Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 812.0KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Shartli ekstremum 26

Sotib olish
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Shartli ekstremum MUNDARIJA KIRISH ....................................................................................................................... Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining nazariy asoslari ......................... 5 1.Funksiyaning lokal minimum va maksimum nuqtalari ta’rifi ............................. 5 2. Ekstremum mavjudligining zaruriy sharti ....................................................... 10 3.Shartli ekstremum mavjudligining yetarli sharti .............................................. 14 4.Shartli ekstremum tushunchasi va uni hisoblash usullari .................................. 20 XULOSA ................................................................................................................ 29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .............................................................. 30 KIRISH Bugungi kunda matematika fani ilm-fan va texnologiyaning barcha sohalarida muhim ahamiyat kasb etmoqda. Ayniqsa, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi zamonaviy matematik analizning asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lib, murakkab jarayonlarni modellashtirish va tahlil qilishda keng qo‘llaniladi. Tabiat hodisalari, iqtisodiy jarayonlar, texnik tizimlar hamda axborot texnologiyalaridagi ko‘plab masalalar bir nechta o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan funksiyalar yordamida ifodalanadi. Shu sababli ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarni o‘rganish matematik bilimlarning muhim tarkibiy qismi hisoblanadi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi tushunchasi funksiyaning xossalarini chuqur tahlil qilishda asosiy o‘rin tutadi. Funksiyaning berilgan nuqtadagi uzluksizligini aniqlash orqali uning limitlari, hosilalari va integral hisoblari bilan bog‘liq masalalarni samarali yechish mumkin bo‘ladi. Uzluksizlik tushunchasi matematik analizning boshqa bo‘limlari bilan uzviy bog‘liq bo‘lib, nazariy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega. Mazkur kurs ishining dolzarbligi shundaki, hozirgi davrda aniq fanlarni rivojlantirish va matematik tafakkurni shakllantirishga alohida e’tibor qaratilmoqda. O‘zbekiston Respublikasida matematika fanini rivojlantirish davlat siyosatining ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilangan. Jumladan, O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev tomonidan qabul qilingan matematika ta’limini rivojlantirishga oid farmon va qarorlar yosh avlodning ilmiy salohiyatini oshirishga xizmat qilmoqda. Xususan, 2020-yil 7- maydagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ–4708-son Qarori matematika fanini chuqur o‘rganish va zamonaviy yondashuvlarni ta’lim jarayoniga tatbiq etishda muhim ahamiyat kasb etadi. Kurs ishining maqsadi – ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ularning uzluksizligi haqidagi nazariy bilimlarni o‘rganish, uzluksizlikning asosiy xossalarini tahlil qilish hamda amaliy misollar orqali mavzuni yoritishdan iborat. Ushbu maqsadga erishish uchun ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar tushunchasi, limit va uzluksizlik shartlari, uzluksizlikning asosiy teoremalari hamda ularning qo‘llanilish jihatlari o‘rganiladi. Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib, mavzu nazariy hamda amaliy jihatdan yoritilgan. Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Zamonaviy matematika, fizika, iqtisodiyot va muhandislik masalalarini tadqiq etishda bir o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi ko‘pincha yetarli bo‘lmaydi. Real hayotiy jarayonlar va tabiat qonuniyatlari odatda bir nechta omillarga bog‘liq bo‘lib, ularni tavsiflash uchun ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar apparatidan foydalaniladi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi matematik analizning fundamental bo‘limlaridan biri hisoblanadi. Ushbu nazariyaning asosiy tushunchalaridan biri-funksiyaning uzluksizligidir. Funksiyaning uzluksizligi uning differensiallanuvchanligi, integrallanuvchanligi va ekstremum nuqtalarini topish kabi muhim xossalarini o‘rganishda poydevor vazifasini o‘taydi. Shu sababli, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ularning uzluksizligi xossalarini chuqur tadqiq etish o‘ta dolzarb hisoblanadi. Kurs ishining maqsadi : ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalari haqida matematik analiz darslarida o‘rganilgan tushuncha va tasdiqlarni mustahkamlash va amaliyotda qo‘llashdir. Kurs ishining vazifasi: ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar tushunchasini tushunish va ularning oblasti aniqlash; ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi, chegaralari va ekstremumlari haqida bilish; ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning xosilasi va differensialini topish va ularning xossalari haqida bilish. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining nazariy asoslari Funksiyaning lokal minimum va maksimum nuqtalari ta’rifi 1 -teorema . funksiya da differensiallanuvchi bo‘lsin. Shu intervalda funksiya o‘zgarmas bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Isboti . Zarurligi ravshan. Chunki funksiya o‘zgarmas bo‘lsa, barcha nuqtalarda bo‘ladi. Yetarliligi. Shartga ko‘ra funksiya intervalda differensialla- nuvchi, ya’ni uchun chekli hosila mavjud . Endi bo‘lgan nuqtalami olaylik. Ko‘rib chiqilayotgan funksiya kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, intervalga tegishli shunday nuqta topilib, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga ko‘ra uchun , bundan va (1) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, funksiyaning intervalning istalgan ikkita nuqtasidagi qiymatlari o‘zaro teng. Demak, funksiya o‘zgarmas bo‘ladi. Bundan integral hisobda muhim rol o‘ynaydigan quyidagi natija kelib chiqadi. Natija. Agar va funksiyalar da chekli va hosilalarga ega va tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda bilan funksiyalar o‘zgarmas songa farq qiladi: Haqiqatan ham , shartga ko ‘ ra Bundan 1- teoremaga asosan , ya ’ ni tenglik o ‘ rinli ekanligi kelib chiqadi . Funksiyaning o‘sishi va kamayishi . Biz bu yerda funksiya hosilasi yordamida funksiyaning monotonligini aniqlash mumkinligini ko‘rsatamiz. 2-teorema . Aytaylik, funksiya intervalda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiya intervalda kamaymaydigan (o‘smaydigan) bo‘lishi uchun tengsizlikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Isboti. Kamaymaydigan funksiya holatini ko‘ramiz. Zaruriyligi. funksiya intervalda kamaymaydigan bo‘lsin. U holda va uchun tengsizlik, uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa bo‘lishi aniq. Teorema shartiga ko‘ra , differensiallanuvchi, demak, — nisbatning da chekli limiti mavjud, tengsizlikda limitga o‘tish haqidagi teoremaga ko‘ra, bu limit nomanfiy bo‘ladi, ya’ni Yetarliligi. uchun b‘lsin. Endi bo‘lgan nuqtalarani olaylik. Qaralayotgan funksiya kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, intervalga tegishli shunday nuqta topilib, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga ko‘ra , bundan va (2) tenglikdan ya’ni ekanligi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning intervalda kamaymaydigan funksiyaligini ko‘rsatadi. O‘smaydigan funksiya holati ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Endi funksiyaning qat’iy monoton bo‘lishining yetarli shartini isbotlaymiz. 3-teorema . Agar funksiya intervalda differensiallanuvchi va uchun bo‘lsa, u holda funksiya intervalda qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi. Isboti. Aytaylik, va bo‘lsin. Aniqki, kesmada funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu teoremaga binoan shunday mavjudki, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik va ekanligidan bo‘lishi kelib chiqadi. Bu funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi. 1.3. Funksiyaning nuqtada monotonlik sharti. Biz shu paytgacha funksiyaning o‘sishi va kamayishi tushunchalarini biror oraliqqa nisbatan kiritdik va o‘rgandik. Ba’zi hollarda bu tushunchalami nuqtaga nisbatan qarash foydadan xoli emas. Aytaylik, funksiya intervalda aniqlangan va bo‘lsin. 1-ta ’rif . Agar nuqtaning shunday atrofí topilib, boiganda bo‘lganda esa bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada o‘suvchi (kamayuvchi) deyiladi. Endi nuqtada monotonlikning yetarli shartini keltiramiz. 4-teorema . funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi. Isboti. Shartga ko‘ra chekli mavjud va u noldan katta (kichik) bo‘lgani uchun ushbu tengsizlik o‘rinli. Limitga ega bo‘lgan funksiyaning xossalaridan nuqtaning shunday atrofi topilib, bu atrofda tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, bo‘lganda tengsizlik, bo‘lganda esa tengsizlik ham o‘rinli. Bu funksiyaning nuqtada o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi. Teorema isbot bo‘ldi. 5-teorema . Agar funksiya nuqtada musbat hosilaga ega bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, bunda funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Funksiyaning ekstremumlari . Aytaylik, funksiya intervalda aniqlangan va bo‘lsin. 2-ta’rif . Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, shu atrofdan olingan ixtiyoriy x uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi, esa funksiyaning maksimumi (minimumi) deb ataladi. 3-ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, shu atrofdan olingan ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada qat’iy maksimumga (minimumga ) ega deyiladi. Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning ekstremum nuqtalari, maksimum va minimum qiymatlari funksiyaning ekstremumlari deb ataladi. Shunday qilib, agar maksimum (minimum) bo‘lsa, u holda funksiyaning nuqtaning kichik atrofida qabul qiladigan qiymatlaming eng kattasi (eng kichigi) bo‘ladi, ya’ni funksiya ekstremumi lokal xarakterga ega. Bundan funksiya eksremumi u aniqlangan sohada eng katta yoki eng kichik qiymati bo‘lishi shart emasligi kelib chiqadi. Shuningdek, funksiya intervalda bir qancha maksimum va minimumlarga ega bo‘lishi, maksimum qiymati uning ba’zi bir minimum qiymatidan kichik bo‘lishi ham mumkin. Ekstremumning zaruriy sharti. Funksiya hosilalari yordamida uning ekstremum nuqtalarini topish osonlashadi. Avval ekstremumning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz. 6-teorema . Agar funksiya nuqtada uzluksiz, shu nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas. Isboti . Aytaylik, funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘lsin. U holda nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofdan olingan uchun bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda tengsizlik, agar bo‘lsa, u holda tengsizlik o‘rinli bo‘lishi ravshan. Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalarning da limiti mavjud bo‘lsa, u holda Agar funksiyaning chap va o‘ng hosilalari nolga teng bo‘lsa, u holda funksiya hosilasi mavjud va nolga teng bo‘ladi. Agar va lar noldan farqli bo‘lsa, aniqki, < bo‘lib, mavjud bo‘lmaydi. Funksiya nuqtada minimumga ega bo‘lgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Teorema isbot bo‘ldi. 4-ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar yoki hosila mavjud bo‘lmaydigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi. Funksiya hosilasi nolga teng bo‘lgan nuqtalar statsionar nuqtalar deb ataladi. Har qanday kritik nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lavermaydi. Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari. 7-teorema. Aytaylik, funksiya nuqtada uzluksiz va nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bo‘lsin. a) agar uchun uchun tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni hosila nuqtadan o‘tishida o‘z ishorasini «+» dan «-» ga o‘zgartirsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘ladi. b) agar uchun , uchun tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni hosila nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa, u holda funksiya nuqtada minimumga ega bo‘ladi; d) agar hosila nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi. Isboti . a) holni qaraymiz. Bu holda uchun bo‘lishidan funksiyaning da qat’iy o‘suvchiligi kelib chiqadi. So‘ngra shartga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lgani sababli tenglik o‘rinli. Demak, uchun bo‘ladi. uchun bo‘lishidan funksiyaning da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. Demak, (1) tenglikni e’tiborga olsak, uchun yana (2) tengsizlik bajariladi. Bundan va uchun bo‘ladi, ya’ni funksiya nuqtada maksimumga ega; b) bu holda funksiya nuqtada minimumga erishishi a) holga o‘xshash isbotlanadi. hosila nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan d) holda funksiya nuqtaning atrofîda qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo‘ladi. Demak, nuqtada ekstremum yo‘q. Shunday qilib, ekstremumga sinalayotgan nuqtani o‘tishda funksiya hosilasi ishorasining o‘zgarishi ekstremumga erishishning faqat yetarli sharti bo‘lib, lekin zaruriy sharti bo‘la olmaydi. 7-teoremadan funksiyaning ekstremumga tekshirish uchun 1- qoidani keltirib chiqaramiz. 1-qoida . funksiyaning ekstremumlarini topish uchun: 1) funksiyaning hosilasini topib, tenglamani yechish kerak. So‘ngra mavjud bo‘lmagan nuqtalami topib, kritik nuqtalar to‘plamini hosil qilish kerak; 2) har bir kritik nuqtadan chapda va o‘ngda hosilaning ishorasini aniqlash kerak; 3) agar hosila ishorasini «+» dan «-» ga («-» dan «+» ga) o‘zgartirsa, u holda bu kritik nuqtada funksiya maksimumga (minimumga) ega bo‘ladi. Agar hosila ishorasi o‘zgarmasa, ekstremum mavjud bo‘lmaydi. E kstremum mavjudligining zaruriy va yetarli sharti Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum qiymatlari ta’riflari xuddi bir o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum qiymatlari ta’rifi singari kiritiladi. funksiya biror ovhiq to‘plamda berilgan bo ‘lib , bo ‘lsin. 5-ta’rif . Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lsaki, uchun bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega deyiladi, qiymat esa funksiyaning maksimum(minimum) qiymati yoki maksimumi (minimumi) deyiladi. 6-ta’rif . Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lsaki, uchun bo‘lsa, funksiya nuqtada qat’iy maksimumga (qat’iy minimumga) ega deyiladi, qiymat esa funksiyaning qat’iy maksimum (qat’iy minimum) qiymati yoki maksimumi (minimumi) deyiladi. Funksiyaning maksimum va minimum umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi. Yuqoridagi ta’riflardan ko ‘rinadiki , funksiyaning nuqtadagi qiymati ni uning shu nuqta atrofidagi nuqtalardagidagi qiymatlari bilangina solishtirar ekan. Shuning uchun funksiyaning ekstremumi (maksimumi, minimumi) lokal ekstremum (lokal maksimum, lokla minimum ) deyiladi. Funksiya ekstremumining zaruriy sharti. funksiya biror ochiq to‘plamda berilgan bo ‘lib , nuqtada maksimumga (minimumga)ega bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra ning shunday atrofi mavjudki, uchun Xususan bo‘ladi. Natijada bir o‘zgaruvchiga ga bog‘liq bo‘lgan funksiyaning da eng katta(eng kichik) qiymati ga erishishini ko ‘ramiz. Agarda nuqtada nuqtada xususiy hosila mavjud bo ‘lsa , unda Ferma teoremasiga ko‘ra bo ‘ladi. Xuddi shuningdek, xususiy hosilalar mavjud bo ‘lsa, bo ‘lishini topamiz. Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz. 8-teorema . Agar funksiya nuqtada ekstremumga erishsa va shu nuqtada xususiy hosillarga ega bo ‘lsa , u holda bo‘ladi. funksiya xususiy hosilalarini nolga aylantiradigan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deyiladi. 1-eslatma. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyaning ekstremumga erishishining zaruriy shartini ushbu 1 1 Equation Section (Next) ko‘rinishda yozish mumkin . Funksiya ekstremumining yetarli sharti. Biz yuqorida funksiyaning nuqtada ekstremumga erishishining zaruriy shartini ko ‘rsatdik. Endi funksiyaning ekstremumga erishishing zaruriy shartini ko‘rsatdik. Endi funksiyaning ekstremumga erishishining yetarli shartini o‘rganamiz. funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan bo ‘lsin. Ushbu Ayirmani qaraylik. Ravshanki , bu ayirma atrofda o‘z ishorasini saqlasa, ya’ni har doim bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga (maksimumga) erishadi. Agar har qanday atrofda ham o‘z ishorasini saqlamasa, u holda funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi. Demak, masala o‘z ishorasini saqlaydigan atrofda ham o ‘z ishorasini saqlamasa, u holda funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi. Demak, masala yuqoridagi ayirma o‘z ishorasini saqlaydigan atrof mavjudmi yoki yo ‘qmi shuni aniqlashdan iborat . Bu masalani biz , hususiy holda, ya’ni funksiya ma’lum shartlarni bajargan holda yechamiz. 1) funksiya biror da uzluksiz, barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega ; 2) nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi, ya’ni Teylor formulasidan foydalanib, nuqtaning statsionar nuqta ekanligini e’tiborga olib, quyidagini topamiz: Bu munosabatda funksiyaning barcha xususiy hosilalari lar ushbu Nuqtada hisoblangan va Demak, Berilgan funksiya ikkinchi tartibli hosilalarining statsionar nuqtadagi qiymatlarini quyidagicha belgilaylik: . Unda ning nuqtada uzluksizligidan bo‘lishi kelib chiqadi.Bu munosabatda da barcha bo‘ladi. Natijada (3.1) ayirma ushbu ko‘rinishni oladi. Buni quyidagicha ham yozish mumkin: Agar Deb belgilasak, unda bo‘ladi. Ushbu Ifoda o‘zgaruvchining kvadratik formasi deb ataladi, lar esa kvadratik formaning koeffitsiyentlari deyiladi. Ravshanki , har qanday kvadratik forma o ‘z koeffitsiyentlari orqali to‘la aniqlanadi. Ravshanki, bo ‘lsa, har qanday kvadratik forma uchun Bo ‘ladi. Endi boshqa nuqtalarini qaraylik.quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: 1.Barcha nuqtalar uchun . Bu holda kavdratik forma musbat aniqlangan deyiladi. 2. Barcha nuqtalar uchun . Bu holda kvadratik forma manfiy aniqlagan deyiladi. 3.Ba’zi nuqtalar uchun , ba’zi nuqtalar uchun . Bu holda kvadratik forma noaniq deyiladi. 4. Barcha nuqtalar uchun va ular orasida shunday nuqtalar ham borki, Bu holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan deyiladi. 5. Barcha nuqtalar uchun Va ular orasida shunday nuqtalar ham borki, Bu holda kvadratik forma yarimmanfiy aniqlangan deyiladi. 1. Ushbu Kvadrat forma musbat aniqlangan bo‘lsin. Avvalo yuqoridagi va Tengliklardan Ekanligini topamiz . Ma’lumki fazoda Markazi nuqtada, radiusi 1 ga teng sferani ifodalaydi. Sfera yopiq va chegaralanagan to‘plam .veyershtrassning birinchi teoremasiga asosan shu sferada funksiya uzluksiz funksiya sifatida chegaralangan , xususan quyidan chegaralangan bo ‘ladi: Agar kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini e’tiborga olsak , unda bo‘lishini topamiz . Ikkinchi tomondan , Veyershtrasning ikkinchi teoremasiga ko‘ra bu funksiya sferada o ‘zining aniq quyi chegarasiga erishadi, ya’ni biror uchun bo‘ladi. Yana kvadratik formaning musbat aniqlanganligini e’tiborga olsak, Ekanini topamiz. Demak, sferada bo‘ladi. Endi ni baholaymiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, topamiz: Ma’lumki, da barcha . Bundan foydalanib nuqtaning atrofini yetarlicha kichik qilib olish hisobiga Tengsizlikka erishish mumkin. Demak, (13.41) dan 2. Quyidagi kvadratik forma manfiy aniqlangan bo ‘lsin. Bu holda nuqtaning yetarlicha kichik atrofida bo‘lishi 1-holdagiga o‘xshash ko‘rsatiladi. Natijada quyidagi teoremaga kelamiz. 9-teorema . funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan bo ‘lsin va u ushbu shartlarni bajarsin: 1) funksiya da barcha o ‘zgaruvchilar bo ‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy tartibli uzluksiz xususiy hosilarga ega ; 2) nuqta nuqtaning startisonar nuqtasi : 3) koeffitsiyentlari bo ‘lgan kvadratik forma musbat (manfiy ) aniqlangan . u holda funksiya nuqtada minimumga (maksimumga )erishadi . Bu teorema funksiya ekstremumning yetarli shartni ifodalaydi . Silvestr alomati. Ushbu Kvadratik formaning musbat aniqlangan bo‘lishi uchun , tengsizliklarning , manfiy aniqlangan bo ‘lishi uchun tengsizliklarning bajarilishi zarur va yetarli. Xususiy holni funksiya ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan holni qaraylik. funksiya nuqtaning biror atrofi da berilgan bo ‘lsinva bu atrofda barcha birinchi, ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo ‘lsin. esa qaralayotga funksiyaning statsionar nuqtasi bo‘lsin: Odatdagidek , .Agar va b o‘lsa funksiya nuqtada minimumga erishadi . Agar va b o‘lsa funksiya nuqtada maksimumga erishadi . Agar b o‘lsa funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi . Agar bo‘lsa funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham mumkin , erishmasligi ham mumkin. Bu “shubhali “ hol qo‘shimcha tekshirish yordamida aniqlanadi. Haqiqatan ham, - va - hollarda kvadratik forma mos ravishda musbat aniqlanga yoki manfiy aniqlangan bo‘ladi. 1-misol . Ushbu funksiyani qaraylik.Bu funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bo‘ladi. Sistemani yechib, berilgan funksiyaning statsionar nuqtalari va ekanini topamiz. nuqtada bo ‘lib, bo‘ladi. Demak , bo ‘lganda ( bo‘lib) funksiya nuqta minimumga erishadi, bo‘lganda funksiya nuqtada maksimumga erishadi. Ravshanki, nuqtada bo‘ladi. Demak , berilgan funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi. 2-misol. Quyidagi funksiyani qaraylik. Berilgan funksiyaning statsionar nuqtasi nuqta bo‘ladi. Bu nuqtada bo‘lishini topish qiyin emas . Demak, biz bu yerda yuqoridagi 4-“shubhali “ holni uchratyapmiz . Ekstremum bor-yo‘qligini aniqlash uchun qo ‘shimcha tekshirish o‘tkazishimiz kerak. nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning nuqtalarini qaraymiz. Ravshanki, bu to‘g‘ri chiziq nuqtalarida berilgan funksiya bo‘lib, da da . da bo‘ladi. Demak, funksiya nuqta atrofida ishora saqlamaydi. Binobarin , berilgan funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi. 3-misol. Ushbu funksiyaning to ‘plamda eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. Berilgan funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz: Demak, nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi ekan. Bu nuqtada berilgan funksiyaning qiymati bo‘ladi. Endi funksiyani ning chegarasi aylanada qaraymiz. Bunda va bo‘ladi. Bu funksiyaning dagi eng katta hamda eng kichik qiymatlarini topamiz: . funksiyaning segmentning chetki nuqtalaridagi qiymati bo‘ladi. Demak, funksiya eng kichik qiymati , eng katta qiymati esa bo‘ladi. Boshqacha aytganda berilgan funksiyaning chegarasidagi eng kichikqiymati , eng katta qiymati esa bo‘ladi. Bu qiymatlarni funksiyaning statsionar nuqtadagi qiymati bilan solishtirib, berilgan funksiyaning to‘plamdagi eng katta qiymati ,eng kichik qiymati esa bo‘lishini topamiz. Shartli ekstremum tushunchasi va uni hisoblash usullari Funksiyaning argumentlari hech bir qo‘shimcha shartlar bilan bog‘lanmagan holda topilgan ekstremumlariga shartsiz ekstremumlar deyiladi. Funksiyaning argumentlari hech bir qo‘shimcha shartlar bilan bog‘langan holda topilgan ekstremumlariga shartli ekstremumlar deyiladi. tenglama berilgan bo‘lib, nuqta bu tenglamani qanoatlantirsin hamda funksiya nuqtaning biror  atrofida aniqlangan va bu nuqtada uzluksiz bo‘lsin. Agar  -atrofning tenglamani qanoatlantiruvchi barcha y nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, nuqtaga funksiyaning shartli maksimum (shartli minimum) nuqtasi deyiladi. Bunda tenglama bog‘lanish tenglamasi deb ataladi, ekstremumga bog‘lanish tenglamasi bilan bog‘langanlik shartida erishiladigan ekstremum deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun shartli ekstremumni topish masalasi quyidagi usullardan biri bilan yechiladi: 1. Agar bog‘lanish tenglamasini yoki ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, bu tenglamadan yoki topiladi va u funksiyaga qo‘yiladi. Hosil bo‘lgan bir o‘zgaruvchining funksiyasi ekstremumga tekshiriladi; 2. Agar bog‘lanish tenglamasini yoki ga nisbatan yechish mumkin bo‘lmasa, Lagranj ko‘paytuvchilari usuli qo‘llaniladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasini Lagranj ko‘paytuvchilari usuli bilan ekstremumga tekshirish quyidagi tartibda amalga oshiriladi: . Lagranj funksiyasi deb ataluvchi funksiya tuziladi va uning , va bo ‘ yicha xususiy hosilalari topiladi , bu yerda - lagranj ko ‘ paytuvchisi deb ataluvchi son ; Shartli ekstremumning zaruruy sharti sistema bilan beriladi. Bu sistemadan bitta yoki bir nechta sonlar uchligi topiladi, bu yerda shartli ekstremum bo‘lishi mumkin bo‘lgan nuqta; Shartli ekstremumning yetarli sharti determinant orqali ifodalanadi. Bunda har bir sonlar uchligi uchun  ning ishorasi tekshiriladi: a) agar bo‘lsa nuqta , funksiyaning shartli maksimum nuqtasi bo‘ladi; b) agar bo‘lsa nuqta , funksiyaning shartli minimum nuqtasi bo‘ladi. 3-misol. funksiyaning va o‘zgaruvchilar tenglama bilan bog‘langanlik shartidagi ekstremumini toping. Masalani har ikkala usul bilan yechamiz. 1-usul. Funksiya tenglamasida to‘la kvadratlar ajratamiz: Bu funksiya uchi nuqtada yotgan paraboloidni ifodalaydi. Bog‘lanish tenglamasi tekislikni ifodalaydi. Bu tenglamadan kelib chiqadi. ni berilgan funksiyaga qo‘yib, topamiz: Bu funksiya parabolani ifodalaydi. Demak, paraboloid bilan tekislik kesishishidan parabola hosil bo‘ladi. funksiyani ekstremumga tekshiramiz: . dan ; Demak, - maksimum nuqta. Shunday qilib, funksiya uchun shartli maksimum nuqta bo‘ladi. Bundan , 2-usul. . Lagranj funksiyasini tuzamiz: bu yerda . Bundan , . Shartli ekstremumning zaruruy shartiga ko‘ra Sistemani yechamiz: . Demak, mumkin bo‘lgan shartli ekstremum nuqta. . determinantga qo‘yiladigan xususiy hosilalarni topamiz: U holda Barcha nuqtalarda, jumladan nuqtada . Demak, bu nuqtada funksiya shartli maksimumga ega: Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasini ekstremumga tekshirishning amaliy tatbiqlaridan biri eng kichik kvadratlar usuli hisoblanadi. Bu usulning mohiyati empirik formula bilan topilgan nazariy qiymatlarning tajriba natijasida olingan mos qiymatlardan chetlashishi kvadratlarining yig ‘ indisini minimallashtirishdan yoki boshqacha aytganda qiymatning minimal bo‘lishini ta’minlashdan iborat. Xulosa Mazkur kurs ishida ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum masalasi, ya’ni funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari mavjud bo‘lishining zaruriy hamda yetarli shartlari batafsil tahlil qilindi. Ish jarayonida lokal ekstremum tushunchasining matematik mazmuni, uning geometrik talqini hamda analitik ifodasi izchil ravishda yoritib berildi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasida ekstremum masalasi muhim o‘rin tutishi ilmiy asosda ko‘rsatib o‘tildi. Avvalo, ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti sifatida stasionar nuqta tushunchasi o‘rganildi. Agar funksiya ma’lum bir nuqtada lokal ekstremumga ega bo‘lsa va shu nuqtada xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, u holda funksiyaning barcha birinchi tartibli xususiy hosilalari nolga teng bo‘lishi kerak. Bu shart gradientning nolga tengligi, ya’ni ko‘rinishida ifodalanadi. Biroq zaruriy shartning o‘zi ekstremum mavjudligini to‘liq kafolatlamasligi misollar yordamida asoslandi. Kurs ishida shuningdek shartli ekstremum masalasi ham alohida o‘rganildi. Amaliy masalalarda ko‘pincha funksiya ma’lum cheklov sharti ostida qaralishi sababli shartli ekstremum tushunchasi muhim ahamiyatga ega. Bunday masalalarni yechishda Lagranj ko‘paytuvchilari usuli asosiy metod sifatida tahlil qilindi. Ushbu usul yordamida cheklovli masala qo‘shimcha o‘zgaruvchi kiritish orqali cheklovsiz masalaga keltirilishi va stasionar nuqtalar sistemasi orqali yechim topilishi ko‘rsatildi. Xulosa qilib aytganda, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar ekstremumini aniqlash nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham katta ahamiyatga ega. Mazkur mavzu optimallashtirish masalalari, iqtisodiy modellashtirish, fizika va texnika sohalarida keng qo‘llaniladi. Zaruriy va yetarli shartlarni chuqur o‘zlashtirish hamda shartli ekstremum usullarini to‘g‘ri qo‘llash murakkab masalalarni samarali hal etish imkonini beradi. Bugungi kunda mamlakatimizda matematika va aniq fanlarni rivojlantirish davlat siyosatining ustuvor yo‘nalishlaridan biri hisoblanadi. Jumladan, O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev tomonidan qabul qilingan matematika ta’limini rivojlantirishga oid farmon va qarorlar yoshlarning ilmiy salohiyatini oshirishga xizmat qilmoqda. Xususan, 2020-yil 7-maydagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ–4708-son Qarori matematik ta’limni yangi bosqichga olib chiqishda muhim huquqiy asos bo‘ldi. Mazkur hujjatlarda matematik tafakkurni rivojlantirish, zamonaviy pedagogik texnologiyalarni joriy etish hamda xalqaro standartlarga mos mutaxassislar tayyorlash vazifalari belgilangan. Shu sababli, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ularning uzluksizligini chuqur o‘rganish nafaqat nazariy bilimlarni boyitadi, balki zamonaviy ilm-fan va texnologiyalarni egallash uchun ham mustahkam poydevor yaratadi. Kelajakda ushbu mavzu bo‘yicha ilmiy izlanishlarni davom ettirish va amaliy masalalarda qo‘llash matematika fanining rivojlanishiga munosib hissa qo‘shadi. Foy dalanilgan adabiy ot lar ro‘y xat i 1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020 - yil 23 -sentabr, O‘RQ-637-son. 2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2- martdagi “ Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida ”gi 36- son Qarori. 3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27- martdagi “Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab chiqish hamda joriy etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” 157-son Qarori. 4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2018- yil 10-sentabrdagi “Oliy ta’lim muassasasi professor-o‘qituvchilar tarkibining o‘quv yuklamasi hamda o‘quv-uslubiy, ilmiy-tadqiqot va “ustoz-shogird” ishlarini belgilash qoidalarini tasdiqlash to‘g‘risida” gi 20-2018-son buyrug‘i. 5. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2021- yil 19-oktabrdagi “Oliy ta’limning davlat ta’lim standarti. Asosiy qoidalar” O‘zbekiston Respublikasining davlat standartini tasdiqlash to‘g‘risida”gi 35-2021-son buyrug‘i. 6. Egamberdiyev F.T. va boshqalar. “Iqtisodiyot nazariyasi” fanidan kurs ishini bajarish uchun uslubiy qo‘llanma. - Toshkent, O‘zMU, 2019. 7. Ilxamov Sh.I., Xudoyqulov A. Kurs ishlarini yozish va himoya qilish bo‘yicha uslubiy qo‘llanma. - Termiz. TDU, 2023. Elek t ron t a’lim resurslari 1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/ 2. http://www.allmath.ru/ 3. http://www.pedagog.uz/ 4. http://www.ziyonet.uz/ 5. http://window.edu.ru/window/ 6. http://ilib.mccme.ru/#begin 7. http://kvant.mirror1.mccme.ru/
Sotib olish