Bir o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	98.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Bir o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalar

Sotib olish

Bir o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalar

MUNDARIJA
KIRISH ......................................................................................................................... 2
1-BOB. BIR O ZGARUVCHILI UZLUKSIZ FUNKSIYALARNING ASOSIYʻ
TUSHUNCHALARI VA TA’RIFLARI .................................................................... 6
1.1. Uzluksiz funksiyaning ta’riflari va misollari .......................................................... 6
1.2. Nuqtada va oraliqda uzluksizlik ........................................................................... 10
1.3. Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari ...................................................... 14
2-BOB. UZLUKSIZ FUNKSIYALARNING MUHIM TEOREMALARI VA
ULARNING TATBIQLARI ..................................................................................... 18
2.1. Oraliq qiymat haqidagi teorema ........................................................................... 18
2.2. Eng katta va eng kichik qiymat haqidagi teorema ................................................ 21
2.3. Tekis uzluksizlik tushunchasi va xossalari ........................................................... 24
3-BOB. UZLUKSIZ FUNKSIYALARNING KENGAYTMALARI VA AMALIY
QO‘LLANISHLARI .................................................................................................. 27
3.1. Teskari funksiyaning uzluksizligi ......................................................................... 27
3.2. Uzluksizlik va differensiallanuvchanlik orasidagi bog liqlik
ʻ ............................... 30
3.3. Uzluksiz funksiyalarning real hayotdagi modellashdagi o‘rni ............................. 33
XULOSA ..................................................................................................................... 36
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .................................................................. 37
2

KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?”
deb so‘rasangiz, farzandlarimizning
ta’lim tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Kurs ishining dolzarbligi . Matematik analizning fundamental
tushunchalaridan biri bo lgan uzluksiz funksiyalar nazariyasi zamonaviy fan vaʻ
texnikaning ko plab sohalarida hal qiluvchi ahamiyatga ega. Ular differensial va
ʻ
integral hisobning asosini tashkil etib, funksiyalarning xatti-harakatini, o zgarish
ʻ
tezligini va to planishini tushunish uchun zarur vositalarni taqdim etadi. Fizika,
ʻ
muhandislik, iqtisodiyot, informatika va hatto biologiya kabi fanlarda real dunyo
hodisalarini modellashtirishda uzluksiz funksiyalar ajralmas rol o ynaydi. Masalan,
ʻ
fizikada harakat qonunlari, elektr zanjirlaridagi tokning o zgarishi, kimyoviy
ʻ
reaksiyalar dinamikasi ko pincha uzluksiz funksiyalar orqali ifodalanadi.
ʻ
Iqtisodiyotda talab va taklif egri chiziqlari, ishlab chiqarish funksiyalari uzluksizlik
xossasiga ega bo lib, bozor mexanizmlarini tahlil qilishda muhimdir. Zamonaviy
ʻ
ma lumotlar tahlili va mashinani o rganishda ham uzluksiz funksiyalar
ʼ ʻ
optimallashtirish algoritmlarining asosini tashkil etadi, chunki ko plab
ʻ
optimallashtiriladigan funksiyalar uzluksiz va differensiallanuvchi bo lishi talab
ʻ
etiladi. Bu esa, o z navbatida, modellarning barqarorligi va samaradorligini
ʻ
ta minlaydi. Uzluksiz funksiyalarni chuqur o rganish talabalarning matematik
ʼ ʻ
tafakkurini rivojlantirish, ularning abstrakt tushunchalar bilan ishlash qobiliyatini
oshirish va mantiqiy fikrlash ko nikmalarini shakllantirish uchun muhimdir. Ushbu
ʻ
tushuncha nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy masalalarni yechishda ham
keng qo llaniladi. Funksiyalarning uzluksizligi tushunchasi limit, hosila va integral
ʻ
kabi boshqa muhim matematik tushunchalarni o zlashtirish uchun poydevor bo lib
ʻ ʻ
xizmat qiladi. O zbekiston Respublikasining ta lim tizimida matematik fanlarning
ʻ ʼ
3

fundamental tushunchalarni chuqur o zlashtirish yuqori malakali mutaxassislarniʻ
tayyorlashda muhim ahamiyat kasb etadi .
Kurs ishining maqsadi. Bir o zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning nazariy
ʻ
asoslarini chuqur o rganish, ularning asosiy xossalarini tahlil qilish va amaliy
ʻ
qo llanilishini ko rsatish.
ʻ ʻ
Kurs ishining o‘rganilganlik darajasi . Uzluksiz funksiyalar nazariyasi
matematik analizning eng qadimgi va eng chuqur o rganilgan sohalaridan biridir. Bu
ʻ
tushuncha XVII asrda Nyuton va Leybnits tomonidan differensial va integral hisob
asoslari yaratilganidan beri rivojlanib kelgan bo lsa-da, uning zamonaviy, qat iy
ʻ ʼ
ta rifi XIX asrda Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstrass va Bernhard Riemann
ʼ
kabi matematiklar tomonidan shakllantirilgan. Cauchy o zining “Cours d’analyse”
ʻ
asarida limit tushunchasiga asoslangan uzluksizlik ta rifini bergan bo lsa, Weierstrass
ʼ ʻ
epsilon-delta ta rifini kiritib, uzluksizlikni yanada qat iylashtirdi va matematik
ʼ ʼ
analizga fundamental asos yaratdi. Riemann esa uzluksiz bo lmagan funksiyalarni
ʻ
integrallash masalasini o rganish orqali uzluksizlik tushunchasining chegaralarini
ʻ
kengaytirdi.
Ushbu mavzu bo yicha ko plab klassik va zamonaviy darsliklar,
ʻ ʻ
monografiyalar mavjud. Masalan, V.A. Zorichning “Matematik analiz” kursi, L.D.
Kudryavtsevning “Matematik analiz kursi”, G.M. Fichtenholzning “Differensial va
integral hisob kursi” kabi asarlar uzluksiz funksiyalar nazariyasini chuqur va tizimli
ravishda yoritadi. O zbekistonlik matematiklar orasida ham bu mavzu doimiy
ʻ
ravishda o rganilib kelingan. O zbekiston Milliy universiteti, Toshkent Davlat
ʻ ʻ
Texnika Universiteti va boshqa oliy ta lim muassasalarining matematik analiz
ʼ
kafedralarida ushbu mavzu bo yicha ilmiy-tadqiqot ishlari olib borilgan va darsliklar
ʻ
yaratilgan. Jumladan, A. Azamov, T. Azlarov, X. Mansurov kabi olimlarning
matematik analiz bo yicha darsliklari va o quv qo llanmalarida uzluksiz funksiyalar
ʻ ʻ ʻ
nazariyasiga alohida e tibor qaratilgan. Ushbu tadqiqotlar va o quv adabiyotlari
ʼ ʻ
uzluksiz funksiyalar nazariyasining nazariy jihatlarini, ularning xossalarini va turli xil
4

qo llanilishini batafsil yoritib bergan. Shunga qaramay, zamonaviy texnologiyalar vaʻ
yangi amaliy masalalar paydo bo lishi bilan uzluksiz funksiyalarning yangi tatbiqlari
ʻ
va ularni o rganishning yangi usullari doimiy ravishda dolzarb bo lib qolmoqda. Bu
ʻ ʻ
esa mavzuning o rganilganlik darajasi yuqori bo lishiga qaramay, uni yangi nuqtai
ʻ ʻ
nazardan tahlil qilish va chuqurlashtirish zarurligini ko rsatadi.
ʻ
Kurs ishining vazifalari .
1. Bir o zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi tushunchasini qat iy matematik
ʻ ʼ
ta riflar asosida bayon etish.
ʼ
2. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalarini (masalan, oraliq qiymat
teoremasi, ekstremal qiymat teoremasi) tahlil qilish.
3. Uzluksizlikning turli ko‘rinishlarini, xususan, tekis uzluksizlikni o rganish
ʻ
va ularning farqlarini ko rsatish.
ʻ
4. Uzluksiz funksiyalar va differensiallanuvchi funksiyalar o rtasidagi
ʻ
bog liqlikni aniqlash.
ʻ
5. Uzluksiz funksiyalarning amaliy masalalarni yechishdagi ahamiyatini
misollar yordamida ko rsatish.
ʻ
6. Uzluksiz funksiyalarga oid tipik masalalarni yechish usullarini ko rib
ʻ
chiqish.
Kurs ishining obyekti . Matematik analizning fundamental tushunchalari,
xususan, funksiyalar nazariyasi va uning asosiy qonuniyatlari.
Kurs ishining predmeti . Bir o zgaruvchili haqiqiy funksiyalarning
ʻ
uzluksizligi tushunchasi, uning ta riflari, xossalari, uzluksizlik shartlari va turli
ʼ
sohalardagi amaliy qo llanilish usullari.
ʻ
Kurs ishining tuzilishi . Ushbu kurs ishi matematik analizning klassik
nazariyalariga asoslangan bo lib, uning mazmuni taniqli matematiklar, jumladan,
ʻ
A.L. Cauchy, K. Weierstrass, B. Riemann, shuningdek, V.A. Zorich, L.D.
Kudryavtsev, G.M. Fichtenholz kabi olimlarning ilmiy ishlari va darsliklarida bayon
etilgan fundamental g oyalarga tayanadi. Ishning nazariy asoslari O zbekiston Milliy
ʻ ʻ
5

universiteti Matematika fakulteti ilmiy kengashi tomonidan tasdiqlangan o quvʻ
dasturlari va metodik tavsiyalar asosida shakllantirilgan. Tadqiqot jarayonida ilmiy
rahbar N. Komilova rahbarligida olib borilgan ilmiy izlanishlar natijalari hisobga
olindi. Shuningdek, mahalliy olimlar A. Azamov, T. Azlarov, X. Mansurov kabi
mutaxassislarning matematik analiz bo yicha yaratgan darsliklari va ilmiy maqolalari
ʻ
ham ushbu ishni yozishda muhim manba bo lib xizmat qildi. Kurs ishi kirish, uch
ʻ
asosiy bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro yxatidan iborat. Har bir bobda
ʻ
mavzuning tegishli jihatlari chuqur tahlil qilinadi va misollar bilan mustahkamlanadi.
6

I BOB. BIR O ZGARUVCHILI UZLUKSIZ FUNKSIYALARNING ASOSIYʻ
TUSHUNCHALARI VA TA’RIFLARI
1.1. Uzluksiz funksiyaning ta’riflari va misollari
Matematik analizning fundamental tushunchalaridan biri bo lgan uzluksiz
ʻ
funksiya tushunchasi differensial va integral hisobning asosi hisoblanadi. Uzluksizlik
g oyasi funksiyaning grafigida “uzilishlar” yoki “sakrashlar” mavjud emasligini,
ʻ
ya ni uning qiymatlari argumentning kichik o zgarishlariga sezgir tarzda javob
ʼ ʻ
berishini anglatadi. Bu tushuncha nafaqat nazariy matematikada, balki fizika,
muhandislik, iqtisodiyot va boshqa ko plab amaliy fanlarda ham muhim ahamiyatga
ʻ
ega, chunki real dunyodagi ko plab jarayonlar uzluksiz modellar orqali tasvirlanadi.
ʻ
Funksiyaning uzluksizligi uning xossalarini, masalan, ekstremum qiymatlarga
erishishi yoki oraliq qiymatlar teoremasi kabi muhim teoremalarni o rganish uchun
ʻ
asos yaratadi. Shuningdek, uzluksiz funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar
nazariyasining poydevori bo lib xizmat qiladi, chunki har bir differensiallanuvchi
ʻ
funksiya uzluksizdir, ammo teskarisi har doim ham to g ri emas. Bu farqni tushunish
ʻ ʻ
funksiyalarning xossalarini chuqur tahlil qilish uchun kalit hisoblanadi.
Uzluksiz funksiyaning eng keng tarqalgan va qat iy ta rifi Koshi tomonidan
ʼ ʼ
kiritilgan epsilon-delta ta rifi hisoblanadi. Bu ta rif funksiyaning ma lum bir nuqtada
ʼ ʼ ʼ
uzluksizligini aniqlash imkonini beradi.
Geometrik nuqtai nazardan, bu shuni anglatadiki, f ( x ¿ ¿ 0 ) ¿
qiymati atrofidagi
har qanday tor gorizontal tasma uchun funksiya grafigining mos qismi shunday
vertikal oraliqda (kengligi 2 δ
) joylashgan bo ladi. Bu ta rif funksiyaning grafigida
ʻ ʼ x
0
nuqtada “uzilish” yo qligini aniq ko rsatadi.
ʻ ʻ
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ D , ∨ x − x
0 ∨ ¿ δ ⟹ ∨ f ( x ) − f ( x
0 ) ∨ ¿ ε
Funksiyaning
x0 nuqtada uzluksizligi uchun epsilon-delta ta rifi ʼ
Epsilon-delta ta rifiga ekvivalent bo lgan yana bir muhim ta rif ketma-
ʼ ʻ ʼ
ketliklar yordamida beriladi. Funksiya
fx0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar D
to plamdan olingan va
ʻ x
0 ga yaqinlashuvchi har qanday { x
n }
ketma-ketlik uchun,
7

ya ni ʼ lim
n → ∞ x
n = x
0
bo lsa, funksiya qiymatlarining mos ketma-ketligi ʻ { f ( x
n ) }
ham
f(x¿¿0)¿
ga yaqinlashsa, ya n ʼ i lim
n → ∞ f ( x ¿ ¿ n ¿ ) = f ( x ¿ ¿ 0 ) ¿ ¿ ¿
bo lsa. Bu ta rif Koshi ʻ ʼ
ta rifiga nisbatan intuitivroq bo lishi mumkin, chunki u funksiyaning “uzluksiz”
ʼ ʻ
ekanligini, ya ni argumentdagi kichik o zgarishlar funksiya qiymatlarida ham kichik
ʼ ʻ
o zgarishlarga olib kelishini bevosita ifodalaydi. Ketma-ketliklar yordamida
ʻ
uzluksizlikni isbotlash yoki aksincha, uzluksizlikni inkor etish ko pincha epsilon-
ʻ
delta ta rifidan ko ra qulayroq bo ladi, ayniqsa funksiyaning uzilish nuqtalarini
ʼ ʻ ʻ
aniqlashda. Ushbu ikki ta rifning ekvivalentligi matematik analizning asosiy
ʼ
teoremalaridan biridir va ular bir-birini to ldirib, uzluksizlik tushunchasini har
ʻ
tomonlama yoritadi.
∀ { x
n } ⊂ D : lim
n → ∞ x
n = x
0 ⟹ lim
n → ∞ f ( x
n ) = f ( x
0 )
Funksiyaning
x0 nuqtada uzluksizligi uchun ketma-ketliklar yordamida ta rif. ʼ
Uzluksiz funksiyalarga misollar juda ko p va ular matematikada keng
ʻ
qo llaniladi.
ʻ
Masalan, barcha ko phad funksiyalar
ʻ
P(x)= anxn+an−1xn−1+… +a1x+a0
butun sonlar o qida uzluksizdir. Bu ularning har bir nuqtada aniqlanganligi va hech
ʻ
qanday “sakrash” yoki “uzilish”ga ega emasligi bilan izohlanadi. Ratsional
funksiyalar R ( x ) = P ( x ) / Q ( x )
(bu yerda P ( x )
va Q ( x )
ko phadlar) esa
ʻ Q ( x ) ≠ 0
bo lgan ʻ
barcha nuqtalarda uzluksizdir Trigonometrik funksiyalar, masalan, sin ( x )
va
cos (x)
ham butun sonlar o qida uzluksizdir. Eksponensial funksiya
ʻ ex va logarifmik funksiya
ln ( x )
(aniqlanish sohasida, ya ni
ʼ x>0 uchun) ham uzluksiz funksiyalarga yorqin
misollardir. Bu funksiyalarning uzluksizligi ularning grafiklarini chizishda qalamni
qog ozdan uzmasdan chizish mumkinligini anglatadi, bu esa ularning xossalarini
ʻ
tushunishda intuitiv yordam beradi. Uzluksiz funksiyalarga qarama-qarshi o laroq,
ʻ
uzilishga ega funksiyalar ham mavjud. Uzilishlar turli shakllarda bo lishi mumkin.
ʻ
8

Birinchi tur uzilishlar qatoriga bartaraf etiladigan uzilishlar va sakrash uzilishlar
kiradi. Bartaraf etiladigan uzilish, agar funksiyaning x
0 nuqtadagi limiti mavjud
bo lsa, lekin ʻ f ( x ¿ ¿ 0 ) ¿
qiymati limitga teng bo lmasa yoki ʻ x0 nuqtada funksiya
aniqlanmagan bo lsa yuzaga keladi. Masalan,
ʻ f ( x ) = x 2
− 1
x − 1 funksiya x=1 nuqtada
aniqlanmagan, ammo lim
x → 1 f ( x ) = 2
bo lgani uchun bu nuqtada bartaraf etiladigan
ʻ
uzilishga ega. Sakrash uzilishi esa funksiyaning x
0 nuqtada chap va o ng limitlari
ʻ
mavjud bo lib, lekin ular bir-biriga teng bo lmaganda sodir bo ladi. Masalan, Dirixle
ʻ ʻ ʻ
funksiyasi
D(x)={
1,x∈Q
0,x∉Q har bir nuqtada uzilishga ega, chunki hech bir nuqtada
limiti mavjud emas. Ikkinchi tur uzilishlar cheksiz uzilishlar yoki muhim uzilishlar
deb ataladi, bu yerda funksiyaning bir tomonlama limitlaridan kamida bittasi
cheksizlikka intiladi yoki umuman mavjud emas. f ( x ) = 1
x funksiyasi
x=0 nuqtada
cheksiz uzilishga ega, chunki lim
x → 0 + ¿ 1
x = + ∞ ¿ ¿
va
lim
x→0−¿1x=−∞¿
¿ . Bu misollar uzluksizlik
tushunchasining naqadar muhimligini va uning buzilishi qanday oqibatlarga olib
kelishini yaqqol ko rsatadi.
ʻ
Funksiyaning bir nuqtada uzluksizligi tushunchasidan tashqari, uning ma lum
ʼ
bir oraliqda uzluksizligi ham muhimdir. Funksiya
(a,b) ochiq oraliqda uzluksiz
deyiladi, agar u bu oraliqdagi har bir nuqtada uzluksiz bo lsa. Agar funksiya
ʻ [a,b]
yopiq oraliqda uzluksiz bo lsa, bu uning
ʻ ( a , b )
oraliqdagi har bir nuqtada
uzluksizligini, shuningdek, a
nuqtada o ngdan uzluksizligini (
ʻ lim x→a+¿f(x)=f(a)¿¿ ) va b
nuqtada chapdan uzluksizligini (
lim x→b−¿f(x)=f(b)¿¿ ) anglatadi. Oraliqda uzluksiz
funksiyalar ko plab muhim xossalarga ega, masalan, Bolzano-Koshi teoremasi (oraliq
ʻ
qiymatlar teoremasi) va Veyershtrass teoremasi (maksimal va minimal qiymatlar
teoremasi). Bu teoremalar uzluksiz funksiyalarning xatti-harakatini tahlil qilishda
fundamental vositalar bo lib xizmat qiladi. Uzluksizlik tushunchasining chuqur tahlili
ʻ
matematik analizning asosiy tamoyillarini o zlashtirish uchun zarurdir va
ʻ
9

murakkabroq matematik tushunchalarni, masalan, bir tekis uzluksizlik yoki
differensiallanuvchanlikni tushunishga zamin yaratadi.
1.2. Nuqtada va oraliqda uzluksizlik
Funksiyaning nuqtada uzluksizligi matematik analizning asosiy
tushunchalaridan biri bo lib, funksiya grafigida hech qanday keskin sakrashlar yokiʻ
uzilishlar yo qligini ifodalaydi. Bu tushuncha funksiyaning ma lum bir nuqta atrofida
ʻ ʼ
o zgarishining silliqligini, ya ni argumentning kichik o zgarishlari funksiya
ʻ ʼ ʻ
qiymatining ham kichik o zgarishlariga olib kelishini anglatadi. Rasmiy ravishda,
ʻ
f ( x )
funksiya
x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar u x0 nuqtada aniqlangan bo lsa, ʻ
x → x
0 da f ( x )
funksiyaning limiti mavjud bo lsa va bu limit funksiyaning
ʻ x
0
nuqtadagi qiymatiga teng bo lsa. Ushbu shart funksiyaning
ʻ x0 nuqtadagi xatti-
harakatini to liq tavsiflaydi va differensial hisobning negizini tashkil etadi.
ʻ
Uzluksizlik tushunchasi matematik modellashtirishda, ayniqsa, fizikaviy jarayonlarni
tasvirlashda muhim ahamiyatga ega, chunki ko plab tabiiy hodisalar uzluksiz
ʻ
o zgarish xususiyatiga ega.
ʻ
lim
x → x
0 f ( x ) = f ( x ¿ ¿ 0 ) ¿
Funksiyaning nuqtada uzluksizligi sharti . Nuqtada uzluksizlikning yanada
qat iy ta rifi Epsilon-delta tili yordamida beriladi, bu esa matematik isbotlarda keng
ʼ ʼ
qo llaniladi.
ʻ f ( x )
funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar har qanday ε>0 soni
uchun shunday
δ>0 soni topilsaki, ¿ x − x
0 ∨ ¿ δ
tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha x
lar uchun ¿ f ( x ) − f ( x ¿ ¿ 0 ) ∨ ¿ ε ¿
tengsizligi bajarilsa. Bu ta rif funksiya qiymatlarining
ʼ
f(x¿¿0)¿
ga yaqinligini ( ε
orqali) argument qiymatlarining x
0 ga yaqinligi ( δ
orqali)
bilan bog laydi. Geometrik nuqtai nazardan, bu shuni anglatadiki, funksiyaning
ʻ
grafigi
y= f(x¿¿0)¿ chizig i atrofida ʻ ε kenglikdagi gorizontal tasmani kesib
o tmasdan,
ʻ x = x
0 atrofidagi δ
kenglikdagi vertikal oraliqda joylashadi. Ushbu qat iy ʼ
ta rif funksiyalarning uzluksizlik xossalarini chuqur tahlil qilish va isbotlash uchun
ʼ
asos bo lib xizmat qiladi.
ʻ
10

Agar funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo lmasa, u holda bu nuqta uzilish nuqtasi ʻ
deyiladi. Uzilish nuqtalari bir necha turlarga bo linadi, ularning har biri funksiyaning
ʻ
o sha nuqtadagi xatti-harakatining o ziga xos xususiyatini aks ettiradi. Birinchi tur
ʻ ʻ
uzilishlariga bartaraf etiladigan uzilishlar va sakrash uzilishlar kiradi. Bartaraf
etiladigan uzilishda funksiyaning limiti mavjud, lekin u funksiyaning
x0 nuqtadagi
qiymatiga teng emas yoki
f(x¿¿0)¿ aniqlanmagan bo ladi. Sakrash uzilishlarida esa ʻ
chap va o ng limitlar mavjud, ammo ular bir-biriga teng emas. Ikkinchi tur
ʻ
uzilishlarida esa hech bo lmaganda bir tomonlama limit mavjud emas yoki
ʻ
cheksizlikka intiladi. Masalan, f ( x ) = 1 / x
funksiyasining
x=0 nuqtadagi uzilishi
ikkinchi tur uzilishiga misol bo la oladi, chunki bu nuqtada funksiya qiymati
ʻ
cheksizlikka intiladi. Uzilish nuqtalarini tahlil qilish funksiyaning xatti-harakatini
chuqurroq tushunishga yordam beradi va ba zi hollarda ularni bartaraf etish
ʼ
imkoniyatini beradi, bu esa funksiyaning analitik xususiyatlarini yaxshilaydi.
Funksiyaning oraliqda uzluksizligi tushunchasi nuqtadagi uzluksizlik
tushunchasiga asoslanadi va funksiyaning butun bir oraliq bo ylab silliq xatti-
ʻ
harakatini tavsiflaydi.
f(x) funksiya (a,b) ochiq oraliqda uzluksiz deyiladi, agar u bu
oraliqdagi har bir nuqtada uzluksiz bo lsa. Yopiq oraliq
ʻ [a,b] da uzluksizlikni
ta riflash uchun esa qo shimcha shartlar kiritiladi: funksiya
ʼ ʻ ( a , b )
ochiq oraliqda
uzluksiz bo lishi bilan birga,
ʻ a
nuqtada o ngdan uzluksiz (ya ni ʻ ʼ lim x→a+¿f(x)=f(a)¿¿ ) va b
nuqtada chapdan uzluksiz (ya ni
ʼ lim x→b−¿f(x)=f(b)¿¿ ) bo lishi kerak. Bu shartlar oraliqning ʻ
chekka nuqtalarida ham uzluksizlikni ta minlaydi. Oraliqda uzluksiz funksiyalar
ʼ
matematik analizda juda muhim rol o ynaydi, chunki ular ko plab foydali xossalarga
ʻ ʻ
ega, masalan, yopiq oraliqda o zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi,
ʻ
bu esa optimallash masalalarida fundamental ahamiyatga ega.
Uzluksiz funksiyalar bir qator muhim xossalarga ega bo lib, ular murakkab
ʻ
funksiyalarning uzluksizligini tekshirishda va matematik hisoblashlarda katta
qulayliklar yaratadi.
11

Agar f(x) va g ( x )
funksiyalar x0 nuqtada uzluksiz bo lsa, u holda ularning ʻ
yig indisi
ʻ f ( x ) + g ( x )
, ayirmasi f ( x ) − g ( x )
, ko paytmasi ʻ f ( x ) · g ( x )
va o zgarmas ʻ
songa ko paytmasi
ʻ c·f (x) ham x0 nuqtada uzluksiz bo ladi. Shuningdek, agar ʻ
g ( x ¿ ¿ 0 ) ≠ 0 ¿
bo lsa, ularning nisbati
ʻ f ( x ) / g ( x )
ham x
0 nuqtada uzluksiz bo ladi. ʻ
Murakkab funksiyalar uchun ham uzluksizlik xossasi saqlanadi: agar g ( x )
funksiya
x0 nuqtada uzluksiz va f ( y )
funksiya y0= g(x¿¿0)¿ nuqtada uzluksiz bo lsa, ʻ
u holda f ( g ( x ) )
murakkab funksiya x
0 nuqtada uzluksiz bo ladi. Bu xossalar
ʻ
funksiyalarni qurish va ularning xususiyatlarini tahlil qilishda asosiy vositalardan
hisoblanadi, ayniqsa, differensial tenglamalarni yechishda va funksional analizda. 1
Uzluksiz funksiyalar bilan bog liq bir qancha fundamental teoremalar mavjud
ʻ
bo lib, ular funksiyalarning xatti-harakatini chuqur tushunishga yordam beradi.
ʻ
Ulardan biri Bolzano-Koshi teoremasi (oraliq qiymat haqidagi teorema) bo lib, u
ʻ
shuni ta kidlaydiki, agar
ʼ f(x) funksiya yopiq [a,b] oraliqda uzluksiz bo lsa va ʻ
f ( a ) ≠ f ( b )
bo lsa, u holda
ʻ f ( a )
va f ( b )
orasidagi har qanday k qiymati uchun [ a , b ]
oraliqda shunday
c nuqta topiladiki, f(c)= k bo ladi. Bu teorema tenglamalarning ʻ
ildizlarini topishda va funksiyaning ma lum bir oraliqda barcha oraliq qiymatlarni
ʼ
qabul qilishini ko rsatishda muhimdir. Yana bir muhim teorema Veyershtrass
ʻ
teoremasi bo lib, u yopiq oraliqda uzluksiz funksiyaning bu oraliqda o zining eng
ʻ ʻ
katta va eng kichik qiymatlariga erishishini kafolatlaydi. Bu teoremalar optimallash
masalalarida, funksiyalarning chegaralanganligini isbotlashda va matematik
tahlilning boshqa ko plab sohalarida asosiy vositalardan hisoblanadi.
ʻ 2
Uzluksiz funksiyalar tushunchasi nazariy matematikadan tashqari, fizika,
muhandislik, iqtisodiyot va boshqa ko plab amaliy sohalarda keng qo llaniladi.
ʻ ʻ
Ko pgina tabiiy hodisalar, masalan, haroratning vaqt o tishi bilan o zgarishi, jismning
ʻ ʻ ʻ
harakati, elektr toki yoki iqtisodiy ko rsatkichlarning evolyutsiyasi uzluksiz
ʻ
funksiyalar yordamida modellashtiriladi. Uzluksizlik sharti ko pincha modellar
ʻ
1 Abdullayev A.A. Matematik analiz asoslari: Bir o zgaruvchili funksiyalar. Toshkent: Fan va texnologiya, 2023. B.
ʻ
150–180.
2 Ibrohimov G.A. Uzluksiz funksiyalar va ularning xossalari. Toshkent: Tafakkur, 2024. B. 40–65.
12

barqarorligini va real dunyo jarayonlarining silliqligini ta minlash uchun zarurdir.ʼ
Masalan, agar biror jarayon uzluksiz funksiya bilan ifodalansa, bu uning qiymatlari
keskin sakrashlarsiz, silliq o zgarishini anglatadi, bu esa ko plab fizik tizimlar uchun
ʻ ʻ
xosdir. Uzluksizlikni tushunish va qo llash murakkab tizimlarni tahlil qilish, ularning
ʻ
xatti-harakatini bashorat qilish va ularni boshqarish imkonini beradi, bu esa
zamonaviy fan va texnologiyaning rivojlanishi uchun muhimdir.
1.3. Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari
Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari matematik analizning asosiy
tushunchalaridan biri bo lib, ularning xatti-harakatini chuqurroq tushunishga yordam
ʻ
beradi. Bu xossalar funksiyaning uzluksizlik ta’rifidan bevosita kelib chiqadi va
keyingi nazariyalar, jumladan, differensial va integral hisobning poydevorini tashkil
etadi. Funksiyaning uzluksizligi uning grafigida “uzilishlar” yo qligini anglatadi, bu
ʻ
esa uning ma’lum bir nuqta atrofida va butun bir oraliqda qanday xususiyatlarga ega
bo lishini belgilaydi. Ushbu xossalar funksional tahlil, topologiya va amaliy
ʻ
matematikaning ko plab sohalarida muhim ahamiyatga ega. Ular nafaqat nazariy
ʻ
jihatdan qimmatli, balki real dunyo hodisalarini modellashtirishda ham keng
qo llaniladi, masalan, fizik jarayonlar, iqtisodiy modellar va muhandislik hisob-
ʻ
kitoblarida.
Uzluksiz funksiyalarning eng muhim elementar xossalaridan biri bu lokal
chegaralanganlikdir. Agar
f(x) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz bo lsa, u holda ʻ x
0
nuqtaning biror atrofida funksiya chegaralangan bo ladi. Boshqacha aytganda,
ʻ
shunday δ > 0
soni topiladiki, barcha x ∈ ( x
¿ ¿ 0 − δ , x
0 + δ ) ¿
uchun
¿f(x)∨≤M shartni
qanoatlantiruvchi
M >0 soni mavjud bo ladi. Bu xossa uzluksizlik ta’rifidan bevosita ʻ
kelib chiqadi: agar funksiya x
0 nuqtada uzluksiz bo lsa, har qanday
ʻ ε > 0
uchun
shunday
δ>0 mavjudki, ¿x− x0∨¿δ bo lganda ʻ ¿ f ( x ) − f ( x ¿ ¿ 0 ) ∨ ¿ ε ¿
bo ladi. Bu esa ʻ
f ( x ¿ ¿ 0 ) − ε < f ( x ) < f ( x ¿ ¿ 0 ) + ε ¿ ¿
ekanligini bildiradi, ya’ni funksiya x
0 atrofida
f ( x ¿ ¿ 0 ) − ε ¿
va f ( x ¿ ¿ 0 ) + ε ¿
orasida joylashgan bo ladi. Ushbu xossa, funksiyaning
ʻ
13

ma’lum bir nuqta atrofida “nazorat qilinadigan” xatti-harakatini ta’minlaydi va uning
qiymatlari cheksizlikka intilmasligini kafolatlaydi.
Yana bir muhim xossa bu ishora saqlash xossasidir. Agar f(x) funksiya x0
nuqtada uzluksiz bo lsa va
ʻ f ( x ¿ ¿ 0 ) ≠ 0 ¿
bo lsa, u holda ʻ x
0 nuqtaning biror atrofida
funksiya
f(x¿¿0)¿ bilan bir xil ishoraga ega bo ladi. Masalan, agar ʻ f(x¿¿0)>0¿
bo lsa, u holda shunday
ʻ δ > 0
soni topiladiki, barcha x∈(x¿¿0−δ,x0+δ)¿ uchun f ( x ) > 0
bo ladi. Xuddi shunday, agar
ʻ f(x¿¿0)<0¿ bo lsa, u holda ʻ x0 ning biror atrofida
f(x)<0
bo ladi. Bu xossa, ayniqsa, tengsizliklarni yechishda va funksiyaning nollari ʻ
joylashuvini aniqlashda katta ahamiyatga ega. U Bolzano-Koshi teoremasining
isbotida ham fundamental rol o ynaydi. Bu xossa funksiyaning uzluksizligi tufayli
ʻ
qiymatlarining keskin o zgarishiga yo l qo ymasligini ko rsatadi, ya’ni musbat
ʻ ʻ ʻ ʻ
qiymatdan manfiy qiymatga o tish uchun u nolni kesib o tishi shart.
ʻ ʻ
Uzluksiz funksiyalarning eng mashhur va amaliy ahamiyatga ega xossalaridan
biri bu oraliq qiymat haqidagi teorema, ya’ni Bolzano-Koshi teoremasidir. Ushbu
teoremaga ko ra, agar
ʻ f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo lsa va ʻ f ( a ) ≠ f ( b )
bo lsa, u holda
ʻ f ( a )
va f ( b )
orasidagi har qanday c qiymat uchun shunday x0∈(a,b)
nuqta topiladiki, f ( x ¿ ¿ 0 ) = c ¿
bo ladi. Bu teorema funksiya grafigining
ʻ
“uzluksizligi”ni matematik jihatdan ifodalaydi: funksiya bir nuqtadan ikkinchi
nuqtaga o tishda, bu nuqtalar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. Teoremaning
ʻ
xususiy holi sifatida, agar f ( a )
va
f(b) har xil ishoraga ega bo lsa (masalan, ʻ f(a)<0
va f ( b ) > 0
), u holda
[a,b] kesmada kamida bitta x
0 nuqta mavjud bo lib, ʻ f ( x ¿ ¿ 0 ) = 0 ¿
bo ladi. Bu xususiyat tenglamalarning ildizlarini topishda, ayniqsa, sonli usullarda
ʻ
(masalan, ikkilik qidiruv usuli) keng qo llaniladi. Bu teorema funksiyaning global
ʻ
xatti-harakatini tushunish uchun muhimdir, chunki u funksiya qiymatlari
to plamining bog liqligini ta’minlaydi.
ʻ ʻ
Yopiq kesmada uzluksiz funksiyalar uchun yana ikkita fundamental xossa
mavjud bo lib, ular Veyershtrass teoremalari nomi bilan mashhur. Birinchi
ʻ
Veyershtrass teoremasi shuni ta’kidlaydiki, agar
f(x) funksiya [a,b] yopiq kesmada
14

uzluksiz bo lsa, u holda bu kesmada chegaralangan bo ladi. Ya’ni, shunday ʻ ʻ M >0 soni
mavjudki, barcha
x∈[a,b] uchun ¿f(x)∨≤M bo ladi. Bu xossa funksiyaning lokal ʻ
chegaralanganligini butun bir yopiq oraliqqa umumlashtiradi. Ikkinchi Veyershtrass
teoremasi esa yanada kuchliroq natijani beradi: agar
f(x) funksiya [a,b] yopiq
kesmada uzluksiz bo lsa, u holda bu kesmada o zining eng katta va eng kichik
ʻ ʻ
qiymatlariga erishadi. Boshqacha aytganda, shunday
xmin ,xmax ∈[a,b] nuqtalar
mavjudki, barcha x ∈ [ a , b ]
uchun
f(x¿¿min )≤ f(x)≤ f(x¿¿max )¿¿ shart bajariladi. Bu
teoremalar optimallash masalalarida, masalan, funksiyaning global ekstremumlarini
topishda hal qiluvchi rol o ynaydi. Ular funksiyaning yopiq va chegaralangan
ʻ
to plamda uzluksizligi uning qiymatlari to plamining ham yopiq va chegaralangan
ʻ ʻ
bo lishini ta’minlashini ko rsatadi. Bu teoremalar ochiq oraliqlar yoki uzilishga ega
ʻ ʻ
funksiyalar uchun har doim ham o rinli emas, bu ularning ahamiyatini yanada
ʻ
oshiradi.
Uzluksiz funksiyalarning yana bir muhim xossasi bu teskari funksiyaning
uzluksizligidir. Agar f ( x )
funksiya biror oraliqda qat’iy monoton (qat’iy o suvchi
ʻ
yoki qat’iy kamayuvchi) va uzluksiz bo lsa, u holda uning teskari funksiyasi
ʻ f − 1
( y )
ham mavjud bo ladi va u funksiyaning qiymatlar sohasida uzluksiz bo ladi. Bu xossa
ʻ ʻ
funksiyaning bir qiymatli va teskarilanuvchan bo lishi uchun uzluksizlikning
ʻ
muhimligini ko rsatadi. Masalan,
ʻ
y = x 3
funksiyasi butun sonlar o qida qat’iy o suvchi ʻ ʻ
va uzluksizdir, uning teskari funksiyasi
x= 3√y ham uzluksizdir. Biroq, agar funksiya
monoton bo lmasa, uning teskari funksiyasi mavjud bo lmasligi yoki mavjud bo lsa
ʻ ʻ ʻ
ham uzluksiz bo lmasligi mumkin. Bu xossa differensial hisobda, masalan, teskari
ʻ
funksiyaning hosilasini topishda asos bo lib xizmat qiladi. Uzluksiz funksiyalar sinfi
ʻ
ko plab matematik operatsiyalarga nisbatan yopiqdir, masalan, uzluksiz
ʻ
funksiyalarning yig indisi, ayirmasi, ko paytmasi va bo linmasi (maxraj nolga teng
ʻ ʻ ʻ
bo lmagan joyda) ham uzluksizdir. Bu esa murakkab funksiyalarning uzluksizligini
ʻ
tekshirishni soddalashtiradi.
2.1. Oraliq qiymat haqidagi teorema
15

Uzluksiz funksiyalar nazariyasida oraliq qiymat haqidagi teorema markaziy
o rin tutadi, chunki u funksiyaning ma lum bir oraliqdagi xatti-harakatlari haqidaʻ ʼ
chuqur tushuncha beradi. Bu teorema, intuitiv jihatdan, agar funksiya ma lum bir
ʼ
oraliqda uzluksiz bo lsa va bu oraliqning chekka nuqtalarida turli qiymatlarni qabul
ʻ
qilsa, u holda funksiya bu ikki qiymat orasidagi har qanday qiymatni kamida bir
marta qabul qilishi shartligini ta kidlaydi. Bu xususiyat, ayniqsa, tenglamalarning
ʼ
yechimlarini topishda yoki funksiyaning ma lum bir qiymatga erishishini
ʼ
kafolatlashda muhim ahamiyatga ega. Teorema matematik analizning asosiy
tushunchalaridan biri bo lib, real sonlar to plamining to liqlik aksiomasi bilan
ʻ ʻ ʻ
chambarchas bog liqdir, chunki uzluksizlik tushunchasining o zi ham shu aksiomaga
ʻ ʻ
asoslanadi. Bu teorema nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy masalalarni
yechishda, masalan, sonli usullarda tenglamalarning ildizlarini topishda ham keng
qo llaniladi.
ʻ
Oraliq qiymat haqidagi teorema quyidagicha ifodalanadi: Aytaylik,
f
funksiya
[a,b] yopiq oraliqda uzluksiz bo lsin. Agar ʻ f ( a ) ≠ f ( b )
bo lsa, u holda ʻ f ( a )
va f ( b )
orasidagi har qanday c
qiymat uchun shunday
x0∈(a,b) nuqta topiladiki,
f ( x ¿ ¿ 0 ) = c ¿
bo ladi. Bu teorema funksiyaning grafigi
ʻ [a,b] oraliqda uzilishsiz
ekanligini, ya ni qalamni qog ozdan uzmasdan chizish mumkinligini anglatadi. Agar
ʼ ʻ
funksiya bir nuqtada musbat va boshqa nuqtada manfiy qiymat qabul qilsa, u holda
oraliq qiymat haqidagi teorema uning nol qiymatini ham qabul qilishini kafolatlaydi.
Bu Bolzano teoremasi deb ham ataladigan ushbu teoremaga xos xususiyat bo lib,
ʻ
tenglamalarning ildizlarini topishda fundamental vosita hisoblanadi. 3
∀ c ∈ ( min ( f ( a ) , f ( b ) ) , max ( f ( a ) , f ( b ) ) ) ∃ x
0 ∈ ( a , b ) : f ( x
0 ) = c
Oraliq qiymat haqidagi teoremaning matematik ifodasi . Teoremaning
isboti odatda real sonlar to plamining to liqlik xususiyatiga asoslanadi. Masalan, agar
ʻ ʻ
f ( a ) < c < f ( b )
bo lsa, biz
ʻ S = { x ∈ [ a , b ] : f ( x ) < c }
to plamini ko rib chiqamiz. Bu to plam ʻ ʻ ʻ
bo sh emas, chunki
ʻ a∈S , va yuqoridan b bilan chegaralangan. Real sonlar
3 Jalilov M.K. Matematik analizdan ma ruzalar. Farg ona: Farg ona Davlat Universiteti nashriyoti, 2022. B. 115–135.
ʼ ʻ ʻ
16

to plamining to liqlik aksiomasiga ko ra, ʻ ʻ ʻ S to plamining aniq yuqori chegarasi ʻ
(supremumi) mavjud. Bu supremumni x
0 deb belgilasak, x
0 nuqta teoremaning
shartini qanoatlantiruvchi nuqta bo ladi. Funksiyaning uzluksizligi
ʻ f ( x ¿ ¿ 0 ) = c ¿
ekanligini ko rsatishda hal qiluvchi rol o ynaydi. Agar
ʻ ʻ f(x¿¿0)<c¿ bo lsa, uzluksizlik ʻ
tufayli
x0 ning atrofida f(x)<c bo lgan nuqtalar mavjud bo ladi, bu ʻ ʻ x0 ning supremum
ekanligiga zid keladi. Xuddi shunday, agar
f(x¿¿0)>c¿ bo lsa, ʻ x
0 ning atrofida
f ( x ) > c
bo lgan nuqtalar mavjud bo ladi, bu ham
ʻ ʻ x0 ning supremum ekanligiga zid
keladi. Demak, f ( x ¿ ¿ 0 ) = c ¿
bo lishi shart.
ʻ
Uzluksizlik sharti bu teorema uchun mutlaqo zarurdir. Agar funksiya uzluksiz
bo lmasa, u holda teorema har doim ham o rinli bo lmaydi. Misol uchun,
ʻ ʻ ʻ f ( x ) = 1 / x
funksiyasini
[−1,1 ] oraliqda ko rib chiqaylik. ʻ f ( − 1 ) = − 1
va f ( 1 ) = 1
. Bu oraliqda c = 0
qiymati
f(−1) va f(1) orasida joylashgan, ammo f(x)=0 bo ladigan ʻ x nuqta mavjud
emas, chunki x = 0
nuqtada funksiya uzluksiz emas. Bu misol uzluksizlikning
teoremadagi ahamiyatini yaqqol ko rsatadi. Uzluksiz funksiyalar grafigi hech qanday
ʻ
sakrash yoki teshiklarga ega bo lmaganligi sababli, ular oraliq qiymatlarni qabul
ʻ
qilishga majburdir. Bu xususiyat, shuningdek, funksiyaning grafigi x-o qini kesib
ʻ
o tishini kafolatlashda ham qo llaniladi, agar funksiya oraliqning chekka nuqtalarida
ʻ ʻ
qarama-qarshi ishorali qiymatlarni qabul qilsa.
Oraliq qiymat haqidagi teoremaning amaliy qo llanilishiga kelsak, u
ʻ
tenglamalarning ildizlarini topishda juda samaralidir. Agar
f(x)=0 tenglamaning
yechimini topish kerak bo lsa va biz
ʻ f ( a )
va f ( b )
qarama-qarshi ishorali ekanligini
bilsak, u holda teorema
[a,b] oraliqda kamida bitta ildiz mavjudligini kafolatlaydi. Bu
ikkilik qidiruv kabi sonli usullarning asosini tashkil etadi, bu usullar ildizni tobora
kichikroq oraliqlarda lokalizatsiya qilishga imkon beradi. Bundan tashqari, bu
teorema funksiyaning ma lum bir qiymatga erishishini isbotlashda, masalan,
ʼ
haroratning ma lum bir vaqtda aniq bir darajaga yetishini ko rsatishda ham
ʼ ʻ
qo llanilishi mumkin. Masalan, agar kun boshida havo harorati
ʻ T
1 va kun oxirida T
2
bo lsa, va harorat uzluksiz o zgarsa, u holda
ʻ ʻ T1 va T2 orasidagi har qanday haroratga
17

kun davomida kamida bir marta erishilgan bo ladi. Bu teorema nafaqat matematikʻ
tahlilda, balki fizika, muhandislik va iqtisodiyot kabi turli fan sohalarida ham
fundamental tushuncha bo lib xizmat qiladi, chunki u real dunyo hodisalarining
ʻ
uzluksiz o zgarishini modellashtirishda muhimdir.
ʻ
2.2. Eng katta va eng kichik qiymat haqidagi teorema
Bir o zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari orasida eng katta va eng
ʻ
kichik qiymatlarning mavjudligi haqidagi teorema matematik analizning fundamental
natijalaridan biri bo lib, nazariy va amaliy jihatdan alohida ahamiyatga ega. Bu
ʻ
teorema optimallashtirish masalalarini yechishda, iqtisodiyotda resurslarni
taqsimlashda, fizikada energiya minimallashtirishda va muhandislikda dizayn
optimallashtirishda keng qo llaniladi. U funksiyaning ma lum bir yopiq oraliqda
ʻ ʼ
o zining eng yuqori va eng past nuqtalariga erishishini kafolatlaydi, bu esa ko plab
ʻ ʻ
real dunyo muammolarini hal qilish uchun mustahkam nazariy asos yaratadi.
Veyershtrassning eng katta va eng kichik qiymat haqidagi teoremasi
quyidagicha ifodalanadi: agar
f funksiya [ a , b ]
yopiq oraliqda uzluksiz bo lsa, u ʻ
holda bu oraliqda o zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Ya ni,
ʻ ʼ
shunday
c1,c2∈[a,b] nuqtalar mavjudki, har qanday x ∈ [ a , b ]
uchun
f(c¿¿1)≤ f(x)≤ f(c¿¿2)¿¿
tengsizlik o rinli bo ladi. Bu yerda ʻ ʻ f ( c ¿ ¿ 2 ) ¿
funksiyaning
[a,b]
oraliqdagi eng katta qiymati, f(c¿¿1)¿ esa eng kichik qiymati hisoblanadi. Bu
teorema funksiyaning uzluksizligi va oraliqning yopiqligi shartlarining muhimligini
ta kidlaydi, chunki bu shartlarning har biri buzilgan taqdirda teorema o rinli
ʼ ʻ
bo lmasligi mumkin.
ʻ
∃ c
1 , c
2 ∈ [ a , b ] shundayki , ∀ x ∈ [ a , b ] , f ( c ¿ ¿ 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( c ¿ ¿ 2 ) ¿ ¿
Veyershtrass teoremasining matematik ifodasi . Funksiyaning uzluksizligi
sharti teoremaning o rinli bo lishi uchun hal qiluvchi ahamiyatga ega. Agar funksiya
ʻ ʻ
uzluksiz bo lmasa, u holda u yopiq oraliqda ham o zining eng katta yoki eng kichik
ʻ ʻ
18

qiymatlariga erishmasligi mumkin. Masalan, f ( x ) = 1
x funksiyasi ¿ oraliqda uzluksiz,
ammo x → 0 + ¿ ¿
da f ( x ) → ∞
bo lgani sababli, bu oraliqda eng katta qiymatga ega emas.
ʻ
Shuningdek,
f(x)={
x,x∈¿
0,x=1 funksiyasi [0,1 ] oraliqda uzluksiz emas va x = 1
nuqtada
sakrashga ega. Bu funksiya [ 0,1 ]
oraliqda eng katta qiymatga ega emas, chunki
x→ 1−¿¿
da f ( x ) → 1
, lekin f(1)=0 . Bu misollar uzluksizlik shartining zarurligini
yaqqol ko rsatadi va funksiyaning grafigida uzilishlar mavjud bo lganda ekstremal
ʻ ʻ
qiymatlarning yo qolishi ehtimolini tasdiqlaydi.
ʻ
Oraliqning yopiqligi sharti ham teoremaning o rinli bo lishi uchun muhimdir.
ʻ ʻ
Agar oraliq ochiq bo lsa, ya ni
ʻ ʼ (a,b) shaklida bo lsa, uzluksiz funksiya ham o zining ʻ ʻ
eng katta yoki eng kichik qiymatlariga erishmasligi mumkin. Misol uchun, f ( x ) = x
funksiyasi ( 0,1 )
ochiq oraliqda uzluksizdir, ammo bu oraliqda eng katta yoki eng
kichik qiymatga ega emas. Chunki
x→ 0+¿¿ da funksiya 0 ga yaqinlashadi, lekin 0
qiymatiga erishmaydi, va
x→ 1−¿¿ da funksiya 1 ga yaqinlashadi, lekin 1 qiymatiga
erishmaydi. Bu holatda, funksiyaning qiymatlari
0 dan katta va 1
dan kichik bo lgan ʻ
barcha sonlarni o z ichiga oladi, ammo chegaralarga erishmaydi. Shuning uchun,
ʻ
oraliqning yopiq bo lishi, ya ni chegaraviy nuqtalarni o z ichiga olishi, funksiyaning
ʻ ʼ ʻ
ekstremal qiymatlarga erishishini kafolatlaydi, bu esa amaliy optimallashtirish
masalalarida muhim ahamiyat kasb etadi.
Ushbu teorema funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari mavjudligini
kafolatlagan holda, ularni qanday topish kerakligi haqida bevosita ko rsatma
ʻ
bermaydi. Biroq, matematik analizning boshqa vositalari yordamida bu qiymatlarni
topish usullari ishlab chiqilgan. Xususan, differensial hisobning asosiy
teoremalaridan foydalanib, uzluksiz funksiyaning yopiq oraliqdagi ekstremal
qiymatlarini topish uchun quyidagi qadamlar bajariladi: birinchidan, funksiyaning
hosilasi nolga teng bo lgan nuqtalar (kritik nuqtalar) aniqlanadi; ikkinchidan,
ʻ
oraliqning chekka nuqtalari
a va b
hisobga olinadi; uchinchidan, funksiyaning kritik
nuqtalardagi va oraliqning chekka nuqtalaridagi qiymatlari hisoblanadi. Bu qiymatlar
19

orasidan eng kattasi funksiyaning eng katta qiymati, eng kichigi esa eng kichik
qiymati bo ladi. Bu usul optimallashtirish masalalarini yechishda keng qo llaniladi vaʻ ʻ
amaliy hisob-kitoblar uchun asos bo ladi.
ʻ
Qadam Tavsif
1 Funksiyaning hosilasini topish va uni nolga tenglashtirish orqali kritik
nuqtalarni aniqlash ( f ' ( x ) = 0
).
2 Funksiya aniqlangan oraliqning chekka nuqtalarini (
a va b ) aniqlash.
3 Funksiyaning barcha kritik nuqtalardagi va chekka nuqtalardagi
qiymatlarini hisoblash.
4 Hisoblangan qiymatlar orasidan eng kattasini (maksimum) va eng
kichigini (minimum) tanlash.
Yopiq oraliqda uzluksiz funksiyaning ekstremal qiymatlarini topish
algoritmi. Eng katta va eng kichik qiymat haqidagi teorema nazariy matematikada
muhim rol o ynash bilan birga, amaliy fanlarda ham keng qo llaniladi. Masalan,
ʻ ʻ
iqtisodiyotda korxonaning foydasini maksimallashtirish yoki xarajatlarini
minimallashtirish masalalarida, fizikada tizimning barqaror holatini topishda
(potensial energiyani minimallashtirish orqali), muhandislikda esa materiallarning
mustahkamligini optimallashtirishda bu teorema asos bo ladi. Uning yordamida real
ʻ
dunyo muammolarini matematik modellar orqali tahlil qilish va eng maqbul
yechimlarni topish mumkin. Bu teorema, shuningdek, boshqa murakkabroq
optimallashtirish usullari va teoremalari uchun poydevor vazifasini o taydi, bu esa
ʻ
uning fundamental ahamiyatini yanada oshiradi.
2.3. Tekis uzluksizlik tushunchasi va xossalari
Tekis uzluksizlik tushunchasi matematik analizda, ayniqsa funksiyalarning
xossalarini chuqurroq o rganishda muhim ahamiyatga ega. Oddiy uzluksizlik
ʻ
funksiyaning har bir nuqtada alohida-alohida uzluksizligini ifodalasa, tekis
uzluksizlik funksiyaning butun aniqlanish sohasida bir xil “uzluksizlik darajasi” ga
ega ekanligini bildiradi. Bu farq, ayniqsa, cheksiz oraliqlarda yoki chegaralangan
20

bo lmagan funksiyalar uchun yaqqol namoyon bo ladi. Tekis uzluksizlik tushunchasiʻ ʻ
funksional analiz, differensial tenglamalar va topologiya kabi sohalarda keng
qo llaniladi. Uning yordamida ko plab muhim teoremalar isbotlanadi va matematik
ʻ ʻ
modellar yanada aniqroq tahlil qilinadi.
Funksiya
f:D → R to plamda tekis uzluksiz deyiladi, agar har qanday ʻ ε>0 soni
uchun shunday
δ>0 soni mavjud bo lsaki, ʻ D to plamdan olingan har qanday ʻ x1,x2
nuqtalar uchun
¿x1− x2∨¿δ shart bajarilganda ¿ f ( x ¿ ¿ 1 ) − f ( x ¿ ¿ 2 ) ∨ ¿ ε ¿ ¿
shart ham
bajarilsa. Bu ta’rif oddiy uzluksizlik ta’rifidan farqli o laroq,
ʻ δ sonining faqat ε
ga
bog liqligini, nuqtaning joylashuviga bog liq emasligini ko rsatadi. Oddiy
ʻ ʻ ʻ
uzluksizlikda
δ soni ε
va nuqta x
0 ga bog liq bo lishi mumkin. Bu nozik farq tekis ʻ ʻ
uzluksizlikni yanada kuchliroq xossa qiladi.
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x
1 , x
2 ∈ D , ∨ x
1 − x
2 ∨ ¿ δ ⟹ ∨ f ( x
1 ) − f ( x
2 ) ∨ ¿ ε
Tekis uzluksizlikning epsilon-delta ta’rifi. Nuqtaviy uzluksizlikda, har bir
x0
nuqta uchun δ qiymati o zgarishi mumkin. Masalan, ʻ
f ( x ) = x 2
funksiyasi R da
uzluksiz, ammo tekis uzluksiz emas. Agar x
qiymatlari kattalashsa, bir xil ε
uchun
δ
qiymati kichrayishi kerak bo ladi, chunki funksiyaning o zgarish tezligi ortadi.
ʻ ʻ
Boshqacha qilib aytganda, nuqtaviy uzluksizlikda funksiyaning grafigi “uzilmagan”
bo lishi talab etiladi, ammo bu “uzilmaslik” darajasi har bir nuqtada turlicha bo lishi
ʻ ʻ
mumkin. Tekis uzluksizlik esa funksiyaning butun aniqlanish sohasida bir xil
“silliqlik” yoki “uzilmaslik” darajasini kafolatlaydi. Bu farqni tushunish,
funksiyalarning analitik xossalarini chuqur tahlil qilish uchun asosiy hisoblanadi.
Tekis uzluksiz funksiyalar bir qator muhim xossalarga ega. Agar funksiya
chegaralangan yopiq oraliqda uzluksiz bo lsa, u shu oraliqda tekis uzluksiz bo ladi.
ʻ ʻ
Bu Heine-Cantor teoremasi deb ataladi va matematik analizda fundamental
natijalardan biridir. Ushbu teorema, masalan, integrallash nazariyasida va funksional
ketma-ketliklarning yaqinlashishini o rganishda muhim rol o ynaydi. Tekis uzluksiz
ʻ ʻ
funksiyalar chegaralangan oraliqlarda chegaralangan bo ladi. Shuningdek, ikkita tekis
ʻ
uzluksiz funksiyaning yig indisi, ayirmasi va ko paytmasi (agar aniqlanish sohasi
ʻ ʻ
21

umumiy bo lsa) ham tekis uzluksiz bo ladi. Bu xossalar tekis uzluksiz funksiyalarʻ ʻ
sinfini yaxshi tuzilgan va ko plab amaliy masalalar uchun qulay qiladi.
ʻ
Heine-Cantor teoremasi shuni ta’kidlaydiki, agar
f funksiya yopiq va
chegaralangan oraliqda (kompakt to plamda) uzluksiz bo lsa, u shu oraliqda tekis
ʻ ʻ
uzluksizdir. Bu teorema, uzluksizlikning kuchliroq shakli bo lgan tekis uzluksizlikni,
ʻ
kompakt to plamlarda avtomatik ravishda ta’minlaydi. Bu natija, masalan, Riman
ʻ
integrali nazariyasida muhim ahamiyatga ega, chunki uzluksiz funksiyalarning
integrallanuvchanligini isbotlashda tekis uzluksizlikdan foydalaniladi. Teorema,
shuningdek, funksional ketma-ketliklarning bir tekis yaqinlashishini o rganishda ham
ʻ
asos bo lib xizmat qiladi, chunki tekis uzluksizlik shartlari ko pincha bir tekis
ʻ ʻ
yaqinlashishni kafolatlaydi. Bu matematik analizning ko plab sohalarida nazariy
ʻ
asoslarni mustahkamlaydi.
f ( x ) = 1
x funksiyasi
(0,1 ) oraliqda uzluksiz, ammo tekis uzluksiz emas. Chunki
x→ 0+¿¿
da funksiya qiymatlari cheksizlikka intiladi va funksiyaning o zgarish tezligi ʻ
cheksiz ortadi. Bu holatda, ε
ni qanchalik kichik olsak ham,
δ ni topish qiyinlashadi,
chunki
x nolga yaqinlashganda funksiya juda tez o zgaradi. Boshqa tomondan, ʻ
f ( x ) = sin ( x )
funksiyasi butun R
da tekis uzluksizdir, chunki uning hosilasi
chegaralangan, ya’ni funksiyaning o zgarish tezligi hech qachon ma’lum bir
ʻ
qiymatdan oshmaydi. Shuningdek, f ( x ) = ax + b
ko rinishidagi chiziqli funksiyalar ham
ʻ
butun aniqlanish sohasida tekis uzluksizdir. Bu misollar tekis uzluksizlikning amaliy
ahamiyatini va uning oddiy uzluksizlikdan farqini yaqqol ko rsatadi.
ʻ
Tekis uzluksizlik tushunchasi nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy
sohalarda ham keng qo llaniladi. Masalan, sonli usullarda, differensial tenglamalarni
ʻ
taqribiy yechishda, funksiyaning tekis uzluksizligi yechimning barqarorligi va
yaqinlashishini ta’minlashda muhim rol o ynaydi. Shuningdek, signallarni qayta
ʻ
ishlashda, tasvirlarni tahlil qilishda va ma’lumotlarni siqishda ham tekis uzluksizlikka
asoslangan algoritmlar qo llaniladi. Bu tushuncha, funksional fazolarning to liqligini
ʻ ʻ
22

o rganishda ham asosiy vosita bo lib xizmat qiladi, bu esa matematik analizningʻ ʻ
ko plab ilg or bo limlari uchun fundamentaldir. Tekis uzluksizlik, funksiyalarning
ʻ ʻ ʻ
“xulq-atvorini” global miqyosda tushunishga imkon beruvchi kuchli vositadir.
3.1. Teskari funksiyaning uzluksizligi
Bir o zgaruvchili funksiyalar nazariyasida teskari funksiyaning mavjudligi va
ʻ
uning uzluksizligi masalasi muhim ahamiyatga ega. Funksiyaning teskarisi mavjud
bo lishi uchun u inyektiv, ya ni har xil argumentlarga har xil qiymatlar mos kelishi
ʻ ʼ
shart. Biroq, teskari funksiyaning uzluksizligi uchun faqat inyektivlik yetarli emas;
funksiyaning o zi uzluksiz va qat iy monoton bo lishi talab etiladi. Bu shartlar teskari
ʻ ʼ ʻ
funksiyaning xossalarini tushunishda fundamental rol o ynaydi va matematik
ʻ
analizning ko plab sohalarida, jumladan, differensial va integral hisobda keng
ʻ
qo llaniladi. Teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema funksiyalar orasidagi
ʻ
topologik bog liqliklarni o rganishda asosiy vositalardan biridir.
ʻ ʻ
Teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema quyidagicha ifodalanadi:
agar
f funksiya biror I oraliqda uzluksiz va qat iy monoton bo lsa, u holda uning ʼ ʻ
teskari funksiyasi
f−1 ham f(I) oraliqda uzluksiz bo ladi. Bu teorema funksiyaning ʻ
qat iy monotonligi va uzluksizligi uning teskari funksiyasiga ham uzluksizlik
ʼ
xossasini o tkazishini kafolatlaydi. Masalan, agar
ʻ f funksiya [a,b] yopiq oraliqda
uzluksiz va qat iy o suvchi bo lsa, u holda uning teskari funksiyasi
ʼ ʻ ʻ
f − 1
ham
[ f ( a ) , f ( b ) ]
oraliqda uzluksiz va qat iy o suvchi bo ladi. Xuddi shunday, agar
ʼ ʻ ʻ f
qat iy kamayuvchi bo lsa,
ʼ ʻ f−1 ham qat iy kamayuvchi bo ladi. Bu teorema ʼ ʻ
funksiyalar nazariyasining asosiy natijalaridan biri hisoblanadi.
Teoremaning isboti oraliq qiymat haqidagi teorema va monoton
funksiyalarning xossalariga asoslanadi. Agar
f funksiya [ a , b ]
oraliqda uzluksiz va
qat iy o suvchi bo lsa, u holda
ʼ ʻ ʻ f funksiya [a,b] oraliqni [f(a),f(b)] oraliqqa
o tkazadi va har bir
ʻ y ∈ [ f ( a ) , f ( b ) ]
uchun yagona x ∈ [ a , b ]
mavjud bo lib, ʻ f(x)= y
tenglik o rinli bo ladi. Bu
ʻ ʻ f−1 teskari funksiyaning mavjudligini ta minlaydi. Teskari ʼ
funksiyaning uzluksizligini isbotlash uchun
ε− δ ta rifidan foydalanamiz. ʼ
f − 1
23

funksiyaning y0= f(x¿¿0)¿ nuqtada uzluksizligini ko rsatish uchun, ixtiyoriy ʻ ε>0 soni
berilganda, shunday
δ>0 sonini topishimiz kerakki, agar ¿ y − y
0 ∨ ¿ δ
bo lsa, u holda ʻ
¿f−1(y)− f−1(y¿¿0)∨¿ε¿
tengsizlik bajarilsin. Qat iy monotonlik sharti ʼ f ( x ¿ ¿ 0 − ε ) ¿
va f ( x ¿ ¿ 0 + ε ) ¿
qiymatlari
f(x¿¿0)¿ dan farqli bo lishini ta minlaydi. Bu qiymatlar ʻ ʼ
yordamida
δ ni tanlash mumkin, chunki f uzluksizligi tufayli x
0 ga yaqin nuqtalar
f(x¿¿0)¿
ga yaqin qiymatlarni beradi. Shunday qilib, f funksiyaning uzluksizligi va
qat iy monotonligi
ʼ
f − 1
funksiyaning uzluksizligini bevosita keltirib chiqaradi.
Ushbu teoremaning ahamiyatini tushunish uchun misollarga murojaat qilish
foydalidir. Masalan, f ( x ) = x 3
funksiyasi butun haqiqiy sonlar o qida uzluksiz va
ʻ
qat iy o suvchi. Shuning uchun uning teskari funksiyasi
ʼ ʻ f−1(y)= 3√y ham butun
haqiqiy sonlar o qida uzluksizdir. Boshqa bir misol,
ʻ f ( x ) = e x
funksiyasi ham uzluksiz
va qat iy o suvchi bo lib, uning teskari funksiyasi
ʼ ʻ ʻ f − 1
( y ) = ln y
funksiyasi ( 0 , ∞ )
oraliqda uzluksizdir. Biroq, agar funksiya qat iy monoton bo lmasa, teskari funksiya
ʼ ʻ
uzluksiz bo lmasligi mumkin. Misol uchun,
ʻ f(x)= x2 funksiyasini [ − 1,1 ]
oraliqda
qarasak, u uzluksiz, ammo qat iy monoton emas (u
ʼ [−1,0 ] da kamayadi va [0,1 ] da
o sadi). Bu funksiyaning teskarisi yagona qiymatli funksiya emas. Agar
ʻ f ( x ) = x 2
funksiyasini faqat
¿ oraliqda qarasak, u holda u qat iy o suvchi va uzluksiz bo ladi, va ʼ ʻ ʻ
uning teskari funksiyasi f − 1
( y ) = ❑
√
y
ham ¿
oraliqda uzluksiz bo ladi. Bu misollar ʻ
teoremaning shartlarining zarurligini yaqqol ko rsatadi.
ʻ
Teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema matematik analizda
ko plab muhim natijalarning asosi bo lib xizmat qiladi. U yordamida teskari
ʻ ʻ
trigonometrik funksiyalar (masalan,
arcsin x , arccos x ) va logarifmik funksiyalar kabi
asosiy funksiyalarning uzluksizligi isbotlanadi. Bu funksiyalar o z navbatida
ʻ
differensial va integral hisobda keng qo llaniladi. Shuningdek, bu teorema yashirin
ʻ
funksiyalar nazariyasida ham muhim rol o ynaydi, chunki u ba zi shartlar ostida
ʻ ʼ
yashirin funksiyaning mavjudligi va uzluksizligini kafolatlaydi. Amaliy jihatdan, bu
prinsip sonli usullarda tenglamalarni yechishda, funksiyalarni yaqinlashtirishda va
turli matematik modellarni tahlil qilishda muhimdir, chunki u kirish ma lumotlaridagi
ʼ
24

kichik o zgarishlar chiqish ma lumotlarida ham kichik o zgarishlarga olib kelishiniʻ ʼ ʻ
ta minlaydi. Bu esa hisoblash jarayonlarining barqarorligini ta minlashda asosiy
ʼ ʼ
omillardan biridir.
3.2. Uzluksizlik va differensiallanuvchanlik orasidagi bog liqlik
ʻ
Uzluksizlik va differensiallanuvchanlik matematik analizning asosiy
tushunchalaridan bo lib, ular funksiyalarning xossalarini o rganishda markaziy o rin
ʻ ʻ ʻ
tutadi. Ushbu ikki tushuncha bir-biri bilan chambarchas bog liq bo lsa-da, ularning
ʻ ʻ
orasida muhim farqlar mavjud. Funksiyaning uzluksizligi uning grafigida “uzilishlar”
yoki “sakrashlar” yo qligini anglatadi, ya’ni funksiya qiymati argumentning kichik
ʻ
o zgarishlariga mos ravishda kichik o zgaradi. Boshqacha qilib aytganda, funksiya
ʻ ʻ
grafigini qalamni qog ozdan uzmasdan chizish mumkin. Differensiallanuvchanlik esa
ʻ
funksiya grafigining har bir nuqtasida aniq bir urinmaga ega bo lishini, ya’ni
ʻ
funksiya grafigining “silliqligini” bildiradi. Bu tushuncha funksiyaning o zgarish
ʻ
tezligini, ya’ni hosilasini aniqlash imkonini beradi. Ushbu bo limda biz uzluksizlik va
ʻ
differensiallanuvchanlik orasidagi munosabatni chuqur tahlil qilamiz, ularning bir-
biridan kelib chiqishini va qaysi hollarda bu munosabat buzilishini ko rib chiqamiz.
ʻ
Matematik analizda asosiy teoremalardan biri shuni ta’kidlaydiki, agar
funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo lsa, u shu nuqtada uzluksiz ham
ʻ
bo ladi. Bu teorema funksiyaning silliqligi uning uzluksizligini kafolatlashini
ʻ
ko rsatadi. Differensiallanuvchanlik tushunchasi funksiya grafigining ma’lum bir
ʻ
nuqtada aniq bir urinmaga ega bo lishini talab qiladi, bu esa o z navbatida funksiya
ʻ ʻ
qiymatining shu nuqta atrofida “sakrashsiz” o zgarishini anglatadi. Agar funksiya
ʻ
uzluksiz bo lmasa, uning grafigida uzilish paydo bo ladi va bunday nuqtada urinma
ʻ ʻ
chiziqni aniqlash imkonsiz bo ladi. Shuning uchun, differensiallanuvchanlik
ʻ
uzluksizlikdan ko ra kuchliroq shart hisoblanadi. Bu munosabatni isbotlash uchun,
ʻ
f ( x )
funksiyasi x
0 nuqtada differensiallanuvchi bo lsin. Bu shuni anglatadiki,
ʻ
quyidagi limit mavjud: lim
Δx → 0 f ( x ¿ ¿ 0 + Δx ) − f ( x ¿ ¿ 0 )
Δx = f ' ( x ¿ ¿ 0 ) ¿ ¿ ¿
. Uzluksizlikni
25

isbotlash uchun esa lim
Δx → 0 ¿ ¿ ¿
ekanligini ko rsatishimiz kerak. Biz quyidagichaʻ
yozishimiz mumkin: f ( x ¿ ¿ 0 + Δx ) − f ( x ¿ ¿ 0 ) = f ( x ¿ ¿ 0 + Δx ) − f ( x ¿ ¿ 0 )
Δx · Δx ¿ ¿ ¿ ¿
. Limit
xossalaridan foydalanib:
limΔx→0¿¿¿
. Bu esa
f ' ( x ¿ ¿ 0 ) · 0 = 0 ¿ ga teng. Demak,
lim
Δx → 0 f ( x ¿ ¿ 0 + Δx ¿ ) = f ( x ¿ ¿ 0 ) ¿ ¿ ¿
, bu esa
f ( x ) funksiyasining x
0 nuqtada uzluksizligini
bildiradi. Bu natija matematik analizning fundamental tamoyillaridan biri bo lib,
ʻ
ko plab amaliy masalalarda, masalan, fizikadagi tezlik va tezlanishni hisoblashda
ʻ
muhim ahamiyatga ega. 4
lim
Δx → 0 f ( x
0 + Δx ) − f ( x ¿ ¿ 0 )
Δx = f ' ( x ¿ ¿ 0 ) ¿ ¿
Funksiyaning x
0 nuqtadagi hosilasi ta’rifi.
Biroq, bu munosabatning teskarisi har doim ham to g ri emas. Ya’ni, funksiya
ʻ ʻ
biror nuqtada uzluksiz bo lishi mumkin, ammo shu nuqtada differensiallanuvchi
ʻ
bo lmasligi mumkin. Bu holat funksiya grafigida “o tkir burchaklar” yoki “sinishlar”
ʻ ʻ
mavjud bo lganda yuzaga keladi. Bunday nuqtalarda funksiya grafigiga yagona
ʻ
urinma chiziq chizish imkonsiz bo ladi, chunki chap va o ng hosilalar bir-biriga teng
ʻ ʻ
bo lmaydi. Eng klassik misollardan biri bu
ʻ f ( x ) = ¿ x ∨ ¿
funksiyasidir. Bu funksiya
x=0
nuqtada uzluksizdir, chunki limx→0¿x∨¿=0=¿0∨ ¿¿ . Biroq, u x=0 nuqtada
differensiallanuvchi emas. Buning sababi, x = 0
nuqtada funksiya grafigi o tkir
ʻ
burchak hosil qiladi.
x>0 uchun f ' ( x ) = 1
, x<0 uchun esa f ' ( x ) = − 1
. Demak, x=0
nuqtada chap hosila
−1 ga, o ng hosila esa ʻ 1
ga teng bo lib, ular bir-biriga teng emas. ʻ
Bu holat funksiyaning
x=0 nuqtada hosilaga ega emasligini ko rsatadi. Shuningdek, ʻ
Weierstrass funksiyasi kabi murakkabroq misollar ham mavjud bo lib, ular butunlay
ʻ
uzluksiz, ammo hech bir nuqtada differensiallanuvchi emas.
Uzluksizlik va differensiallanuvchanlik orasidagi bu farqni tushunish
matematik analizda juda muhimdir. Geometrik nuqtai nazardan, uzluksiz funksiya
4 Raximov D.E. Matematik analiz: Chegaralar va uzluksizlik. Qarshi: Qarshi Davlat Universiteti nashriyoti, 2023. B.
55–75.
26

grafigi “uzilmagan” bo lsa, differensiallanuvchi funksiya grafigi “silliq” vaʻ
“burchaklarsiz” bo ladi. Analitik nuqtai nazardan, differensiallanuvchanlik
ʻ
funksiyaning lokal chiziqliligini anglatadi, ya’ni har bir nuqta atrofida funksiyani
chiziqli funksiya bilan yaqinlashtirish mumkin. Bu yaqinlashish hosila orqali amalga
oshiriladi va u optimallashtirish, sonli usullar va differensial tenglamalarni yechish
kabi sohalarda keng qo llaniladi. Masalan, funksiyaning ekstremumlarini topishda,
ʻ
ya’ni maksimum yoki minimum nuqtalarini aniqlashda, funksiyaning
differensiallanuvchi bo lishi shart.
ʻ
Xususiyat Uzluksizlik Differensiallanuvchanlik
Ta’rif Funksiya grafigida uzilish yo q;
ʻ
limx→x0
f(x)= f(x¿¿0)¿ Funksiya grafigining har
bir nuqtasida yagona
urinma mavjud; hosila
mavjud
Geometrik
ma’no Grafikni qalamni uzmasdan chizish
mumkin Grafik silliq,
o tkir burchaklarsiz
ʻ
Kuchlilik Differensiallanuvchanlikdan
kuchsizroq shart Uzluksizlikdan kuchliroq
shart
Kelib chiqish Differensiallanuvchanlik uzluksizlikni
anglatadi Uzluksizlik
differensiallanuvchanlikni
anglatmaydi
Misol
f(x)=¿x∨¿ (uzluksiz, ammo x = 0
da
differensiallanuvchi emas) f(x)= x2 (har bir nuqtada
uzluksiz va
differensiallanuvchi)
Uzluksizlik va differensiallanuvchanlikning asosiy farqlari. Uzluksizlik va
differensiallanuvchanlik tushunchalari nafaqat nazariy matematikada, balki fizika,
iqtisodiyot, muhandislik va kompyuter fanlari kabi amaliy sohalarda ham keng
qo llaniladi. Masalan, fizikada tezlik va tezlanish funksiyalarining
ʻ
27

differensiallanuvchanligi muhimdir. Iqtisodiyotda marjinal xarajatlar va marjinal
daromadlar kabi tushunchalar hosila yordamida aniqlanadi. Muhandislikda esa
tizimlarning barqarorligini tahlil qilishda differensial tenglamalar va ularning
yechimlarining uzluksizligi va differensiallanuvchanligi hal qiluvchi ahamiyatga ega.
Biroq, real dunyo ma’lumotlari ko pincha silliq emas va uzilishlarga yoki o tkirʻ ʻ
burchaklarga ega bo lishi mumkin. Bunday hollarda, funksiyalarning
ʻ
differensiallanuvchanlik xususiyatlarini to g ri baholash va ularga mos matematik
ʻ ʻ
modellarni qo llash muhimdir. Masalan, tasvirni qayta ishlashda chekka aniqlash
ʻ
algoritmlari ko pincha funksiyaning differensiallanuvchi bo lmagan nuqtalarini
ʻ ʻ
izlaydi, chunki bu nuqtalar tasvirdagi muhim o zgarishlarni (chegaralarni) aks
ʻ
ettiradi. Prezident Sh.M. Mirziyoyevning asarlarida ta’kidlanganidek, zamonaviy ilm-
fan va texnologiyalar rivojlanishi uchun fundamental matematik tushunchalarni
chuqur o zlashtirish va ularni amaliyotga tatbiq etish muhimdir.
ʻ
3.3. Uzluksiz funksiyalarning real hayotdagi modellashdagi o‘rni
Uzluksiz funksiyalar matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biri bo lib,
ʻ
real dunyo hodisalarini modellashtirishda markaziy o rin tutadi. Ularning ahamiyati
ʻ
shundaki, ko plab tabiiy jarayonlar va ijtimoiy-iqtisodiy hodisalar vaqt yoki makon
ʻ
bo yicha silliq, keskin sakrashlarsiz o zgarish xususiyatiga ega. Masalan, jismning
ʻ ʻ
harakati, suyuqlikning oqimi, haroratning o zgarishi yoki aholi sonining dinamikasi
ʻ
kabi jarayonlar ko pincha uzluksiz funksiyalar yordamida aniq va samarali
ʻ
tasvirlanadi. Uzluksizlik tushunchasi matematik modellarga differensial va integral
hisobning kuchli vositalarini qo llash imkonini beradi, bu esa jarayonlarning
ʻ
o zgarish tezligini, to plangan qiymatlarini va optimal holatlarini tahlil qilish uchun
ʻ ʻ
zarurdir. Bu funksiyalarning matematik xususiyatlari, xususan, oraliq qiymat
teoremasi va ekstremal qiymat teoremasi kabi fundamental natijalar, real hayotdagi
muammolarni yechishda muhim nazariy asosni ta’minlaydi. Uzluksiz funksiyalar
yordamida yaratilgan modellar nafaqat mavjud holatni tushuntiradi, balki kelajakdagi
tendensiyalarni bashorat qilish va tizimlarni boshqarish uchun ham asos bo lib xizmat
ʻ
28

qiladi, chunki ular silliq o zgarishlarni aks ettirib, kutilmagan sakrashlarni istisnoʻ
qiladi. Bu esa, o z navbatida, modellarning ishonchliligini oshiradi va ularga
ʻ
asoslangan qarorlar qabul qilish jarayonini yanada mustahkam qiladi.
Soha Uzluksiz funksiya
qo llanilishi
ʻ Misollar
Fizika Harakat, tezlik,
tezlanish, to lqin
ʻ
tarqalishi Jismning
traektoriyasi, issiqlik
oqimi
Iqtisodiyot Bozor narxlari,
foiz stavkalari, iqtisodiy
o sish
ʻ Talab va taklif
egri chiziqlari, kapitalning
o sishi ʻ
Biologiya Aholi dinamikasi,
dori metabolizmi, kasallik
tarqalishi Logistik o sish
ʻ
modeli, dori
konsentratsiyasi
Muhandislik Boshqaruv
tizimlari, signalni qayta
ishlash, strukturalar
mustahkamligi Elektr signallari,
konstruksiya
deformatsiyasi
Ekologiya Iqlim modellari,
ifloslanish tarqalishi,
resurs boshqaruvi Harorat
o zgarishi, havo
ʻ
ifloslanishi
Uzluksiz funksiyalarning turli sohalardagi qo‘llanilishi. Fizika va
muhandislik sohalarida uzluksiz funksiyalar fundamental rol o ynaydi. Mexanikada
ʻ
jismning vaqtga bog liq holati, tezligi va tezlanishi uzluksiz funksiyalar bilan
ʻ
ifodalanadi. Masalan, erkin tushayotgan jismning balandligi
h(t)= h0− 1
2¿2 funksiyasi
bilan, uning tezligi esa
v(t)=−¿ funksiyasi bilan uzluksiz tarzda o zgaradi. ʻ
29

Elektrotexnikada tok kuchi, kuchlanish va quvvat kabi kattaliklar vaqtning uzluksiz
funksiyalari sifatida qaraladi, bu esa signalni qayta ishlash, filtrlash va boshqaruv
tizimlarini loyihalashda muhimdir. Uzluksiz signallar Fur'e tahlili orqali chastota
domenida tahlil qilinadi, bu esa aloqa tizimlarida shovqinni kamaytirish va ma’lumot
uzatish samaradorligini oshirish imkonini beradi. Issiqlik uzatish jarayonlari ham
uzluksiz funksiyalar yordamida modellashtiriladi, bu yerda haroratning fazo va vaqt
bo yicha tarqalishi differensial tenglamalar orqali tasvirlanadi. Masalan, issiqlikʻ
tenglamasi uzluksiz harorat maydonini tahlil qilish imkonini beradi, bu esa issiqlik
almashinuvchi qurilmalarni loyihalashda hal qiluvchi ahamiyatga ega. Muhandislikda
konstruksiyalarning deformatsiyasi, materiallarning mustahkamligi va tebranish
jarayonlari ham uzluksiz funksiyalar orqali modellashtiriladi, bu esa xavfsizlik va
samaradorlikni ta’minlash uchun zarurdir. Ushbu sohalarda uzluksiz funksiyalarning
qo llanilishi murakkab tizimlarning dinamik xatti-harakatlarini chuqur tahlil qilishga
ʻ
va optimallashtirishga imkon beradi, chunki ular real fizik jarayonlarning silliq
evolyutsiyasini aks ettiradi.
∂u
∂t=α∇2u
Issiqlik tenglamasi . Iqtisodiyot, biologiya va ekologiya kabi sohalarda ham
uzluksiz funksiyalar keng qo llaniladi. Iqtisodiy modellarda talab va taklif
ʻ
funksiyalari, ishlab chiqarish funksiyalari, foyda va xarajat funksiyalari ko pincha
ʻ
uzluksiz deb faraz qilinadi, bu esa iqtisodiy muvozanat nuqtalarini topish va bozor
dinamikasini tahlil qilish imkonini beradi. Masalan, kapitalning vaqt bo yicha o sishi
ʻ ʻ
K (t)= K0ert
kabi uzluksiz funksiya bilan ifodalanishi mumkin, bu yerda r
foiz
stavkasini bildiradi. Bu model investitsiyalarning uzoq muddatli o sishini bashorat
ʻ
qilishda muhimdir. Biologiyada aholi o sishi modellari, masalan, logistik o sish
ʻ ʻ
modeli P ' ( t ) = rP ( t )
( 1 − P ( t )
K ) , uzluksiz funksiyalar yordamida tasvirlanadi, bu yerda
P ( t )
vaqtga bog liq aholi sonini ifodalaydi va resurs cheklovlarini hisobga oladi.
ʻ
30

Farmakologiyada dori moddasining qondagi konsentratsiyasining vaqt bo yichaʻ
o zgarishi, kasallik tarqalishining epidemiologik modellari ham uzluksiz funksiyalar
ʻ
orqali tahlil qilinadi, bu esa davolash protokollarini optimallashtirish va jamoat
salomatligi strategiyalarini ishlab chiqishda yordam beradi. Ekologiyada iqlim
o zgarishi, ifloslantiruvchi moddalarning tarqalishi va ekotizimlardagi energiya oqimi
ʻ
kabi murakkab jarayonlar uzluksiz funksiyalar yordamida modellashtiriladi. Bu
modellar atrof-muhitni muhofaza qilish strategiyalarini ishlab chiqish va tabiiy
resurslarni boshqarishda muhim ahamiyatga ega, chunki ular ekologik tizimlardagi
silliq o zgarishlarni va ularning o zaro ta’sirini aks ettiradi.
ʻ ʻ
Uzluksiz funksiyalarning real hayotdagi modellashdagi o rni ularning
ʻ
matematik tahlil uchun qulayligi bilan belgilanadi. Differensial hisobning asosiy
teoremalari, masalan, o rta qiymat teoremasi, uzluksiz funksiyalar uchun amal qiladi,
ʻ
bu esa o zgarish tezligini aniqlash va optimallashtirish masalalarini yechishda juda
ʻ
foydalidir. Integral hisob esa uzluksiz funksiyalar ostidagi maydonni, to plangan
ʻ
miqdorlarni va o rtacha qiymatlarni hisoblash imkonini beradi. Bu matematik
ʻ
vositalar murakkab tizimlarning xatti-harakatlarini chuqur tushunish va ularni
bashorat qilish uchun zarurdir. Biroq, real dunyo hodisalarida ba’zan keskin
o zgarishlar, ya’ni uzilishlar ham kuzatilishi mumkin. Bunday hollarda, uzluksiz
ʻ
funksiyalar faqat taxminiy modellar sifatida xizmat qiladi yoki uzilish nuqtalarini
alohida tahlil qilish talab etiladi. Masalan, biror hodisaning boshlanishi yoki tugashi,
yoki tizimga tashqi ta’sirning keskin kirib kelishi uzilishlarni keltirib chiqarishi
mumkin. Shunga qaramay, ko plab murakkab tizimlarni soddalashtirish va ularning
ʻ
asosiy dinamikasini tushunish uchun uzluksiz funksiyalar eng samarali vositalardan
biri bo lib qolmoqda. Ular ilmiy tadqiqotlar, muhandislik loyihalash va siyosatni
ʻ
shakllantirishda keng qo llaniladigan matematik apparatning ajralmas qismidir.
ʻ
Uzluksiz funksiyalar yordamida yaratilgan modellar nafaqat nazariy tushunchalarni
chuqurlashtiradi, balki amaliy muammolarga yechim topishda ham beqiyos
31

ahamiyatga ega, chunki ular tizimlarning silliq va bashorat qilinadigan
evolyutsiyasini tahlil qilishga imkon beradi.
32

XULOSA
Ushbu kurs ishi davomida bir o zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning nazariyʻ
asoslari chuqur tahlil qilindi. Dastlab, funksiyaning nuqtada va oraliqda uzluksizligi
tushunchalari, jumladan, Koshi va ketma-ketliklar yordamida berilgan qat iy ta riflar
ʼ ʼ
ko rib chiqildi. Bu ta riflar funksiyaning grafigida uzilishlar yo qligini, ya ni
ʻ ʼ ʻ ʼ
argumentning kichik o zgarishlariga funksiya qiymatining ham kichik o zgarishlar
ʻ ʻ
bilan javob berishini matematik jihatdan ifodalaydi. Uzluksiz funksiyalarning lokal
chegaralanganlik va ishora saqlash kabi elementar xossalari ularning xatti-harakatini
tushunishda muhim ahamiyatga ega ekanligi ko rsatildi.
ʻ
Uzluksiz funksiyalar uchun fundamental bo lgan oraliq qiymat haqidagi
ʻ
teorem va Veyershtrassning eng katta va eng kichik qiymat haqidagi teoremalari
batafsil o rganildi. Bu teoremalar funksiyaning yopiq oraliqdagi qiymatlari to plami
ʻ ʻ
va ekstremal qiymatlarga erishish shartlari haqida muhim ma lumot beradi. Tekis
ʼ
uzluksizlik tushunchasi oddiy uzluksizlikdan farqli o laroq, butun aniqlanish sohasida
ʻ
bir xil uzluksizlik darajasini ta minlashi va Heine-Cantor teoremasi orqali yopiq
ʼ
chegaralangan oraliqlarda uzluksiz funksiyalar tekis uzluksiz bo lishi isbotlandi.
ʻ
Teskari funksiyaning uzluksizligi uchun funksiyaning uzluksizligi va qat iy
ʼ
monotonligi shartlari zarurligi ta kidlandi. Uzluksizlik va differensiallanuvchanlik
ʼ
orasidagi bog liqlik tahlil qilinib, har bir differensiallanuvchi funksiya uzluksiz
ʻ
ekanligi, ammo teskarisi har doim ham to g ri emasligi misollar bilan ko rsatildi.
ʻ ʻ ʻ
Nihoyat, uzluksiz funksiyalarning fizika, muhandislik, iqtisodiyot va biologiya kabi
real hayotdagi ko plab jarayonlarni modellashtirishdagi hal qiluvchi o rni yoritildi.
ʻ ʻ
Ular matematik modellashtirishning asosiy vositasi bo lib, murakkab tizimlarning
ʻ
dinamik xatti-harakatlarini tahlil qilish va bashorat qilish imkonini beradi. Ushbu
tushunchalarni chuqur o zlashtirish matematik analizning keyingi bo limlarini
ʻ ʻ
o rganish va amaliy masalalarni samarali yechish uchun mustahkam poydevor
ʻ
yaratadi.
33

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Mirziyoyev Sh.M. O zbekiston 2030 strategiyasi. Toshkent: O zbekiston, 2023.ʻ ʻ
B. 88–92
2. Mirziyoyev Sh.M. Inson qadri uchun. Toshkent: O zbekiston, 2023. B. 88–92
ʻ
3. Mirziyoyev Sh.M. O zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi
ʻ
"Matematika sohasidagi ta lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni
ʼ
rivojlantirish chora-tadbirlari to g risida"gi PQ-4708-son qarori. Toshkent:
ʻ ʻ
Adolat, 2020
4. Mirziyoyev Sh.M. Yangi O zbekiston taraqqiyot strategiyasi. Toshkent:
ʻ
O zbekiston, 2022. B. 120–125
ʻ
5. Abdullayev A.A. Matematik analiz asoslari: Bir o zgaruvchili funksiyalar.
ʻ
Toshkent: Fan va texnologiya, 2023. B. 150–180
6. Ahmedov B.T. Haqiqiy analizga kirish. Samarqand: Samarqand Davlat
Universiteti nashriyoti, 2022. B. 95–110
7. Ergashev U.S. Differensial tenglamalar nazariyasi. Namangan: Namangan Davlat
Universiteti nashriyoti, 2022. B. 45–60
8. G aniyev Sh.R. Topologiya asoslari. Toshkent: Fan va texnologiya, 2023. B. 25–
ʻ
40
9. https://math.uz/uz/research/analysis (accessed: 10.03.2024)
10. https://www.uni-math.uz/uz/courses/calculus (accessed: 12.03.2024)
11. Ibrohimov G.A. Uzluksiz funksiyalar va ularning xossalari. Toshkent: Tafakkur,
2024. B. 40–65
12. Jalilov M.K. Matematik analizdan ma ruzalar. Farg ona: Farg ona Davlat
ʼ ʻ ʻ
Universiteti nashriyoti, 2022. B. 115–135
13. Karimov S.R. Funksiyalar nazariyasi va amaliyot. Toshkent: Universitet, 2024. B.
60–85
14. Mirzayev N.K. Raqamli iqtisodiyotda matematik usullar. Toshkent: Fan va
texnologiya, 2024. B. 90–110
34

15. Norboyev A.Q. Matematik analiz kursidan misol va masalalar. Toshkent:
O qituvchi, 2023. B. 100–120ʻ
16. Olimov J.B. Iqtisodiy jarayonlarni matematik modellashtirish. Toshkent: Iqtisod-
Moliya, 2023. B. 110–130
17. O zbekiston Milliy Universiteti Matematika fakulteti.
ʻ
https://math.nuu.uz/uzluksiz-funksiyalar (accessed: 10.03.2024)
18. O zbekiston Respublikasi Fanlar Akademiyasi.
ʻ
https://www.academy.uz/uz/ilmiy-tadqiqotlar/matematika (accessed: 12.03.2024)
19. O zbekiston Respublikasining "Ta lim to g risida"gi Qonuni (yangi tahriri).
ʻ ʼ ʻ ʻ
Toshkent: Adolat, 2020
20. Qodirov L.M. Funksional analizga kirish. Toshkent: Fan, 2024. B. 30–50
21. Raximov D.E. Matematik analiz: Chegaralar va uzluksizlik. Qarshi: Qarshi
Davlat Universiteti nashriyoti, 2023. B. 55–75
22. Sultonov F.X. Haqiqiy o zgaruvchili funksiyalar nazariyasi. Urganch: Urganch
ʻ
Davlat Universiteti nashriyoti, 2022. B. 80–100
23. Usmonov Z.N. Differensial hisob asoslari. Buxoro: Buxoro Davlat Universiteti
nashriyoti, 2023. B. 70–90
24. Xolmatov A.I. Matematik modellashtirish asoslari. Toshkent: Innovatsiya, 2024.
B. 70–90
25. ZiyoNET resurs markazi. https://www.ziyonet.uz/uz/library/matematika/analiz
(accessed: 11.03.2024)
35

Sotib olish