Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 1.6MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali 26

Sotib olish
Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali MUNDARIJA KIRISH …………………………………………………………………3-4 I BOB. BIR O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR …………………5-13 1.1 Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar……………………5-18 1.2 Funksiyaning uzluksizligi va uning xossalari…………………….18-23 II BOB. BIR O‘ZGARUVCHILI UZLUKSIZ FUNKSIYALARNI DIFFERENSIALLASH ..……………………………………………23-27 2.1 Funksiyaning hosilasi va uni hisoblash…………………………...23-25 2.2 Funksiyaning differensiali………………………………………...24-26 2.3 Hosila va differensialning geometrik va fizik ma’nolari…………26-28 XULOSA ………………………………………………………………....29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ………………………………30 KIRISH Dunyoqarashni nima o zgartiradi – ilm, daromad, manfaat.ʻ SH.M.MIRZIYOYEV Ta’limni tubdan isloh qilishning ajralmas va muhim qismi hisoblangan zamonaviy pedagogik texnologiyalar, interfaol metodlar, amaliyotga joriy qilinishi mumkin bo lgan yo l-yo riqlar yangicha usullar orqali mutaxassislar tomonidan ʻ ʻ ʻ ma’lum tizim asosida o rgatilishi lozim. Jahon ta’limi tajribasi shundan dalolat ʻ beradiki, jamiyat taraqqiyoti ta’limning takomillashishi va taraqqiy qilishi bilan chambarchas bog liqdir. ʻ Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev Konstitutsiyamiz qabul qilinganining 25 yilligiga bag ishlangan tantanali marosimidagi nutqida: “ ʻ Biz ta’lim va tarbiya tizimining barcha bo g inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida ʻ ʻ takomillashtirishni o zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz” deb ʻ ta’kidlagan edi. Respublikamizda faoliyat ko rsatayotgan umumta’lim muassasalari ʻ uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta’lim muassasalaridagi o quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish va ʻ tayyorlanayotgan mutaxassislari malakasining raqobatbardosh bo lishiga erishish ʻ asosiy vazifalaridan biri bo lib hisoblanadi. ʻ Mustaqil O zbekiston Respublikasida shakllanayotgan milliy istiqlol g oyasi ʻ ʻ Respublika Konstititsiyasida e’tirof etilgan insonparvar, demokratik, huquqiy davlat va jamiyatni barpo etish, shuningdek, ijtimoiy-iqtisodiy hamda madaniy rivojlanishning yuqori bosqichlariga ko tarish, jahon hamjamiyati safidan munosib ʻ o rin egallashga yo naltirilgan ezgu maqsadlarni amalga oshirishga xizmat qiladi. ʻ ʻ Ushbu maqsadlarning ijobiy natijaga ega bo lishi, eng avvalo, yosh avlodga ʻ ilmiy bilimlar asoslarini puxta o rgatish, ularda keng dunyoqarash hamda tafakkur ʻ ko lamini hosil qilish, ma’naviy-axloqiy sifatlarni shakllantirish borasidagi ta’limiy- ʻ tarbiyaviy ishlarni samarali tashkil etish bilan bog liqdir. O zbekiston ʻ ʻ Respublikasining rivojlangan mamlakatlar qatoridan joy egallashini ta’minlash yosh avlodni komil inson hamda malakali mutaxassis qilib tarbiyalashga bog liqdir. ʻ 2 Kurs ishining dolzarbligi: O quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirishʻ asosida o quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning ʻ fazoda to g ri ʻ ʻ chiziqning turli tenglamalari haqidagi bilimlarni yanada chuqurlashtirish. Respublikamiz Prezidenti Sh.Mirziyoyev “O zbekiston Respublikasini yanada ʻ rivojlantirish bo yicha Harakatlar strategiyasi to g risida”gi farmoni va oliy ta’lim ʻ ʻ ʻ tizimini yanada rivojlantirish bo yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori mazmunida ʻ barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayonining mohiyati to laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash jarayonining har bir ʻ bosqichi o zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish. Vazifalarni amalga oshirishi ʻ lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya’ni, ta’lim jarayoning samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis bo lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. ʻ Biz bo lajak pedagog ekanmiz, o ʻ ʻ sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli, bilimli, malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirilishiga o z hissamizni qo shishga ʻ ʻ harakat qilamiz. Kurs ishining maqsadi : Matematik analiz darslarida funksiya va uning uzluksizligi, bir o zgaruvchili funksiyalarni hosilasi va uning differensiali haqida ʻ ma’lumotlarni o rganishdan iborat ʻ Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o rta ta’lim muassasalarida matematik ʻ analizni o qitish jarayoni. ʻ Kurs ishining predmeti: Uzluksiz funksiyalar Kurs ishining vazifalari: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig ish va rejani shakllantirish; ʻ 2. Bir o zgaruvchili uzluksiz funksiyalarni yoritib berish; ʻ 3. Kurs ishi mavzusini o rgatish metodikasini bilish; ʻ 4.O‘quvchilarda uzluksiz funksiyalar bo‘yicha ko‘nikma shakillantirish; 5 Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish. Kurs ishining tarkibi: kirish, 2 bob, 5 ta paragraph, 31 sahifa, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. 3 I BOB. BIR O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR 1.1-§. Funksiya tushunchasi va elementar funksiyalar Matematikaga o zgaruvchi miqdorlarni kiritish juda katta ahamiyatga egaʻ bo lgan voqea bo ldi, uni odatda De ʻ ʻ kart nomi bilan bog laydilar. Matematika bu ʻ bilan faqat o zgarmas miqdorlar orasida munosabatlar o rnatish imkoniga ega ʻ ʻ bo libgina qolmasdan, balki o zgaruvchi miqdorlar ham ishtirok etadigan tabiat ʻ ʻ hodisalarining oqimini o rganish imkoniyatiga ham ega bo ldi. F. Engels buni ʻ ʻ shunday ta’kidlaydi: “Dekart o zgaruvchi miqdori matematikada burilish nuqta bo ldi. Shu tufayli ʻ ʻ matematikaga harakat va dialek tika kirib keldi va natijada, differensial va inte gral hisob juda zarur bo lib qoldi”. ʻ Mate matik analizda agar uning tatbiqi haqida so z yuritilmasa, o zgaruvchi ʻ ʻ miqdor (yoki qisqacha o zgaruvchi) deganda ismsiz son yoki o zgaruvchi son ʻ ʻ tushuniladi. Uni biror simvol (harf, masalan, ) bilan belgilanadi va unga son qiymatlar beriladi. Agar o zgaruvchi miqdor qabul eta oladigan qiymatlar to plami ʻ ʻ berilgan bo lsa, u holda ʻ x o zgaruvchi miqdor berilgan deyiladi. Bu to plam x ʻ ʻ o zgaruvchining o zgarish sohasi deyiladi, Umuman, ixtiyoriy sonli to plam ʻ ʻ ʻ o zgaruvchi miqdorning o zgarish sohasi bo la oladi. ʻ ʻ ʻ O zgarmas miqdor (qisqacha o zgarmas)ni o zgaruvchining xususiy holi ʻ ʻ ʻ sifatida qarash mumkin bu esa to plam bitta elementdan iborat, deyilgan ʻ fikrga to g ri keladi. ʻ ʻ Bir o zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi ʻ va qiymatlar to plami. ʻ n o lchovli haqiqiy fazoda ʻ nuqtalar to plami ʻ berilgan bo lsin. ʻ to plamga tegishli har bir ʻ nuqtaga aniq biror-bir haqiqiy sonni mos qo yuvchi ʻ qonunga o zgaruvchilarning ʻ nuqtalar to plamida berilgan funksiyasi deyiladi. ʻ ta o zgaruvchilarning funksiyasi ʻ 4 yoki ko rinishda yoziladi.ʻ haqiqiy son funksiyaning nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi. Xususan, agar bo lib, ʻ to plam ʻ haqiqiy sonlar to plamining ʻ qism osti to plamidan iborat bo lsa, ʻ ʻ to plamda ʻ bir o zgaruvchili ʻ funksiya berilgan deyiladi. Misollar. 1) to plamda berilgan bir ʻ o zgaruvchili funksiya. Xususan, ʻ 2) to plamda berilgan ikki ʻ va o zgaruvchili funksiya. ʻ nuqtada . 3) to plamda berilgan uch ʻ , va o zgaruvchili funksiya. M(1; ʻ -1; 1) nuqtada funksiya berilgan fazoga tegishli to plamga ʻ uning aniqlanish sohasi deyiladi va yoki yozuv bilan ifodalanadi. funksiya o z aniqlanish sohasi ʻ ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo lgan barcha qiymatlari to plamiga esa uning qiymatlari to plami ʻ ʻ ʻ yoki o zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to plami ʻ ʻ haqiqiy sonlar to plamining qism osti to plami bo lib, ʻ ʻ ʻ yoki belgilar bilan yoziladi. Misollar. Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini toping va tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to plamini aniqlang: ʻ 1) 2) 3) 1) bir o zgaruvchili ʻ funksiya aniqlanish sohasi 5 tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, . Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o qida ʻ ochiq nur ko rinishida tasvirlanadi: ʻ 1-chizma Funksiya qiymatlari to plami ʻ esa sonlar o qidan iborat, ya’ni ʻ 2) funksiya ikki o zgaruvchili bo lib, uning aniqlanish sohasi ʻ ʻ . Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R 2 da quyidagicha tasvirlanadi: 2-chizma Funksiya qiymatlari to plami ʻ . 3) berilgan uch o zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi ʻ . Funksiya aniqlanish sohasi fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo lgan kubdan ʻ iborat: 3-chizma 60 3 R 1 х 2 0 х 1 0 х 1 х 2х 3 Funksiya qiymatlari to plami ʻ „Funksiya" termini 1692-yilda Leybnisning bir kitobida berilgan, so ngra bu terminni aka-uka Yakob ya Iogann ʻ Bernullilar biror egri chiziq nuqtalari bilan bog liq bo lgan turli kesmalarni ʻ ʻ xarakterlash uchun ishlatganlar. Iogann Bernulli 1718-yilda birinchi marta funksiyaning geometrik mulohazalardan holi bo lgan ta’rifini beradi. ʻ Elementar funksiyalar. Bu yerda elementar funksiyalar deb atalgan funksiyalarning ba’zi bir sinflarini ko rsatib o taylik. ʻ ʻ 1. Butun va kasr ratsional funksiyalar. ga nisbatan butun ko phad (bu yerda ʻ o zgarmas) bilan tasvirlanuvchi funksiya butun ʻ ratsional funksiya deyiladi. Bunday ikki ko phadning ʻ nisbati kasr ratsional funksiya deyiladi. Bu funksiya ning maxrajni nolga aylantiruvchi qiymatlaridan boshqa hamma qiymatlari uchun aniqlangan bo ladi.Misol tariqasida 4-chizmada ʻ funksiya (parabola)ning koeffitsient har xil qiymatlar qabul qilgandagi grafiklari berilgan. 5- chizmada funksiya (teng yonli giperbola) ning har xil qiymatlarini qabul qilgandagi grafiklari berilgan. 7 5-chizma 4-chizma 2. Darajali funksiya. Quyidagi ko rinishdagi funksiyani darajali funksiya deyiladi, bu yerda ʻ ixtiyoriy o zgarmas ʻ haqiqiy son. Agar butun bo lsa, ratsional funksiya hosil bo ladi. Agar ʻ ʻ kasr bo lsa, biz ildizga ega bo lamiz. Masalan, ʻ ʻ natural son bo lsin va : ʻ Bu funksiya toq bo lganda, ʻ ning hamma qiymatlari uchun va m juft bo lganda, x ning faqat musbat qiymatlari uchun aniqlanadi (bu holda biz ildizning ʻ faqat arifmetik qiymatini hisobga olamiz). Nihoyat, irratsional son bo lsa, ʻ deb faraz etamiz ( qiymat bo lgandagina olinadi). ʻ Quyida 6- va 7- chizmalarda ning har xil qiymatlari uchun darajali funksiyaning grafiklari berilgan. 8 33 6-chizma 7-chizma 3. Ko rsatkichli funksiya.ʻ Ya’ni ko rinishdagi funksiyadir, bu yerda ʻ 1 dan farqli musbat son; istalgan haqiqiy qiymat qabul qila oladi. 8-chizmada ning har xil qiymatlari uchun ko rsatkichli ʻ funksiyaning grafiklari berilgan. 8-chizma 9-chizma 4. Logarifmik funksiya. Ya’ni ko rinishdagi funksiya, bu yerda ʻ yuqoridagi singari 1 dan farqli musbat sondir; faqat musbat qiymatlar qabul qiladi.9-chizmada bu funksiyaning ning turli qiymatlaridagi grafiklari berilgan. 9 5. Trigonometrik funksiyalar: Agar trigonometrik funksiyalarning argumentlari burchaklarning o lchoviʻ sifatida qaralsa, ular bu burchaklarni har vaqt radianlarda ifodalaydi (agarda aksi aytilmagan bo lsa). Buni har vaqt esda tutish kerak. ʻ Bunda va lar uchun ko rinishdagi qiymatlar, ʻ va lar uchun (bu yerda -butun son) ko rinishdagi qiymatlar mustasnodir. ʻ , funksiyalarning grafiklari 7- va 8- chizmalarda berilgan. Sinusning grafigi, odatda, sinusoida deyiladi. 10-chizma 11-chizma Bir o zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Teskari funksiya. ʻ nuqtalar to plamida aniqlangan bir o zgaruvchili ʻ ʻ funksiyaning grafigi deb, mumkin bo lgan barcha ʻ juftliklarning to g ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi. ʻ ʻ fazoda, nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning qism to plami ʻ va unda aniqlangan funksiya berilgan bo lsin. ʻ 10 Agar har qanday lar uchun tenglik o rinli bo lsa, birʻ ʻ o zgaruvchili ʻ funksiya to plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya ʻ grafigi ordinata o qiga nisbatan simmetrikdir. ʻ Agar har qanday lar uchun munosabat o rinli bo lsa, ʻ ʻ to plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya grafigi esa koordinatalar ʻ boshiga nisbatan simmetrikdir. Masalan, juft natural darajali funksiya juft funksiyaga misol bo lsa, toq natural darajali ʻ toq funksiyaga misoldir. funksiya uchun shunday bir musbat son mavjud bo lsaki, ʻ funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday va nuqtalari uchun tenglik bajarilsa, funksiya davriy funksiya deyiladi. soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi ni topish masalasi qo yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat ʻ bo ladi. ʻ Masalan, funksiyaning eng kichik musbat davri. funksiya to plamda aniqlangan bo lib, uning biror-bir ʻ ʻ qism osti to plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki ʻ va nuqtalar uchun munosabatdan tengsizlik kelib chiqsa, u holda funksiya to plamda o suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi. ʻ ʻ Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli to plamdan ixtiyoriy ravishda ʻ tanlanadi ikki va nuqtalar uchun shartdan tengsizlik kelib chiqsa, funksiya to plamda kamayuvchi (o suvchi emas) ʻ ʻ deyiladi. O suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat’iy monoton funksiyalar deyiladi. ʻ 11 Masalan, aniqlanish sohasi da qat’iy monoton o suvchi funksiyagaʻ misol bo lsa, ʻ haqiqiy sonning butun qismi esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo la oladi. ʻ funksiya sohada aniqlangan bo lib, ʻ uning qiymatlar to plami bo lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday ʻ ʻ lar qaralmasin, shart qanoatlantirilganda, munosabat bajarilsin. U holda, har bir songa tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir sonni mos qo yish mumkin, boshqacha aytganda, ʻ to plamda berilgan ʻ funksiyaga teskari funksiya ni aniqlash mumkin. Berilgan funksiyaning qiymatlari to plami ʻ teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo lsa, ʻ funksiyaning aniqlanish sohasi teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o taydi. ʻ Biror bir kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz funksiya, o zining ʻ kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz teskari funksiyasiga ega. Masalan, funksiya kesmada aniqlangan, qat’iy monoton o suvchi va uzluksiz bo lganidan, ʻ ʻ kesmada aniqlangan, qat’iy o suvchi va ʻ uzluksiz teskari funksiyasiga ega. O zaro teskari ʻ va funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o qi ʻ to g ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir. ʻ ʻ Chegaralangan funksiya. nuqtalar to plamida berilgan ʻ funksiyaning da erishadigan qiymatlari to plami yuqoridan (quyidan) ʻ chegaralangan bo lsa, ʻ funksiya da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir 12 son mavjudligini anglatadiki, barcha nuqtalar uchun tengsizlik o rinli bo ladi. ʻ ʻ nuqtalar to plamida ham quyidan va ham yuqoridan che- ʻ garalangan funksiyaga , to plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu ʻ holda, agar bo lsa, ʻ funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to plami chegaralangan sonlar to plamidan iborat ʻ ʻ bo ladi. ʻ Agar funksiya to plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan ʻ bo lsa, ʻ to plamga tegishli ʻ nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o rinlidir. ʻ Misollar. 1) bir o zgaruvchili ʻ funksiya aniqlanish sohasi da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki 2) ikki o zgaruvchili ʻ funksiya o z aniqlanish sohasi ʻ to plamda chegaralangandir, chunki ʻ Bir o zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. ʻ Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari funksiya to plamda aniqlangan bo lib, ʻ ʻ nuqta to plamning quyuqlanish nuqtasi bo lsin. Funksiya ʻ ʻ limitining bir-biriga o zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta’riflari mavjud. ʻ Ko p o zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida ʻ ʻ quyidagicha ta’riflanadi: Har bir hadi to plamga tegishli va ʻ quyuqlanish mos funksiya qiymatlari sonli ketma-ketligi songa 13 intilsa, u holda soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va yoki ko rinishda yoziladi.ʻ Xususan, bir o zgaruvchili ʻ funksiya uchun har qanday x 0 songa intiluvchi argument qiymatlari sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda funksiya qiymatlari sonli ketma – ketligi songa intilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va ko rinishda yoziladi. ʻ Funksiya limiti Koshi yoki tilida quyidagicha ta’riflanadi: Har qanday oldindan tayinlanadigan son uchun nuqtaning δ atrofi ni ko rsatish mumkin bo lsaki, barcha ʻ ʻ nuqtalar uchun tengsizlik o rinli bo lsa, u holda ʻ ʻ soni funksiyaning dagi limiti deyiladi. Xususiy holda, bir o zgaruvchili ʻ funksiya uchun: Har qanday son uchun shunday bir son tanlash mumkin bo lsaki, ʻ to plamga ʻ tegishli va munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi. Yuqorida keltirilgan ta’riflardan birini qo llab, masalan, ʻ 1) , 2) yoki 3) mavjud emasligini isbotlash mumkin. 14y b . 12-chizma Quyida sanab o tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta’riflarʻ asosida isbotlanadi. 1. (1-ajoyib limit asosiy shakli). 2. . 3. . 4. . 5. . (2-ajoyib limit asosiy shakli). 6. . 7. . 8. . 9. . Limitga ega funksiyalar o zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi: ʻ 1) funksiya da limitga ega bo lsa, ushbu limit ʻ yagonadir; 2) funksiya da chekli limitga ega bo lsa, ʻ nuqtaning δ atrofi mavjudki, to plamda ʻ funksiya chegaralangan bo ladi. ʻ Bir o zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va ʻ dagi limitlar. Bir o zgaruvchili ʻ funksiya biror nurda aniqlangan 15 0 x 01 2 x(δ= min (δ 1 , δ 2 )) x 0 + 2x 0 - 1 bo lsin (13-chizma). Har qanday ʻ son uchun shunday sonni ko rsatish ʻ mumkin bo lsaki, barcha ʻ munosabatni qanoatlantiruvchi lar uchun tengsizlik o rinli bo lsa, ʻ ʻ soni funksiyaning dagi limiti deyiladi. 13-chizma funksiyaning dagi limiti ham yuqoridagidek ta ’ riflanadi . Masalan, 1) , chunki da ; 2) , chunki da ; 3) . Bir o zgaruvchili ʻ funksiya da aniqlangan bo lib, ʻ nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo lsin (14-chizma). ʻ Har qanday son uchun sonni ko rsatish mumkin bo lsaki, ʻ ʻ shartni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning da chapdan limiti deyiladi va ko rinishda yoziladi. ʻ 16 К 0a xy b funksiyaning da o ngdan limiti ham shunga o xshashʻ ʻ aniqlanadi va ko rinishda yoziladi (14-chizma) ʻ 14-chizma Masalan , 1) ; 2) . funksiyaning nuqtada limiti , funksiya shu nuqtada chapdan va o ngdan ʻ limitlarga ega bo lib ʻ , tenglik bajarilganda , mavjud bo ladi ʻ . Limitlar haqida asosiy teoremalar.Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat: 1.Agar ( C –o zgarmas) bo lsa, u holda ʻ ʻ . 2. mavjud bo lsa, u holda ixtiyoriy ʻ k son uchun 3.Agar va mavjud bo lsa, ʻ a ) ham mavjud bo ladi va ʻ . 1702 1b 1b 2 x 0 - 1 x 0 xx 0 + 2y b) mavjud bo ladi va ʻ c) o rinli bo lganda, ʻ ʻ ham mavjud bo ladi va ʻ d) nuqtaning biror atrofida munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o rinli bo ladi. ʻ ʻ Limitlar haqidagi teoremalar. Bir o zgaruvchili funksiya limitlarini ʻ hisoblashdi qo llaniladi. ʻ Masalan, Agar bo lsa, ʻ funksiya da cheksiz kichik funksiya deyiladi. Xususan, agar bo lsa, bir o zgaruvchili ʻ ʻ funksiya da cheksiz kichik deb ataladi. Masalan, funksiya va larda cheksiz kichik funksiyadir. Cheksiz kichik funksiya o zining quyidagi xossalariga ega: ʻ 1) da cheksiz kichik funksiya bo lib, ʻ bo lganda, ʻ mavjud va aynan ga tengdir; 2)chekli sondagi va har biri da cheksiz kichik funksiyalarning yig indisi yoki ko paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir. ʻ ʻ 3) da cheksiz kichik funksiyaning, nuqtaning biror atrofida 18 chegaralangan funksiyaga ko paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.ʻ Agar (yoki ) bo lsa, ʻ funksiya da cheksiz katta funksiya deyiladi. Xususan, agar (yoki ) bo lsa, ʻ funksiya da cheksiz katta bir o zgaruvchili funksiya deb ataladi. ʻ Masalan, funksiya da cheksiz kattadir. 1.2-§.Funksiyaning uzluksizligi va uning xossalari funksiya to plamda aniqlangan bo lib, ʻ ʻ nuqta to plamning quyuqlanish nuqtasi va ʻ bo lsin. ʻ Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta’riflagan kabi, ikki teng kuchli ta’riflardan biri orqali aniqlash mumkin. Har bir hadi to plamga tegishli va uning ʻ quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari sonli ketma-ketligi songa intilsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. Har qanday oldindan tayinlanadigan son uchun nuqtaning shunday bir δ atrofi ni ko rsatish mumkin bo lsaki, barcha ʻ ʻ nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. funksiyaning nuqtada uzluksizligi ning mavjudligini va uning funksiyaning M 0 nuqtada erishadigan qiymati ga tengligini anglatadi, ya’ni . shart 19 shartga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan , , …, almashtirishlar va ularga mos funksiyaning nuqtadagi orttirmasi deyiladigan almashtirish kiritsak, shartlar ko rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barchaʻ argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi. Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta’riflarni bir o zgaruvchili funksiya ʻ uchun bayon qilishda ni bilan almashtirish kifoya qiladi. Masalan. 1) funksiya har bir nuqtada uzluksiz, chunki 2) chiziqli funksiya har bir nuqtada uzluksiz va hokazo. Uzluksiz funksiyalar xossalari. To plamda uzluksizlik. ʻ Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilan xarakterlаnadi : 1. va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo lsa ʻ , u holda nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo ladi ʻ : a) b) ( k -o zgarmas); ʻ c) d) 20 2.Agar funksiya to plamda aniqlangan bo lib, ʻ ʻ nuqtada uzluksiz va bo lsa, u holda ʻ nuqtaning shunday bir δ atrofi mavjudki, barcha nuqtalar uchun tengsizlik o rinli bo ladi. ʻ ʻ To plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to plamda uzluksiz ʻ ʻ funksiya deyiladi. To plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega: ʻ 1. Agar funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to plamda ʻ uzluksiz bo lsa, u holda ʻ funksiya V to plamda chegaralangandir. ʻ 2. Agar funksiya ixcham V to plamda uzluksiz bo lsa, u holda ʻ ʻ funksiya V to plamda o zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir ʻ ʻ o zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, ʻ qo shimcha quyidagi xossa o rinli: ʻ ʻ 3.Agar funksiya kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa u holda intervalga tegishli kamida bitta nuqta topiladiki, tenglik bajariladi. Bir tomonlama uzluksizlik. Bir o zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari. ʻ Bir o zgaruvchili ʻ funksiya argumentning qiymatlarida aniqlangan bo lsin. Agar ʻ munosabat bajarilsa, funksiya nuqtada chapdan (o ngdan) uzluksiz ʻ deyiladi. Masalan, nuqtada chapdan uzluksiz, chunki, 21 . 15-chizma funksiya kesmaning har bir ichki nuqtasida uzluksiz bo ʻ lib , nuqtada o ʻ ngdan nuqtada chapdan uzluksiz bo ʻ lgandagina kesmada uzluksiz bo ʻ ladi . Bir o zgaruvchili ʻ funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo lsin. ʻ Funksiyaning nuqtaning o zida aniqlangan bo li-shi shart emas. Agar ʻ ʻ funksiya nuqtada uzluksiz bo lmasa, funksiya ʻ nuqtada uzilgan yoki nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi. funksiyaning nuqtada chapdan va o ngdan limitlari mavjud ʻ bo lib, o zaro teng bo lmasa, ya’ni ʻ ʻ ʻ u holda nuqta funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. Masalan, funksiya nuqtada birinchi tur uzilishga ega, chunki , (16-chizma). 220a c b f  (a)f  (b) y x Agar nuqtada funksiyaning chapdan va o ngdan limitlari ʻ va lar o zaro ʻ teng bo lib, funksiyaning ʻ nuqtada erishadigan qiymati dan farq qilsa, unda nuqta uzliksizlikni tiklash mumkin bo lgan uzilish ʻ nuqtasi deb ataladi (17-chizma). funksiyaning nuqtada chapdan yoki o ngdan limitlarining biri ʻ mavjud bo lmasa (xususan, cheksiz bo lsa), u holda ʻ ʻ nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi 16-chizma 17-chizma Masalan, funksiya da ikkinchi tur uzilishga ega, chunki Bir necha o zgaruvchili funksiyalar uzilish nuqtalaridan tashqari, uzilish ʻ chiziqlari, sirtlari va hokazolarga ega bo lishlari mumkin. ʻ 230 xy x 00 xy f  (x 0 ) b II BOB. BIR O‘ZGARUVCHILI UZLUKSIZ FUNKSIYALARNI DIFFERENSIYALLASH 2.1-§. Funksiyaning hosilasi va uni hisoblash. Bir o zgaruvchili ʻ funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo lsin. ʻ funksiyaning nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi ning argument orttirmasi ga nisbatining, nolga intilgandagi chekli limitiga aytiladi va ifodalarning biri orqali yoziladi. Ta’rifga ko ra, ʻ . Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo lib, ʻ (yoki ) bo lsa, u holda ʻ funksiya nuqtada cheksiz hosilaga ega deyiladi va (yoki ) shaklda yoziladi. Chekli yoki cheksizligidan qat’i nazar, va limitlarga, mos ravishda, funksiyaning nuqtada chapdan va o ngdan ʻ hosilalari deyiladi. funksiyaning nuqtada bir tomonlama, chapdan va o ngdan ʻ hosilalari mavjud bo lib, o zaro teng bo lgandagina, funksiya ʻ ʻ ʻ nuqtada hosilaga ega bo ladi va ʻ . 2.2-§. Funksiyaning differensiali 24 Berilgan funksiyaning hosilasi ni topish amaliga funksiyani differensiallash deb ataladi. Masalan: 1) funksiya har qanday haqiqiy da chekli hosilaga ega, chunki . Shunday qilib, 2) funksiya nuqtada cheksiz hosilaga ega: . 3) funksiya esa nuqtada har ikki bir tomonlama hosilalari ; mavjud bo lishiga qaramasdan,ʻ hosilaga ega emas, chunki . Erkli o zgaruvchi yoki argument ʻ ning differensiali deb, uning orttirmasi ga aytiladi va orqali belgilanadi, ya’ni Agar funksiyanin nuqtadagi orttirmasi, ko rinishda ʻ tasvirlansa, bu yerda – o zgaruvchi, ʻ da α ,u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Masalan, funksiya ixtiyoriy nuqtada differensiallanuvchi, chunki . funksiyaning nuqtadagi birinchi tartibli differensiali deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi ning ga nisbatan bosh chiziqli qismi ga 25 aytiladi va yoki yozuv bilan belgilanadi. Ta’rifga binoan, va . Agar funksiya x nuqtada differensiallanuvch I bo lsa, u holda funksiya ʻ shu nuqtada uzluksizdir. Funksiyaning nuqtada uzluksizligi uning differensiallanuvchanligining zaruriy sharti hisoblanadi, ammo yetarli emas. Masalan, yuqoridagi misolimizda, funksiya nuqtada uzluksiz bo lgani ʻ bilan differensiallanuvchi emas. funksiyaning nuqtada chekli hosilasining mavjudligi, funksiya shu nuqtada differensiallanuvchanligining yetarli shartidir. Ushbu holda, va tengliklar o rinli. ʻ Masalan, funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi differensiali Agar tenglikda yetarlicha kichik bo lsa, taq ribiy ʻ hisoblarda qo llaniladigan ʻ yoki formulalarni olamiz. Masalan, taqribiy hisoblash formulasini qo llab, ʻ ni hisoblash talab etilsin. funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi ko rinishda yoziladi. Natijada, ʻ . Agar funksiya biror-bir oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo lsa, shu oraliqda differensiallanuvchi funksiya deyiladi. ʻ Bundan tashqari, agarda ushbu oraliqda uzluksiz bo lsa, u holda funksiya ʻ oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi. 2.3-§. Hosila va differensialning geometrik va fizik ma’nolari. 26 funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda grafigi chizilgan bo lsin, ʻ funksiya grafigining nuqtasiga o tkazilgan urinma deb, ʻ kesuvchining nuqta grafik bo ylab ʻ nuqtaga ixtiyoriy ravishda intilgandagi limit holatiga aytiladi (rasmga qarang). kesuvchining burchak koeffitsienti ga teng bo lib, ʻ uning nolga intilgandagi limiti, bir tomondan urinma burchak koeffitsienti ga teng bo lsa, ikkinchi tomondan hosila ta’rifiga ko ra, ʻ ʻ funksiyaning nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi ga teng . Bundan esa, birinchi tartibli hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi. funksiyaning nuqtadagi hosilasi, funksiya grafigining abtsissali nuqtasiga o tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng: ʻ Hosilaning geometrik ma’nosidan foydalanib, funksiya grafigining nuqtasiga o tkazilgan urinma va normal tenglamalari ʻ , mos ravishda, quyidagicha yozilishi mumkin: va . Masalan, funksiya grafigining abssissali nuqtasiga o tkazilgan ʻ urinma tenglamasi: yoki funksiyaning nuqtadagi birinchi tartibli differensiali du esa, kattalik jihatdan, funksiya grafigining nuqtasiga o t ʻ - kazilgan 270 M 0 x 0 xy M 1 y dy f ( x 0 ) x 0 + xx urinmasining nuqta nuqtaga o tganda mos ordinataʻ orttirmasiga teng Rasmdan, agarda Δ x yetarlicha kichik bo lganda, taqribiy tenglik ʻ ning o rinli ʻ ekanligini ko rish qiyin emas. ʻ funksiya x nuqtada chekli hosilaga ega bo lsa, uni shu ʻ nuqtada erksiz o zgaruvchi ʻ y ning erkli o zgaruvchi ʻ x ga nisbatan o zgarish tezligi ʻ sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirilishi esa, erksiz o zgaruvchining o zga ʻ ʻ - rishini argumentning kichik o zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifati ʻ - da hisoblash imkonini beradi. Masalan, moddiy nuqtaning to g ri chiziq bo ylab harakat qonuni ʻ ʻ ʻ funksiya bilan berilgan bo lsin. U holda, ixtiyoriy ʻ vaqt onidagi oniy tezlik kattaligi harakat qonuni - dan vaqt bo yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga teng: ʻ differensial esa, moddiy nuqta t va t+dt vaqt onlari oralig ida ʻ momentdagi oniy tezligi bilan tekis harakat qilganda bosib o tishi ʻ mumkin bo lgan masofani aniqlaydi. ʻ 28 XULOSA Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o qitishda muhim ahamʻ i yatga ega b o‘l gan funksiya va uning grafigini o rganish,o rgatish masalasiga bag ishlangan. ʻ ʻ ʻ Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning samarali natijasi va mavzu bo yicha boshlang ich ma’lumotlar berildi. ʻ ʻ Xulosa qiladigan bo lsam, matematikaning har bir bo limiga o tganimizda ʻ ʻ ʻ unda yangidan yangi, qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz, ularni o quvchilarga ʻ yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o qituvchining mahoratiga ʻ bog liq. Mavzuni hayotga bog lab tushuntirib berish,undagi o ziga xos xususiyatlarni ʻ ʻ ʻ o quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon.O qituvchi hamisha ishiga puxta va har ʻ ʻ qanday savollarga tayyor bo lishi lozim. ʻ Malakasini, tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O qituvchining ʻ zamon bilan ham nafas bo lishi ham bugungi kun talabi. ʻ Shunday ekan biz bo lajak pedagoglar o qituvchilik sharafliligi bilan bir ʻ ʻ qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda, vaqtimiz, imkonimiz borida o qib o rganib olishimiz kerak. ʻ ʻ Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib, bularga javoban yetuk mutaxassis kadr bo lib yetishishimiz va vatanimiz ʻ ravnaqiga o z hissamizni qo shishimiz kerak. ʻ ʻ 29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. I.A. Karimov. Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch. —T. “Ma’naviyat”, 2008. 2. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi qarori. — Toshkent shahri, 2017 - yil 20-aprel. 3. Azlarov T., Mansurov H . Matematik analiz. 2-tom. Toshkent, «O‘zbekiston», 1994, 1995. 4. Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H. Matematik analiz. 1- va 2- qismlar. Qarshi, «Nasaf», 2003. 5. A rxipov G., Sadovnichiy B., CHubarikov V. Leksii po mate maticheskomu analizu. Moskva, «V ы sshaya shkola», 1999. 6. Ilin V., Sadovnichiy V., Sendov B . Matematicheskiy analiz, Moskva «Nauka», 1979. 7. Kudryavsev L . Kurs matematicheskogo analiza. T. 1. 1973. 8. Dorogovses A . Matematicheskiy analiz. Kiev, «V ы sshaya shkola», 1985. 9. Fixtingols G. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniya. T. I, II. Moskva, «Fizmat-lit», 2001. 10. Sa’dullayev A., M.ansurov N., Xudayberganov G., Varisov A., G‘ulomov R. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami. 1- va 2- tomlar. Toshkent, «O‘zbekiston», 1993, 1996. Internet ma’lumotlari 1. www.president.uz 2. www . arxiv . uz 3. www . ziyonet . uz 4. www . edu . uz 5. www . pedagog . uz 30
Sotib olish