Ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallash va ikki karrali Riman integrali. - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	15000UZS
Hajmi	850.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	29 Aprel 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Matyaqubova Mavluda

Ro'yxatga olish sanasi 06 Mart 2024

0 Sotish

Ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallash va ikki karrali Riman integrali.

Sotib olish

Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallash va ikki karrali Riman
integrali.
Reja
I. Kirish.
II. Asosiy qism.
1. Ko’p o’zgaruvchili funksiya.
2. Ikki karrali Riman integrali.
3. Ikki karrali Riman integralning mavjudligi va xossalari.
4. Ikki karrali integral va ko’p o’zgaruvchili funksiyaga oid
misollar.
III. Xulosa.
IV. Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish
“Matematika - haqiqiy borliqning miqdoriy munosabatlari va fazoviy
formalaridir”.
Matematika ko’pdan beri paydo bo’lgan bo’lib, uning yaratilish tarixi
bizgacha yetib kelgan. Matematikaning asosiy sohalaridan biri bo’lgan ko’p
o’zgaruvchili funksiya va ikki karrali Riman integrali tuchunchalari ham biz uchun
notanish tushunchalar emas. Shunday bo’lsada, ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki
karrali Riman integrali tushunchalari va ularning kelib chiqishi, yaratilish tarixi
haqida biz uchun qorong’u bo’lgan joylari bor. Hozir shular to’g’risida qiziqarli
ma’lumotlar keltirib o’tamiz.
Avvalo, matematikaning asosiy bo’limlaridan biri bo’lgan ko’p
o’zgaruvchili funksiya va ikkki karrali Riman integrali mavzusi bilan tanishib
chiqamiz. Biz matematik analiz tarixidan oldingi davrning muhim momentlariga
to’xtash va ikkita buyuk matematik Nyuton va Leybnitsning xizmatlarini
xarakterlash imkoniyatiga egamiz, ular o’zlaridan ilgarigi matematiklarning
ishlarini oxiriga yetkazib, haqiqatda yangi hisob yaratdilar.
Matematika va fanning boshqa tarmoqlarida ko’p o’zgaruvchili
funksiyalarning integrallari bilan bog’liq masalalarga duch kelamiz. Biz ikki
karrali Riman integralini ta’riflashdan oldin boshlang’ich funksiya ta’rifini
keltiramiz. Boshlang’ich funksiya berilgan funksiyaning
tenglik bajariladigan funksiyasi. Boshlang’ich funksiyani izlash
differensiallash amaliga teskari amaldir. uchun cheksiz ko’p boshlang’ich
funksiya mavjud, ammo ulardan istalgan ikkitasi bir-biridan o’zgarmas
qo’shiluvchi bilan farq qiladi. Barcha boshlang’ich funksiyalar to’plami
funksiyadan olingan aniqmas integral deyiladi. Shu jumladan ikki karrali integral
ham ba’zi masalalarni hal qilishda birmuncha qulayliklar yaratadi. Nafaqat
matematika sohasida balki boshqa ijtimoiy sohalardagi ayrim muammolarni hal
qilishda ham ikki karrali integrallardan foydalaniladi.

2.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiya.
Biror to’plam berilgan bo’lsin.
Ta’rif . Agar to’plamdagi har bir nuqtaga biror qoida
yoki qonunga ko’ra bitta haqiqiy son mos qo’yilgan bo’lsa,
to’plamda ko’p o’zgaruvchili funksiya berilgan deb ataladi va uni
yoki
kabi belgilanadi. Bunda -funksiyaning berilishi (aniqlanish) to’plami,
erkli o’zgaruvchilar – funksiya argumentlari, erksiz o’zgaruvchi -
o’zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi. nuqta bitta
bilan belgilanishini e’tiborga olib, bundan keyin deyarlik hamma vaqt
o’rniga ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi
yoki belgilashlar quyidagicha yoziladi.
yoki .
Funksiyaning berilish to’plamidan olingan nuqtaga mos keluvchi
son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi.
funksiya to’plamda berilgan bo’lsin. o’zgaruvchi to’plamda
o’zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat to’plam
funksiya qiymatlari deb ataladi.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning berilish to’plami
fazodagi to’plam bo’lib bu funksiya qiymatlari to’plami esa haqiqiy sonlarning
qism to’plamidan iboratdir.
fazoning nuqtalaridan iborat ushbu
to’plam funksiya grafigi deb ataladi.

Masalan, bo’lganda
funksiyalar grafigi mos ravishda fazoda giperbolik paraboloid, aylanma
paraboloiddan iborat. (1-rasm)
1-rasm
to’plamda funksiya berilgan bo’lib,
larning xar biri to’plamda berilgan funksiyalar
bo’lsin.

Bunda o’zgaruvchi to’plamda o’zgarganda ularga mos
nuqta to’plamda bo’lsin. Natijada o’zgaruvchi
o’zgaruvchi orqali o’zgaruvchilarning funksiyasi
bo’ladi:
Bu funksiya murakkab funksiya yoki hamda funksiyalar
superpozitsiyasi deyiladi .
Elementar funksiyalar ustida qo ’ shish , ayirish , ko ’ paytirish va bo ’ lish amallari
hamda funksiyalar superpozitsiyasi yordamida ko ’ p o ’ zgaruvchili elementar
funksiyalar hosil qilinadi . Ushbu

funksiyalar shular jumlasidandir.
funksiya to’plamda berilgan bo’lsin. Agar bu
fuksiya qiymatlari to ’ plami
yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday o’zgarmas
(o’zgarmas ) son topilsaki, uchun
tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya to’plamda yuqoridan
(quyidan) chegaralangan deb ataladi, aks holda, ya’ni xar qanday katta musbat
son olinganda ham, to’plamda shunday nuqta topilsaki,

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya to’plamda yuqoridan
(quyidan) chegaralanmagan deb ataladi.
Agar funksiya to’plamda ham yuqoridan, ham
quyidan chegaralangan bo’lsa, funksiya shu to’plamda chegaralangan deyiladi.
Masalan, da berilgan
funksiya shu to’plamda quyidan chegaralangan, ammo yuqoridan
chegaralanmagandir: .

2.2 Ikki karrali Riman integrali
Ikki karrali integral tushunchasini o’rganishni unga olib keladigan masalani
keltirishdan boshlaymiz.
Masala. funksiya chegaralangan sohada berilgan,
uzluksiz hamda uchun bo’lsin. fazoda - Dekart
koordinata sistemasini olaylik. Yuqoridan sirt bilan, yon tomonidan,
yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt hamda pastdan
tekisligidagi soha bilan chegaralangan jismni qaraylik . jismning
hajmini topish talab etilsin.
Agar funksiya da o’zgarmas bo’lsa, , u
holda jismning (silindrning) hajmi
ga teng bo’ladi, bunda sohaning yuzi.
Agar sohada va o’zgaruvchilarning ixtiyoriy uzluksiz
funksiyasi bo’lsa, u holda jismning hajmini topish uchun, avvalo sohani
egri chiziqlar bilan ta bo’lakka bo’lamiz: . Bo’luvchi chiziqlarni
yo’naltiruvchi sifatida olib o’qiga parallel silindrik sirtlar o’tkazamiz. Natijada
jism ta bo’laklarga ajraladi. So’ng har bir
da ixtiyoriy nuqta olamiz. Bu da funksiyani
o’zgarmas ga teng desak, u holda bo’lakning hajmi taxminan
bo’lib, bunda ning yuzi

jismning hajmini ifodalovchi bu formula taqribiydir. Chunki, ni xar bir
da o’zgarmas deb hisobladik: agar
bo’lsa.
Endi sohani bo’laklarga bo’linish sonini shunday orttira boraylikki, bunda har
bir bo’lakning diametri nolga intila borsin. U holda
qiymat izlanayotgan jismning hajmini tobora aniqroq ifodalay boradi deb
hisoblash tabiiydir. Demak, masala yuqoridagi yig’indining limitini topish bilan
hal qilinadi. Bunday yig’indining limiti ikki karrali integral tushunchasini olib
keladi.
Ikki karrali integral ta’rifi. Ikki karrali integralni ta’riflanadigan avval ba’zi
bir tushunchalar, jumladan sohaning bo’linishi, funksiyaning integral
yig’indisi tushunchalari bilan tanishamiz.
Biror chegaralangan soha berilgan bo’lsin. sohaning chegarasidagi
ixtiyoriy ikki nuqtani birlashtiruvchi va butunlay shu sohada yotuvchi chiziqni
(egri chiziqni) chiziq deb ataymiz. Ravshanki, bunday chiziqlar sohani
bo’laklarga ajratadi.
Shuningdek, sohada butunlay yotuvchi yopiq chiziqni ham chiziq deb
qaraymiz. Bunday chiziqlar ham sohani bo’laklarga ajratadi. Bu sohani
bo’laklarga ajratuvchi chekli sondagi chiziqlar sistemasi
sohaning bo’linishi deb ataladi va kabi belgilanadi. sohani
bo’laklarga ajratuvchi xar bir chiziq bo’linishning bo’luvchi chizig’i,
sohaning bo’lagi esa bo’linishning bo’lagi deyiladi. bo’linish bo’laklari
diametrining eng kattasi bo’linishning diametri deb ataladi va u kabi
belgilanadi.

Demak, soha berilgan holda, bu sohani turli usullar bilan bo’linishlarini
tuzish mumkin. Natijada sohaning bo’linishlari to’plami hosil bo’ladi. Uni
kabi belgilaylik.
funksiya sohada berilgan bo’lsin. Bu sohaning
bo’linishini va bu bo’linishning xar bir bo’lagida ixtiyoriy
nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi
qiymati ni ( sohaning yuzi) ga ko’paytirib quyidagi
yig’indini tuzamiz.
Ta’rif .Ushbu
yig’indi funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi.
Yuqoridagi keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, funksiyaning integral
yig’indisi qaralayotgan funksiyaga sohaning bo’linish usuliga
hamda har bir dan olingan nuqtalarga bog’liq bo’ladi, ya’ni
.
funksiya chegaralangan sohada berilgan bo’lsin. Bu
sohaning shunday
bo’linishlarini qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan
ketma-ketlik nolga intilsin: . Bunday bo’linishlarga
nisbatan funksiyaning integral yig’indisini tuzamiz.

Natijada sohaning bo’linishlariga mos funksiya
integral yig’indilari qiymatlaridan iborat quyidagi
ketma-ketlik hosil bo’ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga
bog’liq.
Ta’rif . Agar sohaning har qanday bo’linishlar ketma-
ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat
ketma-ketlik, nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma
vaqt bitta songa intilsa, bu ga yig’indining limiti deb ataladi va u
kabi belgilanadi.
Ta’rif . Agar da funksiyaning integral yig’indisi chekli
limitga ega bo’lsa, funksiya sohada integrallanuvchi (Riman
ma’nosida integrallanuvchi) funksiya deyiladi. Bu yig’indi chekli limiti esa
funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali)
deyiladi va u
kabi belgilanadi. Demak,
birinchi punktda keltirilgan jismning hajmi funksiyaning soha
bo’yicha ikki karrali integralidan iborat ekan.

2.3 Ikki karrali Riman integralning mavjudligi va xossalari
Ikki karrali integralning mavjudligi. Ikki karrali integralning mavjud
bo’lishining zarur va yetarli shartini kriteriysini keltiramiz.
Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lishi uchun,
olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri
bo’lgan har qanday bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Isbot . Zaruriyligi. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin.
Ta’rifga ko’ra
bo’ladi, bunda

olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, sohaning
diametri bo’lgan har qanday bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari
uchun
,

munosabatlarga ko’ra
,
bo’lib undan
bo’lishi kelib chiqadi.

Yetarliligi . olinganda ham, shunday topilib, sohaning
diametri bo’lgan har qanday bo’linishiga nisbatan Darbu yig’indilari
uchun
bo’lsin. Qaralayotgan funksiya sohada chegaralanganligi uchun,
uning quyi hamda yuqori integrallari

mavjud
bo’ladi. Ravshanki,
Bu munosabatdan
bo’lishini topamiz. Demak, uchun
bo’lib, undan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning
sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorama isbot bo’ldi.
Agar funksiyaning sohadagi tebranishini bilan
belgilasak, u holda
bo’lib, teoremadagi
shart ushbu

ya’ni
ko’rinishlarni oladi.
Ikki karrali integralning xossalari. Ikki karrali integral ham aniq integralning
xossalari singari xossalarga ega.
. funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsin. Bu funksiyaning
sohaga tegishli bo’lgan nol yuzli chiziqdagi qiymatlarinigina
(chegaralanganligini saqlagan holda) o’zgartirishdan hosil bo’lgan
funksiya ham sohada integrallanuvchi bo’lib,
bo’ladi.
.
funksiya sohada berilgan bo’lib, soha nol yuzli chiziq
bilan va sohalarga ajralgan bo’lsin. Agar funksiya sohada
integrallanuvchi bo’lsa, funksiya va sohalarda ham integrallanuvchi
bo’ladi, va aksincha, ya’ni funksiya va sohalarning har birida
integrallanuvchi bo’lsa, funksiya sohada ham integrallanuvchi bo’ladi. Bunda
. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda
ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu
formula o’rinli bo’ladi.
. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lsa,
u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu

formula o’rinli bo’ladi
. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lib,
uchun bo’lsa, u holda
bo’ladi.
. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda
funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va
bo’ladi.
. O’rta qiymat haqidagi teoremalar. funksiya sohada berilgan
va u shu sohada chegaralangan bo’lsin. Demak, shunday va o’zgarmas
sonlar mavjudki, uchun
bo’ladi.
Teorema . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda
shunday o’zgarmas, son mavjudki,
bo’ladi, bunda sohaning yuzi.
Teorema . Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lib, u shu
sohada o’z ishorasini o’zgartirmasa va funksiya sohada uzluksiz
bo’lsa, u holda shunday nuqta topiladiki,
bo’ladi.

2.4 . Ikki karrali integral va ko’p o’zgaruvchili funksiyaga oid misollar.
Quyidagi funksiyalarning aniqlanish to’plamini toping (1-7)?
1.
Yechim:
2.
Yechim:

3.
Yechim:
4.
Yechim:
5.
Yechim:
6.
Yechim:
7.
Yechim:

Quyidagi funksiyalarning takroriy limitlarini toping (1-8)?
1.
Yechim:

2.
Yechim:

3.
Yechim:

4.
Yechim:

5.

Yechim:

6.
Yechim:

7.
Yechim:

8.
Yechim:

1. Ushbu funksiyaning nuqtadagi , xususiy hosilalarini
hisoblang?
Yechim: Ta’rifga ko’ra

bo’lib, ga teng. Xuddi
shunga o’xshash
bo’ladi. Demak,
2. Ushbu funksiyaning nuqtada xususiy hosilalari mavjud
emasligini ko’rsating?
Yechim:Ravshanki, da
,
Hosila ta’rifiga ko’ra
bo’ladi. Biroq limitlar mavjud bo’lganligi sababli, qaralayotgan
funksiyaning nuqtada xususiy hosilalari mavjud bo’lmaydi.
3. Ushbu funksiyaning , xususiy hosilalarini hisoblang?
Yechim:Bu funksiyaning o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashda
ni o’zgarmas, o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashda esa, ni
o’zgarmas deb qaraymiz. Unda

bo’ladi.
4. Ushbu funksiyaning ixtiyoriy nuqtada
differensiallanuvchi ekanligini ko’rsating?
Yechim: Berilgan funksiyaning nuqtadagi to’la orttirmasini topamiz:

Agar deyilsa, unda
bo’ladi. Bu esa berilgan funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi ekanini
bildiradi.
5. Ushbu funksiyaning differensialini toping?
Yechim:
formulaga ko’ra bo’ladi.
Endi berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
Demak,

Quyidagi integrallarni hisoblang (1-10)?
1.
2.
3.
4. , agar
Yechim:
5. -uzluksiz funksiya
Yechim: Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi

6. Integralning ishorasini aniqlang?
Yechim: funksiya da
aniqlanmagan.
da bo’lgani uchun berilgan integral manfiy
aniqlangan.
7.
Yechim:
8.
Yechim:

9.
Yechim:
10.
Yechim:

Xulosa
Matematik analiz fani matematikaning fundamental bo’limlaridan biri bo’lib,
u matematikaning poydevori hisoblanadi. Matematik analiz kursi davomida
ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tatbiqlari keltiriladi.
Matematik analiz fanining asosiy vazifasi shu fanning tushuncha, tasdiqlar va
boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtiribgina qolmasdan, balki
talabalarda mantiqiy fikrlash, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga
qo’llash ko’nikmalarini shakllantirishdan iborat. Ushbu ishimda ikkita va undan
ortiq o’zgaruvchili funksiyalar hamda hozirgi vaqtda amaliyotda keng Riman
integrali ham yoritib berildi.Ushbu kurs ishida ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki
karrali integral mavzulari yoritildi. Ko’p o’zgaruvchili funksiya va ikki karrali
integral va uning xossalari, mavjudligi va ularga doir masalalar yechildi.
Jumladan ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallashni ko’proq uchratamiz.
Bugungi kunda zamonaviy matematikaning turli sohalarida, keng tatbiqqa ega
bo’lgan aniq integralning fizika va mehanika nazariyasi bilan shug’ullanilmoqda.

Foydalanilgan adabiyotlar
1. A. Abdurahmonov, A. Narmonov, N. Narmuratov. Matematika tarixi.
Toshkent - 2016
2. T. Azarov, X. Mansurov. Matematik analiz. Toshkent, “O’qituvchi” 1994.
3. G. M. Fixtengolts. Differensial va integral hisob kursi. Toshkent – 1951.
4. B. P. Demidovich. Matematik analizdan misol va masalalar to’plami.
NamDU, 2019.
5. A. Sa’dullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Vorisov, R.
G’ulomov. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami.
Toshkent, “O’zbekiston” 1993 123 – bet.
6. SH. Alimov, R. Ashurov Matematik analiz. Toshkent 2018.
7. O’. Toshmetov, R. M. Turgunboyev. Matematik tahlildan misol va masalalar
to’plami. Toshkent – 2006.

Sotib olish