Haqiqiy sonlar to’plami va uni tartiblash 26

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	296.3KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

203 Sotish

Haqiqiy sonlar to’plami va uni tartiblash 26

Sotib olish

Haqiqiy sonlar t o’plami va uni tartiblash
MUNDARIJA
KIRISH………………………………………………………………3
I BOB. HAQIQIY SONLAR TO‘PLAMI VA UNI TARTIBLASH.
1- § . Haqiqiy sonlar haqida tushuncha, natural va butun sonlar………6
2- § . Ratsional sonlar to‘plami va uning xossalari……………………11
3 -§ . Ratsional sonlar to‘plamida kesim………………………………21
4- § . Haqiqiy sonlar, haqiqiy sonlar to‘plamining xossalari………….28
II. XULOSA…………………………………………………………31
III. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………32

KIRISH.
“Eng katta boylik-bu aql zakovat va ilm,
eng katta meros-bu yaxshi tarbiya, eng
katta qashshoqlik-bu bilimsizlikdir!”
Sh.Mirziyoyev
Davlatimiz rahbari O zbekistonning matematika fani bo yicha salohiyatiʻ ʻ
dunyo miqyosida tan olinganini, funksional tahlil va differensial tenglamalar,
ehtimollar nazariyasi va algebra yo nalishlari bo yicha nufuzli maktablarimiz
ʻ ʻ
shakllanib faoliyat yuritayotganini, yetti nafar matematik olim butunjahon fanlar
akademiyasi a zosi ekanini alohida ta kidladi.
ʼ ʼ
Ko plab xorijiy ilm-fan markazlari, xususan Bonn, Kembrij, Parij, Seul kabi
ʻ
yirik shaharlardagi yetakchi ilm dargohlari bilan birgalikda qo shma ilmiy
ʻ
loyihalar amalga oshirilmoqda.
O zbekiston Respublikasi Prezidentining 2019-yil 9-iyuldagi matematika
ʻ
ta limi va fanlarini yanada rivojlantirishga oid qarorining ijrosi doirasida
ʼ
poytaxtimizdagi talabalar shaharchasida fanlar akademiyasining matematika
instituti uchun zamonaviy talablar asosida yangi bino barpo etilmoqda.
Shavkat Mirziyoyev matematikada ilmiy tadqiqotlarni amaliyot bilan
bog lash, raqamli iqtisodiyot uchun mustahkam poydevor yaratish borasidagi
ʻ
dolzarb vazifalarga to xtalib o tdi.
ʻ ʻ
Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni
seleksiya qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta lim
ʼ
muassasalariga qamrab olish ishlarini to g ri tashkil qilish kerakligi ta kidlandi.
ʻ ʻ ʼ
Bolalar uchun mazkur fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik
va o quv qo llanmalari yaratish, matematik ongni kerak bo lsa bog chadan boshlab
ʻ ʻ ʻ ʻ
shakllantirish vazifasi qo yildi.
ʻ
“Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli,
keng tafakkurli bo lib o sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi”, dedi
ʻ ʻ
Sh.M.Mirziyoyev.
2

Har bir tuman markazida bittadan matematika faniga ixtisoslashgan maktab
tashkil qilib, ularda ishlaydigan o qituvchilarga qo shimcha ustama haqlar to lashʻ ʻ ʻ
bo yicha ko rsatma berildi. Ushbu muassasalarda o quv jarayonni ilmiy-metodik
ʻ ʻ ʻ
ta minlash uchun fanlar akademiyasining matematika instituti hamda xalq ta limi
ʼ ʼ
vazirligi mas ul etib belgilandi.
ʼ
Matematika fani bo yicha o quvchi, talaba va o qituvchilar o rtasida turli
ʻ ʻ ʻ ʻ
tanlovlar o tkazib, g oliblarni munosib rag batlantirish, olimpiada tizimini
ʻ ʻ ʻ
takomillashtirgan holda sovrindorlarga beriladigan mukofotlarni ko paytirish
ʻ
muhimligi qayd etildi. O qitish sifatini yangi bosqichga ko tarish, matematika
ʻ ʻ
fanidan bilimlarni baholash bo yicha milliy sertifikatlash tizimini joriy etish
ʻ
zarurligi aytildi. Bunday sertifikat egasiga oliy o quv yurtiga o qishga kirishda
ʻ ʻ
matematika fanidan maksimal ball beriladi. Yuqori malakali pedagoglar va ilmiy
darajali kadrlar tayyorlash tizimi samarasini oshirish, matematika institutida ilmiy
daraja beruvchi kengashga to liq mustaqillik berish lozimligi ko rsatib o tildi.
ʻ ʻ ʻ
Mutasaddilarga ilm-fan sohasini 2030-yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini ishlab
chiqish, unda o rta va uzoq istiqbolga mo ljallangan ilm-fan, texnologik
ʻ ʻ
vainnovatsion taraqqiyot asoslarini belgilash vazifasi qo yildi. Davlatimiz rahbari
ʻ
olimlar va yoshlar bildirgan takliflar yuzasidan mutasaddilarga ko rsatmalar berdi.
ʻ
Prezident - matematikani o‘qitishning yangi tizimi to‘g‘risida Toshkentdagi
talabalar shaharchasidagi matematika institutining yangi binosiga tashri ﬁ da ushbu
fanni eski uslubini tanqid qilib, matematikada raqobat muhitini yaratish maqsadini
qo‘ydi. Endilikda matematika instituti bolalar bog‘chalari, maktablar va OTMlarda
matematikani o‘qitishni muvo ﬁ qlashtiradi.
Prezident Shavkat Mirziyoyev 2020-yil 12-iyun kuni O‘zbekiston fanlar
akademiyasining matematika institutiga tashrif buyurdi. Prezident bu yerda
yaratilgan qulayliklar bilan tanishdi. Yangi imoratda 7 ta ilmiy laboratoriya va
“Yosh matematiklar” markazi faoliyat yuritadi. Binoning shinam qavatlarida
axborot-resurs markazi va seminar xonalari, akademik va tadqiqotchilar uchun
kabinetlar, kutubxona, majlislar zali, oshxona joylashgan. Xonalar eng ilg‘or
3

texnika va uskunalar bilan jihozlangan. “Bu zamonaviy institut barcha olimlar
uchun ma’rifat markazi bo‘lishi kerak. Matematika ko‘p fanlarga yo‘l ochadi. Uni
Talabalar shaharchasida barpo etganimiz bejiz emas. Bu institut ta’lim va ilm-fan
o‘rtasida uzviylikni ta’minlashi, mamlakatimiz rivojiga zamin yaratishi kerak”-
dedi Shavkat Mirziyoyev.
“Matematika fanining tamal toshini Al-Xorazmiy, Ahmad Farg‘oniy, Abu
Rayhon Beruniy kabi ulug‘ bobolarimiz qo‘ygan. Bu bizning qonimizda bor. Lekin
oxirgi yigirma yilda matematikadan bilim darajasi pasayib ketdi. Chunki
o‘qituvchilarga kerakli e’tibor, munosib oylik berolmadik, pirovard maqsad qo‘ya
olmadik. Buning oqibati hozir ko‘pdan-ko‘p sohalarda sezilyapti. Bugun bu fanni
rivojlantirishdan maqsadimiz - matematika bo‘yicha raqobat muhitini yaratish,
sanoat muhandislik yo‘nalishlari bo‘yicha yetuk kadrlar tayyorlash”, -dedi
prezident.
Davlat rahbari 2020-yil 31-may kuni olimlar bilan uchrashuvda matematik
ongni bog‘chadan boshlab shakllantirish zarurligini ta’kidlagan edi. Shundan kelib
chiqib, Matematika institutida maktabgacha ta’lim, maktablar va oliy
o‘quvyurtlaridagi darslarni muvo ﬁ qlashtiradigan tizim yo‘lga qo‘yilmoqda. Shu
boradagi taqdimot bilan tanishar ekan prezident “matematika o‘qituvchilarining
bilim va malakasi bo‘yicha har bir tuman kesimida tahlil bormi? Moddiy va
tashkiliy jihatdan yana nimalar qilishimiz kerak?” deya savollar qo‘ydi. “Kechagi
dars berish uslubi bilan matematikani jadal rivojlantirib bo‘lmaydi. Shu bois avval
amalda yaxshi natija bergan xorijiy metodika asosida ta’lim dasturlari yaratib,
o‘qituvchilarni qayta tayyorlash zarur. Metodika shunday bo‘lishi kerakki, u
bolalarda matematikaga muhabbat uyg‘otsin. Buning uchun o‘quvchilar bu fan
hayotda, har bir sohada o‘ziga kerakligini anglashi zarur. Yoshlar imtihondan
o‘tish uchun emas, bilimli mutaxassis bo‘lish uchun o‘qishi lozim” -deb ta’kidladi
davlat rahbari. Oxirgi besh-o‘n yilda matematika yo‘nalishi bo‘yicha
universitetlarni bitirgan yoshlarni topib, xohishiga qarab qayta tayyorlab,
4

maktablarga fan nomzodlarini esa oliy ta’lim muassasalariga ishga jalb etish
muhimligi ta’kidlandi.
Kurs ishining dolzarbligi: y oshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya
jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish
o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir.
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda
mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka
ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Son tushunchasi uzoq o‘tmishdan ma’lum. Odamlar sanash taqozosi bilan
dastlab 1, 2, 3, . . . – natural sonlarni qo‘llaganlar. So‘ngra manfiy son, ratsional
son va nihoyat, haqiqiy son tushunchalari kiritilgan va o‘rganilgan. Albatta bu
tushunchalar talabalarga o‘rta maktab matematika kursidan ma’lum. Shuning
uchun ham quyidagi kurs ishida natural sonlar, butun sonlar, ratsional
sonlarto‘ plamlarining eng muhim xossalari qisqagina bayon etilgan. Haqiqiy son
tushunchasiga kelganda shuni aytish kerakki, uning kiritilishi matematik analiz
uchun qoniqarli darajada emas. Shu sababga ko‘ra quyida haqiqiy son
tushunchasini Dedekind bo‘yicha kiritamiz va haqiqiy sonlar to‘plamining
xossalarini batafsil o‘rganamiz.
Kurs ishining maqsadi: haqiqiy sonlar haqida nazariy tushuncha, natural va
butun sonlar, ratsional sonlarning xossalari, ratsional sonlar to‘plamida kesim,
haqiqiy sonlar to‘plamining xossalari, tartiblanganligi va zichligi haqida ma’lumot
berish.
Kurs ishining obyekti: oliy va o‘rta maxsus ta’lim muassasalarida matematik
analizni o‘qitish jarayoni.
5

Kurs ishining predmeti: matematik analiz fanini o‘qitish metodlari va
vositalari.
Kurs ishining ishining vazifalari:
1. 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni to‘plash va aniq rejani shakllantirish.
2. 2. Haqiqiy sonlar, natural va butun sonlar haqidagi nazariyani to‘liq yoritish.
3. 3. Ratsional sonlar to‘plami va uning xossalari o‘rganish.
4. 4. Ratsional sonlar to‘plamida kesim haqida ma’lumot berish.
5. 5. Haqiqiy sonlar, haqiqiy sonlar to‘plamining xossalarini o‘rganish.
6

$1-§. Haqiqiy sonlar haqida tushuncha, natural va butun sonlar Haqiqiy sonlar. Son tushunchasi uzoq o‘tmishdan ma’lum. Odamlar sanash taqozosi bilan dastlab 1,2,3… – natural sonlarni qo‘llaganlar. So‘ngra manfiy son, ratsional son va nihoyat, haqiqiy son tushunchalari kiritilgan va o‘rganilgan. Albatta bu tushunchalar kitobxonga o‘rta maktab matematika kursidan ma’lum. Shuning uchun ham quyida natural sonlar, butun sonlar, ratsional sonlar to‘ plamlarining eng muhim xossalari qisqagina bayon etilgan. Haqiqiy son tushunchasiga kelganda shuni aytish kerakki, uning kiritilishi matematik analiz uchun qoniqarli darajada emas. Shu sababga ko‘ra quyida haqiqiy son tushunchasini Dedekind bo‘yicha kiritamiz va haqiqiy sonlar to‘plamining xossalarini batafsil o‘rganamiz. Natural va butun sonlar Natural sonlar .Ma’lumki, N =\{ 1,2,3,… \} -barcha natural sonlar to‘plamini ifodalaydi. Bu to‘plamdan olingan ixtiyoriy natural n , m va p sonlar uchun quyidagi ikki tasdiqning o‘rinli ekanligi ravshan: 1) n = m , n > m , n < m munosabatlardan bittasi va faqat bittasi o‘rinli. 2) n<m ,m<p tengsizliklardan n<p tengsizlikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. Agar biror A to‘plamning elementlari uchun yuqorida keltirilgan 1 ¿ va 2) munosabatlar (tasdiqlar) o‘rinli bo‘lsa, A to‘plam tartiblangan to‘plam deyiladi. Natural sonlar to‘plami tartiblangan to‘plamga dastlabki misol bo‘la oladi. Agar A tartiblangan to‘plam bo‘lib, unda shunday x0 element mavjud bo‘lsaki, ∀ x∈A uchun x= x0 yoki x>x0(x<x0) bo‘lsa, x0 A ning eng kichik (eng katta) elementi deyiladi. Tartiblangan to‘plamda eng kichik (eng katta) element mavjud bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Natural sonlar to‘plami elementlarini o‘zaro taqqoslab, bu to‘plam elementlari orasida eng kichik element mavjudligini va u 1 soni ekanligini topamiz. Ammo N to‘plam elementlari orasida eng katta element yo‘q. Haqiqatan, har bir n∈N 7$ $uchun yana N ga tegishli n + 1 son topiladi. Ma’lumki natural sonlar to‘plami N da ikkita amal qo‘shish ( n + m ) va ko‘paytirish ( n ⋅ m ) amallari kiritiladi va ular quyidagi xossalarga ega bo‘ladi. 1 0 Kommutativlik: n+m= m+n,n⋅m= m⋅n . 2 0 Assotsiativlik: ( n + m ) + p = n + ( m + p ) ,( n ⋅ m ) p = n ( m ⋅ p ) . 3 0 Distributivlik: ( n + m ) ⋅ p = n ⋅ p + m ⋅ p . 4 0 N to‘plamda shunday k element borki, k⋅n= n⋅k= n bo‘ladi. Bu element k=1 dir. Ko‘pgina masalalarni natural sonlar to‘plamida hal qilib bo‘lmaydi. Masalan quyidagi sodda x+2=1 (1.1) tenglama natural sonlar to‘plamida yechimga ega emas, ya’ni shu tenglamani qanoatlantiradigan natural son mavjud emas. Bu hol natural sonlar to‘plamini kengaytirishni taqozo etadi. Butun sonlar. Barcha manfiy natural sonlar, nol soni va barcha natural sonlardan iborat to‘plam butun sonlar to‘plamini tashkil etadi va u odatda Z harfi bilan belgilanadi: Z= \{… ,− n,… ,−3,− 2,−1,0,1,2,3,… ,n,… \} . Ravshanki, N ⊂ Z . Butun sonlar to‘plami natural sonlar to‘plami kabi tartiblangan to‘plam bo‘ladi. Butun sonlar to‘plamida eng kichik element ham, eng katta element ham mavjud bo‘lmaydi. Butun sonlar to‘plamida qo‘shish, ko‘paytirish amallari bilan bir qatorda ayirish amali ( p − q ) ham kiritiladi va bu amallarga nisbatan 1-banddagi 1∘,2∘,3∘,4∘ -xossalar bilan birga yana quyidagi xossalar ham o‘rinlidir: 5 ∘ . ∀ q∈Z element uchun Z to‘plamda shunday element −q mavjudki, q + ( − q ) = 0 bo‘ladi. 6 ∘ . ∀ q∈Z element uchun q+0=0+q= 0 bo‘ladi. 7∘ . ∀ q∈Z element uchun q ⋅ 0 = 0 ⋅ q = 0 bo‘ladi. 8$

Z to‘plam elementlari uchun kiritilgan qo‘shish va ko‘paytirish amallari N
to‘plam elementlari uchun kiritilgan shu amallarning
Z ga tarqatilishidir.
Yuqoridagi (1.1) tenglama butun sonlar to‘plamida yechimga ega. Natural
sonlar to‘plami
N butun sonlar to‘plami Z gacha kengaytirilsada, bu Z to‘plamda
ham ko‘pgina masalalar yechilavermaydi. Masalan ushbu sodda
2 x + 5 = 0 (1.2)
tenglama butun sonlar to‘plamida yechimga ega emas. Bu hol, yuqoridagidek,
butun sonlar to‘plamini ham kengaytirish zarurligini ko‘rsatadi.
9

2-§. Ratsional sonlar to‘plami va uning xossalari
Ratsional sonlar. Ushbu qisqarmaydigan r = p
n , p ∈ Z , n ∈ N
kasr ko‘rinishida
tasvirlanadigan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlar
to‘plamini Q deb belgilaymiz.
Yuqoridagi
p va n sonlarning 1 dan boshqa umumiy bo‘luvchilari yo‘qligini
(p,n)=1
belgi bilan ifodalaymiz. Shunday qilib,
Q =
{ r : r = p
n , ( p , n ) = 1 , p ∈ Z , n ∈ N } .

Ratsional sonlarning yuqorida keltirilgan ta’rifi quyida ta’rifga ekvivalent:
cheksiz davriy o‘nli kasr ko‘rinishida tasvirlanadigan har bir son ratsional son
deyiladi. Ravshanki,
N ⊂Z⊂Q .
Shuni takidlash lozimki, to‘plamdagi bir xil elementlar uning bitta elementi
sifatida olinganidek,
Q to‘plamda ham bir-biriga teng bo‘lgan ratsional sonlar bitta
element deb qaraladi. Masalan,
2
3,4
6,8
12 ,16
24
ratsional sonlar bitta 2
3 ga teng bo‘lgan ratsional son deb olinadi.
Ratsional sonlar to‘plami
Q ham butun sonlar to‘plami kabi tartiblangan.
Ratsional sonlar to‘plamida eng kichik element ham, eng katta element ham
mavjud bo‘lmaydi.
Ratsional sonlar to‘plamida qo‘shish, ko‘paytirish, ayirish amallari bilan bir
qatorda bo‘lish amali ( 0
ga teng bo‘lmagan songa)
( r
1
r
2 ) ham kiritiladi va bu
amallarga nisbatan ushbu xossalar o‘rinlidir (bu xossalarda r , t
va s
lar ixtiyoriy
ratsional sonlar):
1 ∘
Kommutativlik:
r+t=t+r,t⋅r= r⋅t .
2∘
Assotsiativlik: (r+t)+s= r+(t+s),(r⋅t)s= r(t⋅s).
10

3 ∘
Distributivlik: ( r + t ) ⋅ s = r ⋅ s + t ⋅ s .
4∘
Nol sonining xususiyati: r+0=r,r⋅0=0.
5 ∘
Bir sonining xususiyati:
r⋅1=r .
6∘
Qarama-qarshi elementning mavjudligi: ∀ r ∈ Q
uchun shunday −r∈Q son
mavjudki, r +
( − r ) = 0
bo‘ladi.
7∘
Teskari elementning mavjudligi: ∀ r∈Q (r≠0) uchun shunday r−1∈Q son
mavjudki,
r⋅r−1=1 bo‘ladi.
8∘
∀ r ∈ Q
, ∀ t ∈ Q
, ∀ s∈Q sonlar uchun r>t bo‘lganda r+s>t+s bo‘ladi.
9 ∘

∀ r∈Q ,∀ t∈Q ,∀ s∈Q sonlar uchun r>t bo‘lganda r⋅s>t⋅s bo‘ladi.
10 ∘
Ixtiyoriy ikki musbat r
va t
ratsional sonlar uchun shunday natural son n
mavjudki, n ⋅ r > t
bo‘ladi. Bu xossa odatda Arximed aksiomasi deb ham yuritiladi.
Ratsional sonlar to‘plamining zichligi . Bu bandda ratsional sonlar to‘plami
Q
ning tartiblanganlik xossasi bilan bog‘liq bo‘lgan yana bir xossasini qaraymiz.
Faraz qilaylik,
r∈Q ,t∈Q , va r<t bo‘lsin. U holda r + t
2 ∈ Q
va
r < r + t
2 < t
.
Bu esa ixtiyoriy
r va t ratsional sonlar orasida r + t
2 ratsional son bor ekanligini
ko‘rsatadi. r + t
2 sonni
s bilan belgilab, r
va s
sonlar orasida joylashgan r + s
2
hamda
s va t orasida joylashgan s + t
2 ratsional sonlar borligini ko‘ramiz:
r < r + s
2 < r + t
2 < s + t
2 < t .
Bu jarayonni istalgancha davom ettirish yo‘li bilan ixtiyoriy r
va t
ratsional
sonlar orasida cheksiz ko‘p ratsional sonlar borligi aniqlanadi. Mana shu xossa
ratsional sonlar to‘plami Q
ning zichlik xossasi deyiladi.
Ratsional sonli chegaralangan va chegaralanmagan to‘plamlar.
A
ratsional sonlardan tuzilgan biror to‘plam bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar shunday ratsional
r son ( s son) mavjud bo‘lsaki, ∀ a∈A uchun
11

$a ≤ r( a ≥ s ) bo‘lsa, A to‘plam yuqoridan (quyidan) chegaralangan deb ataladi, r ratsional son ( s ratsional son ) esa A to‘plamning yuqori (quyi) chegarasi deyiladi. Masalan, A = { 1 2 , 1 4 , 1 6 , … } to‘plam yuqoridan chegaralangan, chunki bu to‘plamning har bir elementi 1 dan kichik. N =\{ 1,2,3,… \} to‘plam quyidan chegaralangan, chunki bu to‘plamning har bir elementi 0 dan katta. 2-ta’rif. Agar A to‘plam ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa, u chegaralangan deyiladi. Masalan, A = { 1 2 , 1 4 , 1 6 , … } to‘plam chegaralangan, chunki bu to‘plamning har bir elementi 0 dan katta, 1 dan kichik. Aytaylik, A to‘plam ( A ⊂ Q ) yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lsin. U holda, ravshanki, bu to‘plamning yuqori (quyi) chegaralari cheksiz ko‘p bo‘ladi. Misollar.1. Ushbu A = { r : r ∈ Q ; r ≤ 1 } t o‘plamni qaraylik. Bu to‘plamning yuqoridan chegaralanganligi ravshan. Uning yuqori chegaralaridan iborat to‘plam B= \{ r:r∈Q ;r≥1\} bo‘ladi. B to‘plam elementlari orasida eng kichigi mavjud va u 1 ga teng. 2. Barcha manfiy ratsional sonlar, nol soni va kvadrati 2 dan kichik bo‘lgan musbat ratsional sonlardan iborat to‘plamni A deylik: A = { r : r ∈ Q ; r ≤ 0 }{ r : r ∈ Q , r > 0 , r 2 < 2 } . Bu to‘plam yuqoridan chegaralangan. Kvadrati 2 dan katta bo‘lgan har bir musbat ratsional A to‘plamning yuqori chegarasi bo‘ladi. Demak, A ning yuqori chegaralaridan iborat to‘plam B = { r : r ∈ Q , r > 0 , r 2 > 2 } bo‘ladi. Bu B to‘plam elementlari orasida eng kichik son mavjud bo‘lmaydi. Shuni isbotlaymiz. B to‘plamdan r 0 ( r 0 ∈ B , r 0 > 1 ) sonni olib, uning yordamida ushbu r1=r0− r02−2 2r0(0<r02−2 2r0 <1) ratsional sonni hosil qilamiz. Bu r 1 ratsional sonning kvadrati 2 dan katta bo‘ladi. Haqiqatan, 12$

r
12
=( r
0 − r
02
− 2
2 r
0 ) 2
= r
02
− 2 r
0 r
02
− 2
2 r
0 + ( r
02
− 2
2 r
0 ) 2
> r
0 2
− ( r
02
− 2 ) = 2 .
Demak, r
1 ∈ B
.
Shunday qilib
B to‘plamda r0 sondan kichik bo‘lgan r1 ratsional sonning
mavjud bo‘lishi ko‘rsatildi. Bu esa B
to‘plamning elementlari orasida eng kichigi
mavjud emasligini bildiradi.
3. Ushbu A =
{ r : r ∈ Q ; r > 1 }
to‘plamni qaraylik. Bu to‘plam quyidan
chegaralangandir. Uning quyi chegaralaridan iborat to‘plam B =
{ r : r ∈ Q ; r ≤ 1 }
bo‘ladi. B
to‘plam elementlari orasida eng kattasi mavjud va u 1 ga teng.
4. Kvadrati 2 dan katta bo‘lgan barcha musbat ratsional sonlardan iborat
to‘plamni A
deylik:
A =
{ r : r ∈ Q , r > 0 , r 2
> 2 }
Bu to‘plam quyidan chegaralangan.
A ning quyi chegaralaridan iborat to‘plam
B =
{ r : r ∈ Q ; r ≤ 0 }{ r : r ∈ Q , r > 0 , r 2
< 2 } .
bo‘ladi. Bu to‘plam elementlari orasida eng katta son mavjud bo‘lmaydi. Shuni
ko‘rsatamiz.
B to‘plamda ∀ r0 sonni (r0∈B,r0>1) olib uning yordamida ushbu
r1=r0+ 2−r02
2r0+1(0< 2−r02
2r0+1<1)
ratsional sonni hosil qilamiz. Bu r
1 ratsional sonning kvadrati 2 dan kichik bo‘ladi.
Haqiqatan,
r12=(r0+ 2−r02
2r0+1)
2
=r02+2r0
2− r02
2r0+1+(
2− r02
2r0+1)
2
<r02+2r0
2− r02
2r0+1+ 2− r02
2r0+1=r02+(2−r02)=2.
Demak,
r1∈B .
Shunday qilib,
B to‘plamda r
0 sondan katta bo‘lgan r
1 ratsional sonning
mavjud bo‘lishi ko‘rsatildi. Bu esa
B to‘plamning elementlari orasida eng kattasi
mavjud emasligini bildiradi. Yuqorida keltirilgan misollardan ko‘rinadiki, ratsional
sonlar to‘plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lsa, bu to‘plamning yuqori
(quyi) chegaralari orasida eng kichigi mavjud (eng kattasi mavjud) bo‘lishi ham
mumkin, mavjud bo‘lmasdan qolishi ham mumkin.
13

3-ta’rif. Yuqoridan chegaralangan A
to‘plam ¿ ) yuqori chegaralarining eng
kichigi (agar u mavjud bo‘lsa) uning aniq yuqori chegarasi deb ataladi.
Y = A
¿ kabi belgilanadi. Bu lotincha supremum ”eng yuqori” degan ma’noni
anglatuvchi so‘zdan olingandir.
Misollar.1. Yuqorida keltirilgan A =
{ r : r ∈ Q ; r > 1 }
to‘plamnimng aniq yuqori
chegarasi mavjud va u 1 ga teng:
¿A=1.
2. Ushbu A =
{ r : r ∈ Q ; r > 1 }
to‘plamning aniq quyi chegarasi mavjud va u 1 ga
teng:
inf A=1.
To‘g‘ri chiziqning xossalari. Sonlar o‘qi. Biz ushbu bandda to‘g‘ri
chiziqning xossalarini keltiramiz.
l to‘g‘ri chiziq, M esa shu to‘g‘ri chiziqdagi
nuqta bo‘lsin.
1∘
.Tartiblanganlik xossasi. Ikkita turli M
va P
(M ∈l,P∈l) nuqtalardan biri
ikkinchisiga nisbatan chapda joylashgan.
2∘
. Chegarasizlik xossasi. Har qanday M ∈ l
nuqta uchun l to‘g‘ri chiziqda
shunday
P va S
nuqtalar topiladiki, bulardan biri M
nuqtadan chapda, ikkinchisi esa
M
nuqtadan o‘ngda joylashgan bo‘ladi.
3 ∘
. Zichlik xossasi. Har qanday ikki turli
M va P (M ∈l,P∈l) nuqtalar uchun
kamida shunday bitta
S ( S ∈ l )
nuqta topiladiki, bu nuqta M va P nuqtalar orasida
joylashgan bo‘ladi.
To‘g‘ri chiziqdagi ixtiyoriy ikki
M va P nuqtalarni olaylik. M nuqta
nuqtadan
P chapda yotsin. To‘g‘ri chiziqning ikki M
va P hamda ular orasidagi
barcha nuqtalaridan iborat to‘plam kesma deb ataladi va
MP kabi belgilanadi.
Bunda ikki M
nuqta MP
kesmaning chap uchi,
P nuqta esa shu kesmaning o‘ng
uchi deyiladi.
To‘g‘ri chiziqda ikki MP
va
M 'P' kesma berilgan bo‘lsin. Agar MP
kesmani
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab surish natijasida ikki
M nuqta
M '
nuqta ustiga, P nuqta
P '
nuqta ustiga tushsa (bunda ikki
M bilan P
orasidagi nuqtalar M ' bilan P' nuqtalar
ustiga tushadi), u holda
MP kesma
M '
P '
kesmaga teng deyiladi.
14

1-chizma.l
to‘g‘ri chiziq va bu to‘g‘ri chiziqda ixtiyoriy nuqta olaylik (1-a chizma). Bu
nuqtani O
harfi bilan belgilaymiz. O
nuqta (boshlang‘ich nuqta) to‘g‘ri chiziqni
ikki qismga ikki nurga ajratadi. Bu nurlardan birining yo‘nalishini musbat,
ikkinchisini esa manfiy deb kelishib olamiz. Odatda O
nuqtadan o‘ng tomondagi
nurni musbat yo‘nalishda, chap tomondagi nurni esa manfiy yo‘nalishda olinadi.
Shuningdek, masshtab kesmasi OE
ni (bu kesmaning uzunligi 1 ga teng)
tayinlaymiz. Bunday to‘g‘ri chiziq sonlar o‘qi deb ataladi.
Ravshanki, sonlar o‘qidagi har bir ikki
M nuqta shu o‘qda OM
(yoki MO )
kesmani hosil qiladi.
Ratsional sonlarni geometrik tasvirlash. a) Butun sonlarni geometrik
tasvirlash.
Sonlar o‘qini olaylik. Bu o‘qning boshlang‘ich O
nuqtasini nol sonining geometrik
tasviri deb ataymiz.
Masshtab kesmasi (masshtab birligi)
OE ni O
nuqtadan boshlab o‘ng va chap
tomonlarga qo‘yamiz. Bu birlik kesmaning bir uchi
O nuqtada bo‘lib, ikkinchi uchi
esa o‘ng tomondagi nurda M
1 , chap tomondagi nurda esa M
− 1 nuqtalarni belgilaydi.
Shu usulda masshtab birligini ketme-ket
O nuqtaning o‘ng va chap tomonida
joylashgan nurlarga qo‘yib, M
2 , M
3 , M
4 … va M
− 2 , M
− 3 , M
− 4 … nuqtalarni topamiz.
Bunda 1, -1 butun sonlarga
M 1,M −1 nuqtalarni, 2, -2 sonlarga M 2,M −2 nuqtalarni va
h.k. mos qo‘yib, natijada, 1, 2, 3… sonlarga to‘g‘ri chiziqda M
1 , M
2 , M
3 …
nuqtalar, -1, -2, -3… sonlarga esa
M −1,M −2,M −3 … nuqtalar mos kelishini
ko‘ramiz.
l to‘g‘ri chiziqdagi M
1 , M
2 , M
3 … va M
− 1 , M
− 2 , M
− 3 … nuqtalar 1, 2, 3…
hamda -1, -2, -3… butun sonlarning geometrik tasviri bo‘ladi (1-b chizma).
15

b) Ixtiyoriy ratsional sonlarni geometrik tasvirlash. Ixtiyoriy ratsional sonni
geometrik tasvirlashdan avval birlik kesma (masshtab birligi) ning 1
n( n ∈ N )
qismini
topishni aytib o‘tamiz.
2-chizma
Bir kateti birlik kesma
OE , ikkinchi kateti birlik kesmani n marta qo‘yishdan hosil
bo‘lgan
OF kesmadan iborat. OFE to‘g‘ri burchakli uchburchakni qaraylik (2-
chizma). Bu △ OFE
ning OF
tomonidagi 1 , 2 , 3 … n − 1
sonlarni tasvirlovchi nuqtalar
F1,F2,… ,F(n−1)
bo‘lsin. Natijada OF katetda bir-biriga teng bo‘lgan n ta
O F1,F1F2,… ,Fn−1F k
esmalar hosil bo‘ladi.
Endi OF
katetdagi nuqtalardan FE
gipotenuzaga parallel to‘g‘ri chiziqlar
o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlarning
OE katet bilan kesishgan nuqtalari
E1,E2,… ,E(n−1)
bo‘lsin. Ravshanki, bu nuqtalar OE
da O E1,E1E2,… ,En−1E
kesmalarni hosil qiladi. Demak,
OE birlik kesma n ta O E1,E1E2,… ,En−1E
kesmalarga ajraldi. Fales teoremasiga ko‘ra bu kesmalar bir-biriga teng bo‘ladi.
Demak,
O E1 kesma OE kesmaning 1
n qismiga teng.
Masshtab kesmasi OE
ning kesmaning
1
n qismi bo‘lgan O E1 kesmani O
nuqtadan boshlab o‘ng va chap tomonlarga qo‘yamiz. Bu kesmaning bir uchi
O
nuqtada bo‘lib, ikkinchi uchi esa o‘ng tomondagi nurda
M 1n , chap tomondagi
nurda esa
M −1n nuqtalarni belgilaydi. Endi
1
n va − 1
n sonlarga
M 1n va M
− 1
n mos
qo‘yamiz.
O E1 kesmani O
nuqtadan o‘ng va chap tomonlaridagi nurga ketma-ket m
16

marta qo‘yish natijasida m
n hamda − m
n ratsional sonlarni geometrik tasvirlovchiM mn
va M
− m
n nuqtalarni topamiz. Shu yo‘l bilan l
to‘g‘ri chiziqda r = m
n ∈ Q
sonni
geometrik tasvirlovchi nuqta topiladi. Masalan, ushbu 5
4 ∈ Q
sonni tasvirlovchi
nuqtani topish uchun avval masshtab birligini O nuqtadan o‘ng tomonga bir marta
joylashtirib,
M 1 nuqta topiladi. So‘ngra bu M 1 nuqtadan boshlab masshtab
birligining 1
4 qismini qo‘yib, 5
4 sonni ifodalovchi M
5
4 nuqtani topamiz.
Shunday qilib, ratsional sonlar to‘plamidan olingan ixtiyoriy
r = m
n
( m ∈ Z , n ∈ N )
songa to‘g‘ri chiziqda bitta M r nuqta mos keladi. Bunda m
n songa
M mn
nuqta,
m1
n1(m1∈Z,n1∈N ) onga M
m
1
n
1 nuqta mos kelib, m
n<m1
n1 bo‘lsa, M
m
1
n
1 nuqta
M mn
nuqtadan o‘ngda yotadi.
Bundan keyin qulaylik uchun
r∈Q songa to‘g‘ri chiziqda mos keluvchi
nuqtani
M r kabi belgilamasdan r nuqta deb olaveramiz.
Ratsional songa mos keladigan to‘g‘ri chiziqdagi nuqta ratsional nuqta ham
deb ataladi.
Ratsional sonlar kengaytirish zaruriyati. Biz avvalgi bandda har bir
ratsional songa to‘g‘ri chiziqda bitta nuqta (ratsional nuqta) mos qo‘yilishini ko‘rib
o‘tdik. Ammo to‘g‘ri chiziqda shunday nuqtalar borki, ular birorta ham ratsional
songa mos qo‘yilgan bo‘lmaydi. Shuni ko‘rsataylik.
3 -chizma
Tomoni bir birlikka teng bo‘lgan
OABC kvadratni qaraylik (3-chizma).
17

Bu kvadratning diagonali OB ning uzunligi √ 2
ga teng. Sirkulning uchini O nuqtaga
qo‘yib, radiusi
OB ga teng bo‘lgan aylana chizaylik. Bu aylana OA tomon
joylashgan to‘g‘ri chiziqni D
nuqtada kesadi. OA < OB
bo‘lgani uchun D
nuqta A
nuqtadan o‘ngda joylashgan bo‘ladi. Ravshanki,
OB =OD =√2 , demak, D nuqtaga
√
2 son mos keladi. √2 esa ratsional son emas. Bu quyidagi teoremada isbotlanadi.
1-teorema. Ratsional sonlar to‘plami
Q da kvadrati 2 ga teng bo‘lgan
ratsional son mavjud emas.
Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni
Q to‘plamda shunday qisqarmaydigan
p
n
( p ∈ Z , n ∈ N )
asr ko‘rinishida yoziladigan ratsional son borki, bu son uchun
(
p
n ) 2
= 2
(2.1)
tenglik o‘rinli bo‘lsin. (2.1) tenglikni
p2= 2n2
(2.2)
kabi yozib olamiz. Bundan p juft son ekanligi ko‘rinadi. Demak, p = 2 m
( m ∈ Z )
ning qiymatini (2.2) ga qo‘yib
n 2
= 2 m 2
tenglikni hosil qilamiz. Bu esa
n
sonning ham juft son ekanligini ko‘rsatadi. Demak, yuqoridagi farazdan
p va n
sonlar juft son ekanligi kelib chiqadi. Binobarin, ular uchun 2 umumiy
ko‘paytuvchi. Bu esa p
n sonning qisqarmaydigan kasr ekaniga zid. Teorema
isbotlandi.
Shunday qilib, to‘g‘ri chiziqda olingan har bir nuqtaga
Q to‘plamda unga
mos keladigan ratsional son mavjud bo‘lavermas ekan.
Agar to‘g‘ri chiziqni chizib, unda ratsional sonlarga mos nuqtalarni biror
rangga (masalan, qizil rangga) bo‘yasak, shu to‘g‘ri chiziqda bo‘yalmay qolgan
nuqtalarni (jumladan
√2 songa mos nuqtani) ham ko‘ramiz.
Ravshanki, ratsional sonlar to‘plamida (1.1), (1.2) tenglamalar doim
yechimga ega, ammo
x 2
− a = 0 , a ∈ Q tenglama
Q to‘plamda doim yechimga ega
bo‘lavermaydi.
18

Masalan, a = 4
bo‘lganda x2−4=0 tenglama x
1 = 2 , x
2 = − 2
yechimlarga ega,
a= 2
bo‘lganda esa 1- teoremaga ko‘ra
x 2
− 2 = 0 tenglama Q to‘plamda yechimga
ega emas. Bundan ratsional sonlar to‘plamini kengaytirish zaruriyati kelib chiqadi.
Demak, ratsional sonlar to‘plamiga yangi tipdagi sonlarni qo‘shib, uni shunday
kengaytirish kerakki, bir tomondan, sonlarning bu kengaytirilgan to‘plamida
x2−2=0
tenglamani yechish va shu kabi ko‘pgina masalalarni hal qilish mumkin
bo‘lsin, ikkinchi tomondan esa, ratsional sonlar to‘plamining barcha xossalarini
sonlarning kengaytirilgan to‘plamida ham o‘rinli bo‘lsin.
Ratsional sonlar to‘plamini kengaytirishda bir-biriga ekvivalent bo‘lgan bir
nechta usullar mavjud (Koshi usuli, Kantor usuli, Veyershtrass usuli, hamda
Dedekind usuli). Biz quyida Dedekind usulini keltiramiz.
19

$3-§. Ratsional sonlar to‘plamida kesim Kesim . Irratsional son ta’rifi . Q barcha ratsional sonlar to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plamda bajarilgan kesim tushunchasi bilan tanishaylik. 5-ta’rif . Ratsional sonlar to‘plami shunday A va A ' to‘plamlarga ajratilsinki, bunda A=\{ r:r∈Q ;r<1\} ; 1¿A≠∅,A'≠∅ 2¿A∪A'=Q 3¿∀ a∈A,∀ a'∈A'⟶ a<a' Shartlar qanoatlantirsa, A' va A to‘plamlar Q to‘plamda kesim bajariladi deb ataladi. Kesim ta’rifidagi birinchi shart A va A' to‘plamlarning bo‘sh emasligini, ikkinchi shart xar bir ratsional son yoki A to‘plamga yoki A' to‘plamga tegishli bo‘lishini va uchinchi shart esa A to‘plamga tegishli bo‘lgan xar bir ratsional a son A' to‘plamga tegishli bo‘lgan xar qanday a' ratsional sondan kichik ekanligini anglatadi. Yuqoridagi kesim ta’rifidan, uning bo‘laklashning xususiy xoli ekanligi ko‘rinadi. Odatda, kesim ( A , A ' ) kabi belgilanib, A to‘plam kesimning quyi sinfi, A' to‘plam esa kesimning yuqori sinfi deb ataladi. Kesim tarifidan bevosita quyidagi xulosalar kelib chiqadi: 1 . ( A , A ' ) kesim Q to‘plamda bajarilgan kesim bo‘lib, a∈A bo‘lsa, a1<a tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy a1 ratsional son ham kesimning quyi sinfi A ga tegishli bo‘ladi. 2 . ( A , A ' ) kesim Q to‘plamda bajarilgan kesim bo‘lib, a ' ∈ A ' bo‘lsa, a 1' > a ' tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy a 1' ratsional son ham kesimning yuqori sinfi A' ga tegishli bo‘ladi. Endi Q to‘plamda bajarilgan kesimlarga misollar keltiraylik: 20$ $Misollar : 1 .5 va undan kichik bo‘lgan barcha ratsional sonlardan iborat to‘plam A 5 dan katta bo‘lgan barcha ratsional sonlar to‘plami A' bo‘lsin: A = { r : r ∈ Q , r ≤ 5 } , A ' = { r : r ∈ Q , r > 5 } bunday tuzilgan A va A ' to‘plamlar Q da kesim bajaradi. 2 . A to‘plam deb 1 va2 ratsional sonlar orasidagi barcha ratsional sonlardan iborat bo‘lgan A = { r : r ∈ Q , 1 < r < 2 } to‘plamni, A ' to‘plam deb 1 va undan kichik bo‘lgan barcha mratsional sonlar hamda 2 va undan katta bo‘lgan barcha ratsional sonlardan iborat. A'={r:r∈Q ,r≤1}∪{r:r∈Q ,r≥2} to‘plamini olaylik. Ravshanki A ≠ ∅ , A ' ≠ ∅ hamda A ∪ A ' = Q . Ammo A to‘plamdan olingan har bir ratsional son A' to‘plamdan olingan istalgan ratsional sondan hardoim kichik bo‘lmaganligi sababli bunday tuzilgan A va A' to‘plamlar Q to‘plamda kesim bajarmaydi (kesim tarifidagi 3-shart bajarilmaydi). 3 .Ushbu A = { r : r ∈ Q , r ≤ 1 } , A ' = { r : r ∈ Q , 1 < r ≤ 5 } to‘plamlarni olaylik. Bunda A≠∅,A'≠∅ bo‘lib, A to‘plamning har bir elementi A ' to‘plamning istalgan elementidan kichikdir.Ammo A ∪ A ' = Q bo‘lgani uchun bu A va A' to‘plamlar cda kesim bajarmaydi (kesim tarifidagi 2- shart bajarilmaydi). 4 . Biror r0∈Q sonni olaylik. r 0 va undan kichik barcha ratsional sonlardan iborat bo‘lgan A = { r : r ∈ Q , r ≤ r 0 } va r 0 sondan katta barcha ratsional sonlardan iborat A ' = { r : r ∈ Q , r < r 0 } to‘plamlarni ko‘raylik. Bu to‘plamlar Q da kesim bajarishini ko‘rsatamiz. Olingan r0∈Q son A¿'plamga tegishli edi. Demak , A≠0. Endi r0∈Q ,r0+1∈Q va r0+1>r0 b o‘lishidan r0+1∈A' ekanligi kelib chiqadi. Demak, A'≠∅. Ravshanki , A∪A'= \{ r:r∈Q ,r≤r0\} ∪\{ r:r∈Q ,r>r0\}=\{ r:r∈Q \}=Q . Bu kesim tarifining 2- sharti bajarilishini ko‘rsatadi. Agar ∀ a ∈ A , ∀ a ' ∈ A ' bo‘lsa,undan a ≤ r 0 , a ' > r 0 yani a ≤ r 0 < a ' ekani kelib chiqadi. Demak a < a ' va kesim ta’rifining 3- sharti ham bajariladi.Shunday qilib, A va A' to‘plamlar Q da kesim bajaradi.Odatda bu kesimni r 0 = ( A , A ' ) kabi ham belgilanadi.Bu kesimning quyi sinfi A to‘plamda (uning elmentlari orasida) eng kata element mavjud bo‘lib, u r 0 ekanligi ravshandir. 21$

Ammo kesimning yuqori sinfi A' to‘plamda esa (uning elementlari orasida) eng
kichik element mavjud emas. Bu xolni isbotlash uchun teskarisini ya’ni yuqoridagi
r0=(A,A')
kesimning yuqori sinfi A' elementlari orasida eng kichigi mavjud bo‘lsin
deb faraz qilamiz. Uni r ¿
deb belgilaylik:
r¿∈A'.
Kesim ta’rifiga ko‘ra r0<r¿ bo‘ladi.Ratsional sonlar to‘plami zich to‘plam
bo‘lgani uchun shunday t
ratsional son mavjudki,
r0<t<r¿ bo‘ladi. A' ning tuzilishiga
binoan topilgan
t uchun
t ∈ A '
bo‘lishi kerak. Demak, A' da
4-chizma
r¿
dan kichik bo‘lgan t son mavjud. Vaholanki, biz r¿ ni A' ning eng kichik elementi
deb olgan edik. Bu ziddiyat
A' to‘plam elementlari orasida eng kichigi mavjud
emasligini isbotlaydi. Bunday kesimlarni quyi sinfi yopiq, yuqori sinfi ochiq
kesimlar va r
0 sonni esa A
to‘plamni yopuvchi element deb ataladi.
5 .
r0 ratsional sondan kichik barcha ratsional onlardan iborat
A '
=
{ r : r ∈ Q , r < r
0 } va r
0 hamda undan katta barcha ratsional sonlardan iborat
A =
{ r : r ∈ Q , r ≥ r
0 } to‘plamlarni ko‘raylik.
Yuqorida keltirilgan 4-misoldagidek ko‘rsatish mumkinki ,
Q da bu A va A '
to‘plamlar
(
A , A ' )
kesim bajaradi.Bu holda (
A , A ' )
kesimning quyi sinfi A
to‘plamda
(uning elementlari orasida) eng katta element mavjud emas,kesimning yuqori sinfi
A'
to‘plamning elementlari orasida eng kichik element mavjud . Quyi sinfi A
ochiq,
yuqori sinfi
A' esa yopiq bo‘lib, r
0 ratsional son esa to‘plamni yopuvchi element
bo‘ladi.(4-b chizma)
22

$6 . Kubi 2 dan kichik bo‘lgan barcha ratsional sonlardan iborat to‘plam A bo‘lsin:A=\{ r:r∈Q ,r3<2\} ,A'= \{ r:r∈Q ,r3>2\}. Bu A va A ' to‘plamlarning tuzilishidan 5-ta’rifining barcha shartlarining bajarilishini ko‘rish qiyin emas. Demak, A va A' to‘plamlar Q da ( A , A ' ) kesim bajaradi. Endi shu kesimning quyi sinfi A to‘plamning elementlari orasida eng katta element , shuningdek yuqori sinfi A' to‘plamning elementlari orasida eng kichik element mavjud emasligini ko‘rsataylik, A to‘plamdan r 0 sonni ( r 0 ∈ A , r 0 > 1 ) olib uning yordamida ushbu r 1 = r 0 + 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 ( 0 < 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 < 1 ) ratsional sonni hosil qilamiz. Bu r 1 ratsional sonning kubi 2 dan kichik bo‘ladi: r13<2 . Haqiqatan ham r 13 = ( r 0 + 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 ) 3 = ¿ r 03 + 3 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 r 02 + 3 ( 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 ) 2 r 0 + ( 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 ) 3 < ¿ ¿ r 03 + 3 r 02 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 + 3 r 0 2 − r 03 3 r 0 2 + 3 r 0 + 1 + 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 = r 03 + 2 − r 03 3 r 02 + 3 r 0 + 1 ( 3 r 0 2 + 3 r 0 + 1 ) = r 03 + ( 2 − r 03 ) = 2 Demak, r 0 < r 1 ∈ A , yani r 0 ∈ A sondan katta bo‘lgan r 1 ratsional son ham A to‘plamga tegishli bo‘ladi. Shunday qilib ixtiyoriy r 0 ∈ A ratsional son berilganda ham kamida bitta shunday r 1 ratsional son topilar ekanki, u r1>r0 va r0∈A . Bu esa A to‘plamning elementlari orasida eng kattasi mavjud ekanligini ko‘rsatadi. Endi ( A , A ' ) kesimning yuqori sinfi A' to‘plamning elementlari orasida eng kichigi mavjud emasligini isbotlaymiz. r0'∈A(r0'>1) bo‘lsin. Demak, r13>2 . Ushbu : r 1' = r 0' − r 0' 3 − 2 3 r 0' 2 ( 0 < r 0' 3 − 2 3 r 0' 2 < 1 ) ratsional sonni qaraylik. Bu r 1 ratsional sonning kubi 2 dan katta bo‘ladi: r13>2 . Haqiqatdan ham, r 1' 3 = ( r 0' − r 0' 3 − 2 3 r 0' 2 ) 3 = r 0' 3 − 3 r 0' 3 − 2 3 r 0' 2 r 0' 2 + 3 ( r 0' 3 − 2 3 r 0' 2 ) 2 ⋅ r 0' − ( r 0' 3 − 2 3 r 0' 2 ) 3 > r 0' 3 − ( r 0' 3 − 2 ) = 2. Demak, r 0' > r 1 ∈ A ' ya’ni r0'∈A' sondan kichik bo‘lgan r 1' ratsional son ham A ' to‘plamga tegishli bo‘ladi. 23$

Shunday qilib, ixtiyoriy r0'∈A' ratsional son berilganda xam, kamida bitta,
shunday
r1' ratsional son topilar ekanki, u r1'<r0' va r1'∈A'. Bu esa A' to‘plamning
elementlari orasida eng kichigi mavjud emasligini anglatadi.
Shunday qilib, ko‘rilayotgan misolda
(
A , A ' )
kesim uchun quyi sinf A
ham,
yuqori sinf
A' ham ochiq bo‘lib, A
va A' to‘plamlarning yopuvchi elementlari
mavjud emas (4-c chizma).
Ratsional sonlar to‘plami
Q da ham quyi sinf – A to‘plamning elementlari
orasida eng kattasi , ham yuqori sinf-
A' to‘plamining elementlari orasida eng
kichigi mavjud bo‘lgan
(
A , A ' )
kesim mavjud emas. Bu tasdiqni isbotlaymiz.
Faraz qilaylik,
Q to‘plamda shunday (
A , A ' )
kesim mavjud bo‘lsiki, a
0 soni A
to‘plamning eng kata elementi,
a0' esa A' to‘plamning eng kichik elementi bo‘lsin.
U holda kesim ta’rifiga ko‘ra
a0<a0' tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Ravshanki a
0 < a
0 + a
0'
2 < a
0'
. Bunda a
0 + a
0'
2 ratsional son A
to‘plamga tegishli emas,
chunki a
0'
son
A '
to‘plamning eng katta elementi va
a
0 < a
0 + a
0'
2 . Shuningdek a
0 + a
0'
2
ratsional son
A' top`lamiga ham tegishli emas , chunki a0' son A' to‘plamning eng
kichik elementi va a
0 + a
0'
2 < a
0'
.
. Demak, a
0 + a
0'
2 ratsional son A
to‘plamga ham ,
Q A'
to‘plamga ham tegishli bo‘lmaydi. Bu esa kesim tarifiga ziddir. Shunday qilib bir
vaqtning o‘zida quyi sinfida eng kata element, yuqori sinfida esa eng kichik
element bo‘lgan kesim mavjud emas.
Ratsional sonlar to‘plami
Q da bajarilgan kesim ta’rifi va kesimga
keltirilgan misollardan quyidagi xulosani keltirib chiqarish mumkin.
Q to‘plamda
bajarilgan
(
A , A ' )
kesim faqat uch turli bo‘lishi mumkin.
1) Kesimning quyi sinfi A
da eng katta element ( r
0 ratsional son) mavjud,
kesimning yuqori sinfi
A' da esa eng kichik element mavjud emas. Bunda r0
ratsional son quyi sinf A
ning yopuvchi elementi bo‘ladi.
24

2). Kesimning quyi sinfi A
da eng katta element mavjud emas, kesimning
yuqori sinfi
A '
da esa eng kichik element ( r
0'
ratsional son) mavjud. Bunda r
0'
ratsional son yuqori sinf
A '
ning yopuvchi elementi bo‘ladi.
3). Kesimning quyi sinfi A
da eng katta element mavjud emas, kesimning
yuqori sinfi A' da esa kichik element mavjud emas. Bunda quyi sinf A da, yuqori
sinf
A' da yopuvchi elementlar mavjud emas.
Birinchi va ikkinchi tur kesimlarda ularning quyi yoki yuqori sinflari yopiq
bo‘lib, yopuvchi elementlarni bir sinfdan ikkinchi sinfga o‘tkazib, har doim bir
turdagi kesimga – quyi sinfi ochiq, yuqori sinfi esa yopiq bo‘lgan kesimga keltirish
mumkin. Biz bundan buyon birinchi va ikkinchi tur kesimlar o‘rniga bir tur
kesimni, quyi sinfda eng katta element mavjud bo‘lmagan (ochiq sinf), yuqori
sinfda esa eng kichik element mavjud bo‘lgan (yopiq sinf) kesimni qaraymiz.
Bunday kesimlarni ratsional kesim deb ataymiz.
Ixtiyoriy
r∈Q ratsional son uchun Q to‘plamda xar doim (
A , A ' )
kesim
bajarilishi mumkinki, bu kesim ratsional kesim bo‘ladi, bunda
A to‘plam ochiq
sinf,
A' to‘plam yopiq sinf, yopuvchi element r
sonning o‘zi bo‘ladi. Demak, Q
to‘plamda olingan xar bir ratsional songa
Q da bajarilgan ratsional kesim mos
keladi.
Aksincha, Q
to‘plamda
(
A , A ' )
kesim bajarilgan bo‘lib, kesimning quyi sinfi
A
ochiq, yuqori sinfi
A' yopiq hamda yopuvchi element r
bo‘lsa, bu kasim r
ratsional sonni ifodalaydi.
Demak,
Q da bajarilgan har bir ratsional kesim bitta ratsional sonni
aniqlaydi.
Shunday qilib, Q
to‘plam elementlari bilan
Q to‘plamda bajarilgan ratsional
kesimlar to‘plamining elementlari o‘zaro bir qiymatli moslikda bo‘ladi.
6-ta’rif. Ratsional sonlar to‘plami
Q da bajarilgan 3-tur kesim quyi sinfi
ham, yuqori sinfi ham ochiq bo‘lgan kesim irratsional kesim deyiladi. Ratsional
sonlar to‘plami
Q da bajarilgan irrotsional kesim irratsional sonni aniqlaydi
deyiladi. Irratsional sonlar to‘plami
U harfi bilan belgilanadi.
25

4-§. Haqiqiy sonlar, haqiqiy sonlar to‘plamining xossalari.
Ratsional sonlar to‘plami Q da bajarilgan kesim faqat ikki tur – ratsional
yoki irratsional bo‘lib, ratsional kesim ratsional sonni, irratsional kesim esa
irratsional sonni aniqlanishini biz yuqorida ko‘rdik.
26

7-ta’rif . Ratsional hamda irratsional sonlar umumiy nom bilan haqiqiy
sonlar deb ataladi.
Barcha xaqiqiy sonlar to‘plami Q ni haqiqiy sonlar to‘plami R gacha
kengaytirildi. Haqiqiy sonlar to‘plami
R ning xossalarini qaraymiz.
Haqiqiy sonlar to‘plamining tartiblanganligi . Avval xaqiqiy sonlar
to‘plamida tenglik, katta va kichik tushunchalarini kiritamiz. Aytaylik,
x va y
xaqiqiy sonlar berilgan bo‘lsin: x ∈ R , y ∈ R .
Ma’lumki, xar bir xaqiqiy son ratsional
sonlar to‘plami
Q da bajarilgan kesim bilan aniqlanadi. Binobarin, x va y larni
aniqlovchi
(
A , A ' )
va (B,B') kesimlar berilgan bo‘lsin. x=(A,A') va
y = ( B , B ' )
. Bu
kesimlarning quyi sinflari,
A,B lar uchun yoki A= B (bu holda , albatta
A '
= B '
bo‘ladi), yoki A = B
(bu xolda
A'≠B' ) munosabatlardan biri o‘rinli bo‘ladi.
Agar A = B
bo‘lsa,
(
A , A ' )
va (
B , B ' )
kesimlar bir-biriga teng deyiladi:
(A,A')= (B,B').
Bu holda ular aniqlagan x
va y
xaqiqiy sonlar xam bir-biriga teng
deyiladi;
x= y .
Endi
A≠B bo‘lsin.Ta’rifga ko‘ra , shunday r
1 ∈ A
borki, r1∈B bo‘ladi, yoki
shunday
r2∈B borki, r2∈A bo‘ladi. Birinchi xolda r
1 ∈ A ∩ B '
ekanligi kelib chiqadi.
Kesimning ta’rifiga ko‘ra, bu xolda
B⊂ A bo‘ladi.Ikkinchi xolda esa r
2 ∈ B ∩ A '
ekanligidan
A⊂ B kelib chiqadi.Shunday qilib, A≠B bo‘lganda yo A⊂ B yoki B⊂ A
bo‘lar ekan.
Shunday qilib,
A≠B bo‘lganda yo A ⊂ B
bo‘lsa (
A , A ' )
kesim (
B , B ' )
kesimdan
kichik deyiladi. Bu holda haqiqiy son x
haqiqiy son
y dan kichik deb ataladi: x<y .
Agar B ⊂ A
bo‘lsa,
(
A , A ' )
kesim (
B , B ' )
kesimdan katta deyiladi. Bu xolda haqiqiy
son x
xaqiqiy son y
haqiqiy sondan kata deyiladi: x > y .
Shunday qilib, ixtiyoriy ikki
x va y xaqiqiy son berilgan bo‘lsa, unda
x= y,x>y,x<y
munosabatlardan bittasi vafaqat bittasi o‘rinli bo‘ladi.
Endi x ∈ R , y ∈ R , z ∈ R
sonlar uchun ushbu x < y , y < z
tengsizliklardan x < z
tengsizlik kelib chiqishini isbotlaymiz.
x∈R,y∈R,z∈R sonlarni aniqlovchi kesimlar
x =
( A , A ' )
, y = ( B , B ' )
, z = ( C , C ' )
27

bo‘lsin.
Aytaylik, x<y va y<z bo‘lsin. Ta’rifga asosan
x < y ⟶ A ⊂ B ,
y < z ⟶ B ⊂ C
bo‘lsin. Ravshanki,
A ⊂ B
, B ⊂ C ⟶ A ⊂ C .
Bu esa
x<z ekanligini bildiradi. Demak, haqiqiy sonlar to‘plami R tartiblangan
to‘plam.
Ikki
x∈R,y∈R haqiqiy son orasidagi teng, katta va kichik tushunchalari,
xususan, bu sonlar ratsional bo‘lgan holda, ratsional sonlar orasida teng katta va
kichik tushunchalari bilan bir xil bo‘ladi. Masalan,
x,y∈Q sonlar Q da bajarilgan
ratsional kesim sifatida
x =
( A , A ' )
, y = ( B , B ' )
kabi aniqlangan bo‘lib, ular orasidagi
x<y
munosabat yuqoridagidek kesimlar orasidagi munosabat yordamida
ta’riflangan bo‘lsin, ya’ni x < y ⟺ A ⊂ B
. Demak, shunday ratsional son r
mavjudki,
r∈A,r∈B.
U holda
r ∈ A '
. Shuning uchun x≤r bo‘ladi. Shuningdek,
r ∈ B , y = ( B , B ' )
bo‘lganidan esa
r<y ekanligi kelib chiqadi. Demak, x≤r va r<y tengsizliklar o‘rinli
bo‘lsa,
x<y tengsizlik ham o‘rinli bo‘ladi.
Haqiqiy sonlar to‘plamining zichligi. Faraz qilaylik,
x∈R,y∈R va x<y
bo‘lsin. U holda shunday r
ratsional son mavjudki, shu son uchun ushbu x < r < y
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Shuni isbotlaylik.
Q to‘plamda bajarilgan (
A , A ' )
, (
B , B ' )
kesimlar
x va y sonlarni aniqlasin:
x = ( A , A ' )
, y = ( B , B ' )
. U holda
x<y
dan A⊂ B kelib chiqadi. Demak, B to‘plamda shunday ratsional son
r0∈B
mavjudki, r ∈ A
bo‘ladi: r
0 ∈ B
. Unda r0∈A' bo‘ladi va demak, x ≤ r
0 tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan,
y=(B,B'),r0∈B va B to‘plamning elementlari
orasida eng kattasi mavjud emasligi sababli,shunday ratsional son r ∈ B
mavjudki,
r0<r
va r < y
bo‘ladi. Natijada x ≤ r
0 < r < y
tengsizliklarga ega bo‘lamiz. Bundan esa
ushbu
x<r<y ekanligini ko‘ramiz. Shu usul bilan
x ∈ R , y ∈ R
va
x>y bo‘lganda ham x > r > y
munosabatlarni qanoatlantiruvchi
ratsional son
r mavjud ekanligi ko‘rsatiladi.Shunday qilib, ixtiyoriy ikkita bir –
biriga teng bo‘lmagan haqiqiy sonlar orasida kamida bitta haqiqiy son mavjud.
28

Bundan esa ular orasida cheksiz ko‘p haqiqiy son mavjudligi kelib chiqadi.
Demak, R -zich to‘plam.
Xulosa
Biz ushbu mavzuni o‘rganish jarayonida mavzuga oid barcha jarayonlarni
taxlil qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda
mavzuga oid masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi.
Mavzuga to‘xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki haqiqiy sonlar
to‘plami va ularni tartiblanganligi ularning asosiy tushuncha va ta’riflarini yoritib
berishka harakat qildik.
29

Mavzuning asosiy qismida haqiqiy sonlar to‘plami va ularni tartiblanganligi
ta’rif, teoremalarni va isbotlarini ko‘rib o‘tdik.
Shundan so‘ng esa haqiqiy sonlar to‘plami va ularning xossalari haqida
tushuncha, natural va butun sonlar, ratsional sonlar, ratsional sonlar to‘plamining
tartiblanganligi, ratsional sonli chegaralangan va chegaralanmagan
to‘plamlar,ratsional sonlar to‘plamining zichligi ya’ni ixtiyoriy r va t ratsional
sonlar orasida cheksiz ko‘p ratsional sonlar borligi, ratsional sonlarni geometrik
tasvirlash va unga doir misollar, ratsional sonlar to‘plamini kengaytirish zaruriyati,
to‘g‘ri chiziqning xossalari, sonlar o‘qi,ratsional sonlar to‘plamida kesim va
tushunarli bo‘lishi uchun misollar, irratsional sonning ta’rifi, xaqiqiy sonlar
to‘plamining tartiblanganligi va shu kabi mavzular yuzasidan ma’lumotlar keltirdik
va bularni o‘quvchiga tushunarli bo‘lishi uchun har bir mavzuga oid misollarni
ishlanishini ham kiritildi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1. T. Azlarov, H. Mansurov “Matematik analiz” 1-qism. Toshkent - 1994
2. T. Azlarov, H. Mansurov “Matematik analiz” 1-qism. Toshkent – 2005
3. A. Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Vorisov, R. G`ulomov
“Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami I ” Toshkent – 1995
4. O‘. Toshmetov “Matematik analiz, matematik analizga kirish” TDPU 2005-yil.
Internet saytlar ro‘yxati
1. http://uz.m.wikipedia.org
30

2. http://n.ziyouz.com
3. https://hozir.org
31

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Haqiqiy sonlar to’plami va uni tartiblash 26

O'xshash dokumentlar