Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar 26 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	460.8KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar 26

Sotib olish

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar

1

MUNDARIJA
KIRISH ................................................................................................................. 3
I BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALAR HAQIDA UMUMIY
TUSHUNCHA .................................................................................................... 10
1.1- § . To‘plamning va funksiyaning limiti tushunchalari ................................... 10
II BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALARNING ASOSIY
XOSSALARI ...................................................................................................... 17
2.1- § . Tengsizlik belgisi bilan ifodalaniladigan xossalar .................................... 17
2.2- § . Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar .............. 19
2.3- § . Aniqmas ifodalar ....................................................................................... 20
III BOB. CHEKLI LIMITGA EGA BO‘LGAN KO‘P O‘ZGARUVCHILI
FUNKSIYALAR ................................................................................................ 22
3.1- § . Ko‘p o‘zgaruvchilik funksiya limiti .......................................................... 22
3.2- § . Chekli limitga ega bo‘lgan ko‘p o‘zgaruvchilik funksiyalarning asosiy
teoremalari va xossalari ....................................................................................... 22
XULOSA ............................................................................................................ 25
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ..................................... 28
2

KIRISH
“ Matematika hamma aniq
fanlarga asos. Bu fanni yaxshi
bilgan bola aqlli, keng tafakkurli
bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada
muvaffaqiyatli ishlab ketadi”
SH.M.Mirziyoyev
Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda
ham jismonan ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati
darajasiga ko‘tarilgan.
Prezidentimiz Sh. Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh
assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy
faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda.
Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan
oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan
demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat.
“2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta
ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot
darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida
fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo
jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida
ta’kidlab, o‘tamiz.
“Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat
siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar
strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston
Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar
strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga
mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir.
Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida
malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini
3

ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy
etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy
etishda natijaviylikka e’tiborni qaratamiz.
Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy
komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim-
tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim
maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi. Fan taraqqiyoti
ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin
o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar
jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning
insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va
strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib
borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv
materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi. Ma’lumki, har bir davlat va
jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan-
texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi
emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek,
“Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi,
jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi
shubhasizdir”. XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika,
ijtimoiy-siyosiy innovatsiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda
barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik,
balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan
bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va
takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar,
ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini
oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol
metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir.
Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi
yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi. Ta’lim texnologiyasi insoniylik
4

tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning
o‘ziga xosligi talabaning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon
bo‘ladi. Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika
fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi
yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida
darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining dolzarblig i. Matematik analiz oliy matematikaning
fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori hisoblanadi.
Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko‘pgina tushuncha va
tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va mutaxassislar
tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog‘liq.
Ma m l a k a t i m i z n i n g b arc h a j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g k o‘l a m l i
i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i q u r i s h
z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i y u z a g a
c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t - sh a r o i t v az i fa l ari m u j a ss a m .
Bu bo r a d a b a r k a m o l a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y v a o‘ r t a
m a x s u s t a ’ li m s o h a s i d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n , t a ’ li m
h a m d a i s h l a b c h i q ar is h o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a r i v o j l a n t i r i sh g a
a l o h i d a e’ t i b o r q ar a t i l m oqd a.
Kurs ishining maqsad va vazifalari . O‘quv jarayonida interfaol xorijiy
usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda
nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan.
Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg‘ulotlarga oid fan materiallari bilan
birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng
dolzarb muammolardan biri hisoblanadi.
Kurs ishining ob’yekti . O‘zbekistondagi barcha ta’lim muassasalarida
matematikani o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti . Innovatsion ta’lim muhiti mazmuni, metodlari va
innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar.
5

Kurs ishining tuzilishi va tarkibi . Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish
qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon
etilgan.
6

I BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALAR HAQIDA UMUMIY
TUSHUNCHA
1.1- § . To‘plamning va funksiyaning limiti tushunchalari
Aytaylik, biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin.
1.1.1-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy
atrofida to‘plamning x
0 nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni
, ,
bo‘lsa, nuqta to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
1-misol. to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi
bo‘ladi.
2-misol. to‘plamning har bir nuqtasi va , nuqtalar shu
to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.
3-misol . to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
4-misol. to‘plam limit nuqtaga ega emas.
1.1.2-ta’rif. Agar x0 nuqtaning ixtiyoriy
o‘ng atrofida (chap atrofida) to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,
nuqta to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.
1.1.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun
to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “ ” to‘plamning
limit “nuqta”si deyiladi.
Agar ixtiyoriy uchun
7

to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “−∞ X to‘plamning limit
«nuqta»si deyiladi.
Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu
to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.
1.1.1-teorema. Agar nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u
holda nuqtaning har qanday
atrofida to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi.
Aytaylik, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema
tasdig‘ining teskarisini faraz qilaylik: nuqtaning biror atrofida
to‘plamning chekli sondagi nuqtalarigina bo‘lsin. U holda
deb olinsa, nuqtaning atrofida to‘plamning dan farqli bitta ham
nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir.
1.1.2-teorema. Agar nuqta to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda
shunday sonlar ketma-ketligi
{xn} topiladiki,
1) da ,
2) da bo‘ladi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plam da berilgan bo‘lib,
nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy {
xn } :
ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat { f (
xn )} :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
8

1.1.4-ta’rif. (Geyne). Agar da xn → x0 bo‘ladigan
ixtiyoriy
{xn} ketma-ketlik uchun n → ∞ da bo‘lsa, b ga
funksiyaning x
0 nuqtadagi limiti deyiladi va x → x
0 da
f(x)
→ b yoki
kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar n
→ ∞ da
bo‘ladigan turli
{ x
n }
, { y
n }
ketma-ketliklar uchun n → ∞ da → b
1
, f( y
n ¿ → b
2

bo‘lib,
b1≠b2 bo‘lsa funksiya x → x0 da limitga ega emas deyiladi.
5 - misol . Ushbu
unksiyaning
x0=4 nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi
{ x
n } :

ketma-ketlikni olaylik. Unda
f( x
n ¿ = x
n2
− 16
x
n2
− 4 x
n = x
n + 4
x
n
bo‘lib, n
→ ∞ da bo‘ladi. Demak,
.
1.1.5-ta’rif. (Koshi). Agar
∀ ε>0 son olinganda ham
topilsaki, ∀ x ∈ X ∩ ( U
δ
( x
0 ) ¿ { x
0 ¿ } )
uchun
tengsizlik bajarilsa, b soni funksiyaning
x0 nuqtadagi limiti deyiladi:
9

.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:∀ ε>0
, ∃ δ = δ ( ε) > 0
, ∀ x ∈ X ∩ ( U
δ ( x
0 ) ¿ { x
0 ¿ } )
: | f ( x ) − b | < ε
bo‘lsa,
.
1.1.6-ta’rif. Agar
∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ>0 son
topilsaki, ∀ x ∈ X ∩ ( U
δ
( x
0 ) ¿ { x
0 ¿ } )
uchun tengsizlik bajarilsa,
funksiyaning
x0 nuqtadagi limiti + ∞ deb ataladi va
kabi belgilanadi.
6-misol.
,
funksiya uchun
limx→0
1
x2= ¿¿
+ ∞
bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib,
xo=+∞
nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1.1.7-ta’rif. Agar ∀ ε > 0
son olinganda ham shunday
δ>0 topilsaki, ∀ x ∈ X ,

x >
δ uchun
tengsizlik bajarilsa, b soni funksiyaning
x0=+∞ dagi limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
7-misol. Aytaylik, , x
o = + ∞
, bo‘lsin. U holda
10

bo‘ladi.
Haqiqatan ham, ∀ ε>0 sonnni olaylik. Ravshanki, ∀ x>0 uchun
Demak, δ = 1
ε deyilsa, unda
∀ x>δ uchun
bo‘ladi.
1.1.8-ta’rif. Agar

bo‘lsa, b son funksiyaning x
0
nuqtadagi chap limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, x
0
nuqta ning
o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,
bo‘lsin.
1.1.9-ta’rif. Agar

bo‘lsa, b son funksiyaning
x0 nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
8-misol.
11

=
funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.
II BOB. CHEKLI LIMITGA EGA FUNKSIYALARNING ASOSIY
XOSSALARI
2.1 - § . Tengsizlik belgisi bilan ifodalaniladigan xossalar
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik
singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib
nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa . Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik
limitining yagonaligidan kelib chiqadi.
2-xossa . Agar
, (b – chekli son)
bo‘lsa, u holda x0 nuqtaning shunday U δ(x0) ( δ>0¿ atrofi topiladiki, bu atrofda
funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik,
bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
∀ ε>0
, ∃ δ = δ ( ε) > 0
, ∀ x∈X ∩(U δ(x0)¿{x0¿}) da | f ( x ) − b | < ε
12

ya’ni,
bo‘ladi.
Keyingi tengsizliklardan funksiyaning x
0
nuqtaning U
δ( x
0 )
atrofida
chegaralanganligi kelib chiqadi.
Isbot. bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko‘ra son uchun
shunday son topiladiki,
uchun
bo‘ladi. Demak, argument ning barcha qiymatlarida funksiyaning mos
qiymatlari oraliqda bo‘ladi. Bu esa funksiyaning nuqtadagi
atrofida chegaralanganligini ko‘rsatadi.
Eslatma. Funksiya chegaralanganligidan uning chekli limitga ega bo‘lishi
har doim ham chiqavermaydi. Masalan, funksiya chegaralan-gan,
ammo da bu funksiya limitga ega emas.
to‘plamda va funksiyalar aniqlangan bo‘lib, esa ning
limit nuqtasi bo‘lsin.
3-xossa. Agar argument ning nuqtaning biror atrofidan olin-gan
barcha qiymatlarida
tengsizlik o‘rinli bo‘lib, , limitlar mavjud bo‘lsa u holda
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
4-xossa . Agar
13

bo‘lib, b < p bo‘lsa, u holda x
0 nuqtaning shunday U
δ( x
0 ) atrofi topiladiki, bu
atrofda
bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son
topiladiki, ∀ x ∈ X
,
| x − x
0 | < δ
, x≠x0 uchun
bo‘ladi. Bu esa ∀ x ∈ U
δ
( x
0 )
da bo‘lishini bildiradi.
Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan,
bo‘lib,
x0∈R nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
2.1.5-xossa . Agar

bo‘lib, ∀ x ∈ X
da tengsizlik bajarilsa, u holda b
1 ≤ b
2
, ya’ni
bo‘ladi.
Aytaylik,

bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra x
0 ga intiluvchi ixtiyoriy
xn→ x0
(xn∈X ,xn≠x0)
ketma-ketlik uchun
da , (1 )
bo‘ladi.
Ravshanki,
∀ n∈N da
14

f( xn¿≤g(xn).
(2 )
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2)
munosabatlardan
ya’ni
b1≤b2 bo‘lishini topamiz.
1-misol. Ushbu

limitni toping.
Ravshanki, bir tomondan funksiya uchun tengsiz-
liklar bajariladi, ikkinchi tomondan,
Demak, yuqoridagi xossaga ko‘ra .
2.2- § . Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar.
to‘plam berilgan bo‘lib, uning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu to‘plamda va
funksiyalar aniqlangan.
1-xossa. Agar da va funksiyalar limitga ega bo‘lsa,
funksiya ham limitga ega va
tenglik o‘rinli.
2-xossa. Agar da va funksiyalar limitga ega bo‘lsa,
funksiya ham limitga ega va
tenglik o‘rinli.
15

Natija. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, unda
funksiya ham limitga ega va
tenglik o‘rinli.
3-xossa. Agar da va funksiyalar limitga ega bo‘lib,
bo‘lsa, funksiya ham limitga ega va
tenglik o‘rinli.
Eslatma. 1) Yuqorida kelritilgan 1- chi va 2- chi xossalar qo‘shiluvchilar,
ko‘paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo‘lgan holda ham o‘rinli.
2) da va funksiyalarning yeg’indisi, ko‘paytmasi va nis-
batidan iborat bo‘lgan funksiyalarning limitga ega bo‘lishidan bu funksiyalarning
har birining limitga ega bo‘lishi doim kelib chiqavermaydi. Masalan,
, funksiyalar yeg’indisi 1 ga teng bo‘ladi. Ammo
da va funksiyalar har biri limitga ega emas.
1-misol. Ushbu
limit hisoblansin.
Ma’lumki, 1 − cosx = 2 sin 2 x
2 . Shuni hisobga olib topamiz:
lim
x → 0 1 − cosx
x 2 = limx→0
2sin 2x
2
x2 =limx→0
1
2∙
[
sin x
2
x
2 ]
2
= 1
2∙
[
limx→0
sin x
2
x
2 ]
= 1
2 .
16

2.3- § . Aniqmas ifodalar
Biz yuqorida chekli lmitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallarni
ko‘rib o‘tdik. Agar da va funksiyalaring har birining limiti
cheksiz yoki funksiya limiti qaralganda bo‘lib qolsa, bu
holda turli aniqmas ifodalarga kelamiz.
to‘plam berilgan bo‘lib, ning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu to‘plamda
va funksiyalar aniqlangan. Agar da
1) , bo‘lsa, ularning nisbati ko‘rinishidagi
aniqmaslikni ifodalaydi;
2) , bo‘lsa, ularning nisbati ko‘rinishidagi
aniqmaslik bo‘ladi;
3) , bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi
ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi;
4) , bo‘lsa, ya’ni hamda funksiyalar
turli ishorali cheksizga intilsa, ifoda ko‘rinishidagi aniqmaslik
bo‘ladi.
Bu hollarda da va funksiyalrning o‘z limitlariga intilish
xususiyatiga qarab, (1 , 2- chi hollarda), (3-holda) ,
(4-holda) ifodalarning xarakterini aniqlash aniqlamaslikni ochish deb yuritiladi.
17

III BOB. CHEKLI LIMITGA EGA BO‘LGAN KO‘P
O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR
3.1- § . Ko‘p o‘zgaruvchilik funksiya limiti
Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksizligi
bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning δ− atrofiga
tushunchasiga asoslanadi.
P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb
√(x− x0)
2+(y− y0)
2< δ
(yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha
P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0
nuqtada bo‘lgan va radiusi
δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi
barcha
P nuqtalardan tashkil topadi.
3.1.1-ta’rif . Agar
∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi
topilsaki, bu atrofning istalgan
P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi
mumkin) uchun
|f(P)− A|<ε
tengsizlik bajarilsa,
A songa funksiyaning nuqtadagi yoki
P→ P0
dagi limiti deyiladi va
lim ¿x→x0¿
y→y0¿
¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)= A yoki
limP→P0
f(P)= A
kabi belgilanadi.
18

3.2 -§ .Chekli limitga ega bo‘lgan ko‘p o‘zgaruvchilik funksiyalarning
asosiy teoremalari va xossalari
Quyida bu teoremalarni keltiramiz.
3.2.1-teorema . Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar
limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni limP→P0
(f(P)± g(P))= limP→P0
f(P)± limP→P0
g(P)
.
3.2.2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)⋅g(P))= limP→P0
f(P)⋅limP→P0
g(P)
.
1-natija . Funksiya
P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi.
2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
limP→P0
f(C )=C
.
3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish
mumkin, ya’ni
limP→P0
(k⋅f(P))= k⋅limP→P0
f(P ),k∈R.
4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya
limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)n)=(limP→P0
f(P))n
,
n∈N .
3.2.3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
lim
P→P0
f(P)
g(P)
=
lim
P→P0
f(P)
limP→P0
g(P )
, limP→P0
g(P)≠ 0 .
3.2.4-teorema . Agar
P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar
uchun
f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va
lim
P→P0
f(P )= lim
P→P0
g(P)= A
bo‘lsa, u holda
lim
P→P0
ϕ(P)= A bo‘ladi.
19

1-misol. lim
(x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab,
topamiz:
lim
(x,y)→(2,−1)
x=2
va lim
(x,y)→(2,−1)
y=−1 .
U holda
lim (x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy =
lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2)
lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )=
lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2
lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2
22+3⋅2⋅(− 1)=− 2.
2-misol.
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y
= lim
x→0
√kx 2+9− 3
(1− k)x
= lim
x→0
kx 2
(1− k)x(√kx 2+9+3)
=
= lim
x→0
kx
(1− k)(√kx 2+3+3)
= 0
6(1− k)
= 0.
Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali
limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari
takroriy limitlar deb ataluvchi
limx→x0
(limy→y0
f(x,y)) va limy→y0
(limx→x0
f(x,y)) limitlar ham
kiritiladi. Umuman olganda
lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) karrali limit har ikki argument bir
vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas.
Quyida
f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan
almashtirish imkonini beruvchi teoremani keltiramiz.
20

XULOSA
Bizga ma’lumki funksiyaning limiti matematik analiz asoslari fanining
muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Limitga ega bo‘lgan
funksiyalar– matematik analiz asoslari fanini yaxshi o‘zlashtirish, unga tegishli
bo‘lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon
beradi. Ushbu kurs ishida matematik tahlilning eng asosiy va dolzarb
tushunchalaridan biri bo‘lgan limit tushunchasi keng qamrovda o‘rganildi.
Ayniqsa, funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishi holatlari va bu limitga ega
funksiyalarning asosiy xossalari nazariy va amaliy jihatdan yoritildi. Kurs ishining
har bir bo‘limi mazkur mavzuni ketma-ket chuqurlashtirib, nazariy bilimlarni
mustahkamlovchi isbotlar va misollar bilan boyitilgan.Avvalo, to‘plamning limit
nuqtasi tushunchasi tahlil qilindi. Bu tushuncha matematik analizda muhim o‘rin
tutadi, chunki har qanday limit yoki uzluksizlik haqida fikr yuritishda, avvalo,
to‘plamdagi nuqtalarning qanday yaqinlashishi, ya’ni limit nuqtalar mavjudligi
muhim ahamiyatga ega. Kurs ishining birinchi bo‘limida limit nuqtasining formal
ta’rifi, uning mavjud bo‘lish shartlari, misollar orqali tasdiqlangan holda bayon
etildi. Limit nuqtasi tushunchasi orqali biz funksiyalar va ketma-ketliklar
limitining mavjudligi haqida umumiy tasavvurga ega bo‘lamiz.Ikkinchi bo‘limda
21

esa funksiyaning limiti tushunchasi hamda bu limit uchun mavjud bo‘lgan har xil
ta’riflar o‘rganildi. Xususan, Epsilon-Delta ta’rifi, Chexov ta’rifi va boshqa
ta’riflar ko‘rib chiqildi. Ular o‘zaro ekvivalentligi isbotlar yordamida asoslab
berildi. Bu bo‘limda ta’riflar orasidagi farq va ularning mohiyat jihatdan bir xil
natijaga olib kelishi batafsil tahlil qilindi. Bu esa talabalarga turli ta’riflar orqali bir
xil limit holatini aniqlash imkonini beradi. Limit tushunchasining turli ifodalanishi,
ayniqsa, murakkab funksiyalarni o‘rganishda qulaylik yaratadi.
Uchinchi bo‘limda esa chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari
yoritildi. Bu xossalar funksiyalar ustida turli algebraik amallar bajarilganda
limitlarning qanday o‘zini tutishini aniqlaydi. Jumladan, limitning chiziqlilik
xossasi, ya’ni ikki funksiyaning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi yoki nisbatining
limitlarini topish qoidalari ko‘rib chiqildi. Bu qoidalar nafaqat nazariy jihatdan,
balki amaliy hisob-kitoblardagi soddalashtirishlar uchun ham muhim ahamiyatga
ega.
Shuningdek, ushbu bo‘limda uzluksizlik va limit tushunchalari o‘rtasidagi
uzviy bog‘liqlik tahlil qilindi. Funksiya berilgan nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun, u
yerda chekli limit mavjud bo‘lishi va bu limit funksiyaning o‘sha nuqtadagi
qiymatiga teng bo‘lishi kerakligi isbotlandi. Bu esa real funksiyalarni o‘rganishda,
grafik tahlillar olib borishda, hosila va integral kabi tushunchalarni aniqlashda
zarur bo‘lgan nazariy asosni tashkil etadi.Kurs ishining nazariy asoslari matematik
tahlil fanining poydevorini tashkil qiluvchi fundamental tushunchalarga tayangan
holda yozilgan. Har bir ta’rif, xossa va teorema aniq isbotlar bilan
mustahkamlangan. Misollar orqali mavzuga oid nazariy bilimlar amaliy nuqtai
nazardan tasdiqlangan. Bu esa o‘z navbatida, talabaga mavzuni chuqurroq
o‘zlashtirish imkonini beradi.
Xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishi orqali talabalar limit tushunchasini
chuqur o‘rganishlari, turli limit holatlarini tahlil qilishlari, funksiyalarning limitga
ega bo‘lish shartlarini aniqlashlari va amaliy masalalarda bu bilimlarni qo‘llay
olish ko‘nikmalarini shakllantirishlari mumkin. Shuningdek, bu bilimlar keyingi
matematik tushunchalar — hosila, uzluksizlik, integral kabi mavzularni
22

o‘rganishda mustahkam nazariy zamin bo‘lib xizmat qiladi. Kurs ishining muhim
jihatlaridan biri bu mavzuning ta’lim jarayonidagi rolini yoritish bo‘ldi. Chekli
limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari mavzusi o‘quvchilarga abstrakt
fikrlash, mantiqiy xulosalar chiqarish, formulalar bilan ishlash va real
muammolarni matematik modellashtirish ko‘nikmasini shakllantirishga xizmat
qiladi. Shu bois, bu mavzuni chuqur o‘zlashtirish matematikaning boshqa
bo‘limlarini, ayniqsa funksiyalar nazariyasi, differensial va integral hisob,
ehtimollar nazariyasi kabi sohalarni o‘rganishda mustahkam poydevor bo‘ladi.
Kelgusida bu mavzuni yanada chuqurlashtirish uchun limit tushunchasining
bir tomonlama limitlar, cheksiz limitlar, yo‘nalishli limitlar va ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalar uchun limit kabi kengaytirilgan shakllari o‘rganilishi maqsadga
muvofiqdir. Zero, limit tushunchasi nafaqat matematik analizda, balki fizika,
iqtisod, informatika va muhandislik kabi sohalarda ham muhim va keng
qo‘llaniladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020-yil
23-sentabr, O‘RQ-637-son.
2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2-martdagi
“Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida”gi 36-son Qarori.
3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27-martdagi
“Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab chiqish hamda joriy
etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” 157-son Qarori.
4. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi Matematikaʺ
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-
tadbirlari to‘g‘risida gi PQ-4708-sonli Qarori.
ʺ
5. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent,
O‘qituvchi , 1994.
ʺ ʺ
6. Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, «Voris-nashriyot», 2010.
23

7. A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent, “O‘qituvchi”
2008.
8. Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть "Лань"
2015.
9. Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. Санкт-Петербург. "Лань" 2021.
10. Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. 1-часть Масква. "Наука" 2003
11. A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik
analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil;
12.T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T: “Universitet”
2007 yil
Elektron ta’lim resurslari
1. Elektron jurnal : www.arki.ru
2. To‘liq matnli kutubxona : www.lib.ru
3. Maktabda axborot texnologiyalari: www.edunet.uz
4. Talaba yoshlar sayti: www.study.uz
5. Bilim portal: www.ziyonet.uz
24

Sotib olish