Chiziqli giperbolik tenglama uchun koshi va gursa masalalari. ketma-ket yaqinlashish usuli - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	356.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	29 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Chiziqli giperbolik tenglama uchun koshi va gursa masalalari. ketma-ket yaqinlashish usuli

Sotib olish

MAVZU: CHIZIQLI GIPERBOLIK TENGLAMA UCHUN KOSHI VA
GURSA MASALALARI. KETMA-KET YAQINLASHISH USULI
MUNDARIJA:
I. KIRISH…………………………………………………………………….……3
II. ASOSIY QISM………………………………………………………..……….4
2.1. Chiziqli giperbolik tenglama uchun Koshi va Gursa masalalari. Ketma-
ket yaqinlashish usuli …………………………………………………………..….4
2.2. Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarini
Riman usuli bilan yechish ……………………………………………………...…14
2.3. Telegraf tenglamasi uchun Koshi masalasi ………………………………..…17
XULOSA…………………………………………………………………………20
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………..……21

KIRISH
Hozirgi zamon matematik fizikasining muhim bo‘limlaridan biri bo‘lmish
differensial tenglamalar nazariyasi, turli fizikaviy, muhandislik va texnik
jarayonlarni modellashtirishda asosiy vosita hisoblanadi. Ayniqsa, ikkinchi tartibli
chiziqli giperbolik turdagi tenglamalar bilan bog‘liq masalalar, masalan,
tebranishlar, to‘lqinlar tarqalishi, signal uzatish kabi jarayonlarni ifodalashda keng
qo‘llaniladi. Bunday tenglamalar uchun qo‘yilgan boshlang‘ich va chegaraviy
shartlar asosida yechimlarni topish muammosi esa Koshi va Gursa masalalari deb
ataladi.
Koshi va Gursa masalalarini yechish nazariyasi, nafaqat matematik jihatdan,
balki amaliy ahamiyatga ham ega bo‘lib, ularni tahlil qilish orqali fizikaviy
jarayonlar to‘g‘risida chuqurroq tasavvur hosil qilish mumkin. Bunda ayniqsa,
ketma-ket yaqinlashish usuli kabi iteratsion yondashuvlar giperbolik
tenglamalarning analitik va sonli yechimlarini topishda muhim vosita sifatida
xizmat qiladi.
Ushbu mavzuda chiziqli giperbolik tenglamalar uchun Koshi va Gursa
masalalarining matematik bayoni, ularning yechimlarining mavjudligi va
yagonaligiga oid shartlar, shuningdek, ketma-ket yaqinlashish usuli orqali ushbu
masalalarni yechish uslublari batafsil o‘rganiladi. Bu esa differensial
tenglamalarning nazariy asoslarini chuqurroq tushunish va ularni amaliy
muammolarga qo‘llashda mustahkam bilim beradi.
3

II. ASOSIY QISM
2.1. Chiziqli giperbolik tenglama uchun Koshi va Gursa masalalari.
Ketma-ket yaqinlashish usuli
Quyidagi ikkinchi tartibli chiziqli giperbolik tipdagi tenglamani qaraylik:
(1)
Biz II bobda har qanday ikki o‘zgaruvchili chiziqli giperbolik tipdagi
tenglamani (1) kanonik ko‘rinishga keltirilishi mumkin ekanligini ko‘rdik. (1)
tenglamaning xarakteristikalari bo‘lishini topish qiyin
emas.
tekislikda egri chiziq shunday berilganki, bu egri chiziqni koordinat
o‘qlariga parallel to‘g‘ri chiziqlar bilan kamida bitta nuqtada kesib o‘tsin.
1. Koshi masalasi
γ egri chiziq atrofida (1) tenglamaning ushbu
shartlarni qanoatlantiradigan yechimi topilsin.
Bu yerda egri chiziq ustida berilgan yetarlicha silliq funksiyalar,
n esa egri chiziqqa o‘tkazilgan normal. Bu masalada yechimning aniqlanish
sohasi chiziqning biror atrofidan iborat bo‘ladi.
Agar egri chiziq (1) tenglamaning xarakteristikalari bilan ustma-ust
tushmasa, tenglamaning koeffitsiyentlari va berilgan funksiyalar
hamda egri chiziq analitik funksiyalar bo‘lsa, u holda Koshi–Kovalevskaya
4

teoremasiga asosan Koshi masalaning egri chiziqning yetarlicha kichik atrofida
analitik yechimi mavjud va yagona bo‘ladi.
Qaralayotgan (1) tenglama giperbolik tipdagi tenglama bo‘lgani uchun ham
Koshi masalasining yechimi mavjud bo‘ladigan egri chiziqning kichik atrofini
aniqlash mumkin. Buning uchun egri chiziqning A va B nuqtalaridan (1)
tenglamaning xarakteristikalarini o‘tkazamiz va ular
kesishgan nuqtani C deb belgilaymiz. Natijada hosil bo‘lgan soha Koshi
masalasi yechiminig aniqlanish sohasi bo‘ladi.
Endi (1) tenglama uchun Koshi masalasining qo‘yilishini aniqlab olaylik.
tenglama bilan berilgan bo‘lsin, bunda
Koshi masalasi
(1) tenglamaning egri chiziqli sohada aniqlangan uzluksiz va quyidagi
(2)
(3)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bu yerda va berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Shuni ta’kidlash muhimki, (2) va (3) Koshi shartlari egri chiziq
ustida hosilalarni aniqlashga imkon beradi. Haqiqatdan ham,
(2) shartni x o‘zgaruvchi bo‘yicha differensiallab,
(4)
ifodani olamiz.
funksiyadan egri chiziqda normal bo‘yicha olingan hosila
quyidagicha:
5

(5)
Bo‘ladi. Hosil bo‘lgan (4)–(5) tenglamalar sistemasidan
hosilalarni:
(6)
(7)
Bir qiymatli aniqlanaymiz.
**1-teorema.** Agar (1) tenglamaning koeffitsiyentlari va o‘ng tomoni
hamda berilgan va funksiyalar
bo‘lsa, u holda (1)–(3) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona
bo‘ladi.
Isbot.
Agar quyidagi
6

(8)
yordamchi funksiyalarni kiritsak, u holda (1) tenglama
(9)
uchta tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo‘ladi.
Endi Δ sohada ixtiyoriy M(x, y) nuqta olamiz va shu nuqtadan chiquvchi γ
chiziq bilan P va Q nuqtalarda kesishuvchi (1) tenglamaning MP va MQ
xarakteristikalarini o‘tkazamiz.
(9) sistemaning birinchi va uchinchi tenglamasini QM kesma
bo‘yicha, ikkinchi tenglamasini esa PM kesma bo‘yicha integrallaymiz
hamda (2), (6), (7) va (8) ifodalarni hisobga olib
funksiyalarni
(9)
ko‘rinishda aniqlaymiz. Bu yerda
h(y) esa γ(x) ga teskari bo‘lgan funksiya.
Agar u(x, y) funksiya (1)–(3) Koshi masalasining yechimi bo‘lsa, u holda
funksiyalar (10) integral tenglamalar sistemasini
qanoatlantiradi va aksincha yopiq Δ sohada (10) sistemaning ixtiyoriy
7

yechimi (9) differensial tenglamalar sistemasini va u funksiya esa Koshi masalasi
shartlarini qanoatlantiradi.
Bundan tashqari (4), (6), (9) formulalardan va (10) sistemaning birinchi
tenglamasidan
uchta tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo‘ladi.
Endi Δ sohada ixtiyoriy M(x, y) nuqta olamiz va shu nuqtadan chiquvchi γ
chiziq bilan P va Q nuqtalarda kesishuvchi (1) tenglamaning MP va MQ
xarakteristikalarini o‘tkazamiz.
(9) sistemaning birinchi va uchinchi tenglamasini QM kesma y = const
bo‘yicha, ikkinchi tenglamasini esa PM kesma x = const bo‘yicha integrallaymiz
hamda (2), (6), (7) va (8) ifodalarni hisobga olib v(x, y), u(x, y), w(x, y)
funksiyalarni
Bu yerda
h(y) esa γ(x) ga teskari bo‘lgan funksiya.
Agar u(x, y) funksiya (1)–(3) Koshi masalasining yechimi bo‘lsa, u holda
v(x, y), w(x, y) va u(x, y) funksiyalar (10) integral tenglamalar sistemasini
qanoatlantiradi va aksincha yopiq Δ sohada (10) sistemaning ixtiyoriy (v, w, u)
yechimi (9) differensial tenglamalar sistemasini va u funksiya esa Koshi masalasi
shartlarini qanoatlantiradi.
Bundan tashqari (4), (6), (9) formulalardan va (10) sistemaning birinchi
tenglamasidan
8

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, (8) tengliklar bajariladi.
Endi (8) tengliklarni (9) sistemaning birinchi tenglamasiga qo‘yib, u(x, y)
funksiyaning (1) tenglamani va (2), (3) Koshi shartlarini qanoatlantirishiga ishonch
hosil qilishimiz mumkin.
Shunday qilib, (1)–(3) Koshi masalasini (10) integral tenglamalar
sistemasiga ekvivalent ekan. Bu integral tenglamalar sistemasini ketma-ket
yaqinlashish usuli bilan echamiz.
Buning uchun nolinchi yaqinlashish sifatida
berilgan boshlang‘ich funksiyalarni olamiz va ketma-ketlikning keyingi
hadlarini quyidagi
(11)
formulalar bo‘yicha quramiz.
Endi yopiq Δ sohada ketma-ketliklarni yaqinlashuvchi
ekanligini isbotlaylik. Buning uchun quyidagi
(12)
ayirmalarni tuzamiz.
Agar bo‘lsa, u holda
9

ayirmalar quyidagi
(13)
tengsizliklarni qanoatlantirishini ko‘rsataylik.
Bu tengsizliklarning to‘g‘ri ekanligini matematik induksiya usuli bilan
isbotlaymiz. Agar A yetarlicha katta bo‘lsa, u holda n = 1 bo‘lganda (13) baholar
to‘g‘ri bo‘ladi. Endi bu tengsizliklar bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini
ko‘rsataylik. Yuqorida tuzilgan (12) ayirmalardan, masalan uning birinchisidan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Gursa masalasi.
Agar AB egri chiziq to‘g‘ri burchak tashkil qilsa, ya’ni to‘g‘ri
burchak bo‘lsa, u holda ADB egri chiziqda ikkita chegaraviy shart berib
bo‘lmaydi. Buning o‘rniga quyidagi Gursa masalasini qarashimiz mumkin.
10

Giperbolik tipdagi (1) tenglamaning AD, DB, BC va AC xarakteristikalari
bilan chegaralangan to‘g‘ri to‘rtburchakli sohani G deb belgilaylik. Bu yerda
Gursa masalasi
To‘rtburchakli G sohada (1) tenglamaning quyidagi
(16)
(17)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bu yerda
va berilgan etarlicha silliq funksiyalar va bu funksiyalar uchun
tenglik o‘rinli.
Gursa masalasi uchun ushbu teoremani isbotlaylik.
2-teorema
Agar (1) tenglamaning koeffitsiyentlari va o‘ng tomoni
hamda berilgan funksiyalar
11

bo‘lsa, u holda (1), (15)–(16) Gursa masalasining yechimi
sinfda mavjud va yagona bo‘ladi.
Isbot.
Xuddi Koshi masalasidagi kabi quyidagi
(18)
yordamchi funksiyalarni kiritsak, u holda (1) tenglama ushbu
(19)
tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo‘ladi.
Endi G sohada ixtiyoriy nuqta olamiz va bu nuqta orqali (1)
tenglamaning va xarakteristikalarini o‘tkazamiz. Bu yerda
.
(19) sistemaning birinchi va uchinchi tenglamalarini QM kesmada, ikkinchi
tenglamasini esa PM kesmada integrallab, ushbu
(20)
sistemaga ega bo‘lamiz.
Bu sistemadan (16)–(18) tengliklarga ko‘ra
12

Bo‘ladi. Bu tengliklarga asosan (20) sistemani quyidagi
(21)
ko‘rinishda yozib olish mumkin.
Aksincha, (21) sistemaning ixtiyoriy yechimi (19) sistemani qanoatlantiradi.
Demak, (18) tenglamaning birinchisi o‘rinli ekan. (20) sistemadan ushbu
ifodalar kelib chiqadi.
Shunday qilib, (21) sistemaning ixtiyoriy yechimi qaralayotgan Gursa
masalasining yechimi bo‘lar ekan. Bundan esa (21) sistema (1) tenglama uchun
qo‘yilgan (16)–(17) Gursa masalasiga ekvivalent ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi Koshi masalasidagi kabi (1), (16)–(17) Gursa masalasi (21)
sistemaning uzluksiz yechimini isbotlashga keltiriladi. Bu sistema yechiminig
mavjudligini yuqoridagi singari ketma-ket yaqinlashish usuli bilan ko‘rsatish
mumkin.
13

2.2. Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarini
Riman usuli bilan yechish
Ushbu bo‘limda chiziqli giperbolik tipdagi tenglama uchun boshlang‘ich–
chegaraviy masalalar yechimlarining integral ifodasini olish uchun kerakli bo‘lgan
ayrim yordamchi formulalarni keltiramiz.
Faraz qilaylik,
(1)
chiziqli giperbolik tenglamaga mos differensial operator bo‘lsin.
Bu yerda qaralayotgan operatorning
koeffitsiyentlari, biror sohada berilgan funksiyalar bo‘lib, ular
bo‘lsin.
operatorini biror funksiyaga ko‘paytiramiz va buning uchun
quyidagi ayniyat o‘rinli:
(2)
bu yerda
(3)
va
,
.
(3) formula bilan aniqlangan operator L operatorga qo‘shma operator
deyiladi. Agar ayirmani biror H va K ifodalarning mos ravishda x
va y o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy hosilalarining yig‘indisi ko‘rinishida
ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda ikkita L va differensial operatorlar o‘zaro
qo‘shma operatorlar deyiladi.
14

Agar bo‘lsa, u holda o‘z-o‘ziga qo‘shma operator
deyiladi.
tekislikda S bo‘lakli silliq chiziq bilan chegaralangan soha D bo‘lsin.
Endi (2) ayniyatni D sohada integrallaymiz va unga matematik analiz kursidan
ma’lum bo‘lgan Grin formulasini qo‘llaymiz. Natijada
(4)
ifodaga ega bo‘lamiz. Bu formula ham ikki o‘lchovli Grin formulasi
deyiladi.
Riman usuli.
Nemis matematik R. Riman chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar uchun
Koshi va Gursa masalalarining yechimini qurish usulini tavsiya qilgan.
Quyidagi Koshi masalasini qaraylik.
Koshi masalasi.
Yopiq D sohada aniqlangan, uzluksiz va
(5)
funksiyalar sinfiga tengishli
(6)
tenglamaning quyidagi
(7)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bu yerda
– uzluksiz va birinchi tartibli hosilalarga ega, –
uzluksiz funksiyalar, – berilgan funksiyalar, n esa egri chiziqqa
o‘tkazilgan normal. Ma’lumki, (6) tenglamaga mos xarakteristik tenglama
15

bo‘lib, to‘g‘ri chiziqlar tenglamaning
xarakteristikalari bo‘ladi.
Tekislikda biror egri chiziq berilgan bo‘lib, (6) tenglamaning
xarakteristikalari bu egri chiziqni bittadan ortiq nuqtalarda kesib o‘tmasin.
nuqtani belgilab, bu nuqtadan xarakteristikalarni
o‘tkazamiz. Bu xarakteristikalar berilgan chiziq bilan P va Q nuqtalarda
kesishib, MPQ egri chiziqli uchburchak hosil qiladi. MPQ egri chiziqli uchburchak
bilan chegaralangan soha bo‘lsin.
Faraz qilaylik, (5)–(7) masalaning yechimi mavjud bo‘lsin. U holda
yopiq sohada aniqlangan, uzluksiz va
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
funksiya uchun (4) ayniyat o‘rinli.
Noma’lum funksiyaning nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz.
Buning uchun (4) ifodani sohada integrallab, Grin formulasini qo‘llaymiz.
16

2.3. Telegraf tenglamasi uchun Koshi masalasi
O‘tkazgichdan elektr toki o‘tganda uning atrofida elektromagnit maydoni
hosil bo‘ladi. Bu maydon o‘tkazgichdagi tok kuchi va kuchlanishni o‘zgartiradi va
bu o‘zgarish o‘tkazgichda tebranish jarayonini keltirib chiqaradi. Bunday tebranma
jarayonlarni ifodalovchi tenglama matematik fizikada telegraf tenglamasi deb
yuritiladi.
Biz ushbu paragraqda telegraf tenglamasini keltirib chiqarish va shu
tenglama uchun Koshi masalasini o‘rganamiz.
1. Tеlеgraf tеnglamasini kеltirib chiqarish.
Uzunligi l bo‘lgan o‘tkazgichni Ox o‘qi bo‘ylab, koordinata boshiga
o‘tkazgichning bir uchini joylashtiraylik. O‘tkazgichdan o‘tayotgan elektr okimi
Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan bir xil yo‘nalgan bo‘lsin. O‘tkazgichning biror
nuqtasidagi i tok kuchi va v kuchlanishi x abssissa va t vaqtning funksiyasi bo‘ladi.
Tok kuchi i va uning v kuchlanishi biror birinchi tartibli xususiy hosilali
differensial tenglama bilan o‘zaro bog‘liq bo‘ladi. O‘tkazgichning birlik uzunligiga
mos keluvchi qarshilik R, elektr sig‘imi C, o‘z induksiya koeffitsiyenti L va
tokining isrof bo‘lish koeffitsiyenti G o‘zgarmas bo‘lsin. O‘tkazgichning ixtiyoriy
va nuqtalar orasidagi qismini qaraymiz. Bu qismga Om qonunini
qo‘llaymiz. Natijada:
(1)
Ikkinchidan esa,
U holda yuqoridagi tengliklardan
ifoda kelib chiqadi. Bundan esa va nuqtalarning ixtiyoriy ekanligidan
funksiyalarga nisbatan
17

(2)
Bir tomondan, birlik vaqt davomida o'tkazgichning [x , x ] qismining elektr₁ ₂
miqdori
(3)
Ikkinchi tomondan esa, birlik vaqtda o'tkazgichning belgilangan qismidan
o'tayotgan elektr miqdori quyidagicha ifodalanadi:
(4)
U holda (3) va (4) formulalardan:
Bundan esa ushbu tenglamani olamiz:
(5)
Keltirib chiqargan (2) tenglamani x bo'yicha, (5) tenglamani esa t bo'yicha
differensiallab, hosil bo'lgan ifodalardan hosilani ayiramiz. Natijada
kuchlanishga nisbatan ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyentli quyidagi
tenglamaga ega bo‘lamiz:
Xuddi shu usul bilan tok kuchiga nisbatan quyidagi tenglamani
keltirib chiqarmiz mumkin:
18

(6)
Shunday qilib, o‘tkazgichdagi v kuchlanish va i tok kuchi bir xil quyidagi
differensial tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqdi:
Bu yerda:
.
Agar (6) tenglamada quyidagicha yangi noma'lum funksiya
kiritilsa, u holda bu tenglama soddaroq
Ko’rinishga keladi
Demak, o‘tkazgichdan o‘tayotgan ?????? tok kuchi va ?????? kuchlanishini
qanoatlantiruvchi (6) tenglama telegraf tenglamasi deyiladi.
19

XULOSA
Mazkur ishda chiziqli giperbolik tenglamalarning matematik tahlili, ular
uchun qo‘yiladigan Koshi va Gursa masalalari, shuningdek, bu masalalarni
yechishning ketma-ket yaqinlashish usuli batafsil o‘rganildi. Giperbolik
tenglamalar fizikaviy jarayonlarni, xususan to‘lqinlar, tebranishlar, signal uzatish
kabi hodisalarni ifodalashda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, ularning boshlang‘ich
va chegaraviy shartlari asosida yechim topish dolzarb muammodir.
Koshi va Gursa masalalari uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi
matematik jihatdan asoslab berildi. Ushbu masalalarning yechimini topishda
ketma-ket yaqinlashish usuli universal yondashuv sifatida foydalidir, chunki u
integral ifodalar asosida iteratsion ketma-ketliklar orqali aniq yoki taqribiy
yechimlarga olib keladi. Bu usul orqali chiziqli giperbolik tenglamaning integral
tenglamalar sistemasiga keltirilishi, bu esa o‘z navbatida, funksiyalar ketma-
ketligining yaqinlashuvini matematik induksiya asosida isbotlash imkonini beradi.
Shuningdek, Koshi va Gursa masalalari uchun yaratilgan integral
tenglamalar orqali yechimlarni vizual va matematik jihatdan izchil ko‘rib chiqish
mumkin bo‘ldi. Ushbu metodik yondashuvlar matematik modellashtirishda keng
qo‘llaniladi va real muammolarni yechishda yuqori aniqlik va ishonchlilikni
ta’minlaydi.
Umuman olganda, o‘rganilgan mavzu matematik fizika tenglamalarini
yechishdagi fundamental nazariy bilimlar va amaliy yondashuvlar asosida chiziqli
giperbolik tenglamalar yechimlarining tuzilishini chuqur anglash imkonini berdi.
20

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Салоҳиддинов М. Математик физика тенгламалари. – Тошкент:
“Ўзбекистон” нашриёти, 2002.
2. Азларов Т., Мансуров Х. Математик анализ, 2-қисм. – Тошкент:
“Ўқитувчи”, 1989.
3. Арсеньев В.Я. Методы математической физики и специальные
функции. – Москва: “Наука”, 1974.
4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. – Москва: “Наука”,
1982.
5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.
– Москва: “Наука”, 1981.
6. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – Москва: Издательство
АН СССР, 1959.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – Москва:
“Наука”, 1971.
8. Годунов С.К., Рябенький В.С. Уравнения математической физики. –
Москва: “Наука”, 1971.
9. Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения
математической физики. – Москва: Физматгиз, 1962.
10. Кузнецов Д.А. Специальные функции. – Москва: “Высшая школа”,
1962.
11. Курган Г. Уравнения с частными производными. – Москва:
Издательство “Мир”, 1964.
12. Михайлов В.П. Уравнения математической физики. – Москва:
“Наука”, 1975.
13. Zikirov O. S. Matematik fizika tenglamalari. – Toshkent, 2017.
21

CHIZIQLI GIPERBOLIK TENGLAMA UCHUN KOSHI VA GURSA MASALALARI. KETMA-KET YAQINLASHISH USULI

Sotib olish