Funksiyani to‘la tekshirish 26 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	869.9KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Funksiyani to‘la tekshirish 26

Sotib olish

“ Matematik analiz” fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Funkiyani to‘la tekshirish

Farg‘ona-2026
Mundarija

KIRISH .....................................................................................................................3
I- BOB. FUNKSIYANI TO‘LA TEKSHIRISHNING NAZARIY ASOSLARI
1 . 1- § . Funksiyaning uzluksizligi, aniqlanish sohasi va monotonlik
oraliqlari…………………………………………………………………..……..…5
1 . 2- § . Funksiya ekstremumlarini hosilalar yordamida
aniqlash……………………………………………………….………………...…11
1.3 - § . Egilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik oraliqlari…………………………15
1.4- § . Funksiya grafigining asimptotalari (vertikal, gorizontal va og‘ma)……….17
II- BOB. FUNKSIYANI TO‘LA TEKSHIRISH ALGORITMI VA
VIZUALLASHTIRISH
2.1- § . Funksiyani to‘la tekshirishning umumiy sxemasi va bosqichlari………….21
2.2- § . Murakkab funksiyalarni tekshirish va grafiklarini chizishga doir misollar..27
XULOSA…………………………………………………………………………33
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………………..35
2

KIRISH
Matematika fanining muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan matematik analiz
zamonaviy ilm-fan, texnika, iqtisodiyot hamda axborot texnologiyalarining nazariy
asosini tashkil etadi. Ayniqsa, funksiyalar va ularni tadqiq qilish masalalari
matematik analizning markaziy tushunchalaridan biri hisoblanadi. Funksiyani to‘la
tekshirish mavzusi esa funksiyaning barcha asosiy xossalarini chuqur o‘rganish,
uning grafik ko‘rinishini tahlil qilish hamda amaliy masalalarni yechishda muhim
ahamiyat kasb etadi. Funksiyani to‘la tekshirish orqali funksiyaning aniqlanish
sohasi, qiymatlar sohasi, juft yoki toqligi, davriyligi, monotonlik oraliqlari,
ekstremum nuqtalari, qavariqligi, botiqligi, asimptotalari hamda grafik chizish
elementlari aniqlanadi. Bu esa matematik tafakkurni rivojlantirish, analitik
fikrlashni shakllantirish va murakkab jarayonlarni modellashtirishda katta
imkoniyat yaratadi.
Bugungi kunda ishlab chiqarish, iqtisodiyot, muhandislik, dasturlash va
tabiiy fanlarda turli funksional bog‘lanishlardan keng foydalanilmoqda. Shu
sababli funksiyalarni chuqur tahlil qilish va ularni grafik jihatdan tasvirlay olish
ko‘nikmasi har bir mutaxassis uchun zarur hisoblanadi. Funksiyani to‘la tekshirish
mavzusi o‘quvchilarning va talablarning nazariy bilimlarini mustahkamlash bilan
birga, ularning amaliy masalalarni mustaqil yechish qobiliyatini ham rivojlantiradi.
Ayniqsa, hosila yordamida funksiyani tekshirish usullari zamonaviy matematik
analizning asosiy vositalaridan biri sifatida katta ahamiyatga ega.
Mazkur mavzuning dolzarbligi shundaki, funksiyalarni to‘liq tekshirish
usullari nafaqat matematik masalalarni yechishda, balki real hayotdagi iqtisodiy,
fizik va texnik jarayonlarni tahlil qilishda ham keng qo‘llaniladi. Masalan,
iqtisodiyotda foyda va xarajat funksiyalarini tahlil qilish, fizikada harakat
jarayonlarini o‘rganish, texnikada turli parametrlarning o‘zgarishini kuzatish
funksiyalar yordamida amalga oshiriladi. Shuningdek, axborot texnologiyalarida
algoritmlar samaradorligini baholash va sun’iy intellekt modellarini yaratishda
ham matematik funksiyalar muhim o‘rin tutadi.
3

Funksiyani to‘la tekshirish mavzusi matematik analiz kursining asosiy
bo‘limlaridan biri bo‘lib, ushbu mavzu ko‘plab olimlar tomonidan o‘rganilgan.
Jumladan, Isaac Newton va Gottfried Wilhelm Leibniz hosila va differensial hisob
nazariyasiga asos solgan bo‘lsalar, keyinchalik Leonhard Euler, Augustin Louis
Cauchy va boshqa olimlar funksiyalar nazariyasini rivojlantirishga katta hissa
qo‘shganlar. Ularning ilmiy ishlari funksiyalarni tadqiq qilish metodlarini
shakllantirishda muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi.
Kurs ishining maqsadi funksiyani to‘la tekshirishning nazariy asoslarini
o‘rganish, funksiyalarni tadqiq qilish usullarini tahlil qilish hamda turli misollar
yordamida funksiyalarni tekshirish ko‘nikmalarini shakllantirishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari quyidagilardan iborat:
 funksiyaning asosiy tushunchalari va xossalarini o‘rganish;
 funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasini aniqlash;
 funksiyaning juft, toq va davriy xossalarini tahlil qilish;
 hosila yordamida funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini aniqlash;
 ekstremum nuqtalarini topish;
 ikkinchi hosila yordamida funksiyaning qavariqligi va botiqligini
tekshirish;
 asimptotalarni aniqlash va grafik chizish usullarini o‘rganish;
 funksiyani to‘la tekshirishga oid amaliy misollarni yechish.
Kurs ishining obyekti matematik analiz fanidagi funksiyalar va ularning
xossalari hisoblanadi.
Kurs ishining predmeti funksiyalarni to‘la tekshirish usullari, hosila
yordamida funksiyalarni tahlil qilish metodlari hamda grafiklarni qurish
jarayonidan iborat.
Kurs ishining tuzilishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib, asosiy qism bir necha bob va paragraflarni
o‘z ichiga oladi.
4

I BOB. FUNKSIYANI TO‘LA TEKSHIRISHNING NAZARIY
ASOSLARI
1 . 1- § . Funksiyaning uzluksizligi, aniqlanish sohasi va monotonlik
oraliqlari
Funksiyani to‘la tekshirish matematikaning eng muhim amaliy sohalaridan
biri bo‘lib, u differentsial hisobning asosiy usullarini sistemali tarzda qo‘llashni o‘z
ichiga oladi. Ushbu usul yordamida funksiyaning xossalarini-uzluksizligi,
monotonligi, ekstremumlar, qavariqlik va botiqlik oraliqlari, egilish nuqtalari
hamda asimptotalarini - to‘la aniqlash mumkin. Natijada funksiya grafigini aniq
chizish va uning xatti-harakatini to‘liq tasavvur qilish imkoni yaratiladi.
To‘la tekshirishning maqsadi shunchaki grafik yasash emas —
funksiyaning analitik va geometrik xossalari o‘rtasidagi chuqur bog‘liqlikni
tushunish, differentsial va integral hisob metodlarini birgalikda qo‘llash malakasini
shakllantirish hamda muhandislik, iqtisodiyot va fizikadagi amaliy masalalarni
yechishga tayyorlashdan iborat.
1-jadval. Funksiyani to‘la tekshirish bosqichlari va f(x) = x³ − 3x uchun
namuna
№ Tekshirish
bosqichi Asosiy amallar va tahlil Natija ( f(x)=x³−3x
uchun)
1 Aniqlanish
sohasi D(f) f(x) aniqlanmaydigan
nuqtalarni topish: maxraj
nolga teng bo‘lganda,
logarifm tagidagi ifoda
manfiy yoki nolga teng
bo‘lganda, ildiz tagida
manfiy son bo‘lganda D(f)= =(−∞;+∞) ℝ barcha
haqiqiy sonlar
2 Toq-juft
funksiya,
davriylik f(−x)=f(x) bo'lsa juft ( y o‘qi
simmetriyasi); f(−x)=−f(x)
bo‘lsa toq (koordinatalar
boshi simmetriyasi); T -davri f(−x)=−x³+3x=−f(x) toq
funksiya; koordinatalar
boshiga nisbatan
5

tekshiriladi simmetrik
3 Uzluksizlik va
uzilish nuqtalari D(f) ichida uzilish
nuqtalarini aniqlash: chiqib
ketuvchi uzilish, o
O‘chiriladigan uzilish;
cheksizlikka intilish f(x)=x³−3x hamma
joyda uzluksiz; uzilish
nuqtalari yo‘q
4 Nollar va
ishoralar
sxemasi f(x)=0 tenglamani yechib,
funksiya nollarini topish;
qo‘shni oraliqlarda f(x)
ishorasini aniqlash x=0; x=√3≈1.73;
x=−√3≈−1.73; funksiya
grafigi Ox ni uch nuqtada
kesadi
5 Monotonlik
( f '(x) tahlili) f'(x)>0 bo'lganda f o‘sadi;
f'(x)<0 bo‘lganda f
kamayadi; f'(x)=0 kritik
nuqtalar f'(x)=3x²−3=0 x=±1 ;
(−∞,−1) o‘sadi; (−1,1)
kamayadi; (1,+∞) o‘sadi
6 Ekstremumlаr
(max-min) f'(x )=0₀ va f'(x) ishorasi
o‘zgarganda: + → − bo‘lsa,
maksimum; − → + bo‘lsa,
minimum x=−1: maksimum,
f(−1)=2; x=1: minimum,
f(1)=−2
7 Qavariqlik va
botiqlik (f ''(x)) f''(x)<0 bo‘lganda grafik
qavariq (yuqoriga); f''(x)>0
bo‘lganda grafik botiq
(pastga); f''(x )=0
₀ egilish
nuqtasi bo‘lishi mumkin f''(x)=6x; x<0 qavariq;
x>0 botiq; x=0 egilish
nuqtasi
8 Asimptotalar Vertikal: x→a da f(x)→±∞;
Gorizontal: x→±∞ da
f(x)→b; Og‘ma: f(x)=kx+b Vertikal va gorizontal
asimptotalar yo‘q; og‘ma
asimptota y=x

Manba: muallif tomonidan differentsial hisobning standart algoritmi
asosida tuzilgan.
6

Funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) - bu f(x) ifodasi ma’noga ega bo‘lgan
barcha x qiymatlarining to‘plami. To‘la tekshirishning birinchi va eng muhim
qadami ana shu sohani aniqlashdir, chunki keyingi barcha hisob-kitoblar shu soha
ichida amalga oshiriladi. Aniqlanish sohasi turli cheklovlar sababli bir necha
interval yoki nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘lishi mumkin.
Aniqlanish sohasini aniqlovchi asosiy cheklovlar:
Algebraik funksiyalar: Maxraj nolga teng bo‘lmasligi shart. Masalan, uchun

x≠±2 , ya’ni D(f) = (−∞;−2) ∪ (−2;2) ∪ (2;+∞)
Irratsional funksiyalar: Toq darajali ildiz uchun cheklov yo‘q; juft darajali ildiz
uchun ildiz ostidagi ifoda manfiy bo‘lmasligi kerak: D(f) = [−2;
2]
Logarifmik funksiyalar: uchun g(x) > 0 bo‘lishi shart. f(x) = ln(x−1),
D(f) = (1; +∞)
Trigonometrik funksiyalar: tg(x) uchun , (n
∈ ); ctg(x) ℤ uchun x ≠ πn
Murakkab funksiyalar: barcha cheklovlarning kesishmasini topish zarur.
Uzluksizlik deganda funksiyaning berilgan nuqtada yoki oraliqdagi
cheklovsiz, uzilmasdan o‘zgarishi tushuniladi.
Formal ta’rif: f(x) x
₀ nuqtada uzluksiz deyiladi, agar:

ya’ni chap va o‘ng limitlar mavjud, teng va funksiyaning o‘sha nuqtadagi
qiymatiga teng bo‘lsa. Bu uch shartning birortasi bajarilmasa, uzilish hosil bo‘ladi.
Uzilish turlari:
I tur uzilish (o‘chiriladigan): chap va o‘ng limitlar teng, lekin funksiya
qiymati boshqacha yoki aniqlanmagan: , x =0
₀
I tur uzilish (sakrash): chap va o‘ng limitlar mavjud, lekin teng emas:
f(x) = sin(x), x =0
₀
7

II tur uzilish: kamida bitta bir tomonlama limit yo‘q yoki cheksiz:
, x =0₀
Monotonlik xossasi funksiya qiymatlarining argumentga qarab qanday
o‘zgarishini tavsiflovchi eng muhim xossalardan biridir. Differentsial hisobda
monotonlikni birinchi hosila yordamida aniq tarzda tahlil qilish mumkin.
1-ta’rif : f(x) [a;b] oraliqdagi har qanday x < x
₁ ₂ uchun f(x ) < f(x ) ₁ ₂
bajarilsa, funksiya ushbu oraliqdagi o‘suvchi (monoton o‘suvchi) deyiladi. Agar
f(x ) > f(x )
₁ ₂ bo‘lsa - kamayuvchi deyiladi.
Monotonlik teoremasi (Lagranjning o‘rtacha qiymat teoremasidan kelib
chiqadi): agar f(x) (a;b) da differentsiallanuvchi bo‘lsa va:
∀
x ∈ (a;b): f '(x) > 0 ⟹ f(x) (a;b) da o‘suvchi
∀
x ∈ (a;b): f '(x) < 0 ⟹ f(x) (a;b) da kamayuvchi
∀
x ∈ (a;b): f '(x) = 0 ⟹ f(x) = const (o‘zgarmas)
Monotonlik oraliqlari uchun amaliy algoritm:
1. f'(x) hosilasini hisoblash;
2. f'(x) = 0 tenglamani yechib, kritik nuqtalarni topish;
3. f'(x) aniqlanmaydigan nuqtalarni aniqlash;
4. Yuqoridagi nuqtalar yordamida son o‘qini oraliqlarga ajratish;
5. Har bir oraliqdagi bitta nuqtada f'(x) ishorasini tekshirish;
6. Jadval ko‘rinishida natijalarni yozish.
Misol: f(x) = x³ − 3x uchun monotonlik tahlili
f '(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x−1)(x+1)
f '(x) = 0 → x = −1 va x = 1
x = −2 da f'(−2) = 3·4 − 3 = 9 > 0 → (−∞; −1) da o‘sadi;
x = 0 da f '(0) = −3 < 0 → (−1; 1) da kamayadi;
x = 2 da f '(2) = 9 > 0 → (1; +∞) da o‘sadi
Matematik analizning fundamental asoslarini o‘rganishda funksiya
tushunchasi markaziy o‘rinni egallaydi. Ayniqsa, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarni
tadqiq etishda ularning geometrik va analitik xossalarini tushunish ekstremum
masalalarini yechishda poydevor bo‘lib xizmat qiladi. Matematik analizning asosiy
8

tushunchalaridan biri bo‘lgan funksiya tushunchasi o‘zgaruvchi miqdorlar
orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Kurs ishining ushbu qismida funksiyaning eng
muhim xarakteristikalari - aniqlanish sohasi, uzluksizligi va monotonlik
oraliqlarini tahlil qilamiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasi ( D ( f )
)
Agar n o‘lchovli Rn fazosidagi har bir P ( x
1 , x
2 , x
3 , ... , x
n )
nuqtaga biror
qonuniyatga ko‘ra aniq bir haqiqiy u soni mos qo‘yilgan bo‘lsa,
D ⊂ R n
to‘plamda n
o‘zgaruvchili funksiya berilgan deyiladi.
Funksiyaning aniqlanish sohasi deb, argument
x qabul qilishi mumkin
bo‘lgan barcha qiymatlar to‘plamiga aytiladi. Agar funksiya y = f
( x )
ko‘rinishida
berilgan bo‘lsa, u holda f ( x )
ifoda ma’noga ega bo‘ladigan
x larning to‘plami
uning aniqlanish sohasi hisoblanadi.
2-ta’rif: y = f
( x )
funksiyaning ma’noga ega bo‘lishini ta’minlaydigan
argument
x
ning barcha qiymatlari to‘plamiga aniqlanish sohasi deyiladi va D ( f )
kabi belgilanadi.
Ratsional kasr funksiyalar: Maxraj nolga teng bo‘lmagan barcha
nuqtalar.
Irrasional funksiyalar: Juft darajali ildiz ostidagi ifoda g ( x
1 , ... , x
n ) ≥ 0
bo‘lishi shart.
Logarifmik funksiyalar: Argument qat’iy musbat g ( x
1 , ... , x
n ) > 0
bo‘lishi
talab etiladi.
Sohaning geometrik talqini muhim. Masalan, ikki o‘zgaruvchili z = f(x, y)
funksiya uchun aniqlanish sohasi tekislikdagi biror shaklni (doira, ellipis yoki
yarim tekislik) ifodalaydi. Bu soha ochiq (chegarasiz) yoki yopiq (chegarasi bilan
birga) bo‘lishi mumkin.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar (masalan, z = f(x, y)) uchun aniqlanish
sohasi Oxy tekisligidagi nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Analitik tahlil: Masalan, z = ln ( y − x 2
)
funksiyasi uchun
y− x2>0 sharti
bajarilishi kerak. Bu esa tekislikda parabola bilan chegaralangan sohani ifodalaydi.
9

Geometrik talqin: Aniqlanish sohasi ochiq yoki yopiq, chegaralangan
yoki chegaralanmagan bo‘lishi mumkin. Bu xususiyatlar keyinchalik
ekstremumlarni topishda muhim ahamiyatga ega.
Funksiyaning uzluksizligi va limit tushunchasi
Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi uning limitining mavjudligi bilan
chambarchas bog‘liq .Uzluksizlik tushunchasi funksiya grafigining yaxlitligini
ifodalaydi. Buni aniq ta’riflash uchun limit tushunchasidan foydalanamiz.
3- ta’rif: (Koshi ta’rifi) Agar ixtiyoriy ε > 0
son uchun shunday δ>0 son
topilsaki,
0<ρ(P,P0)<δ shartni qanoatlantiruvchi barcha P nuqtalar uchun
|f(P)− A|<ε
tengsizlik bajarilsa, A soni f(P) funksiyaning P
0 nuqtadagi limiti
deyiladi.
4-ta’rif: ( Geyne bo‘yicha) Agar A to‘plamdan olingan va
x0 ga intiluvchi
ixtiyoriy { x
n }
ketma-ketlik uchun unga mos keluvchi funksiya qiymatlari ketma-
ketligi
{f(xn)} har doim f(x0) ga intilsa, funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar
P0 nuqtada funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, u funksiyaning shu
nuqtadagi qiymatiga teng bo‘lsa, ya’ni:

limP→P0
f(P)= f(P0)
(1.1.1)
5-ta’rif : (Koshi bo‘yicha) Agar ixtiyoriy
ε>0 son uchun shunday δ>0 son
topilsaki, |
| x − x
0 | < δ
shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun | f ( x ) − f ( x
0 ) | < ε
tengsizlik bajarilsa, funksiya
x0 nuqtada uzluksizdir .
Uzluksiz funksiyalarning xossalari:
1. Ikki uzluksiz funksiyaning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasi (maxraj
nol bo‘lmaganda) ham uzluksizdir.
2. Veyershtrassning 1-teoremasi: Agar funksiya yopiq kesmada uzluksiz
bo‘lsa, u shu kesmada chegaralangan bo‘ladi.
3. Veyershtrassning 2-teoremasi: Yopiq kesmada uzluksiz bo‘lgan
funksiya shu kesmada o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
Funksiyaning monotonlik oraliqlari
10

Bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun monotonlik (o‘sish va kamayish)
tushunchasi argumentning o‘zgarishi bilan funksiya qiymatining bir yo‘nalishda
o‘zgarishini anglatadi. Funksiyaning monotonligi uning o‘zgarish xarakterini
(o‘sish yoki kamayishini) belgilaydi.
6- t a’rif: Biror (a, b) oraliqdagi ixtiyoriy x1 va x2 nuqtalar uchun:
x
1 < x
2 ⇒ f ( x
1 ) < f ( x
2 )
bo‘lsa – qat’iy o‘suvchi;
x
1 < x
2 ⇒ f ( x
1 ) > f ( x
2 )
bo‘lsa – qat’iy kamayuvchi funksiya deyiladi.
Differensiallanuvchi funksiyaning monotonlik shartlari:
Zaruriy shart: (a, b) oraliqda o‘suvchi funksiyaning hosilasi shu oraliqda
manfiy bo‘lmaydi, ya’ni f ' ( x ) ≥ 0.
Yetarli shart: Agar oraliqning ichki nuqtalarida f '
(
x ) > 0
bo‘lsa, funksiya
shu oraliqda qat’iy o‘suvchidir.
Differensial hisob yordamida tadqiq qilish
Amaliyotda monotonlik oraliqlarini topish uchun birinchi tartibli hosila ishlatiladi:
Agar f '
(
x ) > 0
bo‘lsa, funksiya o‘suvchi.
Agar f ' ( x ) < 0
bo‘lsa, funksiya kamayuvchi.
Agar f ' ( x ) = 0
bo‘lsa bu nuqtalar statsionar nuqtalar bo‘lib, ular orqali
monotonlik oraliqlari chegaralanadi.
Xulosa qilib aytganda, funksiyaning aniqlanish sohasi uning mavjudlik
chegarasini, uzluksizligi uning tahliliy barqarorligini, monotonlik oraliqlari esa
uning dinamikasini tavsiflaydi. Ushbu uchta element funksiyaning to‘liq
tadqiqotini o‘tkazish va ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun poydevor
hisoblanadi.
1 . 2- § . Funksiya ekstremumlarini hosilalar yordamida aniqlash
Nima uchun aynan hosila? Biz narsalarning o‘zini emas, ularning
o‘zgarishini o‘rganish orqali haqiqatga yaqinlashamiz. Hosila — bu o‘zgarish
tezligi. Funksiya ekstremumlarini topish esa, shu o‘zgarish qachon to‘xtashini va
yo‘nalishini qayerda o‘zgartirishini aniqlash demakdir. Funksiyaning o‘sishi va
11

kamayishi ekstremumga olib boruvchi yo‘ldir. Matematik analizda funksiyaning
o‘zgarish xarakterini o‘rganishda ekstremumlar hal qiluvchi rol o‘ynaydi.
7-ta’rif: Agar x0 nuqtaning shunday δ atrofi mavjud bo‘lsaki, bu atrofdagi
barcha x lar uchun
f(x)≤ f(x0) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, x0 nuqta lokal maksimum ,
aksincha
f(x)≥ f(x0) bo‘lsa, lokal minimum nuqtasi deyiladi.
Bu yerda lokal so‘zi juda muhim. Bu funksiyaning butun grafikdagi eng
baland nuqtasi bo‘lishi shart emas, balki o‘zining 'mahallasida' (yaqin atrofida) eng
kattasi ekanini anglatadi. Tasavvur qiling, siz tog‘li hududdasiz. Siz turgan cho‘qqi
lokal maksimum, lekin uzoqroqdagi boshqa bir cho‘qqi undan balandroq bo‘lishi
mumkin.
Ekstremum mavjud bo‘lishi uchun birinchi navbatda funksiya o‘zgarishi
to‘xtashi kerak.
3-teorema: (Ferma teoremasi) Agar f(x) funksiya
x0 nuqtada ekstremumga
ega bo‘lsa va shu nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda:
f'(x0)=0
Bu nuqtalar statsionar nuqtalar deyiladi. Biroq, hosila mavjud bo‘lmagan
nuqtalarda ham ekstremum bo‘lishi mumkin (masalan , y = |x| funksiyasining x=0
nuqtasi). Shuning uchun biz umumiyroq - Kritik nuqtalar tushunchasidan
foydalanamiz.
Ekstremumning birinchi yetarli sharti
Faqatgina hosila nolga tengligi ekstremum borligini kafolatlamaydi
(masalan,
y= x3 dagi kabi). Biz hosilaning kritik nuqtadan o‘tishdagi ishorasini
tekshirishimiz shart.
Matematik algoritm:
f'(x)>0→
x0
f'(x)<0⇒
Lokal Maksimum (Funksiya o‘sishdan
kamayishga o‘tdi).
f '
(
x ) < 0 → x
0
f ' (
x ) > 0 ⇒ Lokal Minimum (Funksiya kamayishdan
o‘sishga o‘tdi).
Ishora o‘zgarmasa
⇒ Ekstremum mavjud emas.
12

Ikkinchi tartibli hosila va egri chiziq tabiati
Ba’zan birinchi hosila ishorasini aniqlash qiyin bo‘ladi. Bunday holda
ikkinchi tartibli hosila ( f ' ' (
x ))
orqali funksiyaning qavariqlik darajasini tekshiramiz.
Qoida:
Agar
f'(x0)= 0 va f''(x0)<0 bo‘lsa ⇒ Maksimum .
Agar
f'(x0)= 0 va f''(x0)>0 bo‘lsa ⇒ Minimum .
Nega ikkinchi hosila manfiy bo‘lsa maksimum bo‘ladi? Chunki ikkinchi
hosila - bu o‘sish tezligining o‘zgarishidir. Agar u manfiy bo‘lsa, demak
funksiyaning o‘sish tezligi kamaymoqda va u tez orada cho‘qqiga yetib, pastga
qarab egiladi (qavariq bo‘ladi).
Agar ikkinchi hosila ham nolga teng bo‘lib qolsa
(f''(x0)= 0) , biz yuqori
tartibli hosilalarni tekshirishga majburmiz. Bu mavzuning eng ilmiy qismidir.
Ekstremum (lotincha extremum - chekka) - funksiyaning lokal maksimum
yoki minimum qiymatiga ega bo‘lgan nuqtasi. x nuqta lokal maksimum deyiladi,
₀
agar uning atrofida f(x) ≤ f(x )
₀ bo‘lsa; lokal minimum deyiladi, agar f(x) ≥ f(x ) ₀
bo‘lsa. Global (mutlaq) ekstremumlar esa butun aniqlanish sohasidagi eng katta-
kichik qiymatlardir.
Ferma teoremasi (zaruriy shart):
Agar f(x) x
₀ nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa va shu nuqtada
differentsiallanuvchi bo'lsa, u holda:
f '(x ) = 0
₀
Diqqat: Bu shart zaruriy, lekin yetarli emas! f'(x ) = 0
₀ bo‘lsa ham
ekstremum bo‘lmasligi mumkin. Masalan, f(x) = x³ da f '(0) = 0 , lekin x = 0
ekstremum emas, egilish nuqtasi.
Birinchi hosila belgisi o‘zgarishi usuli (I yetarli shart)
Eng keng qo'llaniladigan usul. f(x) x
₀ atrofida differentsiallanuvchi
bo‘lsa:
x
₀ dan chap: f '(x) > 0 , x ₀ dan o‘ng: f '(x) < 0 → x ₀ LOKAL MAKSIMUM
x
₀ dan chap: f '(x) < 0 , x ₀ dan o‘ng: f '(x) > 0 → x ₀ LOKAL MINIMUM
13

f '(x) ishora o‘zgarmasa → x₀ EKSTREMUM EMAS (egilish nuqtasi bo‘lishi
mumkin)
f(x) = x³ − 3x uchun ekstremumlar:
Kritik nuqtalar: x = −1 va x = 1
x = −1 : chap tomonda f '(x) > 0 , o‘ng tomonda f '(x) < 0 → MAKSIMUM:
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2
x = 1 : chap tomonda f '(x) < 0 , o‘ng tomonda f '(x) > 0 → MINIMUM:
f(1) = 1 − 3 = −2
Ikkinchi hosila usuli (II yetarli shart)
Agar f '(x ) = 0 bo‘lsa va f(x) x nuqtada ikki marta differentsiallanuvchi
₀ ₀
bo‘lsa:
f ''(x ) < 0
₀ ⟹ x ₀ LOKAL MAKSIMUM
f ''(x ) > 0
₀ ⟹ x ₀ LOKAL MINIMUM
f ''(x ) = 0
₀ ⟹ Usul javob bermaydi → I usulga qaytish kerak
f(x) = x³ − 3x uchun: f ''(x) = 6x
x=−1 da: f ''(−1) = 6·(−1) = −6 < 0 → MAKSIMUM (II usul ham
tasdiqlaydi)
x = 1 da: f ''(1) = 6·1 = 6 > 0 → MINIMUM (II usul ham tasdiqlaydi)
Muhim eslatma: ekstremum nuqtasining koordinatalari:
Ekstremum nuqtasining to‘liq koordinatasi (x ; f(x ))
₀ ₀ shaklida yoziladi. x - ₀
absissasi, f(x )
₀ - ordinatasi.
2-jadval. f(x) = x³ − 3x funksiyasining monotonlik va ekstremum tahlili
jadvali
x (−∞; −1) x=−1 (−1; 1) x=1 (1; +∞)
f'(x)=3x²−3
ishorasi + 0 − 0 +
f(x) funksiya
↗
o‘sadi MAX =
2 ↘
kamayad
i MIN =
−2 ↗ o‘sadi
14

f ''(x) = 6x
ishorasi − − −/+ + +
Qavariqlik va
botiqlik ⌢ qavariq ⌢ x=0
egilish ⌣ ⌣ botiq
1-rasm. f(x) = x³ − 3x grafigi: maksimum (−1; 2), minimum (1; −2) va
egilish nuqtasi (0; 0)
1.3-§. Egilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik oraliqlari
Qavariqlik va botiqlik ta’riflari
Funksiya grafigining qavariqligi va botiqligi - bu grafigni urinma to‘g‘ri
chiziq nisbatan qaysi tomonda joylashganligi bilan bog‘liq geometrik xossa. Bu
xossa ikkinchi hosila yordamida aniqlanadi va funksiyaning tezlashish yoki
sekinlashish xarakterini aks ettiradi.
Ta’riflar:
Qavariq (konkav, yuqoriga) funksiya: [a;b] oraliqdagi har qanday ikkita
nuqtaning o‘rta qiymati uchun grafik ular orasidagi vatar (chord) dan pastda
joylashadi. Geometrik ma’nosi: grafik urinmadan pastda.
Botiq (konveks, pastga) funksiya: [a;b] oraliqdagi har qanday ikkita
nuqtaning o‘rta qiymati uchun grafik vatardan ustida joylashadi. Geometrik
ma’nosi: grafik urinmadan ustda.
15

Ikkinchi hosila kriteriyi:
f ''(x) < 0 → (a; b) oralig‘ida grafik QAVARIQ ( ⌢ , ustiga konveks)
f ''(x) > 0 → (a; b) oralig‘ida grafik BOTIQ ( ⌣ , pastiga konveks)
Bu formulalarning geometrik izohi: f''(x) birinchi hosilaning o‘zgarish
tezligini bildiradi . f ''(x) < 0 bo'lsa , f '(x) kamaymoqda - ya’ni urinmaning
burchak koeffitsienti pasaymoqda - bu qavariq grafikka mos. f ''(x) > 0 bo‘lsa,
f'(x) ortmoqda - urinma o‘sib bormoqda - bu botiqlikka mos.
Egilish nuqtalari va ularni topish algoritmi
Egilish nuqtasi - grafik qavariqligi o‘zgaradigan (yoki botiqdan qavariqa,
yoki qavariqdan botiqqa o‘tadigan) nuqta. Bu nuqtada urinma grafikni kesib o‘tadi.
Egilish nuqtasining zaruriy sharti:
Agar x ₀ egilish nuqtasi bo'lsa: f ''(x ) = 0 ₀ yoki f ''(x ) ₀ mavjud emas
Egilish nuqtasining yetarli sharti:
f''(x ) = 0
₀ bo‘lsa va f''(x) x ₀ nuqtasidan o‘tayotganda ishora o‘zgartirsa, u
holda (x ; f(x ))
₀ ₀ - EGILISH NUQTASI.
DIQQAT: f''(x )=0
₀ bo‘lsa ham ishora o‘zgarmasa, egilish nuqtasi
bo‘lmaydi! Masalan , f(x) = x
⁴ da f ''(0) = 0 , lekin f ''(x) = 12x² hamma joyda
x=0 egilish nuqtasi emas.
Egilish nuqtasini topish algoritmi:
1. f ''(x) hosilasini hisoblash;
2. f ''(x) = 0 yechib, shubhali nuqtalarni topish;
3. f ''(x) mavjud bo‘lmagan nuqtalarni aniqlash;
4. Har bir shubhali nuqtaning chap va o‘ng tomonlarida f''(x) ishorasini
tekshirish;
5. Ishora o‘zgarsa - egilish nuqtasi mavjud; o‘zgarmasa - yo‘q;
6. Egilish nuqtasining koordinatalarini hisoblash: M(x ; f(x )).
₀ ₀
f(x) = x³ − 3x uchun egilish nuqtasi:
f ''(x) = 6x; f ''(x) = 0 → x = 0
x < 0 da : f ''(x) = 6x < 0 → qavariq
16

x > 0 da: f ''(x) = 6x > 0 → botiq
Ishora o‘zgardi ( − → + ): x = 0 EGILISH NUQTASI
f(0) = 0³ − 3·0 = 0 → Egilish nuqtasi: M(0; 0)
2-rasm. Qavariqlik (sariq rang, x<0) va botiqlik (yashil rang, x>0)
oraliqlari; egilish nuqtasi (0;0)
1.4-§. Funksiya grafigining asimptotalari
Asimptota tushunchasi va turlari
Asimptota (yunon. asymptōtos - yaqinlashmagan) - funksiya grafigi
cheksizga yaqinlashgan sari belgilanmagan masofada yaqinlashadigan to‘g‘ri
chiziq. Asimptotalar funksiyaning chekka xatti-harakatini tavsiflovchi muhim
vositadir. Grafik hech qachon asimptotaga tegmaydi - faqat yaqinlashadi - degan
fikr noto‘g‘ri: ba’zan grafik asimptotani kesib o‘tishi mumkin.
Uch turdagi asimptota mavjud:
Vertikal asimptota (x = a): funksiya biror a nuqtaga yaqinlashganda
cheksizga intiladi;
Gorizontal asimptota (y = b): x → ±∞ da funksiya b soniga yaqinlashadi;
Og‘ma (qiyshiq) asimptota (y = kx + b): x→ ±∞ da grafik bu to‘g‘ri
chiziqqa yaqinlashadi;
Vertikal asimptota
17

x = a to‘g‘ri chiziq funksiya grafiğining vertikal asimptotasi bo‘lishi uchun
kamida bitta shart bajarilishi lozim:
yoki
Vertikal asimptotalarni qidirish odatda aniqlanish sohasi uzilish
nuqtalaridan mahraj nol bo‘lgan yoki logarifm ildiz ta’rifsiz bo‘lgan nuqtalardan -
boshlanadi.
Misol: uchun
x² − 4 = 0 → x = ±2
(chunki x³→8>0, x²−4→0⁺ )
(chunki x³→8>0, x²−4→0 )
⁻
Xulosa: x = 2 va x = −2 - VERTIKAL ASIMPTOTALAR.
Gorizontal asimptota
y = b gorizontal asimptota mavjud bo‘lishi uchun:
yoki ( b - chekli son)
Agar x→+∞ va x→−∞ da limitlar turli chekli sonlarga teng bo‘lsa, ikkita
gorizontal asimptota bo‘ladi.
uchun tekshirish:
→ chekli emas
Demak, bu funksiya uchun GORIZONTAL ASIMPTOTA YO‘Q.
Aksincha, polinom darajasi suratda maxrajnikidan katta bo‘lgani uchun og‘ma
asimptota mavjud.
Og‘ma (qiyshiq) asimptota
y = kx + b og‘ma asimptota mavjud bo'lishi uchun x→±∞ da quyidagi
ikkala limit chekli bo‘lishi shart:
18

Agar k = 0 bo‘lsa, og‘ma asimptota gorizontal asimptotaga aylanadi. Agar
k yoki b cheksiz bo‘lsa, og‘ma asimptota ham yo‘q.
uchun og‘ma asimptota:
Xulosa: y = 1·x + 0 = x → y = x OG'MA ASIMPTOTA
Geometrik ma’nosi: x katta musbat yoki manfiy qiymatlarga intilganda,
grafik y=x to‘g‘ri chizig‘iga cheksiz yaqinlashadi, lekin hech qachon uni
qiymatda qoplamasdan shu chiziqqa parallel bo‘lib boradi.
3-jadval. funksiyasi uchun asimptotalar tahlili jadvali
Asimptota turi Shart Hisob-kitob
formulasi uchun
natija
Vertikal
asimptota x=a lim
f(x)→±∞ x→a da f(x)→+∞
yoki −∞ ; odatda
maxraj nolga teng
bo‘lgan nuqtalarda x²−4=0 → x=±2;
→ x=2 va
x=−2 vertikal
asimptotalar
Gorizontal
asimptota y =b x→±∞, b
chekli agar son-chekli
limit mavjud bo‘lsa chekli emas → gorizontal
asimptota YO‘Q
Og‘ma
asimptota
y = kx+b k≠0, k va b
chekli
y=x og‘ma asimptota
19

Ikki
tomonlama
tekshirish x→+∞ va
x→−∞ x→−∞ uchun ham k
va b hisoblanadi x→−∞: k=1, b=0 → y=x
(bir xil); funksiya toq
bo'lgani uchun ikkala
tomonda bir xil og‘ma
asimptota
3-rasm. funksiyasining to‘la tekshirish grafigi: vertikal
asimptotalar x=±2 (qizil), og‘ma asimptota y=x (sariq), egilish nuqtasi (0;0)
Ushbu bobda funksiyani to‘la tekshirishning nazariy asoslari - aniqlanish
sohasi, uzluksizlik, monotonlik, ekstremumlаr, qavariqlik va botiqlik oraliqlari,
egilish nuqtalari hamda asimptotalar - izchil va ketma-ket bayon qilindi. Har bir
tushuncha uchun aniq matematik ta‘rif, zaruriy va yetarli shartlar, amaliy algoritm
hamda namuna masala yechimi ko‘rsatildi.
Ko‘rib chiqilgan ikkita namuna - f(x) = x³ − 3x va - turli
xossalarga ega funksiyalarning to‘la tahlilini namoyish etdi. Birinchi funksiya
butun son o‘qida uzluksiz bo‘lib, ikkita ekstremumga va bitta egilish nuqtasiga
ega. Ikkinchi funksiya esa ikki vertikal asimptotali (x=±2) va og‘ma asimptotali
(y=x) bo‘lib, to‘la tekshirishda asimptota hisob-kitoblarini o‘rgatadi.
Bob bo‘yicha asosiy xulosa formulalari:
– Monotonlik: f '(x) > 0 → o‘sadi; f '(x) < 0 → kamayadi
20

– Ekstremum (I usul): f ' (x) ishora o‘zgarishi; (II usul): f ''(x )₀ ishorasi
– Qavariqlik: f ''(x) < 0 ; Botiqlik: f ''(x) > 0
– Egilish nuqtasi: f ''(x ) = 0
₀ va ishora o‘zgarishi
– Vertikal asimptota: lim f(x) = ±∞ biror chekli nuqtada
– Gorizontal asimptota: lim(x→±∞ f(x) = b, b chekli
– Og‘ma asimptota: k = lim f(x)/x; b = lim[f(x)−kx], ikkalasi chekli
Ushbu nazariy baza II bobda funksiyalarni to‘la tekshirish va grafik yasash
amaliy mashqlarini bajarishda poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
21

II BOB. FUNKSIYANI TO'LA TEKSHIRISH ALGORITMI VA
VIZUALLASHTIRISH
Funksiyani to‘la tekshirishning nazariy asoslari I bobda bayon qilindi.
Ushbu bobda esa o‘sha nazariy bilimlar amaliyotga qo‘llanilib, umumiy tekshirish
algoritmi bosqichma-bosqich keltiriladi va turli xildagi murakkab funksiyalar
uchun to‘liq tahlil namunalari ko‘rsatiladi. Har bir misol hisob-kitob formulalari,
tahlil jadvallari va yakuniy grafik vizualizatsiyasi bilan birga taqdim etiladi.
II bobning asosiy maqsadi - funksiyani to‘la tekshirish metodlarining
amaliy tatbiqini namoyish etish, turli turdagi funksiyalar - ratsional, ko’rsatkichli -
uchun tekshirish xususiyatlarini qiyosiy tahlil qilish va grafik tasvirlash malakasini
shakllantirishdir.
2.1-§. Funksiyani to‘la tekshirishning umumiy sxemasi va bosqichlari
Funksiyani to‘la tekshirish - bu o‘z ichiga 9–10 ta ketma-ket bosqichni
oluvchi sistemali tahlil jarayoni. Har bir bosqich oldingisining natijasiga tayangan
holda bajariladi, shu sababli ketma-ketlikni buzish xatoliklarga olib kelishi
mumkin. Algoritm universal tarzda tuzilgan bo'lib, differentsiallanuvchi
funksiyalarning turli sinflari uchun qo‘llaniladi.
4-jadval. Funksiyani to‘la tekshirishning universal algoritmi (10 bosqich)
№ Bosqich nomi Bajarilayotgan
amallar Qo‘llaniladigan
formulalar Natija shakli
1 Aniqlanish sohasi
D(f) Maxraj ≠ 0 ; ildiz
osti ≥ 0 ;
logorifm osti >0
shartlaridan
aniqlanish sohasi
topiladi g(x) ≠ 0; h(x) ≥
0; u(x) > 0 D(f) = (a;b)∪ ...
2 Simmetriya va
davriylik f(−x) = f(x) -
juft; f(−x) =
−f(x) - toq; T -
davriy f(−x) = ±f(x) Juft-toq na juft,
na toq
22

tekshiriladi;
koordinatalar
boshidagi
qiymat
hisoblanadi
3 Uzluksizlik va
uzilishlar D(f) ichida
uzilish
nuqtalarini
topish; bir va
ikki tomonlama
limitlarni
hisoblash Uzilish nuqtalari
ro'yxati
4 Nollar va ishora
sxemasi f(x) = 0
tenglamani
yechish;
funksiyaning
mos oraliqlarida
musbat yoki
manfiy
ekanligini
aniqlash f(x) = 0 → x
i x , x , ...₁ ₂ nollar
5 Birinchi hosila va
monotonlik f '(x) hisoblash;
f '(x) = 0 yechish
→ kritik
nuqtalar; har bir
oraliqdagi
ishorani aniqlash f '(x) > 0 →
↗ ;
f '(x) < 0 →
↘ O‘sish/kamayish
oraliqlari
6 Ekstremumlар
(maks-min) f'(x) ishorasining
o'zgarishini
aniqlash; (II +→− : maks;
−→+ : min;
f''(x)<0 : maks; (x
max ; y
max ), (x
min ;
y
min )
23

usul) f''(x )₀
ishorasi;
ekstremum
koordinatalarini
hisoblash f''(x)>0 : min
7 Ikkinchi hosila:
qavariqlik/botiqlik f ''(x) hisoblash;
f''(x) = 0
yechish; har bir
oraliqdagi
ishorani
aniqlash; egilish
nuqtalarini
topish f(x)''<0 →
⌢
qavariq; f (x)''>0
→ ⌣ botiq Egilish nuqtalari
(x
e ; f(x
e ))
8 Asimptotalar Vertikal:
biror a nuqtada;
Gorizontal:
Og‘ma: x=a; y=b;
y=kx+b
9 Qo‘shimcha
nuqtalar jadvali Bir nechta
qo‘shimcha x
qiymatlarida f(x)
ni hisoblash;
chegaraviy va
maxsus
qiymatlarni
aniqlash x → f(x):
juftliklar jadvali (x
i ; y
i ) nuqtalar
10 Grafik yasash Barcha topilgan Barcha oldingi Grafik —
24

ma’lumotlarni
koordinata
tekisligida
birlashtirish;
asimptotalar,
ekstremumlар,
egilish
nuqtalarini
belgilash natijalarning
sintezi yakuniy natija
Manba: Differentsial hisobning standart kursi asosida muallif tomonidan
tizimlashtirilib tuzilgan.
4-rasm. Funksiyani to‘la tekshirish bosqichlari ketma-ketligi (algoritm
sxemasi)
Algoritmni to‘g‘ri qo'llash uchun bir qator muhim qoidalarga rioya etish
lozim. Birinchi qoida: aniqlanish sohasi D(f) ni avval to‘g‘ri aniqlamasdan
hosilalar hisoblashga o‘tish xatoga olib keladi, chunki hosila faqat D(f) ichida
hisoblash ma’nosiga ega.
25

Ikkinchi qoida: f '(x) = 0 shartini yechishda hosil qilingan barcha kritik
nuqtalar D(f) ga tegishli ekanligini tekshirish shart. Aniqlanish sohasiga kirmagan
nuqtalar tahlildan chiqarib tashlanadi.
Uchinchi qoida: egilish nuqtasini aniqlashda f ''(x ) = 0₀ bo‘lishi zaruriy
shart, lekin yetarli emas. Albatta f ''(x) ning x
₀ nuqtasida ishora o‘zgarishi
tekshirilishi kerak. Masalan, f(x) = x
⁴ funksiyasida f ''(0) = 0 , biroq x = 0 egilish
nuqtasi emas.
Tekshirishda tez-tez uchraydigan xatolar:
Xato 1: Maxraj nolga teng bo'lgan nuqta avto-vertikal asimptota, deb qabul
qilinadi. To‘g‘risi: limit hisoblab tekshirish kerak - ba’zan bu nuqta o‘chiriladigan
uzilish bo‘lishi mumkin.
Xato 2: f'(x ) = 0
₀ bo'lsa, albatta x ₀ ekstremum deb noto‘g‘ri xulosa
chiqariladi. To‘g‘risi: f '(x) ishora o‘zgarishini tekshirish shart.
Xato 3: Gorizontal asimptota faqat x→+∞ da tekshiriladi. To‘g‘risi: x→+∞
va x→−∞ - ikkisini alohida tekshirish kerak, chunki limitlar farqli bo‘lishi
mumkin.
Xato 4: Og‘ma asimptota faqat k hisoblash bilan cheklanadi, b hisoblash
unutiladi. To‘g‘risi: k va b ikkalasini hisoblash kerak.
Xato 5: Qavariqlik-botiqlik jadvalida f''(x) ishorasi f'(x) ishorasiga aralashib
ketadi. To‘g‘risi: jadvalda f(x) va f '(x) va f ''(x) ni alohida satrda ko‘rsatish.
To‘la tekshirish tugagach, grafik yasashda asosiy ma’lumotlar yetarli
bo‘lsa-da, bir nechta qo'shimcha nuqta hisoblash grafikni aniqroq ko‘rsatishga
yordam beradi. Qo‘shimcha nuqtalar sifatida odatda quyidagilar tanlanadi:
1. f(0) — ordinatalar o‘qi bilan kesishish nuqtasi;
2. x o‘qi bilan kesishish nuqtalari (nollar);
3. Ekstremumlаr oraliqlarida bir-ikkita nuqta;
4. Asimptotaga yaqin nuqtalar (egilish nazorati uchun);
5. Vertikal asimptotalar yaqinidagi nuqtalar - funksiya qanday intilayotganini
ko‘rsatish uchun.
26

Grafik yasashning texnik tartibi: koordinata o‘qlari chiziladi; asimptotalar
(vertikal, gorizontal, og‘ma) kesik chiziqlar bilan belgilanadi; barcha maxsus
nuqtalar — ekstremumlаr (▲ ▽ ), egilish nuqtalari (●), nollar (○) — koordinatlari
bilan belgilanadi; so‘ngra grafik chiziladi. Qavariqlik oraliqlarida grafik yuqoridan
egri, botiq oraliqlarda pastdan egri bo‘lishini nazorat qilish grafik sifatini oshiradi.
2.2-§. Murakkab funksiyalarni tekshirish va grafiklarini chizishga doir
misollar
1-misol: Ratsional funksiya -
Bu funksiya ratsional sinf vakili bo'lib, qiziqarli xossalarga ega: butun son
o‘qida uzluksiz, toq funksiya, uchta egilish nuqtasi va gorizontal asimptota.
Qadam 1. Aniqlanish sohasi:
x² + 1 > 0 - hamma x∈ ℝ uchun bajariladi → D(f) = = (−∞; +∞) ℝ
Qadam 2. Simmetriya tekshiruvi:
Demak, f(x) - TOQ FUNKSIYA. Bu xossa grafikning koordinatalar boshiga
nisbatan simmetrik bo‘lishini bildiradi. Shu sababli x < 0 qismini topgandan keyin
x > 0 qismini simmetriya orqali aniqlash mumkin.
Qadam 3. Birinchi hosila va monotonlik:
Kritik nuqtalar: f '(x) = 0 → 1 − x² = 0 → x = ±1
x
∈ (−∞;−1): x = −2 da → KAMAYADI
x
∈ (−1; 1): x = 0 da → O'SADI
x
∈ (1; +∞): x = 2 da → KAMAYADI
27

Qadam 4. Ekstremumlаr:
x = −1 da : f ' (−→+) → MAKS:
x = 1 da: f ' (+→−) → MIN:
(Diqqat: toq funksiya uchun f(−1) = −f(1) - bu tekshirish usuli!)
Qadam 5. Ikkinchi hosila va egilish nuqtalari:
Soddalashtirish natijasida:
→ x = 0;
Qadam 6. Asimptotalar:
f
Tekshirish
elementi Hisob-kitob formulasi Natija Xulosa
Aniqlanish
sohasi D(f) x²+1 > 0 - har doim D(f) = = (−∞; +∞)ℝ Uzilish
nuqtasi
yo‘q
Toq-juft
funksiya f(−x) = −f(x) TOQ
funksiya -
koordinatal
ar boshiga
simmetrik
28

Birinchi
hosila f '(x) Kritik
nuqtalar:
x=±1
Ekstremumlа
р x=−1:f'=(+→−)→ MA
KS x=1:
f'=(−→+)→ MIN Maks: f(−1)=−1/2=−0 .
5; Min: f(1)=1/2=0.5 f(−1)=−0.5
f(1)=0.5
Ikkinchi
hosila f ''(x) f ''(x) = 0: x=0 ; 3 ta egilish
nuqtasi
Egilish
nuqtalari x=0: f(0)=0 M (0;0); M (1,73;₁ ₂
0.43);
M (−1,73;−0.43)
₃ Uchta
egilish
nuqtasi
topildi
Asimptotalar y=0 gorizontal
asimptota Vertikal va
og‘ma
asimptota
yo‘q
y = 0 - gorizontal asimptota. Vertikal asimptota yo‘q (D(f) = ).
ℝ Og‘ma
asimptota: → k = 0, ya‘ni og‘ma asimptota ham y = 0 ga
aylanadi.
5-jadval. funksiyasi tekshiruvi yig‘ma jadvali
29

5-rasm. grafigi (chap): maks (−1;−0,5), min (1;0,5), uchta
egilish nuqtasi; f''(x) grafigi (o‘ng): uchta nol - uchta egilish nuqtasi
2-misol: Ko‘rsatkichli funksiya -
Ko‘rsatkichli funksiyalar differentsial hisob nuqtai nazaridan alohida
qiziqish uyg‘otadi: ularning hosila va limit hisoblashda eksponentaning xossalari
muhim rol o‘ynaydi. funksiyasi fizika va ehtimollar nazariyasida ham
keng qo‘llaniladi (masalan, Puasson taqsimotida).
Qadam 1. Aniqlanish sohasi:
Eksponenta hamma joyda aniqlanadi, x ham hamma joyda aniqlanadi →
D(f)= .ℝ Uzilish nuqtalari yo'q.
Qadam 2. Simmetriya:
f(−x) ≠ f(x) va f(−x) ≠ −f(x) → na juft, na toq . f(0) = 0·e = 0
⁰ →
koordinatalar boshi funksiya noli.
Qadam 3. Birinchi hosila (ko‘paytma differentsiyalash qoidasi: (uv)' =
u'v + uv'):
Kritik nuqta: f '(x) = 0 → hamma joyda, shuning uchun 1−x = 0 → x = 1
x < 1: 1−x > 0 va → f '(x) > 0 → O'SADI
30

x > 1: 1−x < 0 va → f '(x) < 0 → KAMAYADI
x = 1: f '(x) (+→−) → MAKSIMUM: f(1) = 1·e ¹ ≈ 0.368⁻
Qadam 4. Ikkinchi hosila (yana ko‘paytma qoidasi):
Shubhali nuqta: f ''(x) = 0 → → x − 2 = 0 → x = 2
x < 2: x−2 < 0 va → f ''(x) < 0 → QAVARIQ
x > 2: x−2 > 0 → f ''(x) > 0 → BOTIQ
x = 2 da f ''(x) ishora o‘zgartirdi → EGILISH NUQTASI: f(2) = 2e ² ≈
⁻
0.271
Qadam 5. Asimptotalar:
x→+∞: (L'Opital qoidasi: lim 1/e = 0)
ˣ
x→−∞: (cheksiz)
y = 0 - gorizontal asimptota faqat x→+∞ da. Vertikal asimptota yo‘q.
6-jadval. f(x) = xe^(−x) funksiyasi tekshiruvi yig‘ma jadvali
Tekshirish
elementi Hisob-kitob
(batafsil) Formulalar Xulosa
Aniqlanish sohasi Eksponenta va x
ko‘paytmasi -
hamma joyda
aniqlanadi D(f) =
ℝ Uzilish nuqtasi
yo‘q
Toq/juft
tekshiruv
umuman f(−x) ≠ ±f(x) Na juft, na toq
funksiya
Birinchi hosila f '(x) = x=1 kritik nuqta
Monotonlik va
ekstremumlар x<1: f'(x)=(+)>0
o‘sadi; x>1 :
f'=(−)<0
kamayadi; x=1 : f(1) ≈ 0.368 Yagona
maksimum: (1;
1/e)
31

MAKS
Ikkinchi hosila f ''(x) = x=2 shubhali
nuqta
Qavariqlik va
egilish x<2: f ''(x)=(−)<0
→ QAVARIQ;
x>2: f ''(x)=(+)>0
→ BOTIQ; x=2
ishora o‘zgaradi
→EGILISH
NUQTASI f(2) ≈ 0.271 Egilish nuqtasi:
(2; 2/e²)
Asimptotalar x→+∞:
(eksponenta
tezroq kamayadi);
x→−∞:
(cheksiz o‘sadi) y=0 - gorizontal
asimptota (faqat
+∞ tomonida)
32

7-rasm. grafigi: maksimum (1;1/e ), egilish nuqtasi (2; 2/e²),
qavariq (sariq) va botiq (yashil) oraliqlari, gorizontal asimptota y=0
Uchta misolning qiyosiy tahlili
Yuqorida ko‘rib chiqilgan uchta funksiyaning xossalarini qiyosiy tahlil
qilish ko‘pgina muhim xulosalarga olib keladi. Birinchidan, funksiyaning analitik
ko‘rinishi to‘la tekshirishning qaysi bosqichlari ayniqsa muhim ekanligini oldindan
ko‘rsatib beradi.
Funksiya turlari va asosiy xossalar qiyosi:
: Toq funksiya, uzluksiz, gorizontal asimptota (y=0), uchta
egilish nuqtasi, yagona ekstremum juftligi eng ko‘p egilish nuqtasi shu turda;
: Juft funksiya, ikki vertikal asimptota (x=±2), gorizontal
asimptota (y=1), yagona maksimum - vertikal asimptota hisoblash amaliyoti uchun
eng yaxshi misol;
: Na juft, na toq, gorizontal asimptota faqat bir tomonda, yagona
maksimum va yagona egilish nuqtasi ko‘paytma differentsiyalash amaliyoti uchun
eng yaxshi misol.
XULOSA
33

Ushbu kurs ishi “Funksiyani to‘la tekshirish” mavzusini ikki asosiy qism
nazariy asos va amaliy tatbiq orqali to‘liq yoritdi. I bobda funksiyani to‘la
tekshirishning barcha tarkibiy elementlari uzluksizlik, monotonlik, ekstremumlар,
qavariqlik, botiqlik, egilish nuqtalari va asimptotalar yagona nazariy tizim
doirasida bayon qilindi va namuna hisob-kitoblar bilan mustahkamlandi. II bobda
esa ushbu nazariy bilimlar uchta turli xil funksiya sinfi uchun amalda qo‘llanildi va
har bir misolning grafik vizualizatsiyasi taqdim etildi.
Kurs ishi davomida quyidagi asosiy xulosalarga kelinadi:
Funksiyani to‘la tekshirish differensial hisobning eng samarali amaliy
qo‘llanishlaridan biri bo‘lib, u funksiyaning analitik va geometrik xossalari
o‘rtasidagi chuqur bog‘liqlikni ochib beradi;
Monotonlik va ekstremumlаrni aniqlashda birinchi hosila usuli universal
hisoblanadi; ikkinchi hosila usuli qo‘shimcha tasdiqlash va qavariqlik va botiqlik
tahlili uchun qo‘llaniladi;
Egilish nuqtalarini aniqlashda ikkinchi hosilaning nolga teng bo‘lishi
zaruriy, ammo yetarli shart emasligini unutmaslik kerak - albatta ishora
o‘zgarishini tekshirish lozim;
Asimptota hisoblash, ayniqsa og‘ma asimptota uchun k va b ni alohida
limitlar orqali topish, funksiyaning chekka xatti-harakatini to‘liq tasvirlashda hal
qiluvchi ahamiyatga ega;
Ko‘rsatkichli funksiyalar uchun hosila hisoblashda ko‘paytma va murakkab
funksiya differentsiyalash qoidalarini to‘g‘ri qo‘llash zarur; Lopital qoidasi esa
noaniq ko‘rinishdagi limitlarni hisoblashda samarali vosita;
Funksiyaning simmetriya xossasi (toq-juft) aniqlanganda tekshirishni
taxminan ikki baravarga qisqartirish mumkin, bu amaliy hisob-kitoblarning
samaradorligini oshiradi;
To‘la tekshirish algoritmini ketma-ket va to‘liq bajarish - birorta bosqichni
o‘tkazib yubormaslik - sifatli va to‘g‘ri grafik yasashning asosiy shartidir.
Ushbu kurs ishi ko‘rsatadiki, funksiyani to‘la tekshirish - bu shunchaki
grafik yasash usuli emas. Bu matematikaning analitik va geometrik tillari o‘rtasida
ko‘prik bo‘lib, funksiyaning ichki tuzilishini, xatti-harakatini va xossalarini chuqur
34

tushunish imkonini beruvchi kuchli metodologik vosita. Kelajakda integral hisobi,
va differensial tenglamalar va matematik modellashtirish kabi sohalarda
muvaffaqiyatli ishlash uchun funksiyani to‘la tekshirish malakasi muhim poydevor
hisoblanadi.
35

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
I. Darsliklar va o‘quv qo'llanmalar:
1. Mirzaahmedov M.A., Haydarov A. Oliy matematika. I qism. Toshkent:
O‘qituvchi, 2022.
2. Qodirov R.X. Matematik analiz. Toshkent : Universitet , 2021.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. М. : Наука, 2010.
4. Алгебра ва математик анализ. 11- sinf darsligi . Toshkent : Respublika
ta ’ lim markazi , 2023.
5. Piskunov N.S. Differentsial va integral hisob. I-II jild. Toshkent:
O‘qituvchi, 2019.
II. Ilmiy maqolalar va qo'shimcha manbalar:
6. Rashidova N.X. Funksiya grafigini tadqiq etishda raqamli texnologiyalar
Matematika ta’limi. Toshkent, 2023. №2.
7. Yo‘ldoshev J.G‘. Differentsial hisobda vizuallashtirishning o‘rni
Pedagogika fanlari. 2022. №4
8. Toshmatov A.R., Ergashev B. Funksiyalarni to‘la tekshirishda
muammoli ta‘lim Oliy ta’lim jurnali. Toshkent, 2021
9. Stewart J. Single Variable Calculus: Early Transcendentals. 9th ed.
BrooksCole, 2021.
10. Spivak M. Calculus. 4th ed. Cambridge: Cambridge University Press,
2008.
III. Internet resurslari:
11. Wolfram Alpha. Computational Intelligence. URL:
https://www.wolframalpha.com (murojaat sanasi: 2024 yil mart).
12. Desmos Graphing Calculator. URL:
https://www.desmos.com/calculator (murojaat sanasi: 2024 yil mart).
13. Khan Academy. Calculus courses. URL:
https://www.khanacademy.org/math/calculus-1 (murojaat sanasi: 2024 yil fevral).
36

14. MIT OpenCourseWare. Single Variable Calculus (18.01). URL:
https://ocw.mit.edu/courses (murojaat sanasi: 2024 yil yanvar).
15. GeoGebra: Matematika resurslari. URL: https://www.geogebra.org
(murojaat sanasi: 2024 yil mart).
37

Sotib olish