Dokument ma'lumotlari

Narxi 15000UZS
Hajmi 850.0KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 29 Aprel 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Matyaqubova Mavluda

Ro'yxatga olish sanasi 06 Mart 2024

0 Sotish

Ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallash va ikki karrali Riman integrali.

Sotib olish
Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallash va ikki karrali Riman integrali. Reja I. Kirish. II. Asosiy qism. 1. Ko’p o’zgaruvchili funksiya. 2. Ikki karrali Riman integrali. 3. Ikki karrali Riman integralning mavjudligi va xossalari. 4. Ikki karrali integral va ko’p o’zgaruvchili funksiyaga oid misollar. III. Xulosa. IV. Foydalanilgan adabiyotlar. Kirish “Matematika - haqiqiy borliqning miqdoriy munosabatlari va fazoviy formalaridir”. Matematika ko’pdan beri paydo bo’lgan bo’lib, uning yaratilish tarixi bizgacha yetib kelgan. Matematikaning asosiy sohalaridan biri bo’lgan ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki karrali Riman integrali tuchunchalari ham biz uchun notanish tushunchalar emas. Shunday bo’lsada, ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki karrali Riman integrali tushunchalari va ularning kelib chiqishi, yaratilish tarixi haqida biz uchun qorong’u bo’lgan joylari bor. Hozir shular to’g’risida qiziqarli ma’lumotlar keltirib o’tamiz. Avvalo, matematikaning asosiy bo’limlaridan biri bo’lgan ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikkki karrali Riman integrali mavzusi bilan tanishib chiqamiz. Biz matematik analiz tarixidan oldingi davrning muhim momentlariga to’xtash va ikkita buyuk matematik Nyuton va Leybnitsning xizmatlarini xarakterlash imkoniyatiga egamiz, ular o’zlaridan ilgarigi matematiklarning ishlarini oxiriga yetkazib, haqiqatda yangi hisob yaratdilar. Matematika va fanning boshqa tarmoqlarida ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning integrallari bilan bog’liq masalalarga duch kelamiz. Biz ikki karrali Riman integralini ta’riflashdan oldin boshlang’ich funksiya ta’rifini keltiramiz. Boshlang’ich funksiya berilgan funksiyaning tenglik bajariladigan funksiyasi. Boshlang’ich funksiyani izlash differensiallash amaliga teskari amaldir. uchun cheksiz ko’p boshlang’ich funksiya mavjud, ammo ulardan istalgan ikkitasi bir-biridan o’zgarmas qo’shiluvchi bilan farq qiladi. Barcha boshlang’ich funksiyalar to’plami funksiyadan olingan aniqmas integral deyiladi. Shu jumladan ikki karrali integral ham ba’zi masalalarni hal qilishda birmuncha qulayliklar yaratadi. Nafaqat matematika sohasida balki boshqa ijtimoiy sohalardagi ayrim muammolarni hal qilishda ham ikki karrali integrallardan foydalaniladi. 2.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiya. Biror to’plam berilgan bo’lsin. Ta’rif . Agar to’plamdagi har bir nuqtaga biror qoida yoki qonunga ko’ra bitta haqiqiy son mos qo’yilgan bo’lsa, to’plamda ko’p o’zgaruvchili funksiya berilgan deb ataladi va uni yoki kabi belgilanadi. Bunda -funksiyaning berilishi (aniqlanish) to’plami, erkli o’zgaruvchilar – funksiya argumentlari, erksiz o’zgaruvchi - o’zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi. nuqta bitta bilan belgilanishini e’tiborga olib, bundan keyin deyarlik hamma vaqt o’rniga ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi yoki belgilashlar quyidagicha yoziladi. yoki . Funksiyaning berilish to’plamidan olingan nuqtaga mos keluvchi son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi. funksiya to’plamda berilgan bo’lsin. o’zgaruvchi to’plamda o’zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat to’plam funksiya qiymatlari deb ataladi. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning berilish to’plami fazodagi to’plam bo’lib bu funksiya qiymatlari to’plami esa haqiqiy sonlarning qism to’plamidan iboratdir. fazoning nuqtalaridan iborat ushbu to’plam funksiya grafigi deb ataladi. Masalan, bo’lganda funksiyalar grafigi mos ravishda fazoda giperbolik paraboloid, aylanma paraboloiddan iborat. (1-rasm) 1-rasm to’plamda funksiya berilgan bo’lib, larning xar biri to’plamda berilgan funksiyalar bo’lsin. Bunda o’zgaruvchi to’plamda o’zgarganda ularga mos nuqta to’plamda bo’lsin. Natijada o’zgaruvchi o’zgaruvchi orqali o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’ladi: Bu funksiya murakkab funksiya yoki hamda funksiyalar superpozitsiyasi deyiladi . Elementar funksiyalar ustida qo ’ shish , ayirish , ko ’ paytirish va bo ’ lish amallari hamda funksiyalar superpozitsiyasi yordamida ko ’ p o ’ zgaruvchili elementar funksiyalar hosil qilinadi . Ushbu funksiyalar shular jumlasidandir. funksiya to’plamda berilgan bo’lsin. Agar bu fuksiya qiymatlari to ’ plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday o’zgarmas (o’zgarmas ) son topilsaki, uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralangan deb ataladi, aks holda, ya’ni xar qanday katta musbat son olinganda ham, to’plamda shunday nuqta topilsaki, tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deb ataladi. Agar funksiya to’plamda ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo’lsa, funksiya shu to’plamda chegaralangan deyiladi. Masalan, da berilgan funksiya shu to’plamda quyidan chegaralangan, ammo yuqoridan chegaralanmagandir: . 2.2 Ikki karrali Riman integrali Ikki karrali integral tushunchasini o’rganishni unga olib keladigan masalani keltirishdan boshlaymiz. Masala. funksiya chegaralangan sohada berilgan, uzluksiz hamda uchun bo’lsin. fazoda - Dekart koordinata sistemasini olaylik. Yuqoridan sirt bilan, yon tomonidan, yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt hamda pastdan tekisligidagi soha bilan chegaralangan jismni qaraylik . jismning hajmini topish talab etilsin. Agar funksiya da o’zgarmas bo’lsa, , u holda jismning (silindrning) hajmi ga teng bo’ladi, bunda sohaning yuzi. Agar sohada va o’zgaruvchilarning ixtiyoriy uzluksiz funksiyasi bo’lsa, u holda jismning hajmini topish uchun, avvalo sohani egri chiziqlar bilan ta bo’lakka bo’lamiz: . Bo’luvchi chiziqlarni yo’naltiruvchi sifatida olib o’qiga parallel silindrik sirtlar o’tkazamiz. Natijada jism ta bo’laklarga ajraladi. So’ng har bir da ixtiyoriy nuqta olamiz. Bu da funksiyani o’zgarmas ga teng desak, u holda bo’lakning hajmi taxminan bo’lib, bunda ning yuzi jismning hajmini ifodalovchi bu formula taqribiydir. Chunki, ni xar bir da o’zgarmas deb hisobladik: agar bo’lsa. Endi sohani bo’laklarga bo’linish sonini shunday orttira boraylikki, bunda har bir bo’lakning diametri nolga intila borsin. U holda qiymat izlanayotgan jismning hajmini tobora aniqroq ifodalay boradi deb hisoblash tabiiydir. Demak, masala yuqoridagi yig’indining limitini topish bilan hal qilinadi. Bunday yig’indining limiti ikki karrali integral tushunchasini olib keladi. Ikki karrali integral ta’rifi. Ikki karrali integralni ta’riflanadigan avval ba’zi bir tushunchalar, jumladan sohaning bo’linishi, funksiyaning integral yig’indisi tushunchalari bilan tanishamiz. Biror chegaralangan soha berilgan bo’lsin. sohaning chegarasidagi ixtiyoriy ikki nuqtani birlashtiruvchi va butunlay shu sohada yotuvchi chiziqni (egri chiziqni) chiziq deb ataymiz. Ravshanki, bunday chiziqlar sohani bo’laklarga ajratadi. Shuningdek, sohada butunlay yotuvchi yopiq chiziqni ham chiziq deb qaraymiz. Bunday chiziqlar ham sohani bo’laklarga ajratadi. Bu sohani bo’laklarga ajratuvchi chekli sondagi chiziqlar sistemasi sohaning bo’linishi deb ataladi va kabi belgilanadi. sohani bo’laklarga ajratuvchi xar bir chiziq bo’linishning bo’luvchi chizig’i, sohaning bo’lagi esa bo’linishning bo’lagi deyiladi. bo’linish bo’laklari diametrining eng kattasi bo’linishning diametri deb ataladi va u kabi belgilanadi. Demak, soha berilgan holda, bu sohani turli usullar bilan bo’linishlarini tuzish mumkin. Natijada sohaning bo’linishlari to’plami hosil bo’ladi. Uni kabi belgilaylik. funksiya sohada berilgan bo’lsin. Bu sohaning bo’linishini va bu bo’linishning xar bir bo’lagida ixtiyoriy nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati ni ( sohaning yuzi) ga ko’paytirib quyidagi yig’indini tuzamiz. Ta’rif .Ushbu yig’indi funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi. Yuqoridagi keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, funksiyaning integral yig’indisi qaralayotgan funksiyaga sohaning bo’linish usuliga hamda har bir dan olingan nuqtalarga bog’liq bo’ladi, ya’ni . funksiya chegaralangan sohada berilgan bo’lsin. Bu sohaning shunday bo’linishlarini qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan ketma-ketlik nolga intilsin: . Bunday bo’linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig’indisini tuzamiz. Natijada sohaning bo’linishlariga mos funksiya integral yig’indilari qiymatlaridan iborat quyidagi ketma-ketlik hosil bo’ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga bog’liq. Ta’rif . Agar sohaning har qanday bo’linishlar ketma- ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat ketma-ketlik, nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta songa intilsa, bu ga yig’indining limiti deb ataladi va u kabi belgilanadi. Ta’rif . Agar da funksiyaning integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, funksiya sohada integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi) funksiya deyiladi. Bu yig’indi chekli limiti esa funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u kabi belgilanadi. Demak, birinchi punktda keltirilgan jismning hajmi funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integralidan iborat ekan. 2.3 Ikki karrali Riman integralning mavjudligi va xossalari Ikki karrali integralning mavjudligi. Ikki karrali integralning mavjud bo’lishining zarur va yetarli shartini kriteriysini keltiramiz. Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli. Isbot . Zaruriyligi. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra bo’ladi, bunda olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari uchun , munosabatlarga ko’ra , bo’lib undan bo’lishi kelib chiqadi. Yetarliligi . olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari uchun bo’lsin. Qaralayotgan funksiya sohada chegaralanganligi uchun, uning quyi hamda yuqori integrallari mavjud bo’ladi. Ravshanki, Bu munosabatdan bo’lishini topamiz. Demak, uchun bo’lib, undan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorama isbot bo’ldi. Agar funksiyaning sohadagi tebranishini bilan belgilasak, u holda bo’lib, teoremadagi shart ushbu ya’ni ko’rinishlarni oladi. Ikki karrali integralning xossalari. Ikki karrali integral ham aniq integralning xossalari singari xossalarga ega. . funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin. Bu funksiyaning sohaga tegishli bo’lgan nol yuzli chiziqdagi qiymatlarinigina (chegaralanganligini saqlagan holda) o’zgartirishdan hosil bo’lgan funksiya ham sohada integrallanuvchi bo’lib, bo’ladi. . funksiya sohada berilgan bo’lib, soha nol yuzli chiziq bilan va sohalarga ajralgan bo’lsin. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, funksiya va sohalarda ham integrallanuvchi bo’ladi, va aksincha, ya’ni funksiya va sohalarning har birida integrallanuvchi bo’lsa, funksiya sohada ham integrallanuvchi bo’ladi. Bunda . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu formula o’rinli bo’ladi. . Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu formula o’rinli bo’ladi . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lib, uchun bo’lsa, u holda bo’ladi. . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va bo’ladi. . O’rta qiymat haqidagi teoremalar. funksiya sohada berilgan va u shu sohada chegaralangan bo’lsin. Demak, shunday va o’zgarmas sonlar mavjudki, uchun bo’ladi. Teorema . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda shunday o’zgarmas, son mavjudki, bo’ladi, bunda sohaning yuzi. Teorema . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lib, u shu sohada o’z ishorasini o’zgartirmasa va funksiya sohada uzluksiz bo’lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, bo’ladi. 2.4 . Ikki karrali integral va ko’p o’zgaruvchili funksiyaga oid misollar. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish to’plamini toping (1-7)? 1. Yechim: 2. Yechim: 3. Yechim: 4. Yechim: 5. Yechim: 6. Yechim: 7. Yechim: Quyidagi funksiyalarning takroriy limitlarini toping (1-8)? 1. Yechim: 2. Yechim: 3. Yechim: 4. Yechim: 5. Yechim: 6. Yechim: 7. Yechim: 8. Yechim: 1. Ushbu funksiyaning nuqtadagi , xususiy hosilalarini hisoblang? Yechim: Ta’rifga ko’ra bo’lib, ga teng. Xuddi shunga o’xshash bo’ladi. Demak, 2. Ushbu funksiyaning nuqtada xususiy hosilalari mavjud emasligini ko’rsating? Yechim:Ravshanki, da , Hosila ta’rifiga ko’ra bo’ladi. Biroq limitlar mavjud bo’lganligi sababli, qaralayotgan funksiyaning nuqtada xususiy hosilalari mavjud bo’lmaydi. 3. Ushbu funksiyaning , xususiy hosilalarini hisoblang? Yechim:Bu funksiyaning o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashda ni o’zgarmas, o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashda esa, ni o’zgarmas deb qaraymiz. Unda bo’ladi. 4. Ushbu funksiyaning ixtiyoriy nuqtada differensiallanuvchi ekanligini ko’rsating? Yechim: Berilgan funksiyaning nuqtadagi to’la orttirmasini topamiz: Agar deyilsa, unda bo’ladi. Bu esa berilgan funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi ekanini bildiradi. 5. Ushbu funksiyaning differensialini toping? Yechim: formulaga ko’ra bo’ladi. Endi berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz: Demak, Quyidagi integrallarni hisoblang (1-10)? 1. 2. 3. 4. , agar Yechim: 5. -uzluksiz funksiya Yechim: Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi 6. Integralning ishorasini aniqlang? Yechim: funksiya da aniqlanmagan. da bo’lgani uchun berilgan integral manfiy aniqlangan. 7. Yechim: 8. Yechim: 9. Yechim: 10. Yechim: Xulosa Matematik analiz fani matematikaning fundamental bo’limlaridan biri bo’lib, u matematikaning poydevori hisoblanadi. Matematik analiz kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tatbiqlari keltiriladi. Matematik analiz fanining asosiy vazifasi shu fanning tushuncha, tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtiribgina qolmasdan, balki talabalarda mantiqiy fikrlash, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo’llash ko’nikmalarini shakllantirishdan iborat. Ushbu ishimda ikkita va undan ortiq o’zgaruvchili funksiyalar hamda hozirgi vaqtda amaliyotda keng Riman integrali ham yoritib berildi.Ushbu kurs ishida ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki karrali integral mavzulari yoritildi. Ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki karrali integral va uning xossalari, mavjudligi va ularga doir masalalar yechildi. Jumladan ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallashni ko’proq uchratamiz. Bugungi kunda zamonaviy matematikaning turli sohalarida, keng tatbiqqa ega bo’lgan aniq integralning fizika va mehanika nazariyasi bilan shug’ullanilmoqda. Foydalanilgan adabiyotlar 1. A. Abdurahmonov, A. Narmonov, N. Narmuratov. Matematika tarixi. Toshkent - 2016 2. T. Azarov, X. Mansurov. Matematik analiz. Toshkent, “O’qituvchi” 1994. 3. G. M. Fixtengolts. Differensial va integral hisob kursi. Toshkent – 1951. 4. B. P. Demidovich. Matematik analizdan misol va masalalar to’plami. NamDU, 2019. 5. A. Sa’dullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Vorisov, R. G’ulomov. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. Toshkent, “O’zbekiston” 1993 123 – bet. 6. SH. Alimov, R. Ashurov Matematik analiz. Toshkent 2018. 7. O’. Toshmetov, R. M. Turgunboyev. Matematik tahlildan misol va masalalar to’plami. Toshkent – 2006.
Sotib olish