Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 1.3MB
Xaridlar 1
Yuklab olingan sana 03 Iyun 2025
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

153 Sotish

Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi

Sotib olish
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi Rasuljonova Munisxon Nabijon qizining Analitik geometriya fanidan “Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev. Farg‘ona-2025 MUNDARIJA KIRISH … ……………………………………………….…………………………. 3 I BOB. TEKISLIK VA FAZODA TURLI KOORDINATA SISTEMALARI………………………………………………………….. 6 1.1 - §. Tekislik va fazoda turli koordinata sistemalari……………..…………...…..…. 6 1.2 -§. Ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning turli tenglamalari ………..………......... 13 II BOB IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQNING QUTB KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI……… 23 2.1 - § . Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini invariantlar yordamida soddalashtirish………………………………………………………....…………….23 2.2 - §. Ikkinchi tartibli chiziqlarni qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari va ularning xossalari………………………………………………………………….....28 XULOSA ……………………………………………….…………...……………..33 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ……………………………...……. 34 Kirish Ilm bo‘lmagan joyda, izlanish bo‘lmagan joyda hech qanday sohada rivojlanish yuksalish va umuman ushbu sohaning kelajagi bo‘lmaydi. Sh. Mirziyoyev Bugungi ilm-fan kundan-kun rivojlanib bormoqda. Shu jumladan matematika fani ham. Kо‘pchilik matematika- qiyin, abstrakt, zerikarli, foydasiz va real hayotdan ancha uzoq deb о‘ylaydi. Ushbu mavzuni о‘rganish jarayonida talabalar geometriya matematikaning inson hayotidagi tayin amaliy masalalarni yechish zarurati tufayli paydo bо‘lganiga ishonch hosil qilishadi. Qadimgi geometrik olimlar turli xil yassi chiziqlarni о‘rganishgan. Ular alohida e’tiborini kanonik kesimlar ellips, parabola va giperbolalarga qaratishgan. Bu uchta chiziq tо‘g‘ri aylanma konusni uchidan о‘tmaydigan va yasovchisiga nisbatan hosil qilgan burchaklariga qarab, tekislik bilan kesishdan hosil bо‘ladi. Ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini о‘rganish atrofimizdagi olam sirlarini о‘rganishda alohida о‘ringa ega. Kepler va Nyutonning ilmiy izlanishlaridan ma’lumki, sayyoralar va osmondagi boshqa jismlar orbitalari ellipsdan iborat. Aylanma shakldagi stakandan suv ichmoqchi bо‘lganimizda kо‘z oldimizda suv sathida ellips paydo bо‘ladi, xirurg lampasining elliptik shakldaligi vrachga barcha yorug‘lik nurini bir nuqtaga tо‘plab beradi. Odamlarning eshitishlari tiniq bо‘lishi uchun saroylar, masjidlar va amfiteatrlarning gumbazlarini qurishda ellips va parabolaning shaklidan foydalaniladi. Chunki bu shakldagi qurilgan gumbazlarda akustika yaxshi bо‘ladi. Biror sharpani yaxshiroq eshitish uchun qо‘limizni quloq yoniga olib kelganimizda beixtiyor qо‘limizni uch ulchamli parabola (paraboloid) shakliga olib kelamiz. Ushbu geometrik masalalarning hayotdagi va fandagi ahamiyati shundan iboratki, bugungi kun qurilishi va arxitekturasi bino va inshootlarning loyihalarini yaratishda muntazam ravishda geometrik shakl va qoidalardan foydalanishga ehtiyoj sezmoqda. Shuningdek, hozirgi kunda yer yuzidagi davlatlarning kо‘pchiligi tomonidan iste’molga kiritilgan Global joylashuv tizimi (GPS) ning ishlash mexanizmi ham geometriya va trigonometriya qonunlariga asoslanadi. Shu bilan birga, insoniyatning maishiy hayotida muhim о‘rin egallaydigan telefoniya, televideniya, aloqa tarmoqlarida hamda qishloq xо‘jaligi, neft va gaz mahsulotlarini qidirishda, suv, yer va havo transportlarida geometrik qonunlarning ahamiyati beqiyosdir. Ikkinchi tartibli chiziqlar xossalarining о‘rni fizika fanida ham muhim ahamiyatga ega, ayniqsa ularning optik xossalari fizik va texnikada keng qо‘llaniladi. Kurs ishining dolzarbligi: Hech bir ish, yo‘q joydan boshlanmaydi. Hozirgi zamon fan-texnika taraqqiyoti sharoitida geometriya va uning tarmoqlari, xususan, analitik geometriya muhim ahamiyat kasb etmoqda. Qutb koordinatalar sistemasida tekshiriladigan geometrik obyektlar – ayniqsa, ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamalari, ularning xossalari va grafik ko‘rinishlarini o‘rganish – fan, texnika, aerokosmik sohalar, kompyuter grafikasi, robototexnika va boshqa ko‘plab yo‘nalishlarda amaliy ahamiyatga egadir. Ikkinchi tartibli chiziqlarni qutb koordinatalarida ifodalash orqali ularni o‘rganish yondashuvi murakkab geometrik muammolarni soddalashtirishga imkon beradi. Shuning uchun ushbu mavzuning dolzarbligi bugungi kunda ilmiy va amaliy nuqtayi nazardan yuqoridir. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriyaning rivojlanish jarayonidagi ma’lumotlarni o‘rganish. Mavzuga oid ilmiy va metodik adabiyotlarni o‘rganish va tahlil qilish, mavzuni o‘rganish davomida bilim va ko‘nikmalarni oshirish. - Ikkinchi tartibli chiziqlar bilan tanishish; - ularni optik xossalari, kanonik va qutbdagi tenglamalarini o‘rganish. “Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi” mavzusini o‘rganish va tahlil qilish. Mazkur kurs ishining obyekti – analitik geometriyada uchraydigan ikkinchi tartibli chiziqlar (parabola, ellips, giperbola va boshqalar) hamda ularning qutb koordinatalar sistemasida ifodalanishi va o‘rganilishi hisoblanadi. I.BOB. TEKISLIK VA FAZODA TURLI KOORDINATA SISTEMALARI. 1.1- §. Tekislik va fazoda turli koordinata sistemalari. Koordinata sistemalari geometriya va matematik analizning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, fazoda va tekislikda obyektlarning joylashuvini aniq ifodalash imkonini beradi. Kundalik hayotda, fizika, muhandislik, kartografiya va informatika sohalarida jismlarning o‘rnini aniqlash, ularning harakatini kuzatish yoki tahlil qilishda koordinata sistemalari katta ahamiyatga ega. Turli koordinata sistemalari yordamida nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar, sirtlar va jism holatlari matematik shaklda ifodalanadi. Tekislikda (ikki o‘lchovli fazoda) asosan to‘ g‘ ri burchakli (Dekart) va qutb koordinatalari ishlatilsa, fazoda (uch o‘lchovli fazoda) dekart, silindrik va sferik koordinata sistemalari qo‘llaniladi. Har bir koordinata tizimi ma’lum geometrik shakllar yoki fizik jarayonlarni eng qulay va sodda ifodalash imkonini beradi. Shuning uchun har bir tizimning o‘ziga xos afzalliklari mavjud bo‘lib, ular vazifaga qarab tanlanadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasi. Dekart koordinatalar sistemasining nomi fransuz olimi Rene Dekart nomi bilan ataladi. Bu tizim matematikada eng ko‘p qo‘llaniladigan koordinata tizimlaridan biridir va har qanday nuqtaning tekislikdagi joylashuvini sonli ifodalash imkonini beradi. Dekart koordinatalar sistemasida: Ikki o‘q mavjud: gorizontal o‘q - o‘qi, va vertikal o‘q - o‘qi. Ushbu o‘qlar bir-biriga to‘g‘ri burchak ostida (90°) kesishadi va ularning kesishgan nuqtasi boshlang‘ich nuqta (koordinata boshi) deyiladi - . Har bir nuqta tekislikda juftlik shaklida belgilanadi: - nuqtaning gorizontal (chap/o‘ng) holati, - nuqtaning vertikal (past/yuqori) holati. (1.1.1-chizma) Odatda, tekislikda dekart koordinatalari sistemasi shu ko‘rinishda bo‘ladi. Tekislik bu koordinatalar sistemasida to‘rt qismga ya’ni – choraklar kabi bo‘linadi(1.1.1-chizma). Nuqtalarni koordinata sistemasida tasvirlashni quyida (2,3) koordinata misolida tasvirlaymiz(1.1.2-chizma): (1.1.2-chizma) Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi . Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi (yoki uch o‘lchamli Dekart koordinatalar sistemasi) – bu fazoda (uch o‘lchamli makonda) nuqtalarning o‘rnini aniqlash uchun ishlatiladigan koordinatalar sistemasidir. U uchta o‘qdan iborat: o‘qi – odatda gorizontal yo‘nalishda, o‘qi – odatda yon (chapdan o‘ngga) yo‘nalishda, o‘qi – vertikal (yuqoriga-pastga) yo‘nalishda bo‘ladi. Har bir nuqta fazoda koordinatalar orqali aniqlanadi:  – nuqtaning o‘qidagi koordinatasi (chap-o‘ng yo‘nalish),  – nuqtaning o‘qidagi koordinatasi (oldinga-orqaga yo‘nalish),  – nuqtaning o‘qidagi koordinatasi (balandlik yoki chuqurlik). (1.1.3-chizma) fazoda dekart koordinatalar sistemasi 8 ta sohaga bo‘linadi(1.2.3-chizma) va bularni oktantlar deb ataymiz. Har bir oktantda nuqtaning koordinatalari turlicha ishoraga ega bo‘ladi. Oktantlar fazoni segmentlarga bo‘lib beradi va bu geometriya, fizikada va muhandislikda juda faydali.(1.1.1-jadval) (1.1.1-jadval) Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi. Tekislikda qutb koordinatalari sistemasi - bu nuqtalarning joylashuvini ifodalash uchun ishlatiladigan koordinatalar tizimidir. U Dekart (to‘g‘ri burchakli) koordinatalar tizimidan farqli bo‘lib, nuqtani belgilash uchun ikkita o‘zgaruvchi: masofa va burchak ishlatiladi. Tekislikda qutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta nuqtani va bu nuqtadan o ‘tuvchi o ‘qni tanlab olamiz (1.2.4-chizma) . Tanlangan nuqtani qutb boshi, o ‘qni esa qutb o ‘qi deb ataymiz va uni bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy nuqtadan farqli nuqta uchun bilan masofani, bilan esa o‘q bilan nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va kabi belgilanadi. Tekislikning nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o‘rtasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun quyidagi chegara qo‘yiladi: , . Agar Dekart koordinatalar sistemasini quyidagi chizmadagidek kiritsak, (1.1.4-chizma) quyidagi: bog‘lanishlarmi hosil qilamiz. Berilgan nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo‘lsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani topish uchun nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va tengliklardan foydalanishimiz kerak. Masalan, Dekart koordinatalar sistemasida berilgan nuqtaning qutb koordinatalarini aniqlang. Yechish: Buning uchun nuqtanin koordinatalarini formulalardan aniqlaymiz Demak, nuqtaning qutb koordinatalari Fazoda slindrik koordinatalar sistemasi. Fazoda silindrik koordinata sistemasi (yoki silindrik koordinatalar tizimi) — bu uch o‘lchamli fazoda joylashgan nuqtalarni ifodalash uchun ishlatiladigan koordinata tizimidir. U silindr shaklidagi simmetriyaga ega bo‘lgan muammolarni yechishda juda qulay bo‘ladi. Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritish uchun biz fazoda bitta tekislikni va unga tegishli birorta nuqtani tanlashimiz kerak. Tanlangan tekislikda nuqtani qutb boshi sifatida olib, bu tekislikda qutb koordinatalarini kiritamiz. Berilgan tekislikka perpendikulyar va nuqtadan o‘tuvchi o‘qni o‘qi sifatida olib, fazoda silindrik koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz: fazoda berilgan nuqtaning tekislikdagi proyeksiyasini bilan, uning o‘qdagi proeksiyasini bilan belgilaymiz. Silindrik koordinatalar sifatida kattaliklami olamiz. Bu yerda - nuqtaning berilgan tekislikdagi qutb koordinatalari, esa kesma kattaligidir. (1.1.5- chizma ) Agar biz fazoda tekislik sifatida tanlangan tekislikni , o ‘ q sifatida qutb o ‘ qini olib dekart koordinatalar sistemasini kiritsak (1.1.5- chizma ) : bog‘lanishlarni olamiz. Bu yerda o‘zgaruvchilar uchun munosabat o‘rinlidir. Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo bitta o‘qqa ega bo‘lgan ichma-ich joylashgan (konsentrik) silindrlarga ajraladi. Fazoning har bir nuqtasi bu silindrlarning faqat bittasiga tegishli bo‘ladi. Agar nuqtaning silindrik koordinatalar bo‘lsa, bu nuqta yotgan silindming radiusi ga teng bo‘ladi. Agar nuqta silindrlar o‘qiga tegishli bo‘lsa, u tegishli bo‘lgan silindming radiusi nolga teng bo‘ladi. Yuqoridagi tanlangan dekart koordinatalar sistemasida silindrlarning o‘qi o‘qidan iboratdir. Bu dekart koordinatalar sistemasida konsentrik silindrlar tenglamasi ko‘rinishda bo‘ladi. Fazoda sferik koordinatalar sistemasi . Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritish uchun – Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan deb hisoblab, berilgan nuqta uchun markazi koordinata boshida bo‘lgan va radiusi ga teng bo‘lgan sferani qaraymiz. Berilgan nuqtaning tekisligiga proeksiyasini bilan, vektor va o‘qi orasidagi burchakni bilan, vector va o‘qi orasidagi burchakni bilan belgilaymiz. Burchaklami aniqlashda burchak shunday tanlanadiki, o‘qining musbat yo‘nalishi tomonidan qaraganimizda, o‘qini nur bilan ustma-ust tushirish uchun soat mili yo‘nalishiga qarshi yo‘nalishda burchakka burish kerak. Yuqorida aniqlangan kattaliklar nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi. Bunga sabab, fazoning koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalari to‘plami sferani tashkil qiladi. Fazoning har bir nuqtasi radiusi koordinata boshidan shu nuqtagacha bo‘lgan masofaga teng bo‘lgan sferada yotadi. Nuqtaning dekart koordinatalari bilan sferik koordinatalari orasidagi bog‘lanish quyidagicha bo‘ladi: , (1.1.6-chizma) Odatda fazo nuqtalari bilan ularning sferik koordinatalari orasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun chegaralar qo‘yiladi. Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo markazi bitta nuqtada bo‘lgan sferalarga ajraladi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari bo‘lsa, u yotgan sferaning radiusi ga teng bo‘ladi. Bu masofa nuqtadan koordinatalar boshigacha bo‘lgan masofaga tengdir. Nuqta radiusli sferada yotgan bo‘lsa, va burchaklar uning sferadagi vaziyatini aniqlaydi (1.1.6-chizma) . Masalan. Nuqta sferik koordinatalarida quyidagicha berilgan: . Ushbu nuqtaning Dekart koordinatalarini ni toping. Yechish: Bu yerda =5, formuladan foydalanib Javob: Demak nuqtaning Dekart koordinatalar sistemasidagi koordinatalari: bo‘lar ekan. 1.2- §. Ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning turli tenglamalari. Ikkinchi tartibli chiziqlar – bu matematikada ikkinchi darajali tenglama bilan ifodalanuvchi chiziqlardir. Ma’lumki, birinchi darajali tenglama to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi. Tabiiyki, to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidagi ikkinchi darajali tenglama bilan berilgan nuqtalar to‘plamiga murojat qilamiz. Bunday tenglamalarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: (1.2.1) Bu yerda koeffitsiyentlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi lozim. Bu shartni ko‘rinishda yozish mumkin. Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlanmtiruvchi nuqtalar to‘plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi. Misollar. Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami faqat bitta nuqtadan iborat. Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkita to‘g‘ri chiziqdan iborat. Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikki qismdan iborat va maktab kursidan ma’lumki, u giparbola deb ataladi. Bizga berilgan yuqoridagi (1) tenglamadan ya’ni ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy ko‘rinishidan turli xil tenglamalarni hosil qilishimiz mumkin. Bu tenglamani soddalashtirish natijasida Ellips, Giperbola, Parabola, Aylana, Ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar, Ikki parallel to‘g‘ri chiziqlar, Ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlar va shunga o‘xshash turli chiziqlarni hosil qilishimiz mumkin. Aylana. Markaz deb atalgan nuqtadan bir xil uzoqlikda turgan nuqtalarning geometrik o‘rni aylana deb ataladi. Ikkinchi darajali umumiy tenglamada koordinatalarning kvadratlari oldidagi koeffitsiyentlari o‘zaro teng bo‘lsa va undan tashqari, koordinatalarining ko‘paytmasidan tuzilgan had qatnashmasa, ya’ni va (1.2.1- chizma ) Agar aylananing markazining koordinatalari va bilan, radiusinin ya’ni aylananing ixtiyoriy nuqtasidan markazigach bo‘lgan masofani bilan belgilasak, u holda aylananing normal tenglamasi (1.2.2) ko‘rinishni oladi. Aylananing normal tenglamasiga markazining koordinatalari va radiusidan iborat uchta parametr kiradi. Koordinatalar boshini aylana markaziga ko‘chiri, uning sodda tenglamasini hosil qilamiz: (1.2.3) Agar va aylanadagi biror nuqtaning koordinatalari berilsa, u holda bu nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan urinmaning tenglamasi aylananing (1.2.2) yoki (1.2.3) tenglama bilan berilishiga qarab , yoki ko‘rinishga ega bo‘ladi. Ta’rif. ikkinchi tartibli chiziqning nuqtasidagi urinmasi deb, ixtiyoriy AB kechuvchidagi B nuqta bo‘ylab nuqtaga intilgandagi limitik holatiga aytiladi. Ellips Har bir nuqtasidan fokus deb ataluvchiikki nuqtasigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdor ga teng tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga ellips deyiladi. (1.2.2-chizma) Ellips xossalari: Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas va ga tengdir (1.2.2-chizma) . Fokuslari orasidagi masofa . Fokuslarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziqni absissalar o‘qi deb va kordinatalar boshini fokuslar oralig‘ining o‘rtasiga joylashtirib ellipsning eng soda tenglamasini hosil qilamiz. Ellipsning tenglamasi: (1.2.4) Ellipsning tenglamasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli: Koordinatalar sistemasi bunday tanlab olinganda koordinata o‘qlari ellipsning simmmetriya o‘qlari bilan, koordinatalar boshi esa uning simmetriya markazi bilan ustma- ust tushadi. Ellipsning o‘z o‘qlari bilan kesishish nuqtalari ellipsning uchlari deyiladi. Uchlar orasiga joylashgan kesmalar ellipsning o‘qlari deyiladi: katta o‘q va kichik o‘q . Shunday qilib, (4) ellips tenglamasida qatnashuvchi va parametrlar uning yarim o‘qlariga teng. Ellipsnin ekssentrisiteti deb, fokuslariorasidsagi masofaning katta o‘qi g nisbatiga aytiladi, ya’ni : bundan ekanligi aniq va ravshan. Ellipsdagi ixtiyoriy nuqtadan fokuslargacha bo‘lgan masofalar uning fokal radius-vektorlari deyiladi. Va mos ravishda kabi belgilanadi. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasi uchun Va ellipsning ta’rifiga asosan Ya’ni ellipsning har qanday nuqatasining fokal radius-vektorlarining yig‘indisi uning katta o‘qiga teng. Ellipsning kichik o‘qiga parallel va undan masofadan o‘tgan ikki to‘g‘ri chiziq ellipsning direktrisalari deyiladi. Derektrisalari tenglamalari quyidagichadir: va Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalarning mos direktrisalargacha bo‘lgan masofalarga nisbati o‘zgarmas va soniga tengdir ya’ni ekssentrisitetiga: va (4) tenglama bilan berilgan ellipsning nuqtasidan unga urinma bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning tenglamasi ko‘rinishga ega. Har bir nuqtadan ellipsga ikkita urinma o‘tkazish mumkin. Nuqta ellips tashqarisda yotsa, ikkala urinma haqiqiy bo‘ladi nuqta ellipsda yotsa, urinmalar birlashib ketadi, nuqta ellips ichida yotsa, ikkalaurinma mavhum bo‘ladi. Giperbola. Har bir nuqtasidan foku deb ataluvchi ikkita nuqtasigacha bo‘lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati o‘zgarmas miqdor ga teng bo‘lgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga giperbola deb ataladi. (1.2.3-chizma) Fokuslar orasidagi masofa ga teng. Giperbolaning eng sodda tenglamasi: (1.2.5) Ko‘rinishga ega, bunda Giperbolaning fokuslarini tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq abssissalar o‘qi xizmatini qiladi va koordinatalar boshi fokuslar orasining o‘rtasida olingan. Bu holda koordinata o‘qlari giperbolani simmetriya o‘qlari bo‘lib, koordinatalar boshi uning simmetriya markazi bilan ustma-ust tushadi (giperbolaning o‘qi va o‘qi) (1.2.3- chizma) . Fokal o‘qda giperbola ikki haqiqiy va uchtaga ega; ular orasidagi masofa – giperbolaning haqiqiy o‘qi deyiladi. Ikkinchi o‘q bilan giperbola ikkita mavhum (0; ± b) nuqtada kesishadi, lekin haqiqiy kesma bo‘lmagani uchun ga mos bo‘lgan o‘q "mavhum o‘q" deyiladi. Shuning uchun (5) tenglamasiga kirgan va parametrlari giperbolaning haqiqiy va mavhum yarmi o‘qlar uzunliklariga teng. Giperbola uchun quyidagi uch holning hammasi bo‘lishi mumkin: va . Agar bo‘lsa, giperbola teng tomonli deyiladi. Agar giperbolaning mavhum o‘qi uzunlikka ega bo‘lib, o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan, haqiqiy o‘qi esa uzunlikka ega, u o‘qi bilan ustma-ust tushsa, bunday giperbolaning tenglamasi: (1.2.6) bo‘ladi. (5) va (6) tenglamalar bilan berilgan giperbolalar qo‘shma giperbolalar deyiladi. Fokuslar orasidagi masofaning haqiqiy o‘qqa nisbati giperbolaning eksentrisiteti deyiladi: Bunda . (5) giperbola cheksizlikka cho‘zilgan ikkita (o‘ng va chap) tarmoqdan iborat. O‘ng tarmoqning nuqtalari uchun fokal radius-vektorlar quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: Chap tarmoqning nuqtalari uchun: Shunday qilib, giperbola ixtiyoriy nuqtasining fokal radius-vektorlarining ayirmasi uning haqiqiy o‘qiga teng. Giperbolaning fokal o‘qqa perpendikulyar va markazidan masofada o‘tgan to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deyiladi. Derektrisalari tenglamalari quyidagichadir: va Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‘lgan masofalarning mos direktrisalargacha bo‘lgan masofalarga nisbati o‘zgarmas va soniga tengdir ya’ni ekssentrisitetiga: va Assimtotalari tenglamalari: Ta’rif. Agar nuqta chiziq bo‘ylab harakatlanganda biror to‘g‘ri chiziq bilan cheksizlikda ular orasidagi masofa nolga intilsa, to‘g‘ri chiziq chiziqning assimtotasi deyiladi. Markazi giperbolaning markaziga tushib va tomonlari giperbolaning o‘qlari bilan parallel bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari asimptotalar xizmatini qiladi. Giperbolaga uning nuqtasidan o‘tkazilgan urinmaning tenglamasi: Tekislikning har bir nuqtasidan giperbolaga ikkita urinma o‘tkazish mumkin: agar nuqta giperbolada yotsa, ikkita urinma bir nuqtada birlashadi; ikkita haqiqiy urinma bo‘lmasa, bu nuqta giperbola tashqarisidadir; faqat mavhum urinmalar mavjud bo‘lsa,bu nuqta giperbolaning ichki sohasida yotadi. Parabola. Har bir nuqtasidan berilgan nuqtasigacha va berilgan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalari o‘zaro teng bo‘lgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga parabola deb ataladi. (1.2.4-chizma) Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida (1.2.7) ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, u parabola deb ataladi. Tenglamadagi soni parabola parametri deyiladi. Biz ikkinchi tenglamani tekshirish yordamida parabolaning xossalarini o‘rganamiz va uni chizamiz. Tenglamadan ko‘rinib turibdiki, agar koordinatali nuqta parabolga tegishli bo‘lsa, nuqta ham parabolaga tegishli bo‘ladi. Demak, parabola o‘qiga nisbatan simmetrik joylashgandir. Bundan tashqari koordinata boshi parabolaga tegishli, manfiy qiymatlarni qabul qilmaganligi uchun parabola o‘qining o‘ng tomonida joylashgan. Tekislikda tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziq parabolaning direktrisasi, nuqta esa uning fokusi deb ataladi. Parabola ixtiyoriy nuqtasining fokal radius-vekktori bo‘ladi va parabolaning ta’rifiga ko‘ra, bu yerda - parabola nuqtasining direktirissasigacha bo‘lgan masofa (1.2.4-chizma) . parabola uning nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglama bilan ifodalanadi. II. BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQNING QUTB KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI . 2.1- § . Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini invariantlar yordamida soddalashtirish. Bizga ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. (2.1.1) Quyidagi almashtirishni bajaraylik. (2.1.2) Bu almashtirish natijasija (2.1.1) chizig‘imizni tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi. (2.1.3) Umumiy holda almashtirish natijasida (2.1.1) chiziqning koeffitsentlari o‘zgaradi. Ammo (2.1.1) chiziqning koeffitsentlari bog‘liq bo‘lgan shunday funksiyani tuzish mumkinki, bu funksiyaning qiymati almashtirish bajarilganidan so‘ng hosil bo‘lgan chiziq tenglamasidagi koeffitsentlardagi qiymati o‘zgarmaydi, ya’ni Shunday funksiyalarga (2.1.1) chiziqning almashtirishga nisbatan invarianti deyiladi. Endi (2.1.1) chiziq tenglamasi uchun quyidagi almashtirishni bajaraylik, ya’ni koordinatalar sistemasini koordinata boshi atrofida burchakka buramiz (2.1.4) Natijada (2.1.1) chiziq tenglamasi yangi koordinatalar sistemasiga nisbatan quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz. (2.1.5) bu yerda (2.1.6) Endi ikkinchi tartibli egri chiziqning invariantlarini topishda asosiy rol o‘ynaydigan quyidagi teoremani keltiramiz. Buning uchun quyidagi tushunchalar kerak bo‘ladi, ya’ni bizga ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan kvadratik forma berilgan bo‘lib, (2.1.7) uning matritsasi bo‘lsin. Quyidagi chiziqli almashtirishni bajaraylik (2.1.8) bu almashtirishni matritsasi bo ‘ lsin . Teorema : Agar (2.1.7) kvadratik forma uchun (2.1.8) chiziqli almashtirish bajarilgan bo ‘ lsa , u holda hosil bo ‘ lgan yangi kvadratik forma matritsasini determinanti , berilgan kvadratik forma matritsasi determinantini almashtirish matritsasi determinantini kvadratiga yo ‘ naltirilganiga teng bo ‘ ladi , ya ’ ni (2.1.9) Yuqoridagi teoremaga ko‘ra (2.1.1) ni burishga nisbatan invariantlarni topamiz. Quyidagi almashtirishni bajaraylik u holda quyidagilarga ega bo‘lamiz (2.1.10) ikkinchi tomondan (2.1.11) Bu (2.1.10) va (2.1.11) lardan har qanday haqiqiy son uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi. yoki Yuqorida keltirilgan teoremaga ko ‘ ra , quyidagini yozishimiz mumkin . Hosil bo‘lgan determinantlarni hisoblaymiz. Bu tenglikdan quyidagilarga ega bo‘lamiz. Invariantning ta’rifiga ko‘ra va la (2.1.1) chiziqni burishga nisbatan invariantlari bo‘ladi. Yuqorida va ni hosil qilganimiz singari, ni ham shu shartlar va amallar orqali hosil qilamiz va u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: Bizga ma ’ lumki , (2.1.1) ikkinchi tartibli egri chizig ‘ imiz quyidagi uchta tipga ajralar edi . I. , agarda ; II. , agarda ; III. , agarda . Bu hosil bo‘lgan ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasidagi koeffitsentlarni invariantlar orqali ifodalaymiz. Buning uchun xarakteristik tenglamani olib uning ildizlarini invariantlar orqali ifodalaymiz Xarakteristik tenglama ildizlari invariantlar orqali ifodalanganligi uchun ular chiziqli almashtirishga nisbatan invariant bo‘ladi. a) ikkinchi tartibli egri chiziq I tipga tegishli bo‘lsin Viyet teoremasiga ko‘ra Qaralayotgan chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lganligi uchun bo‘ladi, bundan esa ekanligi kelib chiqadi. Demak (2.1.1) chiziq tipga tegishli bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti ekan. Endi invariantni hisoblaymiz. Bundan esa (2.1.1) chiziq tipga tegishli bo‘lsa uning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lishligi kelib chiqadi. b) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lsin. Ikkinchi tip uchun bo‘lganligi uchun bo‘ladi, va quyidagiga teng bo‘ladi. Demak (2.1.1) chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti bo‘lishi ekan. Ikkinchi tomondan: bo‘lganligi uchun, tip tenglamani invariantlar orqali ifodasi quyidagicha bo‘ladi. c) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig‘imiz tipga tegishli bo‘lsin, ya’ni (2.1.1) chiziqning tipga tegishli bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti quyidagicha bo‘ladi. -invariantni III tip uchun hisoblaymiz. Bundan esa tip chiziq tenglamasi invariantlar orqali quyidagicha ifodalanishi kelib chiqadi. Misol. Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi soddalashtirilsin. Yechish: Berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqni invariantlarini hisoblaymiz. Ikkinchi va uchinchi invariantlar bo‘lganligi uchun berilgan chizig‘imiz tipga tegishli bo‘ladi. Endi invariantni hisoblaymiz Uchinchi tip tenglamasini yozamiz. yoki Tenglamadan ko‘rinib turibdiki, berilgan chizig‘imiz o‘zaro parallel to‘g‘ri chiziqlardan iborat bo‘lar ekan. 2.2- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarni qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari va ularning xossalari. Analitik geometriyada chiziqli tenglamalarning turli koordinatalar sistemasida ifodalanishi alohida ahamiyatga ega. Ayniqsa, ikkinchi tartibli chiziqlar – ellips, parabola va giperbola – tabiatda va texnikada keng qo‘llaniladi. Ularning qutb koordinatalarida ifodalanishi geometrik tahlilni soddalashtirib, fizik jarayonlarni modellashtirishda qulaylik yaratadi. Mazkur bo‘limda ushbu chiziqlarning qutb koordinatalaridagi tenglamalari, ularning hosil bo‘lish shartlari va qo‘llanilishi o‘rganiladi. Biz bu yerda ikkinchi tartibli chiziqlar (ellips, giperbola va parabola) ning oldingi paragraflarda bayon etilgan xossalaridan foydalanib, maxsus tanlangan qutb koordinatalardagi tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Bizga aytilgan chiziqlardan birortasi: ellips, giperbola yoki parabola berilgan bo‘lsin ( agar berilgan chiziq giperbola bo‘lsa, uning o‘ng tarmog‘ini qaraymiz, chunki keltirib chiqariladigan qutb tenglama biz qarayotgan holda giperbolaning faqat bitta tarmog‘ini aniqlaydi). Berilgan chiziqni bilan belgilaymiz. bu chiziqning fokusi, shu fokusga mos direktrisasi bo‘lsin.( chiziq giperbola bo‘lganda va uchun qaralayotgan tarmog‘iga yaqin fokus va direktirisasi olinadi.) (2.2.1-chizma) Qutb koordinatalar sistemasini quydagicha kiritamiz. to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz (2.2.1-chizma) , bo‘lsin, bunda nuqta to‘g‘ri chiziqda va nuqtadan nuqta yotmagan tomonida yotadi. nuqtani qutb, nurni qutb o‘qi deb qabul qilamiz. nuqta nuqtada qutb o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyarning bilan kesishgan nuqtasi bo‘lsin. masofani bilan belgilaymiz va chiziqning fokal parametri deb ataymiz. Tanlangan qutb koordinatalar sistemasiga nisbatan chiziqning ixtiyoriy nuqtasining koordinatalarini bilan belgilaymiz: chiziqning quyidagi teoremasiga ko‘ra, Teorema: Ellips (giperbola) tekislikda shunday nuqtalarning geometrik o‘rniki, bu nuqtalarning har biridan fokusgacha bo‘lgan masofani o‘sha nuqtadan shu fokusga mos direktrisagacha bo‘lgan masofaga nisbati o‘zgarmas miqdor bo‘lib, ellips (giperbola) ning ekssentrisiteti ga teng. bo‘ladi. (2.2.1) Agar bo‘lsa, Agar bo‘lsa, ( nuqta qutb o‘qiga tushirilgan perpendikulyarning asosi). Demak, ikkala holda ham ning bu qiymatini (2.2.1) ga qo‘ysak, tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan (2.2.2) (2.2.2) tenglama chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasidir . Bu tenglama: а) bo‘lsa, ellipsni aniqlaydi. bu holda oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qiladi; b) bo‘lsa, parabolani aniqlaydi bu holda oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. qiymatga parabolaning hech bir nuqtasi mos kelmaydi; c) bo‘lsa, giperbolani (biz qarayotgan tarmog‘ini) aniqlaydi. Bu holda ning qaysi oraliqda o‘zgarishini tekshiramiz. – asimptotalar orasidagi tarmoq joylashgan burchak bo‘lsin, u holda yoki bo‘lganidan (2.2.2) tenglamada uchun yoki bo‘lishi kerak. Bundan giperbolaning qaralayotgan tarmog‘idagi nuqtalar uchun tengsizliklar bajariladi, degan natija kelib chiqadi. (2.2.2 tenglamadagi0 ( , ) r M F   son fokal parametr deyiladi. Parabola uchun bu r fokal parametr uning kanonik tenglamasidagi r dan iborat. Ellips (giperbola) uchun r ning ma’nosini, ya’ni yarim o‘qlar orqali ifodasini topaylik. to‘g‘ri chiziq ellips (giperbola) ning fokal o‘qiga perpendikulyar bo‘lgani uchun nuqtalar bir xil abssissaga ega. koordinatalarga ega bo‘lsin desak, (giperbola bo‘lsa, ). ellips (giperbola) ga tegishli bo‘lgani uchun va ni hisobga olsak, bundan , Demak, ellips (giperbola) da fokal parametr ga teng. Masala. chiziqning dekart repperiga nisbatan kanonik tenglamasini yozing. Yechish: Berilgan tenglamani ko‘rinishga keltirish uchun o‘ng tomonini surat va maxrajini 4 ga bo‘lamiz: buni (2.2.2) formula bilan taqqoslasak, ko‘ramizki, demak, egri chiziq giperboladir. Uning kanonik tenglamasini yozamiz. Tenglamadan lekin edi, bundan b,a nin bu qiymatlarini tenglikka qo‘ysak, bundan berilgan giperbolaning kanonik tenglamasi XULOSA. Mazkur kurs ishida ikkinchi tartibli chiziqlarning – ellips, giperbola, parabolaning va ularning maxsus holatlarining qutb koordinatalar sistemasidagi ifodalanishi o‘rganildi. An’anaviy to‘g‘ri to‘rtburchak (Dekart) koordinatalar sistemasida bu chiziqlarning tenglamalari keng o‘rganilgan bo‘lsa-da, qutb koordinatalar sistemasida ularni tasvirlash va ularning tenglamalarini chiqarish geometriya va matematik analizning yanada chuqurroq bilimlarini talab qiladi. Ish davomida avvalo qutb koordinatalar sistemasi haqida umumiy ma’lumotlar keltirildi. Qutb koordinatalar sistemasi markaz (qutb nuqta) va yo‘nalish burchagi asosida aniqlanadi. Bu sistemaning o‘ziga xos afzalliklaridan biri – markazdan masofa va burchak orqali nuqtalarni qulay tarzda ifodalash imkoniyati hisoblanadi. Ayniqsa, markazga nisbatan simmetrik bo‘lgan yoki fokuslari qutb nuqtasida joylashgan chiziqlarni tasvirlashda qutb koordinatalari samarali qo‘llaniladi. Ishda shuningdek, chiziqlarning grafigi, fokuslari, yo‘naltiruvchi chiziqlari, asosiy o‘qlari kabi elementlari tahlil qilinib, ularning qutb koordinatalaridagi o‘rinlari, shakli va simmetriyasi chuqur o‘rganildi. Qator misollar va grafik tasvirlar orqali bu chiziqlarning qanday qilib qutb koordinatalariga ko‘chirilishi, va bunda qanday matematik usullar qo‘llanilishi amaliy misollar orqali ko‘rsatildi. Xulosa qilib aytganda, qutb koordinatalar sistemasida ikkinchi tartibli chiziqlarni ifodalash – nafaqat nazariy jihatdan muhim, balki ko‘plab amaliy masalalarda, xususan fizika, muhandislik, astronomiya va boshqa fan sohalarida ham keng qo‘llaniladi. Fokuslar atrofida harakatlanuvchi jismlar trajektoriyasini ifodalash, sun’iy yo‘ldoshlarning harakat yo‘llarini aniqlash yoki linzalar orqali nurning sinishi va qaytishini tahlil qilishda qutb koordinatalari juda qo‘l keladi. Mazkur kurs ishi orqali talabaga nafaqat qutb koordinatalar sistemasi haqida nazariy bilimlar berildi, balki ularni amaliy masalalarda qo‘llash ko‘nikmasi ham shakllantirildi. Natijada, ikkinchi tartibli chiziqlarning chuqur mohiyatini tushunishga, ularning fazodagi geometrik tasvirini yanada aniqroq tasavvur qilishga erishildi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI. 1. Narmanov A.Ya. Analitik geometriya. O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti Toshkent. 2008 y. 2. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. T.Universitet, 586 b, 2005 y. 3. Қори - Ниёзий Т . Н ., Аналитик геометрия асосий курси . Фан .1971 й . 4. Pogorelov А. V. Analitik geometriya. Toshkent , 0 ‘ qituvchi , 1983, 206- bet . 5. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Санкт-Петербург — Москва, Изд. Лан’, 2003 г. стр. 336. 6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra. Toshkent. “O‘qituvchi” 1993 y. 7. Dadajonov.N.D. 1-qism, “O‘qituvchi “ nashriyoti, 1982-y. “O‘qituvchi” nashriyoti, qayta ishlangan, 1996-y. 8. Boxonov Zafar Saydimahmudovich, Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami. (Analitik geometriya elementlari). Uslubiy qo‘llanma, - Namangan: NamDU nashri, 2018. 104 bet. 9. J. Akilov, M.Jabborov “Chiziqli Algebra va analitik geometriyadan masalalar yechish”. “ Turon - Iqbol ” Toshkent 2006. 10. Шодиев Т. Ш. Аналитик геометрия ва чизи^ли алгебра: Олий техн. у^ув юрт. студ. учун дарслик. Махсус мухаррир F. Н. Насрнтдинов.— Т.У^итувчи, 1984,—320 б. 11. Bayturayev A . M ., Kucharov . R.R. Algebra va geometriya. Toshkent. “Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet. ELEKTRON MANBALAR 1 . htt://www.lib.ru 2. htt://www.bilimdon.uz 3. htt://www.istedod.uz

Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi kurs ishi

Sotib olish