Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	286.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	19 Декабрь 2024
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
__UNIVERSITETI
Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________
“_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y.
“___________________________ “ KAFEDRASI
“_____________________________ “ FANIDAN
KURS ISHI
Mavzu:________________
Bajardi:_________________________________
Tekshirdi:_______________________________
______________ - 20___
Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish
Mundarija

Asosiy qism
1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.
2-§.Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash
3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari
4-§. Funksiya grafigining asimptotalari
5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning umumiy sxemasi
6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

KIRISH
Har nechuk ilmdan eshitsang bir so’z,
Uni tinmay o’rgan kecha-yu, kunduz
Abulqosim Firdavsiy.
Kurs ishining dolzarbligi: D avlatimiz istiqboli,bozor iqtisodiyoti qonunlariga
asoslangan jamiyat qurish sohasidagi ishlarning samaradorligi yuqori malakali,
yuksak ma'naviyatli, rivojlangan mamlakatlar darajasida, raqobatbardosh
mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy
bog'liq. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov tashabbusi bilan ishlab chiqilib, Oliy
Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan Kadrlar tayyorlash milliy dasturi, Ta'lim
to'g'risidagi qonun, Vazirlar Mahkamasining umumiy o'rta ta'lim, akademik
litseylar va kasb-hunar kollejlarini tashkil etish haqidagi va boshqa qarorlari shu
maqsadlarni ro'yobga chiqarishga qaratilgan.
Mamlakatimizda Kadrlar tayyorlash milliy dasturi‘ni bosqichma-bosqich va
muvaffaqiyatli amalga oshirish ko'p jihatdan o'qituvchi faoliyati, uning kasbiy
nufuzini oshirish bilan bog‘liqdir. Shunday ekan, sog‘lom va har tomonlama
barkamol avlodni yetishtirish uzluksiz ta'lim tizimida mehnat qilayotgan
pedagogning saviyasiga, tayyorgarligiga va fidoiyligiga, uning yosh avlodni
o'qitish va tarbiyalash ishiga bo'lgan munosabatiga bog‘liqdir. Mustaqil
O'zbekistonning kelajagi bo'lgan avlodni tarbiyalash nozik, nihoyatda katta diqqat-
e'tiborni talab qiladigan, ichki ziddiyatli jarayondir.
«Kadrlar tayyorlash milliy dasturi» asosida amalga oshirilayotgan ta'lim
sohasidagi islohotlarning birinchi va ikkinchi bosqichlari vazifalari muvaffaqiyatli
hal qilinib, uchinchi bosqichdagi o'zgarishlar davom etmoqda. Bu bosqichda o'quv-
tarbiya ishlarini butunlay yangi asosda tashkil qilish, yuqori sifat ko'rsatkichiga
erishish talab qilinadi.

«Kadrlar tayyorlash milliy dasturi»da zamonaviy pedagogik
texnologiyalarni joriy qilish va o'zlashtirish zarurligi ko'p marta takrorlanib, ularni
o'quv muassasalariga olib kirish zarurati o‘qtirilgan.
Nega bugungi kunga kelib, pedagogik texnologiyaga qiziqish shunchalik
darajada kuchaydi, degan mulohaza tug'ilishi tabiiy. Jamiyatimizga qanchadan-
qancha bilimli va malakali kadrlarni etishtirib kelgan pedagogikaning o'ziga xos
uslublari mavjud. Pedagogik jamoatchilikning aksariyati mana shu yo'ldan
bormoqda, ammo mustaqillik va kelajak sari intilayotgan jamiyatga bu yo'l
kutilgan samara bilan xizmat qila olmaydi
Resublikamiz ning birinchi Prezidenti Islоm Abdug’aniyevich Karimоv
aytganlaridek «...mamlakatimizning bоy ilmiy - texnikaviy salоhiyatidan keng
fоydalangan hоlda, yuksak texnоlоgiya va fan yutuqlariga asoslangan ishlab
chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlotsоzlik, mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika
va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya
vоsitalarini tez sur’atlarda rivоjlantirish» uchun sabоq оlayotgan har bir shaxs o‘zi
o‘rgangan ta’lim mazmunini chuqur anglashi, qayyerda va qanday tatbiq qilishni
bilishi, hayotda esa o‘zi amaliyotga tatbiq qila оlishi kerak Darhaqiqat, barkamоl
chuqur va atrоflicha bayon qilinishi hamda o‘rgatilishiga alоhida ahamiyat berish
“Milliy dastur”da ko‘zda tutilgan asosiy maqsadni amalga оshirish bo‘yicha katta
natija beradi. Shunday ekan, har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan
yuqоri malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o’rni va ahamiyati beqiyosdir.
Kurs ishining maqsadi: Dars davomida oquvchi va talabalarga mavzuni
zamonaviy pedagogik texnalogiyalar orqali tushuntirish va bu orqali ta’lim sifatini
oshirish.
Kurs ishining ob’’ekti: Oliy va o’rta talim muassasalarida matematikani o’qitish
jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Matematikani o’qitishda pedagogik
texnalogiyalar,interfaol usullardan foydalanish.

1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.
Aytaylik f(x) funksiya x=x
0 nuqtada f’(x
0 ) hosilaga ega, ya’ni funksiya
grafigining M(x
0 ,f(x
0 )) nuqtasidan novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsin.
Ta’rif . Agar x=x
0 nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, y=f(x) egri
chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo‘lgan bo‘lagi shu egri chiziqqa
M(x
0 ,f(x
0 )) nuqtasidan o‘tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda
f(x) funksiya x=x
0 nuqtada qavariq (botiq) deyiladi.
Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo‘lsa,
u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi.

1-chizma 2-chizma 3-chizma
1-chizmada qavariq va 2-chizmada botiq egri chiziqlar chizilgan.
Egri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri
chiziqqa M(x
0 ,f(x
0 )) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning x
ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki,
agar x
0 nuqtaning biror atrofidan olingan
4-chizma
barcha x lar uchun y-Y  0 ( y-Y  0) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda egri
chiziq x=x
0 nuqtada qavariq (botiq) bo‘ladi. (3-, 4-chizmalar)
1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va x
0
 X
nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar f’’(x
0 ) >0 bo‘lsa, u holda
funksiya grafigi x
0 nuqtada botiq; agar f’’(x
0 ) <0 bo‘lsa, u holda funksiya grafigi x
0
nuqtada qavariq bo‘ladi.
Isboti. Faraz qilaylik f’’(x
0 ) >0 bo‘lsin. Quyidagicha yordamchi funksiya
kiritamiz: F(x)=y-Y , ya’ni F(x)=f(x)-f(x
0 )-f’(x
0 )(x-x
0 ). Ravshanki F(x
0 )=0,
F’(x)=f’(x)-f’(x
0 ), F’’(x)=f’’(x) bo‘ladi. Bundan F’(x
0 )=f’(x
0 )-f’(x
0 ) =0 va
F’’(x
0 )=f’’(x
0 ) >0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum mavjudligining
yetarli shartiga ko‘ra) x
0 nuqta F(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo‘ladi, ya’ni
x
0 nuqtaning biror atrofida F(x)
 F(x
0 )= 0 bo‘ladi. F(x)=y-Y bo‘lganligidan y  Y
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa x
0 nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi
urinmadan yuqorida joylashishini, ya’ni funksiya grafigi x
0 nuqtada botiq bo‘ladi.
Teoremaning ikkinchi qismi shunga o‘xshash isbotlanadi.
Agar biror intervalda f’’(x) >0 ( f’’(x) <0 ) bo‘lsa, u holda y = f(x) egri chiziq
shu intervalda botiq (qavariq) bo‘ladi.
Misol. Ushbu y=x 5
funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini
aniqlang.

Yechi li sh i . Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y’’=20x 3
.
Bundan, agar x>0 bo‘lsa, y’’>0, agar x<0 bo‘lsa y’’<0 bo‘ladi. Demak, (-  ;0)
oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+  ) oraliqda esa botiq bo‘ladi.
2-§.Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash
Funksiyaning xossalarini tekshirish va uning grafigini yasashda
q uyidagilarni bajarish ma q sadga muvofi q :
1) Funksiyaning aniqlanish sohasi va uzilish nuqtalari topiladi; funksiyaning
chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari (yoki unga mos limitlari) hisoblanadi.
2) Funksiyaning toq-juftligi, davriyligi tekshiriladi.
3) Funksiyaning nollari va ishora turg‘unlik oraliqlari aniqlanadi.
4) Asimptotalar topiladi.
5) Funksiya ekstremumga tekshiriladi, uning monotonlik oraliqlari
aniqlaniladi.
6) Funksiya grafigining burilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik oraliqlari
topiladi.
Misollar
1. y=x(x 2
-1) funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi . 1) aniqlanish sohasi - haqiqiy sonlar to‘plami. Uzilish nuqtalari
yo‘q. Funksiyaning chegaraviy qiymatlari: lim
x→+∞ x(x 2
-1)=+  ;
lim
x→−∞ x(x 2
-1)=-  ;
2) funksiya davriy emas, toq funksiya
3) funksiyaning uchta noli bor: x =0; x =-1; x =1. Ushbu x(x 2
-1)> 0 tengsizlikni
yechamiz, uning yechimi (-1,0)  (1,+  ) t o‘plamdan iborat.
Demak, funksiya (-1,0)  (1,+  ) to‘plamda musbat va (-  ,-1)  (0,1)
to‘plamda manfiy qiymatlar qabul qiladi.
4) og‘ma asimptotaning burchak koeffitsientini topamiz: k =
lim
x→∞
y
x = = lim
x→∞
( x 2
-1)=  . Demak, og‘ma asimptota mavjud emas. Vertikal asimtotalar ham mavjud
emas (chunki, uzilish nuqtalari yo‘q).

5) Funksiya hosilasini topamiz: y’=3x 2
-1. Hosilani nolga tenglashtirib
statsionar nuqtalarini topamiz: y’ =0 yoki 3x 2
-1=0, bundan x =-1/√3 , x =1/ √3 .
Ushbu ( 3 9-a-chizma) sxemani chizamiz, va intervallar metodidan foydalanib
funksiya h osilasining ishoralarini ani ы laymiz. Bundan funksiya(-  ,-1/
√3 ) va (1/
√3
,+  ) intervallarda monoton o‘suvchi, ( -1/ √3 , 1/ √3 ) intervalda
monoton kamayuvchi; x =-1/
√3 nuqtada maksimumga, x =1/ √3 nuqtada
minimumga ega ekanligi kelib chiqadi. Ekstremum nuqtalarida funksiya
qiymatlarini hisoblaymiz: agar x
max =-1/
√3 bo‘lsa, u holda y
max = 2/(3 √3 ); agar
x
min = 1/
√3 bo‘lsa, u holda y
min =-2/(3 √3 ) bo‘ladi.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=6x. Ikkinchi tartibli hosilani nolga
tenglashtirib y’’=6x =0, x =0 ekanligini topamiz. Sxemani (3 9 -b-chizma) chizamiz
va hosil bo‘lgan intervallarda ikkinchi tartibli hosila ishoralarini aniqlaymiz.
Bundan x =0 nuqtada burilish mavjud, (-  ;0) da funksiya grafigi qavariq, (0;+  ) da
botiq ekanligini topamiz. Burilish nuqtasi ordinatasini topamiz: u (0)=0. Funksiya
grafigi 39– c -chizmada keltirilgan.
2. y =
√ x+√4− x funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi . 1) Aniqlanish sohasi – [0,4] kesma. Funksiyaning chegaraviy
qiymatlarini topamiz: agar x =0 bo‘lsa, u holda u= 2; agar x =4 bo‘lsa, u =2.
5-chizma

Funksiyaning uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya toq ham, juft ham emas, davriy ham emas.
3) funksiyaning nollari yo‘q,
4) Og‘ma asimptotalari yo‘q, chunki aniqlanish 6-chizma
7-chizmasohasi kesmadan iborat.
5) Hosilasini topamiz: y'= √4− x− √x
2√x⋅√4− x .Hosilani nolga tenglashtirib, kritik
(statsionar) nuqtanitopamiz: x =2. 40-chizmadagi sxemani chizamiz. Bundan
funksiya (0,2) intervalda o‘suvchi, (2,4) intervalda kamayuvchi, x =2 nuqtada
funksiya maksimumga erishishi kelib chiqadi. Maksimum nuqtasining
ordinatasi y
max =2
√2 .
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
y''= − 1
4
⋅(4− x)3/2+ x3/2
x3/2(4− x)3/2 . (0,4)
intervalda ikkinchi tartibli hosila manfiy, demak bu intervalda funksiya grafigi
qavariq bo‘ladi.
Funksiya grafigi 5–chizmada chizilgan. Shuni aytib o‘tish kerakki,
lim
x→0+
y=+ ∞ ,
lim
x→4−0
y= − ∞
bo‘lganligi sababli, funksiya grafigi (0,2) nuqtada ordinatalar
o‘qiga, (4,2) nuqtada x =4 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.
3. y=x x
. funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi . Avval funksiyani quyidagicha yozib olamiz: y=x x
=e xlnx
.

1) funksiyaning aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar to‘plami.
Chegaraviy qiymatlari: lim
x→0+ e xlnx
=1,
lim
x→+∞ e xlnx
=+  . Uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya juft ham, toq ham, davriy ham emas.
3) Funksiyaning nollari mavjud emas.
4) Og‘ma asimptotasini izlaymiz: k =
lim
x→+∞
exlnx
x =+  , demak og‘ma
asimptota yo‘q.
5) Hosilasini topamiz: y’=x x
(lnx+1).y’ =0 tenglamadan x=e -1
 0,367.
funksiya (0,1/e) intervalda kamayuvchi, (1/e,+  ) intervalda
o‘suvchi bo‘ladi. x=e -1
nuqtada funksiya minimumga ega, uning ordinatasi
y
min =0,692 .
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=x x
((lnx+1) 2
+1/x). Ikkinchi tartibli
hosila (0,+  ) intervalda musbat, demak funksiya bu intervalda botiq.
Funksiyaning x =0 nuqta atrofida tekshiramiz.
limx→0+
y’= limx→0+ x x
(lnx+1)=-  , bundan funksiya grafigi (0,1) nuqtada ordinatalar
o‘qiga urinishi kelib chiqadi.
Funksiya grafigi 7–chizmada berilgan. 8 - chizma
4. f(x)=x+ln(x 2
-1) funksiyani to‘la tekshiring va grafigini chizing.
Yechish . 1) Funksiya x 2
- 1>0, ya’ni (-  ;-1) va (1;+  ) oraliqlarda
aniqlangan va uzluksiz. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini izlaymiz:

lim
x→−1−0f(x)=
lim
x→−1−0 (x+ln(x 2
-1))=-  ;
lim
x→1+0
f(x)=
lim
x→1+0 (x+ln(x 2
-1))=-  .
Demak, funksiya grafigi ikkita x =-1 va x =1 vertikal asimptotalarga ega.
2) funksiya toq ham, juft ham, davriy ham emas.
3) funksiya (-  ,-1) intervalda manfiy, (1,+  ) intervalda yagona noli mavjud, uni
topish uchun taqribiy hisoblash metodlaridan foydalaniladi, natijada x
0  1,15
ekanligini aniqlashimiz mumkin. Demak, funksiya (1;1,15) intervalda manfiy,
(1,15, +  ) oraliqda musbat.
4) Og‘ma asimptotalarini izlaymiz: k =
lim
x→±∞
y
x =
lim
x→±∞ (1+
ln (x2− 1)
x )=1,
b=
lim
x→±∞ ( y-kx )=
lim
x→±∞ ln(x 2
- 1)=+  , demak og‘ma asimptota mavjud emas.
5) Funksiya hosilasi y’=1+2x/(x 2
-1) funksiyaning aniqlanish sohasida mavjud, shu
sababli uning kritik nuqtalari faqat statsionar nuqtalardan iborat bo‘ladi. Bunda
y’ =0 tenglama yechimlari x
1 =-1-
√2 va x
2 =-1+ √2 bo‘lib, x
2 =-1+ √2 funksiyaning
aniqlanish sohasiga tegishli emas.
Shunday qilib, yagona kritik nuqta mavjud va (-  ;-1) oraliqqa tegishli.
(1;+  ) oraliqda y’ >0 va funksiya o‘suvchi bo‘ladi. x
1 =-1-
√2 nuqtada maksimum
mavjud. Uning ordinatasi f (-1-
√2 )=-1- √2 + ln( 2+2 √2 )  -0,84 ga teng.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’ =-
2(x2+1)
(x2− 1)2 . Bundan y’’ <0, demak
grafik qavariq. Funksiya grafigi 8-chizmada berilgan.
3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari

funksiya intervalda differensiallanuvchi bo‘lsin. U
holda funksiya grafigining , nuqtada urinmasi
mavjud bo‘ladi.

2-ta’rif . Agar intervalning istalgan nuqtasida funksiya
grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi
intervalda botiq ( qavariq ) deyiladi.
Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi
nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi (14-shakl).
5-teorema . Agar funksiya intervalda ikkinchi tartibli
hosilaga ega va da bo‘lsa, u holda
funksiya grafigi intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi.
Isboti. da bo‘lsin. Funksiya grafigida
abssissali ixtiyoriy nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan
pastda yotishini ko‘rsatamiz. Buning uchun nuqtada egri
chiziqning ordinatasi bilan urinmaning ordinatasini solishtiramiz.

Urinma tenglamasini tuzamiz:

yoki
U holda
Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda
bilan ning orasida yotadi. Shu sababli
yoki .
ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz:
bu yerda bilan ning orasida yotadi.
Demak,

Bu tengsizlikni tekshiramiz:
1) agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi va .
Bundan yoki ;
2) agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi va .
Bundan yoki .

Demak, da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining
ordinatasidan katta bo‘ladi va interval da funksiya grafigi qavariq.
da funksiya grafigi botiq bo‘lishi shu kabi isbotlanadi.
Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga
asoslanadi.
6-teorema ( egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar
funksiya intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega va
nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , aniqlik uchun ,
bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U
holda hosila nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi
bu atrofda botiq bo‘ladi. Bu nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi
mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va .
bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish
nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan, funksiya grafigining nuqtasi
egilish nuqta emas, ammo da .
Demak, shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti
bo‘ladi.
7-teorema ( egilish nuqta mavjud bo‘lishining etarli sharti )
funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin.
Agar atrofning nuqtadan chap va o‘ng tomonlarida hosila har xil
ishoraga ega bo‘lsa, u holda nuqta funksiya grafigining egilish
nuqtasi bo‘ladi.
Isboti. da , da bo‘lsin
.

U holda 5-teoremaga ko‘ra nuqtadan chapda funksiya grafigi botiq va o‘ngda
qavariq bo‘ladi. Demak, nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi
bo‘ladi.
da va da bo‘lgan hol
uchun teorema shu kabi isbotlanadi.

Bu teorema funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi
tartibli hosilaga ega bo‘lib, nuqtada mavjud bo‘lmasa ham o‘rinli
bo‘ladi. Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lgan
yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar, ya’ni ikkinchi tur kritik nuqtalar orasidan
izlash kerak.
Misol
funksiya grafigini botiq va qavariqlikka tekshiramiz.

Ikkinchi tartibli hosila nuqtalarda nolga teng va mavjud
emas.
hosilaning bu
nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi
ishoralarini tekshiramiz:
Demak, funksiyaning grafigi va intervallarda qavariq,
va intervallarda botiq
bo‘ladi. nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.
4-§. Funksiya grafigining asimptotalari

Egri chiziqning asimptotasi deb shunday to‘g‘ri chiziqqa aytiladiki, egri
chiziqda yotuvchi nuqta egri chiziq bo‘ylab harakat qilib koordinata boshidan
ch е ksiz uzoqlashgani sari nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa
nolga intiladi.
Bunda nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, l е kin uni k е sib o‘tmaydi
(16-shakl).

Uch turdagi , ya ’ ni vertikal , gorizontal va og‘ma asimptotalar mavjud .

Agar y oki limitlardan
hech bo‘lmaganda bittasi cheksiz
bo‘lsa , to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining vertikal asimptotasi
deyiladi .
Masalan , funksiya grafigi uchun to‘g‘ri chiziq vertikal asim
ptota , chunki va .
Agar shunday va sonlari mavjud bo‘lib, da funksiya
ko‘rinishda ifodalansa to‘g‘ri chiziqqa
funksiya grafigining og‘ma asimptotasi deyiladi .
8-teorema . funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega
bo‘lishi uchun

,
bo‘lishi zarur va etarli.
Isboti. Zarurligi. funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega
bo‘lsin. U holda og‘ma asiimptotaning ta‘rifiga ko‘ra
bo‘ladi. Bundan
,
ke lib с hiqadi.
Etarliligi. , bo‘lsin.
U holda dan
ke lib с hiqadi. Demak, da bo‘ladi. Bu esa
to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi ekanini bildiradi .
Agar , limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud
bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa, funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega
bo‘lmaydi.
Agarr bo‘lsa, bo‘ladi. Bunda
to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining gorizontal asimptotasi deyiladi .
Izoh. funksiya grafigining asimptotalari da va da
har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli , limitlarni
aniqlashda va hollarini alohida qarash lozim.
Misol
funksiya grafigining asimptotalarini topamiz.

.
Demak , to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota .
,
,
Bundan . Demak, to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota.
5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning umumiy sxemasi
Funksiyani tekshirish va grafigini chizish ma’lum tartibda (sxema asosida)
bajariladi. Shunday sxemalardan birini keltiramiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasini topish.
Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishadigan nuqtalarini
(agar ular mavjud bo‘lsa) aniqlash.
Funksiyaning ishorasi o‘zgarmaydigan oraliqlarni ( yoki
bo‘ladigan oraliqlarni) aniqlash.
Funksiyaning juft - toqligini tekshirish.
Funksiya grafigining asimptotalarini topish.
Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlash va ekstremumlarini topish.
Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini
aniqlash.
bandlardagi tekshirishlar asosida funksiyaning grafigi chiziladi.
Keltirilgan sxemaning hamma bandlari albatta bajarilishi shart emas.
Soddaroq hollarda keltirilgan bandlardan ayrimlarini, masalan ni bajarish
etarli bo‘ladi. Agar funksiya grafigi juda tushunarli bo‘lmasa bandlardan
keyin funksiyaning davriyligini tekshirish, funksiyaning bir nechta qo‘shmcha
nuqtalarini topish va funksiyaning boshqa xususiyatlarini aniqlash bo‘yicha

qo‘shmcha tekshirishlar o‘tkajish mumkin.
Misollar
1. funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasi:
da bo‘ladi. Funksiya o‘qini nuqtada kesadi.
bo‘lgani uchun funksiya o‘qini kesmaydi.
Funksiya va intervallarda musbat ishorali va
interval-da manfiy ishorali.
Funksiya uchun bo’ladi. Demak, u juft.

Demak , va to‘g‘ri chiziqlar vertikal asimptotalar bo‘ladi.
( da ham da ham
),
Demak, to‘g‘ri chiziq da ham da ham gorizontal
asimptota bo‘ladi.
Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlaymiz va ekstremumlarini
topamiz.
.

Birinchi tartibli hosila
v a da mavjud emas va
d a nolga teng. Bu nuqtalar berilgan
funksiyaning aniqlanish sohasini
to‘rtta int
er vallarga ajratadi. Hosilaning bu
intervallardagi va ha r bir birinchi tur
kritik nuqtadan chapdan o‘ngga
o‘tishdagi ishoralarini
chizmada belgilaymiz:

Demak, funksiy a intervalda
o‘sadi va intervalda kamayadi. maksimum nuqta, .
Funksiyaning qavariqlik va botiq-lik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini
aniqlaymiz.
Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda mavjud emas.
hosilanin
g
intervallardagi va har bir ikkinchi tur
kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz:
Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, va
intervallarda botiq bo‘ladi. Funksiya grafigining egilish nuqtasi yo‘q.
bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (17-shakl).
2. funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz.

Funksiyaning aniqlanish sohasi:
da bo‘ladi. Funksiya va o‘qlarini nuqtada
kesadi.
Funksiya va intervallarda musbat ishorali.
Funksiya uchun va bo‘ladi. Demak,
u umumiy ko‘rinishdagi funksiya.
Funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lgani uchun u vertikal
asimptotaga ega emas.
.
Demak, da to‘g‘ri chiziq gorizontal assimptota.
Demak, da funksiya assimptotaga ega emas.
Funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz va ekstremumlarini
topamiz.
Hosila va da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning
aniqlanish sohasini uchta intervallarga ajratadi.

Hosilaning bu intervallardagi va har bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan
o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada belgilaymiz:
Demak, funksiya intervalda o‘sadi va va intervallarda
kamayadi. minimum nuqta, va maksimum
nuqta
Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini hamda egilish
nuqtalarini aniqlaymiz.
.
Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda nolga teng.
Bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish
ohasini

Intervallarga ajratadi.
hosilaning bu intervallardagi va ikkinchi tur kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga
o‘tgandagi ishora- larini chizmada belgilaymiz:
Demak, funksiyaning grafigi intervalda
qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi,
va funksiya grafigining egilish nuqtalari.
bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (18-shakl).
6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar.

Funksiyaning grafik tasviri nafakat funksi о nal b о g’lanishni ayoniy tasavvur
qilishga, balki funksiyaning хо ssalarini o’rganishni о s о nlashtirishga ham imk о n
b е radi. Shuning uchun funksiya f о rmula bilan b е rilgan bo’lsa ham, ko’pincha
k оо rdinata t е kisligidagi funksiyaning grafigiga mur о jaat qilinadi.
Ta`rif. Х to’plamda b е rilgan f funksiyaning grafigi d е b Х to’plamdan о lingan
barcha х lar uchun k оо rdinata t е kisligining х va f (x) k оо rdinatalarga ega nuqtalari
to’plamiga aytiladi.
F о rmula bilan b е rilgan qat о r funksiyalar grafiklari qanday ko’rinishda
bo’lishini eslaymiz.
1.u = х funksiyaning aniqlanish s о hasi haqiqiy s о nlar to’plami bo’lgan shartda shu
funksiyaning grafigini yasaymiz. х ning har qanday qiymatida о rdinataning
qiymati ham х bo’lgani uchun b е rilgan funksiyaning k оо rdinata t е kisligi absissasi
va о rdinatasi o’zaro t е ng bo’lgan nuqtalar to’plamidan ib о rat.
Bunday nuqtalar to’plami birinchi va uchinchi
choraklarining biss е ktrisasidir. Bu to’gri chiziq y = х
funksiyaning grafigi bo’ladi. (14 - rasm)
2. y = х 2
funksiyaning aniqlanish s о hasini haqiqiy s о nlar to’plami d е b о lib,
uning grafigini yasaymiz.
х va y ning ba`zi bir m о s qiymatlarining jadvalini tuzamiz.

х va y ning t о pilgan har bir
qiymatlari juftini k оо rdinata
t е kisligida nuqta bilan
tasvirlaymiz. (15 - rasm)
O’zgaruvchilar о rasidagi b о g’lanishni tahlil qilish uchun o’suvchi va kamayuvchi
funksiyalar m о hiyatini tushunish muhimdir.
Ta`rif. Agar Х to’plamdan о lingan х
1 va х
2
uchun
x
1 <x
2 f (x
1 ) < f (x
2 ) shart bajarilsa, f
funksiya Х о raliqda o’suvchi d е yiladi.
Х о raliq o’suvchi bo’lgan funksiya grafigining hususiyati: Х о raliq bo’ylab Ох o’q
bo’yicha chapdan o’ngga harakatlanganda grafikning о rdinatasi о rtadi. (16 - rasm)

Ta`rif. Agar Х to’plamdan о lingan har qanday х
1 va х
2 uchun x
1 <x
2 f (x
1 ) > f
(x
2 ) shart bajarilsa f funksiya Х о raliqda kamayuvchi d е yiladi.
Х о raliqda kamayuvchi bo’lgan funksiya grafigining hususiyati: Х о raliq
bo’ylab Ох bo’yicha chapdan o’ngga harakatlanganda grafikning о rdinatasi
kamayadi. (17 - rasm)
To`gri pr о p о rsi о nallik.
Agar t – piyodaning harakat vaqti (s о at bilan), s – piyoda o’tgan yo’l
(kil о m е tr bilan) bo’lsa va y 4 km/s о at t е zlikda t е kis harakat qilsa, t ning har birХ -2 -1 0 1 2
Y 4 1 0 1 4

qiymatiga s = 4t f о rmuladan k е lib chiqadigan s ning yag о na qiymati m о s k е ladi.
D е mak, s = 4t f о rmula funksiyani if о dalaydi.
Yana bitta mis о l qaraymiz. Agar bir pak е t sutning bah о si 216 so’m bo’lsa, х
ta pak е tning y nar х i (so’m bilan) bunday his о blanadi: y = 16 х . х ning har bir
qiymatiga y ning yag о na qiymati m о s k е lgani uchun y = 216 х f о rmula funksiyani
b е radi.
Ko’rib o’tilgan mis о llarda biz to’gri pr о p о rsi о nallik d е b ataluvchi
funksiyalar bilan ish ko’rdik.
Ta`rif. y = kx ko’rinishdagi f о rmula yordamida b е rilishi mumkin bo’lgan funksiya
to’gri pr о p о rsi о nallik d е yiladi, bunda х - erkli o’zgaruvchi, k - n о lga t е ng
bo’lmagan haqiqiy s о n.
y = kx f о rmulada k s о ni pr о p о rsi о nallik k о effis е nti d е yiladi; y o’zgaruvchi esa х
o’zgaruvchiga pr о p о rsi о nal d е yiladi.
y = kx funksiyaning aniqlanish s о hasi haqiqiy s о nlar to’plami bo’ladi.
To’gri pr о p о rsi о nallik y = kx + b chiziqli funksiyaning b = 0 bo’lgandagi
hususiy h о lidir. Shuning uchun:
1) To’gri pr о p о rsi о nallikning grafigi k оо rdinatalar b о shidan o’tuvchi to’gri
chiziq bo’ladi; (18-rasm)
2) k > 0 bo’lganda y = kx funksiya o’zini butun aniqalnish s о hasida o’sadi (18-
rasm), k < 0 bo’lganda kamayadi. (19-rasm)

Masalan: y = 2 х to’g’ri pr о p о rsi о nallik haqiqiy s о nlar to’plamida o’suvchi
funksiyadir: agar х ning qiymatlari o’ssa, funksiyaning qiymatlari ham o’sadi y = -
3 х funksiya haqiqiy s о nlar to’plamida kamayuvchi: agar х ning qiymatlari o’ssa,
funksiyaning qiymatlari kamayadi.
Agar х va y o’zgaruvchilarning qiymatlari musbat s о nlar bo’lsa, to’gri
pr о p о rsi о nallikning isb о tlangan хо ssasini bunday ta`iflash mumkin:
х o’zgaruvchi qiymatlarining bir n е cha marta o’sishi (kamayishi) bilan y
o’zgaruvchining unga m о s qiymatlari ham shuncha marta o’sadi (kamayadi).
B о shlang’ich sinflarda to’g’ri pr о p о rsi о nallik al о hida o’rganilmaydi, amm о
t е kstli masalalarni y е chishda o’quvchilar kattaliklar (miqd о rlar) о rasidagi turli
b о g’lanishlar bilan uchrashadilar. Jumladan, to’g’ri pr о p о rsi о nallik bilan
uchrashadilar. Bunday masalalarga mis о llar k е ltiramiz.
1) 1 m е tr p о l о tn о 4 so’m turadi. 2 m p о l о tn о qancha turadi? 3 m-chi? 5 m-chi?
8m-chi?
Bu masalada nar х ning s о tib о lingan p о l о tna miqd о riga b о g’liqligi qaraladi,
1 m p о l о tn о bah о si o’zgarmas. Bu b о g’lanish y = 4 х f о rmula bilan if о dalanishi
mumkin bo’lgani uchun, bunda х – s о tib о lingan p о l о tn о miqd о ri, y – uning nar х i,
to’g’ri pr о p о rsi о nallikka ega bo’ladi. Pr о p о rsi о nallik k о effisi е nti 4 – masala
shartida b е rilgan, shuningd е k х ning qabul qiladigan qiymatlari ham b е rilgan.

XULOSA
Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o’qitishda muhim ahamyatga ega bol’gan funksiya va uning grafigini
o’rganish,o`rgatish masalasiga bag’ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat.
Kirish qismida yurtimizda ta`lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning
samarali natijasi va mavzu bo`yicha boshlang`ich ma`lumotlar berildi.
Asosiy qismda funksiya ta`rifi, uning kelib chiqishi,funksiyaning berilish usullari,
aniqlanish soxasi, turli elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning
asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli
funksiya, kvadratik funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari
trigonometrik funksiyalar,funksiya va uning grafini pedagogik texnalogiyalar
orqali o`qitish haqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi.Har bir keltirilgan misollar
grafiklari bilan boyitildi,zero,mavzu ham aynan grafikka bog`liq.
Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin:
1. Funksiya grafigini o’qitilishi, talimda ko’rgazmalilik tamoilini amalgam
oshirishda yordam beradi.
2. O’quvchilar qiziqishini ortirishda muhum ro’l o’ynaydi.
3. Matematika ta’limda maqsadni aniq belgilash va kafolatlangan natijaga
intilish xususiyatini taminlaydi.
Xulosa qiladigan bo`lsam,matematikaning har bir bo`limiga o`tganimizda
unda yangidan yangi,qiziqarli ma`lumotlarga duch kelamiz,ularni o`quvchilarga
yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o`qituvchining mahoratiga
bog`liq.Mavzuni hayotga bog`lab tushuntirib berish,undagi o`ziga xos
xususiyatlarni o`quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon.O`qituvchi hamisha
ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo`lishi lozim.
Malakasini,tajribasini muntazam oshirib borishi kerak.O`qituvchining
zamon bilan ham nafas bo`lishi ham bugungi kun talabi.

Shunday ekan biz bo`lajak pedagoglar o`qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda
ma`suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda,vaqtimiz,imkonimiz borida o`qib
o`rganib olishimiz kerak.
Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli
foydalanib,bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo`lib yetishishimiz va
vatanimiz ravnaqiga o`z hissamizni qo`shishimiz kerak.
Zero,kelajak bizning qo`limizda,olg`a studentlar!

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
I-O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Asarlaridan
1. O‘ zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7 maydagi «Matematika
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-
tadbirlari to‘g‘risida»gi PQ-4708-sonli Qarori
2.O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2019 yil 8 oktyabrdagi PF-5847-son
Farmoni bilan tasdiqlangan “O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim tizimini 2030
yilgacha rivojlantirish kontseptsiyasi”
II-Asosiy Adabiyotlar
1. Toshmetov O ., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematikʻ
analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b.
2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b.
3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b.
4. Turgunbayev R.M. Matematik analiz I-qism. T.: “Innovatsiya-ziyo”.2019-340
b.
5. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Qatorlar
nazariyasi) .T.: “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b.
6. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyaning differensial va integral hisobi) . 2020. Farg ona. “Poligraf Super
ʻ
Servis .
7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 1 t: 1994 y.-
ʻ
416 b.
8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 2 t . 1995
ʻ y.-
436 b.
9. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiba y ev M. “Matematik analizdan misol va
masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.
10. Toshmetov O , Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar
ʻ
to plami. 1-q. TDPU
ʻ . 2006 y.-140 b.
11. Toshmetov O , Turgunbayev R.
ʻ Matematik analizdan misol va masalalar
t o
ʻ plami , 2- q. TDPU. 2010 y.-48 b.
12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013 y. – 56
ʻ
b.

13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013 y. ʻ
14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по
математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр.
15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому
анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО «Издательство Астрель»
ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст.
16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1 том.
C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр.
17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2 том.
C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр.
18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot-konsalt”,
2014.-344b. (qozoq tilida)
19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot-konsalt”,
2015.-397 b. (qozoq tilida)
III-Axborot manbaalari
1. www.tdpu.uz
2. www.pedagog.uz
3. www.edu.uz
5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK)
ʻ

Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish

Asosiy qism

1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.

2-§.Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash

3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari

4-§.Funksiya grafigining asimptotalari

5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning umumiy sxemasi

6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar.

Xulosa

Купить