Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 727.6KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 13 Iyun 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari.Teylor formulasi 2

Sotib olish
“ Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari.Teylor formulasi mavzusiga MUNDARIJA: KIRISH………………………………………………………………………...3 1-§. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya, uning limiti va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi ……………………………………………………6 2-§. Ko‘p o‘ zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari va differensiallanuvchanligi ……………………………………………………...15 3- § . Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensiali ……………………….....18 4- § . Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiali …………………………………………………………………….19 5- § . Teylor formulasi ………………………………………………………......25 XULOSA……………………………………………………………………....27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………………………..28 Kirish Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqlliy va jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan, har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir. Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”. Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – PAGE \* MERGEFORMAT5 axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb- mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz kursining “ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi.” mavzusini chuqur o‘rganish. Kurs ishining ob’ekti: Barcha oliy o‘quv yurtlarining Fizika-Matematika Fakultetlarini Marematika yo‘nalishlarida marematik jarayon. Kurs ishining predmeti: Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning qay darajada kengligi. Kurs ishining vazifalari: 1.Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish; 2.Matematik analiz “Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya” mavzusini chuqur o‘rganish; 3.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida asosiy tushunchalar; 4.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning hosila va differensiali haqida asosiy tushunchalar; 5.Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish; Kurs ishining tuzilishi : Bu kurs ishi kirish, 5 ta band, 27 ta sahifa, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. PAGE \* MERGEFORMAT5 1-§.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya, uning limiti va ko’p o’zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi 1- ta’rif. Biror t o‘ plam berilgan b o‘ lsin. Agar to‘plamdagi har bir nuqtaga biror qoida yoki qonunga ko‘ra bitta haqiqiy son mos qo‘yilgan bo‘lsa to‘plamda ko‘p o‘zgaruvchili (m ta o‘zgaruvchili ) funksiya berilgan deb ataladi va uni yoki kabi belgilanadi. Bunda -funksiyaning aniqlanish to‘plami, erkli o‘zgaruvchilar funksiya argumentlari, erksiz o‘zgaruvchi o‘zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi. nuqta bitta bilan belgilanishini e’tiborga olib, bundan keyin deyarli hamma vaqt o‘rniga ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi formula quyidagicha yoziladi: yoki 2-ta’rif. Funksiyaning berilish to‘plamidan olingan nuqtaga mos keluvchi son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi. Funksiyaning limiti. fazoda biror to‘plam olaylik. nuqta shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. U holda to‘plamning nuqtalaridan ga intiluvchi turli ketma-ketliklar tuzish mumkin: Endi shu to‘plamda biror funksiya berilgan bo‘lsin. 3-ta’rif (GEYNE). Agar to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan, ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik olinganda ham mos ketma- ketlik hamma vaqt yagona ( chekli yoki cheksiz) limitga intilsa, funksiyaning nuqtadagi (yoki dagi) limiti deb ataladi va u quyidagicha belgilanadi. yoki da Funksiya limitini boshqacha ta’riflash ham mumkin. 4-ta’rif (KOSHI). Agar son uchun shunday topilsaki, ushbu tengsizlikni qanotlantiruvchi barcha nuqtalarda tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi (yoki dagi) limiti deb ataladi. Yuqoridagi yoki da belgilashlarni hamda Ekanligini e’tiborga olib, quyidagicha da ham bo‘ladi. fazoda biror to‘plam berilgan bo‘lib, esa shunday to‘plamaning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu to‘plamda funksiya berilgan. 5-ta’rif (GEYNE). Agar to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan har qanday ketma-ketlik uchun da mos ketma-ketlik hamma vaqt yagona limitga intilsa, funksiyaning dagi limiti deb ataladi va u quyidagicha belgilanadi. PAGE \* MERGEFORMAT5 6-ta’rif (KOSHI). Agar son uchun shunday topilsaki, ushbu tengsizlikni qanotlantiruvchi barcha nuqtalarda tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning dagi limiti deb ataladi. kabi belgilanadi. Biz yuqorida ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uchun limitlar tushunchasini boshqacha kiritilishi ham mumkunligini ko‘rdik. Ulardan farq etish uchun , ba’zan bu limit karrali limit deb ham ataladi. 1-misol. limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz: va . U holda 2-misol. limitni topish uchun (0,0) nuqtaga to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda 1-rasmYuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi va limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Eslatma. Bir o’zgaruvchili funksiyalardagidek da va funksiyalar yeg’indisi, ko’paytmasi va nisbatidan iborat bo’lgan funksiyalarning limitga ega bo’lishidan bu funksiyalarning har birining limitga ega bo’lishi kelib chiqadi. 3-misol. funksiya chiziqda aniqlanmagan. Demak, . Geometrik nuqtai- nazardan shart funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik to‘g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu to‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi. PAGE \* MERGEFORMAT5 4-misol. funksiya shartda aniqlangan. Bu shart shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy chiziqlari bo‘lgan va aylanalar ham bu sohaga tegishli. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi koordinatalar boshida bo‘lgan, radiuslari mos ravishda va ga teng aylanalar orasida va bu aylanalarda yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo‘ladi (3-rasm). Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib, nuqta esa to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 7-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, 3-rasm2-rasm bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi. Shunday qilib funksiyaning uzluksizligi uning limiti orqali ta’riflanar ekan. Funksiyaning limiti esa o‘z navbatida Geyne va Koshi ta’riflariga ega. Shuni e’tiborga olib, funksiya uzluksizligining Geyne va Koshi ta’riflarini keltirish mumkin. 8-ta’rif (GEYNE). Agar to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan. ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik olinganda ham, mos ketma-ketlik hamma vaqt ga intilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi. 9-ta’rif (KOSHI). Agar son uchun shunday topilsaki, ushbu tengsizlikni qanotlantiruvchi barcha nuqtalarda tengsizlikni bajarsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi. 10-ta’rif. Agar funksiya to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamda uzluksiz deb ataladi. Biz yuqorida keltirgan ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi ularning barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha uzluksizligini ifodalaydi. 11-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, yoki yoki funksiyaning limiti mavjud, chekli bo‘lib, PAGE \* MERGEFORMAT5 bo‘lsa, unda funksiya nuqtada uzulishga ega deb ataladi. 5-misol. Ushbu Funksiyani qaraylik, bu funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib uning (0,0) nuqtadagi limiti bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya (0,0) nuqtada uzulishga ega. Nuqtada uzluksiz bo‘lgan funksiyaning lokal xossalari. . Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo‘ladi. . Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lib, ( ) bo‘lsa, nuqtaning yetarli kichik atrofida nuqtalarida ( ) bo‘ladi. . Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, nuqtaning yetarli kichik atrofidagi nuqtalar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Nuqtada uzluksiz bo‘lgan funksiyaning global xossalari. 1-Teorema (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). funksiya bog‘lamli to‘plamda berilgan va uzluksiz bo‘lsin. Agar shu funksiya to‘plamaning ikkita va nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, bu nuqta funksiya nuqta nolga aylanadi: 2-Teorema (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi). funksiya bog‘lamli to‘plamda berilgan va uzluksiz bo‘lib, to‘plamning ikkita va nuqtalarida , , bo‘lsin. A bilan B orasida har qanday C son olinsa ham to‘plamda shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi. 3-Teorema (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda berilgan va uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamda chegaralngan bo‘ladi. 4-Teorema (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamda o‘zining anniq yuqori hamda anniq quyi chegaralariga erishadi. Funksiyaning tekis uzluksizligi . Kantor teoremasi. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. 12-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, tengsizlikni qanotlantiruvchi ixtiyoriy , uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya to‘plamda tekis uzluksiz deyiladi. Agar funksiya to‘plamda tekis uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamada uzluksiz bo‘ladi. PAGE \* MERGEFORMAT5 5-Teorema (Kantor teoremasi). Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamada tekis uzluksiz bo‘ladi. Faraz qilaylik, funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamada tekis uzluksiz bo‘lmasin. U holda biror son va uchun to‘plamda tengsizlikni qanotlantiruvchi shunday nuqtalar topiladiki, bundan bo‘ladi. Ravshanki, ketma-ketlik chegaralngan. Undan yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratish mumkin. Ushbu ifoda kelib chiqadi. Bu esa deb qilingan farazga ziddir. Demak, funksiya to‘plamda tekis uzluksiz. 6-misol. funksiyaning kesmada tekis uzluksiz ekanligini isbotlaymiz. Kantor teoremasiga ko’ra funksiya kesmada uzluksiz (chunki maxrajni nolga aylantiruvchi nuqta bu kesmaga kirmaydi). Kantor teoremasiga ko’ra, yopiq kesmada uzluksiz bo’lgan har qanday funksiya shu kesmada tekis uzluksiz bo’ladi. Isbotlandi. 7-misol. funksiyaning kesmada tekis uzluksiz ekanligini isbotlaymiz. Kantor teoremasiga ko’ra funksiya kesmada uzluksiz, chunki maxrajni nolga aylantiradigan nuqtasi bu kesmaga kirmaydi. Kantor teoremesiga ko’ra, yopiq kesmada uzluksiz bo’lgan funksiya shu kesmada tekis uzluksiz bo’ladi. Isbotlandi. 2-§.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari va differensiallanuvchanligi to‘plamda funksiya berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamda nuqta olib, uning birinchi koordinatasi ga shunday orttirma beraylikki, bo‘lsin. Natijada funksiya ham nuqtada o‘zgaruvchisi bo‘yicha xususiy hosilaga ega bo‘ladi. PAGE \* MERGEFORMAT5 Ushbu (1) nisbatni qaraylik. Bu nisbat ning funksiyasi bo‘lib, ning farqli qiymatlarida aniqlangan. 13-ta’rif. Agar da (1) nisbatning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi va belgilarning biri bilan belgilanadi. Demak Agar deb olsak, unda va da bo‘lib natijada bo‘ladi. Demak funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi ushbu nisbatning dagi limiti sifatida ta’riflash mumkin. 8-misol. f unksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini toping: 9-misol. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini toping: Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensiallanuvchanligi. 14-ta’rif. Agar funksiya nuqtadigi orttirmasini (2) ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa, funksiya nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi. Agar funksiya to‘plamning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, funksiya to‘plamda differensiallanuvchi deb ataladi. 6-Teorema . Agar funksiya nuqtada diffrensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiya shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. 7-T eorema. ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shunday qilib, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda PAGE \* MERGEFORMAT5 qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi. 8-Teorema. ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti ). Agar funksiya nuqta ning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. 3- § .Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensiali 15-ta’rif. funksiya orttirmasi ning larga nisbatan chiziqli bosh qismi funksiyaning nuqtadagi differensiali (to‘liq differensiali) deb ataladi va yoki kabi belgilanadi. Demak, Odatda lar funksiyaning xususiy differensilallari deb ataladi. Demak, funksiyaning differensiali, uning shu nuqtadagi xususiy differensilallari yig‘indisidan iborat. 10-misol. funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz: . U holda 4-§.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiali to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib, uning har bir nuqtasida xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. 16-ta’rif. funksiya xususiy hosilalari larning o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilalari funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari deb ataladi va ( ) Yoki PAGE \* MERGEFORMAT5 kabi belgilanadi. Demak, Bu ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni umumiy holda ko‘rinishida yozish mumkin, bunda bo‘lganda quyidagilar o‘rinli: 17-ta’rif. Ikkinchi tartibli xususiy xosilalar aralash hosilalari deb ataladi. 9-Teorema. funksiya ochiq to‘plamda berilgan bo‘lib, shu to‘plamda hamda aralash hosilalarga ega bo‘lsin. Agar aralash hosilalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda shu nuqtada bo‘ladi. 18-ta’rif. funksiya to‘plamda barcha xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Agar bu xususiy hosilalar nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, funksiya nuqtada ikki martta differensiallanuvchi funksiya deb ataladi. 19-ta’rif. funksiya to‘plamda barcha n-1 tartibli xususiy hosilalarga ega bo‘lib, bu xususiy hosilalar nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, funksiya nuqtada n martta differensiallanuvchi funksiya deb ataladi. 10- Teorema. Agar ochiq to‘plamda funksiyaning barcha n-tartibli xususiy hosilalari mavjuda va nuqtada uzluksiz bo‘lsa, funksiya nuqtada n martta differensiallanuvchi bo‘ladi. Bu teorema funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yeterli shartini ifodalayadi. 20-ta’rif. funksiyaning nuqtadagi differensiali ning differensiali berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi va u kabi belgilanadi: funksiyaning nuqtadagi uchinchi, tortinchi, beshinchi va hakazo tartibli differensiallari ham xuddi shunday yuqoridagidek ta’riflanadi. 21-ta’rif. Umuman, funksiyaning nuqtadagi (n-1)-tartibli differensiali ning differensiali berilgan funksiyaning shu nuqtadagi n-tartibli tartibli differensiali deb ataladi va u kabi belgilanadi. Demak, funksiyaning keyingi tartibli differensiallarining funksiya xususiy hosilalari orqali ifodasi borgan sari murakkablasha boshlaydi. Shu sababli yuqori tartibli differensiallarini, simvolik ravishda, soddaroq formada ifodalash muhim. funksiyaning differensiali PAGE \* MERGEFORMAT5 yuqoridagidek yozamiz. funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali funksiyaning uchinchi tartibli differensiali funksiyaning n-tartibli differensiali kabi yozish mumkin. Murakkkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallari. Ushbu nuqtada Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallarini topamiz. Ma’lumki funksiyaning har biri nuqtada differensiallanuvchi bo‘lib, funksiya esa mos nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda murakkab funksiya nuqtada differensiallanuvchi va differensial shaklning invariantlik xossasiga assosan murakkab funksiyaning differensiali bo‘ladi. Faraz qilaylik, Funksiyalarning har biri nuqtada ikki martta differensiallanuvchi, funksiya esa mos nuqtada ikki martta differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda murakkab funksiya ham nuqtada ikki martta differensiallanuvchi bo‘ldi. Differensiallash qoidalaridan foydalanib quyidagini topamiz. PAGE \* MERGEFORMAT5 Shu yo‘l bilan berilgan murakkab funksiyaning keyingi tartibdagi differensiallari topiladi. Agar Funksiyalarning har biri o‘zgaruvchilarining chiziqli funksiyasi bo‘lsa, u holda bunday murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallari differensial shaklning invariantligi xossasiga ega bo‘ladi. Demak, ikkinchi tartibli differensiallar differensial shaklning invariantligi xossasiga ega ekan. Shunga o‘xshash, bu holda murakkab funksiyaning ikkidan katta tartibdagi differensiallarida differensial shaklning invariantligi xossasi o‘rinli bo‘lishi ko‘rsatiladi. 11-misol. va bo’lsa, murakkab funksiyaning 2-tartibli differensiali ni toping. Murakkab funksiyaning 2-tartibli differensiali quyidagi formula bilan hisoblanadi: funksiyaning hosilalari: funksiyaning differensiallari: Topilgan qiymatlarni formulaga qo'yamiz va ekanligini hisobga olib soddalashtiramiz: Javob: . 5- § .Teylor formulasi. Formulaga ko‘ra PAGE \* MERGEFORMAT5 bunda funksiyaning barcha birinchi, ikkinchi va hakazo n- tartibli xususiy xosilalari nuqtada, shu funksiyaning barcha (n+1)- tartibli xususiy xosilalari nuqtada hisoblangan. Bu formula ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning Teylor formulasi deb ataladi. 12-misol. funksiya nuqta atrofida Teylor formulasi yordamida yoying. Bu holatda bo’lgani uchun formula Makloren formulasi deyidadi. Teylor formuasi: Endi hosilalarni topamiz: da: Formulaga qo’yamiz: Demak javob: ekan. XULOSA 1. Birinchi bandda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning, limiti, uzluksuzligi, tekis uzluksizligi haqida ma’lumotlar berilgan. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida ta’rif va teoremalar keltirilgan. PAGE \* MERGEFORMAT5 2. Ikkinchi, uchinchi, to’rtinchi va beshinchi bandda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosila va differensiallari va differensilllanuvchanligi, yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallari haqida ma’lumotlar keltirilgan, bir nech o‘zgaruvchi funksiya haqida ta’rif va teromalar ko‘rsatilgan. Ko‘rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin: 1.Sirtning ichki geometriyasi o‘qitilishi, talimda ko‘rgazmalilik tamoilini amalgam oshirishda yordam beradi. 2. O‘quvchilar qiziqishini ortirishda muhum ro‘l o‘ynaydi. 3. Matematika ta’limda maqsadni aniq belgilash va kafolatlangan natijaga intilish xususiyatini taminlaydi. Xulosa qiladigan bo‘lsak, matematikaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda unda yangidan yangi, qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz, ularni o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog`lab tushuntirib berish, undagi o`ziga xos xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim. Malakasini, tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. Zamon bilan hamnafas bo`lishi ham bugungi kun talabidir. Shunday ekan biz bo‘lajak pedagoglar o‘qituvchilik kasbi sharafliligi bilan bir qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda, vaqtimiz, imkonimiz borida o‘qib o‘rganib olishimiz kerak. Zero, yurtimiz kelajagi biz yoshlarning qo‘limizdadir, olg‘a talabalar! Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati 1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020 - yil 23 -sentabr, O‘RQ-637-son. 2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2-martdagi “ Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida ”gi 36-son Qarori. 3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27- martdagi “Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab chiqish hamda joriy etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” 157-son Qarori. 4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2018- yil 10-sentabrdagi “Oliy ta’lim muassasasi professor-o‘qituvchilar tarkibining o‘quv yuklamasi hamda o‘quv-uslubiy, ilmiy-tadqiqot va “ustoz-shogird” ishlarini belgilash qoidalarini tasdiqlash to‘g‘risida” gi 20-2018-son buyrug‘i. 5. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2021- yil 19-oktabrdagi “Oliy ta’limning davlat ta’lim standarti. Asosiy qoidalar” O‘zbekiston Respublikasining davlat standartini tasdiqlash to‘g‘risida”gi 35- 2021-son buyrug‘i. 6. Egamberdiyev F.T. va boshqalar. “Iqtisodiyot nazariyasi” fanidan kurs ishini bajarish uchun uslubiy qo‘llanma. - Toshkent, O‘zMU, 2019. 7. Ilxamov Sh.I., Xudoyqulov A. Kurs ishlarini yozish va himoya qilish bo‘yicha uslubiy qo‘llanma. - Termiz. TDU, 2023. Elektron ta’lim resurslari 1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/ 2. http://www.allmath.ru/ 3. http://www.pedagog.uz/ 4. http://www.ziyonet.uz/ 5. http://window.edu.ru/window/ 6. http://ilib.mccme.ru/#begin 7. http://kvant.mirror1.mccme.ru/ PAGE \* MERGEFORMAT5 PAGE \* MERGEFORMAT5
Sotib olish