Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 716.6KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari 2-variant

Sotib olish
Ko ‘ p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy h osilalari Mundarija KIRISH ................................................................................................................. 2 I BOB. FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI ...................................... 6 1.1-§. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligi .............................. 6 1.2-§. Funksiyaning xususiy hosilalari. Funksiyaning differensiali .............. 15 II BOB. YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILA ...................................... 21 2.1-§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar ................................... 21 2.2-§. Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari ......................... 24 XULOSA ............................................................................................................ 29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. ......................................................... 31 1 KIRISH Jismoniy va ma`naviy yetuk yoshlar – ezgu maqsadlarimizga yetishda tayanchimiz va suyanchimizdir. Sh.M. Mirziyoyev O‘quv jarayonida samaradorlikka erishish uchun zamonaviy ilg‘or pedagogik texnologiyalar, noan’anaviy dars usullari va o‘zaro faol o‘quv jarayonini tadbiq qilish lozim. O‘zaro faol usullarni o‘quv jarayoniga qo‘llash uchun esa o‘tiladigan mavzuni talabalar, o‘quvchilar o‘zlari mustaqil tayyorlab kelishlari talab etiladi. Jarayonning samaradorligini oshirish maqsadida innovatsion usullarini qo‘llashda endi biz pedagoglar o‘qituvchilarni o‘qitmaymiz, balki kitobni o‘qishga o‘rgatamiz, shiorini amalga oshiramiz. Buning sababi shundaki, agarda talaba va o‘quvchilar darsga tayyor holda kelmasalar, hech qanaqa faol usuldan samarali foydalanib bo‘lmaydi. Natijada o‘qituvchi yana o‘z-o‘zidan an’anaviy shaklda dars o‘tishiga to‘g‘ri keladi. Tarixiylik tamoyili masalalarni tarixiy bilimlardan foydalanib yechish imkoniyatini beradi. Bu esa ilmiy dunyoqarashning, ijodiy fikrning shakllanishi, bitta dalilning o‘ziga nisbati turli nuqtai nazarlar mantiqini va kurashini hisobga olish va sabab, oqibat bog‘lanishlarini aniqlashga imkon beradi. Ba’zi tarixiy dalillar ta’lim jarayoniga qiziqarlilik elementini olib kirishi mumkinki, bu ham erkin fikrlashning rivojlanishiga olib keladi. Fanlararo aloqalarni amalga oshirish tamoyilini turli o‘quv fanlarida bilish faoliyati aspektida qarash va shu asosda yaxlit masalalar strukturasini yaratish mumkin. Bu esa pirovard natijada, erkin fikrlashning rivojlanishiga jiddiy ta’sir etadi. Kasbiy yo‘nalganlik tamoyilidan erkin fikrlashni rivojlantirish jarayonida foydalanishdan bosh maqsad bo‘lajak pedagog faoliyatining ma’lum sifatlarini rivojlantirishga yo‘naltirishni ko‘zda tutadi. Talabalarda kasbga yo‘nalganlikni rivojlantirish bu ularda bo‘lajak kasbiga munosabat, qiziqish, unga bo‘lgan maxsus qobiliyatlarini mustahkamlash demakdir. 2 Mustaqil o‘qib bilim orttirish tamoyili shaxsning o‘zi tomonidan boshqariladigan maqsadga yo‘nalgan bilim faoliyatini ta’minlaydi. Qo‘yilgan masalaning o‘z yechimini izlash maqsadlarini aniqlash, mustaqil xulosalar qilishga intilish, fan, texnika,madaniyatning turli sohalarida izchil bilim olish shaxs tomonidan erkin fikrlash madaniyati rivojlanganligining yuqori darajasiga erishilganligi haqida guvohlik beradi. Zero, Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev ta’kidlaganidek: Yoshlarimizning bo‘sh vaqti dushmanlarimizning ish vaqti. 2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishlari bo‘yicha Harakatlar strategiyasining 4.4-bo‘limi ta’lim va fan sohasini rivojlantirishga qaratilgan bo‘lib, unda uzluksiz ta’lim tizimini yanada takomillashtirish yo‘lini davom ettirish, sifatli ta’lim xizmatlariga imkoniyatlarni oshirish, mehnat bozorining zamonaviy ehtiyojlariga muvofiq yuqori malakali kadrlar tayyorlash; ta’lim muassasalarini qurish, rekonstruksiya qilish, kapital ta’mirlash, ularni zamonaviy o‘quv va laboratoriya uskunalari, kompyuter texnikasi va o‘quv-metodik qo‘llanmalar bilan jihozlash bo‘yicha ishlarni amalga oshirish orqali ularning moddiy-texnik bazasini mustahkamlash yuzasidan aniq maqsadga qaratilgan chora-tadbirlarni ko‘rish; bolalar maktabgacha ta’lim muassasalari tarmog‘ini kengaytirish, bolalarning har tomonlama intellektual, estetik va jismoniy rivojlanishi uchun maktabgacha ta’lim muassasalaridagi shart-sharoitlarni tubdan yaxshilash, bolalarning maktabgacha ta’lim bilan qamrab olinishini jiddiy oshirish va uning qulayligini ta’minlash, pedagog va mutaxassislarning malaka darajasini yuksaltirish; umumiy o‘rta ta’lim sifatini tubdan oshirish, chet tillar, informatika, matematika, fizika, ximiya, biologiya kabi boshqa muhim va talab yuqori bo‘lgan predmetlarni chuqurlashtirilgan tarzda o‘rganish; bolalarni sport bilan ommaviy tarzda shug‘ullanishga jalb qilish, ularni musiqa va san’at olami bilan bog‘lash maqsadida yangi bolalar sporti ob’ektlarini, bolalar musiqa va san’at maktablarini qurish, mavjudlarini rekonstruksiya qilish; kasb-hunar kollejlari o‘quvchilarini bozor iqtisodiyoti va ish beruvchilarning ehtiyojlariga javob 3 beradigan mutaxassisliklar bo‘yicha tayyorlash hamda ishga joylashtirish borasidagi ishlarni takomillashtirish; ta’lim va o‘qitish sifatini baholashning xalqaro standartlarini joriy etish asosida oliy ta’lim muassasalari faoliyatining sifati hamda samaradorligini oshirish, oliy ta’lim muassasalariga qabul kvotalarini bosqichma-bosqich ko‘paytirish; ilmiy-tadqiqot va innovatsiyafaoliyatini rag‘batlantirish, ilmiy va innovatsiya yutuqlarini amaliyotga joriyetishning samarali mexanizmlarini yaratish, oliy o‘quv yurtlari va ilmiy-tadqiqotinstitutlari huzurida ixtisoslashtirilgan ilmiy-eksperimental laboratoriyalar, yuqori texnologiya markazlari tashkil etish rejalashtirilgan. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirilganlik, mantiqiy fikrlash, topshiriq xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni dildli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarni hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘play olishni, qobiliyat va faollikni, tasavvurning rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash 4 va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha. 5 I BOB. FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI 1.1-§. Ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligiR2 fazoda D va E to ‘ plamlar berilgan bo‘lsin. 1.1.1-ta’rif . Agar D to‘plamning har bir (x,y) haqiqiy sonlar juftiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy z soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi z= f(x,y), z= z(x,y) , … kabi belgilanadi. Bu yerda x va y argumentlar (yoki erkli o ‘ zgaruvchilar ), z ikki x va y o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o ‘ zgaruvchi ) deb ataladi. D to‘plamga f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasi , E to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o ‘ zgarish sohasi ) deyiladi. Masalan . Perimetri a ga teng uchburchakning ikki tomoni x va y ga teng. Uchburchakning yuzasini x va y orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi tomoni z bo ‘ lsin deymiz. U holda a= x+ y+z bo ‘ ladi. Bundan z= a− x− y. Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz: S= √p(p− x)(p− y)(p− z), bu yerda p= a 2 . p va z ni Geron formulasiga qo ‘ yamiz: S= √ a 2 ( a 2 − x)( a 2 − y)( a 2 − a+ x+ y) yoki S(x,y)= 1 4√a(a− 2x)(a− 2y)(2x+2y− a) . 6 Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida haqiqiy sonlarning har bir (x,y) juftiga Oxy tekislikning yagona P(x;y) nuqtasi mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y) nuqtaning funksiyasi deb qarash va z= f(x,y) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy tekislik nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi. Argumentlarning tayin x= x0 va y= y0 qiymatlarida (yoki P0(x0;y0) n uqtada) ( z= f(x,y) funksiyaning qabul qiladigan z0 xususiy qiymati z0= z|x=x0 y=y0 yoki z0= f(x0,y0) (yoki z0= f(P0) ) deb yoziladi. 1.1.1-misol. f(x,y)= y(y2− 1) x funksiyaning A(3;− 2),B(y;3),C (x+2;x+1) nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun f(x,y) funksiy a ga bu nuqtalarning koordinatalarini qo ‘ yamiz: f(A)= − 2⋅((− 2)2− 1) 3 =− 2; f(B )= 3⋅(32− 1) y = 24 y ; f(C )= (x+1)⋅((x+1)2− 1) x+2 = x(x+1). z= f(x,y) funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin. z= f(x,y) funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi satriga x o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga y o‘zgaruvchining qiymatlari va qolgan kataklarga z funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi. Bunda funksiyaning x va y ning berilgan qiymatlariga mos qiymati bu qiymatlar yotgan satr va ustunlarning kesishmasida joylashadi. Masalan. 1.1.1-jadvalda ihifhvhihu z= z| x=7 y=0,06 =6. Grafik usuldagi berilishida z= f(x,y) 7 1.1.1- jadval funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1.1.1-rasmda z= x2+ y2− 1 funksiyaning grafigi tasvirlangan. Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda z= f(x,y) formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda F(x,y,z)=0 tenglik bilan berilishi mumkin. Funksiya oskormas ko‘rinishda berilganda F(x,y,z)=0 tenglikdagi har bir (x,y) sonlar juftiga yagona z sonning mos qo‘yilishi talab etiladi. Analitik usulda berilganda funksiyaning aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula ma’noga ega bo‘ladigan barcha nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. 1.1.2-misol. z= 3x2+ y2 y− x f unksiya y= x shartda aniqlanmagan. Demak, y≠ x . Geometrik nuqtai- nazardan y≠ x shart funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik y= x to ‘ g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu to ‘ g‘ri chiziqdan pastda yotadi (1.1.2-rasm). 1.1.3-misol. z= arcsin (x2+ y2− 8) Funksiya − 1≤ x2+ y2− 8≤ 1 shartda aniqlangan. Bu shart 7≤ x2+ y2≤ 9 shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy chiziqlari bo ‘ lgan x2+ y2= 7 va x2+ y2= 9 aylanalar 8 1.1.1-rasm ham bu sohaga tegishli. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi koordinatalar boshida bo ‘ lgan, radiuslari mos ravishda √7 va 3 ga teng aylanalar orasida va bu aylanalarda yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo ‘ ladi (1.1.3-rasm). Ikkidan ortiq o ‘ zgaruvchining funksiyasi R3 fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1.1.2-ta’rif . Agar D to‘plamning har bir (x,y,z) haqiqiy sonlar uchligiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy u soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda uch o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi belgilanadi: u= f(x,y,z),u= u(x,y,z),F (x,y,z,u)= 0,.... Uch o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y;z) nuqtaning funksiyasi deb qarash va u= f(x,y,z) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda uch o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxyz fazodagi nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun fazodan iborat bo‘ladi. 1.1.4-misol. u= √3x− 2 y+z− 6 funksiyalarning aniqlanish sohasini topamiz. Bu funksiya 3x− 2y+z− 6≥ 0 yoki 3x− 2y+z≥ 6 shartda haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi Oxyz koordinatalar fazosining 3x− 2y+z− 6= 0 tekislikda va bu tekislikdan yuqorida yotgan nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi mumkin. Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga noqulay bo‘lgani uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik usulda beriladi. 9 1.1.3-rasm1.1.2-rasm 1.1.4-rasm . .To‘rt o‘zgaruvchining, besh o‘zgaruvchining va umuman n o‘zgaruvchining funksiyasi yuqoridagi kabi ta’riflanadi va belgilanadi. n o‘zgaruvchining y= f(x1,x2,...,xn) funksiyasi ko‘pincha Rn fazodagi P(x1;x2;...;xn) nuqtaning funksiyasi sifatida qaraladi va y= f(P) deb yoziladi. n o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi (x1,x2,...,xn) haqiqiy sonlar sistemasining D to ‘ plamidan iborat bo ‘ ladi. Bunda t o‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda) namoyish qilib bo‘lmaydi. Funksiyaning limiti Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksiligi bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning δ− atrofiga tushunchasiga asoslanadi. P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb √(x− x0)2+(y− y0)2< δ (yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0 nuqtada bo‘lgan va radiusi δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha P nuqtalardan tashkil topadi (1.1.4-rasm). 1.1.3-ta’rif . Agar ∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun 10 |f(P)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A songa z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi yoki P→ P0 dagi limiti deyiladi va lim ¿x→x0¿ y→y0¿ ¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y)= A yoki limP→P0 f(P)= A kabi belgilanadi. Quyida bu teoremalarni keltiramiz. 1.1.1-teorema . Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)± g(P))= limP→P0 f(P)± limP→P0 g(P) . 1.1.2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng ya’ni limP→P0 (f(P)⋅g(P))= limP→P0 f(P)⋅limP→P0 g(P) . 1.1.1-natija . Funksiya P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi. 1.1.2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni limP→P0 f(C )=C . 1.1.3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni limP→P0 (k⋅f(P))= k⋅limP→P0 f(P ),k∈R. 1.1.4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)n)=(limP→P0 f(P))n , n∈N . 1.1.3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim P→P0 f(P) g(P)= limP→P0 f(P) limP→P0 g(P ) , limP→P0 g(P)≠ 0 . 11 1.1.4-teorema . Agar P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va lim P→P0 f(P )= lim P→P0 g(P)= A bo‘lsa, u holda lim P→P0 ϕ(P)= A bo‘ladi. 1.1.5-misol . lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo ‘ llab, topamiz: lim (x,y)→(2,−1) x=2 va lim (x,y)→(2,−1) y=−1 . U holda 1.1.6-misol. lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to ‘ g‘ri chiziq bo ‘ ylab yaqinlashamiz. U holda lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y = lim x→0 √kx 2+9− 3 (1− k)x = lim x→0 kx 2 (1− k)x(√kx 2+9+3) = = lim x→0 kx (1− k)(√kx 2+3+3) = 0 6(1− k) = 0. Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi limx→x0 (limy→y0 f(x,y)) va limy→y0 (limx→x0 f(x,y)) limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y) karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. 1.1.7-misol. Ushbu 12 funksiyaning aniqlanish to‘plami topilsin. Qaralayotgan munosabat ma’noga ega bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak. Ravshanki, bo‘lib, u fazoda bo‘lib, u fazoda to‘plamni ifodalaydi. Demak, berilgan funksiyaning aniqlanish to‘plami bo‘ladi. 1.1.8-misol. Ushbu funksiyaning dagi limiti nol ekanligi ko‘rsatilsin. Bu funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta shu to‘plamning limit nuqtasi. 13 a) Geyne ta’rifi bo‘yicha: nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik olamiz. Unga mos ketma ketlik uchun quyidagicha bo‘lib, da bo‘ladi. Demak, b) Koshi ta’rifi bo‘yicha: songa ko‘ra deb olinsa, u holda tengsizlikni qanoatlantruvchi barcha nuqtalarda tengsizlik o‘rinli bo’ladi. Bu esa ekanligini bildiradi. 1.1.9-misol. Quyidagi funksiyaning dagi limitining mavjud emasligi ko‘rsatilsin. 14 Bu funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, shu to‘plamning limit nuqtasi nuqtaga intiluvchi ikkita ketma-ketliklar olinsa, ular uchun mos ravishda bo‘ladi. Bu esa da berilgan funksiyaning limiti mavjud emasligini bildiradi. 1.2-§. Funksiyaning xususiy hosilalari. Funksiyaning differensiali z= f(x,y) funksiya D ⊂ R2 to‘plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, P0(x0;y0) , P1(x0+Δx ;y0) , P2(x0;y0+Δy ) va P3(x0+Δx ;y0+Δy ) nuqtalar D to‘plamga tegishli bo‘lsin, bu yerda Δx ,Δy − argumentlarning orttirmalari. Δxz= f(P1)− f(P)= f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) va Δyz= f(P2)− f(P)= f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmalarga z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x va y o ‘ zgaruvchilar bo ‘ yicha xususiy orttirmalari deyiladi. Δz = f(P3)− f(P)= f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmaga z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to ‘ liq orttirmasi deyiladi. 1.2.1-misol. z= xy +x2− y2 funksiyaning M 0(1;−1) nuqtadagi xususiy va to ‘ liq orttirmalarini Δx = 0,1 va Δy =− 0,2 lar uchun topamiz: 15 Δ xz= (x+ Δx )y+(x+ Δx )2− y2− xy − x2+ y2= = (1+0,1 )⋅(− 1)+(1+0,1 )2− 1⋅(− 1)− 12= 0,01 ; Δ yz= x(y+ Δy )+ x2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2= =1⋅(−1−0,2 )−(−1−0,2 )2−1⋅(−1)+(−1)2=−0,64 ; Δz = (x+ Δx )⋅(y+ Δy )+(x+ Δx )2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2= = (1+0,1 )⋅(− 1− 0,2 )+(1+0,1 )2− (− 1− 0,2 )2− 1⋅(− 1)− 12+(− 1)2= − 0,55 . 1.2.1-ta’rif . Agar Δxz Δx nisbatining Δx → 0 dagi limiti mavjud bo ‘ lsa, bu limitga z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x o ‘ zgaruvchi bo ‘ yicha xususiy hosilasi deyiladi va ( ∂z ∂x)P0 ,( ∂ f ∂x)P0 ,zx '(x0,y0),fx '(x0,y0) ko ‘ rinishlarda belgilanadi. Demak, fx '(x0,y0)= lim Δx→0 Δxz Δx =lim Δx→0 f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) Δx . z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi y o ‘ zgaruvchi bo ‘ yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi: fy '(x0,y0)=lim Δy→0 Δyz Δy =lim Δy→0 f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) Δy . n ( n≥ 2 ) o ‘ zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham z= f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi. 1.2.2-misol. z= ln tg x y funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: ∂z ∂x = 1 tg x y ⋅ 1 cos 2x y ⋅( x y)x′= 2 sin 2 x y ⋅1 y = 2 ysin 2x y , 16 ∂ z ∂ y= 1 tg x y ⋅ 1 cos 2x y ⋅( x y)y′= 2 sin 2x y ⋅(− x y2)= − 2x y2sin 2x y . 1.2.3-misol. u= xyz + x2− y3+ z funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: ∂u ∂x = yz +2x, ∂u ∂y = xz − 3y2, ∂u ∂z = xy +1. z= f(x,y) funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz. Funksiyaning differensiallanuvchanligi z= f(P) funksiya P(x,y) nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin. 1.2.2-ta’rif . Agar z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to ‘ liq orttirmasini Δz = AΔx + BΔy +αΔx + βΔy (1.2.1) ko ‘ rinishda ifodalash mumkin bo ‘ lsa, u holda z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda A,B− Δx ,Δy ga bog ‘ liq b o‘ lmagan sonlar, Δx → 0 ,Δy → 0 da α→ 0 ,β→ 0. 1.2.1-teorema . Agar z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diffrensiallanuvchi bo ‘ lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo ‘ ladi. 1.2.2-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo ‘ lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ lsa, u holda u shu nuqtada A= fx'(x,y) va B= fy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo ‘ ladi. Shunday qilib, z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo ‘ lishi yetarli bo ‘ lmaydi. 17 Bunda qo ‘ shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o ‘ rinli bo ‘ ladi. 1.2.3-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo ‘ lishining yetarli sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqta ning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo ‘ lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ ladi. Funksiyaning to‘liq differensiali z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diferrensiallanuvchi b o‘ lsin. 1.2.3-ta’rif . Δz to ‘ liq orttirmaning Δx ,Δy larga nisbatan chiziqli bo ‘ lgan bosh qismi AΔx +BΔy ga z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to ‘ liq differensiali deyiladi va u dz bilan belgilanadi. Demak, ta’rifga ko‘ra dz = AΔx +BΔy yoki 2-teoremaga binoan dz = fx '(x,y)Δx + fy '(x,y)Δy . Shunday qilib, funksiyaning to ‘ liq differensiali xususiy hosilalarning mos argumentlar orttirmasiga ko ‘ paytmasining yig ‘ indisiga teng. To ‘ liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining tengligi Δx = dx ,Δy = dy ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin: dz = fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy (1.2.2) yoki dz = dxz+dyz, bu yerda dxz= fx'(x,y)dx , dyz= fy '(x,y)dy − z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi xususiy differensiallari. 1.2.4-misol. z= 3 x y funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 18 ∂z ∂x = 3 x yln 3⋅1 y , ∂ z ∂ y= 3 x yln 3⋅(− x y2) . U holda dxz= 1 y 3 x yln 3dx , dyz=− x y23 x yln 3⋅dy , dz = 1 y 3 x yln 3⋅(dx − x y dy ). Ko ‘ pchilik masalalarni yechishda z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to ‘ liq differensialiga taqriban tenglashtiriladi, ya’ni Δy ≈ dy deb olinadi. Demak, f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0)≈ fx '(x0,y0)Δx + fy '(x0,y0)Δy yoki f(x,y)≈ f(x0,y0)+ fx '(x0,y0)Δx + fy '(x0,y0)Δy . (1.2.3) (1.2.3) taqribiy tenglikka z= f(x,y) funksiyani P0(x0;y0) nuqta atrofida chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir A kattalikning taqribiy qiymatini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi: 1o . A ni biror f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi qiymatiga tenglashtiriladi, ya’ni A= f(x,y) deb olinadi; 2o . P0(x0;y0) nuqta P(x;y) nuqtaga yaqin va f(x0,y0) ni hisoblash qulay qilib tanlanadi; 3o . f(x0,y0) hisoblanadi; 4o . fx '(x,y),fy '(x,y) lar topilib, fx '(x0,y0),fy '(x0,y0) lar hisoblanadi; 5o . x,y,x0,y0,f(x0,y0),fx '(x0,y0),fy '(x0,y0) qiymatlar (1.2.2),(1.2.3) formulaga qo ‘ yiladi. 19 1.2.5-misol. ni taqribiy hisoblaymiz. 1o . A= arctg ( 1,98 1,03 − 1) , f(x,y)= arctg ( x y − 1) deymiz. U holda f(x,y)= A , x=1,98 ,y=1,03 ; 2o . x0= 2,y0= 1 , ya’ni P0(2;1) deb olamiz; 3o . f(2,1 )= arctg ( 2 1 − 1)= π 4 = 0,785 ; 4o . fx '(x,y)= 1 1+( x y − 1) 2⋅1 y , fy '(x,y)= 1 1+( x y − 1) 2⋅(− x y2), fx '(2,1 )= 1 2 = 0,5 ,fy '(2,1 )=− 1 ; 5o . arctg ( 1,98 1,03 − 1)≈ 0,785 +0,5 ⋅(1,98 − 2)− 1⋅(1,03 − 1)= 0,745 . 20 II BOB. YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILA 2.1-§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallarP(x;y) nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan z= f(x,y) funksiya shu atrofda ∂z ∂x = fx '(x,y), ∂z ∂y = fy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo ‘ lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi. Bu hosilalar x va y o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo ‘ lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo ‘ lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi: ∂ ∂x( ∂z ∂x)= ∂2z ∂x2= zxx ''= fx2''(x,y); ∂ ∂x( ∂z ∂y)= ∂2z ∂y∂x = zxy ''= fxy ''(x,y); ∂ ∂y( ∂z ∂x)= ∂2z ∂x∂y = zyx ''= fyx ''(x,y); ∂ ∂y( ∂z ∂ y)= ∂2z ∂y2= zyy ''= fy2''(x,y). Uchinchi, to‘rtinchi va umuman n− tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi. fxy ''(x,y) va fyx ''(x,y) hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi. 2.1.1-teorema . Agar z= f(x,y) funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalari P(x;y) nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo ‘ lsa, u holda ular shu nuqtada teng bo ‘ ladi, ya’ni fxy ''(x,y)= fyx ''(x,y). Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o ‘ rinli 21 bo ‘ ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun fxyx'''(x,y,z)= fx2y '''(x,y,z)= fyx2'''(x,y,z) tenglik bajariladi. z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to ‘ liq differensiali dz = fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy ga birinchi tartibli to ‘ liq differensial deyiladi. P(x;y) nuqtada z= f(x,y) funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to ‘ liq differensial d2z= d(dz ) kabi aniqlanadi. Uni topamiz: d(dz )= d(fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy )= =(fx '(x,y)dx +fy '(x,y)dy { )x 'dx +¿ (fx '(x,y)dx +fy '(x,y)dy { )y 'dy = ¿ =(fx2''(x,y)dx +fxy''(x,y)dy { )'dx +¿ (fyx''(x,y)dx + fy2''(x,y)dy )dy . Bundan d2z= fx2''(x,y)dx 2+2 fxy''(x,y)dydx + fy2dy 2, (2.1.1) bu yerda dx 2= (dx )2,dy 2= (dy )2. (2.1.1) formula simvolik ko ‘ rinishda d2z= ( ∂ ∂ x dx + ∂ ∂ y dy ) 2 ⋅z kabi yoziladi. 2.1.1-misol. Ushbu funksiyaning xususiy hosilalari topilsin. Aytaylik, bo‘lsin. U holda 22 bo‘ladi. Endi bo‘lsin. U holda ta’rifga binoan bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya da xususiy hosilalarga ega. 2.1.2-misol. Ushbu funksiyani nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi ko‘rsatilsin. Haqiqatdan ham, nuqtada funksiyaning orttirmasi bo‘lib, unda deyilsa, natijada bo‘ladi. Bu esa berilgan funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi ekanligini bildiradi. 23 2.2-§. Bir necha o ‘ zgaruvchi funksiyasining ekstremumlariz= f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va P0(x0;y0)∈ D bo ‘ lsin. 2.2.1-ta’rif . Agar P0(x0;y0) nuqtaning shundav δ− atrofi topilsaki, bu atrofning barcha P0(x0;y0) nuqtadan farqli P(x;y) nuqtalarida f(x,y)< f(x0,y0) (f(x,y)> f(x0,y0)) tengsizlik bajarilsa, P0(x0;y0) nuqtaga f(x,y) funksiyaning maksimum ( minimum ) nuqtasi deyiladi. Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi. Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. 2.2.1-teorema ( ekstremum mavjud bo ‘ lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo ‘ lsa, u holda bu nuqtada ∂z ∂x va ∂z ∂y xususiy hosilalar nolga teng bo ‘ ladi yoki ulardan hech bo ‘ lmaganda bittasi mavjud bo ‘ lmaydi. 24 P0(x0,y0) nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo ‘ lsin. U holda fx '(x0,y0)= 0,fy '(x0,y0)= 0 bo ‘ ladi. Bu hosilalarni z= f(x,y) tenglama bilan berilgan sirtga P0(x0;y0) nuqtada o ‘ tkazilgan urinma tekislikning z− z0= fx '(x0,y0)(x− x0)+ fy '(x0,y0)(y− y0) tenglamasiga qo ‘ ysak, z− z0= 0 yoki z= z0 kelib chiqadi. Bundan ekstremum nuqtalarida sirtga o ‘ tkazilgan urinma tekislik Oxy koordinata tekisligiga parallel bo ‘ ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki o ‘ zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi. Xususiy hosilalar nolga teng bo ‘ ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi. Xususiy hosilalar nolga teng bo ‘ ladigan yoki ulardan hech bo ‘ lmaganda bittasi mavjud bo ‘ lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi. Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo ‘ lishi yoki ega bo ‘ lmasligi mumkin. Masalan, z= xy funksiya uchun O(0;0) nuqta kritik nuqta bo ‘ ladi, chunki bu nuqtada har ikkala zx '= y,zy '= x xususiy hosila nolga teng va f(0,0 )=0. Bunda O(0;0) nuqtaning atrofida f(x,y)> f(0,0 ) bo ‘ ladigan nuqtalar ham ( I va III chorak nuqtalari) f(x,y)<f(0,0 ) bo ‘ ladigan nuqtalar ham ( II va IV chorak nuqtalari) mavjud bo ‘ ladi. Shu sababli O(0,0 ) nuqta ekstremum nuqta bo ‘ lmaydi. Bunday O(0;0) nuqtaga minimaks nuqta deyiladi. 25 2.2.2-teorema ( ekstremum mavjud bo ‘ lishining yetarli sharti ). z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) statsionar nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va bunda fx2''(x0,y0)= A, fxy ''(x0,y0)= B, fy2''(x0,y0)=C bo‘lsin. U holda a) agar Δ= AC − B2>0 bo‘lsa, z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo ‘ lib, bunda A<0 (yoki C <0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta maksimum nuqta, A>0 (yoki C >0 ) bo ‘ lganda P0(x0;y0) nuqta minimum nuqta bo ‘ ladi; b) agar Δ= AC − B2<0 bo ‘ lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo ‘ lmaydi; c) agar Δ= AC − B2= 0 bo ‘ lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo ‘ lishi ham, mavjud bo ‘ lmasligi ham mumkin ( bu holda qo ‘ shimcha tekshirishlar o ‘ tkaziladi). 2.2.1-teoremaga asoslangan ikki o ‘ zgarubchi funksiyasini ekstremumga tekshirish tartibi bilan tanishamiz. z= f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish tartibi : 1o. ∂z ∂x , ∂z ∂y xususiy hosilalar topiladi; 2o. Statsionar nuqtalar aniqlanadi; 3o. ∂2z ∂x2,∂2z ∂y2, ∂2z ∂x∂y xususiy hosilalar topiladi; 4o. A= ∂2z ∂ x2,C = ∂2z ∂ y2, B= ∂2z ∂x∂y hususiy hosilalarning statsionar nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi; 5o. Har bir statsionar nuqtada Δ= AC − B2 ning qiymati hisoblanadi va 2.2.2-teorema asosida xulosa chiqariladi. 26 2.2.1-misol. z= x2+2 y2− 2x+4 y− 3 funksiyani ekstremumga tekshiramiz. 1o. ∂z ∂x = 2x− 2, ∂z ∂y = 4y+4 . 2o. {2(x−1)=0,¿¿¿¿ sistemani yechib, statsionar nuqtani topamiz: P(1;−1). 3o. Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: ∂2z ∂x2=2, ∂2z ∂x∂y =0, ∂2z ∂y2= 4. 4o. Demak, barcha nuqtalarda, jumladan P(1;−1) nuqtada A= 2, B=0, C= 4. 5o. Δ= AC − B2= 2⋅4= 8>0, bunda A>0. Demak, P(1;−1) nuqta minimum nuqta va zmin = z(1;− 1)= 12+2⋅(− 1)2− 2⋅1+4⋅(− 1)− 3=− 6. 2.2.2-misol. Kimyoviy reaksiyada x , y va z miqdordagi konsentratsiyalar bilan 3 xil modda ishlatiladi. Reaksiya v vaqt doimiyligi ushbu qonun bilan ifodalanadi v = k x 2 yz x,y va z konsentratsiyalar maksimal v tezlikda reaksiya borishni toping. Yechish: x+y+z=100 (%) . Shunda 27 (2.2.1) funksiya hosilasini topamiz v : Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib chiqadi: x=0 va y=0 maksimum funksiya (2.2.1) mohiyatini bermaydi va tenglik qisqartmasini quyidagi ko ‘ rinishda tuzib olamiz: Aniqlangan bu sistemadan natijani olamiz. nuqtani va shartlardan foydalanib , ekanligini osongina tekshiramiz . 28 XULOSA Ushbu kurs ishida ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari, differensiali hamda yuqori tartibli hosilalari mavzusi batafsil o‘rganildi. Matematik analiz fanining muhim bo‘limlaridan biri hisoblangan ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy masalalarni yechishda ham katta ahamiyat kasb etishi ko‘rsatib berildi.Kurs ishining birinchi bobida ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi tushunchalari yoritildi. Funksiyaning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi hamda geometrik talqini misollar yordamida tushuntirildi. Shuningdek, funksiyaning xususiy orttirmalari, xususiy hosilalari va to ‘ liq differensiali haqida nazariy ma’lumotlar berilib, ularni hisoblash usullari misollar asosida ko ‘ rib chiqildi. Funksiyaning differensiallanuvchanligi va uning zaruriy hamda yetarli shartlari ham bayon etildi. Ikkinchi bobda esa yuqori tartibli xususiy hosilalar va differensiallar tushunchasi o ‘ rganildi. Aralash hosilalarning tengligi haqidagi teorema, yuqori tartibli differensial formulalari hamda ularning qo ‘ llanilishi misollar yordamida ko ‘ rsatildi. Bundan tashqari, bir necha o ‘ zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari mavzusi ham tahlil qilinib, statsionar va kritik nuqtalarni aniqlash usullari yoritildi. Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlarini topishning zaruriy va yetarli shartlari misollar yordamida tushuntirildi. Mazkur kurs ishini bajarish davomida ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiyalar mavzusi bo ‘ yicha nazariy bilimlar mustahkamlandi hamda amaliy misollar yechish ko ‘ nikmalari hosil qilindi. O ‘ rganilgan mavzu matematik analiz fanining keyingi bo ‘ limlarini chuqur o ‘ zlashtirish uchun muhim nazariy asos bo ‘ lib xizmat qiladi. Shu bilan birga, ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiyalar fizik, iqtisodiy, texnik va boshqa ko ‘ plab sohalardagi jarayonlarni matematik modellashtirishda keng qo ‘ llanilishi bilan ham ahamiyatlidir. 29 Men ushbu kurs ishimda ‘‘ Ko ‘ p o ‘ zfaruvchili funksiyaning xususiy xosilalari mavzusini yoritishga xarakat qildim. Bu kurs ishi kirish ikkita bob xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Kurs ishini bajarish jarayonida bobga bo ‘ lib o ‘ rgandim. 1. Birinchi b о bda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari, limiti, uzluksuzligi haqida ma’lumotlar berilgan. Ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiya haqida ta’rif va teoremalar berilgan. 2. Ikkinchi b о bda yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar, bir nech o‘zgaruvchi funksiyaning ekstremymlari haqida ta’rif va teromalar ko‘rsatilgan. Kelajakda talaba va izlanuvchilar ilmiy maqola va to ‘ plamlar nazariyasini kengroq o ‘ rganishlari va to ‘ plamlarga oid teoremalarni isbotlashda misollarni yechishlarida ushbu kurs ishimdan keng foydalanishlari mumkin bo ‘ ladi. 30 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. 1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020 - yil 23 -sentabr, O‘RQ-637-son. 2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2-martdagi “ Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida ”gi 36-son Qarori. 3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27-martdagi “Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab chiqish hamda joriy etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” 157-son Qarori. 4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2018-yil 10- sentabrdagi “Oliy ta’lim muassasasi professor-o‘qituvchilar tarkibining o‘quv yuklamasi hamda o‘quv-uslubiy, ilmiy-tadqiqot va “ustoz-shogird” ishlarini belgilash qoidalarini tasdiqlash to‘g‘risida” gi 20-2018-son buyrug‘i. 5. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2021-yil 19- oktabrdagi “Oliy ta’limning davlat ta’lim standarti. Asosiy qoidalar” O‘zbekiston Respublikasining davlat standartini tasdiqlash to‘g‘risida”gi 35- 2021-son buyrug‘i. 6. Egamberdiyev F.T. va boshqalar. “Iqtisodiyot nazariyasi” fanidan kurs ishini bajarish uchun uslubiy qo‘llanma. - Toshkent, O‘zMU, 2019. 7. Ilxamov Sh.I., Xudoyqulov A. Kurs ishlarini yozish va himoya qilish bo‘yicha uslubiy qo‘llanma. - Termiz. TDU, 2023. ELEKTRON TA’LIM RESURSLARI 1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/ 2. http://www.allmath.ru/ 3. http://www.pedagog.uz/ 4. http://www.ziyonet.uz/ 5. http://window.edu.ru/window/ 6. http://ilib.mccme.ru/#begin 7. http://kvant.mirror1.mccme.ru/ 31 32
Sotib olish