Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 359.4KB
Покупки 1
Дата загрузки 19 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Jordan, Borel va Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Jordan, Borel va Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali MUNDARIJA Kirish…………………………………………………………………………...…3 1-§. Jordan o’lchovi ………………………………………………………...…….5 2-§. Borel o’lchovi ................. …………………………………………………....12 3-§. Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali .... ………………….………………….…14 Xulosa…………………………………..………………………………………...34 Foydalanilgan adabiyotlar……………………….……………………………….35 KIRISH 3 Davlat ta’lim standarti o’quvchilarning har biriga ta’lim olishda keng imkoniyatlarni yaratib berish,har birining yuqori natijaga erishishlarini rag’batlantirish va shu orqali o’quv – biluv jarayonining farqli tashkil etilishini ta’minlash uchun da’vat etilgan Yuqorida aytilgan mezon va talablarga rioya qilgan holda. Respublikamizda, zamonaviy bilim malaka va ko’nikmalarga ega va yosh avlodni tarbiyalashda zamonaviy metod va uslublardan foydalana oladigan yetuk kadrlar tayyorlash dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Shu borada, hech shubhasiz, o’z vaqtida, ya’ni bundan 20-yil oldin Kadrlar tayyorlash va shuningdek, maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy dasturlarni qabul qilganimiz ta’lim - tarbiya sohasida eski qolip va asoratlardan holi bo’lgan, bugun o’zgalarning havasini tortayotgan yangi tizimni hayotimizda tadbiq etganimiz haqiqatdan ham tarixiy bir voqea bo’ldi, desak, adashmagan bo’lamiz. Buning natijasida mustaqil va yangicha fikrlaydigan, zamon talabiga javob beradigan avlodni shaklantirishga erishdik, Vatanimizning ertangi kunini, taqdirini o’z qo’liga olishga qodir bo’lgan farzndlarimiz bugun minbarga chiqmoqda. Ma’lumki, Davlat ta’lim standartlarida uzluksiz ta’lim tizimining har bir mustaqil ta’lim turi boshqa ta’lim turlari va bosqichlari bilan uzluksizlik va uzviylik tamoyillariga asosan bog’lanishi ko’zada tutilgan.Shu o’rinda har bir ta’lim turi va bosqichi o’ziga xos xususiyatlarga ega bo’lib, oldingisidan keyingisiga o’tishda ta’lim jarayoni samarali kechishi uchun o’qituvchi va o’quvchidan alohida tayyorgarliklarni talab etishi aniq. Bunday muammolar asosan o’rta maxsus, kasb – hunar va oliy ta’lim muassasalar o’rtasidagi ta’lim mazmuni va jarayonini tashkil etishdagi uzluksiz va uzviylik masalasini hal etishda mavjuddir. Bu borada matematika fani katta imkoniyatlarga ega. Shunday ekan, matematika fani izchil, bosqichma – bosqich boshqa fanlar bilan aloqadorlikda o’rganish o’quvchilar mustaqil fikrlash qobiliyatini o’stirishga yordam beradi. Respublikamizda matematika fani asoslari turli bosqichlarda faoliyat 4 ko’rsatayotgan ta’lim muassasalarining ta’lim mazmuniga mos ravishda o’quvchilarning psixologik va pedagogok xususiyatlariga muvofiq muayyan `izchillikni o’rnatish fanlar, boblar, mavzular, o’quv materiallari orasida uzviylikni ta’minlash asosida amalga oshiriladi. Shunday ekan, matematika fani asoslarini yorituvchi kurslar o’rtasida uzviylikni ta’minlash, o’quv materiallarini turli bosqich ta’lim muassasalari o’quvchilarining yosh xususiyatlariga mos holda tanlash, ularning muayyan mantiqiy ketma – ketlik, fanlararo uzviylik hamda izchillik asosida joylashtirish, o’quv jarayonida uzviylik tamoyilining yetakchi o’rin tutishiga erishish va bu holatni pedagogik jihatdan asoslash muammosini yuzaga keltiradi. Kurs ishining mavzusining dolzarbligi: Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlari matematikada va uning qo’llanilgan sohalarda muhim ahamiyatga ega. Ular yordamida turli to’plamlarni o’lchash, funksiyalarni integrallashtirish, ehtimollik chiziqlarini aniqlash va boshqa vazifalarni hal qilish mumkin. Bu bilan birga, bu mavzu ilmiy tadqiqotlarda ham keng qo’llaniladi. Kurs ishining maqsadi: Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining asosiy tushunchalarini, xususiyatlarini va qo’llanilish sohalarini o’rganishdir. Kurs ishining vazifalari: quyidagilardir:  Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining tarixiy rivojlanishini o’rganish;  Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining aniqlanishi va xossalari haqida matematik asoslarini o’rganish;  Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining hisoblanishi va integrallashtirilishi uchun usullarni o’rganish;  Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining matematikada va uning qo’llanilgan sohalarda qanday ishlatilishini misollar orqali ko’rsatish;  Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining ilmiy ahamiyatini va dolzarbligini baholash. 5 1- §. Jordan o’lchovi Rimanning karrali integrallar nazariyasi Rn fazodagi Jordan o‘lchoviga asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri, uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lishi zarur va etarlidir. R 2 ( R ¿ ¿ 3 ) ¿ fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi. n≥3 bo ‘ lganda karrali integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo ‘ lganligi sababli biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz . Butun paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz. Aytaylik D ⊂ R2 sohada f(x,y) funksiya aniqlangan bo‘lsin. D sohani ∀ egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta D1,D2,...,Dn sohashalarga bo‘lamiz. Dк sohada ∀ (ξк,ηk) nuqta olib , f (ξк,ηk) ni hisoblaymiz hamda quyidagi σ= ∑ k=1 ∞ f(ξk,ηk)⋅Sk (1) f(x,y) funksiyaning D soha uchun integral yig ‘ indisinituzamiz . Bu yerda Sk− D к sohaning yuzasi . Ta ’ rif . Agar (1) integral yig ‘ indining λ= max k=1,n diam Dк 0 ga intilgandagi limiti mavjud bo ‘ lib , u chekli songa teng bo ‘ lsa hamda uning qiymati sohaning bo ‘ linish usuliga va (ξк,ηk) nuqtalarning tanlanishiga bog ‘ liq bo ‘ lmasa , u holda o ‘ sha son f(x,y) funksiyaning D soha bo ‘ yicha ikki karrali integrali ( Riman ma ’ nosidagi integrali ) deyiladi va u I=∬ D f(x,y)ds yoki I=∬ D f(x,y)dxdy 6 kabi belgilanadi. f(x,y) funksiya D sohadaintegrallanuvchideyiladi. Aks holda f(x,y) funk т siya D sohada integrallanuvchi emas deyiladi. Shunday qilib, I=∬ D f(x,y)dxdy := lim λ→0∑ k=1 n f(ξk,ηk)⋅Sk (2) Izoh. Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz. Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi Darbu yig‘indilari yordamida ham aniqlash mumkin. Ushbu x= ϕ(t), y= ψ (t) funksiyalar [α,β] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lib, ular t ning turli qiymatlariga R2 da turli nuqtalarni mos qo`ysin. Bu holda [α ,β] kesmaning {x=ϕ(t)¿¿¿¿ funksiyalar yordamida R2 da hosil bo`ladigan aksi γ ga sodda egri chiziq deyiladi: γ= {(x ,y)∈ R 2:x= ϕ(t),y= ψ (t),t∈ [α ,β]} . A= γ(α) ga egri chiziqning boshlang`ich nuqtasi B= γ(β) nuqtaga esa egri chiziqning oxirgi nuqtasi deb ataladi. Biz qaralayotgan egri chiziq to`g`rilanuvchi, ya`ni chekli uzunlikka ega bo`lsin deb faraz qilamiz. Aytaylik, xOy tekisligida biror sodda A ˘B egri chiziq yoyi va bu yoyda f(x,y) funksiya berilgan bo`lsin. A ˘B egri chiziqni A dan V ga qarab A 0= A , A1, A2,...,A n= B nuqtalar yordamida n ta AkAk+1 ( k= 0,n−1 ________ ) 7 yoyga ajratamiz. AkAk+1 yoyning uzunligini ΔS k va λ= max k=0,n−1 ΔS k deb belgilaymiz. Endi ∀ (ξk,ηk)∈ AkAk+1 (k= 0,n− 1) nuqtalar olamiz va quyidagi σ= ∑ k=0 n−1 f(ξk,ηk)⋅ΔS k yig`indini tuzamiz. Ta`rif. Agar lim λ→0 σ− ∃ bo`lib, u chekli I soniga teng bo`lsa va I ning qiymati A˘B ning bo`linish usuliga hamda (ξk,ηk) nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa, u holda shu I soniga f(x,y) funksiyaning A˘B egri chiziq bo`yicha birinshi tur egri chiziqli integralideb ataladi va u ∫ ˘AB f(x,y)ds kabi belgilanadi. Shunday qilib, ∫ ˘AB f(x,y)ds = lim λ→0 σ= lim λ→0 ∑ k=0 n−1 f(ξk,ηk)⋅ΔS k ekan. Birinchi tur egri chiziqli integrallar quyidagi xossalarga ega. 1) ∫ ˘A˘B f(x,y)ds = ∫ ˘B˘A f(x ,y)ds 2) ˘A ˘B= ˘A ˘C ∪ ˘C ˘B ⇒ ∫ ˘A˘B f(x,y)ds = ∫ ˘A˘C f(x,y)ds + ∫ ˘C˘B f(x,y)ds 3) ∫ ˘A˘B cf (x,y)ds = c⋅∫ ˘A˘B f(x,y)ds (c= const ) 4) ∫ ˘A˘B [f(x,y)± g(x,y)]ds = ∫ ˘A˘B f(x,y)ds ± ∫ ˘A˘B g(x,y)ds Oxyz fazoning ω sohasida ⃗ a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z ) ⃗ k vektor maydon berilgan bo‘lsin, unda P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar. Ta’rif. ⃗ a ( M ) vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb M nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ¿ ⃗ a ( M ) ko‘rinishda yoiladi va 8 ¿⃗ a( M ) = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ( 6 ) formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar M nuqtada hisoblanadi. Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning (10) formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin: ∯ σ❑ ⃗ a⃗ n 0 dσ = ∭ ω❑ ¿ ⃗ a ( M ) dω . Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o‘tuvchi (bu sirt tashqi ⃗ n normali yo‘nalishida orientirlangan) ⃗a vektor maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali integralga teng. Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi: 10.÷(⃗a(M )+⃗b(M ))=¿⃗a(M )+¿⃗b(M ); 2 0 . divC ∙ ⃗ a( M ) = C ∙ ÷ ⃗ a( M ) , bunda C − o ‘ zgarmas son 3 0 . divu ( M ) ∙⃗ a( M ) = u ( M ) ÷ ⃗ a( M ) + ⃗ a( M ) grad u ( M ) , bu yerda u(M )−¿ skalyar maydonni aniqlovchi funksiya Birinchi tur egri chiziqli integrallar oddiy aniq integrallarning qanday umumlashtirilishi bo`lsa, birinchi tur sirt integrallari ham ikki karrali integrallarining shunday tabiiy umumlashtirilishidir. Bizga bo`lakli silliq kontur bilan chegaralangan ikki tomonli silliq (yoki bo`lakli silliq) (S )⊂ R3 sirt berilgan bo`lib, f(x,y,z) funksiya shu sirtda aniqlangan bo`lsin. (S) sirtni ∀ tarzda o`tkazilgan egri chiziqlar to`ri yordamida (S1),(S2),...,(Sn) qismlarga ajratamiz. (Sk) ning yuzasini Sk deb belgilaymiz (k= 1, n) .Har bir (Sk) da ∀ (ξk,ηk,ζk) nuqta olib σ= ∑ k=1 n f(ξk,ηk,ζk)Sk integral yig`indini tuzamiz va λ= max k=1,n diam (Sk) deb belgilaymiz. Ta’rif. Agar lim λ→0 σ= I mavjud va chekli bo`lib, I ning qiymati (S) sirtning bo`linish usuli hamda (ξk,ηk,ζk) nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa, u 9 holda I ga f(x,y,z) funksiyadan (S) sirt bo`yicha olingan 1-tur sirt integralideyiladi va ∬ (S) f(x,y,z)ds kabi belgilanadi. Teorema. Agar sirt ushbu (S )= {(x,y,z)∈ R3:z= z(x,y),(x ,y)∈ D } ko`rinishda berilgan bo`lib, z(x,y),zx '(x,y),zy '(x,y)∈C (D ) va f(x,y,z)∈С [(S)] bo`lsa, u holda ∬ (S) f(x,y,z)dS =∬ D f[x,y,z(x,y)]√1+[z'x(x,y)] 2+[z'y(x,y)] 2dxdy bo`ladi. (S )= {(x,y,z)∈ R3:z= z(x ,y),(x ,y)∈ D } bo`lib, ∂(S )− bo`lakli silliq egri chiziq va ∂(S)− ning Oxy tekisligiga proyeksiyasi ∂D bo`lsin. Faraz qilaylik, (S) sirtda uzluksiz P(x,y,z), Q (x,y,z)R(x,y,z) funksiyalar aniqlangan bo`lib, bu funksiyalarning barcha birinchi tartibli xususiy hosilalari (S) sirtda uzluksiz bo`lsin. Teorema. Agar yuqoridagi shartlar bajarilsa, u holda ushbu ∫ ∂(S) P (x,y,z)dx +Q (x,y,z)dy +R(x,y,z)dz =∬ (S)[ ∂Q ∂x − ∂P ∂ y]dxdy + +[ ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ]dydz +[ ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ]dzdx . Stoks formulasio`rinli bo`ladi . Shunday qilib, Stoks formulasi (S) sirt bo`yicha olingan 2-tur sirt integrali bilan shu sirtning chegarasi bo`yicha olingan egri chiziqli integralni bog`lovchi formuladir. Ta`rif: α kompleks son deb ma`lum bir tartibda berilgan bir juft a va b haqiqiy sonlarga aytiladi va quyidagicha yoziladi: α= (a,b) . 10 Yoki α= a+ ib ko`rinishidagi songa ham kompleks son deyilib, bu kompleks sonning algebraik ko`rinishi deyiladi. Bunda a va b haqiqiy sonlar mos ravishda kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismi deb yuritiladi va quyidagicha simvol bilan belgilanadi: a= Re α , b= Im α (Realis va Imaginarius – lotincha so`zlar bo`lib, haqiqiy va mavhum demakdir) Ushbu α= a+ib va α= a− ib ko`rinishidagi sonlar o`zaro qo`shma kompleks sonlar deyiladi. i= √− 1 – mavhum birlik bo`lib, i2=− 1, i3=− i, i4= 1, Shuning uchun: i4k+1= i , i4k+2= − 1 , i4k+3= − i , i4k= 1 Agar α=a+ib va β=c+id kompleks sonlar berilgan bo`lsa: 1. Qo`shish va ayirish. α±β=(a+ib)±(c+id)=(a±c)+i(b±d) 2. Ko`paytirish va bo`lish α⋅β= (a+ib )⋅(c+id )= (ac − bd )+ i(ab +bc ) Agar α= a+ib va α= a− ib o`zaro qo`shma sonlar berilgan bo`lsa: α + α= 2 a , α⋅α= a2+b2 α β= a+ib c+id = (a+ib )(c− id ) (c+id )(c− id )= ac +bd c2+d2+ibc − ad c2+d2 To`g`ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi x0y ni tanlab, uning abssissalar o`qiga z= x+iy ning haqiqiy qismi x ni, ordinatalar o`qiga esa mavhum qismining koeffitsienti y ni joylashtirsak, tekislikda (x,y) nuqtaga ega bo`lamiz. x= rcos ϕ ,y= rsin ϕ Bundagi r kompleks z sonni tasvirlagan vektorning uzunligini ifodalaydi, uni Ζ sonning moduli, ϕ burchakni esa Ζ ning argumenti deyiladi va u quyidagicha yoziladi: r= |z|= |a+ib |= √a2+ b2 , arg Z= ϕ z kompleks songa mos bo`lgan vektorga birgina uzunlik va cheksiz ko`p burchaklar mos kelishi chizmadan 11 ko`rinadi: ϕ,ϕ+2π ,.... Shu sababli odatda burchakning umumiy ko`rinishi Argz = arg z+2 πk kabi belgilanib (k= 0,± 1,± 2,....) , ϕ= arg Z ni argumentning bosh qiymati deyiladi. Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jisimki, uning uzunligi boshqa o‘lchamlaridan ancha ortiq bo‘ladi. Torning chekkli nuqtalari mahkamlangan, o‘zi esa qattiq tortilgan bo‘lsin. Agar tor muvozanat holatidan chetlashtirilsa tor tebrana boshlaydi. Biz tor tebranishini bir tekislikda ro‘y beradi deb faraz qilamiz. Bu tekislikda to‘g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini olamiz xou . ox o‘qini torning boshlang‘ich tinch holati bo‘yicha yo‘naltiramiz. U holda u torning muvozanat holatidan siljishini beradi. Tor tebranish jarayonida u -chetlanish x va t ga bog‘liq bo‘ladi ya’ni ), ( tx u u  . Har bir fiksirlangan t vaqitda ) , ( t x u funksiya grafigi tor tebranishi grafigini beradi, ) , ( t x u x u x    esa bu grafikning x nuqtasiga o‘tkazilgan urinma burchak koeffisiyentini beradi. ) , ( t x ut harakat tezligi ),( txu tt harakat tezlanishi. Bizning maqsadimiz tor harakatini beruvchi ), ( tx u funksiya qanoatlantradigan tenglama tuzish. Buning uchun ba’zi bir cheklanishlar qilamiz 1. Tor absayut egiluvchan. Torga ta’sir qilinib turgan taranglik kuchi etarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilganda qarshiligini taranglikka nisbatan hisobga olamsa ham bo‘ladi. Agar torning biror nuqtadan bir tomonga yotuvchi qismi olib tashlansa, u holda olib tashlangan qismining ta‘sirini almashtiruvchi taranglik kuchi. Shu nuqtada torning urunmasi bo‘yicha yo‘nalgan bo‘ladi. Torni cho‘ziluvchan emas deb faraz qilamiz va u Guk qonuniga bo‘ysinadi, ya‘ni taranglik kuchini o‘zgarish miqdori torning uzunligini o‘zgarishiga proporsionaldir. Torni bir jinsli deb faraz qilamiz va uning chiziqli zichligini  orqali belgilaymiz (birlik uzunlikka to‘g‘ri keluvchi massa). 12 Torga o u o‘qiga parallel kuchlar ta‘sir etadi deb faraz qilamiz ular tor bo‘ylab harakat qiladi va x , t ga bog‘liq, ularning zichligini ), ( tx g deb belgillaymiz. Muhitning qarshilik kuchi e‘tiborga olinmaydi. Biz faqat torning kichik tebranishlarini o‘rganamiz. Ta'rif. Agar argum е nt z ning E to’plamdan olingan turli qiymatlarida ) (z f funksiyaning mos qiymatlari ham turlicha bo’lsa, boshqacha aytganda ) ( ) ( 2 1 z f z f  t е nglikdan 2 1 z z  t е nglik ) , ( 2 1 E z z  k е lib chiqsa, ) (z f funksiya E to’plamda bir yaproqli (yoki bir varaqli) funksiya d е yiladi. Farazqilaylik, ) (z f w  funksiya ( ) E E   to’plamdab е rilganbo’lib, 0z nuqta E to’plamninglimitnuqtasibo’lsin. Ta'rif . Agar 0   son uchun shunday 0 ) (      son topilsaki, argum е nt z ning     0 0 z z t е ngsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida  A z f ) ( t е ngsizlik bajarilsa, А komplеks son ) (z f funksiyaning dagi limiti dеb ataladi va kabi b е lgilanadi. 2 - §. Borel o’lchovi Borel haqida malumot berishga harakat qilaman. Borel matematikada mashhur fransuz olimi Émile Borel nomidan olgan tushunchadir. Borel quyidagi ma’nolarda ishlatiladi: Borel to’plami - bu topologik fazoda ochiq to’plamlar (yoki yopiq to’plamlar) orqali hisoblanuvchi to’plamdir. Ya’ni, agar A va B ochiq to’plamlar bo’lsa, ularning birlashmasi, kesishmasi va farqi ham ochiq to’plamdir. Borel to’plamlari o’lchov nazariyasida va tavsifiy to’plam nazariyasida muhim ahamiyatga ega. Borel o’lchovi - bu topologik fazoda Borel to’plamlar uchun aniqlangan o’lchovdir. Borel o’lchovi Jordan o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Borel 13 A z f z z   ) ( lim 0 0zz  E z o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Borel o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, Cantor to’plami. Borel funksiyasi - bu real sonlar ustida aniqlangan funksiya, agar uning qiymati har bir nuqtada uning yaxinlashuv nuqtalarining qiymatlarining chegarasiga teng bo’lsa. Ya’ni, agar f(x) funksiyasi real sonlar ustida aniqlangan bo’lsa va har bir x ∈ R uchun limn→∞f(xn)=f(x) bo’lsa, u holda f(x) Borel funksiyasi deb ataladi. Borel o’lchovini qayerda ishlatish mumkinligi haqida sizga quyidagi ma’lumotlarni berishim mumkin: Borel o’lchovini matematikada topologik fazolarni o’lchash uchun ishlatish mumkin. Borel o’lchovli bo’lgan to’plamlar o’lchov nazariyasida va tavsifiy to’plam nazariyasida muhim ahamiyatga ega. Borel o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, lekin ular juda kam uchraydi. Borel o’lchovini dasturlashda yuqori darajadagi dasturlash tillarini yaratish uchun ishlatish mumkin. Yuqori darajadagi dasturlash tillari operatsion tizimdan mustaqil bo’lib, kompyuter xotirasining barcha qismlarini boshqarish imkoniyatiga ega. Borel o’lchovining yordamida dasturlash tillari sintaksisi va semantikasi aniqlanadi. Borel o’lchovini iqtisodiyotda ehtimollik nazariyasini qo’llash uchun ishlatish mumkin. Ehtimollik nazariyasi matematik statistika va iqtisodiy modellashtirishning asosiy vositasi hisoblanadi. Borel o’lchovi yordamida ehtimollik chiziqlari va funksiyalari aniqlanadi va ularning xossalari o’rganiladi. Borel o’lchovining xususiyatlari haqida batafsilroq aytishga harakat qilaman. Borel o’lchovining xususiyatlari quyidagicha: Borel o’lchovi additivdir, ya’ni agar A va B to’plamlari Borel o’lchovli bo’lsa va A∩B= ∅ bo’lsa, u holda B(A ∪ B)=B(A)+B(B), bu yerda B(A) to’plam A ning Borel o’lchovi. Borel o’lchovi monoton va sanoqli additivdir, ya’ni agar A va B to’plamlari Borel o’lchovli bo’lsa va A ⊆ B bo’lsa, u holda B(A)≤B(B) va B(B ∖ A)=B(B)-B(A). 14 Borel o’lchovi uzluksizdir, ya’ni agar {An} n ta to’plamning silsilasi bo’sa va An ⊆ An+1 hamda limn→∞B(An)=b<∞ bo’sa, u holda B( ∪ n=1∞An)=b. Borel o’lchovi invariantdir, ya’ni agar A to’plami Borel o’lchovli bo’lsa va f(x) funksiyasi uzluksiz bijeksiya bo’lsa, u holda f(A) ham Borel o’lchovli bo’ladi va B(f(A))=B(A). Borel o’lchovi regulyardir, ya’ni agar A to’plami Borel o’lchovli bo’lsa, u holda uning ichidagi eng katta yopiq to’plam va uning ustidagi eng kichik ochiq to’plam mavjud bo’ladi va ularning hammasi bir xil o’lchovga ega. Ushbu xususiyatlar Borel o’lchovining matematikada qo’llanilishini kengaytiradi. Borel o’lchovi bilan Jordan va Lebeg o’lchovlarini solishtirishga harakat qilaman. Ular orasidagi farqlar va o’xshashliklar quyidagicha: Jordan o’lchovi tekislikdagi to’plamlarni o’lchash uchun keng tarqalgan usuldir. Jordan o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi kerak. Jordan o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, ratsional sonlarning to’plami. Borel o’lchovi Jordan o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Borel o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Borel o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, Cantor to’plami. Lebeg o’lchovi Borel o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Lebeg o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Lebeg o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, lekin ular juda kam uchraydi. Jordan o’lchovi additivdir, monoton va sanoqli additivdir, uzluksizdir, lekin invariant va regulyar emas. Borel o’lchovi additivdir, monoton va sanoqli additivdir, uzluksizdir, invariantdir, lekin regulyar emas. Lebeg o’lchovi additivdir, monoton va sanoqli additivdir, uzluksizdir, invariantdir va regulyardir. Jordan o’lchovini hisoblash uchun Riemann integrali ishlatiladi. Borel va Lebeg o’lchovlarini hisoblash uchun Lebeg-Stiltes integrali ishlatiladi. Jordan o’lchovi matematikada chegarali integrallar va tekislik geometriyasi uchun qo’llaniladi. Borel o’lchovi matematikada topologik fazolarni o’lchash va 15 ehtimollik nazariyasini qo’llash uchun qo’llaniladi. Lebeg o’lchovi matematikada uzluksiz integrallar va real funksiyalar nazariyasi uchun qo’llaniladi. Ushbu solishtirma Borel, Jordan va Lebeg o’lchovlarining xususiyatlarini ko’rsatadi. 3 - §. Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya Yuqorida Lebeg o`chovini qaraganimizda ,  b a, segmentning Lebeg o`lchovi deb uning  a b uzunligini aytgan edik. Lekin  b a, segmentni va uning qism to`plamlarini boshqacha usul bilan ham o`lchash mumkun. Faraz qilaylik,  b a, segmentda aniqlangan, chapdan uzluksiz va monoton kamaymaydigan  x F funksiya berilgan bo`lsin. Bu funksiya orqali ,  b a, segmentning,  b a, va  b a, yarim intervallarning hamda  b a, intervalning o`lchovlarini mos ravishda quyidagicha aniqlaymiz: ), ( )0 ( ] , [ a F b F b a m    ), ( ) ( ) , [ a F b F b a m   (1) ),0 ( )0 ( ] , (     a F b F b a m  ),0 ( ) ( ) ,    a F b F b a m Endi  b a, segment berilgan bo`lib, bu segmentning barcha   , ko`rinishidagi yarim intervallaridan tashkil topgan segmentni H orqali belgilaylik. H sistemaning yarim halqa tashkil etishi ravshan. (1) ga asosan har qanday   H   , uchun ), ( ) ( ) , [     F F m   (2) tenglikka ega bo`lamiz. H sistemada bu tenglik bilan aniqlangan m to`plam funksiyasi o`lchovdir. Haqiqatan, har qanday   H   , uchun 0 ) , [    m ekanligi (2) tenglikka asosan  x F funksiyaning monoton kamaymaydiganligidan kelib chiqadi. Endi m to`plam funksiyasining additiv funksiya ekanligini ko`rsatamiz. 16 Faraz qilaylik,) , [ ) , [ ... ) , [ ) , [ ) , [ 1 2 1 1           n n n       bo`lsin. U holda (2) ga asosan            )] ( ) ( [ ... )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) , [ 1 2 1       F F F F F F a F b F b a m n n n ) , [ ) , [ ... ) , [ ) , [ )] ( ) ( [ 1 2 1 2 1          m m m m b F F n n       tenglikka ega bo`lamiz. Demak, H sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan m to`plam funksiyasi o`lchov ekan. 1 – ta`rif. Agar  x F funksiya (2) segmentda aniqlangan chapdan uzluksiz va monotom kamaymaydigan funksiya bo`lib, H sistema  b a, segmentning barcha    ,[ ko`rinishidagi yarim intervallar sistemasi bo`lsa, u holda H sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan m to`plam funksiyasi F funksiya orqali hosil qilingan Stiltes o`lchovi deyiladi.  x F funksiya Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya deyiladi.  x F va     const c c x F   funksiyalar bir xil Stiltes o`lchovini keltirib chiqaradi. Umuman, (2) o`lchovni keltirib chiqaradigan funksiyalarning umumiy ko`rinishi   c x F  dan iborat. Haqiqatdan,  x F ,  x  funksiyalar (2) o`lchovni keltirib chiqaradigan ixtiyoriy funksiyalar bo`lsin.  b a, segmentdan biror ] , [ 0 b a x  nuqtani tayinlab olib, ixtiyoriy ] , [ b a x nuqtani olamiz. Agar x x 0 bo`lsa, u holda, (2) tenglikka asosan ) , [ 0 x x yarim interval uchun (  x F va  x  funksiyalar m o`lchovini keltirib chiqaradigan funksiyalar bo`lganligi sababli) ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ 0 0 0 x Ф x Ф x F x F x x m     bo`lib, bundan ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x F х Ф x F x Ф    tenglikka ega bo`lamiz. Shunga o`xshash agar 0x x bo`lsa, yana (2) tenglikdan   0 ,x x yarim interval uchun 17 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ 0 0 0 x Ф x Ф x F x F x x m     bo`lib, bundan yana ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x F х Ф x F x Ф    (3) tenglikka kelamiz. ] , [ b a x ixtiyoriy bo`lgani uchun bundan c x F x Ф   ) ( ) ( tenglik kelib chiqadi. Demak, har bir ] , [ b a x uchun m o`lchovni keltirib chiqaradigan har qanday ) (x F va ) (х Ф funksiyalar orasida ushbu с x F x Ф   ) ( ) ( munosabat o`rinli bo`ladi. 1-teorema: ) (x F funksiya ] , [ b a segmentda kamaymaydigan funksiya bo`lib, ) ( ) ( ) , [     F F m   (4) o`lchov H sistemada aniqlangan Stiltes o`lchovi bo`lsin. (4) o`lchovning additiv   o`lchov bo`lishi uchun ) (x F funksiyaning ] , [ b a da chapdan uzliksiz bo`lishi zarur va yetarli . Isbot: Zaruriyligi. (4) o`lchovning   additiv o`lchov deb , ) (x F funksiyaning chapdan uzluksiz ekanini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, ) (x F funksiyaning ] , [ b a ning biror nuqtasida chapdan uzluksiz bo`lmasin, ya`ni 0x nuqtada ) (x F funksiya uchun ) ( )0 ( 0 0 x F x F   munosabat o`rinli bo`lsin, ] , [ b a dan shu 0x nuqtaga o`sib intiladigan } { nx ketma-ketlikni olamiz:         n x x x x x x n n , , ... ... 0 0 2 1 (5) ) (x F funksiya kamaymaydigan funksiya bo`lganligi sababli )0 ( ) ( lim 0 0   x F x F n n x nx limit mavjud va farazimizga asosan 18 )()0()(lim 00 0 xFxFxF n n x nx    munosabat o`rinli. (5) munosabatga asosan ushbu ... ) , [ ... ) , [ ) , [ 1 3 1 2 1     nx x x x x x munosabatning o`rinli ekani ravshan. Bu munosabatdan va  n da 0x xn ekanligidan, ∪    1 1 0 1 ) , [ ) , [ n nx x x x tenglik kelib chiqadi. Bundan va m o`lchovning   additivligidan ) , [ lim )) , [ ( ) , [ 1 1 1 0 1 n n n n x x m x x m x x m ∪      tenglikni olamiz. Natijada (4) tenglikka asosan ushbu ) ( ) ( )] ( ) ( [ lim 1 0 1 x F x F x F x F n n     yoki ushbu ) ( ) ( lim 0x F x F n n   tenglik hosil bo`ladi. Bu esa farazimizga zid. Demak, ) (x F funksiya chapdan uzluksiz ekan. Yetarliligi: ) (x F funksiyani ] , [ b a da chapdan uzluksiz deb, (4) tenglik bilan aniqlangan m o`lchovning   additivligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik,     ) , [ ) , [), , [ ) , [ 1 jjkknn т          ∪ SH, j k  (6) bo`lsin. U holda har qanday N son uchun ushbu ) , [ ) , [ 1        n n т∪ munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan va m o`lchovning   additivlik hamda monotonlik xossasidan ) , [ ) , [ 1     m m n n n     (7) 19 Endi teskari tengsizlikni isbotlaymiz. (6) munosabatda    bo`lsin, u holda      munosabatni qanoatlantiruvchi  son hamma vaqt mavjud. ) (x F funksiya chapdan uzluksiz bo`lganligi sababli ixtiyoriy 0  son uchun har bir n natural sonda n n    munosabatni qanoatlantiruvchi shunday n nva   sonlar topiladiki, ular uchun ushbu n n n F F 2 ) ( ) (       munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan n n n n n F F F F 2 ) ( ) ( ) ( ) (           (8) tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda n son (6) munosabatdagi ) , [ n n  yarim intervalni tashkil etuvchi son. n n n va    , sonlarning olinishiga asosan ) , ( ) , [ n n n n       munosabat o`rinli. Demak, ) , [   yarim intervalda joylashgan ] , [    segment soni sanoqli ) , ( n n  intervallar sistemasi bilan qoplanar ekan. Borel-Lebeg teoremasiga asosan bu sistemadan ] , [    segmentni qoplaydigan soni chekli )} ,...,2,1 () , {( r k k k n n     qism sistemani ajratib olish mumkun. Agar soni chekli }) , {( k k n n   intervallar sistemasi ] , [    segmentni qoplasa, u holda ) , [ k k n n   yarim intervallar sistemasi ham shu segmentni qoplaydi, ya`ni ∪ r k n n k k 1 ) , [ ] , [        . Bundan quyidagi munosabat bevosita kelib chiqadi: ∪ r k kn kn 1 ) , [ ) , [        Bu munosabatdan hamda m o`lchovning additivlik va monotonlik xossasidan ushbu     r k kn kn m m 1 ) , [ ) , [     (9) tengsizlikka ega bo`lamiz. (4) tenglikka asosan 20 ) ( ) ( ) , [ kn kn kn kn F F m         tengliklar o`rinli bo`lgani uchun (9) munosabatdan ushbu )] ( ) ( [ ) ( ) ( 1 kn kn r k F F F F           tengsizlik kelib chiqadi. Bundan va ) (x F funksiyaning kamaymaydigan ekanligidan ushbu )] ( ) ( [ ) ( ) ( 1 n n k F F F F             munosabatga ega bo`lamiz. Buning o`ng tamonidagi yig`indi ostidagi ifodaga (8) tengsizlikni qo`llab ushbu              )] ( ) ( [ ) ( ) ( 1 F F F F n k tengsizlikni olamiz, bu tengsizlik      munosabatni qanoatlantiruvchi har qanday  son uchun o`rinli bo`lganligi sababli ) (x F funksiyaning chapdan uzluksizligiga asosan,    bo`lganda ham o`rinlidir, ya`ni             )] ( ) ( [ ) ( ) ( 1 n n k F F F F bundan va 0  sonning ixtiyoriyligidan ushbu )] ( ) ( [ ) ( ) ( 1 n n k F F F F           tengsizlik kelib chiqadi.Bu munosabatdan (4) ga asosan ushbu     1 ) [ ) , [ n n n m m     tenglikka ega bo`lamiz. Bu va (7) tenglik teoremani isbotlaydi. Shunday qilib, H yarim halqada (4) tenglik bilan aniqlanadigan   additiv m o`lchovga ega bo`ldik. Bu o`lchovni H sistemani o`z ichiga olgan minimal ) (H Z halqaga davom ettirib,   additiv F  o`lchovga ega bo`lamiz. Bu o`lchov F funksiyaga mos 21 bo`lgan Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi. F funksiya esa F o`lchovni keltirib chiqaruvchi funksiya deyiladi. Lebeg-Stiltes o`lchovining uchta muhim xususiy holi bilan tanishib chiqamiz. 1. Faraz qilaylik, ) (x F funksiya 20-ma`ruzada (1) tenglik bilan aniqlangan chapdan ) (x h pog`onali funksiya bo`lsin. Bu funksiyaning uzilish nuqtalarini ... ... 2 1     nx x x bo`lib , shu nuqtalarga mos kelgan sakrash esa         1 2 1 ) .(..,0 .,..,0 ,0 k k n h h h h sonlardan iborat bo`lsin. 1- ta`rifda ) (x F sifatida ) (x h funksiyani olamiz . U holda ) (x h funksiya keltirib chiqargan  o`lchov bo`yicha ] , [ b a oraliqning har qanday qismi o`lchovli bo`lib, ],[ baA  to`plamning h o`lchovi shu to`plamga tegishli ix larga mos kelgan ih larning yig`indisiga teng, ya`ni   Ax ih i hA )(  (10) haqiqatan, Lebeg-Stiltes o`lchovining ta`rifidan ko`rinadiki , har bir ix nuqtaning o`lchovi ih ga teng, ya`ni i i F h x  }) ({  Agar ∪    1 } { i ix D bo`lsa , u holda 0 ) \] , ([  D b a h tenglik o`rinli . Demak h o`lchovining tashuvchisi D ekan . Bundan va h o`lchovning   additivligidan har qanday ],[ baA  uchun (10) tenglik kelib chiqadi. 2-ta`rif: Biror F pog`onali monoton funksiya keltirib chiqargan F  o`lchov diskret o`lchov deyiladi. 22 2. Faraz qilaylik, F monoton funksiya ], [ b a segmentda absolyut uzluksiz bo`lib , uning hosilasi ) ( ) ( x f x F   bo`lsin. 22-ma`ruzadagi 8- Lebeg teoremasiga asosan har bir yarim intervalda ], [ ) , [ b a    uchun uning o`lchovini ∫          dx f F F m F ) ( ) ( ) ( )) , ([ tenglik orqali aniqlaymiz (bu yerda  o`lchov ], [ ba segmentdagi Lebeg o`lchovi). U holda elementlari ], [ b a segmentning barcha ),[   ko`rinishidagi yarim intervalidan iborat bo`lgan H sistemada aniqlangan  additiv Fm o`lchovga ega bo`lammiz. Fm o`lchov H sistemaning o`z ichiga olgan minimal minimal   H Z halqada aniqlangan  additiv F  o`lchovgacha davom ettirilishi mumkin. Bu usulda aniqlangan F  o`lchov har qanday   HZA  uchun     ∫  AF dxfA   (11) tenglik bilan aniqlanadi. 3-ta`rif: Agar F  va  o`lchovlar berilgan bo`lib,   0 A  bo`lgan har qanday o`lchovli A to`plam uchun   0 A F bo`lsa, F  o`lchovni absolyut uzluksiz o`lchov deyiladi. Lebeg integralining absalyut uzluksizligiga asosan (11) tenglikdan F  o`lchovning  o`lchovga nisbatan absolyut uzluksizligi kelib chiqadi. 3. Faraz qilaylik, F monoton singulyar funksiya bo`lsin. Ma`lumki, bunday funksiya uzluksiz bo`lib, o`zgarishi chegaralangan va hosilasi deyarli nolga teng. Bundan, F singulyar funksiya keltirib chiqargan F  o`lchovning tashuvchisi Lebeg o`lchovi nol bo`lgan to`plamdan iborat ekanligi kelib chiqadi. 4-ta`rif: Agar F  va  o`lchovlar berilgan bo`lib, har qanday bitta nuqtali to`plamda 0 F  bo`ladi, lekin shunday   0 A  bo`lgan o`lchovli A 23 to`plam bo`lsaki, 0 ) (  CA F tenglik bajarilsa, F  ga  o`lchovga nisbatan singulyar o`lchov deyildi. Demak, biror F singulyar funksiya orqali keltirib chiqarilgan o`lchov Lebeg o`lchoviga nisbatan singulyar o`lchov bo`lar ekan. Agar 2 1 F F F   bo`lsa,                 )) , ([ ) , [ ) , [ 2122 11             FFF m M F F F F F F m          tenglikka asosan 2 1 F F F      . Har qanday monoton funksiyani uchta funksiya – absalyut uzluksiz, pog`onali va singulyar funksiyalarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkin. Bundan va (11) tenglikdan har qanday Lebeg Stiltes o`lchovi absolyut uzluksiz, diskret va singulyar o`lchovlarning yig`indisi sifatida ifoda etish mumkin, degan muhim hulosa kelib chiqadi. Agar f(x) funktsiyaning E to’plamdagi har xil qiymatlar soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasa, u holda bunday f(x) funktsiya E to’plamda sodda funktsiya deyiladi. Agar E k to’plam o’lchovli  E k va Ek={x∈E:f(x)=Ck} bo’lib ∑k|Ck|μEk qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda E to’plamda berilgan va o’lchovli bo’lgan f ( x ) sodda funktsiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrllanuvchi deyiladi. Agar E to’plamdagi f(x) sodda funktsiya integrallanuvchi bo’lsa, u holda ∑k|Ck|μEk qator Lebeg integrali deyiladi va ∫E f(x)dx deb belgilanadi. 24 Agar E to’plam deyarli hamma joyida f ( x ) funktsiyaga tekis yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u holda o’lchovli va deyarli hamma joyda chekli bo’lgan f ( x ) funktsiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi. Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holdalimn→∞∫E fn(x)dx E to’plam bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va ∫E f(x)dx deb belgilanadi. 1. Asosiy teoremalar 1.Teorema. Faraz qilaylik f(x) sodda funktsiya E= ¿k❑ Ek,¿  , k  s) to’plamda berilgan bo’lsin. Agar E k to’plamning har biri o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi. 2.Teorema. O’lchovi nol bo’lgan to’plam bo’yicha ixtiyoriy f(x) funktsiyadan olingan integral noga teng. 3.Teorema O’lchovi nol bo’lgan to’plamdagi integrallanuvchi funktsiyaning o’zgarishi, uning integral qiymatini o’zgartirmaydi. Teorema. (additivlik xossasi) Faraz qilaylik E to’plam A k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {A k } to’plam soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) har bir A k to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va ∫E f(x)dμ =∑k∫Ak f(x)dμ shu bilan birga ∑k∫Ak |f(x)|dμ <∞ 25 5.Teorema. Faraz qilaylik E to’plam A k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va { A k } to’plam sanoqli to’lamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya har bir A k to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va∑k∫Ak |f(x)|dμ <∞ bo’lsa, u holda f ( x ) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi. 6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f ( x ) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda  >0,  bo’lib ixtiyoriy e  E (  e<  ) uchun ∫ e | f ( x ) | dμ < ε bo’ladi. 7.Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz qilaylik { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f ( x ) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va E to’plamda integrallanuvchi bo’lgan  (x) uchun |fn(x)|≤ϕ(x),∀ n∈N tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va lim n ∫ E f n ( x ) dμ = ∫ E ( lim n f n ( x ) ) dμ tenglik o’rinli bo’ladi. 8.Teorema. (B.Levi) Faraz qilaylik { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) f n (x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin; 2) E to’plamda f n (x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lib ∫ E f n ( x ) dx ≤ K , ∀ n ∈ N = { 1,2,3 , ... } bo’lsin. U holda lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) mavjud va f(x) funktsiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga 26 lim n → ∞ ∫ E f n ( x ) dμ = ∫ E lim n → ∞ f n ( x ) dμ = ∫ E f ( x ) dx Natija. Agar manfiy bo’lmagan { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi uchun E to’plamda ∑n=1 ∞ ∫En fn(x)dμ qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda ∑ n = 1∞ f n ( x ) qator E to’plamda deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi bo’ladi va ∫ E ∑ n = 1∞ f n ( x ) dμ = ∑ n = 1∞ ∫ E f n ( x ) dμ tenglik bajariladi. 9.Teorema. (P.Fatu) Agar manfiy bo’lmagan { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f ( x ) funktsiya deyarli yaqinlashuvchi bo’lib E to’plamda f n ( x ) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lsa va ixtiyoriy n natural son uchun ∫ E f n ( x ) dμ ≤ K , k = const bo’lsa, u holda f ( x ) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va ∫E f(x)dμ ≤K bo’ladi. 10.Teorema. [ a , b ] kesmada berilgan f ( x ) funktsiya Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lishi uchun f ( x ) funktsiya chegaralangan va [ a , b ] kesmada deyarli hamma joyda uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir. L е b е g - stilt е s o`lch о vi 1.-masala. [-1,1] kesmada integrallanmaydigan sodda funktsiyani tuzing. Echish. f(x) funktsiyani quyidagicha tuzamiz. Agar x∈([ −1 n ,1 n]¿[−1 n+1, 1 n+1¿]),n=1,2,3 ,... bo’lsa, f(x)  n deb olamiz va x  0 bo’lsa, f(x)  0 deb olamiz. U xolda f(x) sodda va o’lchovli funktsiyalardan iborat bo’ladi. Agar 27 E n [ − 1 n , 1 n ] ¿ [ − 1 n + 1 , 1 n + 1 ¿ ] bo’lsa, u holda E n o’lchovi  E n  2 n ( n + 1 ) Endi ∑ n = 1∞ n ( μ E n ) = 2 ∑ n = 1∞ 1 n + 1 = ∞ bo’lgani uchun f(x) funktsiya [-1,1] kesmada integrallanuvchi emas. 2.Masalan.Agar R va Q n-1 tuplam Kantor tuplamlari bulib x  n  ¿ k=1 2n−1 (  kn ,  kn )  G bo’lganda f(x)  (  kn -x)(x-  kn ) bo’lsa va x  P bo’lganda f(x)  0 bo’lsa, u holda ∫ 0 1 f(x)dx integralni hisoblang. Echish. Bunday berilgan f(x) funktsiya [0,1] kesmada uzluksiz. Shuning uchun [0,1] da Lebeg ma’nosida va demak Riman ma’nosida ham integrallashuvchi. Teoremaga asosan ∫0 1 f(x)dx =∫P f(x)dx +∫Q f(x)dx , P  Q  [0,1] Endi  P  0 bo’lgani uchun 2.teoremaga ko’ra ∫ p f ( x ) dx = 0 Bu tenglikni e’tiborga olib teoremaga asosan tenglikka quyidagini topamiz. 28 ∫ 01 f ( x ) dx = ∑ n = 1∞ ❑ ∫ Δ n f ( x ) dx = ∑ n = 1∞ ∑ k = 12 n − 1 ∫ α k nβ k n ( α k n − x ) ( β k n − x ) dx = ¿ ¿ ∑ n = 1∞ ∑ k = 12 n − 1 ∫ 01 2 k x( 1 3 n − x ) dx = ∑ n = 1∞ 2 n − 1 ∫ 01 3 n ( 1 3 n x − x 2 ) dx = ¿ ¿ ¿ ∑ n = 1∞ 2 n − 1 3 2 n + 1 = 1 12 ∑ n = 1∞ ( 2 27 ) n = 1 150 3. Masala. Faraz qilaylik  bo’lib, A to’plamning hamma joyida deyarli f(x)>0 bo’lsin. Agar ∫ A f ( x ) dx = 0 bo’lsa, u holda  0 ekanligi isbotlansin. Echish. V to’plamni quyidagicha aniqlaymiz B  {x  f(x)  0} U holda  ekanligi masala shartidan kelib chikadi. 3.Teoremani e’tiborga olsak A to’plamda f(x)>0 deb qarashimiz mumkin. Endi faraz qilaylik  bo’lsin. U holda  F  0 bo’lsa F  A berk qism to’plam mavjuddir va F to’plamda f(x) funktsiya uzluksiz bo’ladi (Luzin teoremasiga qarang). F to’plamning ixtiyoriy x nuqtasi uchun f(x)>0 bo’lganidan va f(x) funktsiya F to’plamda uzluksiz bo’lganidan f(x)  C tengsizlik o’rinli bo’ladigan S>0 son mavjud. Endi 0=∫A f(x)dμ ≥∫F f(x)dμ ≥C⋅(μF )>0 Bu qarama-qarshilik (ziddiyat) bizning farazimiz noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Demak,  0 masala. ∫0 1 xp−1ln (1− xq)dx ,p>1,q>0 integralni hisoblang. Echish. Ma’lumki, ln(1-x q ) funktsiyani [0,1) oraliqda ushbu − ∑ k = 1∞ x kq k 29 darajali qatorga yoyiladi. Bu qator [0,1) da tekis yaqinlashuvchidir. Demak qator ln(1-x q ) funktsiyaga [0,1) hamma joyida deyarli yaqinlashadi. Endi f n ( x ) = − ∑ k = 1n x kq + p − 1 k deb faraz qilaylik. f n (x) funktsiyalar o’smaydigan ketma-ketlikni tashkil qiladi va uning integrali|∫0 1 fn(x)dx |=∑k=1 n 1 k(kq +p)= 1 q∑k=1 n 1 k(k+ p 2) <1 q∑k=1 n 1 k2<1 q∑k=1 n 1 k2<∞ Bu esa {f n (x)} ketma-ketlikning 8.teorema shartlarini qanoatlantirishini ko’rsatadi. Demak, ∫0 1 xp−1ln (1− x2)dx = limn→∞∫0 1 fn(x)dx =−∑k=1 ∞ 1 k(kq +p) 5.masala. Ushbu √ x sin x x + 100 funktsiya [0,  ) oraliqda: a) Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi? v) Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’ladimi? Echish. Quyidagicha belgilash qilamiz. f ( x ) = √ x x + 100 → g ( x ) = sin x f(x) funktsiya x  da monoton kamayuvchidir va f(x)  0. g(x) funktsiyaning [0,A] oraliqdagi boshlang’ich funktsiyasi tekis chegaralangan. Shuning uchun [0,  ) da f(x)  g(x) funktsiyaning Piman integrali mavjud (Dirixle alomatiga asosan). Lebeg ma’nosida f(x)  g(x) va  f(x)  g(x)  funktsiyalar bir vaqtda yoki integrallanuvchi yoki integrali mavjud emas. [0,  )da  f(x)  g(x)  funktsiyaning integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham,agar | f(x)  g(x) | integrallanuvchi bo’lsa, u holda sin 2 x  sinx  (  x  R) ga asosan 30 f ( x ) sin 2 x = 1 2 f ( x ) − 1 2 f ( x ) cos 2 x( sin 2 x = 1 2 ( 1 − cos 2 x ) ) funktsiya ham integrallanuvchi bo’ladi. Demak [0,  ) da f(x) va f(x)cos2x funktsiyalar integrallanuvchi. Lekin ∫0 ∞ dt t2+a2= π 2a bo’lgani uchun ∫ 0∞ f ( x ) dx = ∫ 0∞ √ x x + 100 dx = | x = t 2 dx = 2 tdt | = 2 ∫ 0∞ t 2 t 2 + 100 dt = ∫ 0∞ dt − 10 π = ∞ bu oxirgi qarama-qarshilik (ziddiyat)  f ( x )  g ( x )  funktsiyaning [0,  ) da integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatadi. Demak, bu funktsiyaning Lebeg integrali mavjud emas. 6.masala. f(x) funktsiyaning ixtiyoriy [  ] da ([  (a,b)) Riman integrali mavjud. Bu funktsiyaning [a,b] kesmada integrali mavjudmi? Echish. Yuqoridagi 10. teoremaga asosan f(x) funktsiya chegaralangan va [a,b] ning deyarli hamma joyida uzluksiz bo’lishi kerak. Ixtiyoriy  (a,b) kesmada f(x) funktsiya integrallanuvchi bo’lganligidan f(x) funktsiya (a,b) intervalda deyarli hamma joyda uzluksizligi kelib chiqadi. U holda [a,b] kesmaning hamma joyida deyarli uzluksiz. Lekin ixtiyoriy  (a,b) kesmada f(x)ning chegaralanganligidan [a,b] kesmada chegaralnganligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar f(x)= 1 x−a bo’lsa, u holda f(x) funktsiya [a,b] kesmada chegaralanmagan, lekin ixtiyoriy  (a,b)da funktsiya chegarlangan. Demak, f(x) funktsiyaning [a,b] kesmada Riman integrali mavjud bo’lmasligi mumkin. 7.masala. Agar f ( x ) = nx e − n x 2 bo’lsa 31 limn ∫0 1 fn(x)dx =¿∫0 1 limn fn(x)dx ,n=1,2 ,... ¿tenglik o’rinli bo’ladimi? Echish. { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi [0,1] kesmada nolga yaqinlashadi. Demak, { f n ( x )} ketma-ketlik n  o’lchov bo’yicha nolga yaqinlashadi. Bu esa Lebeg teoremasining (7.teorema) birinchi sharti bajarilishini ko’rsatadi. Endi ∫0 1 nx e−nx2dx = 1 2n∫0 1 e−ntdt = 1 2(1−e−n)→ 1 2,n→ ∞ bo’lgani uchun Lebeg teoremasining ikkinchi sharti bajarilmasligini ko’ramiz. Shunday qilib {f n (x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun integrallanuvchi mojaronta (taqqoslanuvchi) funktsiya mavjud emasligini tasdiqlaymiz. Demak, berilgan funktsiya uchun limn ∫0 1 fn(x)dx ≠∫0 1 (lim fn(x))dx 8.masala. Agar f n ( x ) = n α x ( 1 − x ) n bo’lsa, u holda  ning qanday qiymatlarida lim ∫ 01 f n ( x ) dx = ∫ 01 ( lim f n ( x ) ) dx tenglik o’rinli bo’ladi? Echish. Ixtiyoriy n  {1,2,…} uchun f n ( 0 ) = f n ( 1 ) = 0 Bu esa n  da x  0, x  1 nuqtalarda f n ( x )  0 ekanligini ko’rsatadi. Agar 0< x <1 bo’lsa, u holda 0<1- x  va n α ( 1 − θ ) θ n = n α θ n − n α θ n + 1 Ixtiyoriy  R  (-  ) uchun n  da n   n  0 bo’lganidan n  da [0,1] kesmada f n (x)   R. Shuning uchun  R bo’lib n  da ∫0 1 (lim fn(x))dx → 0 32 Ikkinchi tomondan ∫ 01 f n ( x ) dx = n α ∫ 01 x ( 1 − x ) n dx = n α ∫ 01 ( 1 − x ) x n dx = n α ( n + 1 ) ( n + 2 ) Bu oxirgi tenglik  bo’lgandalimn ∫0 1 fn(x)dx =0,n→ ∞ tenglikni keltirib chiqaradi. Demak, berilgan funktsiya uchun ko’rsatilgan tenglik  hamma qyimatlar uchun bajariladi. 9. Masala. [0,1] kesmada quyidagi shartni qanoatlantiruvchi {f n (x)} integrallanuvchi funktsiyalar ketma-ketligini tuzing: 1) n  da f n (x)  f(x) deyarli hamma joyda 2) f ( x ) funktsiya [0,1] da integrallanuvchi 3) limn ∫0 1 |fn(x)− f(x)|dx ≠0 Echish. { f n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligini quyidagicha tuzamiz: n 2 , 0  x< 1 n f n (x)  0, 1 n  x  1 [0,1] kesmada deyarli, n  da f n (x)  0 ekanligi ko’rinib turibdi va shu bilan birga ∫0 1 (lim fn(x))dx =0 Bu esa 1) va 2) shart bajarilishini ko’rsatadi. Lekin lim n → ∞ ∫ 01 | f n ( x ) | dx = lim n → ∞ n 2 ∫ 01 n dx = ∞ ≠ 0 Bu 3) shart bajarilishini ko ’ rsatadi . 33 Xulosa Kurs ishida Jordano , Borel , Lebeg o ’ lchovlarining tarixiy rivojlanishi , matematik asoslari , hisoblanishi va integrallashtirilishi usullari va matematikada va uning qo ’ llanilgan sohalarda qanday ishlatilishi misollar orqali ko ’ rsatilgan . Kurs ishida quyidagi natijalarga erishilgan: Jordano o’lchovi tekislikdagi to’plamlarni o’lchash uchun keng tarqalgan usuldir. Jordan o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi kerak. Jordan o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, ratsional sonlarning to’plami. Jordan o’lchovini hisoblash uchun Riemann integrali 34 ishlatiladi. Jordan o’lchovi matematikada chegarali integrallar va tekislik geometriyasi uchun qo’llaniladi. Borel o’lchovi Jordan o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Borel o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Borel o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, Cantor to’plami. Borel o’lchovini hisoblash uchun Lebeg-Stiltes integrali ishlatiladi. Borel o’lchovi matematikada topologik fazolarni o’lchash va ehtimollik nazariyasini qo’llash uchun qo’llaniladi. Lebeg o’lchovi Borel o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Lebeg o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Lebeg o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, lekin ular juda kam uchraydi. Lebeg- Stiltes integrali Lebeg o’lchovini hisoblash uchun eng umumiy usuldir. Lebeg o’lchovi matematikada uzluksiz integrallar va real funksiyalar nazariyasi uchun qo’llaniladi. Shunday qilib, kurs ishi Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining matematikadagi ahamiyatini va dolzarbligini ko’rsatgan. Foydalanilgan adabiyotlar. 1. Mirziyayev Sh.M “Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan davom ettiramiz” .Toshkent. “O’zbekiston” 2017 2. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz asoslari - 1”. Toshkent, “O,qituvchi”, 1989 - yil 35 3. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz assoslari -2”. Toshkent “O’zbekirton”,1995-yil 4. G.Xurdoyberganov, A.K.Vorisova, X.T.Mansurov, B.A. Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism.-T.:Voris nashiriyot, 2010-y. 5.Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3- qism.-T.:O’qituvchi, 1996. 6. Shoimqulov B.A.Tuychiyev T.T.,Djumaboyev D.X. Matematik analizdan mustaqil ishlar.T. “O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”.2008. 7. www.edu.uz - O’zbekiston Respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi sayti. 8. www.press-service.uz – O’bekiston Republikasi Prezidentining matbuot xizmati sayti. 9. A.Sadullayev, H. Mansurov, G.H 10. I.Israilov, Z. Pashayev. Matematika. Akademik litsey uchun sinov darslik. Toshkent .”O’qituvchi” 2005 11. Umirbekov A.U. Shaabzalov Sh.Sh. Matematikani takrorlang. Toshkent. “O’qituvchi”, 1989 y 36

Jordan, Borel va Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali

MUNDARIJA

Kirish…………………………………………………………………………...…3 

1-§.  Jordan o’lchovi………………………………………………………...…….5

2-§.  Borel o’lchovi .................…………………………………………………....12

3-§.  Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali ....………………….………………….…14

Xulosa…………………………………..………………………………………...34

Foydalanilgan adabiyotlar……………………….……………………………….35

 

Купить