• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish

KIRISH
Har nechuk ilmdan eshitsang bir so’z,
Uni tinmay o’rgan kecha-yu, kunduz
Abulqosim Firdavsiy.
Kurs   ishining   dolzarbligi:   D avlatimiz   istiqboli,bozor   iqtisodiyoti   qonunlariga
asoslangan   jamiyat   qurish   sohasidagi   ishlarning   samaradorligi   yuqori   malakali,
yuksak   ma'naviyatli,   rivojlangan   mamlakatlar   darajasida,   raqobatbardosh
mutaxassislar   tayyorlash,   barkamol   avlodni   shakllantirish   muammosi   bilan   uzviy
bog'liq. Birinchi  Prezidentimiz I.A.Karimov tashabbusi  bilan ishlab chiqilib, Oliy
Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan Kadrlar tayyorlash milliy dasturi, Ta'lim
to'g'risidagi   qonun,   Vazirlar   Mahkamasining   umumiy   o'rta   ta'lim,   akademik
litseylar   va   kasb-hunar   kollejlarini   tashkil   etish   haqidagi   va   boshqa   qarorlari   shu
maqsadlarni ro'yobga chiqarishga qaratilgan.
Mamlakatimizda Kadrlar tayyorlash milliy dasturi‘ni bosqichma-bosqich va
muvaffaqiyatli   amalga   oshirish   ko'p   jihatdan   o'qituvchi   faoliyati,   uning   kasbiy
nufuzini   oshirish   bilan   bog‘liqdir.   Shunday   ekan,   sog‘lom   va   har   tomonlama
barkamol   avlodni   yetishtirish   uzluksiz   ta'lim   tizimida   mehnat   qilayotgan
pedagogning   saviyasiga,   tayyorgarligiga   va   fidoiyligiga,   uning   yosh   avlodni
o'qitish   va   tarbiyalash   ishiga   bo'lgan   munosabatiga   bog‘liqdir.   Mustaqil
O'zbekistonning kelajagi bo'lgan avlodni tarbiyalash nozik, nihoyatda katta diqqat-
e'tiborni talab qiladigan, ichki ziddiyatli jarayondir.
«Kadrlar   tayyorlash   milliy   dasturi»   asosida   amalga   oshirilayotgan   ta'lim
sohasidagi islohotlarning birinchi va ikkinchi bosqichlari vazifalari muvaffaqiyatli
hal qilinib, uchinchi bosqichdagi o'zgarishlar davom etmoqda. Bu bosqichda o'quv-
tarbiya   ishlarini   butunlay   yangi   asosda   tashkil   qilish,   yuqori   sifat   ko'rsatkichiga
erishish talab qilinadi. 13. Turgunbayev   R.M.,   Koshnazarov   R.A.,   Raximov   I.K.   Matematik   analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013 y. ʻ
14. Архипов   Г.И.,   Садовничий   В.А.,   Чубариков   Д.И.   Лекции   по
математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр.
15. Демидович   Б.П..,   «Сборник   задач   и   упражнений   по   математическому
анализу»   Учеб.   Пособие   для   вузов .   М.:   ООО   «Издательство   Астрель»
ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст.
16. Пискунов   Н.С.   Дифференциальное   и   интегральное   исчисление.   1   том.
C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр.
17. Пискунов   Н.С.   Дифференциальное   и   интегральное   исчисление.   2   том.
C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр.  
18. Turgunba y ev   R.M.   Matematikal i q   analiz.   I   tom.   T.:   “Abu   matbuot-konsalt”,
2014.-344b. (qozoq tilida)
19. Turgunba y ev   R.M.   Matematikali q   analiz.   II   tom.   T.:   “Abu   matbuot-konsalt”,
2015.-397 b. (qozoq tilida)
III-Axborot manbaalari
1.  www.tdpu.uz   
2.   www.pedagog.uz
3.   www.edu.uz
5.  www.nadlib.uz  (A.Navoiy nomidagi O z.MK)	
ʻ
  Demak,   da   urinmaning   ordinatasi   funksiya   grafigining
ordinatasidan katta bo‘ladi va   interval da funksiya grafigi qavariq.
                da funksiya grafigi   botiq   bo‘lishi shu kabi isbotlanadi.
Funksiya   grafigining   egilish   nuqtasini   topish   quyidagi   teoremalarga
asoslanadi.
              6-teorema   ( egilish nuqta     mavjud     bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar    
funksiya     intervalda   uzluksiz   ikkinchi   tartibli   hosilaga   ega   va    
nuqta     funksiya grafigining egilish nuqtasi     bo‘lsa, u holda     bo‘ladi.
              Isboti.   Teskarisini   faraz   qilamiz,   ya’ni   ,   aniqlik   uchun   ,
bo‘lsin.   Teoremaning   shartiga   ko‘ra   ikkinchi   tartibli   hosila   uzluksiz.   U
holda     hosila   nuqtaning   biror   atrofida   musbat   bo‘ladi   va   funksiya   grafigi
bu   atrofda   botiq   bo‘ladi.   Bu     nuqta   egilish   nuqtaning   abssissasi   bo‘ladi
mulohazasiga zid.     Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va     .
  bo‘ladigan nuqtalarning barchasi     ham funksiya  grafigining egilish
nuqtasi   bo‘lmaydi.   Masalan,     funksiya   grafigining     nuqtasi
egilish nuqta     emas, ammo   da .  
                Demak,     shart   egilish   nuqta   mavjud   bo‘lishining   zaruriy   sharti
bo‘ladi.    
                    7-teorema   ( egilish   nuqta     mavjud     bo‘lishining   etarli   sharti )      
funksiya     nuqtaning   biror     atrofida     ikkinchi   tartibli   hosilaga   ega   bo‘lsin.
Agar     atrofning     nuqtadan   chap   va   o‘ng   tomonlarida       hosila   har     xil
ishoraga   ega   bo‘lsa,     u   holda   nuqta     funksiya   grafigining   egilish
nuqtasi     bo‘ladi.
              Isboti.         da   ,           da           bo‘lsin
.   Asosiy qism
1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.
2-§.Funksiyani  to‘la tekshirish va grafigini yasash
3-§.Funksiya grafigining botiqligi   qavariqligi va egilish nuqtalari
4-§. Funksiya       grafigining       asimptotalari
5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini   chizishning     umumiy sxemasi  
6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati                   Funksiyaning aniqlanish sohasi:    
                      da     bo‘ladi.     Funksiya     va     o‘qlarini   nuqtada 
kesadi.
                  Funksiya     va   intervallarda musbat ishorali.
                  Funksiya uchun     va   bo‘ladi. Demak,
u umumiy ko‘rinishdagi funksiya.            
                  Funksiya   aniqlanish   sohasida   uzluksiz   bo‘lgani   uchun   u   vertikal
asimptotaga ega emas.
.
                  Demak,   da       to‘g‘ri chiziq gorizontal assimptota.
                  Demak,   da     funksiya assimptotaga ega emas.
                    Funksiyaning     monotonlik intervallarini aniqlaymiz va ekstremumlarini 
topamiz.
                  Hosila     va     da nolga teng.     Bu nuqtalar berilgan funksiyaning 
aniqlanish sohasini uchta       intervallarga ajratadi. 5)   Funksiya   hosilasini   topamiz:   y’=3x 2
-1. Hosilani   nolga   tenglashtirib
statsionar   nuqtalarini   topamiz:   y’ =0   yoki   3x 2
-1=0,   bundan     x =-1/√3 ,   x =1/	√3 .
Ushbu   ( 3 9-a-chizma)   sxemani   chizamiz,   va   intervallar   metodidan   foydalanib
funksiya   h osilasining   ishoralarini   ani ы laymiz.   Bundan   funksiya(-  ,-1/	
√3 )   va   (1/	
√3
,+  ) intervallarda monoton   o‘suvchi,                                         ( -1/	√3 , 1/	√3 ) intervalda
monoton   kamayuvchi;   x =-1/	
√3   nuqtada   maksimumga,   x =1/	√3 nuqtada
minimumga   ega   ekanligi   kelib   chiqadi.   Ekstremum   nuqtalarida   funksiya
qiymatlarini   hisoblaymiz:     agar   x
max =-1/	
√3   bo‘lsa,   u   holda   y
max = 2/(3	√3 );   agar
x
min = 1/	
√3  bo‘lsa, u holda  y
min =-2/(3	√3 ) bo‘ladi.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:   y’’=6x.   Ikkinchi tartibli hosilani nolga
tenglashtirib   y’’=6x =0,   x =0   ekanligini   topamiz.   Sxemani   (3 9 -b-chizma)   chizamiz
va   hosil   bo‘lgan   intervallarda   ikkinchi   tartibli   hosila   ishoralarini   aniqlaymiz.
Bundan  x =0 nuqtada burilish mavjud, (-  ;0) da funksiya grafigi qavariq, (0;+  ) da
botiq  ekanligini   topamiz.  Burilish   nuqtasi   ordinatasini   topamiz:   u (0)=0.  Funksiya
grafigi 39– c -chizmada keltirilgan.
2.  y =	
√	x+√4−	x  funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi .   1)   Aniqlanish   sohasi   –   [0,4]   kesma.   Funksiyaning   chegaraviy
qiymatlarini topamiz: agar  x =0 bo‘lsa, u holda  u= 2; agar  x =4 bo‘lsa,  u =2.
5-chizma   Egri   chiziqning   asimptotasi   deb   shunday   to‘g‘ri   chiziqqa   aytiladiki,   egri
chiziqda   yotuvchi   nuqta     egri   chiziq   bo‘ylab   harakat   qilib   koordinata   boshidan
ch е ksiz   uzoqlashgani   sari   nuqtadan   bu   to‘g‘ri   chiziqqacha   bo‘lgan   masofa
nolga intiladi.
Bunda   nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, l е kin uni k е sib o‘tmaydi
(16-shakl).
           
            Uch   turdagi ,   ya ’ ni   vertikal ,   gorizontal   va   og‘ma   asimptotalar   mavjud .      
         
Agar     y oki     limitlardan
hech   bo‘lmaganda   bittasi   cheksiz
bo‘lsa ,       to‘g‘ri   chiziqqa       funksiya   grafigining   vertikal   asimptotasi  
deyiladi .
                Masalan ,       funksiya   grafigi   uchun         to‘g‘ri   chiziq   vertikal   asim
ptota ,   chunki         va   .
              Agar shunday   va   sonlari mavjud   bo‘lib,   da   funksiya
ko‘rinishda ifodalansa     to‘g‘ri   chiziqqa      
funksiya   grafigining   og‘ma   asimptotasi   deyiladi .
              8-teorema .     funksiya   grafigi   og‘ma   asimptotaga   ega
bo‘lishi uchun   х   va   y   ning   t о pilgan   har   bir
qiymatlari   juftini   k оо rdinata
t е kisligida   nuqta   bilan
tasvirlaymiz. (15 - rasm)
  O’zgaruvchilar   о rasidagi b о g’lanishni tahlil qilish uchun o’suvchi va kamayuvchi
funksiyalar m о hiyatini tushunish muhimdir.
Ta`rif.   Agar   Х   to’plamdan   о lingan   х
1   va   х
2
uchun 
x
1 <x
2     f   (x
1 )   <   f   (x
2 )   shart   bajarilsa,   f
funksiya  Х   о raliqda o’suvchi d е yiladi.
Х   о raliq o’suvchi bo’lgan funksiya grafigining hususiyati:  Х   о raliq bo’ylab  Ох  o’q
bo’yicha chapdan o’ngga harakatlanganda grafikning  о rdinatasi  о rtadi. (16 - rasm) 
                                                                                      
Ta`rif. Agar   Х   to’plamdan   о lingan har  qanday   х
1   va   х
2   uchun x
1 <x
2     f (x
1 ) > f
(x
2 ) shart bajarilsa f funksiya  Х   о raliqda kamayuvchi d е yiladi.
Х   о raliqda   kamayuvchi   bo’lgan   funksiya   grafigining   hususiyati:   Х   о raliq
bo’ylab   Ох   bo’yicha   chapdan   o’ngga   harakatlanganda   grafikning   о rdinatasi
kamayadi. (17 - rasm)
To`gri pr о p о rsi о nallik.
Agar   t   –   piyodaning   harakat   vaqti   (s о at   bilan),   s   –   piyoda   o’tgan   yo’l
(kil о m е tr   bilan)   bo’lsa   va   y   4   km/s о at   t е zlikda   t е kis   harakat   qilsa,   t   ning   har   birХ -2 -1 0 1 2
Y 4 1 0 1 4            
Hosilaning bu intervallardagi va har bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan
o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada     belgilaymiz:
                Demak,   funksiya     intervalda   o‘sadi   va     va   intervallarda
kamayadi.     minimum   nuqta,     va     maksimum
nuqta    
                      Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini hamda egilish 
nuqtalarini aniqlaymiz.
.
            Ikkinchi tartibli hosila               va       nuqtalarda nolga teng.
Bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish
  ohasini
       
Intervallarga ajratadi.    
hosilaning     bu   intervallardagi   va   ikkinchi   tur   kritik   nuqtalardan   chapdan     o‘ngga
o‘tgandagi ishora- larini chizmada belgilaymiz:      
Demak,   funksiyaning     grafigi     intervalda
qavariq,       va     intervallarda   botiq   bo‘ladi,    
va       funksiya grafigining egilish nuqtalari.
  bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (18-shakl).
6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar. 1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.
Aytaylik   f(x)   funksiya   x=x
0   nuqtada   f’(x
0 )   hosilaga   ega,   ya’ni   funksiya
grafigining  M(x
0 ,f(x
0 ))  nuqtasidan novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsin.
Ta’rif .   Agar   x=x
0   nuqtaning   shunday   atrofi   mavjud   bo‘lib,   y=f(x)   egri
chiziqning   bu   atrofdagi   nuqtalarga   mos   bo‘lgan   bo‘lagi   shu   egri   chiziqqa
M(x
0 ,f(x
0 ))  nuqtasidan o‘tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida)  joylashsa, u holda
f(x)  funksiya   x=x
0  nuqtada qavariq (botiq) deyiladi.
Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo‘lsa,
u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi.  XULOSA
Kurs   ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini
o’qitishda   muhim   ahamyatga   ega   bol’gan   funksiya   va   uning   grafigini
o’rganish,o`rgatish masalasiga bag’ishlangan.
Kurs   ishi   kirish,   asosiy   qism,   xulosa   va   foydalanilgan   adabiyotlar   iborat.
Kirish   qismida   yurtimizda   ta`lim   sohasida   olib   borilayotgan   islohotlar,ularning
samarali natijasi va mavzu bo`yicha boshlang`ich ma`lumotlar berildi.
Asosiy qismda funksiya ta`rifi, uning kelib chiqishi,funksiyaning berilish usullari,
aniqlanish   soxasi,   turli   elementar   funksiyalar   va   ularning   grafiklari,   funksiyaning
asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli
funksiya, kvadratik funksiya,  logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari
trigonometrik   funksiyalar,funksiya   va   uning   grafini   pedagogik   texnalogiyalar
orqali   o`qitish   haqidagi   to’liq   ma’lumotlar   keltirildi.Har   bir   keltirilgan   misollar
grafiklari bilan boyitildi,zero,mavzu ham aynan grafikka bog`liq.
Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin:
1. Funksiya   grafigini   o’qitilishi,   talimda   ko’rgazmalilik   tamoilini   amalgam
oshirishda yordam beradi.
2. O’quvchilar qiziqishini ortirishda muhum ro’l o’ynaydi.
3. Matematika   ta’limda   maqsadni   aniq   belgilash   va   kafolatlangan   natijaga
intilish xususiyatini taminlaydi.
Xulosa   qiladigan   bo`lsam,matematikaning   har   bir   bo`limiga   o`tganimizda
unda   yangidan   yangi,qiziqarli   ma`lumotlarga   duch   kelamiz,ularni   o`quvchilarga
yanada   qiziqarli   va   tushunarli   qilib   yetkazib   berish   o`qituvchining   mahoratiga
bog`liq.Mavzuni   hayotga   bog`lab   tushuntirib   berish,undagi   o`ziga   xos
xususiyatlarni   o`quvchiga   yetkazib   berish   murakkab   jarayon.O`qituvchi   hamisha
ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo`lishi lozim.
Malakasini,tajribasini   muntazam   oshirib   borishi   kerak.O`qituvchining
zamon  bilan ham nafas bo`lishi ham bugungi kun talabi. qo‘shmcha tekshirishlar o‘tkajish mumkin.
                  Misollar
            1.         funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz.
              Funksiyaning aniqlanish sohasi:  
                  da     bo‘ladi. Funksiya     o‘qini   nuqtada kesadi.    
bo‘lgani uchun funksiya   o‘qini kesmaydi.        
                  Funksiya   va   intervallarda musbat ishorali va  
interval-da manfiy ishorali.
                Funksiya uchun   bo’ladi. Demak, u juft.            
         
Demak ,     va     to‘g‘ri   chiziqlar   vertikal   asimptotalar bo‘ladi.
( da     ham   da ham  
),  
              Demak,           to‘g‘ri chiziq   da ham   da ham gorizontal 
asimptota bo‘ladi.
                    Funksiyaning     monotonlik oraliqlarini     aniqlaymiz va ekstremumlarini 
topamiz.
. Funksiyaning   grafik   tasviri   nafakat   funksi о nal   b о g’lanishni   ayoniy   tasavvur
qilishga,   balki   funksiyaning   хо ssalarini   o’rganishni   о s о nlashtirishga   ham   imk о n
b е radi.   Shuning   uchun   funksiya   f о rmula   bilan   b е rilgan   bo’lsa   ham,   ko’pincha
k оо rdinata t е kisligidagi funksiyaning grafigiga mur о jaat qilinadi.
Ta`rif.  Х  to’plamda b е rilgan f funksiyaning grafigi d е b  Х  to’plamdan  о lingan
barcha  х  lar uchun k оо rdinata t е kisligining  х  va f (x) k оо rdinatalarga ega nuqtalari
to’plamiga aytiladi. 
F о rmula   bilan   b е rilgan   qat о r   funksiyalar   grafiklari   qanday   ko’rinishda
bo’lishini eslaymiz.
1.u =  х  funksiyaning aniqlanish s о hasi haqiqiy s о nlar to’plami bo’lgan shartda shu
funksiyaning   grafigini   yasaymiz.   х   ning   har   qanday   qiymatida   о rdinataning
qiymati ham   х   bo’lgani uchun b е rilgan funksiyaning k оо rdinata t е kisligi absissasi
va  о rdinatasi o’zaro t е ng bo’lgan nuqtalar to’plamidan ib о rat.
Bunday   nuqtalar   to’plami   birinchi   va   uchinchi
choraklarining biss е ktrisasidir. Bu to’gri chiziq y = х
funksiyaning grafigi bo’ladi.   (14 - rasm)
2. y =   х 2
  funksiyaning aniqlanish s о hasini haqiqiy s о nlar to’plami d е b   о lib,
uning grafigini yasaymiz.
х  va y ning ba`zi bir m о s qiymatlarining jadvalini tuzamiz. Masalan:   y   =   2 х   to’g’ri   pr о p о rsi о nallik   haqiqiy   s о nlar   to’plamida   o’suvchi
funksiyadir: agar  х  ning qiymatlari o’ssa, funksiyaning qiymatlari ham o’sadi y = -
3 х   funksiya   haqiqiy  s о nlar   to’plamida   kamayuvchi:   agar   х   ning   qiymatlari   o’ssa,
funksiyaning qiymatlari kamayadi.
   Agar   х   va   y   o’zgaruvchilarning   qiymatlari   musbat   s о nlar   bo’lsa,   to’gri
pr о p о rsi о nallikning isb о tlangan  хо ssasini bunday ta`iflash mumkin:
х   o’zgaruvchi   qiymatlarining   bir   n е cha   marta   o’sishi   (kamayishi)   bilan   y
o’zgaruvchining unga m о s qiymatlari ham shuncha marta o’sadi (kamayadi).
B о shlang’ich sinflarda to’g’ri pr о p о rsi о nallik al о hida o’rganilmaydi, amm о
t е kstli   masalalarni   y е chishda   o’quvchilar   kattaliklar   (miqd о rlar)   о rasidagi   turli
b о g’lanishlar   bilan   uchrashadilar.   Jumladan,   to’g’ri   pr о p о rsi о nallik   bilan
uchrashadilar. Bunday masalalarga mis о llar k е ltiramiz.
1)  1 m е tr p о l о tn о  4 so’m turadi. 2 m p о l о tn о  qancha turadi? 3 m-chi? 5 m-chi?
8m-chi?
Bu masalada nar х ning s о tib   о lingan p о l о tna miqd о riga b о g’liqligi qaraladi,
1   m   p о l о tn о   bah о si   o’zgarmas.   Bu   b о g’lanish   y   =   4 х   f о rmula   bilan   if о dalanishi
mumkin bo’lgani uchun, bunda  х  – s о tib  о lingan p о l о tn о  miqd о ri, y – uning nar х i,
to’g’ri   pr о p о rsi о nallikka   ega   bo’ladi.   Pr о p о rsi о nallik   k о effisi е nti   4   –   masala
shartida b е rilgan, shuningd е k  х  ning qabul qiladigan qiymatlari ham b е rilgan. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
I-O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Asarlaridan
1. O‘ zbekiston   Respublikasi   Prezidentining   2020-yil   7   maydagi   «Matematika
sohasidagi   ta’lim   sifatini   oshirish   va   ilmiy-tadqiqotlarni   rivojlantirish   chora-
tadbirlari to‘g‘risida»gi PQ-4708-sonli Qarori
2.O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining  2019  yil  8  oktyabrdagi  PF-5847-son
Farmoni   bilan   tasdiqlangan   “O‘zbekiston   Respublikasi   Oliy   ta’lim   tizimini   2030
yilgacha rivojlantirish kontseptsiyasi”
II-Asosiy Adabiyotlar
1. Toshmetov   O .,   Turgunbayev   R.,   Saydamatov   E.,   Madirimov   M.   Matematikʻ
analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b.
2. Xudayberganov   G.,   Vorisov   A.,   Mansurov   X.,   Shoimqulov   B.   Matematik
analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374  b. 
3. Xudayberganov   G.,   Vorisov   A.,   Mansurov   X.,   Shoimqulov   B.   Matematik
analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b. 
4. Turgunbayev   R.M.   Matematik   analiz   I-qism.   T.:   “Innovatsiya-ziyo”.2019-340
b.
5. Turgunbayev   R.,   Qodirov   K.,   Bakirov   T.   Matematik   analiz   (Qatorlar
nazariyasi) .T.:  “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b.
6. Turgunbayev R.,  Qodirov K., Bakirov T.  Matematik analiz  (Ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyaning   differensial   va   integral   hisobi) .   2020.   Farg ona.   “Poligraf   Super	
ʻ
Servis . 
7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 1 t: 1994 y.-	
ʻ
416 b.
8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz.   T.: «O zbekiston». 2 t . 1995
ʻ  y.-
436 b.
9.   Gaziyev   A.,   Israilov   I.,   Yaxshiba y ev   M.   “Matematik   analizdan   misol   va
masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.
10. Toshmetov   O ,   Turgunbayev   R.   Matematik   analizdan   misol   va   masalalar	
ʻ
to plami. 1-q. TDPU	
ʻ .  2006   y.-140 b.
11. Toshmetov   O ,   Turgunbayev   R.  	
ʻ Matematik   analizdan   misol   va   masalalar
t o	
ʻ plami , 2- q.  TDPU.  2010  y.-48 b.
12. Turgunbayev   R.M.,   Koshnazarov   R.A.,   Raximov   I.K.   Matematik   analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013 y. – 56	
ʻ
b. 1-chizma                    2-chizma                                3-chizma
1-chizmada qavariq va 2-chizmada botiq egri chiziqlar chizilgan.
Egri   chiziq   nuqtasining   ordinatasini   y   bilan,   shu   egri
chiziqqa  M(x
0 ,f(x
0 ))  nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning  x
ga   mos   ordinatasini   Y   bilan   belgilaylik.   Ravshanki,
agar  x
0  nuqtaning biror atrofidan olingan 
4-chizma 
barcha   x   lar   uchun   y-Y     0  ( y-Y  	 0)   tengsizlik  o‘rinli  bo‘lsa,  u holda  egri
chiziq  x=x
0  nuqtada qavariq (botiq) bo‘ladi. (3-, 4-chizmalar)
1-teorema.   Faraz   qilaylik,   f(x)   funksiya   X   oraliqda   aniqlangan   va   x
0	
 X
nuqtada   ikkinchi   tartibli   hosilasi   mavjud   bo‘lsin.   Agar   f’’(x
0 ) >0   bo‘lsa,   u   holda
funksiya grafigi   x
0   nuqtada botiq; agar   f’’(x
0 ) <0 bo‘lsa, u holda funksiya grafigi   x
0
nuqtada qavariq bo‘ladi.
Isboti.   Faraz   qilaylik   f’’(x
0 ) >0   bo‘lsin.   Quyidagicha   yordamchi   funksiya
kiritamiz:   F(x)=y-Y ,   ya’ni   F(x)=f(x)-f(x
0 )-f’(x
0 )(x-x
0 ).   Ravshanki   F(x
0 )=0,
F’(x)=f’(x)-f’(x
0 ),   F’’(x)=f’’(x)   bo‘ladi.   Bundan   F’(x
0 )=f’(x
0 )-f’(x
0 ) =0   va
F’’(x
0 )=f’’(x
0 ) >0   ekanligi   kelib   chiqadi.   Demak,   (ekstremum   mavjudligining
yetarli shartiga ko‘ra)    x
0   nuqta   F(x)   funksiyaning minimum nuqtasi bo‘ladi, ya’ni
x
0   nuqtaning   biror   atrofida   F(x)	
 F(x
0 )= 0   bo‘ladi.   F(x)=y-Y   bo‘lganligidan   y	 Y
tengsizlik   o‘rinli   bo‘ladi.   Bu   esa   x
0   nuqtaning   aytilgan   atrofida   funksiya   grafigi
urinmadan yuqorida joylashishini, ya’ni funksiya grafigi   x
0   nuqtada botiq bo‘ladi.
Teoremaning ikkinchi qismi shunga o‘xshash isbotlanadi.
Agar biror intervalda   f’’(x) >0 (   f’’(x) <0 ) bo‘lsa, u holda    y = f(x)   egri chiziq
shu intervalda botiq (qavariq) bo‘ladi. 
Misol.   Ushbu   y=x 5
  funksiya   grafigining   botiqlik,   qavariqlik   oraliqlarini
aniqlang. «Kadrlar   tayyorlash   milliy   dasturi»da   zamonaviy   pedagogik
texnologiyalarni joriy qilish va o'zlashtirish zarurligi ko'p marta takrorlanib, ularni
o'quv muassasalariga olib kirish zarurati o‘qtirilgan.
Nega   bugungi   kunga   kelib,   pedagogik   texnologiyaga   qiziqish   shunchalik
darajada   kuchaydi,   degan   mulohaza   tug'ilishi   tabiiy.   Jamiyatimizga   qanchadan-
qancha   bilimli   va   malakali   kadrlarni   etishtirib   kelgan   pedagogikaning   o'ziga   xos
uslublari   mavjud.   Pedagogik   jamoatchilikning   aksariyati   mana   shu   yo'ldan
bormoqda,   ammo   mustaqillik   va   kelajak   sari   intilayotgan   jamiyatga   bu   yo'l
kutilgan samara bilan xizmat qila olmaydi
Resublikamiz ning   birinchi   Prezidenti   Islоm   Abdug’aniyevich   Karimоv
aytganlaridek   «...mamlakatimizning   bоy   ilmiy   -   texnikaviy   salоhiyatidan   keng
fоydalangan   hоlda,   yuksak   texnоlоgiya   va   fan   yutuqlariga   asoslangan   ishlab
chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlotsоzlik, mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika
va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya
vоsitalarini tez sur’atlarda rivоjlantirish» uchun sabоq оlayotgan har bir shaxs o‘zi
o‘rgangan ta’lim mazmunini  chuqur anglashi,  qayyerda va qanday tatbiq qilishni
bilishi, hayotda esa o‘zi amaliyotga tatbiq qila оlishi kerak   Darhaqiqat, barkamоl
chuqur va atrоflicha bayon qilinishi  hamda o‘rgatilishiga alоhida ahamiyat  berish
“Milliy dastur”da ko‘zda tutilgan asosiy maqsadni  amalga оshirish bo‘yicha katta
natija beradi.  Shunday   ekan,   har   jabhada   muvaffaqiyatga   erishish,   jumladan
yuqоri malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o’rni va ahamiyati beqiyosdir.
Kurs   ishining   maqsadi:   Dars   davomida   oquvchi   va   talabalarga   mavzuni
zamonaviy pedagogik texnalogiyalar orqali tushuntirish va bu  orqali ta’lim sifatini
oshirish.
Kurs ishining ob’’ekti:   Oliy va o’rta talim muassasalarida matematikani o’qitish
jarayoni.
Kurs   ishining   predmeti :   Matematikani   o’qitishda   pedagogik
texnalogiyalar,interfaol usullardan foydalanish. qiymatiga s = 4t  f о rmuladan  k е lib chiqadigan s ning yag о na qiymati  m о s k е ladi.
D е mak, s = 4t f о rmula funksiyani if о dalaydi. 
Yana bitta mis о l qaraymiz. Agar bir pak е t sutning bah о si 216 so’m bo’lsa,  х
ta   pak е tning   y   nar х i   (so’m   bilan)   bunday   his о blanadi:   y   =   16   х .   х   ning   har   bir
qiymatiga y ning yag о na qiymati m о s k е lgani uchun y = 216  х  f о rmula funksiyani
b е radi.
Ko’rib   o’tilgan   mis о llarda   biz   to’gri   pr о p о rsi о nallik   d е b   ataluvchi
funksiyalar bilan ish ko’rdik.
Ta`rif. y = kx ko’rinishdagi f о rmula yordamida b е rilishi mumkin bo’lgan funksiya
to’gri   pr о p о rsi о nallik   d е yiladi,   bunda   х   -   erkli   o’zgaruvchi,   k   -   n о lga   t е ng
bo’lmagan haqiqiy s о n.  
y = kx f о rmulada k s о ni pr о p о rsi о nallik k о effis е nti d е yiladi; y o’zgaruvchi  esa   х
o’zgaruvchiga pr о p о rsi о nal d е yiladi.
y = kx funksiyaning aniqlanish s о hasi haqiqiy s о nlar to’plami bo’ladi.
To’gri   pr о p о rsi о nallik   y   =   kx   +   b   chiziqli   funksiyaning   b   =   0   bo’lgandagi
hususiy h о lidir.  Shuning uchun:
1)  To’gri   pr о p о rsi о nallikning   grafigi   k оо rdinatalar   b о shidan   o’tuvchi   to’gri
chiziq bo’ladi; (18-rasm)
2)  k > 0 bo’lganda y = kx funksiya o’zini butun aniqalnish s о hasida o’sadi (18-
rasm), k < 0 bo’lganda kamayadi. (19-rasm)  Yechi li sh i .   Funksiyaning   ikkinchi   tartibli   hosilasini   topamiz:   y’’=20x 3
.
Bundan,   agar   x>0   bo‘lsa,     y’’>0,     agar   x<0   bo‘lsa   y’’<0   bo‘ladi.   Demak,   (-  ;0)
oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+  ) oraliqda esa botiq bo‘ladi.
2-§.Funksiyani  to‘la tekshirish va grafigini yasash
Funksiyaning   xossalarini     tekshirish   va   uning     grafigini   yasashda
q uyidagilarni bajarish ma q sadga muvofi q :
1) Funksiyaning aniqlanish sohasi va uzilish nuqtalari topiladi; funksiyaning
chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari (yoki unga mos limitlari) hisoblanadi.
2) Funksiyaning toq-juftligi, davriyligi tekshiriladi.
3) Funksiyaning nollari va ishora turg‘unlik oraliqlari aniqlanadi.
4) Asimptotalar topiladi.
5) Funksiya   ekstremumga   tekshiriladi,   uning   monotonlik   oraliqlari
aniqlaniladi.
6) Funksiya   grafigining   burilish   nuqtalari,   qavariqlik   va   botiqlik   oraliqlari
topiladi.
Misollar
1.  y=x(x 2
-1)  funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi . 1)  aniqlanish sohasi  - haqiqiy sonlar to‘plami. Uzilish nuqtalari
yo‘q. Funksiyaning chegaraviy qiymatlari: lim
x→+∞ x(x 2
-1)=+	 ;   	
lim
x→−∞ x(x 2
-1)=-	 ;
2) funksiya davriy emas, toq funksiya
3) funksiyaning uchta noli bor:  x =0;  x =-1;  x =1. Ushbu  x(x 2
-1)> 0 tengsizlikni
yechamiz, uning yechimi (-1,0)  (1,+  ) t o‘plamdan iborat. 
Demak,   funksiya   (-1,0)  (1,+  )   to‘plamda   musbat   va   (-  ,-1)  (0,1)
to‘plamda manfiy qiymatlar qabul qiladi.
4)   og‘ma   asimptotaning   burchak   koeffitsientini   topamiz:   k =	
lim
x→∞	
y
x =   =	lim
x→∞
( x 2
-1)=  . Demak, og‘ma asimptota mavjud emas. Vertikal asimtotalar ham mavjud
emas (chunki, uzilish nuqtalari yo‘q).                   Birinchi   tartibli   hosila    
v a   da   mavjud   emas   va    
d a     nolga   teng.   Bu   nuqtalar   berilgan
funksiyaning   aniqlanish   sohasini
to‘rtta   int
er vallarga   ajratadi.   Hosilaning   bu
intervallardagi   va   ha r   bir   birinchi   tur
kritik   nuqtadan   chapdan   o‘ngga
o‘tishdagi   ishoralarini
chizmada     belgilaymiz:
                         
  Demak,   funksiy a     intervalda
o‘sadi va     intervalda kamayadi.     maksimum nuqta,   .
                  Funksiyaning qavariqlik va botiq-lik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini
aniqlaymiz.
              Ikkinchi tartibli hosila     va   nuqtalarda mavjud emas.
  hosilanin
g  
  intervallardagi   va   har   bir   ikkinchi   tur
kritik     nuqtalardan   chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz:      
              Demak,   funksiyaning     grafigi     intervalda   qavariq,     va    
intervallarda botiq bo‘ladi. Funksiya grafigining egilish nuqtasi yo‘q.
        bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (17-shakl).
2.         funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz. .
Demak ,     to‘g‘ri   chiziq   vertikal   asimptota .
,    
,    
Bundan   . Demak,     to‘g‘ri chiziq   og‘ma asimptota.
5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini   chizishning     umumiy sxemasi  
Funksiyani   tekshirish   va   grafigini   chizish   ma’lum   tartibda   (sxema   asosida)
bajariladi. Shunday sxemalardan birini keltiramiz.
                Funksiyaning aniqlanish sohasini topish.
                Funksiya   grafigining   koordinata   o‘qlari   bilan   kesishadigan   nuqtalarini
(agar ular mavjud bo‘lsa) aniqlash.
                Funksiyaning     ishorasi o‘zgarmaydigan oraliqlarni ( yoki    
  bo‘ladigan oraliqlarni) aniqlash.
                Funksiyaning juft - toqligini tekshirish.
                  Funksiya grafigining asimptotalarini topish.
                    Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlash va ekstremumlarini topish.
                Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini 
aniqlash.
                      bandlardagi tekshirishlar asosida funksiyaning grafigi chiziladi.
                Keltirilgan   sxemaning   hamma   bandlari   albatta   bajarilishi   shart   emas.
Soddaroq   hollarda   keltirilgan   bandlardan   ayrimlarini,   masalan   ni   bajarish
etarli   bo‘ladi.   Agar   funksiya   grafigi   juda   tushunarli   bo‘lmasa       bandlardan
keyin   funksiyaning   davriyligini   tekshirish,   funksiyaning   bir   nechta   qo‘shmcha
nuqtalarini       topish       va       funksiyaning     boshqa     xususiyatlarini       aniqlash       bo‘yicha lim
x→−1−0f(x)=	
lim
x→−1−0 (x+ln(x 2
-1))=-	 ;    	
lim
x→1+0
 f(x)=	
lim
x→1+0 (x+ln(x 2
-1))=-	 .
Demak, funksiya grafigi ikkita  x =-1 va  x =1 vertikal asimptotalarga ega.
2) funksiya toq ham, juft ham, davriy ham emas.                           
3)  funksiya  (-  ,-1)  intervalda manfiy, (1,+  ) intervalda yagona  noli  mavjud, uni
topish   uchun   taqribiy   hisoblash   metodlaridan   foydalaniladi,   natijada   x
0  1,15
ekanligini   aniqlashimiz   mumkin.   Demak,   funksiya   (1;1,15)   intervalda   manfiy,
(1,15, +  ) oraliqda musbat.
4) Og‘ma asimptotalarini izlaymiz:     k =	
lim
x→±∞	
y
x =	
lim
x→±∞ (1+	
ln	(x2−	1)	
x )=1,
b=	
lim
x→±∞  ( y-kx )= 	
lim
x→±∞  ln(x 2
- 1)=+  , demak  og‘ma asimptota mavjud emas.
5) Funksiya hosilasi   y’=1+2x/(x 2
-1)  funksiyaning aniqlanish sohasida mavjud, shu
sababli   uning   kritik   nuqtalari   faqat   statsionar   nuqtalardan   iborat   bo‘ladi.   Bunda
y’ =0 tenglama yechimlari   x
1 =-1-	
√2   va   x
2 =-1+	√2   bo‘lib,   x
2 =-1+	√2   funksiyaning
aniqlanish sohasiga tegishli emas.                                            
Shunday   qilib,   yagona   kritik   nuqta   mavjud   va   (-  ;-1)   oraliqqa   tegishli.
(1;+  ) oraliqda   y’ >0 va funksiya  o‘suvchi  bo‘ladi.   x
1 =-1-	
√2   nuqtada maksimum
mavjud. Uning ordinatasi  f (-1-	
√2 )=-1-	√2 + ln( 2+2	√2 )   -0,84 ga teng.
6)  Ikkinchi tartibli  hosilani  topamiz:   y’’ =-	
2(x2+1)	
(x2−	1)2 . Bundan   y’’ <0, demak
grafik qavariq. Funksiya grafigi 8-chizmada berilgan.
3-§.Funksiya grafigining botiqligi   qavariqligi va egilish nuqtalari       funksiya     intervalda   differensiallanuvchi   bo‘lsin.   U
holda     funksiya   grafigining   ,     nuqtada   urinmasi
mavjud bo‘ladi.
             
                2-ta’rif .   Agar     intervalning   istalgan   nuqtasida     funksiya
grafigi     unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi    
intervalda   botiq   ( qavariq ) deyiladi.
                  Funksiya grafigining     botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi      
nuqta     funksiya grafigining   egilish nuqtasi     deb ataladi (14-shakl).
                  5-teorema .     Agar     funksiya     intervalda   ikkinchi   tartibli
hosilaga   ega   va   da     bo‘lsa,     u   holda        
funksiya grafigi     intervalda     qavariq (botiq) bo‘ladi.
                  Isboti.   da     bo‘lsin.   Funksiya   grafigida    
abssissali ixtiyoriy   nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan
pastda   yotishini   ko‘rsatamiz.   Buning   uchun     nuqtada       egri
chiziqning     ordinatasi bilan urinmaning     ordinatasini solishtiramiz. Funksiyaning uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya toq ham, juft ham emas, davriy ham emas.
3) funksiyaning nollari yo‘q, 
4) Og‘ma asimptotalari yo‘q, chunki aniqlanish  6-chizma                             
7-chizmasohasi kesmadan iborat.
5)   Hosilasini   topamiz:    y'=	√4−	x−	√x	
2√x⋅√4−	x .Hosilani   nolga   tenglashtirib,   kritik
(statsionar)   nuqtanitopamiz:   x =2.   40-chizmadagi   sxemani   chizamiz.   Bundan
funksiya   (0,2)   intervalda   o‘suvchi,   (2,4)   intervalda   kamayuvchi,   x =2   nuqtada
funksiya maksimumga erishishi kelib chiqadi. Maksimum nuqtasining 
   ordinatasi  y
max =2	
√2 .
6)   Ikkinchi   tartibli   hosilani   topamiz:  	
y''=	−	1
4
⋅(4−	x)3/2+	x3/2	
x3/2(4−	x)3/2 .   (0,4)
intervalda   ikkinchi   tartibli   hosila   manfiy,   demak   bu   intervalda   funksiya   grafigi
qavariq bo‘ladi.
                 Funksiya grafigi 5–chizmada chizilgan. Shuni aytib o‘tish kerakki,  	
lim
x→0+
y=+	∞ ,	
lim
x→4−0
y=	−	∞
  bo‘lganligi   sababli,   funksiya   grafigi   (0,2)   nuqtada   ordinatalar
o‘qiga, (4,2) nuqtada  x =4 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.
3.  y=x x
. funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi . Avval funksiyani quyidagicha yozib olamiz:  y=x x
=e xlnx
. 1)   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   musbat   sonlar   to‘plami.
Chegaraviy qiymatlari: lim
x→0+ e xlnx
=1, 	
lim
x→+∞ e xlnx
=+  . Uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya juft ham, toq ham, davriy ham emas.
3) Funksiyaning nollari mavjud emas.
4)   Og‘ma   asimptotasini   izlaymiz:   k =	
lim
x→+∞	
exlnx	
x =+  ,   demak   og‘ma
asimptota yo‘q.
5)   Hosilasini   topamiz:   y’=x x
(lnx+1).y’ =0   tenglamadan   x=e -1
 0,367.
funksiya (0,1/e) intervalda kamayuvchi, (1/e,+  ) intervalda 
o‘suvchi   bo‘ladi.   x=e -1
  nuqtada   funksiya   minimumga   ega,   uning   ordinatasi
y
min =0,692 .
6)   Ikkinchi   tartibli   hosilani   topamiz:   y’’=x x
((lnx+1) 2
+1/x).   Ikkinchi   tartibli
hosila (0,+  ) intervalda musbat, demak funksiya bu intervalda botiq.
Funksiyaning  x =0 nuqta atrofida tekshiramiz.   	
limx→0+
y’=	limx→0+ x x
(lnx+1)=-	 ,   bundan   funksiya   grafigi   (0,1)   nuqtada   ordinatalar
o‘qiga urinishi kelib chiqadi.
Funksiya grafigi 7–chizmada berilgan.                            8 - chizma
4.  f(x)=x+ln(x 2
-1)  funksiyani to‘la tekshiring va grafigini chizing.
Yechish .   1)   Funksiya   x 2
- 1>0,   ya’ni               (-  ;-1)   va   (1;+  )   oraliqlarda
aniqlangan va uzluksiz. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini izlaymiz:               Urinma tenglamasini tuzamiz:
 
    yoki        
U holda
                Lagranj   teoremasiga   ko‘ra       bu   yerda    
bilan   ning orasida yotadi. Shu sababli
  yoki     .
  ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz:
  bu yerda     bilan   ning orasida yotadi.
Demak,  
 
Bu tengsizlikni tekshiramiz:
1) agar     bo‘lsa, u holda     bo‘ladi va   . 
Bundan     yoki     ;
2) agar     bo‘lsa, u holda     bo‘ladi va   . 
Bundan     yoki     . U   holda     5-teoremaga   ko‘ra   nuqtadan   chapda   funksiya   grafigi   botiq   va   o‘ngda
qavariq   bo‘ladi.   Demak,     nuqta   funksiya   grafigining   egilish   nuqtasi
bo‘ladi.  
                da     va     da       bo‘lgan   hol
uchun teorema shu kabi isbotlanadi.
             
                Bu   teorema       funksiya     nuqtaning   biror     atrofida     ikkinchi
tartibli   hosilaga   ega   bo‘lib,         nuqtada       mavjud   bo‘lmasa   ham   o‘rinli
bo‘ladi.     Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli     hosila     nolga     teng     bo‘lgan
yoki uzilishga ega bo‘lgan     nuqtalar,     ya’ni     ikkinchi     tur     kritik     nuqtalar     orasidan
izlash kerak.            
                Misol
                    funksiya       grafigini     botiq va     qavariqlikka tekshiramiz.
         
Ikkinchi   tartibli   hosila   nuqtalarda   nolga   teng   va   mavjud
emas.      
                hosilaning     bu
nuqtalardan   chapdan   o‘ngga   o‘tishdagi
ishoralarini tekshiramiz:        
Demak, funksiyaning     grafigi     va   intervallarda qavariq,    
va   intervallarda botiq
bo‘ladi.       nuqta     funksiya     grafigining     egilish     nuqtasi     bo‘ladi.
4-§. Funksiya       grafigining       asimptotalari Shunday   ekan   biz   bo`lajak   pedagoglar   o`qituvchilik   sharafliligi   bilan   bir   qatorda
ma`suliyatli   kasb   ekanligini   unutmagan   holda,vaqtimiz,imkonimiz   borida   o`qib
o`rganib olishimiz kerak.
Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli
foydalanib,bularga   javoban-yetuk   mutaxassis   kadr   bo`lib   yetishishimiz   va
vatanimiz ravnaqiga o`z hissamizni qo`shishimiz kerak.
          Zero,kelajak  bizning qo`limizda,olg`a studentlar!    O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI 
OLIY  TA’LIM, FAN  VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
__UNIVERSITETI
Ro’yxatga olindi №__________                          Ro’yxatga olindi №__________
“_____” ____________20   y.                             “_____” ____________20   y.
“___________________________ “ KAFEDRASI
“_____________________________ “ FANIDAN
KURS ISHI 
Mavzu:________________ 
Bajardi:_________________________________
Tekshirdi:_______________________________
______________ - 20___
Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish
Mundarija ,          
bo‘lishi zarur va etarli.
            Isboti.   Zarurligi.     funksiya   grafigi     og‘ma   asimptotaga   ega
bo‘lsin.   U   holda   og‘ma   asiimptotaning   ta‘rifiga   ko‘ra    
  bo‘ladi. Bundan
,    
ke lib   с hiqadi.
Etarliligi.   ,     bo‘lsin.  
              U holda     dan    
ke lib   с hiqadi.   Demak,   da     bo‘ladi.     Bu esa    
to‘g‘ri   chiziq       funksiya   grafigining   asimptotasi ekanini bildiradi .
Agar   ,     limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi     mavjud
bo‘lmasa   yoki   cheksiz   bo‘lsa,     funksiya   grafigi   og‘ma   asimptotaga   ega
bo‘lmaydi.
                Agarr     bo‘lsa,     bo‘ladi.   Bunda    
to‘g‘ri   chiziqqa       funksiya   grafigining   gorizontal   asimptotasi   deyiladi .
Izoh.     funksiya   grafigining   asimptotalari     da   va   da
har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli   ,     limitlarni
aniqlashda     va     hollarini alohida qarash lozim.
                  Misol
                        funksiya   grafigining   asimptotalarini   topamiz.

Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish

Asosiy qism

1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.

2-§.Funksiyani  to‘la tekshirish va grafigini yasash

3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari

4-§.Funksiya   grafigining   asimptotalari

5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning  umumiy sxemasi 

6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar.

Xulosa