Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	359.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	19 Декабрь 2024
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Jordan, Borel va Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
__UNIVERSITETI
Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________
“_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y.
“___________________________ “ KAFEDRASI
“_____________________________ “ FANIDAN
KURS ISHI
Mavzu:________________
Bajardi:_________________________________
Tekshirdi:_______________________________
______________ - 20___

ko’rsatayotgan ta’lim muassasalarining ta’lim mazmuniga mos ravishda
o’quvchilarning psixologik va pedagogok xususiyatlariga muvofiq muayyan
`izchillikni o’rnatish fanlar, boblar, mavzular, o’quv materiallari orasida uzviylikni
ta’minlash asosida amalga oshiriladi. Shunday ekan, matematika fani asoslarini
yorituvchi kurslar o’rtasida uzviylikni ta’minlash, o’quv materiallarini turli
bosqich ta’lim muassasalari o’quvchilarining yosh xususiyatlariga mos holda
tanlash, ularning muayyan mantiqiy ketma – ketlik, fanlararo uzviylik hamda
izchillik asosida joylashtirish, o’quv jarayonida uzviylik tamoyilining yetakchi
o’rin tutishiga erishish va bu holatni pedagogik jihatdan asoslash muammosini
yuzaga keltiradi.
Kurs ishining mavzusining dolzarbligi: Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlari
matematikada va uning qo’llanilgan sohalarda muhim ahamiyatga ega. Ular
yordamida turli to’plamlarni o’lchash, funksiyalarni integrallashtirish, ehtimollik
chiziqlarini aniqlash va boshqa vazifalarni hal qilish mumkin. Bu bilan birga, bu
mavzu ilmiy tadqiqotlarda ham keng qo’llaniladi.
Kurs ishining maqsadi: Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining asosiy
tushunchalarini, xususiyatlarini va qo’llanilish sohalarini o’rganishdir.
Kurs ishining vazifalari: quyidagilardir:
 Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining tarixiy rivojlanishini o’rganish;
 Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining aniqlanishi va xossalari haqida
matematik asoslarini o’rganish;
 Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining hisoblanishi va integrallashtirilishi
uchun usullarni o’rganish;
 Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining matematikada va uning qo’llanilgan
sohalarda qanday ishlatilishini misollar orqali ko’rsatish;
 Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining ilmiy ahamiyatini va dolzarbligini
baholash.
5

)()0()(lim
00
0 xFxFxF
n
n
x
nx 
 
munosabat o`rinli. (5) munosabatga asosan ushbu ... ) , [ ... ) , [ ) , [ 1 3 1 2 1     nx x x x x x
munosabatning o`rinli ekani ravshan. Bu munosabatdan va
 n da 0x xn
ekanligidan,
∪



1 1 0 1 ) , [ ) , [
n nx x x x
tenglik kelib chiqadi. Bundan va
m o`lchovning   additivligidan
) , [ lim )) , [ ( ) , [ 1 1 1 0 1 n n n n x x m x x m x x m ∪

   
tenglikni olamiz. Natijada (4) tenglikka asosan ushbu
) ( ) ( )] ( ) ( [ lim 1 0 1 x F x F x F x F n n    
yoki ushbu
) ( ) ( lim 0x F x F n n  
tenglik hosil bo`ladi. Bu esa farazimizga zid. Demak,
) (x F funksiya chapdan
uzluksiz ekan.
Yetarliligi:
) (x F funksiyani ] , [ b a da chapdan uzluksiz deb, (4) tenglik
bilan aniqlangan
m o`lchovning   additivligini ko`rsatamiz.
Faraz qilaylik,
 

 ) , [ ) , [), , [ ) , [ 1 jjkknn
т          ∪
SH, j k  (6)
bo`lsin. U holda har qanday N
son uchun ushbu
) , [ ) , [
1
    

 n n т∪
munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan va
m o`lchovning   additivlik hamda
monotonlik xossasidan

) , [ ) , [
1
    m m
n n n  

 (7)
19

$kabi belgilanadi. f(x,y) funksiya D sohadaintegrallanuvchideyiladi. Aks holda f(x,y) funk т siya D sohada integrallanuvchi emas deyiladi. Shunday qilib, I=∬ D f(x,y)dxdy := lim λ→0∑ k=1 n f(ξk,ηk)⋅Sk (2) Izoh. Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz. Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi Darbu yig‘indilari yordamida ham aniqlash mumkin. Ushbu x= ϕ(t), y= ψ (t) funksiyalar [α,β] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lib, ular t ning turli qiymatlariga R2 da turli nuqtalarni mos qo`ysin. Bu holda [α ,β] kesmaning {x=ϕ(t)¿¿¿¿ funksiyalar yordamida R2 da hosil bo`ladigan aksi γ ga sodda egri chiziq deyiladi: γ= {(x ,y)∈ R 2:x= ϕ(t),y= ψ (t),t∈ [α ,β]} . A= γ(α) ga egri chiziqning boshlang`ich nuqtasi B= γ(β) nuqtaga esa egri chiziqning oxirgi nuqtasi deb ataladi. Biz qaralayotgan egri chiziq to`g`rilanuvchi, ya`ni chekli uzunlikka ega bo`lsin deb faraz qilamiz. Aytaylik, xOy tekisligida biror sodda A ˘B egri chiziq yoyi va bu yoyda f(x,y) funksiya berilgan bo`lsin. A ˘B egri chiziqni A dan V ga qarab A 0= A , A1, A2,...,A n= B nuqtalar yordamida n ta AkAk+1 ( k= 0,n−1 ________ ) 7$

Xulosa
Kurs ishida Jordano , Borel , Lebeg o ’ lchovlarining tarixiy rivojlanishi ,
matematik asoslari , hisoblanishi va integrallashtirilishi usullari va matematikada va
uning qo ’ llanilgan sohalarda qanday ishlatilishi misollar orqali ko ’ rsatilgan .
Kurs ishida quyidagi natijalarga erishilgan:
Jordano o’lchovi tekislikdagi to’plamlarni o’lchash uchun keng tarqalgan
usuldir. Jordan o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi
kerak. Jordan o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, ratsional
sonlarning to’plami. Jordan o’lchovini hisoblash uchun Riemann integrali
34

1- §. Jordan o’lchovi
Rimanning karrali integrallar nazariyasi Rn fazodagi Jordan o‘lchoviga
asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri,
uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng
bo‘lishi zarur va etarlidir. R 2
( R ¿ ¿ 3 ) ¿
fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan
to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi.
n≥3 bo ‘ lganda karrali
integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq
qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo ‘ lganligi sababli
biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz . Butun
paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz.
Aytaylik
D ⊂ R2 sohada f(x,y) funksiya aniqlangan bo‘lsin. D sohani ∀
egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta
D1,D2,...,Dn sohashalarga bo‘lamiz. Dк sohada
∀ (ξк,ηk)
nuqta olib , f (ξк,ηk) ni hisoblaymiz hamda quyidagi
σ= ∑
k=1
∞
f(ξk,ηk)⋅Sk
(1)
f(x,y)
funksiyaning D soha uchun integral yig ‘ indisinituzamiz . Bu yerda
Sk− D к
sohaning yuzasi .
Ta ’ rif . Agar (1) integral yig ‘ indining
λ= max
k=1,n
diam Dк 0 ga intilgandagi
limiti mavjud bo ‘ lib , u chekli songa teng bo ‘ lsa hamda uning qiymati sohaning
bo ‘ linish usuliga va
(ξк,ηk) nuqtalarning tanlanishiga bog ‘ liq bo ‘ lmasa , u holda
o ‘ sha son
f(x,y) funksiyaning D soha bo ‘ yicha ikki karrali integrali ( Riman
ma ’ nosidagi integrali ) deyiladi va u
I=∬
D
f(x,y)ds
yoki I=∬
D
f(x,y)dxdy
6

Agar E to’plam deyarli hamma joyida f ( x ) funktsiyaga tekis yaqinlashuvchi
integrallanuvchi sodda { f
n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u holda
o’lchovli va deyarli hamma joyda chekli bo’lgan f ( x ) funktsiya E to’plam bo’yicha
Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holdalimn→∞∫E
fn(x)dx
E to’plam bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va
∫E
f(x)dx
deb belgilanadi.
1. Asosiy teoremalar
1.Teorema. Faraz qilaylik f(x) sodda funktsiya
E= ¿k❑ Ek,¿
 , k  s)
to’plamda berilgan bo’lsin. Agar E
k to’plamning har biri o’lchovli bo’lsa, u holda
f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
2.Teorema. O’lchovi nol bo’lgan to’plam bo’yicha ixtiyoriy f(x) funktsiyadan
olingan integral noga teng.
3.Teorema O’lchovi nol bo’lgan to’plamdagi integrallanuvchi funktsiyaning
o’zgarishi, uning integral qiymatini o’zgartirmaydi.
Teorema. (additivlik xossasi) Faraz qilaylik E to’plam A
k to’plamlarning
birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A
k larning ixtiyoriy bir jufti
kesishmaydigan bo’lsin va {A
k } to’plam soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasin.
Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) har bir A
k
to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
∫E
f(x)dμ =∑k∫Ak
f(x)dμ
shu bilan birga
∑k∫Ak
|f(x)|dμ <∞
25

E
n [ − 1
n , 1
n ] ¿ [ − 1
n + 1 , 1
n + 1 ¿ ]
bo’lsa, u holda E
n o’lchovi
 E
n  2
n ( n + 1 )
Endi
∑
n = 1∞
n ( μ E
n ) = 2
∑
n = 1∞
1
n + 1 = ∞
bo’lgani uchun f(x) funktsiya [-1,1] kesmada integrallanuvchi emas.
2.Masalan.Agar R va Q
n-1 tuplam Kantor tuplamlari bulib
x 
n 
¿
k=1
2n−1 ( 
kn , 
kn )  G
bo’lganda
f(x)  ( 
kn -x)(x- 
kn )
bo’lsa va x  P bo’lganda
f(x)  0
bo’lsa, u holda
∫
0
1
f(x)dx
integralni hisoblang.
Echish. Bunday berilgan f(x) funktsiya [0,1] kesmada uzluksiz. Shuning uchun
[0,1] da Lebeg ma’nosida va demak Riman ma’nosida ham integrallashuvchi.
Teoremaga asosan
∫0
1
f(x)dx =∫P
f(x)dx +∫Q
f(x)dx
, P  Q  [0,1]
Endi  P  0 bo’lgani uchun 2.teoremaga ko’ra
∫
p f ( x ) dx = 0
Bu tenglikni e’tiborga olib teoremaga asosan tenglikka quyidagini topamiz.
28

Davlat ta’lim standarti o’quvchilarning har biriga ta’lim olishda keng
imkoniyatlarni yaratib berish,har birining yuqori natijaga erishishlarini
rag’batlantirish va shu orqali o’quv – biluv jarayonining farqli tashkil etilishini
ta’minlash uchun da’vat etilgan
Yuqorida aytilgan mezon va talablarga rioya qilgan holda.
Respublikamizda, zamonaviy bilim malaka va ko’nikmalarga ega va yosh avlodni
tarbiyalashda zamonaviy metod va uslublardan foydalana oladigan yetuk kadrlar
tayyorlash dolzarb vazifalardan hisoblanadi.
Shu borada, hech shubhasiz, o’z vaqtida, ya’ni bundan 20-yil oldin Kadrlar
tayyorlash va shuningdek, maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy dasturlarni
qabul qilganimiz ta’lim - tarbiya sohasida eski qolip va asoratlardan holi bo’lgan,
bugun o’zgalarning havasini tortayotgan yangi tizimni hayotimizda tadbiq
etganimiz haqiqatdan ham tarixiy bir voqea bo’ldi, desak, adashmagan bo’lamiz.
Buning natijasida mustaqil va yangicha fikrlaydigan, zamon talabiga javob
beradigan avlodni shaklantirishga erishdik, Vatanimizning ertangi kunini, taqdirini
o’z qo’liga olishga qodir bo’lgan farzndlarimiz bugun minbarga chiqmoqda.
Ma’lumki, Davlat ta’lim standartlarida uzluksiz ta’lim tizimining har bir
mustaqil ta’lim turi boshqa ta’lim turlari va bosqichlari bilan uzluksizlik va
uzviylik tamoyillariga asosan bog’lanishi ko’zada tutilgan.Shu o’rinda har bir
ta’lim turi va bosqichi o’ziga xos xususiyatlarga ega bo’lib, oldingisidan
keyingisiga o’tishda ta’lim jarayoni samarali kechishi uchun o’qituvchi va
o’quvchidan alohida tayyorgarliklarni talab etishi aniq. Bunday muammolar asosan
o’rta maxsus, kasb – hunar va oliy ta’lim muassasalar o’rtasidagi ta’lim mazmuni
va jarayonini tashkil etishdagi uzluksiz va uzviylik masalasini hal etishda
mavjuddir. Bu borada matematika fani katta imkoniyatlarga ega. Shunday ekan,
matematika fani izchil, bosqichma – bosqich boshqa fanlar bilan aloqadorlikda
o’rganish o’quvchilar mustaqil fikrlash qobiliyatini o’stirishga yordam beradi.
Respublikamizda matematika fani asoslari turli bosqichlarda faoliyat
4

) ( ) ( ) , [ kn kn kn kn F F m         tengliklar o`rinli bo`lgani uchun (9) munosabatdan ushbu
)] ( ) ( [ ) ( ) (
1 kn kn
r
k
F F F F          
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan va
) (x F funksiyaning kamaymaydigan
ekanligidan ushbu
)] ( ) ( [ ) ( ) (
1 n n k
F F F F          


munosabatga ega bo`lamiz. Buning o`ng tamonidagi yig`indi ostidagi ifodaga (8)
tengsizlikni qo`llab ushbu
          


)] ( ) ( [ ) ( ) (
1
F F F F n k
tengsizlikni olamiz, bu tengsizlik
     munosabatni qanoatlantiruvchi har
qanday
 son uchun o`rinli bo`lganligi sababli ) (x F funksiyaning chapdan
uzluksizligiga asosan,
   bo`lganda ham o`rinlidir, ya`ni
         


)] ( ) ( [ ) ( ) (
1 n n k
F F F F
bundan va 0

sonning ixtiyoriyligidan ushbu
)] ( ) ( [ ) ( ) (
1 n n k
F F F F        


tengsizlik kelib chiqadi.Bu munosabatdan (4) ga asosan
ushbu




1
) [ ) , [
n n n m m    
tenglikka ega bo`lamiz. Bu va (7) tenglik teoremani isbotlaydi.
Shunday qilib,
H yarim halqada (4) tenglik bilan aniqlanadigan  
additiv
m o`lchovga ega bo`ldik.
Bu o`lchovni
H sistemani o`z ichiga olgan minimal ) (H Z halqaga davom
ettirib, 

additiv F 
o`lchovga ega bo`lamiz. Bu o`lchov F
funksiyaga mos
21

2. Faraz qilaylik, F
monoton funksiya ], [ b a segmentda absolyut
uzluksiz bo`lib , uning hosilasi
) ( ) ( x f x F   bo`lsin. 22-ma`ruzadagi 8- Lebeg
teoremasiga asosan har bir yarim intervalda
], [ ) , [ b a    uchun uning
o`lchovini
∫  


     dx f F F m
F ) ( ) ( ) ( )) , ([
tenglik orqali aniqlaymiz (bu yerda
 o`lchov ], [ ba segmentdagi Lebeg
o`lchovi). U holda
elementlari
], [ b a segmentning barcha ),[  
ko`rinishidagi yarim intervalidan
iborat bo`lgan
H sistemada aniqlangan  additiv Fm
o`lchovga ega bo`lammiz.
Fm
o`lchov
H sistemaning o`z ichiga olgan minimal minimal   H Z halqada
aniqlangan
 additiv F 
o`lchovgacha davom ettirilishi mumkin. Bu usulda
aniqlangan F

o`lchov har qanday   HZA 
uchun
    ∫

AF dxfA  
(11)
tenglik bilan aniqlanadi.
3-ta`rif: Agar F

va  o`lchovlar berilgan bo`lib,   0 A  bo`lgan har
qanday o`lchovli
A to`plam uchun   0 A F bo`lsa, F 
o`lchovni absolyut uzluksiz
o`lchov deyiladi.
Lebeg integralining absalyut uzluksizligiga asosan (11) tenglikdan F

o`lchovning
 o`lchovga nisbatan absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.
3. Faraz qilaylik, F
monoton singulyar funksiya bo`lsin. Ma`lumki, bunday
funksiya uzluksiz bo`lib, o`zgarishi chegaralangan va hosilasi deyarli nolga teng.
Bundan, F
singulyar funksiya keltirib chiqargan F

o`lchovning tashuvchisi
Lebeg o`lchovi nol bo`lgan to`plamdan iborat ekanligi kelib chiqadi.
4-ta`rif: Agar F

va  o`lchovlar berilgan bo`lib, har qanday bitta
nuqtali to`plamda 0
F

bo`ladi, lekin shunday   0 A  bo`lgan o`lchovli A
23

5.Teorema. Faraz qilaylik E to’plam A
k to’plamlarning birlashmasi sifatida
tasvirlangan bo’lib A
k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va { A
k }
to’plam sanoqli to’lamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya har bir A
k
to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va∑k∫Ak
|f(x)|dμ <∞
bo’lsa, u holda f ( x ) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.
6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f ( x ) funktsiya E to’plamda
integrallanuvchi bo’lsa, u holda  >0,  bo’lib ixtiyoriy e  E (  e<  )
uchun
∫
e
| f ( x ) | dμ < ε
bo’ladi.
7.Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz qilaylik { f
n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi E
to’plamda f ( x ) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va E to’plamda
integrallanuvchi bo’lgan  (x) uchun
|fn(x)|≤ϕ(x),∀ n∈N
tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U holda f(x) funktsiya E to’plamda
integrallanuvchi bo’ladi va
lim
n ∫
E f
n ( x ) dμ =
∫
E ( lim
n f
n ( x ) ) dμ
tenglik o’rinli bo’ladi.
8.Teorema. (B.Levi) Faraz qilaylik { f
n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi quyidagi
shartlarni qanoatlantirsin:
1) f
n (x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin;
2) E to’plamda f
n (x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lib
∫
E f
n ( x ) dx ≤ K , ∀ n ∈ N = { 1,2,3 , ... }
bo’lsin. U holda
lim
n → ∞ f
n ( x ) = f ( x )
mavjud va f(x) funktsiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga
26

3. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz assoslari -2”. Toshkent
“O’zbekirton”,1995-yil
4. G.Xurdoyberganov, A.K.Vorisova, X.T.Mansurov, B.A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism.-T.:Voris nashiriyot, 2010-y.
5.Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3- qism.-T.:O’qituvchi, 1996.
6. Shoimqulov B.A.Tuychiyev T.T.,Djumaboyev D.X. Matematik analizdan
mustaqil ishlar.T. “O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”.2008.
7. www.edu.uz - O’zbekiston Respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi
sayti.
8. www.press-service.uz – O’bekiston Republikasi Prezidentining matbuot
xizmati sayti.
9. A.Sadullayev, H. Mansurov, G.H
10. I.Israilov, Z. Pashayev. Matematika. Akademik litsey uchun sinov darslik.
Toshkent .”O’qituvchi” 2005
11. Umirbekov A.U. Shaabzalov Sh.Sh. Matematikani takrorlang. Toshkent.
“O’qituvchi”, 1989 y
36

limn ∫0
1
fn(x)dx =¿∫0
1
limn fn(x)dx ,n=1,2 ,... ¿tenglik o’rinli bo’ladimi?
Echish. { f
n ( x )} funktsiyalar ketma-ketligi [0,1] kesmada nolga yaqinlashadi.
Demak, { f
n ( x )} ketma-ketlik n  o’lchov bo’yicha nolga yaqinlashadi. Bu esa
Lebeg teoremasining (7.teorema) birinchi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Endi
∫0
1
nx e−nx2dx = 1
2n∫0
1
e−ntdt = 1
2(1−e−n)→ 1
2,n→ ∞
bo’lgani uchun Lebeg teoremasining ikkinchi sharti bajarilmasligini ko’ramiz.
Shunday qilib {f
n (x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun integrallanuvchi mojaronta
(taqqoslanuvchi) funktsiya mavjud emasligini tasdiqlaymiz.
Demak, berilgan funktsiya uchun
limn ∫0
1
fn(x)dx ≠∫0
1
(lim fn(x))dx
8.masala. Agar
f
n ( x ) = n α
x ( 1 − x ) n
bo’lsa, u holda  ning qanday qiymatlarida
lim
∫
01
f
n ( x ) dx =
∫
01
( lim f
n ( x ) ) dx
tenglik o’rinli bo’ladi?
Echish. Ixtiyoriy n  {1,2,…} uchun
f
n ( 0 ) = f
n ( 1 ) = 0
Bu esa n  da x  0, x  1 nuqtalarda f
n ( x )  0 ekanligini ko’rsatadi. Agar 0< x <1
bo’lsa, u holda 0<1- x  va
n α
( 1 − θ ) θ n
= n α
θ n
− n α
θ n + 1
Ixtiyoriy  R  (-  ) uchun n  da n 
 n
 0 bo’lganidan n  da [0,1] kesmada
f
n (x)   R.
Shuning uchun  R bo’lib n  da
∫0
1
(lim fn(x))dx → 0
32

Faraz qilaylik,) , [ ) , [ ... ) , [ ) , [ ) , [ 1 2 1 1           n n n      
bo`lsin. U holda (2) ga asosan
           )] ( ) ( [ ... )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) , [ 1 2 1       F F F F F F a F b F b a m n n n
) , [ ) , [ ... ) , [ ) , [ )] ( ) ( [ 1 2 1 2 1          m m m m b F F n n      
tenglikka ega bo`lamiz. Demak,
H sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan m
to`plam funksiyasi o`lchov ekan.
1 – ta`rif. Agar
 x F funksiya (2) segmentda aniqlangan chapdan uzluksiz
va monotom kamaymaydigan funksiya bo`lib,
H sistema  b a, segmentning
barcha
   ,[
ko`rinishidagi yarim intervallar sistemasi bo`lsa, u holda H
sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan
m to`plam funksiyasi F
funksiya orqali
hosil qilingan Stiltes o`lchovi deyiladi.
 x F funksiya Stiltes o`lchovini keltirib
chiqaruvchi funksiya deyiladi.

 x F va     const c c x F   funksiyalar bir xil Stiltes o`lchovini keltirib
chiqaradi. Umuman, (2) o`lchovni keltirib chiqaradigan funksiyalarning umumiy
ko`rinishi
  c x F  dan iborat. Haqiqatdan,  x F ,  x  funksiyalar (2)
o`lchovni keltirib chiqaradigan ixtiyoriy funksiyalar bo`lsin.
 b a, segmentdan
biror
] , [ 0 b a x  nuqtani tayinlab olib, ixtiyoriy ] , [ b a x nuqtani olamiz. Agar
x x 0
bo`lsa, u holda, (2) tenglikka asosan ) , [ 0 x x yarim interval uchun (  x F va
 x 
funksiyalar m o`lchovini keltirib chiqaradigan funksiyalar bo`lganligi
sababli)
) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ 0 0 0 x Ф x Ф x F x F x x m    
bo`lib, bundan
) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 x F х Ф x F x Ф   
tenglikka ega bo`lamiz. Shunga o`xshash agar
0x x bo`lsa, yana (2) tenglikdan
 
0 ,x x
yarim interval uchun
17

yoyga ajratamiz. AkAk+1 yoyning uzunligini ΔS k va
λ= max
k=0,n−1
ΔS k deb
belgilaymiz. Endi
∀ (ξk,ηk)∈ AkAk+1 (k= 0,n− 1) nuqtalar olamiz va quyidagi
σ= ∑
k=0
n−1
f(ξk,ηk)⋅ΔS k
yig`indini tuzamiz.
Ta`rif. Agar
lim
λ→0
σ− ∃ bo`lib, u chekli I soniga teng bo`lsa va I ning qiymati
A˘B
ning bo`linish usuliga hamda
(ξk,ηk) nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa,
u holda shu I soniga
f(x,y) funksiyaning A˘B egri chiziq bo`yicha birinshi tur
egri chiziqli integralideb ataladi va u
∫
˘AB
f(x,y)ds kabi belgilanadi. Shunday qilib,
∫
˘AB
f(x,y)ds = lim
λ→0
σ= lim
λ→0
∑
k=0
n−1
f(ξk,ηk)⋅ΔS k
ekan.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar quyidagi xossalarga ega.
1)
∫
˘A˘B
f(x,y)ds = ∫
˘B˘A
f(x ,y)ds
2)
˘A ˘B= ˘A ˘C ∪ ˘C ˘B ⇒
∫
˘A˘B
f(x,y)ds = ∫
˘A˘C
f(x,y)ds + ∫
˘C˘B
f(x,y)ds
3)
∫
˘A˘B
cf (x,y)ds = c⋅∫
˘A˘B
f(x,y)ds (c= const )
4)
∫
˘A˘B
[f(x,y)± g(x,y)]ds = ∫
˘A˘B
f(x,y)ds ± ∫
˘A˘B
g(x,y)ds
Oxyz
fazoning ω
sohasida
⃗ a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z ) ⃗ k
vektor maydon berilgan bo‘lsin, unda P
( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )
funksiyalar
differensiallanuvchi funksiyalar. Ta’rif.
⃗ a ( M )
vektor maydonning diverginsiyasi
(uzoqlashuvchisi) deb
M nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ¿ ⃗ a ( M )
ko‘rinishda yoiladi va
8

o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas.
Borel o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, Cantor to’plami.
Borel funksiyasi - bu real sonlar ustida aniqlangan funksiya, agar uning
qiymati har bir nuqtada uning yaxinlashuv nuqtalarining qiymatlarining
chegarasiga teng bo’lsa. Ya’ni, agar f(x) funksiyasi real sonlar ustida aniqlangan
bo’lsa va har bir x ∈ R uchun limn→∞f(xn)=f(x) bo’lsa, u holda f(x) Borel
funksiyasi deb ataladi.
Borel o’lchovini qayerda ishlatish mumkinligi haqida sizga quyidagi
ma’lumotlarni berishim mumkin:
Borel o’lchovini matematikada topologik fazolarni o’lchash uchun ishlatish
mumkin. Borel o’lchovli bo’lgan to’plamlar o’lchov nazariyasida va tavsifiy
to’plam nazariyasida muhim ahamiyatga ega. Borel o’lchovli bo’lmagan
to’plamlar ham mavjud, lekin ular juda kam uchraydi.
Borel o’lchovini dasturlashda yuqori darajadagi dasturlash tillarini yaratish
uchun ishlatish mumkin. Yuqori darajadagi dasturlash tillari operatsion tizimdan
mustaqil bo’lib, kompyuter xotirasining barcha qismlarini boshqarish imkoniyatiga
ega. Borel o’lchovining yordamida dasturlash tillari sintaksisi va semantikasi
aniqlanadi.
Borel o’lchovini iqtisodiyotda ehtimollik nazariyasini qo’llash uchun ishlatish
mumkin. Ehtimollik nazariyasi matematik statistika va iqtisodiy
modellashtirishning asosiy vositasi hisoblanadi. Borel o’lchovi yordamida
ehtimollik chiziqlari va funksiyalari aniqlanadi va ularning xossalari o’rganiladi.
Borel o’lchovining xususiyatlari haqida batafsilroq aytishga harakat qilaman.
Borel o’lchovining xususiyatlari quyidagicha:
Borel o’lchovi additivdir, ya’ni agar A va B to’plamlari Borel o’lchovli bo’lsa
va A∩B= ∅ bo’lsa, u holda B(A ∪ B)=B(A)+B(B), bu yerda B(A) to’plam A ning
Borel o’lchovi.
Borel o’lchovi monoton va sanoqli additivdir, ya’ni agar A va B to’plamlari
Borel o’lchovli bo’lsa va A ⊆ B bo’lsa, u holda B(A)≤B(B) va B(B ∖ A)=B(B)-B(A).
14

Jordan, Borel va Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali
MUNDARIJA
Kirish…………………………………………………………………………...…3
1-§. Jordan o’lchovi ………………………………………………………...…….5
2-§. Borel o’lchovi ................. …………………………………………………....12
3-§. Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali .... ………………….………………….…14
Xulosa…………………………………..………………………………………...34
Foydalanilgan adabiyotlar……………………….……………………………….35
KIRISH
3

f ( x ) sin 2
x = 1
2 f ( x ) − 1
2 f ( x ) cos 2 x(
sin 2
x = 1
2 ( 1 − cos 2 x ) )
funktsiya ham integrallanuvchi bo’ladi.
Demak [0,  ) da f(x) va f(x)cos2x funktsiyalar integrallanuvchi.
Lekin
∫0
∞ dt
t2+a2= π
2a
bo’lgani uchun
∫
0∞
f ( x ) dx =
∫
0∞
√
x
x + 100 dx =
| x = t 2
dx = 2 tdt | = 2
∫
0∞
t 2
t 2
+ 100 dt =
∫
0∞
dt − 10 π = ∞
bu oxirgi qarama-qarshilik (ziddiyat)  f ( x )  g ( x )  funktsiyaning [0,  ) da
integrallanuvchi emas ekanligini ko’rsatadi.
Demak, bu funktsiyaning Lebeg integrali mavjud emas.
6.masala. f(x) funktsiyaning ixtiyoriy [  ] da ([  (a,b)) Riman integrali
mavjud. Bu funktsiyaning [a,b] kesmada integrali mavjudmi?
Echish. Yuqoridagi 10. teoremaga asosan f(x) funktsiya chegaralangan va [a,b]
ning deyarli hamma joyida uzluksiz bo’lishi kerak.
Ixtiyoriy  (a,b) kesmada f(x) funktsiya integrallanuvchi bo’lganligidan f(x)
funktsiya (a,b) intervalda deyarli hamma joyda uzluksizligi kelib chiqadi. U holda
[a,b] kesmaning hamma joyida deyarli uzluksiz. Lekin ixtiyoriy  (a,b)
kesmada f(x)ning chegaralanganligidan [a,b] kesmada chegaralnganligi kelib
chiqadi. Haqiqatan ham, agar
f(x)= 1
x−a bo’lsa, u holda f(x) funktsiya [a,b]
kesmada chegaralanmagan, lekin ixtiyoriy  (a,b)da funktsiya chegarlangan.
Demak, f(x) funktsiyaning [a,b] kesmada Riman integrali mavjud bo’lmasligi
mumkin.
7.masala. Agar
f ( x ) = nx e − n x 2
bo’lsa
31

Borel o’lchovi uzluksizdir, ya’ni agar {An} n ta to’plamning silsilasi bo’sa va
An ⊆ An+1 hamda limn→∞B(An)=b<∞ bo’sa, u holda B( ∪ n=1∞An)=b.
Borel o’lchovi invariantdir, ya’ni agar A to’plami Borel o’lchovli bo’lsa va
f(x) funksiyasi uzluksiz bijeksiya bo’lsa, u holda f(A) ham Borel o’lchovli bo’ladi
va B(f(A))=B(A).
Borel o’lchovi regulyardir, ya’ni agar A to’plami Borel o’lchovli bo’lsa, u
holda uning ichidagi eng katta yopiq to’plam va uning ustidagi eng kichik ochiq
to’plam mavjud bo’ladi va ularning hammasi bir xil o’lchovga ega.
Ushbu xususiyatlar Borel o’lchovining matematikada qo’llanilishini kengaytiradi.
Borel o’lchovi bilan Jordan va Lebeg o’lchovlarini solishtirishga harakat
qilaman. Ular orasidagi farqlar va o’xshashliklar quyidagicha:
Jordan o’lchovi tekislikdagi to’plamlarni o’lchash uchun keng tarqalgan
usuldir. Jordan o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi
kerak. Jordan o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, ratsional
sonlarning to’plami. Borel o’lchovi Jordan o’lchovining kengaytirilgan shaklidir.
Borel o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart
emas. Borel o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, Cantor
to’plami. Lebeg o’lchovi Borel o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Lebeg
o’lchovli bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas.
Lebeg o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, lekin ular juda kam uchraydi.
Jordan o’lchovi additivdir, monoton va sanoqli additivdir, uzluksizdir, lekin
invariant va regulyar emas. Borel o’lchovi additivdir, monoton va sanoqli
additivdir, uzluksizdir, invariantdir, lekin regulyar emas. Lebeg o’lchovi additivdir,
monoton va sanoqli additivdir, uzluksizdir, invariantdir va regulyardir.
Jordan o’lchovini hisoblash uchun Riemann integrali ishlatiladi. Borel va
Lebeg o’lchovlarini hisoblash uchun Lebeg-Stiltes integrali ishlatiladi.
Jordan o’lchovi matematikada chegarali integrallar va tekislik geometriyasi
uchun qo’llaniladi. Borel o’lchovi matematikada topologik fazolarni o’lchash va
15

Endi teskari tengsizlikni isbotlaymiz. (6) munosabatda   
bo`lsin, u
holda
     munosabatni qanoatlantiruvchi  son hamma vaqt mavjud. ) (x F
funksiya chapdan uzluksiz bo`lganligi sababli ixtiyoriy 0

son uchun har bir
n
natural sonda n n    munosabatni qanoatlantiruvchi shunday n nva  
sonlar topiladiki, ular uchun ushbu
n n n F F 2 ) ( ) (      
munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan

n n n n n F F F F
2
) ( ) ( ) ( ) (           (8)
tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda
n son (6) munosabatdagi ) , [ n n  yarim
intervalni tashkil etuvchi son.
n n n va    , sonlarning olinishiga asosan

) , ( ) , [ n n n n       munosabat o`rinli. Demak, ) , [   yarim intervalda joylashgan
] , [   
segment soni sanoqli ) , ( n n  intervallar sistemasi bilan qoplanar ekan.
Borel-Lebeg teoremasiga asosan bu sistemadan
] , [    segmentni qoplaydigan
soni chekli
)} ,...,2,1 () , {( r k k k n n     qism sistemani ajratib olish mumkun.
Agar soni chekli
}) , {( k k n n   intervallar sistemasi ] , [    segmentni qoplasa, u
holda
) , [ k k n n   yarim intervallar sistemasi ham shu segmentni qoplaydi, ya`ni
∪
r
k n n k k 1
) , [ ] , [

     
.
Bundan quyidagi munosabat bevosita kelib chiqadi:
∪ r
k kn
kn
1
) , [ ) , [       
Bu munosabatdan hamda
m o`lchovning additivlik va monotonlik xossasidan
ushbu

  
r
k kn kn m m
1
) , [ ) , [    
(9)
tengsizlikka ega bo`lamiz. (4) tenglikka asosan
20

ishlatiladi. Jordan o’lchovi matematikada chegarali integrallar va tekislik
geometriyasi uchun qo’llaniladi.
Borel o’lchovi Jordan o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Borel o’lchovli
bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Borel
o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, masalan, Cantor to’plami. Borel
o’lchovini hisoblash uchun Lebeg-Stiltes integrali ishlatiladi. Borel o’lchovi
matematikada topologik fazolarni o’lchash va ehtimollik nazariyasini qo’llash
uchun qo’llaniladi.
Lebeg o’lchovi Borel o’lchovining kengaytirilgan shaklidir. Lebeg o’lchovli
bo’lgan to’plamning yuzasi va perimetri mavjud bo’lishi shart emas. Lebeg
o’lchovli bo’lmagan to’plamlar ham mavjud, lekin ular juda kam uchraydi. Lebeg-
Stiltes integrali Lebeg o’lchovini hisoblash uchun eng umumiy usuldir. Lebeg
o’lchovi matematikada uzluksiz integrallar va real funksiyalar nazariyasi uchun
qo’llaniladi.
Shunday qilib, kurs ishi Jordano, Borel, Lebeg o’lchovlarining matematikadagi
ahamiyatini va dolzarbligini ko’rsatgan.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Mirziyayev Sh.M “Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan davom
ettiramiz” .Toshkent. “O’zbekiston” 2017
2. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz asoslari - 1”. Toshkent,
“O,qituvchi”, 1989 - yil
35

to`plam bo`lsaki, 0 ) (  CA F tenglik bajarilsa, F 
ga  o`lchovga nisbatan
singulyar o`lchov deyildi.
Demak, biror F
singulyar funksiya orqali keltirib chiqarilgan o`lchov
Lebeg o`lchoviga nisbatan singulyar o`lchov bo`lar ekan.
Agar
2 1 F F F   bo`lsa,
         
      )) , ([ ) , [
) , [
2122 11
     
     
FFF
m M F F
F F F F m
   
    
tenglikka asosan
2 1 F F F      .
Har qanday monoton funksiyani uchta funksiya – absalyut uzluksiz, pog`onali va
singulyar funksiyalarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkin. Bundan va (11)
tenglikdan har qanday Lebeg Stiltes o`lchovi absolyut uzluksiz, diskret va
singulyar o`lchovlarning yig`indisi sifatida ifoda etish mumkin, degan muhim
hulosa kelib chiqadi.
Agar f(x) funktsiyaning E to’plamdagi har xil qiymatlar soni sanoqli
to’plamdan ortiq bo’lmasa, u holda bunday f(x) funktsiya E to’plamda sodda
funktsiya deyiladi.
Agar E
k to’plam o’lchovli  E
k va
Ek={x∈E:f(x)=Ck}
bo’lib
∑k|Ck|μEk
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda E to’plamda berilgan va o’lchovli bo’lgan f ( x )
sodda funktsiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrllanuvchi deyiladi.
Agar E to’plamdagi f(x) sodda funktsiya integrallanuvchi bo’lsa, u holda
∑k|Ck|μEk
qator Lebeg integrali deyiladi va
∫E
f(x)dx
deb belgilanadi.
24

$bo`lgan Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi. F funksiya esa F o`lchovni keltirib chiqaruvchi funksiya deyiladi. Lebeg-Stiltes o`lchovining uchta muhim xususiy holi bilan tanishib chiqamiz. 1. Faraz qilaylik, ) (x F funksiya 20-ma`ruzada (1) tenglik bilan aniqlangan chapdan ) (x h pog`onali funksiya bo`lsin. Bu funksiyaning uzilish nuqtalarini ... ... 2 1     nx x x bo`lib , shu nuqtalarga mos kelgan sakrash esa         1 2 1 ) .(..,0 .,..,0 ,0 k k n h h h h sonlardan iborat bo`lsin. 1- ta`rifda ) (x F sifatida ) (x h funksiyani olamiz . U holda ) (x h funksiya keltirib chiqargan  o`lchov bo`yicha ] , [ b a oraliqning har qanday qismi o`lchovli bo`lib, ],[ baA  to`plamning h o`lchovi shu to`plamga tegishli ix larga mos kelgan ih larning yig`indisiga teng, ya`ni   Ax ih i hA )(  (10) haqiqatan, Lebeg-Stiltes o`lchovining ta`rifidan ko`rinadiki , har bir ix nuqtaning o`lchovi ih ga teng, ya`ni i i F h x  }) ({  Agar ∪    1 } { i ix D bo`lsa , u holda 0 ) \] , ([  D b a h tenglik o`rinli . Demak h o`lchovining tashuvchisi D ekan . Bundan va h o`lchovning   additivligidan har qanday ],[ baA  uchun (10) tenglik kelib chiqadi. 2-ta`rif: Biror F pog`onali monoton funksiya keltirib chiqargan F  o`lchov diskret o`lchov deyiladi. 22$