• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Egri chiziqning egriligi va buralishi

 
1-ta’rif.       Fazodagi     (yoki   tekislikdagi)     γ
  to’plam   birorta   ochiq   intervalning
topologik     (gomeomorf)     akslantirishdagi   aksi   bo’lsa,   ya’ni   birorta   f   :   (a,   b) →
R 3
akslantirish   uchun     f((a,   b))= γ
    tenglik   o’rinli   bo’lib,   f   :   (a,   b) → γ
    topologic
akslantirish bo’lsa, γ  elementar chiziq deb ataladi. 
              Bu   ta’rifga   ko’ra,   ochiq   (a,   b)   intervalga   tegishli   ixtiyoriy   t   nuqtaga   mos
keluvchi nuqtani   
γ(t)   bilan belgilasak, u holda   	{
x=	x(t)	
y=	y(t)	
z=	z(t)       a	
¿t<b         (1)
tenglamalar 	
γ   chiziqning parametric tenglamalari deyiladi.
       Differensial geometriya kursida egri chiziq parametric tenglamalar yordamida
o’rganiladi,  ya’ni  	
γ     chiziqni  aniqlovchi   f  akslantirish  tanlanib  , uning  parametric
tenglamalari yoziladi, bu holda     	
γ      chiziqni parametrlangan elementar chiziq deb
ataymiz.
       2-ta’rif. Berilgan 	
γ   elementar egri chiziqni differensiallanuvchi   x(t), y(t), z(t)
funksiyalar yordamida parametrlash mumkin bo’lsa, u silliq elementar egri chiziq
deb ataladi.
              Izoh:     Zarur     bo’lgan   hollarda,   biz   yuqori   tartibli   hosilalarning   mavjud   va
uzluksiz bo’lishini talab qilamiz.
              3-ta’rif:     Bog’lanishli    	
γ     to’plamga   tegishli   har   qanday   M   nuqtaning   har
qanday U
M     atrofi mavjud bo’lib, 	
γ    to’plamning  U
M     atrofidagi qismi elementar
egri chiziq bo’lsa, 	
γ sodda egri chiziq deb ataladi.
              1-tasdiq.   Har   qanday   sodda   egri   chiziq   yoki   elementar   egri   chiziqdir   yoki
aylanaga gomeomorfdir.
             4-ta’rif.   Bizga sodda elementar     	
γ    egri chiziq berilgan bo’lib, M esa unga
tegishli   nuqta   bo’lsin.   Agar   U
M     to’plam   M   nuqtaning   atrofi   bo’lsa,     U
M	
∩	γ
kesishmani M nuqtaning 	
γ   chiziqdagi atrofi deb ataladi.
       5-ta’rif.  Sodda egri chiziqning local topologic akslantirishdagi obrazi umumiy
egri chiziq deyiladi. 
             2-tasdiq. Silliq x(t), y(t), z(t)   funksiyalar hosilalari har bir     t	
ϵ(a,b)    uchun
x’ 2
(t)+y’ 2
(t)+z’ 2
(t)	
¿0       shartni   qanoatlantirsa,   (1)     tenglamalar   sistemasi   umumiy
egri   chiziqni   ifodalaydi.   Bu   umumiy   egri   chiziq   (a,b)     intervalning
f: t	
→	(x(t),y(t),z(t))   akslantirishdagi aksidir.         2-masala.  Parabola y=x 2
-6x+15  funksiyaning grafigidan iborat bo’lsa, uning
qaysi   nuqtalaridagi     urinmalari       x-2y+18=0       to’g’ri   chiziqqqa   perpendicular
bo’ladi. 
        Yechish.  Parabolaning  M (x
0 ,y
0 )  nuqtasida   o’tkazilgan urinma tenglamasi
ushbu     x − x
1 =y−	y	
2x−6           ko’rinishda   bo’ladi.   Bu     tenglamadan     2(x
0 -3)-y-2(x
0 -
3)+y
0 =0    tenglikni, to’g’ri chiziqlarning perpendicular ekanligidan esa  1·2(x
0 -3)-
2(-1)=0       shartni   hosil   qilamiz.     Bundan     x
0 =2     qiymatni   topamiz.     Endi
izlanayotgan nuqtaning ordinatasini aniqlaymiz:  y
0 =2 2
+6·2+15=7.  
                Demak,     (2,7)       nuqtada   o’tkazilgan   urinma   berilgan   to’g’ri   chiziqqa
perpendicular   bo’lar   ekan.   Haqiqatan   ham   bu   nuqtada   o’tkazilgan   urinma
tenglamasi       2x+y-11=0     ko’rinishida   bo’lib,     u   berilgan     x-2y+18=0   to’g’ri
chiziqqa perpendicular bo’ladi (5-rasm).
                      3-tasdiq.     Bizga   differensiallanuvchi  φ (x,y)       funksiya   berilgan   bo’lib,
koordinatalari      	
φ (x,y)=0       tenglamani   qanoatlantiruvchi   nuqtalar   to’plamini
M={(x,y):	
φ (x,y)=0   }     deb   belgilaylik.     Agar   (x
0 ,y
0 )	Mϵ     nuqtada    	φ+φ
y 2	¿0
munosabat   bajarilsa,       (x
0 ,y
0 )       nuqtqaning   shunday   atrofi   mavjudki,     M
to’plamning bu atrofdagi qismi elementar egri chiziq bo’ladi.
              4-tasdiq.     Silliq   elementar  	
γegri	chiziqning parametric   tenglamalari   (1)
ko’rinishda   bo’lib,   t
0	
∈ (a,b)   uchun     x’(t
0 )  	≠ 0   bo’lsa,   ((x
0,   y
0,     z
0 )     nuqtaning   kichik
atrofida  γ
  ni        	
{ y = φ	
( x	) ,
z = τ	
( x	) ,         a	¿x<b       
tenglamalar yordamida aniqlash mumkin.
Bu yerda  x
0 =x(t
0 ), y
0 =y(t
0 ),  z
0 =z(t
0 )
       5-tasdiq.  F(x, y, z)  va G(x, y, z)  uch o’zgaruvchili silliq fumksiyalar, M esa
koordinatalari 
{
F	
( x , y , z	) = 0
G	
( x , y , z	) = 0
sistemani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami bo’lsin. Agar  (x
0,   y
0,    z
0 )	
Mϵ    nuqtada	
(
F	,F	,F	
G	,G	,G)
       matritsaning rangi ikkiga teng bo’lsa ,     (x
0,   y
0,    z
0 )   nuqtaning shunday
atrofi   mavjudki,   M   ning   bu   atrofdagi   silliq   qismi   silliq   elementar   egri   chiziq
bo’ladi. 
       6-ta’rif.   Silliq 	
γ    chiziqni  unga tegishli har qanday nuqtaning birorta atrofida
ixtiyoriy   t ϵ ( a , b )
    uchun     x’ 2
(t)+y’ 2
(t)+z’ 2
(t) ¿ 0
      shartni   qanoatlantiruvchi
differensiallanuvchi     x(t), y(t), z(t)   funksiyalar  yordamida parametrlash mumkin
bo’lsa, u regulyar egri chiziq deyiladi. 
                    Masalalar yechish namunalari
              1-masala.     O’zgarmas   a   uzunlikka   ega   bo’lgan     AB   kesma   o’z   o’qiga
perpendicular   bo’lib   ,   uning     A     uchi   shu   o’qda   yotadi.     Kesma   A   uchi   aylanish
burchagiga   proporsional   yo’lni   bosib   boradigan   holda,     o’z   o’qi   bo’yicha   siljib   ,
shu   o’q   atrofida   aylanadi.   Ushbu   harakat   natijasida   kesmaning   B   uchi   chizgan
chizig’I vint chizig’i  deyiladi.  Vint chizig’ining tenglamasini tuzing.          Tasdiq. Uch marta differensiallanuvchi regulyar γ  egri chiziqning  M nuqtada
egriligi noldan farqli bo’lsa,   [	
σ¿ =  lim
N → M ∆ φ
∆ S   limit mavjud.  Agar 	γ  egri chiziq tabiiy
parameter   yordamida  	
⃗r =	⃗r (s)   tenglama   bilan   berilgan   bo’lsa,   uning   absolut
buralishi,   [	
σ¿ =	[(r,r',r'')]	
[r]2     formula   bo’yicha   hisoblanadi.   Buralish   esa    	σ =	( r , r '
, r ' '	)
k 2
formula   bilan,   ixtiyoriy   parametrlash   usuli     bilan   berilgan     egri   chiziq   uchun
buralishni hisoblash formulasi 	
σ =-	(r',r'',r''')	
[r',r'']2   ko’rinishda bo’ladi.
               Agar egri chiziq  	
{
x=	x(t)	
y=	y(t)	
z=	z(t)    tenglama bilan berilgan bo’lsa,   uning buralishini
topish formulasi quyidagicha	
σ=	
−
[	
x'	y'	z'	
x''	y''	z''	
x'''	y'''	z''']	
|
y'	z'	
y''	z''|+|
z'	x'	
z''	x''|+|
x'	y'	
x''	y''|
ko’rinishda bo’ladi.
                Tabiiy   parametrlash   usuli   bilan  	
⃗r =	⃗r (s)     tenglama   yordamida   berilgan   egri
chiziq   urinma,   bosh   normal,   binormallari   bo’yicha   yo’nalgan   birlik   vektorlar   va
ularning   hosila   vektorlari   orasidagi   bog’liqlikni   ifodalaydigan     Frene   formulalari
ushbu ko’rinishda bo’ladi: ko’rinishda bo’ladi.
                Egri   chiziqning   M(t
0 )     nuqtasidan     o’tuvchi   urinma   to’g’ri   chiziqqa
perpendicular holda  o’tuvchi to’g’ri chiziq  normal deb ataladi.  Normallar ichida
biz uchun  muhimlari bosh normal va binirmaldir.
               Yopishma tekislikda yotuvchi normal  bosh normal  deb ataladi.   Yopishme
tekislikka perpendicular normal esa binormal deb ataladi.
                Albatta   yopishma   tekislik   yagona   bo’lgan   holdagina   bu   tushunchalar
ishlatiladi.  Endi bosh normal va binormal tenglamalarini yozaylik.   ⃗r' (t
0 )  va    	⃗r''
(t
0 )   vektorlar yopishma tekislikka parallel  bo’lgani uchun vector ko’paytma   ¿
(t
0 ),	
⃗r''
(t
0 )]  binormal uchun yo’naltiruvchi vector bo’ladi. Demak binormal tenglamasi 
X − x	
|
y ' ( t ) z ' ( t )
y ' ' ( t ) z ' ' ( t )	| = ¿
 	
Y−	y	
|
z'(t)	x'(t)	
z''(t)	x''(t)|
=	Z−	z	
|
x'(t)	y'(t)	
x''(t)	y''(t)|
ko’rinishda bo’ladi.
                Bosh   normal   uchun   esa       ¿
(t
0 ),   [  	
⃗r'' (t
0 ),    	⃗r'' (t
0 )]]     vector   ko’paytma
yo’naltiruvchi vector bo’ladi.. shuning uchun bosh normal  tenglamasi,
X − x
y '	
(
t)| x '	
(
t) y '	(
t)
x ' '	
(
t) y ' '	(
t)| − z ' ( t )	| z ' ( t ) x ' ( t )
z ' ' ( t ) x ' ' ( t )	| = ¿
Y − y
z '	
(
t)| y '	
(
t) z '	(
t)
y ' '	
(
t) z ' '	(
t)| − x ' ( t )	| x ' ( t ) y ' ( t )
x ' ' ( t ) y ' ' ( t )	| = Z − z
x '	(
t)| z '	
(
t) x '	(
t)
z ' '	
(
t) x ' '	(
t)| − y ' ( t )	| y '	
(
t) z '	(
t)
y ' '	
(
t) z ' '	(
t)|
ko’rinishda bo’ladi.
        Xuddi shularga o’xshash normal tekislik tenglamasi  vector ko’rinishda  (	
⃗R -	⃗r
(t
0 ),   r	
' (t
0 ))=0,     koordinata   ko’rinishidagi   tenglamasi   esa       (X-x(t
0 ))x’(t
0 )+   (Y-
y(t
0 ))y’(t
0 )+ (Z-z(t
0 ))z’(t
0 )=0     bo’ladi.
                  Urinma   va   binormaldan   o’tuvchi   tekislik   to’g’rilovchi   tekislik   deyiladi.
Uning vector ko’rinishidagi tenglamasi
                                    (	
⃗R -	⃗r (t
0 ), 	⃗r' (t
0 ),  ¿
(t
0 )])=0  
koordinata ko’rinishidagi  tenglamasi esa {
x=	acos	φ	
y=asin	φ	
z=τφbo’ladi.
Vint chizig’ining o’zi yasovchilari Oz o’qiga parallel bo’lgan   x 2
+y 2
=a 2
   silindrda
yotadi. Chunki AB kesmaning uzunligi o’zgarmaydi. (1-rasm).
  
1.2-§.  Vektor funksiyalar uchun differensial hisob
              Differensial   geometriya   va   topologiya   fanida   vector   analizi   muhim   o’rin
tutadi.  Shuning  uchun   bu  paragrafda  qisqacha   vector   funksiyalar   xossalariga   doir
misol va masalalar keltiramiz.
       Bizga biror G to’plam berilgan bo’lsin. Agar G to’plamning har bir nuqtasiga
aniq   bitta   vector   mos   qo’yilgan   bo’lsa,   G   to’plamda   vector   funksiya   berilgan
deyiladi. Bu moslikni p	
→ r(p) ko’rinishda yozish mumkin.
       1-ta’rif. Berilgan  
⃗r (p)   vektor funksiya va o’zgarmas 
a→
  uchun p	→	p
0  da r(p)-a
→ 0
  munosabat bajarilsa,   	
⃗ r
(p)   vector funksiya   p	→	p
0      da   a limitga ega deyiladi
va    lim
p → p r ( p )
=a ko’rinishda yoziladi.  
              Tasdiq.     Fazoda   kiritilgan   dekart   koordinatalar   sistemasida     berilgan
vektorlarning komponentalari r(p)= {(x(p), y(p), z(p)}, 
a→
= {a
1 , a
2 , a
3 }  bo’lsa ushbu
tenglik   lim
p → p r ( p )
=a  quyidagi uchta munosabatga ekvivalentdir:
lim
p → p x ( p )
=a
1,     	
limp→pr(p) =a
2,      lim
p → p z ( p )
=a
3
             Vector funksiyalar uchun uzliksizlik va differesiallanuvchanlik tushunchalari
skalar   funksiyalar   uzluksizligi   va   differensiallanuvchanligi   tushunchalari   kabi
kiritiladi.
             2-ta’rif.     Ushbu    lim
p → p r ( p )
=r(p
0 )   munosabat bajarilsa, r(p) vector funksiya p
0
nuqtada  uzluksiz   deyiladi.  Vector   funksiya   aniqlangan  G  to’plam   sonlar   o’qining
qism   to’plami   bo’lsa,   r(p)   vector   funksiya   bir   o’zgaruvchili     vector   funksiya
deyiladi. Agar p
0 ϵ
  G  nuqta uchun
lim
h → 0 r	
( p + h	) − r ( p )
h           Tadqiqotimizning asosiy ilmiy – uslubiy yangiligi:
    -egri   chiziqning   egriligi   va   buralishiga   doir   masalalarni   o’rganish,   nazariy,
uslubiy izlanishlar olib borildi.
-muammoni   yechimlarini   o’rganishni   takomillashtirish   bo’yicha   alohida   metodik
ishlanma ishlab chiqildi.
          Kurs ishining metodlari :
Tadqiqot   muammosiga   oid   pedagogik-   psixologik   va   metodik   adabiyotlar
mazmunini   o’rganish,   nazariy   jihatdan   tahlil   qilish,   matematikani   o’qitishda
zamonaviy   texnologiyalarni   qo’llash   holatini   o’rganish,   pedagogik   kuzatuv,
suhbat, pedagogik tajriba va h.k.
          Kurs ishining tuzilishi:
Kurs   ishi     kirish,     4ta   asosiy   qism,   xulosa   va     foydalanilgan     adabiyotlar
ro’yxatidan iborat.
I BOB. CHIZIQLAR NAZARIYASI.
1.1-§. Egri chiziq va uning berilish usullari 1. A.Ya.   Narmanov ,   A.   S.   Sharipov     “   differensial   geometriya   va   topologiya
kursidan masalalar to’plami”, Toshkent .  2014.
2. A. Xudoyberganov "Matematika", Darslik, Toshkent, "O'qituvchi"-1980 yil.
3. N.Ya.Vilenkin   va   boshqalar   "Matematika",   Moskva,   "Prosvesheniya"-1977
y.
4. N.Ya.Vilenkin   va   boshqalar   "Zadachnik   praktikum   po   matematike",
Uchebnik, Moskva, "Prosvesheniya"-1977 y.
5. P.Ibragimov   "Matematikadan   masalalar   to'plami",   O'quv   qo'llanma,
Toshkent, "O'qituvchi"-1995 yil. 
6. P.Azimov, H.Sherboyev, Sh.Mirhamidov, A.Karimova "Matematika", O'quv
qo'llanma, Toshkent, "O'qituvchi"-1992 yil.
7. J. Ikromov "Maktab matematika tili", Toshkent, "O'qituvchi"-1992 yil.
8. P.P.Stoylova,   N.Ya.Vilenin   "Seliye   neotritsatelniye   chisla",   Moskva,
"Prosvesheniya"-1986 y
9. A.M.Pishkalo,   P.P.Stoylova   "Sbornik   sadach   po   matematike",   Moskva,
"Prosvesheniya"-1979 y.
10. T.Yoqubov,   S.Kallibekov   "Matematik   mantiq   elementlari",   Toshkent,
"O'qituvchi"-1996 yil.
11. T.Yoqubov "Matematik mantiq elementlari", Toshkent,"O'qituvchi"-1983 y.
12. С.   И.   Новоселов   "Специальный   Курс   Элементарной   Алгnры"   1958-
йил.
13. www.ziyonet.uz           
        4-masala.     (x-C) 3
-y 2
=0    tenglama bilan berilgan parabolalar oilasining  
o’ramasi topilsin. 
        Yechish.  Ravshanki,  berilgan oilaning discriminant chizig’i y=0  to’g’ri 
chiziq bo’ladi.  Vu to’g’ri chiziq nuqtalari  berilgan oilaning  maxsus nuqtalaridan  
iborta bo’lganligi uchun buchiziq  oilaning o’ramasi bo’lolmaydi  (10rasm).
2.2-§   Frene bazisi.  Egri chiziqning parametrizatsiyasi
                Chiziqlar   nazariyasini   o’rganishda     urinma   muhim   rol   o’ynashi     hammag
ma’lum.     Urinmaga   perpendicular     tekislikni   normal   tekislik   deb   ataganmiz.     Bu
paragrafda     urinmaga   perpendicular   ikki   vector   binormal   va   bosh   normal   deb
ataluvchi vektorlarning xossalari o’rganiladi.  
               Bizga   γ    egri  chiziq  va uning   M   nuqtasidan  o’tuvchi    birorta  	α    tekislik
berilgan   bo’lsin.     Berilgan   chiziqdagi   M   nuqtaga   yaqin   N   nuqta   olib     M   va   N
nuqtalar orasidagi masofani   d   bilan,   h   bilan esa   N   nuqtadan  	
α    tekislikkacha
bo’lgan masofani belgilaylik. 
                1-ta’rif.     Berilgan  	
γ     chiziqdagi     N   nuqta     M   nuqtaga   yaqinlashganda  	h
d2
nisbat nolga intilsa,   	
α    tekislik   	γ    chiziqning  M nuqtasiga yopishma tekisligi deb
ataladi (11-rasm).  y−	y	
y'(t)= x − x
x ' ( t ) = z − z
z ' ( t )
normali tenglamasi esa
(x-x
0) x’(t)+(y-y
0 )y’(t)+(z-z
0 )z’(t)=0
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda x
0 =x(t
0 ),  y
0 =y(t
0 ),  z
0 =z(t
0 ).
               Regulyar  egri  chiziq y=y(x),   z=z(x)  tenglamalar  yordamida berilsa, uning
urinma tenglamasi
                                               	
y−	y	
y'(x) = x − x
1 = z − z
z ' ( x )
normali tenglamasi esa,
x-x
0 +(y-y
0 )y’(t)+(z-z
0 )z’(t)=0
ko’rinishda bo’ladi.
        Agar fazodagi egri chiziq 
{
φ	
( x , y , z	) = 0
ω	
( x , y , z	) = 0
        Tenglamalar yordamida aniqlangan va  (  φ φ φ
ω ω ω )   matritsaning rangi ikkiga
teng bo’lsa,  M (x
0 , y
0 , z
0 ) nuqtadan o’tuvchi urinma tenglamasi
x − x	
|
φ φ
ω ω	| =  y − y	|
φ φ
ω ω	| = z − z	|
φ φ
ω ω	|
normali tenglamasi
(x-x
0 )	
|
φ	φ	
ω	ω| +(y-y
0 )	|
φ	φ	
ω	ω|+(z−	z)|
φ	φ	
ω	ω| =0
ko’rinishda bo’ladi.  Bu yerda xususiy hosilalar  M (x
0 , y
0 , z
0 ) nuqtada hisoblangan.
Misol va masalalar yechish namunalari
                1-masala.   Tekislikda   y=x 2
+4x+3     funksiyaning   grafigidan   iborat   chiziq
berilgan  bo’lsin. Chiziqning    absissasi  x=-1 ga  teng bo’lgan M  nuqtadagi  urinma
va normali tenglamasini tuzing. (4-rasm)         1-masala. Ushbu  {
x=	3at	
t3−1	
y=	3at	2	
t3+1     tenglamalar sistemasi  bilan berilgan chiziq 
(Dekart yaprog’i)  ning asimptotalari topilsin.
        Yechish.   Sistemaga tegishli tenglamalardan ko’rinib turibdiki,  parametrning
t=-1  qiymatida funksiyalar aniqlanmagan, ya’ni sistemadagi  funksiyalarning 
maxrajlari nolga aylanadi, lekin suratlari  chekli bo’ladi.  Shuning uchun 
funksiyalar parametrning bu qiymatida cheksizlikka intiladi.  Demak, parametrning
qiymati -1 ga intilganda chiziq asimptotaga ega bo’ladi. 
               
Endi t	
→ -1 uchun  asimptotaning  k burchak koeffitsiyenti  va l  ozod hadiniu 
topamiz:
k= lim
t → t 0 y ( t )
x ( t ) =	
limt→−1
3at	2	
t3+1	
3at	
t3+1 = lim
t → − 1 t
=-1,   k=-1
l= lim
t → t	
( y	( t) − kx	( t)) = ¿ ¿
 	limt→−1
3at	2+3at	
t3+1  = 	limt→−1	
3at	(t+1)	
(t+1)(t2−t+1)  =  lim
t → − 1 3 at
t 2 − t + 1  = -a;        l=-
a. Yechish:     shartga ko’ra, AB=a   va OA= φτ
,   bunda    τ
=const.     harakatdagi kesma
boshlang’ich   paytda   Ox   o’qida   bo’ladi,   deb   faraz   qilsak,   vint   chizig’idagi   B
nuqtaning vaziyati   φ
   parameter bilan to’la aniqlanadi. Ushbu chiziq tenglamasini
tuzamiz:
OB= r = AB+OA.
  Ikkinchi tarafdan, AB=a(icos	φ +j	sin	φ )=ae( φ
)  va OA= 	τφk   munosabatlarni hisobga
olsak, vint chizig’i radius – vektorning ifodasini hosil qilamiz.
   Demak, vint chizig’ining tenglamasi  
r( φ
)=ae( φ
)+ τφ
k
yoki kordinata ko’rinishida II BOB.  FRUNE FORMULALARI
2.1-§    Asimptotalar.  Maxsus nuqtalar.  Chiziqlarni tekshirish va yasash. O’rama .
         Differensial geometriyada o’rganilayotgan chiziqlar ichida bir tomonlama 
yoki ikki tomonlama cheksizlikka ketadigan chiziqlar tushunchasi kiritiladi. 
Bunday chiziqlarning cheksizlikka ketadigan shoxlari biror to’g’ri chiziqqa 
yaqinlashishsi mumkin. Yuqoridagi xossaga ega bo’lgan chiziqlarni yasash uchun ,
ularga shoxlari cheksizlikka intilganda yaqinlashadigan  to’g’ri chiziqlarni bilish 
zarur bo’ladi.  Shuning uchun chiziq asimptotalarini o’rganish muhim hisoblanadi. 
         Bizga biror γ    yopiq bo’lmagan egri chiziq o’zining biror parametrlash usuli
x=x(t),  y=y(t),  (a
¿t<b )   bilan berilgan bo’lsin.
               1-ta’rif.     Berilgan chiziqning parametri   t   uchun ushbu   t	
→	a    yoki     t	→	b
munosabatlardan faqat bittasi o’rinli ekanligidan   x 2
(t)+y 2
(t)	
→	∞    munosabat kelib
chiqsa, u holda berilgan  chiziq bir tomonlama cheksizlikka intiladi deyiladi.  Agar
berilgan   chiziqning   parametri     t   uchun  	
ushbu	t→	a     va       t	→	b       munoisabatlar
birdaniga o’rinli bo’lganida   x 2
(t)+y 2
(t)	
→	∞    munosabat  bajarilsa,  berilgan chiziq
ikki tomonlama cheksizlikka intiladi  deyiladi. 
        2-ta’rif.   Berilgan	
γ    egri chiziq parametrining t qiymatiga mos keluvchi  M(t)
nuqtasidan     biror   l   to’g’ri   chiziqqacha     masofani   d(t)     kabi   belgilaylik.    Agar      	
γ
egri chiziq parametri   t   uchun     	
t→	a    munosabatdan ushbu       d(t)	→ 0   munosabat
kelib chiqsa, u holda  l to’g’ri chiziq   	
γ    egri chiziqning asimptotsi deyiladi.
        1-tasdiq.  Biror parametrlash usuli  x=x(t),  y=y(t)   (a	
¿t<b )  bilan berilgan  va
t	
→	a      da cheksizlikka intiluvchi     	γ    egri chiziq   asimptotaga ega bo’lishi uchun ,
parametr  t	
→	a   da b
1) Ushbu   munosabatlardan   biri   y(t)(x(t)) -1
,     x(t)(y(t)) -1
    chekli   limitga   ega
bo’lishi, aniqlik uchun y(t)(x(t)) -1	
→	k   
munosabat o’rinli bo’lishi;
2) Birinchi shart bajarilganda ushbu y(t)-kx(t)   ifodaning biror limitga intilishi
zarur va yetarli.  Agar bu limitni l deb belgilasak, u holda y-kx-l=0 tenglama
asimptota tenglamasi bo’ladi. 
         Endi ordinata o’qiga parallel asimptotani qidiramiz.  Berilgan chiziqning.
Oy   o’qiga   parallel   asimptotasi   mavjuda   deb   faraz   qilamiz.     Chiziqning   M
nuqtasi  cheksizlikka intilganda, y(t)=
∞   bo’lib,  x(t)  qandaydir bir o’zgarmas a
songa intiladi.   Bu  a  sonni   lim
t → x x ( t )
= x(t
0 )=a  munosabatdan topamiz.   U holda
Oy  o’qiga parallel asimptotaning tenglamasi  x-a=0  ko’rinishida bo’ladi.                  1-ta’rif.     Berilgan  γ   chiziqdagi   N   nuqta   M   nuqtaga   yaqinlashganda      	∆φ
∆s
ifodaning limiti mavjud bo’lsa,  u  	
γ  chiziqning M nuqtadagi egriligi deb ataladi va
k=	
limN→M	
∆φ
∆S    kabi belgilanadi (13-rasm).
                2-ta’rif.     Berilgan  	
γ     chiziqdagi   N   nuqta   M     ga   yaqinlashganda        	∆φ
∆s
ifodaning limiti mavjud bo’lsa,  u    γ
 chiziqning M nuqtadagi absolut buralishi deb
ataladi va [ σ ¿
=  lim
N → M ∆ φ
∆ S   kabi belgilanadi. Xuddi   shunga   o’xshash,   chiziqning   Ox   o’qiga   parallel   asimptotasini   hosil   qilish
uchun,     chiziqning   M   nuqtasi   cheksizlikka   intilganda,   x(t)=∞     bo’lib,     y(t0
qandaydir   bir   o’zgarmas   b   songa   intiladi.     Bu   b   sonni  	
limt→by(t) =y(t
0 )=b
munosabatlarni topamiz. U holda izlanga asimptotaning tenglamasi y-b=0  bo’ladi.
        2-tasdiq. Berilgan chiziq bir  (ikki)  tomonlama chekssizlikka  intilgnda uning
urinmasining   limiti   mavjud   bo’lsa,     bu   limit       (limitlar)     chiziq   asimptotasi
(asimptotalari) deyiladi. 
                Teskarisi   har   doim   ham   o’rinli   bo’lavermaydi,     ya’ni     chiziq   asimptotasi
mavjud   bo’lib,     u   urinmaning   limiti   bo’lmasligi   mumkin.     Masalan,     y= cos x
x
funksiya   grafigidan   iborat   chiziq       x	
→	∞   da   Ox   o’qidan   iborat   asimptotaga     ega,
lekin bu chiziq urinmasining burchak koeffitsiyenti  y’=-2	
sin	x - cos x
x     esa  	x→	∞  da
hech   qanday   limitga   intilmaydi.   Chunki         cos x
x → 0
    bo’lsada,     sinx 2
    ning   limiti
yo’q, u   	
x→	∞   da -1 va 1  sonlari orasida tebranib turadi.
            Matematik analiz kursidan   y=f(x)   ko’rinishidagi funksiya grafigini  yasash
usuli ma’lum.  Endi biz  F(x;y)=0 ko’rinishdagi tenglama bilan berilgan chiziqlarni
yasash usulini keltiramiz.
        Biror tenglama bilan  berilgan chiziqni yasash  uchun uning:
1) Aniqlanish sohasini;
2) Koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtalarini;
3) Koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligini;
4) Koordinata o’qlariga parallel urinmalarini;
5) Maxsus nuqtalarini;
6) Egilish nuqtalarini;
7) Qavariq va botiqligini;
8) Asimptotalarini;
9) Mumkin bo’lgan hollarda  bir nechta yordamchi nuqtalarni topish kerak.
               3-ta’rif.   Bizga bir (ikki) parametrli   chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin., ya’ni
chiziq   tenglamasida   bitta     (   ikkita)   parameter   qatnashsin.     Ba’zan   bunday   oila
uchun   o’zining     har   bir   nuqtasida   oila   chizig’iga   urinadigan   va   shu   urinish
nuqtalaridan   tashkil   topgan   chiziq   mavjud   bo’ladi.     Bunday   chiziq   berilgan   oila
uchun o’rama deyiladi. 
Misol va masalalar yechish namunalari            Tasdiq.  Regular egri chiziq
har bir nuqtasida yagona urinmaga
ega.   Agar  γ   egri   chiziq  	⃗r (t)=	⃗r
tenglama   bilan   berilgan   bo’lsa,
M(t
0 )   nuqtadagi   urinma  	
⃗r (t
0 )
vektorga parallel bo’ladi. 
Yuqoridagi   tasdiqdan   foydalanib
urinma   ta’rifini   quyidagicha
ifodalash mumkin.
                    2-ta’rif.   Regulyar  	
γ     egri
chiziq  	
⃗r =	r (t)     tenglama   bilan
aniqlansa,   M   (t
0 )     nuqtadan
o’tuvchi   va    	
⃗r ’(t
0 )     vektorga
parallel to’g’ri chiziq 	
γ   ning M(t
0 )
nuqtasida   o’tkazilgan   urinmasi
deyiladi. 
               3-ta’rif.   Egri chiziqning M
nuqtasidan   o’tuvchi   va   urinmaga   perpendicular   ravishda   o’tadigan   tekislik   egri
chiziqning M nuqtasidagi normali deyiladi. 
               Izoh.     Masala tekislikda qralayotgan bo’lsa, egri chiziqning normali to’g’ri
chiziqdan iborat bo’ladi. Regulyar  	
γ    egri chiziq   	⃗r =	r (t)   tenglama bilan aniqlansa,
uning M(t
0 )  nuqtasida o’tkazilgan urinma tenglamasi 	
⃗ρ
(t)=	⃗r (t
0 )+	τ⃗r ’(t
0 )
normali tenglamasi
(	
⃗ρ (t)-	⃗r (t
0 )	⃗r ’(t
0 )=0
ko’rinishda bo’ladi. 
        Regulyar egri chiziq parametric tenglamalar yordamida, ya’ni 	
{
x=	x(t)	
y=	y(t)	
z=	z(t)
            a	
¿ t
¿ b
sistema yordamida aniqlangan bo’lsa,  M(t
0 )  nuqtadan o’tuvchi urinma tenglamasi yuqoridagi topilganlarini e’tiborga olib asimptta tenglamasi  x+y+a=0  ko’rinishda 
ekanligini aniqladik.
        Berilgan chiziqning Oy va Ox  o’qlariga parallel asimptotalari  yo’qligi 
ravshan  (6-rasm). 
        2-masala.   Ushbu   (x-C) 2
+y 2
=36  tenglama bilan berilgan aylanalar oilasining
o’ramasi topilsin.
        Yechish.  Berilgan tenglamadan  C  bo’yicha hosila olib, hosil bo’lgan 
tenglamani  (x-C) 2
+y 2
=36  tenglama bilan birgalikda yechib,  y=±6   tenglikni 
olamiz.  Demak,  aylanalar oilasining discriminant chizig’i y=	
±6   to’g’ri 
chiziqlardan iborat ekan.  Bu discriminant chiziq bilan berilgan aylanalar 
oilasining o’ramasi bo’ladi   (8-rasm). 
        3-masala.   Ushbu    (y-C) 3
-y 2
=0  yarim kubik parabolalar oilasining o’ramasi 
topilsin. 
        Yechish. Bu oilaning o’ramasini topish uchun  ta’rifga ko’ra berilgan oila 
tenglamasidan  C  parameter bo’yicha  hosila olamiz  va oila tenglamasi bilan 
birgalikda yechib   x=0  to’g’ri chiziq tenglamasini hosil qilamiz.  Bu chiziq 
berilgan oilaning o’ramasini bermaydi.  Chunki,  x=0  to’g’ri chiziq  oila maxsus 
nuqtalardan tashkil topgan  (9-rasm).                   Ta’limni   tubdan   isloh   qilishning   ajralmas   va   muhim   qismi   hisoblangan
zamonaviy pedagogik texnologiyalar, interfaol metodlar, amaliyotga joriy qilinishi
mumkin   bo’lgan   yo’l-yo’riqlar   yangicha   usullar   orqali   mutaxassislar   tomonidan
ma’lum   tizim   asosida   o’rgatilishi   lozim.   Jahon   ta’limi   tajribasi   shundan   dalolat
beradiki,   jamiyat   taraqqiyoti   ta’limning   takomillashishi   va   taraqqiy   qilishi   bilan
chambarchas bog’liqdir.
              Prezident Islom Karimovning O’zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasining
20   yilligiga   bag’ishlangan   tantanali   marosimda   “Inson   manfaati,   huquq   va
erkinliklarini ta’minlash, hayotimizning yanada erkin va obod bo’lishiga erishish –
bizning   bosh   maqsadimizdir”   mavzusida   qilgan   ma’ruzasida   jumladan   shunday
fikrlarni o’qish mumkin:
                    “Bu   yo’lda   bizning   eng   katta   tayanch   va   suyanchimiz,   hal   qiluvchi
kuchimiz yosh avlodimizdir.
                Bu – O’zbekistonda tashkil etilgan dunyo miqyosida katta qiziqish va
havas   uyg’otayotgan   mutlaqo   yangi   o’quv   tizimida   yuksak   ta’lim-tarbiya
olayotgan,   eski   asoratlardan,   qarashlardan   uzoq   bo’lgan,   zamonaviy   kasb-
hunarlarni   o’zlashtirgan,   mustaqil   fikrlaydigan,   ertangi   kunga   intilayotgan
bizning farzandlarimizdir.
                      ...   Ishonchim   komil,   bunday   yoshlarimizning   safi   qancha   ko’paysa,
qancha rivoj topsa, hech shubnasiz, marra bizniki, O’zbekistonnikidir” 1
                Mustaqillik yillarida ta’lim tizimidagi o’zgarishlar ta’lim jarayoni tarkibiy
qisimlarini   yangicha   tartibda   namoyon   bo’lishini   taqozo   etadi.   An’anviy   ta’lim
qonuniyatlari   va   tamoyillariga   mos   holda   yangi   tamoyillarga   amal   qilish,   ta’lim
metodlarining   paydo   bo’lishi,   ta’lim   vositalarining   takomillashuvi,   ayniqsa
ta’limni   tashkil   etishning   noan’anaviy   shakllari   keng   ko’lamda   joriy   etilishi
kuzatilmoqda.
                        Mazkur   o’zgarishlarning   bir   qismi   mavjud   didaktik   ta’limotlarning
tarkibidan o’sib chiqqan bo’lsa, yana bir qismi dunyodagi ta’lim tizimi rivojlangan
mamlakatlar   olimlarining   pedagogik   tajribalariga   suyangan   holda   paydo   bo’ladi.
Shu   o’rinda   ta’limning   zamonaviy   interfaol   metodlarining   mamlakatimiz   ta’lim
sohasiga   kirib   kelishi   alohida   e’tibor   qaratadigan   yo’nalishlardan   biri   ekanligini
qayd etish zarur.
             Mavzuning dolzarbligi  – Ta`lim jarayoni interfaol metodlar asosida tashkil
etish   bo’lajak   mutaxassislarning   O’zbekistoning   ilg’or   tajribalari,   an’analari,
madanyatini hisobga olgan holda har tomonlama shakllantirish imkonyatini beradi.
Bu   borada   ta’lim   tizmida,   oquv   jarayonida   interfaol   metodning   umumiy   asoslari
tadqiq   etilgan.   Pedagogik   olimlar   O.   Tolipov,   SH.   Abdullaeva,   O.   Haydarova
kabilarning   tadqiqot   ishlari   shular   jumlasidandur.   Ta’lim   jarayoni   ko’p   bosqichli 1.4-§.       Misol va masalalar yechish   
1.   Beriligan   ikki   nuqtagacha   masofalari   kvadrastlari   o’zgarmas   songa   teng
bo’lgan nuqtalarning geometric o’rni topilsin.
2.   Berilgan   ikki   nuqtagacha   masofalari   kvadratlari   ayirmasi   o’zgarmas   songa
teng bo’lgan nuqtalarning geometric o’rni topilsin.
3.  Ixtiyoriy nuqatadan  A(4;0)  nuqtagacha bo’lgan masofa  B(1;0)  nuqtagacha
bo’lgan   masofadan     ikki   marta   kata   bo’lgan   nuqtalarning   geometric   o’rni
topilsin.
4. Katetlari   a,   b   ga   teng   to’g’ri   burchakli   uchburchak   harakat   qilganda   uning
o’tkir   burchakli   uchlari   o’zaro   perpendicular   to’g’ri   chiziqlar   bo’yicha
sirpanadi.   Bu   harakat   natijasida   uchburchak   to’g’ri   burchagining   uchi
chizadigan chiziq tenglamasini tuzing.
5. Tekislikdagi umumiy dekart koordinatalar sistemasining Ox, Oy o’qlarida A,
B   nuqtalar   berilgan   bo’lsin.   Berilgan   A,   B   nuqtalardan   o’tuvchi   AB   to’g’ri
chiziqda   yotgan       P(x
0,   y
0 )     nuqtadan   Ox,   Oy     o’qlari   mos   ravishda   C,   D
nuqtalalrdan kesib o’tadigan ixtiyoriy kesuvchi o’tkaziladi.  So’ngra  CB, AD
to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi M bilan belgiilangan bo’lsin. Kesuvchi
to’g’ri   chiziq   P   nuqta   atrofida   aylanganda   M   nuqta   chizgan   chiziq
tenglamasini tuzing.
6. Berilgan   uchta   nuqtagacha   bo’lgan   masofalar     kvadratlarining   yig’indisi
o’zgarmas bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rni topilsin.
7. To’g’ri   to’rtburchak   tomonlarigacha     masofalari   kvadratlari   yig’indisi
o’zgarmas  bo’lgan  nuqtalarning geometrik o’rni topilsin .
8. Ikkita aylana berilgan bu aylanalarga o’tkazilgan urinmalar uzunliklari bir xil
bo’ladigan nuqtalarning geometric o’rni topilsin.
9. Markazi   koordinata   boshida   bo’lgan   aylana   berilgan.   Agar   aylanada   yotgan
barcha nuqtalarning ordinatalarini k marta kamaytirilsa, qanday chiziq hosil
bo’ladi.
10.     Aylananing   belgilangan   yo’nalishga   parallel   vatarlarini   berilgan   nisbatta
bo’ladigan nuqtalarning geometric o’rni topilsin.
11. Markazlari O koordinata boshida, radiuslari a, b   ga teng aylanalar berilgan.
Uchi   koordinata   boshida   bo’lgan   nur   O   nuqta   atrofida   aylanish   natijasida
berilgan   aylanalarni   mos   ravishda   A,   B     nuqtalarda   kesib   o’tadi.   Hosil
bo’lgan   B   nuqtadab   absissa         o’qiga   parallel   to’g’ri   chiziq   o’tkazildi.     A
nuqtadan esa ordinate o’qiga parallel to’g’ri chiziq o’tkaziladi. Bu ikki to’g’ri
chiziqlarning   kesishish   nuqtasini   M   bilan   belgilaylik.   Hosil   bolgan   M
nuqtalarning geometric o’rni topilsin. {τ = k	
ϑ
ϑ = − kτ − σβ
β = σ
ϑ . [X − x ( t ) Y − y ( t ) Z − z ( t )
x ' ( t ) y ' ( t ) z ' ( t )|
y ' ( t ) z ' ( t )
y ' ' ( t ) z ' ' ( t )	|	| z ' ( t ) x ' ( t )
z ' ' ( t ) x ' ' ( t )	|	| x ' ( t ) y ' ( t )
x ' ' ( t ) y ' ' ( t )	|]  =0
bo’ladi.
                Urinma,   bosh   normal,   binormal     bo’yicha   yo’nalgan   birlik     vektorlardan
tashkil   topgan   uchlik       Frene   bazisi   deyiladi(12-rasm).     Ularni   mos   ravishda
quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:
                                     	
τ=	⃗r
¿¿ ;    α = [	
[ r '
, r ' '	]
r ' '
]
[	
[ r , r '	]
r '
] ;      β = r '
, r ' '
r , r ' .
          
2.3-§.  Egri chiziq egriligi va buralishi.  Frene formulalari
        Bizga  	
γ   egri chiziq va  M  unga tegishli nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan egri
chiziqda     M   nuqtaga   yaqin   N   nuqta   olib,   bu   nuqtalarda   o’tkazilgan   urinmalar
orasidagi burchakni  	
∆φ   bilan, MN yoy uzunligini  	∆s   bilan belgilaylik. yaxlit   tizimga   ega   bolib,   uning   har   bir   bosqichi   ta’lim   oluvchilarning   yoshi   va
oziga   xos   xususiyati   ta’lim–tarbya   jarayonida   intelektual   qobiliyatiga   bog’liqdir.
O’quvchi   o’quvchilikka   qabul   qilingandan   boshlab   har   bir   fanning   ilmiy–nazariy
asoslarni   chuqur   o’rganish   bilan   birga   kasb   tayyorgarligiga   alohida   e’tibor
qaratildi.   Jamyatning   intelektual   salohiyotiga   mos   kelajak   avlodni   tarbyalash
bugungi ta`lim tizimi oldida turgan dolzarb vazifa bo’lib, bu o’z navbatida ta’lim
jarayonida   mumtazam   ravishda   innovatsion   yondashuvlarni   amalga   oshirishni
talab   etadi.   Innovatsion   yondashuvlar   -   ta’lim   jarayonida   zamonaviy   pedagogik
texnologiyalarni   qo’llash   demakdir.   Mazkur   kurs   ishimning   mavzusining
dolzarbligi ham mana shunda.
                    Matematikani   o’qitish   umumiy   sistemasida   masalalar   yechish   samarali
mashq turlaridan biridir. Masalalar yechish bolalarda avvalo mukammal matematik
tushunchalarni   shaklllantirish   ularning   programmada   berilgan   nazariy   bilimlarni
o’zlashtirishlarida favqulotda muhim ahamiyatga ega.     Masalan, agar biz qo’shish
haqida   to’g’ri   tushuncha   shakllantirishni   istasak,   buning   uchun   bolalar   yig’indini
topishga   doir   yetarli   miqdorda   sodda   masalalarni   deyarli   har   gal   to’plamlarni
birlashtirish amalini, bajarib yechishlari zarur.
           Shunday qilib, masalalar konkret material bo’lib, ular yordamida bolalarda
yangi   bilim   vujudga   keladi   va   mavjud   bilimlar   tadbiq   qilinishi   jarayonida
mustahkamlab   boradi.   Masalalar   bilimlarni   shakllantirishda   konkret   material
bo’lgani   holda   nazariyani   amaliyot   bilan,   o’qitishni   turmush   bilan   bog’lab   olib
borish imkonini beradi. Masalalar yechish bolalarda kundalik hayotda har bir kishi
uchun zarur bo’lgan amaliy uquvlarni vujudga keltiradi.
                      Tadqiqotning   maqsadi:   Egri   chiziqning   egriligi   va   buralishiga   doir
masalalarni   ishlash   samaradorligini   oshirishda   zamonaviy   pedagogik
texnologiyalar   va   ularni   qo’llash   usullarini   ishlab   chiqish,   dastur   materiallariga
mos   masalalarni   o’rganishning   samarali   usullarini   aniqlash   yangi   pedagogok
texnologiyalardan   foydalanib   masala   yechishni   amalga   oshirish   yo’llarini
izlashdan iborat. 
                    Tadqiqot  ob’yekti:   Egri   chiziqning  egriligi  va  buralishiga   doir  masalalar
ustida   ishlash   usullari   va   matematika   darslarida   zamonaviy   texnologiyalarni
qo’llash jarayoni.
         Tadqiqotda qo’yilgan asosiy masalalar:
1. Egri chiziqning egriligi va buralishiga doir masalalarni yechish usullarini tahlil
qilish.
2.   Egri   chiziqning   egriligi   va   buralishiga   doir   masalalar   mazmunini   tahlil   qilish.
3. Ilg’or  o’qituvchilarining tajribalarini o’rganish.
4.     Egri   chiziqning   egriligi   va   buralishiga   doir   masalalarni   o’rganish   bo’yicha
pedagogic tajriba o’tkazish, natijalarini metodik tavsiya sifatida bayon qilish. Egri chiziqning egriligi va buralishi
MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………………………………………3
I  BOB.  CHIZIQLAR NAZARIYASI ………………………………………….
1.1-§. Egri chiziq va uning berilish usullari………………………………....
1.2-§. Vektor funksiyalar uchun differensial hisob………………………….
1.3-§. Egri chiziq urinmasi va normali…………………………………….....
1.4-§. Misol va masalalar yechish…………………………………………..
I  BOB. FRUNE FORMULALARI… ……………………………………………
2.1-§. Asimptotalar.Maxsus nuqtalar.Chiziqlarni tekshirish va yasash.
O’rama...............................................................................................
2.2-§. Frene bazisi. Egri chiziqning tabiiy parametrizatsiyasi…………………..
2.3-§. Egri chiziq egriligi va buralishi. Frene formulalari……………………….
XULOSA ………………………………………………………………………….
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR …………………………………………..
                                                   Kirish. O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI 
OLIY  TA’LIM, FAN  VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
__UNIVERSITETI
Ro’yxatga olindi №__________                          Ro’yxatga olindi №__________
“_____” ____________20   y.                             “_____” ____________20   y.
“___________________________ “ KAFEDRASI
“_____________________________ “ FANIDAN
KURS ISHI 
Mavzu:________________ 
Bajardi:_________________________________
Tekshirdi:_______________________________
______________ - 20___ U holda  
 0=  d
du| r| 2
= d
du (	⃗r , 	⃗r  )= 2(	⃗r , 	⃗r
u  )
0=  d
dv	
| r| 2
= d
du (	⃗r , 	⃗r  ) =  2(	⃗r , 	⃗r
v  )
Tengliklardan ushbu   (
⃗r , 	⃗r
u  )= (	⃗r , 	⃗r
v  )=0  tengliklar kelib chiqadi.
         Yetarliligi.  Endi   	
⃗r \\	⃗r
u ,   	⃗r \\	⃗r
v     deb faraz qilaylik.  U holda  
d
du	
| r| 2
= 2(	⃗
r , 	⃗
r
u  )=0          d
dv	| r| 2
= 2(	⃗
r , 	⃗
r
u  )=0
Tengliklardan   	
⃗r (u, v)   funksiyaningn o’zgarmas ekanligi kelib chiqadi.  Masala 
to’liq yechildi.
1.3-§. Egri chiziq urinmasi va normali
              Egri   chiziq   urinmasi   tushunchasi   dastlab   maktab   kursida   o’tiladi.   Birinchi
kursda esa xususiy holler, ikkinchi tartibli chiziqlar va sirtlarga o’tkazilgan urinma
tushunchasi o’rganiladi.
               Differensial geometriya va topologiya fanida avval urinmaning umumiyroq,
lekin   klassik   ta’rifi   orqali,   xossalari   o’rganiladi.   Sirtlar   nazariyasida   esa   urinma
tushunchasi   urinma   vector   orqali   aniqlanadi.     Keyinchalik   bu   tushuncha
ko’pxillikning   urinma   fazosini   aniqlash   uchun   kerakli   muhim   tushuncha   ekanligi
amalda ko’rsatiladi.
        Bizga 	
γ   elementar chiziq va M nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan chiziqning M
nuqtasiga o’tkazilgan urinma tushunchasini kiritamiz. Buning uchun M nuqtadan l
to’g’ri  chiziqni  o’tkazaylik, N bilan M ga yaqin bo’lgan   	
γ    elementar chiziqning
birorta nuqtasini belgilaylik. Egri chiziqdagi M va N   nuqtalar orasidagi masofani
d bilan, N nuqtadan l to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani h bilan belgilaylik.
        1-ta’rif.  Berilgan 	
γ   egri chiziqning N nuqtasi M nuqtasiga intilganda 	h
d  ifoda
nolga intilsa,   l to’g’ri chiziq  	
γ    egri chiziqning M nuqtasida o’tkazilgan urinmasi
deyiladi.    (3-rasm)                Yechish.     Avvalo M nuqtaningb ordinatasini  topamiz: y
0 =(-1) 2
+4·(-1)3=0.
Endi chiziqning pametrik tenglamalarini  {	
x=t	
y=t+4t+3,
                 
− ∞ < t < + ∞
ko’rinishda yozib,  t=-1  nuqtadagi hosilalarning qiymatlarini hisoblaymiz. 
x’(-1)=1,   y’(-1)=2.   Natijada  chiziqning urinmasi  va normali  tenglamalarini  mos
ravishda ushbu ko’rinishda 
x + 1
1 = y
2      va       x + 1
− 2 = y
1
yoza olamiz.
        Chiziq tenglamasi vektor ko’rinishda 
⃗
r
=	{t;t2+4t+3}
tenglama   bilan   berilgan   bo’lsa,   urinma   va   normali   tenglamalarini   vector
ko’rinishda mos ravishda quyidagicha ifodalash mumkin:  	
⃗
ρ
=	{ − 1 ; 0	}
+{ − 2 ; 1	} ω
           	⃗ ρ
=	{ − 1 ; 0	}
+{ − 2 ; 1	} ω
       Xulosa
           Biz bu kurs ishida differensial geometriya kursining asosiy 
tushunchalaridan bo’lgan egri chiziq tushunchasini kiritdik va ularning 
tenglamalarini ba’zi bir xususiyatlarini topishga doir misol va masalalar keltirdik. 
Bundan tashqari differensial geometriya va topologiya fanida vector analizi muhim
o’rin tutadi. Shuning uchun vector funksiyalar xossalariga doir misol va masalalar 
keltirilgan.  Egri chiziq urinmasi tushunchasi maktab kursida kiritiladi.  Birinchi 
kursda esa xususiy hollar, ikkinchi tartibli chiziqlar va sirtlarga o’tkazilgan urinma 
tushunchasini o’rgandik.  Differensial geometriya va topologiya fanida avval 
urinmaning umumiyroq, lekin klassik ta’rifi orqali, xossalari o’rganiladi. Sirtlar 
nazariyasida esa urinma tushunchasi  urinma vector orqali aniqlanadi.  Keyinchalik
bu tushuncha ko’pxillikning urinma fazosini aniqlash uchun kerakli muhim 
tushuncha ekanligi amalda ko’rsatiladi.
            Egri chiziq egriligi  va buralishi differensial geometriyada o’rganiladigan 
chiziqlarning muhim hususiyatlaridan hisoblanadi. Bu xususiyatlarning mexanika 
va fizikadagi tatbiqlari ham mavjud. Bu tatbiqlarni xususan, Frene formulalarining 
ifodasida ham ko’rish mumkin.
      
Foydalanilgan adabiyotlar: mavjud bo’lsa, uni r’(p) bilan belgilaymiz va r(p) vector funksiyaning p nuqtadagi
hosilasi deb ataymiz.
       Tekislikdagi biror soha vector funksiya aniqlangan G to’plam sifatida olingan
bo’lsa, u sohadagi nuqta uchun p=(u, v) belgilash kiritamiz. Bu holda r(p) va uning
koordinata   funksiyalari   x(u,   v),   y(u,   v),   z(u,   v)     ikki   o’zgaruvchili   funksiyalar
bo’ladi.  Yuqoridagi funksiya tushunchasidan foydalanib,      ⃗r
u (u,v)={x
u (u,v), y
u (u,v) z
u (u,v)}  va   	⃗r
v (u,v)={x
v (u,v), y
v (u,v) z
v (u,v)}
tengliklarni hosil qilamiz.
          Bir o’zgaruvchili  	
⃗r (t) vector funksiya uchun integral tushunchasini kiritaylik.
Agar   	
⃗r (t)  vector funksiya uchun differensiallanuvchi  	⃗ρ (t) vector funksiya mavjud
bo’lib , 	
⃗r (t)=	⃗ρ' (t)  tenglik bajarilsa,  	⃗ρ (t)  vector funksiya  	⃗r (t)   vector funksiyaning
aniqmas integrali deyiladi va quyidagi ko’rinishda yoziladi:
                                               ρ
(t)  =
∫	
⃗ r ( t )
d(t)
             Masala.    Bizga tekislikdagi biror g sohada aniqlangan differensiallanuvchi  	
⃗ r
(u,   v)     vector   funksiya   berilgan   bo’lsin.   Berilgan   vector   funksiyaning   uzunligi
o’zgarmas   bo’lishi   uchun     (	
⃗ r
,  	⃗ r
u   )=   (	⃗ r
,  	⃗ r
v   )=0     tengliklarning   bajarilishi   zarur   va
yetarli ekanligini isbotlang (2-rasm). 
       Yechish: Zarurligi.  Tasdiqni zarurligini isbotlash uchun 	
|⃗ r| 2
=(	⃗ r
, 	⃗ r
 )  tenglikdan
foydalanamiz. Berilgan vector funksiyaning uzunligi o’zgarmas deb faraz qilaylik,
ya’ni 	
|⃗ r ( u , v )	|
=const.  tenglik bajarilsin.
                                12. To’g’ri   burchakli   koordinatalar   sistemasining   koordinata   o’qlari   va   ularni
kesib   o’tuvchi   chiziqlqardan   hosil   bo’lgan   o’zgarmas     S   yuzali   to’g’ri
burchakli   uchburchaklarning   to’g’ri   burchagi   uchuidan   gipotenuzasiga
perpendicular tushirilgan. Perpendicular asosining geometrik o’rni topilsin.
13. To’g’ri to’rtburchakning ikki o’qi koordinata o’qlari bilan ustma-ust tushadi.
To’g’ri   to’rtburchak   diogonalining   uzunligi   o’zgarmas   l   ga   teng   bo’lib,
qolaveradigan   holda   shaklan   o’zgaradi.   Koordinata   boshiga   qarama-qarshi
uchidan   diogonalga   tushirilgan   perpendicular   asoslarining   geometric   o’rni
astroida   deb   ataladi.   To’g’ri   to’rtburchakning   qo’zg’almas   tomonlarini
koordinata o’qlari sifatida olib, astroida tenglamasi tuzilsin.
14. Qutb   o’qiga   perpendicular   bo’lgan   va   undan   OA=a   ga   teng   kesma   airatgan
to’g’ri chiziqning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasi tuzilsin.
15. Berilgan   ikki   aylanaga   urinadigan   aylananing   markazlari   geometric   o’rni
topilsin. Quyidagi hollar qaralsin:
1. Berilgan aylanalardan biri ikkinchisining ichida yotadi.
2. Berilgan aylanalardan biri ikkinchisining ichida yotmaytdi.
16.  Radiusi a ga teng bo’lgan  aylananing O nuqtasini qutb , OA  diametrini qutb
o’qi   sifatida   olib   aylananing   qutb   koordinatalar   sistemasidagi   tenglamasi
tuzilsin.
17.   Radiusi   a   ga   teng   bo’lgan   aylanada   O   nuta   olingan   bo’lib   va   bu   nuqtaga
diametral   qarama-qarshi   bo’lgan   K   nuqtada   urinma   o’tkazilgan.   Olingan   O
nuqta   atrofida   to’g’ri   chiziq   aylanadi   va   u   aylana   bilan   urinmani   mos
ravishda   A,   B   nuqtalarda   kesib   o’tadi.   A   nuqtadan   urinmaga   parallel   B
nuqtadan   OK   diametrga   parallel   to’g’ri   chgiziq   o’tkaziladi.   Bu   to’g’ri
chiziqlar   kesishish   nuqtalarining   geometric   o’rni   topilsin.   Koordinatalar
boshi deb  O nuqta,  abscissa o’qi sifatida OK diametr olinsin. Hosil nbo’lgan
chiziq Mariya Anezi zulfi deb ataladi.
18. Uzunligi   2a   gating   kesmaning   uchlari   to’g’ri   burchak   tomonlari   bo’ylab
sirpanadi.   To’g’ri   burchak   uchidan   kesmaga   tushirilgan   perpendicular
asosining   geometric   o’rni   (   bu   chiziq   to’rt   yaproqli   gul   deb   ataladi)
tenglamasi qutb va dekart koordinatalar sistemalarida tuzilsin.
19. Radiusi a ga teng bo’lgan aylanada O nuqta olingan va bu aylanada nuqtaga
diametral   qarama-qarshi   bo’lgan   K   nuqtadan   aylanaga   urinma   o’tkazilgan.
Olingan   O   nuqta   atrofida   nur   aylanadi.   Bu   nur   aylana   va   urinmani   mos
ravishda   A,   B   nuqtalarda   kesib   o’tdi.   Bu   nurda   urinma   va   aylana   orasida
joylashgan   kjesma   uzunligiga   teng     OM=AB     kesma   qo’yiladi.   Nur
aylanadagi   M   nuqtaning   geometric   o’rni   Diokles   sissoidasi   deyiladi.   Qutb
deb   O   nuqtani   va   OK   nurni   qutb   o’qi   sifatida   olib   sissoidaning     qutb         Tasdiq.  Ikki marta differensiallanuvchi regulyar γ   egri chiziqning har bir 
nuqtasidan o’tuvchi  yopishma tekislik mavjud bo’lib,  urinma yopishma tekislikda
yotadi.  Agar egri chiziq  	
⃗r =	⃗r (t)  tenglama yordamida  aniqlangan bo’lsa,  M(t
0 ) 
nuqtadan o’tuvchi  yopishma tekislik   	
⃗r' (t
0 ),  	⃗r'' (t
0 )  vektorlarga parallel bo’ladi.
        Izoh. Yopishma tekislik   	
⃗r' (t
0 )  va   	⃗r'' (t
0 )  vektorlarga parallel bo’lganligi 
uchun , agar bu vektorlar o’zaro parallel bo’lsa,  M(t
0 )  nuqtadan  o’tuvchi  
yopishma tekisliklar cheksiz ko’p. Lekin,  
⃗r' (t
0 )  va   	⃗r'' (t
0 )  parallel bo’lmasa, 
M(t
0 )   nuqtadan o’tuvchi yopishma tekislik yagonadir. 
        Ushbu  	
⃗r =	⃗r (t)  tenglama  bilan berilgan 	γ  chiziqning   M(t
0 )  nuqtasida  
o’tkazilgan yopishma tekislikning vector tenglamasi  (	
⃗R -	⃗r (t
0 ), 	⃗r' (t
0 ), 	⃗r'' (t
0 ))=0  
ko’rinishda bo’ladi.  Agar egri chiziq x=x(t),  y=y(t),  z=z(t)  parametric 
tenglamalar bilan berilsa,  yopishma tekislik  tenglamasi 	
[
X − x Y − y Z − z
x ' ( t ) y ' ( t ) z ' ( t )
x ' ' ( t ) y ' ' ( t ) z ' ' ( t )	] =0 koordinatalar   sistemasidagi   tenglamasi   tuzilsin,   keyin   dekart   koordinatalar
sistemasiga o’tilsin.
20.  Qutb sifatida qo’zg’almas K nuqta va qutb o’qi sifatida qo’zg’almas nuqtani
aylana markazi bilan tutashtiruvchi to’g’ri chiziq olingan holda, qo’zg’almas
K   nuqtadan   berilgan   ayl;ana   urinmalariga   o’tkazilgan   perpendicular
asoslarining   geometric   o’rni   tenglamasi   qutb   koordinatalar   sistemasida
tuzilsin.   Bunda   qo’zg’almas   K   nuqtadan   aylana   markazigacha   masofa   a   ga
teng va aylana radiusi b ga teng deb olinsin.

Egri chiziqning egriligi va buralishi

KIRISH…………………………………………………………………………3

I  BOB. CHIZIQLAR NAZARIYASI………………………………………….

1.1-§. Egri chiziq va uning berilish usullari………………………………....

1.2-§. Vektor funksiyalar uchun differensial hisob………………………….

1.3-§. Egri chiziq urinmasi va normali…………………………………….....

1.4-§. Misol va masalalar yechish…………………………………………..

I  BOB. FRUNE FORMULALARI………………………………………………

2.1-§. Asimptotalar.Maxsus nuqtalar.Chiziqlarni tekshirish va yasash.

O’rama...............................................................................................

2.2-§. Frene bazisi. Egri chiziqning tabiiy parametrizatsiyasi…………………..

2.3-§. Egri chiziq egriligi va buralishi. Frene formulalari……………………….

XULOSA………………………………………………………………………….

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………………..