Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 429.5KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash 26

Sotib olish
MATEMATIK ANALIZ FANIDAN KURS ISHI Mavzu: Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash 1 Farg ona-2026ʻ 2 MUNDARIJA KIRISH.....................................................................................................................3 I BOB. ANIQMAS INTEGRAL VA INTEGRALLASH USULLARI ...............6 1- § . Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi ...................................6 2- § . Aniqmas integralni hisoblash va integral jadvali...............................................6 3- § . Integrallash usullari.. ..........................................................................................9 II BOB. RATSIONAL VA IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH .................................................................................................11 1- § . Ratsional funksiyalarni integrallash .................................................................11 2- § . Irratsional funksiyalarni integrallash ................................................................14 III BOB. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH .........18 1- § . Trigonometrik funksiyalarni integrallash .........................................................18 XULOSA ................................................................................................................23 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. .............................................................25 3 Kirish Darhaqiqat, kelajak bugundan boshlanadi. Kelajagimiz poydevorini esa biz yoshlar quramiz. Xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishini bugungi yosh avlodning ta’lim va tarbiyasi belgilab beradi. Shuning uchun ham davlatimiz mustaqil bo‘lganidan to bugungi kunga qadar butun mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlari tubdan isloh qilinmoqda. Xaqiqatdan ham, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan, hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplashayotgan ming-minglab o‘quvchilar, katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning o‘zida o‘z hosilini berayotgani guvohi bo‘lamiz. Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga oshirgan ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmayotgan hayot barpo etish, yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin yaratdi, desak hech qanday xato bo‘lmaydi. Respublikamiz prezidenti Shavkat Miromonovich Mirziyoyevning 2020-yil 6-noyabrdagi “O‘zbekistonning yangi taraqqiyot davrida ta’lim-tarbiya va ilm-fan sohalarini rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risidagi PF-6108-sonli qarori qabul qilindi.Bu qarorning oliy ta’lim sohasiga tegishli joyini ko‘rib chiqsak; 2021-yil yanvar oyidan boshlab davlat oliy ta’lim tashkilotlariga kirish uchun test sinovi topshiriqlarini tuzish va ekspertizadan o‘tkazishning yangi tartibi joriy qilindi va unga muvofiq; Test sinovi topshiriqlari davlat ta’lim standartlari va o‘quv dasturlari asosida tuziladi; Test sinovi materiallarining ma’no-mazmuni umumiy o‘rta ta’lim tizimidagi fanlarning o‘quv dasturlariga moslashtiriladi; 4 Abiturentlarning nazariy bilimlarini o‘zlashtirish bilan birgalikda mantiqiy fikrlashi, masala va misollarni bajara olish qobiliyati va ta’limning keying bosqichiga tayyorgarligini baholaydigan, kompetensiyaga asoslangan test topshiriqlari ishlab chiqiladi; Bular birgina qaror xolos. Bunaqa qaror va farmoyishlardan judayam ko‘p. Joriy yilda abiturentlarga cheksiz ko‘p oliy ta’lim muassasalarini tanlash imkoniyati berilmoqda. May oyidan boshlab ijarada yashovchi talabalarning ijara to‘lovlari to‘lab berish boshlandi. Qizlarga ajratilgan alohida grantlar fikrimizning yana bir isbotidir. Kurs ishining dolzarbligi: yoshlarning ongini rivojlantirishda matematikaning o‘rni beqiyosdir. Matematikani o‘zlashtira olgan bola har qanday boshqa yo‘nalishni bemalol o‘rgana olishi ayni haqiqatdir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol topdirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi. Shuning uchun ham davlatimizga yetuk matematiklar kerak. Matematik analiz fani matematika yo‘nalishida tahsil oluvchi talabarning eng asosiy fanidir. Bu fan chuqur tahlilga asoslanadi. Bu fanning asosiy mavzularidan biri-integraldir. Integral mavzusining amaliy ahamiyati nihoyatda kattadir. Boshlang‘ich funksiya va integral differensial tenglamalar fanining asosidir. Ko‘pgina amaliy masalalar differensial tenglamaga olib kelinadi. Differensial tenglamalarni esa boshlang‘ich funksiya topish orqali yechamiz. Bundan kelib chiqadiki biz integrallashga oid mavzularni e’tabor bilan o‘rganishimiz kerak. Shu jihatdan meni kurs ishim ham dolzarb mavzulardan biridir. O‘z kurs ishimda bu mavzuni atroflicha va chuqur yoritishga harakat qilaman . 5 Kurs ishining maqsadi : irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash usullarini o‘rganish hamda ularni amaliy masalalarda qo‘llash ko‘nikmasini shakllantirish. Kurs ishining obyekti : oliy va o‘rta maxsus ta’lim muassasalarida matematik analizni o‘qitish, aniqmas integral va uni hisoblash jarayonlari. Kurs ishining predmeti : irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash usullari. Kurs ishining vazifalari : 1. Aniqmas integral tushunchasini o‘rganish; 2. Integrallash usullarini ko‘rib chiqish; 3. Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallashni tahlil qilish; 4. Nazariy bilimlarni misollar bilan mustahkamlash. Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari qisqacha bayon etilgan. 6 I BOB ANIQMAS INTEGRAL VA INTEGRALLASH USULLARI 1- § . Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi Aytaylik, va funksiyalar da uzluksiz bo‘lib, esa hosilaga ega bo‘lsin. Agar da bo‘lsa, funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi. funksiya boshlang‘ich funksiyalarining umumiy ko‘rinishi ning aniqmas integrali deyiladi: Misol: ning intervalda boshlang‘ich funksiyasi topilsin. Bu funksiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki da Aniqmas integralning asosiy xossalari. Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega: 2- § . Aniqmas integral jadvali va integralni hisoblash 7 Sodda integral jadvali. Quyidagi sodda integral jadvalini keltiramiz: 8 Sodda aniqmas integrallarni hisoblash. Sodda aniqmas integralni asosan bevosita xossalardan va jadvaldan foydalanib hisoblanadi. 1-misol. Ushbu integral hisoblansin. Integral ostidagi funksiyani quyidagicha yozib olamiz. So‘ng integral xossalari va jadvaldan foydalanib topamiz: 9 2-misol. Ushbu Integral hisoblansin. Integral ostidagi ifodani quyidagicha yozib olamiz: I= Natijada, hosil bo‘ladi. 10 3- § . Integrallash usullari O‘zgaruvchini almashtirish usuli. Aytaylik, ushbu aniqmas integral hisoblanishi kerak bo‘lsin. Agar deyilsa, ( -yangi o‘zgaruvchi, -uzluksiz differensiallanuvchi funksiya) berilgan integral quyidagi ko‘rinishga keladi: Bunda funksiyasini shunday tanlash lozimki, (1) tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda hisoblashga qulay bo‘lishi kerak. Misol: ni hisoblang. Berilgan integralda o‘zgaruvchi ni kabi almashtirish bajaramiz. Bunda bo‘lib, bo‘ladi. Bo‘laklab integrallash usuli. Agar differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Odatda bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi. formula ning integralini ning integrali orqali ifodalaydi. Bu formuladan foydalanish uchun qaraladigan integralning ostidagi ifodani va lar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozib olinadi, bunda albatta va ifodalarning integrallarini oson hisoblana olishi e’tiborga olinishi kerak. 1-misol. Ushbu 11 integral hisoblansin. Bu integralni formuladan foydalanib hisoblaymiz: Ravshanki, Demak, 2-misol. Ushbu Integral hisoblansin. Bu integralni formuladan foydalanib hisoblaymiz: Agar, bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda bo‘lishi kelib chiqadi. 12 II BOB.RATSIONAL VA IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH 1- § . Ratsional funksiyalarni integrallash Avvalo ratsional funksiyalarga ta’rif berib o‘tsak: Ratsional funksiyalar — o‘zgaruvchi x va ixtiyoriy sonlar ustida bajarilgan arifmetik amallar (qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish) natijasida oxirgi son hosil bo ladigan funksiya. Ratsional funksiyalarning integrali Ratsionalʻ funksiyalarlar yig indisi, logarifmik va arktangens funksiyalar orqali hisoblanadi. ʻ Ratsional funksiyalar va ixtiyoriy sonlar ustida bajariladigan arifmetik amallar natijasida olingan oxirgi son, Ratsional funksiyalarning hosilasi ham Ratsional funksiyalar bo ladi. Ratsional funksiyalar elementar funksiyalarning muhim qismi ʻ bo‘lib, 20-asr o‘rtalaridan taqribiy funksiya masalalarini yechishda keng qo llaniladi. ʻ 1. Sodda kasrlar va ularning integrallari Ushbu kasrlar sodda kasrlar deyiladi. Ularning integrallari quyidagicha bo‘ladi: 13 2. Ratsional funksiyalarni integrallash. Ushbu ratsional funksiyaning integrali quyidagicha hisoblanadi. Agar bo‘lsa, kasrning butun qismini ajratib, uni butun ratsional funksiya va to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishida yozib olinadi. Ravshanki, butun ratsional funksiyalar integrali oson hisoblanadi. Ma’lumki, har qanday to‘g‘ri kasr sodda kasrlar sifatida ifodalanadi. Demak, to‘g‘ri kasrning integrali soda kasrlarning integraliga keltirib hisoblanadi. 1-misol. Ushbu integral hisoblansin. Integral ostidagi kasrning suratini maxrajiga bo‘lib, butun qismini ajratamiz: So‘ng bu tenglikning o‘ng tomonidagi to‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyamiz: bundan bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, 14 Keyingi tenglikdan esa bo‘lishini topamiz. (*) tenglikka ko‘ra bo‘ladi. Berilgan integralni hisoblaymiz: 2-misol. Ushbu integral hisoblansin. Integral ostidagi ifodani sodda kasrlarga yoyamiz: Umumiy maxrajga keltirib topamiz: larni topish uchun quyidagi sistemani yechamiz: 15 Bundan, bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, integral ostidagi funksiya bo‘ladi. Uning integralini hisoblaymiz: Keyingi tenglikning o‘ng tomonidagi integralni integrallash usullari rejasidagi rekurent formulaga ko‘ra topamiz: Demak, . 2- § . Irratsional funksiyalarni integrallash ko‘rinishidagi integralni hisoblash. integralda -ratsional sonlar, - xaqiqiy sonlar bo‘lib, 16 Agar -ratsional sonlarning umumiy maxraji bo‘lsa, integralda almashtirish bilan qaralayotgan integral ratsional funksiyalarning integraliga keladi. ko‘rinishidagi integralni hisoblash. Bu integral quyidagi uchta almashtirish (Eyler almashtirishlari) bilan ratsional funksiyaning integraliga keladi: bunda soni tenglamaning ildizlaridan biri. ko‘rinishidagi integralni hisoblash , bunda -ratsional sonlar. Bu integral: 1) - butun son bo‘lgan holda almashtirish bilan, bunda - soni va ratisonal sonlarning umumiy maxraji; 2) -butun son bo‘lgan holda almashtirish bilan, bunda soni ratsional sonning maxraji; 3) - butun son bo‘lgan holda almashtirish bilan, bunda soni ratsional sonning maxraji, ratsional funksiyaning integraliga keladi. 1-misol. Ushbu 17 integral hisoblansin. Ravshanki, Demak, integral ostidagi funksiya va larning ratsional funksiyasi bo‘ladi. Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda bo‘lib, bo‘ladi. Demak, 2-misol. Ushbu integral hisoblansin. Bu integralda bo‘lgani uchun almashtirish bajaramiz. Unda 18 bo‘lib, bo‘ladi. Ravshanki, Demak, 3-misol. Ushbu integral hisoblansin. Berilgan integralni quyidagicha yozib olamiz. Integral ostidagi ifoda uchun bo‘lib, bo‘ladi. Bu integralda deb topamiz: 19 . Natijada, bo‘ladi. Keyingi integralni hisoblab, bo‘lishini topamiz. 4-misol. Ushbu integralni hisoblang. Bu integralni hisoblash uchun quyidagicha almashtirish bajaramiz. Demak javob: . 20 III BOB.TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH 1- § . Trigonometrik funksiyalarni integrallash Trigonometrik funksiyalarni integrallash — trigonometrik funksiyalar yoki ular qatnashgan ifodalarning aniq va aniqmas integrallarini hisoblash usullarini o‘rganuvchi integral hisob bo‘limidir. 1.Trigonometrik ayniyatlar. 2.Trigonometrik funksiyalarni birinchisini ikkinchisi orqali ifodalash 3. Trigonometrik funksiyalarni yig‘indisi va ayirmasi. 21 4.Yarim burchak formulalari. 5. Darajani pasaytirish formulasi. 7. Trigonometrik funksiyani ko‘paytmadan yig‘indiga aylantirish. 22 Asosiy trigonometrik funksiyalar deb funksiyalarga aytiladi. Ular orasida quyidagi bog‘lanishlar mavjud : Trigonometrik funksiyalar davriydir. va funksiyalarning davri , funksiyalarniki esa ga teng. 1. ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash. Bunday integralda almashtirish bajarilsa, u holda bo‘lib, qaralayotgan integral ratsional funksiyaning integrali ga keltiriladi. 2. ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash. Bunday integrallar toq bo‘lganda almashtirish yordamida, toq bo‘lganda esa almashtirish yordamida hisoblanadi. Agar va lar juft bo‘lsa, unda va ni mos ravishda ga almashtirish lozim. 23 3. ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash. Bunday integrallarni hisoblashda quyidagi formulalardan foydalanish kerak. 1-Misol. Ushbu integral hisolansin. Demak, ekan. 2-misol. Ushbu integral hisoblansin. Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda bo‘lib, 24 bo‘ladi. 3-misol . Ushbu integral hisoblansin. Bu integralda almashtirish bajarib, uni hisoblaymiz: 4-misol. Ushbu integralni hisoblaymiz. Bu integral quyidagicha hisoblanadi : 25 XULOSA Biz funksiyaning hosilasini topish zarur bo‘lsa, funksiyalarni differensiallash qoidalaridan foydalanganmiz. Agar hosila argumentning funksiyasi bo‘lib, uni orqali belgilasak, bo‘ladi va funksiya differensialini ko‘rinishida yozish mumkin bo‘ladi. Aksincha, funksiyaning biror oraliqda berilgan hosilasi bo‘yicha shu oraliqda aniqlangan funksiyani o‘zini topish talab qilinsa, funksiyani integrallash amalidan , ya’ni integrallash nomi bilan ataluvchi maxsus qoidalar va formulalardan foydalaniladi. Izlanayotgan funksiya uchun boshlang‘ich funksiya vazifasini o‘taydi. Integrallash amali belgisi bilan belgilanadi (lotincha untegrare –tiklash). Shunday qilib, biror oraliqdagi barcha lar uchun o‘rinli bo‘lsa, funksiya shu oraliqda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi. Matematikaga integral atamasini shveytsariyalik matematik Iogann Bernulli (1667-1748) kiritgan va integral hisobdan birinchi sistematik kurs tayyorlagan.Uning shogirdi Peterburg fanlar akademiyasining haqiqiy a’zosi Leonard-Eyler (1707-1748) integrallashni belgisi orqali belgilangan. Hozirgi zamondagi belgilashni esa fransuz matematigi J.Furye (1768-1860) kiritgan. Ushbu kurs ishini yozish davomida aniqmas integral va unga oid ko‘pgina ma’lumotlarga ega bo‘ldim. Bu kurs ishini tayyorlashda: Aniqmas integralga oid formulalarni va jadvalni ; O‘zgaruvchini almashtirish, bo‘laklab integralash kabi integrallash usullarini; Trigonometrik funksiyalarni integrallashni; Ratsional funksiyalarni integrallashni; 26 Irratsional funksiyalarni integrallashni; Eyler almashtirishlarini; va boshqa ko‘plab integrallashga oid bilimlarimni yanada mustahkamladim va o‘rganganlarimni ushbu kurs ishida iloji boricha yoritib berishga harakat qildim. Ushbu kurs ishi 27 varoqdan iborat bo‘lib, kirish, 3 ta bob va foydalanilgan adabiyotlarni o‘z ichiga oladi. Bu kurs ishida texnikaning rivojlanishiga asosiy turtki bo‘lgan mavzulardan biri bo‘lmish trigonometrik, ratsional va irratsional funksiyalarni integrallash qoidalari, yo‘llari va usullari yoritilgan. Qoidalar, formulalar, ta’riflar, teoremalar keltirilgan va alohida tushuntirilib o‘tilgan. Kurs ishida keltirilgan misollar eng oson va tushunarli usulda ishlangan. Bu kurs ishini yozish davomida ko‘p bilimlar orttirdim. Bilmaganlarimni o‘rgandim. 27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Узбекистон Республикаси Вазирлар Махкамасининг “ Таьлим тугрисидаг a” ги в a “Ka дрлар тайерлаш дастурида ” ги конуни 1997 – йил , 29 – a вгуст . 2. I.A. Karimov “Barkamol avlod orzusi” Toshkent – 2000- yil. 3. I.A. Karimov “Yuksak ma’naviyat – yengilmas kuch”. Toshkent “ Ma’naviyat” 2005. 4. I.A. Karimov “Mamalakatimizda demokratik islohotlarni yanada chuqurlashtirish va fuqorolik jamiyatini rivojlantirish konsepsiyasi” – T: O‘zbekiston, 2010-yil. 5. I.A. Karimov “Barcha reja va dasturlarimiz vatanimiz taraqqiyotini yuksaltirish, xalqimiz farovonligini oshirishga xizmat qiladi”, “Xalq so‘zi” gazetasi, 2011-yil 22 – yanvar. 6. M. Салохиддинов “Ma тематик физика тенгламалари ”, T: Узбекистон 2002. 7. M.C. Салохиддинов , Г ’. Н . Насритдинов “O ддий дифференсиал тенгламалар ”. Т : Узбекистон 1994. 8. T. A зларов , H. Ma нсуров “Ma тематик анализ ” 2- кисм . T : Укитувчи 1989. 9. Й. У. Соатов “ O лий математика”. T : Узбекистон 1996 10. Понтрячен “Обыкновенние дифференциальные уравнения”. М: Наука, 1969 . 28
Sotib olish