Funksional ketma-ketliklar 26

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	1.1MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Funksional ketma-ketliklar 26

Sotib olish

REJA
KIRISH
ASOSIY QISM
1- §. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari
2- §. Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma- ketliklar
3- §. Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining uzluksizligi
4- §. Funksional ketma-ketliklarni hadlab integrallash
5- §. Funksional ketma-ketliklarni hadlab differensiallash
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
2

KIRISH
Agar MATEMATIKA go‘zal bo‘lmaganda
edi, ehtimol matematikaning o‘zi ham
mavjud bo‘lmasdi. Aks holda qanday kuch
insoniyatning buyuk daholarini bu qiyin
fanga torta olardi.
Chaykovskiy
Daraxtning ildizi qanchalik chuqur va tarmoqlangan bo‘lsa, u shunchalik
mustahkam, uning umri shunchalik davomli, hosili esa mo‘l-ko‘l bo‘ladi.
Insoniyat ko‘p ming yillik taroqqiyoti davomida jamiyatni rivojlantirishning
ta’lim, ilm va hunardan samaraliroq vositasini kashf qila olgan emas. Shu sababli
ham ta’lim, ilm- fan har qanday jamiyat, millat va davlatning kelajagini belgilab
beradigan, uning taraqqiyotiga xizmat qiladigan muhim omildir.
Pedagogik ta’limning jamiyat barqaror rivojlanishidagi yuqori ijtimoiy
ahamiyatidan kelib chiqqan holda zamonaviy talablar, tizimdagi muommolar va
ularni hal qilishda fan va ta’lim bo‘g‘inlari o‘rtasidagi aloqadorlikni ta’minlash
uzluksiz pedagogik ta’limni klaster rivojlanish tizimiga o‘tkazish zaruratini taqozo
etmoqda. Pedagogik ta’lim innovatsion klasteri uzluksiz ta’lim tizimidagi barcha
ta’lim turlari, ilmiy tadqiqot institutlari va markazlari, amaliyot bazalari, ilmiy va
ilmiy metodik tuzilmalarining bir butunligi bo‘lib, ularning birgalikdagi vazifalar
taqsimlangan faoliyati pedagogik ta’lim tizimini sifat jihatidan yangi darajaga
ko‘tarish imkonini beradi. Binobarin, klasterning asosiy maqsadi o‘z tarkibiga
kiruvchi ta’limiy-ilmiy innovatsion salohiyatni nafaqat yuqori fuqorolik va kasbiy
layoqatlilik darajasi bilan, balki raqobatbardoshliligi, yangiliklarni qabul qila olish
qobiliyati, yangi ta’lim dastur va texnalogiyalarini loyihalash hamda amalga oshira
olish qobiliyatiga ega zamonaviy ta’lim mutaxassislarini tayyorlash uchun
birlashtirishdir.
3

Pedagogik ta’lim rivojlanishining klaster tizimi ta’lim berish, o‘quv
adabiyotlarini yaratish, pedagog kadrlar ilmiy salohiyatini oshirish ta’lim va
tarbiya uzviyligi bilan bog‘liq umumiy yo‘nalishlarda faoliyat olib boradi.
Mamlakatimizda zamonaviy pedagogik va axborot-kommunikatsiya
texnalogiyalaridan foydalanish orqali matematika o‘qitishning ilg‘or uslublarini
joriy etish asosida bo‘lajak mutaxasislarni tayyorlash tizimini tubdan
takomillashtirish, ularning jahon sivilizatsiyasi yutuqlari hamda dunyo axborot
resurslaridan keng foydalanishlari, xalqaro xamkorlik va korporativ xizmatlarda
ishtirok etishini ta’minlash uchun imkoniyatlar yaratish vazifalari yetakchilik
qilmoqda. Shuningdek, “Oliy ta’lim muassasalarida ilmiy salohiyatni yanada
oshirish, ilmiy va ilmiy-pedagog kadrlar tayyorlash ko‘lamini kengaytirish – eng
muhim masalalardan biridir”.
Binobarin, ta’lim sohasida tub islohotlar amalga oshirilayotgan bugungi
kunda ta’lim shakli va mazmuniga qo‘yilayotgan ta’lab butunlay o‘zgardi. Oliy
o‘quv yurtlarida matematika darslarini tashkil qilish va o‘tkazishning o‘ziga xos
muammolari mavjud. Shuning uchun matematika o‘qituvchisi matematika
nazariyasi va amaliyotidan o‘qitish metodlarini bilgan holda matematik bilimlarni
o‘zlashtirishning pedagogik-psixologik qonuniyatlarini, malaka va ko‘nikmalarini
shakllantirish hamda rivojlantirish, talabalarga mustaqil fikrlashni o‘rgata bilishi
lozim.
Respublikamizda uzluksiz ta’lim tiziminining joriy etilishi, uzluksiz ta’lim
tizimi turlari o‘rtasida uzviylik va izchillikni amalga oshirish, yangi taxrirdagi
matematika o‘quv dasturi va modernizatsiya qilingan davlat ta’lim standartlari,
o‘quvchilarning o‘zlashtirgan bilim va ko‘nikmalarini nazorat qilishning reyting
tizimini amaliyotga joriy etilishi bo‘lajak matematika o‘qituvchilarining ilmiy-
metodik tayyorgarligini tarkib toptirishi va mazkur tayyorgarlik darajasini
orttirishni talab etmoqda.
4

Mustaqil o‘qib bilim orttirish tamoyili shaxsning o‘zi tomonidan
boshqariladigan maqsadga yo‘nalgan bilimni mustahkamlaydi. Qo‘yilgan
masalani o‘z yechimini izlash, maqsadlarini aniqlash, mustaqil xulosalar qilishga
intilish, fan- texnika, madaniyatning turli sohalari bo‘yicha izchil bilim olish shaxs
tomonidan erkin fikrlash madaniyati rivojlanganligining yuqori rivojlanganlarigiga
guvohlik beradi.
Funksional ketma-ketliklarning dolzarbligi. Funksional ketma-ketliklar
matematik analiz va funksional analizning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ular
orqali murakkab matematik va fizik jarayonlarni chuqur tahlil qilish mumkin
bo‘ladi. Bugungi kunda fan va texnikaning deyarli barcha sohalarida bu tushuncha
keng qo‘llanilmoqda.
Matematik tahlilning rivojlanishi, ayniqsa funksiyalar nazariyasi, cheksiz
qatorlar, Fourier qatorlari, funksional analiz, differensial tenglamalar va variasion
hisob kabi sohalarda funksional ketma-ketliklarning asosiy vosita sifatida
namoyon bo‘lishiga sabab bo‘ldi.
Funksional ketma-ketliklar quyidagi sohalarda real amaliy muammolarni
hal qilishda keng foydalaniladi: issiqlik o‘tkazuvchanlik, to‘lqinlar tarqalishi,
kvant mexanikasi va elektromagnit to‘lqinlar tahlilida, signal va tizimlarni
modellashtirish, nazorat tizimlari loyihalash, vibratsiyalarni hisoblash,
algoritmlarni konvergent tarzda yaqinlashtirish, funksional dasturlash tillarida
tahlil, vaqt qatorlarini modellash, regressiya analizida asosiy komponentlar ketma-
ketligi.
Sun’iy intellekt, mashinali o‘rganish va raqamli signalni qayta ishlash kabi
zamonaviy sohalarda funksional ketma-ketliklar real vaqtli hisoblashlar uchun
asos bo‘lib xizmat qiladi: Mashinali o‘rganish algoritmlarida gradientga
asoslangan optimizatsiya jarayonlarida konvergent ketma-ketliklar ishlatiladi.
Neural tarmoqlarda signal va tasvirlar funksional ko‘rinishda modellash orqali
qayta ishlanadi. Numerik usullarda hisoblashlar funksional ketma-ketliklar orqali
yondashuvlar yordamida soddalashtiriladi.
5

Universitet darajasidagi matematik ta’limda funksional ketma-ketliklar
asosiy nazariy asoslardan biri bo‘lib, talabalarni: matematik tafakkur qilishga,
abstrakt tushunchalarni tahlil qilishga, real jarayonlarni matematik
modellashtirishga tayyorlaydi. Bu mavzuning o‘rganilishi nazariy bilimni
mustahkamlash bilan birga amaliy muammolarga ham yechim topish imkonini
beradi.
Funksional ketma-ketliklarni o‘rganishdan maqsad . Murakkab
funksiyalarni soddalashtirish va ularni ketma-ket yaqinlashuvchi ifodalar orqali
tahlil qilishdir. Bu usul orqali differensial tenglamalar, integral operatorlar va
cheksiz qatorlar kabi matematik modellarning yechimlarini izlash imkoniyati
yaratiladi. Shuningdek, bu tushuncha fizik va texnik muammolarni
modellashtirishda ham muhim rol o‘ynaydi.
Kurs ishining obyekti. Ushbu kurs ishining obyekti — matematik analizda
uchraydigan funksiyalarning ketma-ket yaqinlashuvchi ko‘rinishlari, ularning
xossalari va konvergentlik shartlarini o‘rganishdir. Ayniqsa, funksional ketma-
ketliklar yordamida funksiyalarni tahlil qilish, ularni soddalashtirish va real
matematik masalalarga qo‘llash imkoniyatlari kurs ishining markaziy tadqiqot
obyekti sifatida olinadi.
Kurs ishining vazifalari. Ushbu kurs ishining vazifalari quyidagilardan
iborat.
1. Mavzuga doir ma'lumotlar yig‘ish va rejani shakllantirish.
2. Matematik analiz fanini chuqurroq o‘rganish.
3. Funksional ketma-ketliklar haqida tushunchaga ega bo‘lish.
4. Funksioanal ketma-ketlik xossalarini o‘rganish.
5. Kurs ishini bajarib uni himoyaga tayyor qilish.
Kurs ishining tuzilishi va hajmi. Kurs ishi ishi kirish, asosiy qism, xulosa
va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan. Umumiy hajmi 30 bet.
6

1- §. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari
Ixtiyoriy E va F to‘plamlar berilganda, E to‘plamni F to‘plamga akslantirish
tushunchasini avval o‘rgangan edik.
Endi E=N, F to‘plam sifatida esa X  R
to‘plami
 f ( x )
 ni olib, ushbu


: N

 f ( x )
  
: n
 fn
( x )
 to‘plamda berilgan funksiyada
(1.1)
akslantirishni qaraymiz. Bu akslantirish funksioanal ketma-ketlik tushunchasiga olib
keladi.
(1.1) akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:
1, 2, . . ., n, . . .
  
f
1
(x), f2
( x ), . . ., f
n (x), . . .
Natijada
 : n  f
n ( x )
akslantirishning akslaridan (obrazlaridan) tashkil topgan ushbu
f 1( x ), f 2 ( x ),..., fn ( x ),...
(1.2)
to‘plam hosil bo‘ladi.
(1.2) to‘plam
X
 X 
R
da berilgan funksional ketma-ketlik (funksiyalar
ketma-ketligi) deb ataladi va
y fn (x)
kabi belgilanadi.
Shunday qilib, funksional ketma-ketlikning har bir hadi, biz avval ko‘rgan
sonli ketma-ketlikning hadlaridan farqli o‘laroq muayyan funksiyalardan iboratdir.
Shuni ham ta’kidlash lozimki,
f
1 ( x ), f
2 ( x ),..., f
n ( x ),...
ketma-ketlik turli
hadlarining aniqlanish sohasi, umuman aytganda, turlicha bo‘lishi mumkin. Biz bu
yerda X sifatida shu sohalarning umumiy qismini olib qaraymiz.
7

x x
x x x(1.2) ketma- ketlikda
f
n ( x )
funksiya shu ketma-ketlikning umumiy hadi (n-
hadi) deyiladi. Demak, (1.2) funksional ketma-ketlikning umumiy hadi x va n
o‘zgaruvchilarga
x  X
, n 
N bog‘liq bo‘ladi. Masalan,
f
n ( x ) 
n  1
n 
x 2 : 2
1  x 2
, 3
2 
x 2 ,..., n  1
n 2
 x 2 ,...;
f ( x )  sin x
: sin ,sin ,...,sin x
,...
n
n 1 2 n
lar funksional ketma-ketliklar bo‘ladi va ularning aniqlanish to‘plami mos ravishdaE  R,
E 
 0, 

bo‘ladi.
1- misol.


har bir natural n songa 1
n 2

x 2 funksiyani mos qo‘yuvchi
akslantirish bo‘lsin. U holda ushbu
X

  ,

 to‘plamda berilgan
1
1 
x 2 , 1
4 
x 2 , 1
9 
x 2
,..., 1
n 2

x 2 ,...
funksional ketm-ketlikka ega bo‘lamiz. Bu ketma-ketlikning umumiy hadi
f
n ( x )
 1
n 2
 x 2 bo‘ladi.
2- misol.


har bir natural n songa sin x
n
funksiyani mos qo‘yuvchi
akslantirish bo‘lsin. Bu holda quyidagi sin ,
sin ,
8

xfunksional
ketm-ketlik hosil bo‘ladi. U
X

 0,

 to‘plamda berilgan
bo‘lib,
ketma-ketlikning umumiy hadi
f
n ( x )  sin
n bo‘ladi.
10

$nX to‘plamda berilgan biror (1.2) ketma-ketlikni qaraylik. Bu X to‘plamda x0 (x0  X ) nuqtani olib, (1.2) ketma-ketlik har bir f n ( x ) hadining shu nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz. Natijada quyidagi f1( x0 ), f2 (x0 ),..., fn (x0 ),... (1.3) sonlar ketma-ketligi hosil bo‘ladi. 1- ta’rif . Agar fn x sonli ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsa, fn x funksional ketma-ketlik x  x 0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. x 0 nuqta esa bu funksional ketma-ketlikning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi. 2- ta’rif . fn x funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtalaridan iborat to‘plam, fn x funksional ketma- ketlikning yaqinlashish (uzoqlashish) sohasi (to‘plami) deyiladi. Biz ba’zan E(E  R) to‘plam  fn (x) funksional ketma-ketlikning yaqinlashish (uzoqlashish) sohasi (to‘plami) bo‘lsin degan ibora o‘rniga, uning ekvivalenti -  fn (x) funksional ketma-ketlik E sohada (to‘plamda) yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsin degan iborani ishlataveramiz. Masalan, ushbu f (x)  xn : x, x2 , x3,..., xn ,... funksional ketma-ketlik aniqlashish to‘plami E=R bo‘lib, u  x    1,1  nuqtada yaqinlashuvchi, x  R \   1,1  da uzoqlashuvchi bo‘ladi. Demak, ketma- ketlikning 11$

yaqinlashish to‘plamiE0

bo‘ladi.
Faraz
qilaylik, biror  fn (x)
funksional ketma-ketlik berilgan bo‘lib,
E(E 
R)
esa shu ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo‘lsin. Unda  x
0  E
uchun unga mos
12

n 0
n 0
n 0
xf
1 ( x
0 ), f
2 ( x
0 ),..., f
n ( x
0 ),...
ketma-ketlik yaqinlashuvchi, ya’ni
lim f ( x )
n
limitga ega bo‘ladi.
Agar
E(E 
R)
to‘plamdan
olingan har bir x ga, unga mos keladigan
f
1 ( x ), f
2 ( x ),..., f
n ( x ),... ketma-ketlikning limitini mos qo‘ysak, ya’ni
f : x  lim f (x ), n
unda E to‘plamda berilgan ?????? (
?????? )
funksiya hosil bo‘ladi. Bu ?????? (
?????? )
funksiya  fn ( x )

funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi deyiladi. Demak,
lim f ( x )

n f ( x ) ( x  E ).
(1.4)
Bu munosabat quyidagini anglatadi: ixtiyoriy
  0
son va har bir x 
E0 uchun
shunday natural
n
0  n
0 
 , x  son topiladiki,
ixtiyoriy
f
n ( x )  f ( x ) 

n  n0 da
ya’ni,

  0,
 n
0  n
0 (  , x ) 
N ,  n  n
0 : f
n ( x )  f ( x )  
bo‘ladi.
3- misol . Ushbu
f
n ( x )  n sin
n
13

funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin.
◄ Berilgan funksional ketma-ketlik
funksiyasi E 
 0,

 da aniqlangan. Uning limit
14

xn
n
f  x   lim
f
n
n
x  lim
nsin
n
sin
bo‘ladi. Demak, funksional ketma- ketlik
E 
 0,

 da yaqinlashuvchi va
lim n sin x

.►
n n
4- misol. Ushbu
f (x)  xn
funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin.
◄ Bu funksional ketma-ketlik E=R da aniqlangan. Ravshanki
x 1,  
da lim f
n ( x )  lim x n
  , n
x 1,1 
da lim f
n ( x )  lim x n
 0, n
x  1
da lim f
n ( x )  lim1  1,
mavjud emas.
n
x  , 1
n da lim f ( x )
n
Demak, berilgan funksional ketma-ketlik
uning limit funksiyasi E
0 
1,1 
da yaqinlashuvchi bo‘lib,
0, agar 1  x  1 bo 'lsa ,
bo‘ladi.►
f (x)  
1,
agar x 
1
bo 'lsa
Biz yuqorida funksional ketma-ketliklar, ularning yaqinlashuvchiligi
15 x x
n
n

(uzoqlashuvchiligi) tushunchalari bilan tanishdik.
16

Aslida bunday tushunchalar bilan biz, avval, xususiy holda (o‘zgaruvchi x
ning har bir tayin qiymatida) sonlar ketma-ketligi deb tanishib, ularni batafsil
o‘rgangan edik.
Xozirgi hol, ya’ni funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi ?????? (
?????? )
lar x
o‘zgaruvchining funksiyalari bo‘lishi bu ?????? (
?????? )
larning funksional xossalarini
o‘rganishni taqazo etadi.
Masala,  f
n (x)
ketma-ketlik har bir f
n ( x ) ( n  1,
2,...) hadining funksional
xossalariga ko‘ra (uzluksizligi, differensiallanuvchiligi va hakazo) ?????? (
?????? )
limit
funksiyaning mos xossalarini o‘rganishdan iborat.
Bu ?????? (
?????? )
funksiyaning xossalarini o‘rganishda,  f
n ( x )
 ketma-ketlikning
limit funksiyasi ?????? (
?????? )
ga yaqinlashish (intilish) xarakteri muhim rol o‘ynaydi.
Shuning uchun bayonimizni funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashishi
tushunchasini keltirish va uni o‘rganishdan boshlaymiz.
17

n2- §. Funksional ketma-ketliklarning tekis yaqinlashuvchiligi
Faraz qilaylik (1.2) funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda yaqinlashuvchi
(ya’ni yaqinlashish to‘plami E
0 ) bo‘lib, uning limit funksiyasi ??????(??????) bo‘lsin:
lim f ( x )

n  f ( x )
Ma’lumki, bu munosabat

  0,
 n
0  n
0 (  , x ) 
N ,  n  n
0 : f
n ( x )  f ( x )  
bo‘lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural n
0 son ixtiyoriy
olingan


0 son bilan birga qaralayotgan x 
E
0 nuqtaga ham bog‘liq bo‘ladi
(chunki
x 
E
0 ning turli qiymatlarida ularga mos ketma-ketlik, umuman aytganda,
turlicha bo‘ladi).
1-ta’rif. Agar

 
0 son olinganda ham shu   0
gagina bog‘liq bo‘lgan
natural
n0  n0 (
)
son topilsaki,  n

n 0 va ixtiyoriy x  E
0
da
fn(x)  f (x)  
tengsizlik bajarilsa, ya’ni,

  0, n0
 n0 ( ) 
N ,
n  n0
,
x  E0
: f
n ( x )  f ( x ) 

bo‘lsa,
 fn (x)
funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda ??????(??????) ga tekis yaqinlashadi
(funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda tekis yaqinlashuvchi ) deyiladi.
Shunday qilib,  f
n ( x )
 funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda ??????(??????) limit funksiyaga
18

ega bo‘lsa, uning shu limit funksiyasiga yaqinlashish ikki xil bo‘lar ekan
1)   0,
n0  n0 ( , x) 
N ,
n  n0
:
fn (x)  f (x)   bo‘lsa,  fn
(x)
funksional ketma-ketlik E
0 da ??????(??????) ga yaqinlashadi (oddiy yaqinlashadi). Bu holda
fn (x)  f (x), (x  E0)
19



kabi belgilanadi.
2) 

 0,
 n
0  n
0 (  ) 
N , n  n0
,
x  E0
:
fn (x)  f (x)   bo‘lsa,
 fn (x)
funksional ketma-ketlik E
0 da ??????(??????) ga tekis yaqinlashadi. Bu holda
f
n ( x ) 
f ( x ), ( x  E
0 )
kabi belgilanadi.
Ravshanki,  fn
(x)
funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda ??????(??????) funksiyaga
tekis yaqinlashsa, u ushbu to‘plamda ??????(??????) ga yaqinlashadi:
f
n ( x ) 
f ( x )  f
n ( x )  f ( x ), ( x  E
0 ).
Aytaylik,
f
n ( x ) 
f ( x ), ( x  E
0 )
bo‘lsin. Bu holda  n  n
0 va  x  E
0 da
fn(x)  f (x)   ,
ya’ni
f (x)  

f
n ( x ) 
f (x)  
bo‘ladi. Bu esa  f
n
(x)
funksional ketma-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi
barcha hadlari ??????(??????) funksiyasining "
  oralig ' i " da butunlay joylashishini bildiradi.
y
f x 
 f x 

f  x 
x
(1- chizma)
20

1-misol. Ushbu
f ( x ) 
sin nx
n
n
funksional ketma-ketlikning R da tekis yaqinlashuvchanligi ko‘rsatilsin.
◄Ravshanki,
lim f (x)  lim sin nx
n  n
n 
n
Demak, limit funksiya f(x)=0.
uchun Agar  
0 son olinganda n   1 
0


 deyilsa, u holda
 n  n0
va  x  R
f
n ( x )  f ( x )  sin nx
 0  sin nx
 1
 1


n n n n
0  1
bo‘lishini topamiz. Demak, ta’rifga binoan
sin nx  0 n 
bo‘ladi.►
Faraz qilaylik,
 f
n (x)
funksiyaga ega bo‘lsin. funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda ??????(??????) limit
1-
teorema.  fn (x)
tekis yaqinlashishi uchun funksional ketma-ketlik E
0 to‘plamda ??????(??????) funksiyaga
limsup
n 
x 
E
0 f
n ( x )  f
 x

 0
bo‘lishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik,
21

f (x)  f (x), (x  E )
n  0bo‘lsin.Ta’rifga binoan

  0, n0  n0 ( ) 
N ,
 n  n
0
,  x  E
0
: f
n ( x )  f ( x ) 

bo‘ladi. Bu tengsizlikdan
sup
x  E
0 fn (x)  f x  
bo‘lib, undan
limsup
n 
x 
E
0 f
n ( x )  f
 x

 0
bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik
lim sup
n 
x 
E
0 f
n ( x )  f

x

 0
bo‘lsin. Limit ta’rifga ko‘ra

  0, n0  N
,
n  n0 ,
:
sup
xE
0
f
n ( x )  f ( x ) 

bo‘ladi. Ravshanki
f
n ( x )
 f
 x

 sup
x  E
0 f
n ( x )
 f
 x
 .
U holda  x

E
0 uchun
fn(x)  f (x)  
bo‘ladi. Bundan
22

x 2

1 n 2
1
n 2


 x 2
  x 1 
n 2
 

 x 2
  x 1 
n 2
bo‘lishi kelib chiqadi.►
2- misol . Ushbu
fn (x)


funksional ketma-ketlikning E
0 =R da tekis
yaqinlashuvchiligi ko‘rsatilsin.
◄ Berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi
f ( x )  lim f
n
( x )  lim  x n
bo‘ladi. Endi
sup
x  E
0 f
n ( x )  f


x ni topamiz.
sup  x  sup  sup 1
 1
 1
.
x  R
x  R
x  R n 2
n
Demak,
lim sup
n 
x 
R  x  lim 1
 0
n 
n
bo‘lib,
x 2
 1

x , ( x  R )
n 2

ifodaga ega bo‘lamiz.►
Eslatma. Agar  f
n ( x )
 funksional ketma-ketlik uchun E  R to‘plamda
lim
sup
n 
x 
E f
n ( x )  f

x

 0
bo‘lsa,  f
n ( x )
 funksional ketma-ketlik E da tekis yaqinlashishi shart emas.
24x 2 
1
n 2
x 2

1 n 2
x 2

1 n 2
n

Endi funksional ketma ketlikning limit funksiyaga ega bo‘lishi va unga tekis
yaqinlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
2- teorema. (Koshi teoremasi.)  fn
(x)
funksional ketma-ketlik E to‘plamda
limit
funksiyaga ega bo‘lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun
  
0 son
olinganda ham shunday
n0  n0( ) 
N
topilib,  n  n
0 ,  p 
N
va  x  E0 da
fn p (x)  fn (x)  
,
(2.1)
ya’ni,

 
0,  n
0  n
0 (  ) 
N ,  n  n
0
,  p 
N va  x  E da
fn p (x)  fn (x) 

(2.2)
bo‘lishi zarur va yetarli.
◄
Zarurligi. Aytaylik E to‘plamda  fn
(x)
funksiya ??????(??????) ga ega bolib, unga tekis yaqinlashsin: funksional ketma-ketlik limit
f
n ( x ) 
f ( x ), ( x  E
0 )
Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko‘ra

 
0,  n  n (  )  N ,  k  n ,  x  E : f ( x )  f ( x )  
0 0 0 k
2
bo‘ladi. Xususan, k=n,
n 
n0
va k=n+p, p  N da
25

f
n ( x )  f ( x )  
,
2 f
n

p ( x )  f ( x ) 

2
tengsizliklar bajarilib, ulardan
fn p (x)  fn (x)  fn p (x)  f (x) ( fn(x)  f (x)) 
 fn p (x)  f (x)
 fn (x)  f (x)      
2 2
26

bo‘lishi kelib chiadi. Demak (2.2) shart o‘rinli.
Yetarliligi.  fn ( x )
 funksional ketma-ketlik uchun (2.2) shart bajarilsin. Uni
quyidagicha yozamiz:
  0,
 n
0  n
0 (  ) 
N ,  n  n
0
,  p  N
, x  E
da
f
n

p ( x )  f
n ( x ) 

2
(2.3)
bo‘ladi.
Ravshanki, tayin
x0 
E
da
 fn (x)
sonlar ketma-ketligi uchun (2.3) shartning
bajarilishidan
uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi
teoremasiga
ko‘ra  fn (x0
)
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Binobarin, chekli
lim
n  f
n ( x
0
) (2.4)
limit mavjud.
Madomiki, har bir
x

E da (2.4) limit mavjud bo‘lar ekan, u holda avval
aytganimizdek, E to‘plamda aniqlangan
x  lim
n  f
n ( x ), ( x  E )
funksiya hosil bo‘ladi. Uni ??????(??????)
bilan belgilaymiz. Bu funksiya
 f
n
(x)
ketma-ketlikning limit funksiyasi bo‘ladi: funksional
f
n ( x ) 
f (x), (x  E)
27

Endi (2.3) tenglikda n va x larni tayinlab
Natijada ( n  n
0 , x 
E ) p


da limitga o‘tamiz.
f ( x )  f
n
( x )  
 
2
28

nx
ln 2
2 ln
2
2 f
n  hosil bo‘ladi. Bu
f
n ( x ) 
f ( x ), ( x  E
0 ).
bo‘lishini bildiradi.►
3- misol. Ushbu
fn (x)  ln nx
funksional ketma-ketlik E = (0,1) to‘plamda tekis yaqinlashuvchanikka tekshirilsin.
◄ Agar ixtiyoriy k

N uchun
n=k, p=k=n,
x  1  1
k n
deyilsa,
f
n 
p ( x )  f ( x )
  1

2 n 
n   1

  ln1  

n 0
   
bo‘ladi. Demak,


0  ln
2
2  k  N
,  n 
k ,  p  N ,
x*  1
 (0,1) :
n
fn p
x*  fn x*   0.
Bu esa yuqoridagi teorema shartining bajarilmasligini ko‘rsatadi. Demak
berilgan funksional ketma-ketlik E = (0,1) da tekis yaqinlashuvchi emas. ►
Aytaylik,
 f
n ( x )
 funksional ketma-ketlik E to‘plamda yaqinlashuvchi bo‘lib,
f(x) funksiya uning limit funksiyasi bo‘lsin:
f
n ( x )
 f (x), (x  E).
29
f

n
n
  0,
 k
 n ,  n 
k ,  x *
 E
: f
n ( x *
)  f ( x *
)  
0
bo‘lsa,  fn (x)
funksional ketma-ketlik E to‘plamda ??????(??????) funksiyaga notekis
yaqinlashadi deyiladi.
2- misol. Ushbu
f (x)  nsin
1
nx
funksional ketma-ketlik E = (0,1) da tekis
yaqinlashuvchanlikka tekshirilsin.
◄ Ravshanki,
lim f
n ( x )  lim n sin
1 sin 1
 lim nx
 1
.
n 
n 
nx n 
1

x x
nx
Demak, berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi
f (x) 
1
x
bo‘ladi.
Aytaylik,
x* 
1
n
bo‘lsin. U holda
fn x* 
f x*   nsin1  n  1sin1  0
munosabat ixtiyoriy n

N da o‘rinli bo‘ladi.
Demak,
f (x)  nsin
1
nx
funksional ketma-ketlik limit funksiya f ( x )  1

ga
x
E = (0,1) da tekis yaqinlashmaydi. ►
31

3- §. Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining
uzluksizligi
Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketliklar qator xossalarga ega. Bu
xossalarni keltiramiz.
Aytaylik
 fn
 x:
f1  x,
f2  x,..., fn  x,...
funksional ketma-ketlik
E
 R
??????(??????) bo‘lsin: to‘plamda berilgan bo‘lib, uning limit funksiyas
lim
fn  x
n
f
 x
 .
Teorema. Agar
 fn

x funksional ketma-ketlikning har bir
fn  x n  1, 2,
3,... 
hadi E to‘plamda uzluksiz bo‘lib, bu funksional ketma-ketlik E
to‘plamda
tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ??????(??????) limit funksiya ham E
to‘plamda uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik
x
0 nuqta E to‘plamdan olingan ixtiyoriy nuqta bo‘lsin.
Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashishidan ixtiyoriy


0 son olinganda
ham, shunday
n
0 
N topiladiki, n 
n
0 va E to‘plamning barcha x nuqtalari uchun
f
n ( x )  f ( x )


,
3 (3.1)
jumladan
f ( x )
 f ( x
32

)   (3.2)
n 0 0 3
tengsizlik bajariladi.
33

Funksional ketma-ketlik har bir hadining E to‘plamda uzluksizligidan
f
n ( x )
funksiyaning
x 0
nuqtada uzluksizligi kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi  0
olinganda ham
 ga ko‘ra shunday


0
3 topiladiki x  x
0 
 bo‘lganda

f
n ( x )  f ( x
0 ) 
3 (3.3)
bo‘ladi.
Endi (3.1), (3.2) va (3.3) tengsizliklardan foydalanib, quyidagini topamiz:
f ( x )  f ( x ) 
f ( x )  f ( x )  f ( x )  f ( x ) 
f ( x )  f ( x )   
   
0 nn 0 n 0 0
3 3 3
Demak,


0 son olinganda ham, shunday  
0 topiladiki x  x
0  
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar
uchun f ( x )  f ( x
0 ) 

tengsizlik o‘rinli.
Bu esa ??????(??????) funksiyaning
x 0

nuqtada uzkuksiz ekanini
anglatadi. x 0
nuqta E
to‘plamning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lganligi sababli, ??????(??????) funksiya E to‘plamda
uzluksiz bo‘ladi.
Bu teorema shartlari bajarilganda ushbu
f
 x
  lim 
lim fn ( t ) 
 lim 
lim fn ( x ) 
t x n  n  t x 
munosabat o‘rinli bo‘lar ekan.
Aytaylik, [a,b] kesmada
f1  x,
f2  x,..., fn  x,...
34


yaqinlashuvchi uzluksiz funksiylar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, ??????(??????) bu ketma-
ketlikning limiti bo‘lsin. qanday shartlar bajarilganda integral ostidan limitga o‘tish
mumkinligini, ya’ni
35

n
nx x
x
2
n n
b b b
lim  fn (x)dx   lim fn (x)dx   f
(x)dx (3.4) n n a a a
shart bajarilishini aniqlaylik.
Umuman aytganda, agar ??????(??????) funksiya (limit funksiya) integrallanmaydigan
bo‘lsa, (3.4) tenglik ma’noga ega emasligi ravshan. Ammo, ??????(??????) funksiya
integrallanuvchi, xatto usluksiz bo‘lgan holda ham (3.4) tenglik bajarilmasligi
mumkin. Masalan, umumiy hadi
f (x)  n2 xn (1 
x)
bo‘lgan funksional ketma-
ketlikni [0,1] kesmada qaraylik. Bu ketma-ketlik ?????? = 0 va ?????? = 1 da ?????? (
?????? )
= 0
bo‘ladi. 0 < ?????? < 1 bo‘lganda
lim f ( x ) 
lim n2xn 1  x  1 
xlim n
 1  xlim 2 n

n 
n 
n 

1
 n 

1



ln 1
   
    x
 lim 2
 1
 x


 0
n 

1
 n
 
 
 ln 2 1
x
bo‘ladi. Ikkinchi tomondan,
1   1 1  n2
lim

n 2 xn
 1
 x
 dx
 lim

n 2

   lim  1.
n 0 n   n
1
n  2


n n 1 n  2
Demak,
1 1 1
lim  fn (x)dx   0dx  0  1  lim  fn (x)dx . n n 0 0 0
Izoh. Tekis yaqinlashish sharti (3.4) tenglik bajarilishi uchun zaruriy shart
emas.
Haqiqatdan ham, xn 
ketma-ketlik [0,1] kesmada
36


1
,1
f (x)  0,

x  1
x  1
funksiyaga tekis yaqinlashadi. Ammo
lim  xndx  lim 1
1
 0   f
(x)dx ,
ya’ni (3.4)
tenglik o‘rinli.
n 0 n n 1 0
37


n4- §. Funksional ketma-ketliklarni hadlab integrallash
Aytaylik [a,b] segmentda
 f
n  x

 :
f1  x,
f2  x,..., fn  x,...
funksional ketma-ketlik berilgan bo‘lib, uning limit funksiyasi ??????(??????) bo‘lsin:
lim
fn  x
n
f
 x
 .
Teorema. Agar
 fn

x funksional ketma-ketlikning har bir
fn  x n  1, 2,
3,... 
hadi [a,b] segmentda uzluksiz bo‘lib, bu funksional ketma- ketlik
[a,b] da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
b b b
 f1  x dx ,  f2  x dx ,...,  fn  x dx ,...
a a a
ketma-ketlik yaqinlashuvchi, uning limiti esa
b
 f
 x
dx
a ga teng bo‘ladi,ya’ni
b b
lim  fn
 x dx   f 
x dx
(4.1)
a a
bo‘ladi.
Bu teoremadagi (4.1) limit munosabatni quyidagicha
b b
lim

fn
 x
 dx


lim fn
 x
 dx
n a an
deb ham yozish mumkin.
Isboti. Berilgan
38

 fn  x
funks ional ketma-ketlikning har bir hadi [a,b]
kesmada uzluksiz va bu funksional ketma-ketlik [a,b] da tekis yaqinlashuvchi
bo‘lganligi sababli, 3-paragrafdagi teoremaga asosan uning ??????(??????) limit funksiyasi
39



[a,b] kesmada uzluksiz, demak [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. Endi, (4.1)
tenglikni isbotlaymiz.
b b b
 fn (x)dx   f (x)dx
 
fn (x)  f (x) dx

sup
fn ( x )
 f ( x )
 b
 a

a a a
x

 a , b

tengsizlikda n

da limitga o‘tsak, u holda teorema shartiga ko‘ra
dn
 sup
x

 a , b
 fn (x)  f (x)  0, bundan esa
b b
 fn (x)dx   f (x)dx
 0
a a ya’ni (4.1) tenglik
kelib chiqadi.
Bu teoremadagi (4.1) limit munosabatni quyidagicha


b
lim
 f  x dx   b
lim f  x dx
n  
n
a

n  n a
ko‘rinishda ham yozish mumkin.
40 


n5- §. Funksional ketma-ketliklarni hadlab differensiallash
Aytaylik [a,b] segmentda yaqinlashuvchi
 f
n  x

 :
f1  x,
f2  x,..., fn  x,...
funksional ketma-ketlik berilgan bo‘lib, uning limit funksiyasi ??????(??????) bo‘lsin:
lim
fn  x
n
f
 x
 .
Teorema. Agar
 fn

x funksional ketma-ketlikning har bir
fn  x n  1, 2,
3,... 
hadi [a,b] segmentda uzluksiz
f   x n  1, 2,
3,... 
hosilaga ega
bo‘lib, bu hosilalardan tuzilgan
f 
 x
 , f 
 x
 ,..., f 

x
 ... (5.1)
1 2 n
funksional ketma-ketlik [a,b] da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa u holda ??????(??????) limit
funksiya shu [a,b] da
f  
x
hosilaga ega bo‘lib,
 fn xketma-ketlikning limiti
f  
x
ga teng bo‘ladi.
Isboti. Shartga ko‘ra (5.1) ketma-ketlik [a,b] da tekis yaqinlashuvchi, uning
limit funksiyasini ??????(??????) bilan belgilaylik:
lim f '
( x ) 
g ( x ). U holda 4- paragrafdagi
n n
teoremaga asosan ??????(??????) funksiya [a,b] da uzluksiz, demak integrallanuvchi ham
bo‘ladi. Bu funksional ketma- ketlikni
 a , x
  a  x 
b

integrallab, quyidagini topamiz: oraliqda hadma- had
x
x
g ( x
) dx
 li
m
f '
( x ) dx
 lim
 f
( x )
 f
(a) 
f ( x )  f ( a )
41

(5.2) n

n n n
a a
??????(??????) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lganligi sababli,
differensiallanuvchi bo‘lib, uning hosilasi
x 

g ( t ) dt
a funksiya
42

nd  x

dx   g(t)dt   g(x)
 a 
bo‘ladi.
Ikkinchi tomondan (5.2) tenglikka asosan
d
 f ( x )
 f ( a )
  g ( x ),
dx
ya’ni
f ' ( x )
 g ( x )
bo‘lishini topamiz. Bu esa  f
( x )
 funksional ketma-ketlik limit
funksiyasining [a,b] kesmada differensiallanuvchi ekanligini, shu bilan birga tenglik
lim f ' ( x )
 f ' ( x )
o‘rinli ekanligini bildiradi.
n n
43

XULOSA
Ushbu kurs ishi ta’lim muassasalarida matematik analiz fanini o‘qitishda
elektron didaktik ashyolar tayyorlash usullariga bag‘ishlangan bo‘lib, unda
matematik analiz fanini o‘qitishda talabalar tasavvurini rivojlantiruvchi elektron
ashyolar tayyorlash usullari va unung dasturiy ta’minoti tadqiq qilingan. Bu ishni
amalga oshirishda matematika fanini o‘qitishning nazariy hamda amaliy
tushunchalari hamda didaktik tamoyillariga tayanildi.
Oliy ta’lim muassasalarining matematik analiz kursi asosida turli mavzular
bo‘yicha elektron didaktik ko‘rgazmalardan namunalar turli xil adabiyotlardan
foydalangan holda ishlab chiqildi. Shuningdek, matematik analiz fanida funksional
ketma-ketliklar, ularning yaqinlashuvchanligi hamda funksional ketma-ketlik
xossalari o‘rganildi.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar
ro‘yhatidan iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan
islohotlar, ularning samarali natijasi va mavzu bo‘yicha boshlang‘ich ma’lumotlar
berildi.
Asosiy qism 5 ta paragrafdan iborat. Har bir paragraf turli xil adabiyotlardan
foydalanib qisqacha bo‘lsada yoritib berishga harakat qilindi. Birinchi paragrafda
funksional ketma-ketliklar haqida dastlabki ma’lumotlar keltirildi va ketma-
ketlikning limit funksiyasi o‘rganildi. Ikkinchi paragrafda funksional ketma-
ketlikning tekis yaqinlashuvchiligi o‘rganildi, teoremalar isbotlari bilan keltirildi
va mavzuga doir misollar ishlab ko‘rsatildi. Shu qatori keyingi paragraflarda esa
funksional ketma-ketlikning xossalariga to‘xtalib o‘tildi ya’ni funksional ketma-
ketlikning limit funksiyasining uzluksizligi, hadlab integrallash va hadlab
differensiallash haqidagi teoremalar, ularning isbotlari va teoremadan kelib
chiqadigan asosiy natijalar o‘rganib chiqildi.
Xulosa qismida mavzu bo‘yicha egallangan bilimlar va xulosalar keltirildi,
kurs ishi loyihasini ishlab chiqishda foydalanilgan o‘quv qo‘llanmalar, kitoblar va
44

internet ma’lumotlari ro‘yxati keltirildi.
45

Xulosa qilinadigan bo‘lsa, matematik analiz fanining har bir bo‘limiga
o‘tganimizda unda yangidan yangi, qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz, ularni
o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining
mahoratiga bog‘liq. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga
tayyor bo‘lishi lozim.
Shunday ekan biz bo‘lajak pedagoglar o‘qituvchilik sharafliligi bilan bir
qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda, vaqtimiz, imkoniyatimiz
borida o‘qib o‘rganib olishimiz kerak.
Zero, kelajak bizning qo‘limizda!
46

$FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. Sh. Mirziyoyev “Oliy Majlisga murojati” Toshkent –2020. 2. O‘zbekiston Respublikasi kadrlar tayyorlash milliy dasturi – 2019. 3. T.A.Azlarov, X.Mansurov, “Matematik analiz” 2- qism “O‘qituvchi” Toshkent – 1989. 4. A. Sa’dullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Vorisov, R. G‘ulomov. “Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami” 1-2- qismlar “O‘zbekiston” Toshkent –1993. 5. G.Xudoyberganov, A.K.Vorisov, X.T.Mansurov, B.A.Shoimqulov. “Matematik analizdan ma’ruzalar” 1-2-qismlar “Voris nashriyot” Toshkent – 2010. 6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Тошкент, I, II, – М. Высшая школа, 1981. 7. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. I, II, III – М. Наука, 1977. 8. Internet ma’lumotlari: 1) WWW.ZiyoNet.uz 2) https://fayllar.org 3) WWW.google\funksional ketma- ketliklar\.com 4) WWW.ziyonet\oliy matematika\.uz 5) WWW.edu.uz 47$

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Funksional ketma-ketliklar 26

O'xshash dokumentlar