Grin funksiyasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	562.3KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	29 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Grin funksiyasi

Sotib olish

2.1. Dirixle va Neyman masalalarining qo‘yilishi hamda ular
yechimlarining yagonaligi
fazoda chekli soha bo‘lib, uning chegarasi bo‘laklari silliq
sirtdan iborat bo‘lsin. ni orqali belgilab olamiz, ya’ni
**Dirixlening ichki masalasi.**
sohada garmonik da uzluksiz va
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Dirixlening tashqi masalasi. soxada garmonik shunday
funksiyaga topilsinki, u S da berilgan uzluksiz qiymatlarni qabul qilib, ya’ni
da bo‘lgan holda dan sekin bo‘lmay nolga intilsin,
da esa chekli limitga intilsin.
Neymanning ichki masalasi. soxada garmonik, da uzluksiz
bo‘lgan funksiyaga topilsinki, uning normal bo‘yicha olingan hosilasi
da avvaldan berilgan qiymatlarga teng bo‘lsin, ya’ni
$
bu yerda ga o‘tkazilgan normal.
Neymanning tashqi masalasi. soxada garmonik shunday
funksiyaga topilsinki, uning normal bo‘yicha olingan hosilasi S da avvaldan
berilgan qiymatlarni qabul qilsin, ya’ni
4

hamda funksiyaning o‘zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada bo‘lgan
holda nolga, da esa chekli limitga intilsin.
Dirixlening ichki va tashqi masalalari bittadan ortiq yechimga ega
bo‘lmaydi.
Haqiqatan ham, bu masalalar bir xil chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi ikkita yechimga ega bo‘lsin. U holda,
funksiyasi (1) tenglamani va shartni qanoatlantiradi.
Avval ichki masalani ko‘ramiz. Ekstremum prinsipining ikkinchi
natijasiga ko‘ra barcha D soxada bo‘ladi, demak .
Endi tashqi masalani tekshiramiz. Avval bo‘lsin. Shartga asosan
funksiyasi soxada garmonik, bilan birga va nuqta
koordinata boshidan etarli uzoqlashganda
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Markazi koordinata boshida va radiusi ga teng bo‘lgan hamda
sirtini to‘la o‘z ichiga oluvchi sferani olamiz. funksiyani sirt va
sfera bilan chegaralangan sohada qaraymiz. Agar radius yetarli katta
bo‘lsa, sferada
.

5

tengsizlik bajariladi. Ixtiyoriy soni olamiz va ni shunday katta
qilib tanlaymizki, tengsizlik bajarilsin. sohada funksiya
o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga yoki da, yoki da erishadi,
demak, bu qiymatlar moduli bo‘yicha dan katta emas. sohaning
ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Yetarli katta da bu nuqta ga tushadi, shuning
uchun ham . Ammo – ixtiyoriy musbat son bo‘lganligi sababli
, demak .
Agar bo‘lsa, konform almashtirish (masalan kasr chiziqli)
natijasida cheksiz sohani chekli sohga o‘tkazish mumkin. Bunda Laplas
tenglamasi yana Laplas tenglamasiga, cheksiz sohada garmonik bo‘lgan
funksiya lamasiga, chekli sohada garmonik bo‘lgan funksiyaga o‘tadi va bu
funksiya sohaning chegarasida nolga teng bo‘ladi. Shunday qilib, cheksiz
sohada umumiy Dirixle masalasi yechimining yagonligi isbot qilingan chekli
sohadagi Dirixle masalasiga keladi.
Laplas tenglamasi uchun Neymanning ichki masalasi o‘zgarmas son
aniqligida topiladi, ya’ni masalaning ikkita yechimi bir-biridan o‘zgarmas
son bilan farq qiladi.
Faraz qilaylik, bu masala bir xil (25) shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita
va yechimga ega bo‘lsin. U holda, bu yechimlarning ayirmasi
funksiya (1) tenglamani va
shartni qanoatlantiradi. Oxirgi shartni qanoatlantiruvchi garmonik
funksiya 2-bandidgi 2) xossaga asosan barcha sohada o‘zgarmas songa
teng bo‘ladi, ya’ni yoki . Neymanning ichki
6

masalasi hamma vaqt yagon yechimga ega bo‘lavermaydi. 2-bandidgi 3)
xossaga asosan
bo‘lishi kerak. Bu shart Neyman ichki masalasining yechimga ega
bo‘lishi uchun zaruriy shartdir. Keyinchalik (27)ning yetarli shart ekanini
ham ko‘rsatamiz.
Agar fazoning o‘lchovi bo‘lsa, u holda Neymanning tashqi
masalasi bittadan ortiq yechimga ega bo‘lmaydi.
Bu fikrning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish uchun yuqorida kiritilgan
chegaralari va dan iborat bo‘lgan sohada (8) formulani qo‘llaymiz:
sfera bo‘yicha olingan integralni baholaymiz. yetarli katta
bo‘lganda 1-§ ning 6-bandidagi lemmaga asosan
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. U holda
bo‘lgani uchun (28) formuladagi bo‘yicha olingan integral nolga
teng. Shunday qilib, da
7

Demak,
Ammo da uchun, ekanligi kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa, Neymanning tashqi masalasi o‘zgarmas son
aniqligida topiladi.
Bu holda ham xuddi yuqoridagidek, tenglikka ega bo‘lamiz.
Chekli uzoqlashgan nuqtada da garmonik funksiya chegaralanadi
bo‘lgani uchun, yuqoridagi fikrimizining to‘g‘riligiga darhol ishonch hosil
qilamiz.
8

2.2. Dirixle masalasining Grin funksiyasi
Laplas tenglamasi uchun chegarasi sirtidan iborat bo‘lgan biror
sohada Dirixle masalasining Grin funksiyasi deb, ikkita
nuqtalarning funksiyasi bo‘lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
funksiyaga aytiladi:
1) ushbu ko‘rinishga ega
bu yerda — Laplas tenglamasining fundamental yechimi,
esa, bo‘yicha ham, bo‘yicha ham garmonik funksiyalar;
2) yoki nuqta sohaning chegarasida yotganda
Bu ta’rifga asosan funksiya nuqtadan tashqari barcha
sohada garmonik funksiyadir.
Bu ta’rifdan yana shu narsa ko‘rinadiki, funksiya yordamida
aniqlanadi, esa, o‘z navbatida da garmonik bo‘lib, da
yoki qiymatlarga teng. Bu yerda shunday garmonik
funksiyaki, u chegarada maxsus qiymatlarni qabul qiladi. Ayrim hollarda
bunday funksiyani topish ancha qiyin bo‘ladi. Bu ma’lum bo‘lgan funksiya
uchun chegarada ijobiy qiymati mavjud bo‘lgan kiruvchi garmonik
funksiyani topish mumkin bo‘ladi. Agar (12) yoki (13) formulada ni
Dirixle masalasining yechimi deb hisoblab, o‘rniga ni olsak, u
holda (12) formulani, to‘g‘rirog‘i (10) formulani chiqariladigi mulohazalarni
qaytairib, hamda (29) va (30)ni e’tiborga olsak,
9

formula hosil bo‘ladi.
Agar Grin funksiyasi mavjud bo‘lsa, (31) formula Dirixle masalasining
yechimini beradi. Unga formula bilan ifodalangan funksiyaning
garmonikligi ning da ning garmonik funksiyasi ekanligidan
kelib chiqadi.
chegaraviy shartni qanoatlantirish alohida isbot talab qiladi.
Grin funksiyasining xossalari
1) Barcha sohada . Haqiqatdan ham, funksiyaning
maxsus nuqtasi ni markaz qilib yetarli kichik radiusli shar
chizamiz, bu sharning chegarasini orqali, ni esa orqali belgilab
olamiz.
bo‘lgani sababli yetarli kichik uchun sharda bo‘ladi.
Demak, sohaning chegarasida .
Bundan, ekstremum prinsipiga asosan, nuqtalar uchun ham
bo‘ladi. Bundan darhol barcha da ekanligi kelib
chiqadi .
2) nuqtalarda
10

$Bu tenglik (31) formuladagi barcha da bo‘lganda darhol kelib chiqadi. 3) Grin funksiyasi va nuqtalarga nisbatan simmetrik funksiyadir, ya’ni Bu xossani isbotlash uchun nuqtalarni markaz qilib, yetarli kichik radiusli , sharlarni chizamiz. Bu sharlarning chegarasini va orqali belgilab olamiz. desak, sohada funksiyalar garmonik bo‘ladi. Bu holda (7) ga asoson, ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi. bo‘lgani uchun tenglik hosil bo‘ladi. Bundagi birinchi integralni $J_{1}$ orqali belgilab olamiz, ya’ni Bunda bo‘lgani sababli, da tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. 11$

ni e’tiborga olsak, da bo‘lgani uchun
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bunga asosan
(32) tenglikdagi ikkinchi integralni orqali belgilab olamiz, ya’ni
sohaga nisbatan tashqi normal bo‘lgani uchun . Shu
sababli da
Demak,
Ravshanki,
almashtirishni bajarsak, bo‘lganda, — birlik sfera
bo‘ladi. Shu sababli
Bunga asosan,
12

2.3. Dirixle masalasining shar uchun yechilishi.
Agar soha shardan iborat bo‘lsa, Grin funksiyasining aniq ifoda-sini
topish mumkin. Bu holda (31) formula bilan aniqlangan garmonik
funksiyaning chegaraviy shartni qanoatlantirishini ko‘rsatish ham qiyin emas.
Shunday qilib, soha markazi koordinata boshida va radiusi ga teng
bo‘lgan shar bo‘lsin. Uni chegaralab tur-gan sferani orqali belgilab
olamiz. va bu sharning ichki nuqtalari bo‘lsin.
Faraz qilaylik, bo‘lib, ga sferaga nisbatan simmetrik nuqta
bo‘lsin, ya’ni
bo‘lganligi sababli, nuqta sferadan tashqarida yotadi.
Ushbu
funksiya nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda garmonik, xususiy
holda sohada ham garmonik bo‘ladi. Tekshirib ko‘rish qiyin emaski,
bo‘lganda bu funksiya , , , qiymatni qabul qiladi.
Haqiqatdan ham, agar bo‘lsa, $ Ox $ va uchburchaklar (21-
chizma) o‘xshash bo‘ladi, chunki ular umumiy burchakka ega va bu
burchakni hosil qilgan tomonlari (32') tenglikka asosan proporsionaldir.
Demak,
14

Shunday qilib, ushbu
funksiya soha shardan iborat bo‘lgan holda Grin funksiya-yasining
barcha shartlarini qanoatlantiradi.
Bu funksiyadan foydalanib, (31) formulaga asosan, sharda garmonik va
sferada oldindan berilgan uzluksiz funksiyaga teng bo‘ladigan
funksiyani hosil qilamiz.
Agar orqali $Ox$ va vektorlar orasidagi burchakni belgilab olsak,
u holda
va nuqtalar simmetrik bo‘lgani uchun .
Bunga asosan avvalgi tenglikni bunday yozib olamiz:
15

Shar uchun tashqi normal va radiusning yo‘nalishlari ustma-ust
tushgani uchun
Bu hosilani hisoblash uchun oldingi tenglikni e’tiborga olib, ni
quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
Bunga asosan,
Shunday qilib, soha markazi koordinata boshida va radiusi ga teng
shar bo‘lgan holda (31) formula ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi.
16

yoki
bo‘lgan holda (33) dan foydalanib, yana (34) yoki (34') formulani
hosil qilamiz (34) yoki (34') formula Puasson formulasi deyiladi,
uning yadrosi deb ataladi. Agar funksiya sferada uzluksiz
bo‘lsa, Puasson formulasi bilan aniqlangan funksiya sfera bilan
chegaralangan sharda garmonik bo‘lib,
shartni qanoatlantiradi.
funksiyaning garmonik bo‘lishini (31) formulani hosil qilganda ayt
ib o‘tgan edik. Endi (35) shartning bajarilishini ko‘rsatamiz. Grin
funksiyasining 2) xossasiga asosan yoki to‘g‘ridan-to‘g‘ri (34) formuladan
nuqta sferaning ichidan bu sferada ëtuvchi nuqtaga intilaëtgan
bo‘lsin. (36) formulasini ga ko‘paytirib, so‘ngra uni (34) dan ayiramiz:
funksiya sferada, demak, nuqtada uzluksizligidan ixtiyoriy
uchun da nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘ladiki, unga
tegishli barcha nuqtalar uchun
17

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. ayirmani baholaymiz. Shu
maqsadda (37) integralni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
+
Bundan
integral uchun nuqtaning holatiga (ya’ni sharning qaysi qismida
ëtishiga) bog‘liq bo‘lmagan bahoni hosil qildik. integralni va
nuqtalarni bir-biriga yaqin olish natijasida yetarli kichik qilib olish mumkin.
funksiya ëpiq to‘plamda uzluksiz bo‘lgani uchun u chegaralangan
bo‘ladi, ya’ni
Bunga asosan
nuqtani ga yetarli yaqin qilib olsak, ya’ni da
bo‘lgani uchun bo‘ladi. Shu sababli, qilib olish mumkin.
Demak,
18

Endi funksiya sharda garmonik, sharning chegaralarida
uzluksiz bo‘lib,
shartni qanoatlantirsin. U holda funksiya sharda
garmonik, da uzluksiz bo‘lib,
shartni qanoatlantiradi. (34) formula asosan
Bundan darhol, desak, shar uchun Puasson
formulasi kelib chiqadi:
(38) formuladan bo‘lganda, yana (16) o‘rta arifmetik formula
kelib chiqadi.
19

2.4. Sharning tashqi qismi uchun Dirixle masalasi.
D Soha markazi koordinata boshida va radiusi ga teng bo‘lgan
sfera bilan chegaralangan sharning tashqi qismidan iborat
bo‘lsin. da garmonik va
shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Agar funksiya
sharda garmonik bo‘lsa, Kelvin teoremasiga asosan
funksiya sferaga nisbatan nuqtaga simmetrik bo‘lgan, ya’ni
shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarda garmonik bo‘ladi.
funksiya esa, (34) formula bilan aniqlanadi. Demak,
Ushbu
tenglikni e’tiborga olsak, oldingi formula quyidagi ko‘rinishda
yoziladi:
Bu formula sharning tashqi qismi uchun Puasson formulasi deyiladi.
20

Agar nuqta shardan tashqarida ëtib, sferadagi nuqtaga intilisa,
funksiya ga intiladi, chunki nuqta sharning ichida ëtib, nuqtaga
intiliganda funksiya qiymatga intiladi.
Endi funksiyaning cheksiz uzoqlashgan nuqtadagi xarakterini
tekshiramiz:
tengsizlikka asosan
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bizni ning yetarli katta qiymatlari
qiziqtiraëtgani uchun deb hisoblashimiz mumkin. Bu holda
Shunday qilib, funksiya da uchun chegaralangan
bo‘ladi. uchun nolga intiladi.
21

GRIN FUNKSIYASI

Sotib olish

O'xshash dokumentlar
Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik konusi va diametral tekisligi
Fazoda tekislik va to`g`ri chiziqning o`zaro joylashuvi
Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari
Tekislikda koordinatalar metodi
Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Grin funksiyasi

O'xshash dokumentlar