisi ʻ
oraliqning chegaralangan variatsiyaga ega bo lgan har bir
ʻ
nuqtasida ga teng bo ladi.
ʻ
22

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
24

Bessel funksiyalari

Sotib olish