Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025
9 SotishIntegrallarni taqribiy hisoblashda to'g'ri to'rtburchak formulasining matlab dasturi tadbig’i
![I BOB. KVADRATUR FORMULALAR YORDAMIDA INTEGRAL
TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH
1.1. Eng sodda kvadratur formulalar: to`g`ri to`rtburchak, trapetsiya va
Simpson formulalari.
Berilgan [a,b] kesmada uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya uchun F(x)
boshlang`ich funksiyani topish mumkin bo`lsa, N`yuton Leybnits formulasi
bo`yicha aniq integralni hisoblagan edik. Lekin har qanday uzluksiz
funksiya uchun uning boshlang`ich funksiyasini hamma vaqt topish qiyin, bazi
hollarda esa boshlang`ich funksiyani elementar funksiyalar orqali ifodalab
bo`lmaydi.
Masalan.
Bunday hollarda N`yuton Leybnits formulasidan foydalana olmaymiz.
Shuning uchun ularni taqriban bo`lsa ham hisoblashga to`g`ri keladi. Aniq
integrallarni taqribiy hisoblaydigan bir qancha usullar mavjud. Ushbu paragrifda
ulardan uchtasini: to`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar hamda parabola (Sinpson)
usullarini keltiramiz.
kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lgan funksiyadan olingan
integralni hisoblashni ko`raylik.
Y d
) (x f y
4
) (x f](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_4.png?v=1)
![(2.1)
1-rasm 2-rasm
deb olishimiz mumkin (1-rasm). Bu formula to`g`ri to`rtburchaklar
formulasi deyiladi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda tabiiy
ravishda integralni balandligi ( b - a ) ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo`lgan
trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin (2-rasm), u holda
(2.2)
deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi. Nihoyat,
f(x) funksiya [ a, b ] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo`lsin, u holda
ni taqribiy ravishda O
x o`qi va х = а , х =b to`g`ri chiziqlar hamda у = f(x)
funksiya grafigining absissalari x= a,x= a+b
2 va x=b bo`lgan nuqtalaridan
7](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_7.png?v=1)
![yozamiz:
u vaqtda
P
3 (x)dx= P
2 (x)dx + a
3 x 3
dx = P
2 (x)dx+( /4)(b 4
- a 4
) (2.4)
Lekin bizga ma`lumki,
a
b
P2(x)dx = b− a
6 [P2(a)+4P2(a+b
2
)+a3b3
]
(2.5)
Ikkinchi tomondan,
(2.6)
ayniyat o`rinlidir . Endi (2.5) - (2.6) ni (2.4) ga qo`yib,
a
b
P3(x)dx = b− a
6 {P3(a)+4P3(a+b
2
)+P3(b)}
ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko`rdik. Ulardan ikkitasi
to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phad uchun aniq
formula bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko`phad uchun aniq
formuladir.
9
b
a
b
a
a3
a
b
a
b](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_9.png?v=1)
![1.2. Umumlashgan to`g`ri to`rtburchak formulalasi va uning
qoldiq hadi
Berilgan [a,b] oraliqni (k=0, N) nuqtalar yordamida uzunligi
bo’lgan N ta bo’lakka bo’lamiz. Xar bir qismiy oraliq [ ] bo’yicha
olingan integralga (2.1) formulani qo’yamiz:
(2.7)
Qulaylik uchun kabi belgilab (2.7) ni barcha
lar bo’yicha yig’ib chiqsak, natijada umumlashgan to’g’ri
to’rtburchaklar formulasiga ega bo'lamiz:
(2.8)
Bu formulaning qoldiq hadi ni toppish uchun (2.23) ning
(2.9)
qoldiq hadini barcha lar bo’yicha yig’amiz, natijada
(2.10)
Ravshanki,
Ikkinchi hosilaning uzluksizligidan, koshi teoremasiga ko’ra, shunday
mavjudki,
Buni (2.29) ga olib borib qo’ysak, umumlashgan to’g’ri to’rtburchaklar
formulasining qoldiq hadi xosil bo’ladi:
(2.11)
10](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_10.png?v=1)
![To`g`ri to`rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari
Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash
bilan shug`ullanamiz. To`g`ri to`rtburchak formulasining qoldiq hadi
ni topish uchun f(x) funksiya [ a, b ] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz f"(x)
hosilaga ega bo`lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko`ra:
bu yerda Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b
gacha integrallasak
kelib chiqadi, chunki
a
b
(x− a+ b
2 )dx = 0. Quyidagicha belgilash
kiritaylik:
т =
min
a≤x≤b
f''(x),M = max
a≤x≤b
f''(x)
Integral ostidagi funksiya o`z ishorasini saqlaydi, shuning uchun
(2.7) integralga umumlashgan o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llash mumkin:
R0(f)= L
a
b
(x− a+ b
2 )
2
dx = L (b− a)3
24 (2.13)
bunda
m≤ L≤ M , f'(x) uzluksiz bo`lgan uchun Koshi teoremasiga ko`ra
shunday
ξ , a≤ ξ≤ b topiladiki, L= f''(ξ) . E ndi (2.8) tenglikni quyidagicha yozish
mumkin:
11](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_11.png?v=1)
![R0(f)= (b− a)3
24 f''(ξ) (2.14)
Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko`rinishidir.
Endi trapetsiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun f(x)
funksiyani x = a va x = b nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyatsiyalab,
interpolyatsion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz:
Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallaymiz, natijada
hosil bo`ladi. Bu yerda [ a,b ] oraliqda (x-a)(x-b)
¿ 0 bo`lgani uchun R
1 (f)
integralga o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llash mumkin:
(2.15)
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun
с = 0,5 (а +b) deb olib, quyidagi
,
H '(c)= f'(c),H (b)= f(b)
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko`phadini tuzamiz:
H (x)=4
(a−b)3[(x−c)2(x−b)f(a)−(x−a)(x−b)(a−b)f(c)−
−(x−a)(x−b)(x−c)(a−b)f'(c)−(x−a)(x−c)2f(b)]
Ravshanki,
a
b
H (x)dx = b− a
6 [f(a)+4 f(
a+b
2 )+ f(b)]
Endi funksiyalarni interpolyatsiyalashga ko`ra
interpolyatsion formulaning qoldiq hadi
12](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_12.png?v=1)
![r(x) =1
24
Ω (x)fIV (ς) (a≤ ς≤ b)
bo`lib, bu yerda
Demak, (2.3) formulaning qoldiq hadi
R
2 (f) =
1
24
a
b
Ω(x)fIV(ς)dx
bo`lib,
Ω (x) ko`phad [ a, b ] oraliqda o`z ishorasini saqlaydi va
umumlashgan o`rta qiymat teoremasiga ko`ra
R2(f)=− (b− a)5
2880 fIV(ξ)(a≤ξ≤ b)
ga ega bo`lamiz.
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko`rsatadiki,
to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phadlar uchun
aniq bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali kop`hadlar uchun aniq
formuladir.
13](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_13.png?v=1)
![2.2. Amalga oshirish. Matlab dasturi
Ushbu bo'limda biz tartibsiz domenlar bo'yicha aniq integrallarni
yaqinlashtirish uchun to'rtburchak usul dasturini amalga oshirish tafsilotlarini
muhokama qilamiz. Biz dasturning asosiy komponentlarini amalga oshirish uchun
ishlatiladigan kod tuzilishi, ma'lumotlar tuzilmalari va algoritmlarni ko'rib
chiqamiz.
Kod tuzilishi:
function main()
% Domenni diskretlash uchun parametrlar
x_min = 0; x_max = 4; % X koordinatlari
y_min = 0; y_max = 3; % Y koordinatlari
n = 2; % Har bir yo'nalishda elementlar soni
% Domenni to'rtburchak elementlarga diskretlash
elementlar = domenni_diskretlash(x_min, x_max, y_min, y_max, n);
% Yaratilgan to'rtburchak elementlarni chiqarish
for i = 1:length(elementlar)
fprintf('Element ID: %d, Koordinatalar: [(%.2f, %.2f), (%.2f, %.2f),
(%.2f, %.2f), (%.2f, %.2f)]\n', ...
elementlar(i).id, ...
elementlar(i).x1, elementlar(i).y1, ...
elementlar(i).x2, elementlar(i).y2, ...
elementlar(i).x3, elementlar(i).y3, ...
elementlar(i).x4, elementlar(i).y4);
end
end
function elementlar = domenni_diskretlash(x_min, x_max, y_min, y_max,
n)
% Domenni diskretlash uchun to'rtburchak elementlarni yaratish
elementlar = struct('id', {}, 'x1', {}, 'y1', {}, 'x2', {}, 'y2', {}, 'x3', {}, 'y3',
{}, 'x4', {}, 'y4', {});
17](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_17.png?v=1)
![% Bu misolda, oddiy maydonni hisoblaymiz
area = abs((x1 * y2 + x2 * y3 + x3 * y4 + x4 * y1) - (y1 * x2 + y2 * x3
+ y3 * x4 + y4 * x1)) / 2;
% Integralni saqlash
element_integrallari(i) = area; % Bu maydon, haqiqiy integral uchun
boshqa metodlar kerak
end
end
Yuqorida keltirilgan kod tuzilmasida C++ dasturlash tili har bir
to'rtburchak element ustidagi integralni taxminan hisoblash uchun kvadratlar
qoidasini qo'llash uchun ishlatiladi. To'rtburchak_element strukturasi har bir
to'rtburchak elementni ifodalaydi va Kvadratlar_qoidasini_qo'llang funksiyasi
kvadratlar qoidasi yordamida har bir element uchun integral yaqinlashishni
hisoblaydi. Asosiy funktsiya to'rtburchaklar elementlari bilan
Kvadratlar_qoidasini_qo'lla funksiyasini qanday chaqirishni va har bir element
uchun taxminiy integrallarni qayta ishlashni ko'rsatadi.
Global integratsiya
Kod tuzilishi:
% To'rtburchak elementni ifodalash uchun struktura
function Tortburchak_integrallari = main()
% To'rtburchak elementlarni yaratish
elementlar(1) = struct('id', 1, 'x', [0, 0; 4, 0; 4, 3; 0, 3]);
elementlar(2) = struct('id', 2, 'x', [1, 1; 5, 1; 5, 4; 1, 4]);
% Har bir element ustida integralni taxmin qilish
Tortburchak_integrallari = Kvadratlar_qoidasini_qollang(elementlar);
% Har bir element uchun taxminiy integrallarni chiqarish
for i = 1:length(Tortburchak_integrallari)
20](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_20.png?v=1)
![barcha to'rtburchak elementlarning hissalari yig'iladi. QuadrilateralElement
strukturasi har bir to'rtburchak elementni, shu jumladan uning noyob
identifikatorini, uchlarini va integral yaqinlashuvini ifodalaydi.
performGlobalIntegration funktsiyasi har bir element bo'ylab takrorlanadi va
umumiy integralni hisoblash uchun ularning integral hissalarini yig'adi. Asosiy
funksiya hosil qilingan to'rtburchak elementlar bilan performGlobalIntegration
funksiyasini qanday chaqirish va umumiy integralni chiqarishni ko'rsatadi.
Raqamli integratsiya uchun to'rtburchak usul dasturining aniqligi va
ishonchliligini ta'minlash uchun turli test holatlarini ishlab chiqish kerak. Ushbu
test holatlari oddiy geometrik shakllar, murakkab tartibsiz domenlar va har xil
xususiyatlarga ega funktsiyalarni o'z ichiga olgan bir qator stsenariylarni qamrab
olishi kerak. Quyida kutilgan natijalar bilan birga bir nechta test holatlarining
batafsil tavsiflari keltirilgan.
Test ishi 1: Birlik kvadrat ustidagi integral
Tavsif:
Funktsiyani birlashtirish
f ( x ,va)=1tomonidan belgilangan birlik kvadrat ustida
0≤x≤1va 0≤va≤1
Kutilayotgan natija ning integrali
f ( x ,va )=1birlik kvadrat ustida bo'lishi kerak1
Amalga oshirish:
function main()
% Birlik kvadrat uchlarini aniqlash
% Masalan, [0, 0; 1, 0; 1, 1; 0, 1] koordinatalari
vertices = [0, 0; 1, 0; 1, 1; 0, 1];
% Birlik kvadrat elementlarini diskretlashtirish
birlikKvadratElementlari = hududniDiskretlashtirish(vertices);
% Har bir element uchun integral hisoblash
22](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_22.png?v=1)
![for i = 1:length(birlikKvadratElementlari)
birlikKvadratElementlari(i).integral =
birlikKvadratUchunKvadratQoidalariniQo'llash(birlikKvadratElementlari(i));
end
% Global integratsiyani bajarish
natija = globalIntegratsiyaniBajarish(birlikKvadratElementlari);
fprintf('Sinov Holati 1 - Kutilgan: 1, Hisoblangan: %.2f\n', natija);
% Qo'shimcha test holati
% Ikkinchi birlik kvadrat hududini aniqlash
% Masalan, [1, 1; 2, 1; 2, 2; 1, 2] koordinatalari
vertices2 = [1, 1; 2, 1; 2, 2; 1, 2];
birlikKvadratElementlari2 = hududniDiskretlashtirish(vertices2);
% Har bir element uchun integral hisoblash
for i = 1:length(birlikKvadratElementlari2)
birlikKvadratElementlari2(i).integral =
birlikKvadratUchunKvadratQoidalariniQo'llash(birlikKvadratElementlari2(i));
end
% Global integratsiyani bajarish
natija2 = globalIntegratsiyaniBajarish(birlikKvadratElementlari2);
fprintf('Test Holati 1 - Kutilgan: 1, Hisoblangan: %.2f\n', natija2);
end
function elementlar = hududniDiskretlashtirish(vertices)
% Birlik kvadrat elementlarni yaratish
elementlar = struct('id', {}, 'x1', {}, 'y1', {}, 'x2', {}, 'y2', {}, 'x3', {}, 'y3',
{}, 'x4', {}, 'y4', {}, 'integral', {});
23](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_23.png?v=1)
![% Elementni qo'shish
id = 1;
elementlar(end + 1) = struct('id', id, 'x1', vertices(1, 1), 'y1', vertices(1,
2), ...
'x2', vertices(2, 1), 'y2', vertices(2, 2), ...
'x3', vertices(3, 1), 'y3', vertices(3, 2), ...
'x4', vertices(4, 1), 'y4', vertices(4, 2));
end
function integral = birlikKvadratUchunKvadratQoidalariniQo'llash(element)
% To'rtburchak maydonni hisoblash
area = abs((element.x1 * element.y2 + element.x2 * element.y2 + ...
element.x3 * element.y3 + element.x4 * element.y1) - ...
(element.y1 * element.x2 + element.y2 * element.x3 + ...
element.y3 * element.x4 + element.y4 * element.x1)) / 2;
% Integral maydon sifatida
integral = area; % Haqiqiy integral uchun boshqa metodlar kerak
end
function natija = globalIntegratsiyaniBajarish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
Test ishi 2: To‘g‘ri burchakli uchburchak ustidagi integral
Tavsif:
Funktsiyani birlashtirish
f ( x ,va )=x+va uchlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak ustida ( 0 ,0 ),
( 1 ,0 ), va ( 0 ,1 ).
24](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_24.png?v=1)
![Kutilayotgan natija:
ning integrali f ( x va )=x+vauchburchak ustida bo'lishi kerak 1/3.
Amalga oshirish:
function main()
% To'g'ri burchakli uchburchak uchlarini aniqlash
vertices = [0, 0; 1, 0; 0, 1]; % [x1, y1; x2, y2; x3, y3]
% To'g'ri burchakli uchburchak elementlarini diskretlashtirish
TogriBurchakliElementlar = domennidiskretlash(vertices);
% Har bir element uchun integral hisoblash
for i = 1:length(TogriBurchakliElementlar)
TogriBurchakliElementlar(i).integral =
applyRuleOfSquaresForTriangle(TogriBurchakliElementlar(i));
end
% Global integratsiyani amalga oshirish
result = GlobalIntegratsiyaniamalgaoshirish(TogriBurchakliElementlar);
fprintf('Test ishi 2 - Kutilayotgan: %.2f, Hisoblangan: %.2f\n', 1/3, result);
end
function elementlar = domennidiskretlash(vertices)
% To'g'ri burchakli uchburchak elementlarni yaratish
elementlar = struct('id', {}, 'x1', {}, 'y1', {}, 'x2', {}, 'y2', {}, 'x3', {}, 'y3',
{}, 'integral', {});
% Elementni qo'shish
id = 1;
elementlar(end + 1) = struct('id', id, 'x1', vertices(1, 1), 'y1', vertices(1,
2), ...
25](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_25.png?v=1)
!['x2', vertices(2, 1), 'y2', vertices(2, 2), ...
'x3', vertices(3, 1), 'y3', vertices(3, 2));
end
function integral = applyRuleOfSquaresForTriangle(element)
% Uchburchak maydonini hisoblash (to'g'ri burchakli uchburchak uchun)
base = element.x2 - element.x1; % Asos
height = element.y3; % Balandlik
area = 0.5 * base * height; % Uchburchak maydoni
% Integralni hisoblash
integral = area; % Bu maydon, haqiqiy integral uchun boshqa metodlar
kerak
end
function natija = GlobalIntegratsiyaniamalgaoshirish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
Test ishi 3: Aylana domenidagi integral
Tavsif:
Funktsiyani birlashtirish f ( x ,va )=x 2
+va 2
radiusi 1 bo'lgan doiraviy domen bo'ylab markazning koordinatasida
joylashgan.
Kutilayotgan natija: ning integrali f ( x ,va )=x 2
+va 2
birlik doira ustida bo'lishi kerak P
i /2 .
Amalga oshirish:
function main()
% Doira uchlarini aniqlash
26](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_26.png?v=1)
![y2 = radius * sin(theta2);
% Elementni qo'shish
id = i;
elementlar(end + 1) = struct('id', id, 'x', [x1, x2], 'y', [y1, y2]);
end
end
function integral = doiraUchunKvadratQoidalariniQo'llash(element)
% Doira segmentining maydonini hisoblash
x1 = element.x(1);
y1 = element.y(1);
x2 = element.x(2);
y2 = element.y(2);
% Segment maydoni (to'liq doira maydoni uchun)
segmentArea = 0.5 * (x1 * y2 - x2 * y1);
% Integralni hisoblash
integral = abs(segmentArea); % Maydon, haqiqiy integral uchun boshqa
metodlar kerak
end
function natija = globalIntegratsiyaniBajarish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
28](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_28.png?v=1)
![Test ishi 4: tartibsiz ko‘pburchak ustidagi integral
Tavsif:
Funktsiyani birlashtirish
f ( x ,va )=Bu(x + y) ixtiyoriy cho'qqilar to'plami bilan aniqlangan tartibsiz
ko'pburchak ustida.
Kutilayotgan natija:
kutilayotgan natija ko‘pburchakning o‘ziga xos cho‘qqilariga bog‘liq
bo‘ladi. Ushbu test ishi birinchi navbatda dasturning tartibsiz domenlarni
boshqarish qobiliyatini tekshiradi.
Amalga oshirish:
function main()
% Noaniq to'rtburchak uchlarini aniqlash
vertices = [0, 0; 3, 1; 2, 4; 0, 3]; % Noaniq to'rtburchakning uchlari
% Noaniq to'rtburchak elementlarini diskretlashtirish
noaniqliTortburchakElementlar =
noaniqliTortburchakniDiskretlashtirish(vertices);
% Har bir element uchun integral hisoblash
for i = 1:length(noaniqliTortburchakElementlar)
noaniqliTortburchakElementlar(i).integral =
noaniqliTortburchakUchunKvadratQoidalariniQo'llash(noaniqliTortburchakEleme
ntlar(i));
end
% Global integratsiyani bajarish
natija = globalIntegratsiyaniBajarish(noaniqliTortburchakElementlar);
fprintf('Sinov Holati 4 - Hisoblangan: %.2f\n', natija);
end
29](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_29.png?v=1)
![function natija = globalIntegratsiyaniBajarish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
Test ishi 5: Teshigi bo'lgan domen ustidagi integral
Tavsif:
Funktsiyani birlashtirish f ( x ,va )=sin(x) ⋅ chunki ( va )dumaloq teshikli
kvadrat domen ustida. Kutilgan natija:
kutilgan natija kvadratning o'lchamlari va teshik radiusiga bog'liq bo'ladi.
Ushbu test ishi dasturning ichki chegaralar bilan murakkab geometriyalarni
boshqarish qobiliyatini tekshiradi.
Amalga oshirish:
function main()
% Teshikdagi hududni diskretlashtirish
teshikdagiHududElementlar = teshikdagiHududniDiskretlashtirish();
% Har bir element uchun integral hisoblash
for i = 1:length(teshikdagiHududElementlar)
teshikdagiHududElementlar(i).integral =
teshikdagiHududUchunKvadratQoidalariniQo'llash(teshikdagiHududElementlar(i))
;
end
% Global integratsiyani bajarish
natija = globalIntegratsiyaniBajarish(teshikdagiHududElementlar);
fprintf('Sinov Holati 5 - Hisoblangan: %.2f\n', natija);
end
31](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_31.png?v=1)
![function elementlar = teshikdagiHududniDiskretlashtirish()
% Teshikdagi hududni diskretlashtirish
elementlar = struct('x1', {}, 'y1', {}, 'x2', {}, 'y2', {}, 'x3', {}, 'y3', {}, 'x4',
{}, 'y4', {}, 'integral', {});
% Kvadrat elementini qo'shish (masalan, [0, 0] va [1, 1])
elementlar(end + 1) = struct('x1', 0, 'y1', 0, 'x2', 1, 'y2', 0, 'x3', 1, 'y3', 1,
'x4', 0, 'y4', 1);
% Qo'shimcha elementlar qo'shish mumkin
end
function integral =
teshikdagiHududUchunKvadratQoidalariniQo'llash(element)
% Kvadrat qoidalaridan foydalanib integralni hisoblash
area = abs((element.x1 * element.y2 + element.x2 * element.y2 + ...
element.x3 * element.y3 + element.x4 * element.y1) - ...
(element.y1 * element.x2 + element.y2 * element.x3 + ...
element.y3 * element.x4 + element.y4 * element.x1)) / 2;
% Integralni hisoblash
integral = area; % Maydon sifatida
end
function natija = globalIntegratsiyaniBajarish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
32](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_32.png?v=1)
![function main()
% Aniqlangan integral qiymati
aniqliIntegral = 1.0;
% Birlik kvadrat elementlarini diskretlashtirish
unitSquareElements = birlikKvadratElementlariniDiskretlashtirish();
% Global integratsiyani bajarish
hisoblanganIntegral = globalIntegratsiyaniBajarish(unitSquareElements);
% Absolut va nisbiy xatoni hisoblash
absolutXato = abs(aniqliIntegral - hisoblanganIntegral);
nisbiyXato = absolutXato / abs(aniqliIntegral);
% Natijalarni chiqarish
fprintf('Sinov Holati 1 - Absolut Xato: %.10f, Nisbiy Xato: %.10f\n',
absolutXato, nisbiyXato);
end
function elementlar = birlikKvadratElementlariniDiskretlashtirish()
% Birlik kvadrat elementlarini yaratish
elementlar = struct('x1', {}, 'y1', {}, 'x2', {}, 'y2', {}, 'x3', {}, 'y3', {}, 'x4',
{}, 'y4', {}, 'integral', {});
% Kvadrat elementini qo'shish (masalan, [0, 0] va [1, 1])
elementlar(end + 1) = struct('x1', 0, 'y1', 0, 'x2', 1, 'y2', 0, 'x3', 1, 'y3', 1,
'x4', 0, 'y4', 1);
% Qo'shimcha elementlar qo'shish mumkin
end
34](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_34.png?v=1)
![function natija = globalIntegratsiyaniBajarish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
Konvergentsiya tahlili
Konvergentsiya tahlili domenning diskretizatsiyasi qanchalik nozik
bo'lsa, sonli yaqinlashishning aniqligi qanday yaxshilanishini tekshiradi.
To'rtburchak elementlarning o'lchami kamayishi (ya'ni, to'rning tozalanganligi
sababli) xatolik kamaysa, usul konvergent hisoblanadi.
Konvergentsiyani tahlil qilish bosqichlari:
1.Turli xil aniqlikdagi meshlarni yarating:
Domenning turli darajadagi nozikliklari bilan bir nechta diskretizatsiyasini
yarating (masalan, nozik va qo'polroq to'rlar).
2.Har bir to'r uchun integrallarni hisoblash:
har bir tarmoq o'lchamlari uchun integralni hisoblash uchun to'rtburchaklar
usulini qo'llang.
3.Plot Error vs. Mesh Size:
Xatoni (mutlaq yoki nisbiy) to‘rtburchak elementlarning xarakterli
o‘lchamiga (masalan, maksimal yon uzunligi yoki o‘rtacha maydon) nisbatan
chizing.
Konvergentsiya tahlilini amalga oshirishga misol:
function main()
% Aniqlangan integral qiymati
aniqIntegral = 1.0;
% Turkumlar o'lchami uchun vektor
meshSizes = [0.1, 0.05, 0.01];
% Xatoliklar uchun vektor
35](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_35.png?v=1)
![Ushbu baholashlarni o'tkazish orqali biz dastur tartibsiz domenlar bo'yicha
integrallarning ishonchli va to'g'ri sonli taxminlarini taqdim etishini tasdiqlashimiz
mumkin. Ushbu tahlillar natijalari, shuningdek, dastur samaradorligini yanada
oshirish uchun takomillashtirish va optimallashtirish uchun har qanday potentsial
sohalarni aniqlashga yordam beradi.
Faoliyatni baholash..
To'rtburchak usul dasturining hisoblash samaradorligi turli xil
o'lchamdagi muammolar uchun ish vaqtini o'lchash yo'li bilan baholanadi.
To'rtburchak usulning afzalliklari va cheklovlarini ta'kidlash uchun ishlash boshqa
raqamli integratsiya usullari bilan taqqoslanadi.
Ish faoliyatini baholash metodologiyalari
1. Hisoblash vaqti:
Turli domenlar va funktsiyalarda integratsiyani amalga oshirish uchun
sarflangan vaqtni o'lchang. Bunga vaqt domenini diskretlashtirish, kvadratura
qoidalarini qo'llash va global integratsiya kiradi.
2. Masshtablilik:
to'rtburchak elementlarning soni va integralning murakkabligi kabi
muammoning o'lchami bilan dasturning ishlashi qanday o'lchanishini baholang.
3. Xotiradan foydalanish:
Dasturning xotira sarfini, ayniqsa nozik diskretizatsiya bilan bog'liq keng
ko'lamli muammolar uchun hisoblang.
Hisoblash vaqti
Muayyan sohada funktsiyani birlashtirish uchun hisoblash vaqti dastur
ishlashining muhim ko'rsatkichidir. Biz har bir asosiy bosqichga sarflangan vaqtni
o'lchashimiz mumkin: diskretizatsiya, kvadratura qoidalarini qo'llash va global
integratsiya.
Amalga oshirish misoli
function main()
% Integratsiya domeni va funksiyasini aniqlash
elementlar = []; % Domen aniqlanishi bilan to'ldiriladi
38](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_38.png?v=1)
![end
function integral = kvadratQoidaniQollash(element)
% To'rtburchak elementining integralini hisoblash
area = abs((element.x1 * element.y2 + element.x2 * element.y2 + ...
element.x3 * element.y3 + element.x4 * element.y1) - ...
(element.y1 * element.x2 + element.y2 * element.x3 + ...
element.y3 * element.x4 + element.y4 * element.x1)) / 2;
integral = area; % Maydon sifatida
end
function natija = globalIntegratsiyaniBajaring(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
Masshtablilik
Masshtablilikni baholash uchun dasturning ishlashi muammo
o'lchamlarini oshirish bilan sinovdan o'tkazilishi kerak. Bu to'rni tozalash va
hisoblash vaqti va aniqligiga ta'sirini baholash orqali to'rtburchak elementlarning
sonini ko'paytirishni o'z ichiga oladi.
Masshtablilik testini amalga oshirishga misol:
function main()
% Birlik kvadrat elementlarini diskretlashtirish
birlikKvadratElementlari = hududniDiskretlashtirish();
% Har bir element uchun integralni hisoblash
for i = 1:length(birlikKvadratElementlari)
birlikKvadratElementlari(i).integral =
birlikKvadratUchunKvadratQoidalariniQo'llash(birlikKvadratElementlari(i));
40](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_40.png?v=1)
![end
% Global integratsiyani bajarish
natija = globalIntegratsiyaniBajarish(birlikKvadratElementlari);
% Natijani chiqarish
fprintf('Sinov Holati 1 - Kutilgan: 1, Hisoblangan: %.6f\n', natija);
end
function elementlar = hududniDiskretlashtirish()
% Birlik kvadratni diskretlashtirish
elementlar = struct('x1', {}, 'y1', {}, 'x2', {}, 'y2', {}, 'x3', {}, 'y3', {}, 'x4',
{}, 'y4', {}, 'integral', {});
% Birlik kvadrat uchun bitta to'rtburchak elementini qo'shish
elementlar(end + 1) = struct('x1', 0, 'y1', 0, 'x2', 1, 'y2', 0, ...
'x3', 1, 'y3', 1, 'x4', 0, 'y4', 1);
end
function integral = birlikKvadratUchunKvadratQoidalariniQo'llash(element)
% Birlik kvadrat elementining integralini hisoblash
integral = 1; % Birlik kvadrat uchun aniqlangan integral
end
function natija = globalIntegratsiyaniBajarish(elementlar)
% Har bir elementning integralini yig'ish
natija = sum([elementlar.integral]);
end
Xotiradan foydalanish
41](https://docx.uz/documents/4e0ac36a-41d0-478a-8a91-ea6571b5c044/page_41.png?v=1)
Integrallarni taqribiy hisoblashda to'g'ri to'rtburchak formulasining matlab dasturi tadbig’i
-
O'xshash dokumentlar
- Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik konusi va diametral tekisligi
- Fazoda tekislik va to`g`ri chiziqning o`zaro joylashuvi
- Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari
- Tekislikda koordinatalar metodi
- Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash