Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.3MB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	03 Iyun 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

127 Sotish

Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi
Rasuljonova Munisxon Nabijon qizining
Analitik geometriya fanidan
“Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi
tenglamasi”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev.
Farg‘ona-2025

MUNDARIJA
KIRISH … ……………………………………………….…………………………. 3
I BOB. TEKISLIK VA FAZODA TURLI KOORDINATA
SISTEMALARI………………………………………………………….. 6
1.1 - §. Tekislik va fazoda turli koordinata sistemalari……………..…………...…..…. 6
1.2 -§. Ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning turli tenglamalari ………..………......... 13
II BOB IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQNING QUTB
KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI……… 23
2.1 - § . Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini invariantlar yordamida
soddalashtirish………………………………………………………....…………….23
2.2 - §. Ikkinchi tartibli chiziqlarni qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari va
ularning xossalari………………………………………………………………….....28
XULOSA ……………………………………………….…………...……………..33
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ……………………………...……. 34

Kirish
Ilm bo‘lmagan joyda, izlanish bo‘lmagan joyda hech qanday sohada rivojlanish
yuksalish va umuman ushbu sohaning kelajagi bo‘lmaydi.
Sh. Mirziyoyev
Bugungi ilm-fan kundan-kun rivojlanib bormoqda. Shu jumladan matematika
fani ham. Kо‘pchilik matematika- qiyin, abstrakt, zerikarli, foydasiz va real
hayotdan ancha uzoq deb о‘ylaydi. Ushbu mavzuni о‘rganish jarayonida talabalar
geometriya matematikaning inson hayotidagi tayin amaliy masalalarni yechish
zarurati tufayli paydo bо‘lganiga ishonch hosil qilishadi.
Qadimgi geometrik olimlar turli xil yassi chiziqlarni о‘rganishgan. Ular
alohida e’tiborini kanonik kesimlar ellips, parabola va giperbolalarga qaratishgan.
Bu uchta chiziq tо‘g‘ri aylanma konusni uchidan о‘tmaydigan va yasovchisiga
nisbatan hosil qilgan burchaklariga qarab, tekislik bilan kesishdan hosil bо‘ladi.
Ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini о‘rganish atrofimizdagi olam
sirlarini о‘rganishda alohida о‘ringa ega. Kepler va Nyutonning ilmiy
izlanishlaridan ma’lumki, sayyoralar va osmondagi boshqa jismlar orbitalari
ellipsdan iborat. Aylanma shakldagi stakandan suv ichmoqchi bо‘lganimizda kо‘z
oldimizda suv sathida ellips paydo bо‘ladi, xirurg lampasining elliptik shakldaligi
vrachga barcha yorug‘lik nurini bir nuqtaga tо‘plab beradi. Odamlarning
eshitishlari tiniq bо‘lishi uchun saroylar, masjidlar va amfiteatrlarning gumbazlarini
qurishda ellips va parabolaning shaklidan foydalaniladi. Chunki bu shakldagi
qurilgan gumbazlarda akustika yaxshi bо‘ladi. Biror sharpani yaxshiroq eshitish
uchun qо‘limizni quloq yoniga olib kelganimizda beixtiyor qо‘limizni uch ulchamli
parabola (paraboloid) shakliga olib kelamiz.
Ushbu geometrik masalalarning hayotdagi va fandagi ahamiyati shundan
iboratki, bugungi kun qurilishi va arxitekturasi bino va inshootlarning loyihalarini
yaratishda muntazam ravishda geometrik shakl va qoidalardan foydalanishga

ehtiyoj sezmoqda. Shuningdek, hozirgi kunda yer yuzidagi davlatlarning
kо‘pchiligi tomonidan iste’molga kiritilgan Global joylashuv tizimi (GPS) ning
ishlash mexanizmi ham geometriya va trigonometriya qonunlariga asoslanadi. Shu
bilan birga, insoniyatning maishiy hayotida muhim о‘rin egallaydigan telefoniya,
televideniya, aloqa tarmoqlarida hamda qishloq xо‘jaligi, neft va gaz mahsulotlarini
qidirishda, suv, yer va havo transportlarida geometrik qonunlarning ahamiyati
beqiyosdir.
Ikkinchi tartibli chiziqlar xossalarining о‘rni fizika fanida ham muhim
ahamiyatga ega, ayniqsa ularning optik xossalari fizik va texnikada keng
qо‘llaniladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Hech bir ish, yo‘q joydan boshlanmaydi. Hozirgi
zamon fan-texnika taraqqiyoti sharoitida geometriya va uning tarmoqlari, xususan,
analitik geometriya muhim ahamiyat kasb etmoqda. Qutb koordinatalar sistemasida
tekshiriladigan geometrik obyektlar – ayniqsa, ikkinchi tartibli chiziqlarning
tenglamalari, ularning xossalari va grafik ko‘rinishlarini o‘rganish – fan, texnika,
aerokosmik sohalar, kompyuter grafikasi, robototexnika va boshqa ko‘plab
yo‘nalishlarda amaliy ahamiyatga egadir. Ikkinchi tartibli chiziqlarni qutb
koordinatalarida ifodalash orqali ularni o‘rganish yondashuvi murakkab geometrik
muammolarni soddalashtirishga imkon beradi. Shuning uchun ushbu mavzuning
dolzarbligi bugungi kunda ilmiy va amaliy nuqtayi nazardan yuqoridir.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriyaning rivojlanish
jarayonidagi ma’lumotlarni o‘rganish. Mavzuga oid ilmiy va metodik adabiyotlarni
o‘rganish va tahlil qilish, mavzuni o‘rganish davomida bilim va ko‘nikmalarni
oshirish.
- Ikkinchi tartibli chiziqlar bilan tanishish;
- ularni optik xossalari, kanonik va qutbdagi tenglamalarini o‘rganish.
“Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi” mavzusini
o‘rganish va tahlil qilish. Mazkur kurs ishining obyekti – analitik geometriyada

uchraydigan ikkinchi tartibli chiziqlar (parabola, ellips, giperbola va boshqalar)
hamda ularning qutb koordinatalar sistemasida ifodalanishi va o‘rganilishi
hisoblanadi.

I.BOB. TEKISLIK VA FAZODA TURLI KOORDINATA SISTEMALARI.
1.1- §. Tekislik va fazoda turli koordinata sistemalari.
Koordinata sistemalari geometriya va matematik analizning muhim
bo‘limlaridan biri bo‘lib, fazoda va tekislikda obyektlarning joylashuvini aniq
ifodalash imkonini beradi. Kundalik hayotda, fizika, muhandislik, kartografiya va
informatika sohalarida jismlarning o‘rnini aniqlash, ularning harakatini kuzatish yoki
tahlil qilishda koordinata sistemalari katta ahamiyatga ega. Turli koordinata
sistemalari yordamida nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar, sirtlar va jism holatlari matematik
shaklda ifodalanadi.
Tekislikda (ikki o‘lchovli fazoda) asosan to‘ g‘ ri burchakli (Dekart) va qutb
koordinatalari ishlatilsa, fazoda (uch o‘lchovli fazoda) dekart, silindrik va sferik
koordinata sistemalari qo‘llaniladi. Har bir koordinata tizimi ma’lum geometrik
shakllar yoki fizik jarayonlarni eng qulay va sodda ifodalash imkonini beradi.
Shuning uchun har bir tizimning o‘ziga xos afzalliklari mavjud bo‘lib, ular vazifaga
qarab tanlanadi.
Tekislikda dekart koordinatalar sistemasi.
Dekart koordinatalar sistemasining nomi fransuz olimi Rene Dekart nomi bilan
ataladi. Bu tizim matematikada eng ko‘p qo‘llaniladigan koordinata tizimlaridan
biridir va har qanday nuqtaning tekislikdagi joylashuvini sonli ifodalash imkonini
beradi.
Dekart koordinatalar sistemasida:
Ikki o‘q mavjud: gorizontal o‘q - o‘qi, va vertikal o‘q - o‘qi.
Ushbu o‘qlar bir-biriga to‘g‘ri burchak ostida (90°) kesishadi va ularning
kesishgan nuqtasi boshlang‘ich nuqta (koordinata boshi) deyiladi - .
Har bir nuqta tekislikda juftlik shaklida belgilanadi:
- nuqtaning gorizontal (chap/o‘ng) holati,
- nuqtaning vertikal (past/yuqori) holati.

(1.1.1-chizma)
Odatda, tekislikda dekart koordinatalari sistemasi shu ko‘rinishda bo‘ladi.
Tekislik bu koordinatalar sistemasida to‘rt qismga ya’ni – choraklar kabi
bo‘linadi(1.1.1-chizma).
Nuqtalarni koordinata sistemasida tasvirlashni quyida (2,3) koordinata misolida
tasvirlaymiz(1.1.2-chizma):
(1.1.2-chizma)
Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi .
Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi (yoki uch o‘lchamli Dekart koordinatalar
sistemasi) – bu fazoda (uch o‘lchamli makonda) nuqtalarning o‘rnini aniqlash uchun
ishlatiladigan koordinatalar sistemasidir. U uchta o‘qdan iborat:
o‘qi – odatda gorizontal yo‘nalishda,
o‘qi – odatda yon (chapdan o‘ngga) yo‘nalishda,

o‘qi – vertikal (yuqoriga-pastga) yo‘nalishda bo‘ladi.
Har bir nuqta fazoda koordinatalar orqali aniqlanadi:
 – nuqtaning o‘qidagi koordinatasi (chap-o‘ng yo‘nalish),
 – nuqtaning o‘qidagi koordinatasi (oldinga-orqaga yo‘nalish),
 – nuqtaning o‘qidagi koordinatasi (balandlik yoki chuqurlik).
(1.1.3-chizma)
fazoda dekart koordinatalar sistemasi 8 ta sohaga bo‘linadi(1.2.3-chizma) va bularni
oktantlar deb ataymiz. Har bir oktantda nuqtaning koordinatalari turlicha ishoraga ega
bo‘ladi. Oktantlar fazoni segmentlarga bo‘lib beradi va bu geometriya, fizikada va
muhandislikda juda faydali.(1.1.1-jadval)
(1.1.1-jadval)

Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi.
Tekislikda qutb koordinatalari sistemasi - bu nuqtalarning joylashuvini ifodalash
uchun ishlatiladigan koordinatalar tizimidir. U Dekart (to‘g‘ri burchakli)
koordinatalar tizimidan farqli bo‘lib, nuqtani belgilash uchun ikkita o‘zgaruvchi:
masofa va burchak ishlatiladi.
Tekislikda qutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta nuqtani va bu
nuqtadan o ‘tuvchi o ‘qni tanlab olamiz (1.2.4-chizma) . Tanlangan nuqtani qutb boshi,
o ‘qni esa qutb o ‘qi deb ataymiz va uni bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan
ixtiyoriy nuqtadan farqli nuqta uchun bilan masofani, bilan esa
o‘q bilan nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar nuqtaning qutb
koordinatalari deyiladi va kabi belgilanadi.
Tekislikning nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o‘rtasidagi
moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun quyidagi chegara
qo‘yiladi: , .
Agar Dekart koordinatalar sistemasini quyidagi chizmadagidek kiritsak,
(1.1.4-chizma)
quyidagi:

bog‘lanishlarmi hosil qilamiz. Berilgan nuqtaning Dekart koordinatalari
ma’lum bo‘lsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun

formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani
topish uchun nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va

tengliklardan foydalanishimiz kerak.
Masalan, Dekart koordinatalar sistemasida berilgan nuqtaning qutb
koordinatalarini aniqlang.
Yechish: Buning uchun nuqtanin koordinatalarini
formulalardan aniqlaymiz
Demak, nuqtaning qutb koordinatalari
Fazoda slindrik koordinatalar sistemasi.
Fazoda silindrik koordinata sistemasi (yoki silindrik koordinatalar tizimi) — bu
uch o‘lchamli fazoda joylashgan nuqtalarni ifodalash uchun ishlatiladigan koordinata
tizimidir. U silindr shaklidagi simmetriyaga ega bo‘lgan muammolarni yechishda
juda qulay bo‘ladi.
Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritish uchun biz fazoda bitta
tekislikni va unga tegishli birorta nuqtani tanlashimiz kerak. Tanlangan tekislikda
nuqtani qutb boshi sifatida olib, bu tekislikda qutb koordinatalarini kiritamiz.
Berilgan tekislikka perpendikulyar va nuqtadan o‘tuvchi o‘qni o‘qi sifatida
olib, fazoda silindrik koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz: fazoda berilgan
nuqtaning tekislikdagi proyeksiyasini bilan, uning o‘qdagi proeksiyasini
bilan belgilaymiz. Silindrik koordinatalar sifatida kattaliklami olamiz.
Bu yerda - nuqtaning berilgan tekislikdagi qutb koordinatalari, esa
kesma kattaligidir.

(1.1.5- chizma )
Agar biz fazoda tekislik sifatida tanlangan tekislikni , o ‘ q sifatida qutb
o ‘ qini olib dekart koordinatalar sistemasini kiritsak (1.1.5- chizma ) :

bog‘lanishlarni olamiz. Bu yerda o‘zgaruvchilar uchun

munosabat o‘rinlidir.
Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo bitta o‘qqa ega
bo‘lgan ichma-ich joylashgan (konsentrik) silindrlarga ajraladi. Fazoning har bir
nuqtasi bu silindrlarning faqat bittasiga tegishli bo‘ladi. Agar nuqtaning silindrik
koordinatalar bo‘lsa, bu nuqta yotgan silindming radiusi ga teng bo‘ladi.
Agar nuqta silindrlar o‘qiga tegishli bo‘lsa, u tegishli bo‘lgan silindming radiusi
nolga teng bo‘ladi. Yuqoridagi tanlangan dekart koordinatalar sistemasida
silindrlarning o‘qi o‘qidan iboratdir. Bu dekart koordinatalar sistemasida
konsentrik silindrlar tenglamasi
ko‘rinishda bo‘ladi.
Fazoda sferik koordinatalar sistemasi .
Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritish uchun – Dekart
koordinatalar sistemasi kiritilgan deb hisoblab, berilgan nuqta uchun markazi

koordinata boshida bo‘lgan va radiusi ga teng bo‘lgan sferani qaraymiz.
Berilgan nuqtaning tekisligiga proeksiyasini bilan, vektor va
o‘qi orasidagi burchakni bilan, vector va o‘qi orasidagi burchakni
bilan belgilaymiz.
Burchaklami aniqlashda burchak shunday tanlanadiki, o‘qining musbat
yo‘nalishi tomonidan qaraganimizda, o‘qini nur bilan ustma-ust tushirish
uchun soat mili yo‘nalishiga qarshi yo‘nalishda burchakka burish kerak. Yuqorida
aniqlangan kattaliklar nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi. Bunga
sabab, fazoning koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalari
to‘plami sferani tashkil qiladi. Fazoning har bir nuqtasi radiusi koordinata boshidan
shu nuqtagacha bo‘lgan masofaga teng bo‘lgan sferada yotadi. Nuqtaning dekart
koordinatalari bilan sferik koordinatalari orasidagi bog‘lanish quyidagicha bo‘ladi:
,
(1.1.6-chizma)
Odatda fazo nuqtalari bilan ularning sferik koordinatalari orasidagi moslik
o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun

chegaralar qo‘yiladi.
Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo markazi bitta nuqtada
bo‘lgan sferalarga ajraladi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari bo‘lsa, u

yotgan sferaning radiusi ga teng bo‘ladi. Bu masofa nuqtadan koordinatalar
boshigacha bo‘lgan masofaga tengdir. Nuqta radiusli sferada yotgan bo‘lsa, va
burchaklar uning sferadagi vaziyatini aniqlaydi (1.1.6-chizma) . Masalan. Nuqta
sferik koordinatalarida quyidagicha berilgan: . Ushbu nuqtaning Dekart
koordinatalarini ni toping.
Yechish: Bu yerda =5,
formuladan foydalanib
Javob: Demak nuqtaning Dekart koordinatalar sistemasidagi koordinatalari:
bo‘lar ekan.
1.2- §. Ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning turli tenglamalari.
Ikkinchi tartibli chiziqlar – bu matematikada ikkinchi darajali tenglama bilan
ifodalanuvchi chiziqlardir. Ma’lumki, birinchi darajali tenglama to‘g‘ri chiziqni
ifodalaydi. Tabiiyki, to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidagi ikkinchi darajali
tenglama bilan berilgan nuqtalar to‘plamiga murojat qilamiz. Bunday
tenglamalarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
(1.2.1)
Bu yerda koeffitsiyentlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi
lozim. Bu shartni ko‘rinishda yozish mumkin.
Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlanmtiruvchi nuqtalar to‘plami
ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.
Misollar.
Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar
to‘plami faqat bitta nuqtadan iborat.

Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar
to‘plami ikkita to‘g‘ri chiziqdan iborat.
Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar
to‘plami ikki qismdan iborat va maktab kursidan ma’lumki, u giparbola deb ataladi.
Bizga berilgan yuqoridagi (1) tenglamadan ya’ni ikkinchi tartibli chiziqlarning
umumiy ko‘rinishidan turli xil tenglamalarni hosil qilishimiz mumkin. Bu tenglamani
soddalashtirish natijasida Ellips, Giperbola, Parabola, Aylana, Ikki kesishuvchi
to‘g‘ri chiziqlar, Ikki parallel to‘g‘ri chiziqlar, Ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri
chiziqlar va shunga o‘xshash turli chiziqlarni hosil qilishimiz mumkin.
Aylana.
Markaz deb atalgan nuqtadan bir xil uzoqlikda turgan nuqtalarning geometrik
o‘rni aylana deb ataladi.
Ikkinchi darajali umumiy
tenglamada koordinatalarning kvadratlari oldidagi koeffitsiyentlari o‘zaro teng
bo‘lsa va undan tashqari, koordinatalarining ko‘paytmasidan tuzilgan had
qatnashmasa, ya’ni
va
(1.2.1- chizma )

Agar aylananing markazining koordinatalari va bilan, radiusinin ya’ni
aylananing ixtiyoriy nuqtasidan markazigach bo‘lgan masofani bilan belgilasak, u
holda aylananing normal tenglamasi
(1.2.2)
ko‘rinishni oladi.
Aylananing normal tenglamasiga markazining koordinatalari va radiusidan
iborat uchta parametr kiradi.
Koordinatalar boshini aylana markaziga ko‘chiri, uning sodda tenglamasini hosil
qilamiz:
(1.2.3)
Agar va aylanadagi biror nuqtaning koordinatalari berilsa, u holda bu
nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan urinmaning tenglamasi aylananing (1.2.2) yoki (1.2.3)
tenglama bilan berilishiga qarab ,
yoki
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Ta’rif. ikkinchi tartibli chiziqning nuqtasidagi urinmasi deb, ixtiyoriy AB
kechuvchidagi B nuqta bo‘ylab nuqtaga intilgandagi limitik holatiga aytiladi.
Ellips
Har bir nuqtasidan fokus deb ataluvchiikki nuqtasigacha bo‘lgan
masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdor ga teng tekislik nuqtalarining geometrik
o‘rniga ellips deyiladi.

(1.2.2-chizma)
Ellips xossalari:
Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalar
yig‘indisi o‘zgarmas va ga tengdir (1.2.2-chizma) .
Fokuslari orasidagi masofa .
Fokuslarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziqni absissalar o‘qi deb va kordinatalar
boshini fokuslar oralig‘ining o‘rtasiga joylashtirib ellipsning eng soda
tenglamasini hosil qilamiz.
Ellipsning tenglamasi:
(1.2.4)
Ellipsning tenglamasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
Koordinatalar sistemasi bunday tanlab olinganda koordinata o‘qlari ellipsning
simmmetriya o‘qlari bilan, koordinatalar boshi esa uning simmetriya markazi bilan
ustma- ust tushadi.
Ellipsning o‘z o‘qlari bilan kesishish nuqtalari ellipsning uchlari deyiladi.
Uchlar orasiga joylashgan kesmalar ellipsning o‘qlari deyiladi: katta o‘q va
kichik o‘q .

Shunday qilib, (4) ellips tenglamasida qatnashuvchi va parametrlar uning
yarim o‘qlariga teng.
Ellipsnin ekssentrisiteti deb, fokuslariorasidsagi masofaning katta o‘qi
g nisbatiga aytiladi, ya’ni :
bundan ekanligi aniq va ravshan.
Ellipsdagi ixtiyoriy nuqtadan fokuslargacha bo‘lgan masofalar uning fokal
radius-vektorlari deyiladi. Va mos ravishda kabi belgilanadi. Ellipsning ixtiyoriy
nuqtasi uchun

Va ellipsning ta’rifiga asosan
Ya’ni ellipsning har qanday nuqatasining fokal radius-vektorlarining yig‘indisi
uning katta o‘qiga teng.
Ellipsning kichik o‘qiga parallel va undan masofadan o‘tgan ikki to‘g‘ri
chiziq ellipsning direktrisalari deyiladi. Derektrisalari tenglamalari quyidagichadir:
va
Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalarning mos
direktrisalargacha bo‘lgan masofalarga nisbati o‘zgarmas va soniga tengdir ya’ni
ekssentrisitetiga:
va
(4) tenglama bilan berilgan ellipsning nuqtasidan unga urinma bo‘lgan
to‘g‘ri chiziqning tenglamasi

ko‘rinishga ega.
Har bir nuqtadan ellipsga ikkita urinma o‘tkazish mumkin. Nuqta ellips
tashqarisda yotsa, ikkala urinma haqiqiy bo‘ladi nuqta ellipsda yotsa, urinmalar
birlashib ketadi, nuqta ellips ichida yotsa, ikkalaurinma mavhum bo‘ladi.
Giperbola.
Har bir nuqtasidan foku deb ataluvchi ikkita nuqtasigacha bo‘lgan
masofalar ayirmasining absolyut qiymati o‘zgarmas miqdor ga teng bo‘lgan
tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga giperbola deb ataladi.
(1.2.3-chizma)
Fokuslar orasidagi masofa ga teng.
Giperbolaning eng sodda tenglamasi:
(1.2.5)
Ko‘rinishga ega, bunda
Giperbolaning fokuslarini tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq abssissalar o‘qi xizmatini
qiladi va koordinatalar boshi fokuslar orasining o‘rtasida olingan. Bu holda

koordinata o‘qlari giperbolani simmetriya o‘qlari bo‘lib, koordinatalar boshi uning
simmetriya markazi bilan ustma-ust tushadi (giperbolaning o‘qi va o‘qi) (1.2.3-
chizma) .
Fokal o‘qda giperbola ikki haqiqiy va uchtaga ega; ular orasidagi masofa
– giperbolaning haqiqiy o‘qi deyiladi. Ikkinchi o‘q bilan giperbola ikkita
mavhum (0; ± b) nuqtada kesishadi, lekin haqiqiy kesma bo‘lmagani uchun ga mos
bo‘lgan o‘q "mavhum o‘q" deyiladi. Shuning uchun (5) tenglamasiga kirgan va
parametrlari giperbolaning haqiqiy va mavhum yarmi o‘qlar uzunliklariga teng.
Giperbola uchun quyidagi uch holning hammasi bo‘lishi mumkin: va
.
Agar bo‘lsa, giperbola teng tomonli deyiladi.
Agar giperbolaning mavhum o‘qi uzunlikka ega bo‘lib, o‘qi bo‘ylab
yo‘nalgan, haqiqiy o‘qi esa uzunlikka ega, u o‘qi bilan ustma-ust tushsa,
bunday giperbolaning tenglamasi:
(1.2.6)
bo‘ladi.
(5) va (6) tenglamalar bilan berilgan giperbolalar qo‘shma giperbolalar deyiladi.
Fokuslar orasidagi masofaning haqiqiy o‘qqa nisbati giperbolaning
eksentrisiteti deyiladi:
Bunda .
(5) giperbola cheksizlikka cho‘zilgan ikkita (o‘ng va chap) tarmoqdan iborat.
O‘ng tarmoqning nuqtalari uchun fokal radius-vektorlar quyidagi formulalar

bilan hisoblanadi:
Chap tarmoqning nuqtalari uchun:
Shunday qilib, giperbola ixtiyoriy nuqtasining fokal radius-vektorlarining ayirmasi
uning haqiqiy o‘qiga teng.
Giperbolaning fokal o‘qqa perpendikulyar va markazidan masofada o‘tgan to‘g‘ri
chiziqlar giperbolaning direktrisalari deyiladi.
Derektrisalari tenglamalari quyidagichadir:
va
Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalarning mos
direktrisalargacha bo‘lgan masofalarga nisbati o‘zgarmas va soniga tengdir ya’ni
ekssentrisitetiga:
va
Assimtotalari tenglamalari:
Ta’rif.
Agar nuqta chiziq bo‘ylab harakatlanganda biror to‘g‘ri chiziq bilan
cheksizlikda ular orasidagi masofa nolga intilsa, to‘g‘ri chiziq chiziqning
assimtotasi deyiladi.
Markazi giperbolaning markaziga tushib va tomonlari giperbolaning o‘qlari bilan
parallel bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari asimptotalar xizmatini qiladi.
Giperbolaga uning nuqtasidan o‘tkazilgan urinmaning tenglamasi:

Tekislikning har bir nuqtasidan giperbolaga ikkita urinma o‘tkazish mumkin:
agar nuqta giperbolada yotsa, ikkita urinma bir nuqtada birlashadi; ikkita haqiqiy
urinma bo‘lmasa, bu nuqta giperbola tashqarisidadir; faqat mavhum urinmalar
mavjud bo‘lsa,bu nuqta giperbolaning ichki sohasida yotadi.
Parabola.
Har bir nuqtasidan berilgan nuqtasigacha va berilgan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan
masofalari o‘zaro teng bo‘lgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga parabola deb
ataladi.
(1.2.4-chizma)
Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida
(1.2.7)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, u parabola deb ataladi. Tenglamadagi soni
parabola parametri deyiladi.
Biz ikkinchi tenglamani tekshirish yordamida parabolaning xossalarini
o‘rganamiz va uni chizamiz. Tenglamadan ko‘rinib turibdiki, agar koordinatali
nuqta parabolga tegishli bo‘lsa, nuqta ham parabolaga tegishli bo‘ladi.
Demak, parabola o‘qiga nisbatan simmetrik joylashgandir. Bundan tashqari

koordinata boshi parabolaga tegishli, manfiy qiymatlarni qabul qilmaganligi uchun
parabola o‘qining o‘ng tomonida joylashgan.
Tekislikda tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziq parabolaning direktrisasi,
nuqta esa uning fokusi deb ataladi.
Parabola ixtiyoriy nuqtasining fokal radius-vekktori
bo‘ladi va parabolaning ta’rifiga ko‘ra,
bu yerda - parabola nuqtasining direktirissasigacha bo‘lgan masofa (1.2.4-chizma) .
parabola uning nuqtasida o‘tkazilgan urinma
tenglama bilan ifodalanadi.

II. BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQNING QUTB KOORDINATALAR
SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI .
2.1- § . Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini invariantlar yordamida
soddalashtirish.
Bizga ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin.
(2.1.1)
Quyidagi almashtirishni bajaraylik.
(2.1.2)
Bu almashtirish natijasija (2.1.1) chizig‘imizni tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi.
(2.1.3)
Umumiy holda almashtirish natijasida (2.1.1) chiziqning koeffitsentlari
o‘zgaradi. Ammo (2.1.1) chiziqning koeffitsentlari bog‘liq bo‘lgan shunday
funksiyani tuzish mumkinki, bu funksiyaning qiymati almashtirish bajarilganidan
so‘ng hosil bo‘lgan chiziq tenglamasidagi koeffitsentlardagi qiymati o‘zgarmaydi,
ya’ni Shunday funksiyalarga (2.1.1) chiziqning almashtirishga
nisbatan invarianti deyiladi.
Endi (2.1.1) chiziq tenglamasi uchun quyidagi almashtirishni bajaraylik, ya’ni
koordinatalar sistemasini koordinata boshi atrofida burchakka buramiz
(2.1.4)
Natijada (2.1.1) chiziq tenglamasi yangi koordinatalar sistemasiga
nisbatan quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz.
(2.1.5)
bu yerda

(2.1.6)
Endi ikkinchi tartibli egri chiziqning invariantlarini topishda asosiy rol o‘ynaydigan
quyidagi teoremani keltiramiz. Buning uchun quyidagi tushunchalar kerak bo‘ladi,
ya’ni bizga ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan kvadratik forma berilgan bo‘lib,
(2.1.7)
uning matritsasi
bo‘lsin.
Quyidagi chiziqli almashtirishni bajaraylik
(2.1.8)
bu almashtirishni matritsasi
bo ‘ lsin .
Teorema : Agar (2.1.7) kvadratik forma uchun (2.1.8) chiziqli almashtirish
bajarilgan bo ‘ lsa , u holda hosil bo ‘ lgan yangi kvadratik forma matritsasini
determinanti , berilgan kvadratik forma matritsasi determinantini almashtirish
matritsasi determinantini kvadratiga yo ‘ naltirilganiga teng bo ‘ ladi , ya ’ ni
(2.1.9)

Yuqoridagi teoremaga ko‘ra (2.1.1) ni burishga nisbatan invariantlarni topamiz.
Quyidagi almashtirishni bajaraylik
u holda quyidagilarga ega bo‘lamiz
(2.1.10)
ikkinchi tomondan
(2.1.11)
Bu (2.1.10) va (2.1.11) lardan har qanday haqiqiy son uchun quyidagi tenglik
o‘rinli bo‘ladi.
yoki
Yuqorida keltirilgan teoremaga ko ‘ ra , quyidagini yozishimiz mumkin .
Hosil bo‘lgan determinantlarni hisoblaymiz.
Bu tenglikdan quyidagilarga ega bo‘lamiz.
Invariantning ta’rifiga ko‘ra va la (2.1.1) chiziqni burishga nisbatan
invariantlari bo‘ladi.
Yuqorida va ni hosil qilganimiz singari, ni ham shu shartlar va amallar
orqali hosil qilamiz va u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Bizga ma ’ lumki ,
(2.1.1)
ikkinchi tartibli egri chizig ‘ imiz quyidagi uchta tipga ajralar edi .
I. , agarda ;
II. , agarda ;
III. , agarda .
Bu hosil bo‘lgan ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasidagi koeffitsentlarni
invariantlar orqali ifodalaymiz. Buning uchun xarakteristik tenglamani olib uning
ildizlarini invariantlar orqali ifodalaymiz
Xarakteristik tenglama ildizlari invariantlar orqali ifodalanganligi uchun ular
chiziqli almashtirishga nisbatan invariant bo‘ladi.
a) ikkinchi tartibli egri chiziq I tipga tegishli bo‘lsin
Viyet teoremasiga ko‘ra
Qaralayotgan chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lganligi uchun
bo‘ladi, bundan esa ekanligi kelib chiqadi. Demak (2.1.1) chiziq tipga
tegishli bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti ekan.
Endi invariantni hisoblaymiz.

Bundan esa (2.1.1) chiziq tipga tegishli bo‘lsa uning tenglamasi quyidagi
ko‘rinishda bo‘lishligi kelib chiqadi.
b) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lsin.
Ikkinchi tip uchun bo‘lganligi uchun bo‘ladi, va
quyidagiga teng bo‘ladi.
Demak (2.1.1) chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti
bo‘lishi ekan.
Ikkinchi tomondan: bo‘lganligi uchun, tip
tenglamani invariantlar orqali ifodasi quyidagicha bo‘ladi.
c) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lsin, ya’ni
(2.1.1)
chiziqning tipga tegishli bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti quyidagicha
bo‘ladi.
-invariantni III tip uchun hisoblaymiz.

Bundan esa tip chiziq tenglamasi invariantlar orqali quyidagicha
ifodalanishi kelib chiqadi.
Misol. Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi soddalashtirilsin.
Yechish:
Berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqni invariantlarini hisoblaymiz.
Ikkinchi va uchinchi invariantlar bo‘lganligi uchun berilgan
chizig‘imiz tipga tegishli bo‘ladi. Endi invariantni hisoblaymiz
Uchinchi tip tenglamasini yozamiz.
yoki
Tenglamadan ko‘rinib turibdiki, berilgan chizig‘imiz o‘zaro parallel to‘g‘ri
chiziqlardan iborat bo‘lar ekan.
2.2- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarni qutb koordinatalar sistemasidagi
tenglamalari va ularning xossalari.

Analitik geometriyada chiziqli tenglamalarning turli koordinatalar sistemasida
ifodalanishi alohida ahamiyatga ega. Ayniqsa, ikkinchi tartibli chiziqlar – ellips,
parabola va giperbola – tabiatda va texnikada keng qo‘llaniladi. Ularning qutb
koordinatalarida ifodalanishi geometrik tahlilni soddalashtirib, fizik jarayonlarni
modellashtirishda qulaylik yaratadi. Mazkur bo‘limda ushbu chiziqlarning qutb
koordinatalaridagi tenglamalari, ularning hosil bo‘lish shartlari va qo‘llanilishi
o‘rganiladi.
Biz bu yerda ikkinchi tartibli chiziqlar (ellips, giperbola va parabola) ning
oldingi paragraflarda bayon etilgan xossalaridan foydalanib, maxsus tanlangan qutb
koordinatalardagi tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Bizga aytilgan chiziqlardan
birortasi: ellips, giperbola yoki parabola berilgan bo‘lsin ( agar berilgan chiziq
giperbola bo‘lsa, uning o‘ng tarmog‘ini qaraymiz, chunki keltirib chiqariladigan qutb
tenglama biz qarayotgan holda giperbolaning faqat bitta tarmog‘ini aniqlaydi).
Berilgan chiziqni bilan belgilaymiz. bu chiziqning fokusi, shu fokusga
mos direktrisasi bo‘lsin.( chiziq giperbola bo‘lganda va uchun qaralayotgan
tarmog‘iga yaqin fokus va direktirisasi olinadi.)
(2.2.1-chizma)
Qutb koordinatalar sistemasini quydagicha kiritamiz. to‘g‘ri chiziqni
o‘tkazamiz (2.2.1-chizma) ,

bo‘lsin, bunda nuqta to‘g‘ri chiziqda va nuqtadan
nuqta yotmagan tomonida yotadi. nuqtani qutb, nurni qutb o‘qi deb qabul
qilamiz. nuqta nuqtada qutb o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyarning bilan
kesishgan nuqtasi bo‘lsin. masofani bilan belgilaymiz va chiziqning
fokal parametri deb ataymiz. Tanlangan qutb koordinatalar sistemasiga nisbatan
chiziqning ixtiyoriy nuqtasining koordinatalarini bilan belgilaymiz:
chiziqning quyidagi teoremasiga ko‘ra,
Teorema: Ellips (giperbola) tekislikda shunday nuqtalarning geometrik o‘rniki,
bu nuqtalarning har biridan fokusgacha bo‘lgan masofani o‘sha nuqtadan shu fokusga
mos direktrisagacha bo‘lgan masofaga nisbati o‘zgarmas miqdor bo‘lib, ellips
(giperbola) ning ekssentrisiteti ga teng.
bo‘ladi.
(2.2.1)
Agar bo‘lsa,
Agar bo‘lsa,
( nuqta qutb o‘qiga tushirilgan perpendikulyarning asosi).
Demak, ikkala holda ham

ning bu qiymatini (2.2.1) ga qo‘ysak,
tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan
(2.2.2)
(2.2.2) tenglama chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasidir .
Bu tenglama:
а) bo‘lsa, ellipsni aniqlaydi. bu holda oraliqdagi barcha
qiymatlarni qabul qiladi;
b) bo‘lsa, parabolani aniqlaydi bu holda oraliqdagi barcha
qiymatlarni qabul qiladi. qiymatga parabolaning hech bir nuqtasi mos
kelmaydi;
c) bo‘lsa, giperbolani (biz qarayotgan tarmog‘ini) aniqlaydi. Bu holda ning
qaysi oraliqda o‘zgarishini tekshiramiz. – asimptotalar orasidagi tarmoq
joylashgan burchak bo‘lsin, u holda
yoki
bo‘lganidan
(2.2.2) tenglamada uchun yoki bo‘lishi kerak. Bundan
giperbolaning qaralayotgan tarmog‘idagi nuqtalar uchun
tengsizliklar bajariladi, degan natija kelib chiqadi. (2.2.2 tenglamadagi0 ( , ) r M F  
son fokal parametr deyiladi. Parabola uchun bu r fokal parametr
uning kanonik tenglamasidagi
r dan iborat. Ellips (giperbola) uchun r ning

ma’nosini, ya’ni yarim o‘qlar orqali ifodasini topaylik. to‘g‘ri chiziq ellips
(giperbola) ning fokal o‘qiga perpendikulyar bo‘lgani uchun nuqtalar bir xil
abssissaga ega. koordinatalarga ega bo‘lsin desak, (giperbola
bo‘lsa, ). ellips (giperbola) ga tegishli bo‘lgani uchun
va ni
hisobga olsak, bundan , Demak,
ellips (giperbola) da fokal parametr ga teng.
Masala.
chiziqning dekart repperiga nisbatan kanonik tenglamasini yozing.
Yechish: Berilgan tenglamani ko‘rinishga keltirish uchun o‘ng
tomonini surat va maxrajini 4 ga bo‘lamiz:
buni (2.2.2) formula bilan taqqoslasak, ko‘ramizki, demak, egri chiziq
giperboladir. Uning kanonik tenglamasini yozamiz. Tenglamadan lekin
edi, bundan b,a nin bu qiymatlarini
tenglikka qo‘ysak, bundan

berilgan giperbolaning kanonik tenglamasi

XULOSA.
Mazkur kurs ishida ikkinchi tartibli chiziqlarning – ellips, giperbola,
parabolaning va ularning maxsus holatlarining qutb koordinatalar sistemasidagi
ifodalanishi o‘rganildi. An’anaviy to‘g‘ri to‘rtburchak (Dekart) koordinatalar
sistemasida bu chiziqlarning tenglamalari keng o‘rganilgan bo‘lsa-da, qutb
koordinatalar sistemasida ularni tasvirlash va ularning tenglamalarini chiqarish
geometriya va matematik analizning yanada chuqurroq bilimlarini talab qiladi.
Ish davomida avvalo qutb koordinatalar sistemasi haqida umumiy ma’lumotlar
keltirildi. Qutb koordinatalar sistemasi markaz (qutb nuqta) va yo‘nalish burchagi
asosida aniqlanadi. Bu sistemaning o‘ziga xos afzalliklaridan biri – markazdan
masofa va burchak orqali nuqtalarni qulay tarzda ifodalash imkoniyati hisoblanadi.
Ayniqsa, markazga nisbatan simmetrik bo‘lgan yoki fokuslari qutb nuqtasida
joylashgan chiziqlarni tasvirlashda qutb koordinatalari samarali qo‘llaniladi.
Ishda shuningdek, chiziqlarning grafigi, fokuslari, yo‘naltiruvchi chiziqlari,
asosiy o‘qlari kabi elementlari tahlil qilinib, ularning qutb koordinatalaridagi
o‘rinlari, shakli va simmetriyasi chuqur o‘rganildi. Qator misollar va grafik tasvirlar
orqali bu chiziqlarning qanday qilib qutb koordinatalariga ko‘chirilishi, va bunda
qanday matematik usullar qo‘llanilishi amaliy misollar orqali ko‘rsatildi.
Xulosa qilib aytganda, qutb koordinatalar sistemasida ikkinchi tartibli
chiziqlarni ifodalash – nafaqat nazariy jihatdan muhim, balki ko‘plab amaliy
masalalarda, xususan fizika, muhandislik, astronomiya va boshqa fan sohalarida ham
keng qo‘llaniladi. Fokuslar atrofida harakatlanuvchi jismlar trajektoriyasini ifodalash,
sun’iy yo‘ldoshlarning harakat yo‘llarini aniqlash yoki linzalar orqali nurning sinishi
va qaytishini tahlil qilishda qutb koordinatalari juda qo‘l keladi.
Mazkur kurs ishi orqali talabaga nafaqat qutb koordinatalar sistemasi haqida
nazariy bilimlar berildi, balki ularni amaliy masalalarda qo‘llash ko‘nikmasi ham
shakllantirildi. Natijada, ikkinchi tartibli chiziqlarning chuqur mohiyatini

tushunishga, ularning fazodagi geometrik tasvirini yanada aniqroq tasavvur qilishga
erishildi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI.
1. Narmanov A.Ya. Analitik geometriya. O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati
nashriyoti Toshkent. 2008 y.
2. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. T.Universitet, 586 b, 2005 y.
3. Қори - Ниёзий Т . Н ., Аналитик геометрия асосий курси . Фан .1971 й .
4. Pogorelov А. V. Analitik geometriya. Toshkent , 0 ‘ qituvchi , 1983, 206- bet .
5. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
Санкт-Петербург — Москва, Изд. Лан’, 2003 г. стр. 336.
6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra.
Toshkent. “O‘qituvchi” 1993 y.
7. Dadajonov.N.D. 1-qism, “O‘qituvchi “ nashriyoti, 1982-y. “O‘qituvchi”
nashriyoti, qayta ishlangan, 1996-y.
8. Boxonov Zafar Saydimahmudovich, Analitik geometriyadan misol va masalalar
to‘plami. (Analitik geometriya elementlari). Uslubiy qo‘llanma, - Namangan:
NamDU nashri, 2018. 104 bet.
9. J. Akilov, M.Jabborov “Chiziqli Algebra va analitik geometriyadan masalalar
yechish”. “ Turon - Iqbol ” Toshkent 2006.
10. Шодиев Т. Ш. Аналитик геометрия ва чизи^ли алгебра: Олий техн. у^ув
юрт. студ. учун дарслик. Махсус мухаррир F. Н. Насрнтдинов.— Т.У^итувчи,
1984,—320 б.
11. Bayturayev A . M ., Kucharov . R.R. Algebra va geometriya. Toshkent.
“Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet.
ELEKTRON MANBALAR
1 . htt://www.lib.ru
2. htt://www.bilimdon.uz
3. htt://www.istedod.uz

Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi kurs ishi

Sotib olish