Differensial hisobning ba’zi bir tadbiqlari 26 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	721.3KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Differensial hisobning ba’zi bir tadbiqlari 26

Sotib olish

Differensial hisobning ba’zi bir tadbiqlari
1

Mundarija:
Kirish………………………………………………………………………….....3-5
I bob. Funksiyaning o‘zgarib borishi………….….….…………………...….6-10
1.1. Funksiya o‘zgarmas qiymatini saqlash………………………………….........6
1.2. Funksiyaning monoton bo‘lishi……………………………………….……7-10
II bob. Funksiyaning qavariqligi va botiqligi………………..……………..11-22
2.1. Funksiyaning egilish nuqtalari………………………………………….……11
2.2. Funksiya grafigining assimptotalari….….………...………………….….12-18
2.3. Aniqmasliklarni ochish va Lopital qoidasi……………………………….19-22
Xulosa…………………………………………………………………..…..…….23
Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………………24
2

KIRISH
” Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu
fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng
tafakkurli bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada
muvaffaqiyatli ishlab ketadi”
Sh. M. Mirziyoyev
Bugungi kunda jamiyat taraqqiyotida, yurt, millat taqdirida o‘sib kelayotgan
yosh avlodning jismoniy va ma’naviy barkamolligi, intellektual salohiyati muhim
o‘rin tutadi. Zero, davlatimiz rahbari Shavkat Mirziyoyev ta’kidlaganidek, “Dunyo
shiddat bilan o‘zgarib, barqarorlik va xalqlarning mustahkam rivojlanishiga raxna
soladigan turli yangi tahdid va xavflar paydo bo‘layotgan bugungi kunda
ma’naviyat va ma’rifatga, axloqiy tarbiya, yoshlarning bilim olish, kamolga
yetishga intilishiga e’tibor qaratish har qachongidan ham muhimdir” .
Oliy o‘quv yurtlarida o‘qituvchilar matematika kursini o‘qitish jarayonida
talabalarda matematika bilim, ko‘nikma va malakalar hosil qilishi bilan bir
qatorda, ularga ma’naviy – ma’rifiy tarbiya berishga ham katta e’tibor berib
boriladi va hozirgi kun talablaridan kelib chiqqan holda har bir matematika kursida
talabalarning ma’naviy – ma’rifiy dunyoqarashlari shakllantirib boriladi.
Matematika moddiy dunyodagi hodisalarni miqdoriy musbatlarini va fazoviy
formulalarini to‘g‘ri tushuntirishga imkon beradigan tabiiy fan bo‘lganidan, uning
qonun va qoidalari moddiy dunyoni qanday bo‘lsa shundayligicha tushuntirishga
va boshlang‘ich sinf o‘quvchilarga shu asosda ma’naviy – axloqiy tarbiya
berishga, hamda matematik bilimlarini egallashga imkon beradi.
Albatta har bir talaba matematika darsida o‘qituvchi talabalarga ma’naviy –
ma’rifiy tarbiya berishi maqsad qilib qo‘yganlarini quruqdan – quruq aytib
qo‘ygan bilan amalga oshirib bo‘lmaydi. Bu masalani amalga oshirish uchun
matematikadan ayrim sinflarda maxsus dars soatlari ajratilmaydi, balki o‘quvchi
maktabga qadam qo‘ygandan to uni tamomlab chiqqunga qadar bo‘lgan davrda
bevosita matematika darslarida amalga oshiriladi.
3

Oliy matematik ta’limda asosan maqsad mantiqiy tafakkurni shakllantirishga
qaratiladi va ta’lim jarayonida mantiqiy tafakkurning soddaroq ko‘rinishi bo‘lgan
obrazli mantiqiy tafakkurdan foydalaniladi.
Bu obrazli mantiqiy tafakkur asosida ta’lim berish jarayonida tabiat
qo‘ynida, sayllar davomida, tabiiy ne’matlardan foydalangan holda ta’lim berish
imkoniyatlari kattadir. Bu esa talabalardagi bilim olishga bo‘lgan
qiziqish,o‘rganishga bo‘lgan ehtiyojini amalga oshirish vositalaridan biri bo‘lib, u
o‘quvchilarni faollashtirishga imkon beradi.
Talabalarga ma’naviy – ma’rifiy tarbiya berish har bir matematika darsidagi
o‘tilayotgan mavzusida bevosita bog‘liq ravishda amalga oshirilib boriladi.
Bu vazifalarini amalga oshirishda ya’ni talabalar tomonidan mavjud ilmiy
bilimlarini puxta o‘zlashtirilishini va ularning ma’naviy – axloqiy tomonlardan har
tomonlama yetuk inson bo‘lib kamol topishlarida ta’lim tarbiyaga yangi pedagogik
texnologiyalarini joriy etish kafolatlovchi yondashuv hisoblanadi. Biz bu ishda
boshlang‘ich sinf o‘quvchilarini matematika darslarida ma’naviy – ma’rifiy
tarbiyalash masalalarini qarab chiqamiz.
Kurs ishining dolzarbligi: Matematik analiz oily matematikaning
fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori hisoblanadi.
Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko‘pgina tushuncha va
tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va mutaxassislar
tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy
bog‘liqMa m l a k a t i m i z n i n g b arc h a j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g k o‘l a m l i
i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i q u r i s h
z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i y u z a g a
c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t - sh a r o i t v az i fa l ari m u j a ss a m .
Bu bo r a d a b a r k a m o l a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y v a o‘ r t a
m a x s u s t a ’ li m s o h a s i d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n , t a ’ li m
h a m d a i s h l a b c h i q ar is h o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a r i v o j l a n t i r i sh g a
a l o h i d a e’ t i b o r q ar a t i l m oqd a.
4

O‘ qu v j ara y o n i d a s a m ara do r l ik k a e r i s his h u c hu n za m on a vi y i lg‘o r
p e d a g og i k t e xn o lo gi y a l ar, n o a n ’ a n vi y d a r s us u l l a r i v a o‘ zaro f a o l o‘q u v
j a r a y oni n i t a d bi q qi l is h lo z i m . O‘ zaro f a o l u s u l l a r n i o‘ qu v j ara y o n ig a q o‘l l a s h
u c h u n e s a o‘ t il a d ig a n m a v z un i t a l a b a l ar, o‘ q u v c h i l ar o‘ z l a r i m us t a q i l t a y y o r l ab
k e l is hl a ri t a l a b e t i l a di . J a ra y on nin g s a m ara do r l ig i n i o s h i r i s h m a qs a d i d a
i nn o v a t s io n us u l l a r n i q o‘ll a s h d a e nd i b i z – p e d a go g l ar “ O‘quv c h il a r n i
o‘ q it m a y m i z, b a l k i k i t ob n i o‘q is h g a o‘ r g a t a m i z” s h io r i n i a m a lg a o s h i ra m i z.
B u n i n g s a b a b i s h u n d a ki , a g a r d a t a l a b a v a o‘q u v c h i l ar d a r sg a t a y y o r ho l d a
k e l m a s a l ar, h e ch q a n a q a f a o l us u l d a n s a m ara l i f o y d a l a n i b b o‘l m a y d i . N a ti j a d ao‘ qitu vchi
y a n a o‘ z - o‘ z i d an a n ’ a n a vi y s h a k l d a d a r s o‘ tishga to‘ g‘ r i k e l a d i .
Kurs ishining ob y ekti. Oliy ta’lim muassasalarida “Matematik analiz” fanini
o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Oliy ta’lim muassasalarida Matematik analiz misol
va masalalarida qo‘llashni nazariy va amaliy bilimlar asosida o‘rgatish usullari.
Kurs ishining maqsadi. Oliy ta’lim muassasalarida Mat e matik analiz fanidan
differensial hisobning ba’zi bir tadbiqlari ni o‘rganish va ularga doir misollarni
masalalarni yechishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari. Matematik analiz fanidan differensial hisobning
ba’zi bir tadbiqlari mavzusida funksiayaning egilish nuqtalari ,funksiyaning
monoton bo‘lishi shuningdek, kurs ishi yuzasidan olingan nazariy bilimlarni,
amaliyotda masala va misollarda tadbiq qilib va uning natijalarini tahlil qilish va
tegishli xulosalar chiqarish zarur demakdir.
Kurs ishining hajmi va tuzilishi. Kurs ishi tuzilishiga ko‘ra rejasi asosan
to‘rtga bo‘linadi: kirish, asosiy qism (asosiy qism ikkita bob va beshta paragrafdan
iborat), xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatdan iborat bo‘lib, 23 betni tashkil
etadi.
5

I bob.Funksiyaning o‘zgarib borishi
1.1. Funksiya o‘zgarmas qiymatini saqlash
funksiya intervalda aniqlangan bo‘lsin.
1.1.1–teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo‘lsin.
Bu funksiya intervalda o‘zgarmas bo‘lishi uchun bo‘lish zarur va
yetarli.
Zarurligi. Shartga ko‘ra funksiya intervalda o‘zgarmas, yani
Ravshanki, bu holda intervalda bo‘ladi.
Yetarliligi. Shartga ko‘ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega va .Endi
intervalda istalgan va tayinlangan nuqtalarni olib, yoki segmentni qaraylik:

Logranj teoremasiga ko‘ra bilan nuqtalar orasida shunday
nuqta mavjudki, bo‘lishini hisobga olgan holda quyidagicha bo‘ladi:

Natija: Agar va funksiyalar intervalda chekli va
hosilaga ega bo‘lib, shu intervalda tenglik o‘rinli bo‘lsa, u
holda bilan funksiyalar intervalda bir biridan o‘zgarmas songa
farq qiladi:
Haqiqatan ham,

bo‘ladi.
6

1.2. Funksiyaning monoton bo‘lishi
intervalda aniqlangan bo‘lsin.
1.2.1–teorema. funksiya itervalda chekli hosilaga ega
bo‘lsin.Bu funksiya shu intervalda o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishi uchun
intervalda tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Zarurligi. Shartda ko‘ra funksiya da chekli hosilaga ega
bo‘lib, u itervalda o‘suvchi ( kamayuvchi). nuqtani olib, u bilan
birga nuqtada ham qaraymiz. U holda

munosabatlar o‘rinli bo‘ladi va bu munosabatlardan har doim

tengsizlik kelib chiqadi. Ma’lumki munosabadan intervalning barcha
nuqtalarida tenglik o‘rinli bo‘lishini topamiz.
Yetarliligi. Shartga ko‘ra funksiya intervalda chekli
hosilaga ega bo‘lib, shu intervalda tengsizlik o‘rinli.
va nuqtalarni olaylik. Bu holda
bo‘lib, segmentda funksiya Lagranj
teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq
va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjudki, ushbu
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Demak,
Bundan funksiya intervalda o‘suvchi ( kamayuvchi) bo‘lishi kelib chiqadi
8

Yuqorida ketma-ketlikning chegaralanganligi uning limitga ega bo‘lishi
uchun zaruriy shart bo‘lishini aytib chiqdik. Limitga ega bo‘lgan ketma-ketlik
chegaralangan bo‘ladi. Lekin teskari mulohaza noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin. Har
qanday chegaralangan ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lavermaydi. Limiti
mavjud bo‘ladigan ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishdan tashqari yana qandaydir
xususiyatga ega bo‘lishi kerak. Ketma-Ketlikning bunday xususiyati uning
monotonligidir. Ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishining asosiy belgisi uning
bir vaqtda chegaralangan va monoton bo‘lishidir. Chegaralanganlik va monotonlik
cheksiz ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi.
1.2.1-teorema (Veyershtrass): Har qanday monoton chegaralangan ketma-
ketlik limitga ega bo‘ladi.
Bu teoremaning isbotini keltirmaymiz. Veyershtrass teoremasi ketma-ketlik
limitining mavjud bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Lekin limitni topish
usulini ko‘rsata olmaydi. Ko‘pchilik hollarda ketma-ketlik limitining mavjudligi
haqida ma’lumot berish bu limitni topish uchun yetarli bo‘ladi.
Funksiyaning ekstremum qiymatlari
f(x) funksiya (a,b) intervelda aniqlangan bo‘lib x0∈(a,b) bo‘lsin .
1-ta’rif Agar x
0 ∈ ( a , b )
nuqtaning shunday atrofi

U δ(x0){x:x∈R,x0−δ<x<x0+δ;δ>0}∈(a,b)
mavjud bo‘lsaki, ∀ x ∈ U
δ ( x
0 )
uchun
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa , u holda f(x) funksiya x
0 nuqtada maksimumga
(minimumga) ega deyiladi, f( x
0 ) qiymat f(x) funksiyaning U
δ ( x
0 )
dagi maksimumi
(minimumi) deyiladi.
2-ta’rif Agar x
0 ∈ ( a , b )
nuqtaning shunday atrofi U
δ ( x
0 ) ∈ ( a , b )
mavjud bo‘lsaki
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa u holda f(x) funksiya x
0 nuqtada qat’iy maksimumga
(qat’iy minimumga ) ega deyiladi. f(
x0 ) qiymat f(x) funksiyaning Udelta dagi
qat’iy maksimumi (qat’iy minimum ) deyiladi.
9

Yuqoridagi ta’riflardagi x0 nuqta f(x) funksiyaga mos ravishda
maksimum (minimum), qat’iy maksimum (qat’iy minimum) qiymat beradigan
nuqta deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum umumiy nom bilan uning
ekstremumi deb ataladi.
Ekstremumning zaruriy sharti. f(x) funksiya (a,b) intervalda
aniqlangan bo‘lib
x0∈(a,b) nuqtada maksimum (minimum) ga erishsin. Demak
, ta’rifga ko‘ra x
0 nuqtaning shunday U
δ ( x
0 ) ∈ ( a , b )
atrofi topiladiki
∀ x ∈ U
δ ( x ¿ ¿ 0 ) da f ( x ¿ ¿ 0 ) ≥ f ( x ) ( f ( x
0 ) ≤ f ( x ) ) ¿ ¿
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Funksiyaning
x0 nuqtadagi hosilasi haqida, umuman aytganda, quyidagi
uch hol bo‘lishi mumkin:
1) f’(
x0 ) mavjud va chekli
2) f’( x
0 ) mavjud va cheksiz
3) Hosila mavjud emas
Birinchi holda Ferma teoremasiga ko‘ra
f ' (
x
0 ) = 0
bo‘ladi. Natija quyidagi
muhim teoremaga kelamiz.
3-teorema. Agar f(x) funksiya
x0∈(a,b) nuqtada chekli f’(x) hosilaga ega
bo‘lib bu nuqtada f(x) funksiya ekstremumga erishsa, u holda

f'(x0)= 0
bo‘ladi.
Biroq f(x) funksiya uchun biror x
0 ∈ ( a , b )
nuqtada chekli hosila mavjud
va
f '
( x ¿
) = 0
va x=0 nuqtada f(x) bo‘lsa ham u x=0 nuqtada ekstremumga
ega emas (bu funksiya qat’iy o‘suvchi ekanligi ma’lum)
Demak , yuqoridagi teorema funksiya ekstremumga erishishing zaruriy
shartini ifodalaydi.
Odatda funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar funksiyaning
statsionar (turg‘un, kritik) nuqtalari deb ham ataladi.
Ekstremumning yetarli shartlari. Endi funksiyaning ekstremumga ega
bo‘lishining yetarli shartlarni qaraymiz. Avvalgidek quyidagi belgilashlarni
kiritamiz
10

f(x) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz bo‘lib, uning
atrofida chekli f(x) hosilaga ega bo‘lsin.
a) Agar
tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosilada x
0 nuqtadan o‘tishda o‘z
ishorasini “+” dan “-” ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada
maksimumga ega bo‘ladi.
11

II BOB. Funksiyaning qavariqligi va botiqligi
2.1.Funksiyaning egilish nuqtalari
2.1.1-ta’rif : funksiyaning grafigi oraliqning istalgan
nuqtasidan unga o‘tkazilgan urinmadan pastda yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda
qavariq deyiladi.
2.1. 2-ta’rif : funktsiyaning grafigi oraliqning istalgan
nuqtasidan unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, funksiya grafigi shu
oraliqda botiq deyiladi.
2.1. 3-ta’rif : Funksiya grafigining qavariq qismini , botiq qismidan ajratuvchi
nuqta egilish nuqtasi deyiladi.
Funksiya grafigining qavariq yoki botiq bo‘lishining yetarli shartlari:
1) oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi
tartibli hosilasi manfiy, ya’ni bo‘lsa, bu oraliqda funksiya grafigi qavariq
bo‘ladi;
2) oraliqdadifferentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli
hosilasi musbat , ya’ni bo‘lsa, bu oraliqda funksiya grafigi botiq bo‘ladi.
va mavjud bo‘lmagan nuqtalarga 2-tur kritik nuqtalar deyiladi.
Egilish nuqtalari mavjud bo‘lishining yetarli sharti. nuqta
funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo ‘ lsa va ikkinchi tartibli hosila bu
nuqtadan o ‘ tishda ishorasni o ‘ zgartirsa , abstsissali nuqta egilish nuqtasi bo ‘ ladi .
Shunday qilib , funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik oraliqlarini ,
egilish nuqtalarini topish uchun , oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur
kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo ‘ lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila
ishorasini tekshirish kerak . Keyin yetarli shartlardan foydalanib , qavariqlik ,
botiqlik oraliqlari va egilish nuqtalari aniqlanadi .
12

2.2. Funksiya grafigining asimptotalari
2.2.1- ta ’ rif funksiya grafigidagi nuqta shu grafik bo ‘ ylab cheksiz
uzoqlashganda , undan biror to ‘ g ‘ ri chiziqqacha masofa nolga intilsa , bu to ‘ g ‘ ri
chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi .
bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining vertikal
asimptotasi bo‘ladi.
yoki limitlar
mavjud bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining og‘ma
asimptotasi bo‘ladi. bo‘lsa,
gorizantal asimptota bo‘ladi.
funksiya intervalda differensial-
lanuvchi bo‘lsin. U holda Funksiya
grafigining nuqtada
urinmasi mavjud bo‘ladi.
2.2. 2-ta’rif : Agar intervalning
istalgan nuqtasida funksiya grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida
(pastda) yotsa, funksiya grafigi intervalda botiq ( qavariq ) deyiladi.
Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi
nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi.
2.2.1-teorema : Agar funksiya intervalda ikkinchi tartibli
hosilaga ega va
da bo‘lsa, u holda
funksiya grafigi (a,b) intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi.
Isboti. da bo‘lsin.
13

Funksiya grafigida abssissali ixtiyoriy nuqta olamiz.
Funksiyaning grafigi bu urinmadan pastda yotishini ko‘rsatamiz. Buning uchun
nuqtada egri chiziqning ordinatasi bilan urinmaning
ordinatasini solishtiramiz.
U holda
yoki
6
Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda c-x
0 bilan
x ning orasida yotadi. Shu sababli
yoki
ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz:
bu yerda
bilan ning orasida yotadi.
Demak, .
Bu tengsizlikni tekshiramiz:
1) Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi va . Bundan yoki
2) Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi va . Bundan
yoki .
Demak, da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining
ordinatasidan katta bo‘ ladi va interval da funksiya grafigi qavariq.
da funksiya grafigi botiq bo‘ lishi shu kabi isbotlanadi.
Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga
asoslanadi.
14

2.2.2- teorema : Agar funksiya intervalda uzluksiz ikkinchi
tartibli hosilaga ega va nuqta funksiya grafigining egilish
nuqtasi bo ‘ lsa , u holda bo ‘ ladi .
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , aniqlik uchun ,
bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U holda
hosila nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi bu
atrofda botiq bo‘ladi. Bu
nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi
mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va .
bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish
nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan, funksiya grafigining nuqtasi
egilish nuqta emas, ammo da .
Demak, shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti
bo‘ladi.
2.2.3-teorema: funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi
tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Agar atrofning nuqtadan chap va o‘ng
tomonlarida hosila har xil ishoraga ega bo‘lsa, u holda
nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.
Isboti. da , da bo‘lsin. U holda 2.2.1-
teoremaga ko‘ra nuqtadan chapda funksiya grafigi botiq va o‘ngda qavariq
bo‘ladi. Demak,
nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.
da va da bo‘lgan hol
uchun teorema shu kabi isbotlanadi.
15

Bu teorema funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi
tartibli hosilaga ega bo‘lib, nuqtada mavjud bo‘lmasa ham o‘rinli
bo‘ladi. Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lgan
yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar, ya’ni ikkinchi tur kritik nuqtalar orasidan
izlash kerak.
2.2.1-misol. funksiya grafigini botiq va qavariqlikka
tekshiramiz.

Ikkinchi tartibli hosila nuqtalarda nolga teng va mavjud
emas.
hosilaning bu nuqtalardan
chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz:
Demak, funksiyaning grafigi va
intervallarda qavariq,
va intervallarda botiq bo‘ladi. nuqta funksiya grafigini
egilish nuqtasi bo‘ladi.
Funksiya grafigining asimptotalari
Egri chiziqning asimptotasi deb shunday to‘g‘ri chiziqqa aytiladiki, egri
chiziqda yotuvchi
M
nuqta egri chiziq bo‘ylab harakat qilib koordinata boshidan
ch е ksiz uzoqlashgani sari M
nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa nolga
intiladi. Bunda M nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, l е kin uni k е sib
o‘tmaydi.
Uch turdagi , ya ’ ni vertikal , gorizontal va og‘ma asimptotalar mavjud.
Agar yoki limitlardan hech bo‘lmagand bittasi
cheksiz bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigini
vertikal assimptota deyiladi.
16

Masalan , funksiya grafigi uchun to‘g‘ri chiziq vertikal
assimptota chunki va .
Agar shunday k va b
sonlari mavjud bo‘lib,
da
funksiya
ko‘rinishda ifodalansa, to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining
og‘ma asimptotasi deyiladi.
2 .2.4-teorema : funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega
bo‘lishi uchun

bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. funksiya grafigi
og‘ma asimptotaga
ega bo‘lsin. U holda og‘ma asiimptotaning ta’rifiga ko‘ra
bo‘ladi. Bundan
,
ke lib с hiqadi.
Yetarliligi. , bo‘lsin.
U holda dan
ke lib с hiqadi. Demak, da bo‘ladi. Bu esa
to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi ekanini bildiradi.
17

Agar ,
limitlardan hech bo‘lmaganda
bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa, funksiya grafigi
og‘ma asimptotaga ega bo‘lmaydi.
Agar bo‘lsa, bo‘ladi. Bunda to‘g‘ri chiziqqa
funksiya grafigining gorizontal asimptotasi deyiladi .
Izoh. funksiya grafigining asimptotalari
da va

da har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli limitlarni
aniqlashda va hollarini alohida qarash lozim.

18

2.2.2-misol.
funksiya grafigining asimptotalarini topamiz.
Demak , to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota .

Bundan
. Demak, to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota.
Funksiyaning asimpptotalari
funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz.
1 o
Funksiyaning aniqlanish sohasi:
2 o
. da bo‘ladi. Funksiya va o‘qlarini
nuqtada kesadi.
3 o
.Funksiya
va
intervallarda musbat ishorali.
4 o
Funksiya uchun va bo‘ladi. Demak, u umumiy
ko‘rinishdagi funksiya.
5 o
Funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lgani uchun u vertikal
asimptotaga ega emas.
.
Demak, da to‘g‘ri chiziq gorizontal assimptota.
19

Demak, da funksiya assimptotaga ega emas.
6 o
.Funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz va ekstremumlarini
topamiz.
Hosila va
da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning
aniqlanish sohasini uchta intervallarga ajratadi.
Hosilaning bu intervallardagi va har
bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan
o‘ngga o‘tgandagi ishoralarni
chizmada belgilaymiz:
Demak, funksiya intervalda o‘sadi va va intervallarda
kamayadi. minimum nuqta, maksimum nuqta

7 o
. Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini hamda egilish
nuqtalarini aniqlaymiz.
.
Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda nolga
teng.
Bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish sohasini
Intervallarga ajratadi.
hosilaning bu intervallardagi va ikkinchi tur kritik
nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada belgilaymiz.
Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq,
va intervalda esa botiq bo‘ladi,
va funksiya grafigining egilish nuqtalari.
2.3. Aniqmasliklarni ochish va Lopital qoidasi
20

Limitlarni o‘rganish davomida bir neha xil aniqmasliklrni ko‘rishimiz
mumkin. Quyida ba’zi bir aniqmasliklarni ochishni ko‘rib chiqamiz.
2.3.1-ta’rif: Aniqmasliklarni hosilalardan foydalanib ochish Lapital qoidasi
deyiladi.
ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, da
bo‘lsa, nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Ko‘pincha, da nisbatning limitini topishga qaraganda nisbatni
limitini topish oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarini tenglashni quyidagi teorema
ko‘rsatadi.
2.3.1-teorema: intervalda aniqlangan, uzluksiz funksiya va
funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:

intervalda chekli va hosilalar mavjud va

U holda
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Eslatma. Yuqoridagi 2.3.1-teoremaning 3-sharti bajarilmaganda, ya’ni
da va funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lib, da
nisbatning limiti mavjud bo‘lmaganda ham ning limiti mavjud
bo‘lishi mumkin.
21

2.3.2-teorema: da aniqlangan va funksiyalar uchun
ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:

intervalda chekli va hosilalar mavjud va

U holda
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2.3.3-teorema: intervalda aniqlangan, uzluksiz funksiya va
funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:

intervalda chekli va hosilalar mavjud va

U holda
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2.3.4-teorema: da aniqlangan va funksiyalar uchun
ushbu shartlar bajarilgan bo‘lsin:

intervalda chekli va hosilalar mavjud va
22

U holda
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Eslatma. Agar va funksiyalarning va hosilalari
va lar singari yuqorida keltirilgan teoremalar shartlarini qanoatlantirsa, u
holda
Tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ya’ni Lapital qoidasini takror qo‘llash mumkin.
Faraz qilaylik, M va N abssissasi x ga
teng bo‘lgan da egri chiziqdagi va
asimptotadagi nuqtalar da MP esa M
nuqtadan asimptotagacha bo‘lgan masofa, 
( ) asimptotaning o‘qining
musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan
burchagi ni ko‘rdik . U holda
uchburchakdan , bundan
esa

tenglikka ega bo‘la di . Bu tenglikdan, agar MP nolga intilsa, u holda MN ham
nolga intilishi, va aksincha, agar MN nolga intilsa, u holda MP nolga intilishi kelib
chiqadi.
Shunday qilib, agar yoki da ayirma nolga
intilsa, u holda to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi
bo‘lar ekan.
23

Bundan shart to‘g‘ri chiziqning
funksiya grafigining og‘ma asimptotasi bo‘lishi uchun zaruriy va yetarli shart
ekanligi kelib chiqadi.
Xususan, gorizontal asimptota bo‘lishi uchun ,
ya’ni shartning bajarilishi zarur va yetarli.
Amalda og‘ma asimptotalarni topish uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi .
funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lishi uchun
va chekli limitlarning mavjud bo‘lishi zarur va
yetarli.
Isboti . Zaruriyligi. to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining
dagi asimptotasi bo‘lsin, ya’ni . U holda
tenglik o‘rinli, bu yerda da cheksiz kichik
funksiya. So‘ngi tenglikni kuyidagicha yozib olish mumkin: .
Demak,
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Yetarliligi. Aytaylik va b=
chekli limitlar mavjud bo‘lsin. So‘ngilim
x→∞ (f(x) -kx)=b tenglikni quyidagicha yozib
olish mumkin: f(x) -kx=b+  (x), bu yerda  (x) x  da cheksiz kichik funksiya.
Demak, f(x) -kx-b=  (x), ya’ni
lim
x→∞ (f(x) -kx-b)=0. Bu esa y=kx+b to‘g‘ri chiziq
y=f(x) funksiya grafigining x  dagi asimptotasi ekanligini bildik.
Xulosa
24

Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda.
Barcha kurslardagi singari “Matematik analiz” kursini o‘qib, o‘rganish va
o‘qitishda hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushunib
yetishlari uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab
etilmoqda. Bundan ko‘rinib turibdiki, matematik analiz kursida birinchi tur xosmas
integralni hisoblashda ham imkon boricha uning qulay, hisoblashga oson
bo‘ladigan, usullarini o‘rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko‘zlangan maqsad
esa birinchi tur xosmas integralni hisobashda fan tarixida bajarilgan ishlar bilan
chuqur tanishib chiqish va ulardan hisoblash oson va aniq bo‘ladigan usullarini
tanlab olib birinchi tur xosmas integralni hisoblashda ularni qo‘llashdan iborat.
Kurs ishida differensial hisobning ba’zi bir tadbiqlari chuqur o‘rganildi.
Birinchi bobda asosiy tushunchalar keltirilgan bo‘lib, birinchi paragrafda
funksiya o‘zgarmas qiymatini saqlash haqida boshlang‘ich tushunchalar berildi va
misollar orqali o‘rganildi.
Ikkinchi paragrafida funksiyaning monoton bo‘lishi va ularni hisoblash
o‘rganilgan, misollar orqali tushuntirilgan.
Ikkinchi bobi funksiyaning qavariqligi va botiqligi bag‘ishlangan bo‘lib,
birinchi paragrafida funksiyaning egilish nuqtalari o‘ranilgan va misollar orqali
mustahkamlangan.
Ikkinchi paragrafida funksiya grafigining assimptotalari o‘rganildi.
Uchinchi paragrafda aniqmasliklarni ochish va Lopital qoidasi o‘rganildi
Kurs ishida o‘rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo‘lib,
ulardan matematik analiz kursida qo‘yilgan masalalarni yechishda foydalanilsa
maqsadga muvofiq bo‘lar edi.
Foydalanilgan adabiyotlar
25

1. O‘zbekiston Respublikasining 23.09.2020 dagi Ta’lim to‘g‘risidagi qonuni.
2. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyevning 2020-yil 7-maydagi
“Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish
chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ-4708-sonli Qarori.
3. Sh.M.Mirziyoyev Yangi O‘zbekiston taraqqiyot strategiyasi. To‘ldirilgan
ikkinchi nashr.- Toshkent, “O‘zbekiston”, 2022.
4 .T. Азларов , Х . Мансуров . “ Математик анализ ” 1- қ исм . ТОШКЕНТ,
“ЎҚИТУВЧИ”.1994.
5. T. Азларов , Х . Мансуров . “ Математик анализ ” 2- қ исм . ТОШКЕНТ,
“ЎЗБЕКИСТОН”.1995.
6 . Г . М . Фихтенголц . “ Математик анализ ” 1- том . ТОШКЕНТ ,
“ Ў Қ ИТУВЧИ ”.1970.
Internet saytlari:
7. http://www.prezident.uz/
8. http://www.ziyonet.uz/
9. http://www.allmath.ru/
10. http://www.msse.ru/
11. http://lib.mexmat.ru/
12. http://www.webmath.ru/
26

Sotib olish