Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	471.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	19 Декабрь 2024
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Ikkinchi tur sirt integrali

ko‘rinishga keladi. Demak,
Endi formuladan foydalanamiz, birinchi tur sirt integralini hisoblaymiz:
bunda . Bu tenglikning o‘ng tomonidagi
birinchi turgan ikki karrali integralni hisoblash uchun
almashtirish bajaramiz. Natijada
(chunki bo‘ladi).
Endi yuqoridagi munosabatdagi integralni
hisoblaymiz.
16

Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarning xossalari kabi xossalarga
ega.Quydagi ikkinchi tur sirt integrali, funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni
bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
1. Funksiyaning (S) sirtning bir tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali,
funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt
integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
2. F(x,y,z) funksiyaning yasovchilari Oz o‘qiga parallel bo‘lgan silindirik (S) sirt
bo‘yicha ikkinchi sirt integrali.

uchun

bo‘ladi.
F(x,y,z) funksiyani yasovchilari Ox o‘qiga parallel bo‘lgan silindirning (S) sirt
bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali

uchun

bo‘ladi.
F(x,y,z) funksiyani yasovchilari Oy o‘qiga parallel bo‘lgan silindirning (S) sirt
bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali

10

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
__UNIVERSITETI
Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________
“_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y.
“___________________________ “ KAFEDRASI
“_____________________________ “ FANIDAN
KURS ISHI
Mavzu:________________
Bajardi:_________________________________
Tekshirdi:_______________________________
______________ - 20___
Ikkinchi tur sirt integrali

1.4.1-formula yig‘indining limit
Agar da f(x,y,z) funksiyaning integral yig‘indisi chekli limitga
ega bo‘lsa, f(x,y,z) funksiya (S) sirtning tanlangan tomoni bo‘yicha
integrallanuvchi funksiya deyiladi. Bu yig‘indining chekli limit I esa ( ) ,
f(x, y,z) funksiyaning (S) sirtning tanlangan tomoni bo‘yicha ikkinchi tur
integrali deyiladi
1

2

3

4

1.4.2-formula Ikkinchi tur sirt integrali
8
Umumiy holda (S) sirtda P(x,y,z), Q(x,y,z)va R(x,y,z) funksiya berilgan bo‘lib,
, ,

14.Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K.Matematik analiz.
Mustaqil talim uchun metodlar ko‘rsatmalar. I semestr TDPU. 2013y.
15. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K.Matematik analiz.
Mustaqil talim uchun metodlar ko‘rsatmalar. III semestr TDPU. 2013y.
16.Arxipov G.I., Sadovnichiy V.A., CHubarikov D.I.,Lektsii pomatematika analiz.
‘‘Visshaya shkola’’1999y.
17.Turgunboyev R.M. Matematik analiz I tom. ‘‘Abu matbuot –konsalt’’2014y,
30
Axborot manbalari
1.www.tdpu.uz
2.www.pedagog.uz
3.www.edu.uz
4.www.nadlib.uz(A.Navoiy nomidagi O‘z.MK)
5.www.ziyonet.uz

uchun

bo‘ladi.
Integralni hisoblash. Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga keltirib
hisoblanadi.

2.1.1-formula. Ikkinchi tur sirt integralni ikki karrali integralga keltirish
Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog‘lanish. (S) sirt va bu sirtda
berilgan P(x,y,z), Q(x,y,z) va R(x,y,z) funksiyalar.

2.1.2-formula. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallar orasidagi bog‘lanish
11

23
bo ‘ ladi . Endi fazoda ( S ) sirt x = x ( x , z ) funksiya chegaralangan ( D ) soxada
uzluksiz va ( D ) da uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo‘lsin .
Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo‘lsa , u holda bu
funksiyaning (S) sirt bo‘yicha birinchi tur sirt integrali
mavjud va bo‘ladi.
Integralning xossalari . Birinchi tur sirt integrallari ikki karrali integral xossalariga
ega . Biz ularni ayrimlariga keltiramiz.
1.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,
bo‘lsa u holda
bo‘ladi
2.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,u holda cf(x,y,z)
ham ( c-const) shu sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘ladi va
tenglama o‘rinli bo‘ladi (c-const)
3. Agar f(x,y,z) va g(x,y,z) har biri (S) sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,u
holda f(x,y,z)+g(x,y,z) ham sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘ladi.

29
Foydalanilgan adabiyotlar
1.Aylarov T., A. Mansurov X., matematik analiz 2-qisim T.O‘qtuvchi, 1999y.
2.A . ,Sadullaev, X., Mansurov, G., Xudoyberganov, A., vorisov , R., G‘ulomov.
Matematika analiz kursidan misol va masalalar to‘plami. 1 –T .
O‘zbekiston,1993y.
3.Demidovich B. P. Sobirov zadach I uprajneniy po matematika analiz –M, Nauka,
1977va boshqa yillardagi ishlari.
4.Toshmetov O‘, Turgunboyev R, Saydamatov E, Madrimov M, Matematik analiz
1-qisim, ‘‘Extremum-Press’’,2015y.
5.Xudayberganov G, Voris A, Mansurov X, Shoimqulov B. Matematik analiz
ma’ruzalar. ‘‘Voris –nashriyoti’’2010y.
6.Turgunboyev R.M. Matematik analiz 1-qism ‘‘Innovatsiya-ziyo’’2019y.
7.Turgunboyev R., Qodirov K.,Bakirov T.,Matematik analiz(Qatorlar nazariyasi)
‘‘Innovatsiya-ziyo’’2019y.
8. Turgunboyev R., Qodirov K.,Bakirov T.,Matematik analiz(Ko‘p o‘zgaruvchi
funksiya integrali va diferensali) ‘‘Innovatsiya-ziyo’’2019y.
9.Azlarov. T., Mansurov.X., Matematik analiz. ‘‘O‘zbekiston ’’. 1t 1994y.
10. Azlarov. T., Mansurov.X., Matematik analiz. ‘‘O‘zbekiston ’’. 2t 1994y.
11.Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiboyev M., ‘‘Matematik analiz misollar to‘plami’’
‘‘Yangi asar avlodi’’2006y.
12.Toshmatov O‘,Turgunboyev R, Matematik analiz misol va masalalar
to‘plami.1-q TDPU.2006y.
13. Toshmatov O‘,Turgunboyev R, Matematik analiz misol va masalalar
to‘plami.2-q TDPU.2006y.

20
2.3. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog‘lanish
Fazoda ushbu z=(x,y) tenglama bilan aniqlangan (S) sirt berilgan bo‘lsin. Bunda
Z(x,y) funksiya (D) sohada berilgan bo‘lsin , u shu sohada uzluksiz
xossalarga ega.
Ma’lumki, bunday sirt yuzaga ega bo‘lib, u quyidagi

2.3.1-formula. Sirt yuzasi
formula orqali aniqlanadi.
Integral ta’rifi. Yuqorida aytilgani kabi (S) sirt berilgan bo‘lsin. Bu sirtning
bo‘linishi, bo‘laklari va diametri tushunchalari avval qaralgan (a,b) segmentni
bo‘linishi, kabi kiritiladigan va o‘xshash xossaga ega bo‘ladi.
Aytaylik f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan bo‘lsin . Bu sirtning P
bo‘linishining va bu bo‘linishning har bir bo‘lganida (k=1,2,…..,n) ixtiyori
nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati
shunday f ni sirtning yuzaga ko‘paytirib , quyidagi
yig‘indini tuzamiz:
odatda integral yig‘indi deb ataladi.
(S) sirtning shunday
bo‘linishlarini qaraymizki, ularning mos diametrlaridan tashkil topgan

tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlar to‘g‘risidagi’’qarorining 1-ilovasidagi
3.1-bo‘limining 14-“Matematika bakalavriat ta’lim yo‘nalishlari bitiruvchilarning
muayyan aniq sohalarda amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarni rivojlantirish
uchun ta’lim dasturlarini fanlar integrativ prinsip asosida ixtisoslashtirilgan
tartibda ishlab chiqilgan va joriy etilga. So‘nggi yillarda mamlakatimizda oliy
ta’lim sifatini oshirishga qaratilgan bir qancha chora –tadbirlar amalga
oshirilmoqda. Chunki, jahon talablari darajasidagi raqobatbardosh kadrlar
tayyorlash maqsadida talabalarga dunyo standartlariga javob beradigan bilim va
ko‘nikmalar berish bugungi kunning eng dolzarb masalalaridan biri bo‘lib
qolmoqda.Mamlakatimizda ‘‘Matematika analiz’’ fanini o‘qitish bo‘yicha uzoq
yillardan beri to‘plangan boy tajriba hamda rivojlangan horijiy davlatlarning
yetakchi Oliy ta’lim muassasalarining tajribalaridan foydalangan holda,
shuningdek, ularning o‘quv dasturlaridagi asosiy adabiyotlardan foydalangan holda
ko‘p o‘quv qo‘llanmalar yaratildi.Matematika analiz fani matematikaning
fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, u matematikani poydevori hisoblanadi.
Matematika analiz kurs davomida ko‘pgina tushuncha va tasdiqlar,
shuningdek,ularning tadbiqlari keltiriladi.Matematik analiz fanining asosiy vazifasi
shu fanning tushuncha, tasdiqlari va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi
bilan tanishtirishgina bo‘lmasdan, balki talabalarda mantiqiy fikirlash, matematik
amaliy masalalar yechishga qo‘llash ko‘nikmalaridan iborat. Matematika analiz
fanining o‘qitishdan maqsad-talabalarni matematikaning zaruriy ma’lumotlar
majmuasi,tushunchalar,tasdiqlar va ularning isboti, amaliy masalalarni yechish
usullari va boshqalar, bilan tanishtirishdan iboratdir.Ayni paytda, u talabalarni
mantiqiy fikrlash, to‘g‘ri xulosa chiqarishga,ularning matematik madaniyatini
oshirishga hizmat qiladi.
Kurs ishining muammosi :Ta’lim tizimida ikkinchi tur sirt integralidan foydalanib
o‘quv mashg‘ulotlarni olib borishda masofaviy ta’limni qo‘llash kurs ishining
muammosi hisoblanadi.
Kurs ishining maqsadi: Talabalar ikkinchi tur sirt integralidan foydalanib turli
misol va masalalarni yechishni o‘rgatish.
Kurs ishining ob’yekti: Ta’lim berishda ikkinchi tur sirt integrallarini o‘rni.
Kurs ishining predmeti: Ta’lim soxasida ikkinchi tur sirt integralining
samaradorligi va afzalliklari.
3
Kurs ishining vazifalari: Kurs ishini taqdim etishdan ko‘zlangan maqsadlar
o‘quvchilarga va talabalarga ta’lim berishda ikkinchi tur sirt integralining
qulayliklari imkoniyatlari hozirda bunday ta’lim soxasi dunyoning yuqori darajada

Fazoda (S) sirt z=z(x,y) tenglama bilan aniqlangan. Bunda z(x,y) funksiya (D)
soxada (D)∩ R2 berilgan, uzluksiz hamda uzluksiz xususiy xosilalar
(x,y)
; (x,y) (D) soxaning chegarasi esa bo‘lakli-silliq chiziqdan iborat
bo‘lsin.
(S) sirtda uning chegarasi bilan kesishmaydigan k yopiq chiziqni olaylik.
( ) nuqta sirtning k yopiq chiziq bilan chegaralangan qismiga tegishli va
yopiq chiziq k ning xOy tekisligidagi proeksiyasi deyladi . ( )
nuqtasidagi urunma tekislikka perpendikulyar o‘tkazaylik. Bu perpendikulning
musbat yo‘nalishi olamizki, uning uchidan qaralganda ikkala k va
kn yopiq
chiziqlarning yo‘nalishlari musbat bo‘ladi .Uning manfiy yo‘nalishi esa shunday
yo‘nalishki , uning uchidan qaraganda
kn ning musbat yo‘nalishiga k ning manfiy
yo‘nalishi mos keladi .Perpendikulyarning musbat yo‘nalishi bo‘yicha olingan
birlik kesma sirtning ( ) nuqtadagi normali deyiladi .X o‘qi Y o‘qi va Z
o‘qlarning musbat yo‘nalishlari bilan tashkil qilgan burchaklarni mos ravishda α;
; γ deyilsa unda quyidagi formuladan foydalanamiz.
1

2

3

1.1.1 –formula. Normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari
5
1.2.Sirtning ustki tomoni
Sirtning ustki tomoni deb uning shunday tomoni olinadiki , bu tomondan
qaralganda ikkala k va yopiq chiziqlarining yo‘nalishlari musbat bo‘ladi.

ketma- ketlik 0 ga intilsa : . Bunday (m=1,2….)
bo‘linishlariga nisbatan f(x,y,z) funksiyaning
22
ko‘rinishlar yig‘indisini tuzsak, ushbu
quyidagi ketma- ketlik hosil bo‘ladi.
Agar (S) sirtning har qanday bo‘linishlari ketma- ketligi olinganda
ham unga mos ketma- ketlik nuqtalarni tanlab
olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda, hamma vaqt bitta I soniga intilsa bu son 0
yig‘indini limit deb ataladi.
Agar da f(x,y,z) funksiyaning yig‘indisi chekli limitga ega bo‘lsa ,
f(x,y,z) funksiya (S) sirt bo‘yicha integrallanuvchi bo‘ladi. Bu yig‘indining chekli
limit I esa f(x,y,z) funksiyaning birinchi tur sirt integrali bo‘ladi.

kabi belgilanadi.
Integral mavjudligi faraz qilaylik fazoda (S) sirt x=x(x,z) tenglama bilan
berilgan bo‘lib, z(x,y) funksiya chegaralangan (D) soxada uzluksiz va (D) da
uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin
Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo‘lsa , u holda bu
funksiyaning (S) sirt bo‘yicha birinchi tur sirt integrali
mavjud va

Ravshanki, (S) sirtning tenglamasi
ko‘rinishga ega. Bu funksiyaning hususiy hosilalar

bo‘lib,

bo‘ladi.
Berilgan ikkinchi tur sirt integralini formuladan foydalanib birinchi tur sirt
integraliga keltiramiz.
Agar
Bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda yuqoridagi tenglikning o‘ng tomonidagi
birinchi tur sirt integrali
15

Shunday qilib, berilgan ikkinchi tur sirt integralini ga teng ekanligini
topamiz:
2.1.4-misol. Ushbu

integralni hisoblang, bunda (S) sirt
parallelepipedning tashqi sirti, f, g, h lar shu sirtda aniqlangan uzliksiz funksiyalar
Ravshanki
bo‘ladi lar parallelepipedning tomonlari:

17
Integral xossasiga ko‘ra
bo‘ladi.
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi sirt integralni hisoblashda,
sirtlar bo‘yicha integral manfiy ishora bilan , sirtlar bo‘yicha
integrallar esa musbat ishora bilan olinishini e’tiborga olamiz. Shuningdek,
integralning xossalardan foydalanamiz. Natijada
bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash

Endi

ikki karrali integralni foydalanamiz.Bu integralda o‘zgaruvchilari

kabi almashtirish topamiz:
Demak ,
2.1.3-misol. Ushbu
integralni hisoblang , bunda (S) sirt
yarim sferaning tashqi qismi.
14

bu bo‘lishining har biri ( ) bo‘lagida (k=1,2, …., n,) ixtiyori ( , , ) nuqta
olaylik. Berilgan funksiyaning ( , , ) nuqtadagi ( , , ) qiymatini
(Oxy, Oyz, Ozx) tekislikdagi proeksiyasi ( ) (( ), ( ),( ))
ning yuziga ko‘paytirilib, quyidagi integral yig‘indini tuzamiz :
1

2

1.3.1- formula Yuzalarning integral yeg‘indisi
(S) sirtning shunday …… … bo‘linishlarini qaraymiz , ularning mos
diametrlaridan tashkil topgan
…….. …..
ketma-ketlik nolga intilsin: .
Bunday (m=1,2…..) bo‘linishlarga nisbatan f(x,y,z) funksiyaning integral
yig‘indilarini tuzamiz. Natijada
… …. ….
ketma-ketlik xosil bo‘ladi . Agar (S) sirtning xar qanday …… …
bo‘linishlariga ketma-ketligi ( ) olinganda ham, unga mos ( ) ketma-ketlik,
( , , ) nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda hamma vaqt
bitta I soniga intilsa , bu I son ( ) yig‘indining limiti deb ataladi.
7
1.4. yig‘indining limit

Demak,
2.1.2-misol . Ushbu

integralni hisoblang, bunda (S) sirt
ellipsoidning z=0 tekislikdagi pastda joylashgan qismi bo‘lib, integral shu sirtning
pastki tomoni bo‘yicha olingan .
Ravshanki , (S) sirtning tenglamasi

va uning Oxy tekislikdagi proeksiyasi

bo‘ladi. (S) sirt bu sirtda berilgan funksiya ham
yuqoridagi shartlarni qanoatlantiradi.U holda quydagi formuladan foydalanamiz,
bo‘lishini topamiz . Integral (S) sirtning pastki tomoni bo‘yicha olinganligi sababli
sirt integrali minus ishora bilan olinadi.
13

MUNDARIJA
KIRISH ...…………………………………………………………………...……...3
I BOB.Ikkinchi tur sirt integralni xossalari.
1.1. Ikkinchi tur sirt integrali haqida umumiy ma’lumot………………………......5
1.2. Sirtning ustki tomoni…………………………………………………………..6
1.3. Integral ta’rifi...………………………………………………………………...7
1.4. yig‘indining limit………………………………………………………....8
II BOB. Ikkinchi tur sirt integralni hisoblash
2.1. Ikki karrali integrallarning xossalari…………………………………………10
2.2. Misol va masalalar……………………………………………………………19
2.3. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasida bog‘lanish………………......22
III. XULOSA……………………………………………………………………...29
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………………………...30
V. AXBOROT MANBALARI…..………………………………………………..31
KIRISH
Mavzuning dolzabligi: O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 07.05.2020
yilidagi PQ-4708-sonli ‘‘Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-

19
2.2. 2 -misol. Ushbu

integralni hisoblang, bunda (S) sirt sferaning z=0 tekislikdagi
pastda joylashgan qismining ustki tomoni .
2.2. 3 -misol. Ushbu

integralni hisoblang, bunda (S) sirt sferaning tashqi
tomoni.
2.2. 4 -misol . Ushbu

integrallarni hisoblang, bunda (S) sirt

ellipsoidning tashqi tomoni.

2.1.1-misol . Ushbu integralni
hisoblang.
Bunda (S) sirt sirtning y=2p z=0 z=q tekisliklari orasidagi
qismining ichki tomoni.
2.1.1-rasim. Tekislik orasidagi qisimning tomoni
(S) sirtning Oxz tekisligidagi proeksiyasi bo‘ladi.
(S) sirtning ixtiyori nuqtasiga o‘tkazilgan normal Oy o‘qi bilan o‘tkir burchak
tashkil qilganligi sababli sirt integrali musbat ishora bilan olinadi.
Yuqoridagi formuladan foydalanib topamiz:
Endi ikki karrali limitni hisoblaymiz :

12

bo‘ladi. Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarning xossalari kabi
xossalarga ega.
26
Quydagi ikkinchi tur sirt integrali, funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni
bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
1. Funksiyaning (S) sirtning bir tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali,
funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt
integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
2. F(x,y,z) funksiyaning yasovchilari Oz o‘qiga parallel bo‘lgan silindirik (S) sirt
bo‘yicha ikkinchi sirt integrali.
uchun
bo‘ladi.
F(x,y,z) funksiyani yasovchilari Ox o‘qiga parallel bo‘lgan silindirning (S) sirt
bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali
uchun
bo‘ladi.
F(x,y,z) funksiyani yasovchilari Oy o‘qiga parallel bo‘lgan silindirning (S) sirt
bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali

rivojlangan mamlakatlardan kirib kelib bizni ham shu soxada yuqori
ko‘rsatgichlarga olib chiqishi to‘g‘risida aniq va misollarga asoslangan
ma’lumotlarni taqdim qilish va bu ta’lim soxasini rivojlantirish uchun paydo
bo‘ladigan yangi takliflarni amalda sinash orqali ularga taqdim qilish.Shularni
inobatga olib ushbu kurs ishi asosan oliy ta’lim muassasalarining matematika
darslari dasturiga kiritilgan sirt intrgrallar va ularning tadbiqlari mavzusida bir
nechta misollardagi tadbiqlarini ko‘rib o‘tamiz.
Kurs ishining asosiy g‘oyasi: Ta’lim berishda ikkinchi tur sirt integralining misol
va masalalarini o‘rganib chiqish.
Kurs ishinining tuzulishi: Kurs ishi kirish, asosiy qisim, 3 ta paragraf, xulosa,
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati va ilovadan iborat bo‘lib 31 betni tashkil etadi.

4
I BOB.Ikkinchi tur sirt integralni xossalari
1.1. IKKINCHI TUR SIRT INTEGRALLI haqida umumiy ma’lumot

bo‘lishini topamiz.
18
Demak .

2.2. Misol va masalalar

2.2.1-misol. Ushbu
Yechish;

uchun
bo‘ladi.
27
Birilgan ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog‘lanish. (S) sirt va bu sirtda
berilgan P(x,y,z), Q(x,y,z) va R(x,y,z) funksiyalar.

2.3.3-formula. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallar orasidagi bog‘lanish

28
Xulosa
Xulosa qilishim shuni aytish mumkinki – ta’lim berishda ikkinchi tur sirt
integrallarini hisoblash misollar yordamida o‘rganish orqali matematika fanini
boshqa fanlardan tutgan o‘rnini ko‘rsatish mumkin. Masalan ushbu kurs ishimda
ko‘rib chiqilgan birinchi tur sirt integrallari yordamida jisimlar massasini
hisoblashga oid misollar nafaqat matematika fanida, balki fizika, kimyo va shu
bilan birga texnikaning bir qator muammolarini hal qilishda ham uchrab turadi.
Shulardan kelib chiqqan holda ushbu mavzu to‘la yoritib berish orqali oliy ta’lim
muassasalari talabalarning fanga bo‘lgan qiziqishi , mantiqiy fikirlash va
muammoni kreativ yondashuv yo‘li bilan hal qilish ko‘nikmasini shakillantiradi.
Matematika analiz fani matematikaning fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, u
matematikani poydevori hisoblanadi. Matematika analiz kurs davomida ko‘pgina
tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tadbiqlari keltiriladi.Matematik analiz
fanining asosiy vazifasi shu fanning tushuncha, tasdiqlari va boshqa matematik
ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtirishgina bo‘lmasdan, balki talabalarda
mantiqiy fikrlash, matematik amaliy masalalar yechishga qo‘llash ko‘nikmalaridan
iborat. Matematika analiz fanining o‘qitishdan maqsad talabalarni matematikaning
zaruriy ma’lumotlar majmuasi,tushunchalar,tasdiqlar va ularning isboti, amaliy
masalalarni yechish usullari va boshqalar, bilan tanishtirishdan iboratdir.Ayni
paytda, u talabalarni mantiqiy fikrlash, to‘g‘ri xulosa chiqarishga,ularning
matematik madaniyatini oshirishga hizmat qiladi.

integrallar bor bo‘lsa ,u holda

1.4.3-formula. Ikkinchi tur sirt integralning umumiy ko‘rinishi.
Bu yig‘indi ikkinchi tur sirt integralning umumiy ko‘rinishi deyiladi va u
quyidagicha belgilanadi.
kabi belgilanadi:
=
Fazoda biror (V) jism berilgan bo‘lsin. Bu jismni o‘rab turgan yopiq sirt
bo‘lib,uni (S) deyiladi. f(x,y,z) funksiya (V) da berilgan Oxy tekislikka parallel
bo‘lgan tekislik bilan(V) ni ikki qisimga ajratamiz: (V)=( . Natijada uni
o‘rab turgan (S) sirt ham ikki ( ) va ( ) sirtlarga ajraladi. Ushbu

1.4.4- formula. Yopiq sirt bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali
9
II.BOB.Ikkinchi tur sirt integralini hisoblash
2.1.Ikki karrali integrallarning xossalari

Sirtning ustki tomoni qaralganda bilan chegaralangan tekis shakilning yuzi
musbat ishora bilan, pastki tomoni (ikkinchi tomoni) qaralganda manfiy ishora
olinadi. Sirt va uning tenglamasi berilgan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari
F(x;y;z)=0 tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni sirt deb
ataladi. F(x; y; z)=0 tenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama x,
y, z o‘zgaruvchilarning bir birga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan ,u
tenglama z ga nisbatan yechilishi mumkin bo‘lsin, bu holda z=f(x,y) deb yozish
mumkin, bunda f(x,y)-x,y o‘zgaruvchining funksiyasidir.
Sirtga berilgan yuqoridagi ta’rifga ko‘ra sirt tenglamasi deb uch o‘zgaruvchili
shunday f(x,y,z)=0 yoki z=f(x,y) tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda
yotgan har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiraladi. Shunday qilib fazodagi
nuqtalarning geometrik o‘rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar
koordinatalarini o‘zaro bog‘lovchi F(x,y,z)=0 tenglama bilan tasvirlanadi.
Aksincha x;y;z; o‘zgaruvchilarning bog‘lovchi har qanday F(x;y;z)=0 tenglama
koordinatalari, bu tenglamani qanoatlantiradigan fazodagi nuqtalarning geometrik
o‘rnini, ya’ni sirtni aniqlaydi.
Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib keladi.
1.Fazodagi biror sirt o‘zining umumiy xossasi bilan nuqtalarning geometrik o‘rni,
deb berilgan.Uning tenglamasini tuzish kerak.
2.Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida uning
xossalarini va shaklini tekshirish kerak.
To‘g‘ri burchak dekart koordinatalari sistemasida o‘zgaruvchi x;y;z
koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali.
A + B +C +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0 algebraik tenglama bilan
tasvirlangan sirtlar ikkinchi tartibli sirtlar deb atladi. Bu tenglamada
A,B,C,D,E,F koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi kerak.
Ikkinchi tur sirt integralidan ta’riflanadi. Shunday qilib , sirtda berilgan f(x,y,z)
funksiyani uchga Oxy tekislikdagi proeksiyalar, Oyz tekislikdagi proeksiyalari
hamda Ozx tekislikdagi proeksiyalar vositasida olingan ikkinchi tur sirt integrali
tushunchalaridan kiritilgan.
6
1.3. Integral tarifi
Integral tarifi: f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan bo‘lsin. Bu sirtning ma’lum
bir tomonini ( yoki ustki, yoki ostki tomonini ) qaraylik. Sirtning P bo‘linishini va

bo ‘ ladi .
24
4. Integralni hisoblash . Yuqoridagi keltirilgan teoremalar funksiyaning birinchi
tur sirt integralining mavjudligini tasdiqlash bilan bir qatorda ularni ikki karrali
integrallar orqali ifodalashni ham ko ‘ rsatadi . Binobarin sirt integrallari ikki karrali
integrallarga keltirib hisoblanadi .
Ushbu

2.3.2- formula. Yopiq sirt bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali
Integral f(x,y,z) funksiyaning yopiq sirt bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi
kabi belgilanadi . Bunda birinchi integral ( ) sirtning ustki tomoni, ikkinchi
integral esa ( ) sirtning pastki tomoni bo‘yicha olinadi .
huddi shunga o‘xshash
hamda umumiy holda,
integral ta’riflanadi .
Eslatma .Ikkinchi tur sirt integrallarida sirtning qaysi tomoni ; tashqi tomoni yoki
ichki tomoni integrallanayotgan takidlab beriladi.

Integralning mavjudligi.Fazoda (S) sirt z=z(x,y) tenglama bilan berilgan. Bunda
z=z(x,y) funksiya chegaralangan (D) sohada xususiy
hosilalarga ega.
25
Integral mavjudligi. Fazoda (S) sirt z=z(x,y) tenglama bilan berilgan . Bunda
z=z(x,y) funksiya chegaralangan (D) soxada uzoqlashuvchi
xususiy hosilaga ega.
Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda bu
funksiyaning (S) sirt bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali
Fazoda sirt x=x(y,z) tenglama bilan berilgan . Bunda x=x(y,z) funksiya
chegaralangan soxada uzluksiz va (D) da uzluksiz
xususiy hosilaga ega.
Agar funksiya sirtda berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda bu funksiyaning
sirtda bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali
bo‘ladi.
Fazoda sirt y=(z,x) tenglama bilan berilgan . Bunda y=y(z,x) funksiya
chegaralangan soxada uzluksiz va (D) da uzluksiz
xususiy hosilaga ega.
Agar funksiya sirtda berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda bu funksiyaning
sirt bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali

Ikkinchi tur sirt integrali

Купить