Funksional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalar - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	19500UZS
Размер	1.1MB
Покупки	0
Дата загрузки	22 Ноябрь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Sherzod Sultonov

Дата регистрации 10 Июнь 2025

1 Продаж

Funksional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalar

Купить

Samarqand davlat pedagogika instituti
Aniq va amaliy fanlar yo’nalishi
Amaliy matematik yo’nalishi
205-guruh talabasi
Dilshodbek Rajabboyevning
Funksional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalar mavzusidagi
KURS ISHI
Bajardi: Dilshodbek Rajabboyev
Ilmiy rahbar:

Reja:
Kirish
I.BOB. Funktsional ketma-ketlik tushunchasi
1.1. Argumentga bog‘liq holda o‘zgaruvchi funksiyalar ketma-ketligi.
1.2. Funksiya ketma-ketligining limiti
II.BOB. Funktsional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalarni misollar orqali
tushuntirish
2.1. Funktsional ketma-ketliklarning nazariy va amaliy ahamiyati
2.2. Limit funksiyaning xossalari va funksional qator yig’indisi bir xil yaqinlashish holatida.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish
Kurs ishining dolzarbligi: Funktsional ketma-ketliklar matematik tahlil va ilmiy
tadqiqotlarda keng qo‘llaniladi. Ular yordamida murakkab funksiyalarni yaxlit va
bosqichma-bosqich tahlil qilish, limit va integrallarni aniqlash, shuningdek, differensial
tenglamalarni yechish mumkin. Hozirgi vaqtda nazariy matematikadan tashqari amaliy
fanlar – fizika, iqtisodiyot, kompyuter fanlari va muhandislik sohalarida funksional ketma-
ketliklar nazariyasini qo‘llash samaradorligini oshirish zarurati mavjud. Shu bois kurs
ishining mavzusi ilmiy va amaliy jihatdan dolzarb hisoblanadi.
Kurs ishining maqsadi – funksional ketma-ketlik tushunchasini chuqur o‘rganish, ularning
limit va konvergensiya xususiyatlarini tahlil qilish, misollar va amaliy masalalar orqali
matematik bilimlarni mustahkamlash va amaliy qo‘llanish imkoniyatlarini aniqlashdir.
Kurs ishining ahamiyati
 Matematik tahlil va funksiyalar nazariyasini chuqurroq tushunishga yordam beradi;
 Funksional ketma-ketliklar orqali murakkab funksiyalarni yaqinlashuv va
soddalashtirish usullarini o‘rganish imkonini yaratadi;
 Ilmiy tadqiqotlar va muhandislik, iqtisodiyot hamda texnika sohalarida amaliy
qo‘llanishi mumkin;
 Talabalarning mustaqil fikrlash va analitik ko‘nikmalarini rivojlantiradi.
Kurs ishining vazifalari
1. Funktsional ketma-ketlik tushunchasi va ularning turlari haqida nazariy ma’lumotlarni
o‘rganish;
2. Funktsional ketma-ketlikning konvergensiya (yaqinlashuv) xususiyatlarini tahlil
qilish;
3. Limit funksiyasi va uning xossalarini o‘rganish;
4. Misollar orqali funksional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalarni tahlil
qilish;
5. Amaliy masalalar va qo‘llanmalar yordamida nazariy bilimlarni mustahkamlash;

6. Kurs ishida olingan bilimlarni boshqa matematik va amaliy muammolarda qo‘llash
imkoniyatlarini aniqlash.
I.BOB. Funktsional ketma-ketlik tushunchasi
1.1. Argumentga bog‘liq holda o‘zgaruvchi funksiyalar ketma-ketligi.
Ta'rif. Agar har bir natural songa qandaydir qonun bo'yicha to'plamda
aniqlangan funksiya berilgan bo'lsa , u holda to'plamda funksional ketma-ketlik
aniqlangan deymiz . To'plam ketma-ketlikning domeni deb ataladi .
Ta'rif: Agar raqamli ketma-ketlik yaqinlashsa, bir nuqtada
yaqinlashadi . Yaqinlashadigan barcha nuqtalar to'plamiga funktsional ketma-ketlikning
yaqinlashuv sohasi deyiladi .
- konvergentsiya sohasi. Cheklangan qiymatning
belgilanishi bo'lsin . Barcha chegara qiymatlari to'plami to'plamda belgilangan funktsiyadir.
Bu funksiya ketma-ketlikning chegara funksiyasi deyiladi.
Izoh: To'plamdagi nuqta bo'yicha yaqinlashuv ketma-ketlik a'zolarining xususiyatlarini
(masalan, uzluksizlik, integrallik va boshqalar) saqlanishini kafolatlamaydi.
Funktsional seriyalar
To'plamda aniqlangan funksional ketma-ketlik berilsin .
Turning formal ifodasi funksional qator
deyiladi.

To'plam seriyaning domenidir. Qatorning birinchi hadlarining yig'indisi
funksional qatorning th qisman yig'indisi deyiladi. E'tibor bering, bu -da
belgilangan funktsional ketma-ketlik.
Nuqtaga ruxsat bering
Ta'rif. Agar raqamli qator yaqinlashsa, funktsional qator bir nuqtada
yaqinlashadi . U yaqinlashadigan nuqtalar to'plami qatorning yaqinlashish sohasi deb
ataladi.
Ta'rif: Funktsional qator to'plamga yaqinlashadi, agar uning qisman yig'indilari
ketma-ketligi ga yaqinlashsa .
Agar funktsional qator to'plamga yaqinlashsa, uning yig'indisi - da aniqlangan
funktsiyadir. Shubhasiz, funktsional ketma-ketlikning chegarasi mavjud.
Eslatma: To‘plamdagi qatorning nuqta bo‘yicha yaqinlashuvi qatorlar yig‘indilari uchun
qator hadlarining xossalari saqlanib qolishiga kafolat bermaydi.
Yagona konvergentsiya
Ta'rif: Agar ketma-ketlik to'plamdagi funktsiyaga bir xilda yaqinlashadi . ( Bu bitta nuqta
bo'lishi mumkin emas).
Izoh: to'plamdagi bir xil yaqinlashuv bir xil ketma-ketlikning oddiy (nuqtasi bo'yicha)
yaqinlashuvini nazarda tutadi . Qarama-qarshilik to'g'ri emas.
Ta'rif. Ketma-ketlik, agar mavjud bo'lsa, unga bir xil yaqinlashadi . on
bilan belgilanadi .

Quvvat qatori .
(1.1) ko‘rinishdagi funksional qatordir .
Bu erda quvvat seriyasining koeffitsientlari deb ataladigan doimiy haqiqiy
sonlar ; a - bu doimiy son, x - haqiqiy sonlar to'plamidan qiymatlarni oladigan o'zgaruvchi.
Quvvat seriyasi (1.1) shaklni olganda
. (1.2)
Kuchli qator (1.1) ayirma darajalari qatori , (1.2) qatori x darajalari qatori deyiladi.
(Abel teoremasi) :
Agar (1.2) darajalar qatori uchun yaqinlashsa , u tengsizlikni qanoatlantiruvchi x
ning barcha qiymatlari uchun mutlaqo yaqinlashadi ; agar (1.2) qator uchun
farqlansa, u tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun
farqlanadi .
Abel teoremasi darajalar qatorining yaqinlashish sohasi tuzilishi haqida aniq tasavvur beradi.
(1.2) quvvat seriyasining yaqinlashuv mintaqasi quyidagi intervallardan biriga to'g'ri keladi:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ,
bu erda R - manfiy bo'lmagan haqiqiy son yoki .
R raqami deyiladi yaqinlashish radiusi , intervalli kuch seriyasining yaqinlashuv oralig'i
(1.2).
Agar bo'lsa , yaqinlashuv oralig'i butun son o'qidir .
Agar , u holda yaqinlashuv oralig'i bir nuqtaga aylanadi .

Eslatma: agar darajali qator (1.2) uchun yaqinlashish oralig'i bo'lsa, u holda
(1.1) darajali qator uchun yaqinlashish oralig'i bo'ladi.
1.2-teoremadan kelib chiqadiki, (1.2) darajali qatorning yaqinlashish mintaqasini amaliy
topish uchun uning yaqinlashuv radiusi R ni topish va bu qatorning yaqinlashish oralig'i
uchlarida, ya'ni va uchun, yaqinlashish masalasiga aniqlik kiritish kifoya .
Abel teoremasi: yaqinlashish radiusi va intervali
Abel teoremasi. Quvvat qatori bir nuqtada birlashsin . Keyin bu qator
yaqinlashadi (mutlaqo).
Isbot. Seriya odatiy ma'noda x
1 nuqtada yaqinlashadi , sonli ketma-
ketlik nolga yaqinlashadi , ya'ni,
Keling, ko'rib chiqaylik. Belgilaylik
Keling, ko'rib chiqaylik
: yaqinlashadi, shuning uchun
sonli qator (qat'iy x uchun ) taqqoslash mezoni bo'yicha yaqinlashadi to'plamga mutlaqo
yaqinlashadi | x | < | x
1 |
Xulosa: Agar darajalar qatori x
2 nuqtada ajralsa , u holda bu qator ajralib
chiqadi .
Ta'rif. Agar R manfiy bo'lmagan son bo'lsa yoki darajalar qatorini | to'plamda yig'ish
xususiyatiga ega bo'lsa x | < R va to'plamda ajralib chiqadi | x | > R, keyin R bu daraja
qatorining yaqinlashish radiusi deyiladi. Bunda ( − R,R) interval darajalar qatorining
yaqinlashish intervali deyiladi. Quvvat qatorining yaqinlashuv mintaqasi yaqinlashuv
oralig'iga to'g'ri kelmasligi mumkin, chunki u nuqtani o'z ichiga olishi mumkin.

Teorema: Har bir darajali qator yaqinlashuv radiusiga ega.
Isbot. A - darajalar qatori yig'iladigan barcha manfiy bo'lmagan sonlar to'plami bo'lsin .
Seriya bir nuqtada yaqinlashganligi sababli (ehtimol ga
teng). R = supA ni belgilaymiz . R - darajalar qatorining yaqinlashish radiusi
ekanligini isbotlaymiz .
Biz ta'rif bo'yicha eng katta yuqori chegara sonini
aniqlaymiz, chunki qator bir nuqtada yaqinlashadi.
Abel teoremasi bo'yicha qatorlar to'plamda yaqinlashadi x | < c , xususan, x nuqtada .
Chunki x har qanday nuqta bo'lib, qatorlar to'plamda yaqinlashadi x | < R .
Raqamni | da tuzatamiz x | > b > R shunday . Ya'ni,
darajalar qatori x nuqtada ajraladi (Abel teoremasining natijasi bo'yicha), qator
to'plamda ajraladi | x | > R. Shuning uchun, R = sup A - kuch seriyasining yaqinlashuv
radiusi.
Loran seriyasi , turdagi seriya
, (*)
ya’ni z — a farqining ham ijobiy, ham manfiy darajalarida joylashtirilgan qator (bu
yerda z , a va qator koeffitsientlari kompleks sonlardir). Bu erda manfiy bo'lmagan kuchlarga
ega bo'lgan atamalar to'plami oddiy darajalar qatorini ifodalaydi , u, odatda, markazi a va
radiusi R (£ ¥) bo'lgan doira ichida birlashadi; Qolgan atamalar, odatda, bir xil markazga ega,
lekin radiusi r ( r ³ 0) bo'lgan aylana tashqarisida yaqinlashadigan qator hosil
qiladi . Agar r < R bo'lsa , u holda (*) qator aylana halqada yaqinlashadi r < | z — a | < R ;
uning yig'indisi, bu halqada, z kompleks o'zgaruvchining analitik funktsiyasidir .
Kompleks son z - bu x va y haqiqiy sonlarning juftligi ( x , y ) . Tartibli juftlarning tengligi,
yig'indisi va ko'paytmasi, shuningdek, ularning ba'zilarini haqiqiy sonlar bilan aniqlash
quyidagicha aniqlanadi:

1) ikkita kompleks son z
1 = ( x
1 , y
1 ) va z
2 =
( x
2 , y
2 ) teng deyiladi, agar x
1 = x
2 va y
1 = y
2 bo lsa ;ʻ
2) z
1 va z
2 kompleks sonlar yig‘indisi shakldagi z kompleks son deyiladi.
z = ( x
1 + x
2 , y
1 + y
2 );
3) z
1 va z
2 kompleks sonlarning ko‘paytmasi kompleks son deyiladi
z = ( x
1 x
2 - y
1 y
2 , x
1 y
2 + x
2 y
1 );
4 ) kompleks sonlar to‘plami R haqiqiy sonlar to‘plami bilan aniqlanadi .
z
1 va z
2 kompleks sonlarning ayirmasi z
2 + z = z
1 bo‘lgan z kompleks son bo‘lib ,
undan z = z
1 - z
2 = ( x
1 - x
2 , y
1 - y
2 ) ni topamiz.
z
1 va z
2 kompleks sonlarning bo'lagi z kompleks son bo'lib, shunday bo'ladi .
Bundan topamiz

Kompleks son (0, 1) i = (0, 1) belgisi bilan belgilanadi . Keyin ,
ya'ni i 2
= -1. Ixtiyoriy kompleks z sonni quyidagicha yozish mumkin
z = ( x , y ) = ( x , 0) + (0, y ) = ( x , 0) + (0, 1)( y , 0) = x + iy .
Bu belgi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi . Kompleks son z = ( x , y )
= x + iy kompleks sonning konjugati deyiladi . Har bir kompleks son z =
( x , y ) koordinatalari x va y bo'lgan tekislikdagi nuqta sifatida ifodalanishi mumkin .
Kompleks sonlar tasvirlangan tekislik kompleks tekislik deyiladi , x o'qi haqiqiy o'q , y o'qi
esa xayoliy o'q deb ataladi .
Nol nuqtadan z nuqtasining r masofasi , ya'ni raqam

z kompleks sonining moduli deyiladi va | belgisi bilan belgilanadi z |.
Raqam

Buni z kompleks sonining argumenti deb ataymiz va uni th = arg z belgisi bilan
belgilaymiz . Berilgan r uchun farq qiluvchi burchaklar bir xil songa to'g'ri keladi. Bunday
holda, biz th = arg z ni yozamiz, bu argumentning asosiy qiymati deb ataladi .

R va th raqamlari z kompleks sonining qutb koordinatalari deb ataladi . Ushbu holatda,
z = ( x , y ) = ( r cos th , r sin th ) = r (cos th + i sin th )
kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi .
Agar z
1 = ( r
1 cos th
1 , r
1 sin th
1 ), z
2 = ( r
2 cos th
2 , r
2 sin th
2 ) bo‘lsa, u holda
z
1 z
2 = ( r
1 r
2 cos( th
1 + th
2 ), r
1 r
2 sin ( th
1 + th
2 )),

z = ( r cos th , r sin th ) sonning n-chi darajasi uchun formula z n
= ( r n
cos nth , r n
sin nth )
ko‘rinishini oladi.
r = 1 bo'lganda , munosabat z n
= (cos nth , sin nth ) ko'rinishini oladi va Moivre
formulasi deb ataladi .
Kompleks z sonning n- ildizi formula bo‘yicha topilgan n ta xil qiymatga ega
(1)

Bessel tengsizligi
[− p, p ] oraliqda aniqlangan bo‘lak-bo‘lak uzluksiz f ( x ) funksiyani ko‘rib chiqaylik .
Uning Furye seriyasida kengayishi shaklga ega
Bessel tengsizligi shuni ko'rsatadi
Bundan kelib chiqadiki, qatorlar yaqinlashadi.
Parseval tengligi
Agar f ( x ) [− p, p ] oraliqda kvadrat integrallanuvchi funksiya bo‘lsa , munosabat
keyin Bessel tengsizligi tenglikka aylanadi. Bunday holda, Parseval formulasi to'g'ri keladi :
Parseval formulasi murakkab shaklda
Yana f ( x ) [−p ,p ] oraliqda kvadrat integrallanuvchi funksiya deb faraz qilaylik . c
n uning
kompleks Furye koeffitsientlari bo'lsin , ya'ni
Qayerda

Keyin Parseval formulasi quyidagicha yoziladi
E'tibor bering, 2 p -davriy to'lqinning energiyasi f ( x ) ga teng
Furye seriyasining ta'rifi
Agar x ning barcha qiymatlari uchun f ( x + P ) = f ( x ) bo'lsa, f ( x ) funktsiyasi P davriga
ega deyiladi . f ( x ) funksiyaning davri 2p bo'lsin . Bunda funksiyaning [ −p, p ] oraliqdagi
harakatini ko‘rib chiqishning o‘zi kifoya.
1. Faraz qilaylik, 2 p davriga ega f ( x ) funksiya [ −p, p ] oraliqda absolyut
integrallanadi . Bunday holda, Dirixlet integrali chekli hisoblanadi :
2. Shuningdek, f ( x ) funksiyasi bir qiymatli, bo‘lak-bo‘lak uzluksiz (ya’ni u chekli sonli
uzilish nuqtalariga ega) va bo‘lak-bo‘lak monoton (maksima va minimalarning chekli
soniga ega) deb faraz qilaylik.
Agar 1 va 2 shartlar bajarilsa, f ( x ) funksiyasi uchun Furye qatori mavjud bo‘lib, berilgan
funksiyaga yaqinlashadi ( Yaqinlashish shartlari uchun Furye seriyalarining
yaqinlashuvi bo‘limiga ham qarang ). Agar x
0 uzilish nuqtasi bo'lsa, u holda Furye qatori
qiymatga yaqinlashadi
f ( x ) funksiyaning Furye qatori quyidagicha ifodalanadi

Bu erda Furye koeffitsientlari a
0 , a
n va b
n formulalar bilan aniqlanadi
Ba'zan Furye seriyasini kengaytirish uchun muqobil belgilar qo'llaniladi. a
n va b
n ni yangi
d
n va ph
n yoki d
n va th
n o‘zgaruvchilari bilan almashtirish , bunda
mos ravishda yozishimiz mumkin
Juft va toq funksiyalarning Furye qator kengayishi
2 p davriga ega bo'lgan juft f ( x ) funktsiyaning Furye seriyali kengayishi sinuslarni o'z
ichiga olmaydi va ko'rinishga ega .
bu erda Furye koeffitsientlari ifodalar bilan aniqlanadi
Xuddi shunday, f ( x ) toq funktsiyaning 2p davri bilan Furye qator kengayishi faqat
sinuslarni o'z ichiga oladi va ko'rinishga ega.
bu yerda y b
n teng

Quyida biz Furye qatorida 2p davriga ega bo lgan funksiyalarning kengayishiga oid ba ziʻ ʼ
tipik misollarni ko rib chiqamiz
ʻ , bunda bunday kengaytmalar mavjud va berilgan
funksiyaga yaqinlashadi.
Juft va toq davomlar
Faraz qilaylik, f ( x ) [0, p ] oraliqda aniqlangan bo‘lak uzluksiz funksiya bo‘lsin . Bu
funksiyaning Furye qator kengayishini topish uchun uni davom ettirishimiz va [− p,
p ] oraliqda grafigini chizishimiz kerak . Bu ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin:
1. f ( x ) ning juft davomini qurish mumkin :
2. yoki f ( x ) ning toq davomini tuzing :
Juft funksiya bo'lsa , Furye qatoriga kengayish ifoda bilan tavsiflanadi
Qayerda
Toq funksiya bo'lsa , biz mos ravishda olamiz
bu erda kengayish koeffitsientlari teng bo'ladi

Funktsiyaning juft va toq davomi tushunchasi davriy bo'lmagan funksiya uchun ham
kiritilishi mumkin. f ( x ) funksiya [0, L ] oraliqda aniqlansin . Ushbu funktsiyaning [ − L, L ]
oraliqda teng davom etishidan foydalanib , Furye qatorini kengaytirish uchun quyidagi
formulani olamiz:
Qayerda
G'alati davomi bo'lsa, tegishli formula bo'ladi
bu erda b
n koeffitsientlari teng
1.2. Funksiya ketma-ketligining limiti
Agar x < x 0 va x → bo'lsa x 0 , keyin biz x → yozamiz x −
0 0 ; xuddi
shunday,
agar x > x 0
bo'lsa va x → x 0 bo'lsa, u quyidagicha
yoziladi: x → x + 0 0 .
Raqamlar f ( x 0 − 0 ) = lim f ( x ) va f ( x 0 + 0 ) = lim f ( x ) deyiladi -
x → x − 0 0 x → x + 0 0
sya, mos ravishda f ( x ) funksiyaning chap tomonidagi chegara x 0 nuqtasida va
oldindan
f ( x ) ning o'ng tomonida x 0 nuqtasida (agar bu chegaralar mavjud bo'lsa).
Funktsiyaning chegarasi mavjud bo'lishi uchun, f ( x ) x → sifatida x 0 talab
qilinadi

tenglik yuzaga kelishi uchun yetarli
f ( x 0 - 0 ) = f ( x 0 + 0 ) .
8
3-misol. Toping bir
tomonlama chegaral
ar funktsiyala
ri
2 x + 1, x ≥
1, x 0 nuqtasi
da = 1.
y =
≤ 1
− 3 x + 1,
x
Yechim.
lim y = lim ( 2 x + 1 ) =
3 ;
x → + 1 0 → x + 1 0
lim y = lim ( - 3 x + 1 ) = - 2 .
x → − 1 0 → x − 1 0
Ta'rif: f ( x ) funksiya cheksiz kichik deb ataladi.
x → x 0 uchun , agar
( e > 0 ) d ( = d e > ( ) 0 ) ( < x ,0 - x <
d x
0
)
f ( x
)
< e .

Ushbu ta'rifga o'xshash tarzda cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifini berish mumkin.
Ta'rif: { x n } ketma-ketligi cheksiz kichik if deyiladi

( e > 0 )( n e N )( ≥ nn e ) < : e x
n
.

Ketma-ketlik chegarasining ta'rifidan kelib chiqadiki, chegara
cheksiz kichik ketma-ketlik nolga teng.
Ta'rif. f ( x ) funktsiyasi cheksiz katta deb ataladi

x → x 0 uchun , agar

( M > 0 ) ( d = d e ( > ) 0 )( < x ,0 -
x < x d 0
)

f ( x )
> M.

Agar funktsiya f ( x ) uchun intiladi cheksizlik da x → x 0
va qabul qiladi faqat ijobiy qadriyatlar, Bu yozadilar
lim f ( x ) = +∞ ; Agar faqat salbiy qadriyatlar, Bu
x → x 0
lim f ( x ) = −∞ .
x → x 0
Keling, chegarani topishni osonlashtiradigan teoremalarni tuzamiz.
ushlash funktsiyalari. Teoremalarni
shakllantirish holatlar uchun x → x
0
va x → ∞ o'xshash.
lim f ( x ) va
lim g ( x ) ,Faraz qilsak, mavjud bo'lganlar chegaralar
x → x 0 x
→ x 0
bizda ... bor:
Teorema 1. lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = limf ( x ) ± limg ( x ) .
x → x 0 → xx 0 → xx 0
Teorema 2. lim ( f ( x ) g ( x ) ) = limf ( x ) limg ( x ) .
x → x 0 → xx 0 → xx 0

f ( x
) lim f ( x )
, agar lim g ( x ) ≠ 0
bo'lsa.
Teorema 3. lim = x
→ x 0
g ( x
) lim g ( x )
x → x 0 x → x
0
x
→ x 0

Teorema 4. Agar f ( x ) = c ( c = const ) , keyin
lim f ( x ) = c .
x → x 0
Teorema 5. Quvvat chegarasi asos chegarasining kuchiga teng,
ya'ni
lim ( f ( x ) ) k = ( lim f ( x ) ) k .
x → x 0 → xx 0
Teorema 6. O'zgarmas omilni prefiksdan tashqarida olish mumkin
ishlar:
lim ( cf ( x ) ) = toqqa ( x ) .
x → x 0 →
x x 0
E'tibor bering, 1-teorema bu holatda javob bermaydi
agar lim f ( x ) = ∞
bo'lsa Va lim g ( x ) = ∞ (formaning noaniqligi ∞ ± ∞ );
x → x 0 x → x 0
lim f ( x ) = ∞ bo'lsa, 2-teorema javob bermaydi , lim g ( x ) = 0 (aniqlanmagan
x → x 0 x → x 0
∞ shaklining
dangasaligi 0); teorema 3 bo'lgan holatda, agar lim f ( x ) = ∞
bo'lsa ,
x → x 0
lim g ( x ) = ∞ (noaniqlik turlari ∞
), Va, lim f ( x ) = 0 bo'lsa ,
∞x → x 0 x → x 0
lim g ( x ) = 0 (noaniqlik turlari 0
). Bundan
tashqari mumkin deb
nomlanadi
x → x 0 0
Ro'yxatda keltirilganlarga kamaytirilishi mumkin bo'lgan boshqa noaniqliklar ham bo'lishi
mumkin.
Noaniqliklarni aniqlash uchun ishlatiladigan ba'zi usullar quyida aniq misollar bilan
tasvirlangan.
6-misol. Find 5 n 2 + 1

lim
.
n →∞ 7 n 5 + 2 n +
3
Yechim. Birinchidan, chegara teoremalari ushbu kasrga tegishlimi yoki biz noaniqlik
bilan shug'ullanamizmi, tekshiramiz. Buning uchun kasrning pay va maxraji chegaralarini
topamiz. Keyingisi,
{ 5 n 2 + 1 } va { 7 n 5 + 2 n + 3 } valentliklari n
→ ∞ cheksi
z -
biroz katta. Shunung uchun
lim ( 5 n 2 + 1 ) = ∞ , lim ( 7 n 5 + 2 n + 3 )
= ∞ .
n →∞ n →∞
Shuning uchun biz shaklning noaniqligi bilan
shug'ullanamiz ∞
.
∞
Ushbu noaniqlikni ochish va ikkita ketma-ketlikning nisbati chegarasi haqidagi
teoremadan foydalanish uchun biz raqamni tanlaymiz
II.BOB. Funktsional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalarni misollar orqali
tushuntirish
2.1. Funktsional ketma-ketliklar va qatorlar
1. Funksional ketma-ketlik va funksional qatorlarning ta’rifi
Geometrik progressiya yig'indisi yaqinlashadi.
Xuddi shu to'plamda aniqlangan funktsiyalar ketma-
ketligi bo'lsin

Funktsional qator - bu turdagi qator .
Funksional ketma-ketlik va funksional qator uchun yaqinlashish (nuqta bo‘yicha
yaqinlashuv) sohasini aniqlaymiz : limit funksiya.
Xuddi shunday, funksional qator uchun funksional
qatorning yaqinlashish sohasi (nuqta bo‘yicha yaqinlashuv) ga, funksional
qatorlar yig‘indisi esa ga teng.
12-sonli ma’ruza Funksional ketma-ketliklar va turkumlar (davomi)
Bizni quyidagi uchta vazifa qiziqtiradi.
Masala 1. Funktsiyalar ketma-ketligi bo'lsin .
Qachon .
Misol: Mayli .
Shunga o'xshash muammo funktsional seriya uchun o'rnatilishi mumkin.
Misol .

Masala 2. Keling ( R integrallansin ). Bunga qachon
kafolat bera olamiz yoki .
.
Masala 3. ( C 1
- uzluksiz differentsiallanuvchi
bo'lsin). Qachon , yoki .
Misol. .
Limit funksiyasi ketma-ketlik funksiyasining yaxshi xossalarini meros qilib olmaydi.
2. Funktsiyalar ketma-ketligi va funksional qatorning bir xil yaqinlashuvi
Birinchidan, segmentdagi funksiyalar ketma-ketligini nuqta bo'yicha yaqinlashish shartini
tahlil qilaylik:
bo'yicha .
f ( x ) ga bir xilda yaqinlashadi , ya'ni agar .
Keling , u holda bir xil yaqinlashuvning ekvivalent
ta'rifi: .
Yagona konvergentsiya nuqta bo'yicha yaqinlashishni anglatadi, ammo buning aksi to'g'ri
emas. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol.
, ya'ni nuqta bo'yicha yaqinlashuv mavjud, lekin bir
xil yaqinlashuv yo'q.
2-misol.
ya'ni yagona konvergentsiya yo'q.
3-misol.
ya'ni yagona konvergentsiya yo'q.
4-misol.
ya'ni bir xil konvergentsiya mavjud, ammo bu
holatda ham bu etarli emas.

Koshi mezoni yoki boshqa
tomondan , Koshi mezoni bir xil fundamentallik deb ham
ataladi.
Isbot. Zaruriyat.
Mayli , keyin
f
n ( x ) ketma-ketlikning bir xil fundamentalligi .
Adekvatlik.
f
n ( x ) bir xil fundamental ketma-ketlik bo'lsin  f n
( x ) fundamental ( Koshi
mezoniga ko'ra) . Keling, bir xil fundamentallik shartini batafsil
yozamiz:
.
Tasdiqlangan.
13-sonli ma’ruza Funksional ketma-ketliklar va turkumlar (davomi)
Agar uning qisman yig indilari ketma-ketligi [ʻ a , b ] da bir xilda S ( x ) ga
yaqinlashsa, qator [ a , b ] bo yicha yig indisiga
ʻ ʻ bir xil yaqinlashuvchi deyiladi ,
ya ni
ʼ yoki .

Funktsional qator uchun Koshi mezoni quyidagicha ko'rinadi: u [ a , b ] ga bir xilda
yaqinlashadi, agar qisman yig'indilar ketma-ketligi S
n ( x ) [ a , b ] da bir xilda
fundamental bo'lsa , ya'ni .
Misol.
Koshi mezonini qo'llaymiz:
yagona konvergentsiya mavjud emas.
Funktsional qatorning bir xil yaqinlashuvi uchun ba'zi etarli mezonlarni belgilash mumkin.
1. Weierstrass belgisi.
Agar u yaqinlashsa, u [ a , b ] ga bir xilda yaqinlashadi .
Isbot. Funktsional qatorning bir xil yaqinlashuvi uchun Koshi mezonidan
foydalanamiz.
(Koshi mezoniga ko'ra)
Tasdiqlangan.
Misol.

Ko'rsatish mumkinki, hamma joyda yaqinlashuvchi qator davr davomida bir xilda
yaqinlashmaydi. Biroq, qatorlar uchun quyidagi muhim tasdiq amal qiladi: qatorning
qisman yig'indilari har qanday x uchun bir xilda
chegaralangan :
Isbot. Davriylik va g'alatilik tufayli, ko'rib chiqish
kifoya
Baholash uchun biz Abel konvertatsiyasidan foydalanamiz:
Keyingisi:

Shunday qilib,
Keling , ko'rinishdagi qatorlar uchun Dirixlet va Abelning yagona yaqinlashuv mezonlarini
tuzamiz: (1).
2. Dirixle testi.
Agar (1) qator uchun quyidagi shartlar bajarilsa:
1.
2.
3.
u holda (1) qator [ a , b ] ga bir xilda yaqinlashadi.
3. Hobilning belgisi.
Agar (1) qator uchun quyidagi shartlar bajarilsa:
1.
2.
3. keyin (1) qator bir xilda yaqinlashadi

Bu mezonlar Abel konvertatsiyasi va konvergent qatorlar uchun Koshi mezonidan
foydalangan holda sonli qatorlar kabi isbotlangan.
Muammo. Qanday sharoitlarda (kamaymaydi)
Dirixlet mezonidan yetarli shartlar kelib chiqadi:
(1) va (2) shartlarni tahlil qilish va agar bu shartlar bajarilsa, qatorlar
bir xilda yaqinlashishini talab qilish kerak . Bu shartlar ham zarur ekanligini ko'rsatish
mumkin.
2.2. Limit funksiyaning xossalari va funksional qator yig’indisi bir xil yaqinlashish
holatida.
Teorema 1. Agar
Isbot. Biz quyidagi hisob-kitoblarga asoslanamiz:
Shunday qilib,
 funksiyasini tuzatamiz
[ a , b ] ustida bir xil uzluksiz

[ a , b ] ustida bir xil uzluksiz .
Tasdiqlangan.
1-teorema  . Agar uzluksiz bo'lsa, funktsional qator keyinga
yaqinlashadi
Isbot. Agar qisman yig'indi bo'lsa, u holda ham uzluksiz va
bir xilda yaqinlashadi
1  teoremaning bayoni 1-teoremadan kelib chiqadi.
Tasdiqlangan.
Teorema 2. Agar
Isbot. Riman ma'nosida funktsiyaning integralligi uchun quyidagi mezondan foydalanamiz
(Riman mezoni):

Keling , ixtiyoriy bo'lim bo'lsin , keyin:
Shunday qilib,
Yana va yana
Demak, 2-teoremaning ikkinchi qismi o‘rinli.
Tasdiqlangan.
2-teorema  . If , va funksional qator keyin ga yaqinlashadi
Isbot. Agar 2-teorema
bo'yicha (2-teorema bo'yicha) =
Tasdiqlangan.
Teorema 3. Agar

1.
2.
3.
keyin u ham bir xilda yaqinlashadi
.
Isbot. Biz quyidagi mezondan foydalanamiz:
ixtiyoriy va keyin, Koshi
mezonidan foydalanib, biz ketma-ketlikning bir xil yaqinlashuvini ko'rsatamiz
Keyingi bo'ylab bir xilda :
Tasdiqlangan.
1-misol. Funksional qatorning yaqinlashuvini o‘rganing

2-misol. Funksional qatorning yaqinlashuvini o‘rganing
3-misol. Funksional qatorning yaqinlashuvini o‘rganing
3- teorema  Agar
1.
2.
3.
Isbot. Agar u holda
1.
2.
3.

Bunday holda , bu cheksiz o'lchamdagi chiziqli bo'shliq bo'lib, unda quyidagi xususiyatlar
qondiriladigan normani kiritish mumkin:
1.
2.
3.
Normaga ega bo'lgan chiziqli fazoga normalangan fazo deyiladi .
Norm [ a , b ] ning yaqinlashuvini aniqlashga imkon beradi:
Funktsiyalar ketma-ketligi fundamental deb ataladi, agar har bir
fundamental ketma-ketlik konvergent bo'lgan normalangan fazo to'liq
fazo yoki Banach fazosi (S. Banach nomi bilan atalgan) deb ataladi.
E'tibor bering, har bir konvergent ketma-ketlik fundamentaldir, ya'ni to'liq fazoda
konvergentsiya fundamentallikka ekvivalentdir yoki to'liq fazoda Koshi mezoni qondiriladi.
Keling, normalangan maydon to'liq ekanligini ko'rsataylik . Buning uchun biz unda
konvergentsiyani ko'rib chiqamiz:
Shunday qilib, fazoviy normada konvergentsiya bir xil konvergentsiyaga teng.

Ma'lumki, bir xil konvergentsiya uchun Koshi mezoni qondiriladi. Bu bo'sh joy
tugallanganligini anglatadi .
Misol. Kosmosda normani kiriting . Olingan bo'sh joy normalanadi,
lekin to'liq emas; masalan, u quyidagi asosiy funktsiyalar tizimini o'z ichiga oladi.
Asosiy ketma-ketlikni belgilash mumkin , lekin uzluksiz
funktsiyaga yaqinlashmaydigan. Bu normalangan fazo tugallanishi mumkin va bu
tugallanishning elementlari Lebesg ma’nosida [0, 1] da integrallanadigan funksiyalar bo‘ladi.
2. Kosmos
Bu normani kiritish mumkin bo'lgan chiziqli bo'shliq
Keling, ushbu fazodagi konvergentsiyani tavsiflaymiz:
ya'ni fazo me'yoridagi yaqinlashish ketma-ketlikning o'zi va uning k tartibli hosilalari
ketma-ketligining bir xil yaqinlashuviga tengdir .
E'tibor bering, bo'sh joy ham to'ldi.
Normaga ega bo'lgan bo'shliq to'liq bo'lmaydi va
uning tugashi Sobolev maydoni deb ataladi .
Xulosa

Funktsional ketma-ketlik tushunchasi zamonaviy matematik tahlilning muhim
bo‘g‘inlaridan biri hisoblanadi. Ushbu kurs ishida funksional ketma-ketlik yordamida
funksiyalarni aniqlash va ularning limit xossalarini tahlil qilish masalalari o‘rganildi.
Tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatdiki, funksional ketma-ketliklar orqali murakkab
funksiyalarni bosqichma-bosqich yaqinlashuv va soddalashtirish imkoniyatlari yaratiladi, bu
esa matematik tahlil va qo‘llanma hisob-kitoblarda keng qo‘llaniladi.
Kurs ishida nuqtaviy va bir xilda yaqinlashuv tushunchalari, funksional ketma-
ketliklarning limit funksiyalari xossalari, shuningdek, uzluksizlik, differensiallanuvchanlik
va integrallanuvchanlik kabi muhim matematik xususiyatlar batafsil tahlil qilindi. Misollar
va amaliy masalalar orqali o‘quvchi funksional ketma-ketliklar yordamida aniqlangan
funksiyalarni konstruktiv usulda qanday hisoblash va tekshirishni o‘rganadi.
Shuningdek, kurs ishida olingan bilimlar nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy
sohalarda ham qo‘llanilishi mumkinligi ko‘rsatildi. Masalan, fizika, iqtisodiyot, muhandislik
va kompyuter fanlarida funksional ketma-ketliklar murakkab tizimlarni modellashtirish,
differensial tenglamalarni yechish, signal va ma’lumotlarni analiz qilish kabi masalalarda
muhim ahamiyatga ega.
Funksional ketma-ketliklar yordamida aniqlangan funksiyalarni o‘rganish talabalarda
analitik tafakkur, mustaqil fikrlash va matematik intuitsiyani rivojlantirishga xizmat qiladi.
Shuningdek, bu mavzu talabalarga murakkab matematik masalalarni bosqichma-bosqich
tahlil qilish, natijalarni grafik va formulalar orqali ifodalash, hamda matematik asoslangan
qarorlar qabul qilish ko‘nikmalarini shakllantiradi.
Xulosa qilib aytganda, funksional ketma-ketlik yordamida aniqlangan funksiyalar
mavzusi nazariy jihatdan chuqur va amaliy jihatdan samarali bo‘lib, u matematik tahlilning
asosiy bo‘limlaridan biri sifatida talabalarning ilmiy tayyorgarligini mustahkamlashda
muhim rol o‘ynaydi. Ushbu kurs ishida olingan natijalar funksional ketma-ketliklar
nazariyasini chuqurroq o‘rganish va amaliy qo‘llash imkoniyatlarini kengaytirishga xizmat
qiladi, shuningdek, talabalarga ilmiy-tadqiqot faoliyatida mustahkam asos yaratadi.
Foydalanilgan adabiyotlar

1. Azlarov.T, Mansurov.H “Matematik analiz” T. “O‘qituvchi” 1989-yil.
2. Turgenbayev.R.M, Qodirov. K. R, Bakirov. T. Yu “Matematik analiz” (qatorlar
nazariyasi) o‘quv qo‘llanma. Farg‘ona 2019.
3. Gaziyev.A, Israilov.I, Yaxshiboyev.N “Matematik analizdan misol va masalalar”.
Toshkent “Yangi asr avlodi” 2006
4. Н.Я. Веленкин К.А Бахан И.А Марон “задачник по курсу математического анализа”
Москва 1971
5. Gaziyev.A, Israilov.I “Funksiyalar va grafiklar” o‘quv qo‘llanma. “Voris-nashriyot”,
Toshkent-2006
6. Azlarov T., Mansurov X., Matematik analiz. 1-qism-T.: “ O‘qituvchi ”, 194.-416 b.
7. Azlarov T., Mansurov X., Matematik analiz. 2-qism-T.: “ O‘qituvchi ”, 195.-436 b.
8. Sa’dullaev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to‘plami. 1-qism.
T.: “O‘zbekiston”-193.-317 b.
9. Turg‘unbayev R., Koshnazarov R. Matematik analizning elementar matematika
masalalarini yechishda tadbiqlari. Toshkent-2007.
10. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Matritsa rangi. Matritsa rangini tuzatish usullari. Fan va
ta’lim, 2(8), 280-21. http://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1758 dan olindi
11. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Matritsalar va ular ustida amallar. Fan va ta’lim, 2(8),
226-238. http://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1752 dan olindi.
12. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Vektorlar. Fan va ta’lim, 2(8), 173-182.
https://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1747 dan olindi.
13. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning
matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari. Fan va ta’lim, 2(8), 312-322.
http://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1761 dan olindi.
14. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Chiziqli operatorlar va komissiya xossalari. Fan va
ta’lim, 2(8), 133-145. http://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1744 dan olindi.

15. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Chiziqli operatorlar va komissiya xossalari. Fan va
ta’lim, 2(8), 146-152. http://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1744 dan olindi.
16. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish. Fan
va ta’lim, 2(8), 153-172. https://www.openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1746
dan olindi.
17. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Arifmetik vektor fazo va unga misollar. Fan va ta’lim,
2(8), 109-120. https://www.openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1742 dan olindi.
18. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi. Fan va ta’lim, 2(8),
183-11. https://www.openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1748 dan olindi.
19. Usmonov, M. T. o‘g‘li. (2021). Vektorlarning vektor va aralash ko‘paytmalari. Fan va
ta’lim, 2(8), 271-279. http://openscience.uz/index.php/sciedu/article/view/1757 dan olindi.
20. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Teylor formulasini matematik masalalarni
е chishdagi ahamiyati. "«Science and Education» Scientific Journal" Scientific Journal, Tom-
3, 19-23.
21. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). D а r а j а li q а t о rl а rning t а qribiy his о bl а shl а rg а
t а tbiqi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-3, 29-32.
22. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Ishoralari almashinib keluvchi qatorlar.
Leybnits alomati. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-3, 24- 28.
23. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Teylor qatori va uning tadbiqlari. «Science
and Education» Scientific Journal, Tom-3, 33-38.
24 . Усмонов, М.Т. (2021). Вычисление центра тяжести плоской ограниченной фигуры
с помощью двойного интеграла. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 64-
71

Купить