Konsentrlar va ular ustida amallarni haqida metodika

Dokument ma'lumotlari

Narxi	9000UZS
Hajmi	51.5KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	30 Avgust 2023
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Konsentrlar va ular ustida amallarni haqida metodika

Sotib olish

Tadqiqotning ilmiy yangiligi arifmetik amallar xossalarining o’ziga xos ma’nosini ochish xususiyatlarini
aniqlash va ulardan matematikani o’rganish jarayonida foydalanishdadir. ........................................... 16
I-bob . Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi ...................................................................................... 17
1.1. Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi ...................................................................................... 17
Raqamlar fani hisoblangan arifmetika bilan bizning matematika bilan tanishuvimiz boshlanadi. 1703
yilda L. F. Magnitskiy tomonidan yozilgan birinchi rus arifmetika darsliklaridan biri bu so’zlar bilan
boshlangan: "Arifmetika yoki hisoblagich - bu halol, hasad qilmaydigan va hamma uchun tushunarli,
eng foydali va eng maqtovga sazovor bo’lgan , eng qadimgi va eng yangi san’at. , turli davrlarda
yashagan eng yaxshi arifmetikani ixtiro qilgan va tushuntirgan. U o’z kitobida beshta “ta’rif” yoki
arifmetik amallarni ko’rib chiqdi: “sonlash yoki hisoblash, qo’shish yoki qo’shish, ayirish yoki ayirish,
ko’paytirish bo’lsa ko’paytirish, bo’lish bo’lsa bo’lish”. ......................................................................... 17
Arifmetika bilan biz, M.V.Lomonosov aytganidek, “o’rganish darvozalari”ga kiramiz va dunyoni bilish
bo’yicha uzoq va qiyin, ammo maftunkor sayohatimizni boshlaymiz. ................................................... 17
Turli xalqlarda turli davrlarda arifmetika kursining mazmuni juda xilma-xil edi. Masalan, hindlar kub
ildizini ajratib olishni elementar arifmetik amallar qatoriga qo’ygan. .................................................... 17
Arifmetik amallar deb atalgan narsani tushunish boshqacha edi. Bir necha asrlar davomida barcha
xalqlarning maktablari tomonidan qo’llanilgan lotin tili darsliklarida bu harakatlar tiplar (harakat) deb
nomlangan (lot. turlardan ) . Arifmetik amallarning ta’rifi uchun bu nom birinchi marta 13-asr
qo’lyozmalarida uchraydi. XVI asrda. u keng tarqalgan bo’lib, arifmetik qism atamasini siqib chiqaradi
(lot. pars . dan artmetika ). Hind matematiklari oltita arifmetik amalni ko’rib chiqdilar: qo’shish,
ayirish, ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish va ildizlarni chiqarish. .................................................. 17
Sakroboskoda (XIII asr) keyingi asrlarning ko’plab mualliflari kabi ulardan to’qqiztasi mavjud:
raqamlash, qo’shish, ayirish, ikkiga ko’paytirish, ko’paytirish ( yarmga bo’lish), bo’linish, progressiya,
ildizlarni chiqarish. "Progressiya" harakati ko’p hollarda tabiiy qator raqamlarining yig’indisini,
kamdan-kam hollarda tabiiy qatorlarning alohida juft va toq sonlarining yig’indisini va faqat istisno
hollarda ikkita oddiy geometrik progressiyalarning 1, 2 yig’indisini ko’rib chiqadi. , 4, 8, ... va 1 , 3, 9,
27,... ....................................................................................................................................................... 17
"Ikki ko’paytirish" harakati Misrdan kelib chiqqan. Misr matematikasi haqidagi asosiy ma’lumotlar
1800-1600 yillarda yozuvchi Ahmes tomonidan yozilgan Rhind papirusidan olingan . Miloddan avvalgi.
Bu Misr raqamlash bobida tasvirlangan. ................................................................................................ 18
Eng so’nggi tadqiqotchilar (Archibald, Vileintner ) Misr fani sof amaliy va empirik deb hisoblangan
mavjud nuqtai nazarni rad etadilar, Ahmesning vazifalari ba’zan shu qadar mavhumki, ular bevosita
amaliyotdan kelib chiqqan. .................................................................................................................... 18
Misrliklar sonlar ustidagi to’rt amalimizni qo’shish, ikkiga ko’paytirish va yarmiga bo’lish yo’li bilan
bajarishdi. .............................................................................................................................................. 18
Ikki marta ko’paytirish asosiy operatsiya edi; Misr tilida ham buning uchun qo’sh sonning maxsus
shakli mavjud. To’g’ridan-to’g’ri operatsiyalardan faqat o’n baravar ko’payish ishlatilgan. Ayirish
minuendga ayirmani qo’shish, bo’lish ikki barobarga ko’paytirish orqali amalga oshirildi. ................... 18
Yunonlar, garchi ular ko’paytirish harakatiga ega bo’lsalar ham, kundalik amaliyotda ular odatda
Misrning ikki barobar ko’paytirish usulidan foydalanganlar. Platon raqamlarni ko’paytirishning ikkita
usulini eslatib o’tadi. .............................................................................................................................. 18
Maxsus arifmetik amallar sifatida u hind sanoqlarini targʻib qilgan samarqandlik matematik al-
Xorazmiy (12-asr boshlari) oʻzining darsligiga ikki barobar va meditatsiyani kiritdi. .............................. 18
4

Hindlar bu harakatlardan foydalanmagani uchun, bu al-Xorazmiyning o’z g’oyasi yoki Misrning arablar
orqali ta’siri deb qarash kerak. .............................................................................................................. 18
XII asrda al-Xorazmiy kitobining tarjimasi orqali. bu harakatlar birinchi marta lotin tiliga Iordaniya
Nemorariusning (XIII asr) Yevropa qo’llanmalariga va u orqali monastir maktablariga kirdi. Faqat 15-
asrning oxirida italiyalik muallif Luka Pacioli raqamlarning ikki baravar ko’payishi va bifurkatsiyasi
ko’payish va bo’linishning alohida holatlari ekanligini ta’kidlaydi va ularni bekor qiladi. ...................... 18
Universitet fanlari vakillaridan birinchi bo’lib keraksiz harakatlardan voz kechganlar XVI asrda
matematik ta’limning ko’zga ko’ringan namoyandalari edi. Vena universitetida Grammateus ( Shreiber
) va Gemma Frisius . ............................................................................................................................... 19
Ikkinchisi birinchi marta ta’rif beradi: "arifmetik operatsiya (lot. Turlardan ) biz raqamni topish usulini
chaqiramiz." ........................................................................................................................................... 19
Biroq, hatto 1754 yilda Wolfning "Boshlanishi" o’z davri uchun ilg’or darsligi ham sonni ko’paytirish
jadvalini yodlamasdan - ikki barobarga oshirish va natijalarni qo’shish orqali ko’paytirish mumkinligini
ko’rsatadi. .............................................................................................................................................. 19
Volfning 1770 yildagi kitobining birinchi ruscha nashri ("Matematikaning birinchi asoslarining
qisqartmasi") endi bu ko’rsatkichni o’z ichiga olmaydi va "kim tez orada ko’paytirishni xohlasa, Pifagor
panjarasini (ko’paytirish) o’rganishi kerak" degan ko’rsatkich bilan cheklangan. stol) yoddan va
hozircha, u sizning oldingizda bo’lishi uchun xotirada qotib qolmaydi. " ............................................... 19
Ikki marta ko’paytirish va ikki barobar ko’paytirishning Misr usuli juda qat’iyatli bo’lib chiqdi va yaqin
vaqtgacha amalda saqlanib qoldi. .......................................................................................................... 19
Xorijiy adabiyotda bugungi kunda bu ko’paytirish usuli bir necha bor "Rossiya dehqonlari tomonidan
qo’llaniladigan raqamlarni ko’paytirish usuli" deb ta’riflangan. ............................................................ 19
To’rt arifmetik amalni o’rganish tartibi turli xil vaqtlarda taklif qilingan. Leonardda Piza harakatlari
tartibda o’rganiladi: ko’paytirish, qo’shish, ayirish, bo’lish; Piter Borgi (1484) - ko’paytirish, bo’lish,
qo’shish, ayirish. .................................................................................................................................... 19
Arifmetik operatsiyalarni ko’paytirish bilan o’rganishni boshlash uchun bu asrning boshlarida xalqaro
falsafiy kongresslardan birida taklif qilingan. V.V. bu taklifga keskin qarshi chiqdi. Bobinin Kebel (1515)
to’rtta harakatning tengligini ta’kidlaydi, Grammat (1518) qo’shishning ko’paytirish bilan, ayirishning
bo’linish bilan o’zaro bog’liqligini qayd etadi. Misrahiy (1528) ko’paytirishni qo’shishning maxsus holati
deb hisoblaydi va uni arifmetik amallar qatoriga kiritmaydi, chunki u faqat qisqartirilgan belgilash usuli
hisoblanadi. ........................................................................................................................................... 19
Nepir (1550-1617) qadamlardagi arifmetik amallar orasidagi farqni birinchi marta faqat 1839 yilda
nashr etilgan "Logistika san’ati" kitobida ko’rsatadi. Nepir ko’paytirish va bo’lishni qo’shish va
ayirishdan yuqori tartibli harakatlar deb biladi; operatsiyalarning uchinchi bosqichi - eksponentatsiya
va ildizlarni olish. ................................................................................................................................... 19
Eng qadimiy hind yozuvlari Hindistonda arifmetikaning to’rtta amali bugungi kunda xuddi shunday
amalga oshirilganligidan dalolat beradi. Hindiston aholisi keraksiz raqamni "o’chirish" oson bo’lgan
silliqlangan planshetlarga yozganligi sababli, ular chapdan o’ngga harakat qilishdi. Qog’ozga yozishda,
bu tartib bilan, uning ustiga yoki uning ostiga haqiqiyni yozish uchun keraksiz yoki noto’g’ri raqamni
kesib tashlash kerak bo’ldi. Bu texnikani arablar kiritgan va ulardan yevropaliklarga o’tgan; uning
noqulayligi allaqachon Maksim Planud (1313) tomonidan qayd etilgan. ............................................... 20
15-asrdan boshlab Evropada bizning hisoblash usullarimiz qo’llaniladi, bu raqamlarni chizishni talab
qiladi (Italiyadan boshlab). Beldomandining " algoritmik traktati" da (1410) faqat bo’linish arifmetik
5

amallarni bajarish uslublarimizdan farq qiladi. Germaniyada qo’llanilgan "nemis uslubidagi"
raqamlarni kesib tashlash usuli, so’nggi usul XV asrning eng ko’zga ko’ringan evropalik matematiklari
tomonidan qabul qilinganidan so’ng, italyanchaga o’tdi. Gmunden , Purbach , Regiomontanus . ........ 20
Shunday qilib, har bir xalqning o’ziga xos arifmetik amallari mavjud edi. Va ularning barchasi raqamlar
ustida operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming yildan ortiq vaqt davomida arifmetik amallarni
bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va tasdiqlangan. Har qanday kontseptsiyaning rivojlanish tarixini
o’rganish nafaqat talabalar uchun, balki o’zimiz uchun ham qiziqarli va arifmetik amallarning
rivojlanish tarixini o’rganish, albatta, kichik yoshdagi o’quvchilarni matematikaga qiziqtirishga yordam
beradi. ................................................................................................................................................... 20
1.2. Arifmetik amallarning xossalari. ...................................................................................................... 20
Boshlang’ich sinf o’qituvchisi birinchi bo’lib sonlar va ularning xossalari ustida turli amallarni kiritadi.
Bolalarni maktab o’quvchilariga matematikani keyingi o’qitishda algebraik tushunchalarni
rivojlantirish istiqbollarini ko’rishga malakali o’rgatish uchun o’qituvchi algebraik operatsiya nima
ekanligini, qanday xususiyatlarga ega bo’lishi mumkinligini bilishi kerak. ............................................. 20
Keling, algebraik amallarning xossalarini umumiy shaklda aniqlagan holda ko’rib chiqaylik. Biz
algebraik amallarni belgilar bilan belgilaymiz: * (yulduzcha) va ○ (doira). ............................................. 21
Algebraik amallarning eng muhim xossasi assotsiativlik (kombinatsiya) xossasidir. .............................. 21
Ta’rif. Algebraik operatsiya *, deyiladi assotsiativ , agar biron bir element uchun tenglik bo’lsa .......... 21
( a * b ) * c = a * ( b * c ) ........................................................................................................................ 21
Masalan, natural sonlarni qo’shish assotsiativ hisoblanadi: har qanday a , b va c natural sonlar uchun
( a + b ) + c = a + ( b + c ) tengligi bajariladi . Ratsional va haqiqiy sonlarni assotsiativ qo’shish. Shuning
uchun bir nechta sonlar yig’indisini qavssiz yozish mumkin. ................................................................. 21
(a + b) + c va a + (b + c) o’rniga a + b + c. ............................................................................................... 21
Assotsiativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3)
butun sonlarni ayirish assotsiativ emas. ................................................................................................ 21
Algebraik amalning assotsiativligi barcha ifodalarni qavslarsiz yozish imkonini beradi, lekin bu ifodaga
kiritilgan elementlarni qayta tartibga sola olmaysiz. Elementlarni almashtirish faqat operatsiya
kommutativ bo’lgan taqdirdagina mumkin (o’zgartirish xususiyati). ..................................................... 21
Ta’rif. Har qanday ikkita a va b element uchun tenglik bajarilsa, * algebraik operatsiya kommutativ
deyiladi : ................................................................................................................................................ 21
a * b = b * a ............................................................................................................................................ 21
Kommutativ amallarga natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish misol bo’la oladi, chunki har qanday
natural sonlar uchun a va b tengliklari a + b = b + a , a b = b a . Bu tengliklar nafaqat natural sonlar, ∙ ∙
balki har qanday haqiqiy sonlar uchun ham amal qiladi, shuning uchun haqiqiy sonlar to’plamida
qo’shish va ko’paytirish ham kommutativdir. ........................................................................................ 21
Kommutativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak, butun sonlarni ayirish
kommutativ emas. Masalan: 12 - 7 ≠ 7 - 12. .......................................................................................... 21
Agar to’plamda ikkita algebraik amal berilgan bo’lsa, u holda ular bir-biri bilan taqsimlanish xususiyati
(taqsimot qonuni) bilan bog’lanishi mumkin. ........................................................................................ 22
Ta’rif. Agar biron bir element uchun quyidagi tengliklar bajarilsa, algebraik amal ○ algebraik amalga
nisbatan distributiv deyiladi: ................................................................................................................. 22
6

1) (a * b)○ c = (a ○ b)*(a ○ b) 2) c○(a * b) = (c ○ a)*(c ○ b). .................................................................... 22
* amaliga nisbatan toʻgʻri taqsimlovchi deyiladi ; agar u operatsiyaga nisbatan amalga oshirilsa *. ..... 22
Keling, qanday hollarda o’ng va chap tomonda taqsimlanish farqlanishini bilib olaylik. ....................... 22
Natural sonlar to’plamida ikkita amalni ko’rib chiqaylik: darajaga ko’tarish (1 va 2 tengliklardagi ○
operatsiyasiga mos keladi) va ko’paytirish (1 va 2 tengliklardagi * operatsiyasiga mos keladi). 1-tenglik
bo’yicha bizda: ( a b ) ∙ c
= a c
b ∙ c
. Olingan tenglik har qanday natural sonlar uchun amal qiladi , ya’ni
ko’paytirishga nisbatan ko’rsatkich to’g’ri taqsimlanadi. 2-tenglikka muvofiq, biz olamiz .................... 22
miloddan avvalgi
= a b
a
∙ c
. Ammo bu tenglik har doim ham qondirilmaydi, ya’ni kuchga ko’tarish
operatsiyasi ko’paytirishga nisbatan chap tomonda taqsimlanmaydi. Bu holat eksponentsiya
kommutativlik xususiyatiga ega bo’lmagan operatsiya ekanligining natijasidir. .................................... 22
Agar natural sonlarni qo’shish va ko’paytirishni oladigan bo’lsak, u holda ko’paytirish qo’shishga
nisbatan taqsimlanadi: har qanday a , b va c natural sonlari uchun tenglik ........................................... 22
(a + b) c = a c + b c; c (a + b) = c a + c b.
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ .................................................................................... 22
c omili qayerda yozilishi muhim emas - yig’indining o’ng tomonida ( a + b ) yoki uning chap tomonida.
Shuning uchun maktab matematika kursida ular chap va o’ng taqsimotni ajratmaydilar, shunchaki
ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimlanishi haqida gapiradilar. ................................................ 22
Ko’pincha, algebraik operatsiya ko’rib chiqiladigan to’plamda neytral va yutuvchi deb ataladigan
maxsus elementlar ajratiladi. ................................................................................................................ 22
Ta’rif. X to’plamdagi e elementi, agar X to’plamdagi har qanday x element uchun x * e = e * x = x
tengliklari bajarilsa , algebraik operatsiyaga * nisbatan neytral deyiladi . ............................................. 23
Agar algebraik operatsiyaga nisbatan neytral element mavjud bo’lsa, u yagona hisoblanadi. .............. 23
Ta’rif. X to’plamdagi p elementi, agar X to’plamdagi har qanday x element uchun x * p = p * x = p
tengliklari bajarilsa , algebraik operatsiyaga * nisbatan yutish deyiladi . ............................................... 23
Agar algebraik operatsiyaga nisbatan yutuvchi element mavjud bo’lsa, u yagona hisoblanadi. ............ 23
arifmetik amallarning xossalari . ............................................................................................................ 23
Qo’shimcha xususiyatlar: ....................................................................................................................... 23
1. Qo’shishning kommutativ (kommunikativ) qonuni: ........................................................................... 23
a + b = b + a . ......................................................................................................................................... 23
Shartlar joylarini o’zgartirishdan yig’indi o’zgarmaydi. .......................................................................... 23
Misol: 45 + 21 = 21 + 45 = 66. ................................................................................................................ 23
2. Qo’shishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni: .................................................................................... 23
a + b + c = a + (b + c). ............................................................................................................................. 23
Har qanday qo’shni shartlar guruhi ularning yig’indisi bilan almashtirilsa, yig’indi o’zgarmaydi. .......... 23
Misol: 197 + 23 + 77 = 197 + (23 + 77) = 197 + 100 = 297. ..................................................................... 23
Eslatma: ikkala qonun ham istalgan muddat uchun amal qiladi. ........................................................... 23
3. a + 0 = 0 + a = a . neytral element. Raqamga nol qo’shish bu raqamni o’zgartirmaydi. ..................... 23
Misol: 99 + 0 = 0 + 99 = 99. .................................................................................................................... 23
Ayirish xususiyatlari: .............................................................................................................................. 23
7

$1. a - 0 = a. O’ng tomonda neytral element. Raqamdan nolni ayirish bu raqamni o’zgartirmaydi. ........ 23 Misol: 17 - 0 = 17. .................................................................................................................................. 23 2. a - a = 0. Agar bu raqam raqamdan ayirilsa, u holda farq nolga teng. ................................................ 23 Misol: 276 - 276 = 0. .............................................................................................................................. 24 3. Raqamdan yig’indini ayirish: a - (b + c) \u003d a - b - c. .................................................................... 24 Raqamdan yig’indini ayirish uchun bu sondan bitta hadni, hosil bo’lgan farqdan ikkinchi hadni ayirish mumkin. ................................................................................................................................................. 24 Misol: 183 - (43 + 19) = 183 - 43 - 19 = 140 - 19 = 121. .......................................................................... 24 4. Yig’indidan sonni ayirish: (a + b) - c \u003d (a - c) + b \u003d a + (b - c). ........................................... 24 Raqamni yig’indidan ayirish uchun siz bu raqamni istalgan bitta haddan ayirib, hosil bo’lgan farqni qolgan shartlar yig’indisiga qo’shishingiz mumkin. ................................................................................ 24 Misol: (143 + 27) - 33 = (143 - 33) + 27 = 110 + 27 = 137. ...................................................................... 24 5. Ayirmani songa qo’shish: a + (b - c) = a + b - c. .................................................................................. 24 Raqamga farqni qo’shish uchun siz unga minuendni qo’shishingiz va olingan summadan ayirmani ayirishingiz mumkin. .............................................................................................................................. 24 Misol: 543 + (202 - 45) = 543 + 202 - 45 = 745 - 45 = 700. ..................................................................... 24 Ko’paytirish xususiyatlari: ...................................................................................................................... 24 1. Ko’paytirishning ko’chirish (kommunikativ) qonuni: .......................................................................... 24 a b = b a. ............................................................................................................................................... 24 Mahsulot omillar o’rnini o’zgartirishdan o’zgarmaydi. .......................................................................... 24 Misol: 10 11 = 11 10 = 110.∙ ∙ ............................................................................................................... 24 2. Ko’paytirishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni: .............................................................................. 24 a b c = a (b c). ......................................................................................................................................... 24 3. Qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot (taqsimlash) qonuni: (a + b + c) d = ad + bd + cd . . . . 24 4. Ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimlovchi (tarqatuvchi) qonuni: (a - b) c = ac - bc . ............... 24 5. a 1 = 1 a = a. neytral element. ............................................................................................................ 25 6. a 0 = 0 a = 0. Yutuvchi element. ......................................................................................................... 25 2. 0 : a = 0. Chapdagi yutuvchi element. ................................................................................................ 25 3. Siz nolga bo’la olmaysiz! .................................................................................................................... 25 4. a : a = 1. ............................................................................................................................................. 25 5. Yig’indini songa bo’lish: (a + b ) : c = a : c + b : c. ................................................................................ 25 6. Ayirmani songa bo’lish: (a - b ) : c = a : c - b : c. .................................................................................. 26 7. Mahsulotni raqamga bo’lish: (a b ): c \u003d (a: c) b \u003d a (b: c). ............................................... 26 -bob.Matematikaning boshlang’ich kursidagi arifmetik amallar va ularni o’rganish usullari. .................... 27 Boshlang’ich ta’limning barcha to’rt yillik davrida bolalarda natural son va arifmetik amallar haqidagi tushunchalarni shakllantirish ishlari olib borilmoqda. Bu eng boshidan bu tushunchalarni amaliy qo’llashning turli holatlarini ko’rib chiqish, bolalar tomonidan sonlarning ayrim xossalarini, o’nlik 8$

sanoq sistemasini, arifmetik amallar va ular asosida hisoblash usullarini o’zlashtirishga qaratilgan
ishlar bilan chambarchas bog’liq holda amalga oshiriladi. Ushbu ishning natijasi bolalar tomonidan
dasturga kiritilgan nazariy savollarni o’zlashtirishi va o’rganilgan nazariy savollarni turli amaliy va o’quv
masalalarini hal qilishda qo’llash, og’zaki va yozma hisob-kitoblarni bajarish ko’nikmalarini ongli va
kuchli egallashi kerak. Shu bilan birga, nazariya va amaliyot dasturning arifmetik qismidagi butun ish
davomida ularning birligi va o’zaro bog’liqligida harakat qilishi kerak. Ommaviy maktablar amaliyotida
dasturni amalga oshirish tajribasini kuzatishlar shuni ko’rsatadiki, dasturning aynan shu eng muhim
talabi ko’pincha buziladi. ....................................................................................................................... 27
Bu shuni ko’rsatadiki, aytaylik, og’zaki hisoblash ko’nikmalarini mashq qilganda, o’qituvchilar
ko’pincha bolalar ongiga bajariladigan operatsiyalarning nazariy asoslarini etkazish zarurligini unutib
qo’yishadi, agar xatolar bo’lsa, buni o’rgatmaydilar. Hisob-kitoblar kursi, talabalar o’sha masalalarni
ko’rib chiqishga qaytadilar, ularning xatosi sababini tushunishga va uni o’zlari tuzatishga yordam
beradigan nazariyalar. Ayni paytda, ishonchli, to’g’ri va tezkor hisob-kitoblarning haqiqatan ham
kuchli ko’nikmalarini shakllantirish uchun asos bo’lgan assimilyatsiya ongidir. ..................................... 27
Nazariya va amaliyotni birlikda ko’rib chiqish talabining buzilishi matematika darslarida nazariy
xarakterga ega bo’lgan savollar ko’pincha bolalar oldiga mavhum shaklda, tegishli ta’riflar, “qoidalar”
va hokazolar qo’yilishida ham namoyon bo’ladi . o’rganiladi. ularning amaliy qo’llanilishidan tashqari.
Shu bilan birga, talabalardan dasturda umuman ko’zda tutilmagan yoki keyinchalik bolalar tomonidan
o’rganilishi kerak bo’lgan formulalarni bilish talab qilinadigan holatlar bilan shug’ullanish kerak. Bu,
masalan, birinchi sinf o’qituvchisi: "Qo’shilgan raqamlar qanday nomlanadi?", degan savolga to’liq
javob talab qilganda. Bu shaklda matematik terminologiyani bilish umuman talab qilinmasligi kerak.
(Faqat o’qituvchi ularni qo’llaganida, bolalar tegishli so’zlarning ma’nosini tushunishlari va bu
atamalarni o’z nutqlariga asta-sekin kiritishlari muhim) Bu, shuningdek, birinchi sinfda o’qiyotgan
o’qituvchi o’quvchilardan ayirish qanday amalga oshirilishini tushuntirishni talab qilganda ham
shundaydir. qo’shimcha yordamida tekshiriladi (bu ikkinchi o’quv yili materiali) va hokazo. ................ 27
O’quvchilarning sun’iy ortiqcha yuklanishiga olib keladigan bunday uslubiy xatolarga yo’l qo’ymaslik
uchun I sinfdan IV sinfgacha arifmetik materiallar ustida ishlashning butun tizimini aniq tushunish,
nazariyaning ushbu elementlarining ma’nosi va o’rnini tushunish muhimdir. dastur tomonidan. ........ 28
Dastur talablaridan quyidagi vazifalar kelib chiqadi: ............................................................................. 28
1. Ko`rib chiqilayotgan harakatlarning ma`nosini bolalar ongiga yetkazish, turli sodda masalalarni
yechishda arifmetik amalni to`g`ri tanlashga o`rgatish. ......................................................................... 28
2. Kichik yoshdagi o’quvchilar uchun qulay darajada va ular uchun qulay shaklda, ularni ko’rib
chiqilayotgan harakatlarning og’zaki va yozma hisob-kitob usullarining nazariy asosi bo’lgan
xususiyatlari bilan tanishtirish. .............................................................................................................. 28
3. Hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish, shuningdek, masalalar yechishning eng oqilona yo’llarini
topish maqsadida tegishli bilimlardan foydalangan holda o’rganilayotgan xususiyatlarni turli
sharoitlarda qo’llashni o’rgatish. ........................................................................................................... 28
4. Bolalar harakatlar o’rtasida mavjud bo’lgan aloqalarni o’rganishlarini ta’minlash. Tegishli bilimlarni
qo’llash yo’llarini o’rgatish: a) hisob-kitoblarda (ko’paytirishning tegishli holini bilish asosida bo’lakni
topishda, qo’shishning tegishli holini bilish asosida ayirma topishda); b) bajarilgan hisob-kitoblarning
to’g’riligini tekshirishda; v) harakatlarning noma’lum komponentini topishga oid masalalarni
yechishda va d) eng oddiy tenglamalarni yechishda. ............................................................................. 28
9

5. Bolalarning og’zaki va yozma hisob-kitoblarning asosiy usullarini ongli va qat’iy o’zlashtirishini
ta’minlash, har bir aniq misolning xususiyatlariga eng mos keladigan ma’lum hisoblash usullarini ongli
ravishda tanlash qobiliyati. .................................................................................................................... 28
6. Bolalarda tez va to’g’ri hisoblashning ongli va kuchli ko’nikmalarini shakllantirish. .......................... 29
Kursning ushbu aniq vazifalarining har birini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nafaqat tegishli
mashqlarning mazmuni va tizimini aniqlash kerak (bu asosan darsliklarda amalga oshiriladi), balki turli
xil o’qitish usullaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. .................................................................... 29
Harakatlarning ma’nosini, ular o’rtasida mavjud bo’lgan bog’lanishlarni, harakatlarning tarkibiy
qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlikni anglash faqat ushbu nazariy masalalarni bolalarning o’z
tajribasiga asoslangan holda ko’rib chiqishda ta’minlanishi mumkin. Shu bilan birga, shuni yodda
tutish kerakki, biz bu erda nafaqat bolalarning ob’ektlar bilan turli amaliy harakatlar jarayonida
egallagan hayotiy tajribasi, balki maktabda matematikani o’rganishda to’plangan tajriba haqida ham
gaplashishimiz kerak. ............................................................................................................................. 29
Aytaylik, raqamlash va arifmetik operatsiyalar ustida ishlash matematikaning dastlabki kursida
konsentrik tarzda qurilgan . Dasturda bolalar bilan ko’rib chiqiladigan raqamlar (o’n - yuz - ming - ko’p
xonali sonlar) maydonini bosqichma-bosqich kengaytirish va ushbu mavzularning har birini
o’rganishda bir qator masalalarni ko’rib chiqish tizimi ko’rsatilgan. raqamlarning yangi sohasi,
bolalarning raqamlash va raqamlar bilan operatsiyalar bo’yicha ilgari olingan bilimlarini bosqichma-
bosqich joriy etish (yoki chuqurlashtirish, tizimlashtirish, umumlashtirish). Bolalarni raqamlar va
arifmetik amallar bilan tanishtirish matematikaning birinchi darslarida ikkita berilgan ob’ektlar
to’plamini birlashtirish, ikkita to’plam elementlari o’rtasidagi moslikni o’rnatish, berilgan ob’ektlar
to’plamining bir qismini ajratib ko’rsatish bo’yicha amaliy mashg’ulotlar bilan tayyorlanadi. .............. 29
To’plamlar bilan operatsiyalardan boshlab, bolalar asta-sekin ob’ektlarni sanashga o’tadilar, tabiiy
qatorning birinchi o’nta raqami (ularning nomlari, ketma-ketligi) bilan tanishadilar, bu raqamlar
misolida har bir keyingi raqam natural qatorda qanday hosil bo’lishini bilib oladilar, sonlarni
solishtirish, ularning yig’indisi va ayirmasini topishni o’rganish. Birinchidan, bu ikkita to’plamni
birlashtirish yoki to’plamning bir qismini o’chirish natijasida olingan ob’ektlar to’plami bo’yicha
tegishli operatsiyalarni bajarish va to’plamning elementlarini sanash, so’ngra raqamlarga ta’sir
qilishning ba’zi usullarini qo’llash (hisoblash va hisoblash) asosida amalga oshiriladi. birlik va guruhlar
bo’yicha va boshqalar). .......................................................................................................................... 29
10, so’ngra yuzlab qo’shish va ayirishni o’rganayotganda bolalar amallar xossalaridan (yig’indining
almashinish xususiyati, sonni yig’indiga va yig’indini songa qo’shishning turli usullari) foydalanishga
asoslangan hisoblash texnikasi bilan tanishadilar. , yig’indidan sonni va sondan yig’indini ayirish),
shuningdek, qo’shish va ayirish o’rtasidagi munosabatni tushunishga asoslanadi. Shu bilan birga,
yuqorida aytib o’tilganidek, ushbu xususiyatlarni va turli xil hisoblash usullarini hisobga olish bilan
bog’liq barcha ishlar hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish muammosiga bog’liq. ............................. 30
Hisoblash ko’nikmalarini shakllantirish bilan bog’liq o’qishning birinchi yilidagi eng muhim vazifa - bu
bir xonali raqamlarni qo’shish va ko’nikmalarni shakllantirishda avtomatlashtirilgan hisob-kitoblarni
amalga oshirish imkoniyatini beradigan qo’shish va ayirishning jadvalli holatlarini bolalar tomonidan
o’zlashtirish. ikki xonali raqamlar bilan tez og’zaki hisoblar uchun. ....................................................... 30
Dasturning tushuntirish xatida qo’shish va ayirishning jadval hollarini xotirada mashq bajarish
natijasida bolalar o’zlashtirib olishlari kerakligi, shuning uchun ham bolalarda ularni yodlash uchun
sharoit yaratish katta ahamiyatga ega ekanligi ta’kidlangan. Shuningdek, kunlik o’quv ishlarini olib
borish kerak, ularsiz istalgan natijaga erishib bo’lmaydi. ....................................................................... 30
10

100 ichida raqamlashni ko’rib chiqishda bolalarni yangi hisoblash birligi - o’n bilan tanishtirishga, bitli
sonlardan raqamlar tarkibini o’rganishga (13 - 10 va 3 yoki 1 o’n va 3 birlik), raqamlarning mahalliy
ma’nosini aniqlashga alohida e’tibor beriladi. ikki xonali sonlarni yozishda. Ushbu masalalarni ko’rib
chiqish bolalar tomonidan tegishli bilimlardan ishonchli foydalanishni nazarda tutadigan darajada
amalga oshiriladi, ammo har qanday umumlashtirilgan formulalarni o’zlashtirishni talab qilmaydi. .... 30
100 ichida ko’paytirish va bo’lish II sinfda o’rganiladi. Bolalar uchun ushbu yangi arifmetik amallar
bilan tanishishda o’qituvchi I sinf uchun dasturda ko’zda tutilgan tayyorgarlik ishlariga tayanishi
mumkin (bir xil atamalar yig’indisini topish va sonni shunday yig’indi sifatida ifodalash mashqlari). .... 31
Qo’shish va ayirishni o’rganishda bo’lgani kabi, 100 ichida ko’paytirish va bo’lish usullarini ko’rib
chiqish bolalarni ushbu harakatlarning eng muhim xususiyatlari va ko’paytirish va bo’lish o’rtasidagi
mavjud munosabatlar bilan oldindan tanishtirishga asoslanadi. Bu qo’shish va ayirish bilan bog’liq
yuqorida muhokama qilgan savollarga o’xshash savollarni tug’diradi. .................................................. 31
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq vazifalar bilan
mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning ma’nosi asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy
harakatlar asosida va tegishli matn vazifalari tizimida ochiladi. ............................................................ 31
Ular asosida harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlar o’rtasidagi
bog’liqlik, harakatlarning ko’rib chiqilayotgan xususiyatlari va o’rganilgan matematik munosabatlari
bolalar ongiga olib boriladi. ................................................................................................................... 31
Allaqachon "O’n" mavzusida birinchi o’nta raqam bilan tanishgandan so’ng, bolalar birinchi marta
nolga duch kelishadi. Kelajakda qo`shish, ayirish, ko`paytirish va bo`lishni o`rganish jarayonida nol
bilan amallar hollarini ko`rib chiqishga alohida e`tibor beriladi. Ko’paytirish va bo’linishni o’rganish
bilan bog’liq holda, ko’paytirish va bo’lishning nol va bir bilan amalga oshiriladigan holatlari alohida
ajratilgan. ............................................................................................................................................... 31
Raqamlar va arifmetik amallarni o’rganish bilan uzviy bog’liq holda, bolalarni miqdorlar va ularni
o’lchash bilan tanishtirish ishlari ham olib borilmoqda. Yangi o’lchov birliklari bilan tanishish va ular
o’rtasidagi munosabatlarni o’rnatish, turli o’lchov birliklarida ifodalangan raqamlarni o’zgartirish
mashqlari odatda raqamlash bo’yicha ishlar bilan bog’liq. (Shunday qilib, parallel ravishda, ikkinchi
o’nlik raqamlarining bit shartlaridan tarkibi va o’lchash natijasida 1 dm 5 sm ko’rinishdagi raqamlar
segmentlarini olish, bu raqamlarni o’zgartirish: 1 dm 5 sm = 15 sm.Bu shakldagi holatlarga o’xshashlik
yo’li bilan amalga oshiriladi: 1 dek. 5 birlik 15 birlik ) Bu tamoyil kelajakda ham amalga oshiriladi -
raqamlar oralig’ining har bir kengayishi bilan va harakatlarning yangi holatlarini ko’rib chiqishda. ...... 31
"Ming" va "Ko’p xonali sonlar" mavzularini o’rganishga o’tishda yozma hisoblash ko’nikmalarini
shakllantirish ishlari birinchi darajali ahamiyatga ega bo’ladi. Shu bilan birga, arifmetik amallarni
yozma bajarish usullarini ko’rib chiqish bilan bir qatorda, 100 ichida raqamlar bilan (shuningdek, engil
holatlarda, katta raqamlar bilan) og’zaki hisob-kitoblarni bajarish qobiliyati ham doimo yaxshilanadi
deb taxmin qilinadi. . ............................................................................................................................. 32
Sonlarni yozma qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish usullarini, shuningdek og’zaki hisoblash
usullarini ochib berishda talabalarga bajariladigan amallarning ma’nosi, ularning ketma-ketligi va
mavjud asoslari haqida tushuncha beriladi . Shu bilan birga, yakuniy maqsadni doimo yodda tutish
kerak, ya’ni yozma hisob-kitoblarda ma’lum bir avtomatizmni rivojlantirish (bajarilgan operatsiyalarni
tushunishga qaytish ham tavsiya etiladi, bunda asosan ma’lum qiyinchiliklar yoki xatolar yuzaga
kelganda). hisob-kitoblar). ..................................................................................................................... 32
Dasturda boshlang’ich sinf o’quvchilarini millionlar sinfida raqamlash va ko’p xonali raqamlar ustida
amallar bilan tanishtirish nazarda tutilgan bo’lsa-da, tushuntirish xatida ko’rsatilgan cheklovga
11

$muvofiq, o’quv mashg’ulotlarining katta qismi faqat shunday raqamlar va operatsiyalarni o’z ichiga olishi kerak. bu milliondan oshmaydi. .................................................................................................... 32 Yozma hisob-kitoblar bo’yicha ish bilan bir qatorda, bolalarning harakatlarning o’zlari, ularning xususiyatlari (ba’zi yangi xususiyatlar kiritiladi), harakatlar o’rtasidagi mavjud bog’liqlik, tarkibiy qismlardan biri o’zgarganda harakatlar natijalarini o’zgartirish to’g’risida, munosabatlar haqida bilimlari. komponentlar va natija o’rtasidagi umumlashtiriladi va chuqurlashtiriladi. Tegishli bilimlarni umumlashtirish va chuqurlashtirish to’rt yillik boshlang’ich ta’lim davomida tizimli ravishda olib boriladigan kuzatuvlar asosida amalga oshiriladi. Bu bilimlarning barchasi, dasturning tushuntirish xatida ta’kidlanganidek, hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish uchun ishlatiladi. ............................... 32 Sonlar va arifmetik amallarni o’rganish bilan parallel va chambarchas bog’liq holda ifoda, tenglik va tengsizlik tushunchalarini shakllantirishga qaratilgan ishlar olib borilmoqda. Raqamli ifodalar, tenglik va tengsizliklar birinchi navbatda matematika o’qitishning birinchi darslarida uchrab turadi va keyin darsdan darsga tizimli ravishda ular ustida ishlash davom ettiriladi. Bu nafaqat ko’rib chiqilayotgan raqamlar maydonini kengaytirish, balki ko’rib chiqilayotgan iboralar tuzilishini murakkablashtirish va bolalar tomonidan ilgari olingan bilimlardan foydalanish bilan bog’liq vazifalar turlarini murakkablashtirish orqali materialni bosqichma-bosqich murakkablashtirishni o’z ichiga oladi. Ushbu tizim dastur matnida alohida, eng tipik misollar bilan tasvirlangan. Shunday qilib, "O’n" mavzusida birinchi navbatda bolalarni raqamlar va shakldagi yozuvlarni taqqoslash bilan tanishtirish ko’zda tutilgan: 5 \u003d 5, 6 < 7 , 9 > 8; so’ng shakldagi ifodalarni o’qish, yozish va solishtirish: 5+4 va 6+4, 7+2 va 7 – 2, 3+0 va 3 – 0 bilan tanishtiriladi.“Yuz” mavzusida iboralarni solishtirishga misollar keltiriladi. shakl bo’yicha: 10 - (5 + 3) va 10 - 5 - 3 (ularni taqqoslash har bir taqqoslangan iboraning qiymatini oldindan hisoblash va olingan raqamlarni taqqoslash asosida ham amalga oshirilishi mumkin. harakatlarning allaqachon ma’lum bo’lgan xususiyatlarining asosi). "100 ichida ko’paytirish va bo’lish" mavzusini o’rganishda taqqoslash uchun shaklning ifodalari taklif etiladi: mahsulotning kommutativ xususiyatidan foydalanish bilan bog’liq bo’lgan x 9 va 9 x va 7 8 va 7 9, bu erda bilimlar ko’paytirish va qo’shish o’rtasidagi bog’liqlik ishlatilishi mumkin va hokazo. P. .................................... 33 Tegishli mashqlar ifoda, tenglik, tengsizlik tushunchalarini shakllantirish vazifasiga qo’shimcha ravishda, shuning uchun ham hisoblash ko’nikmalarini, ham harakatlarni o’rganishda hisobga olingan arifmetika nazariyasi elementlarini mustahkamlash vazifasini bajaradi. ............................................... 33 Xulosa ........................................................................................................................................................ 34 Har bir xalqning o’ziga xos arifmetik amallari bo’lgan. Va ularning barchasi raqamlar ustida operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming yildan ko’proq vaqt davomida qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lishning arifmetik amallarini bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va tasdiqlangan. Bu arifmetik amallar matematikada asosiy amallardir. Rivojlanish tarixini o’rganish nafaqat talabalar uchun, balki o’zimiz uchun ham qiziqarli bo’lib, o’rganish yosh talabalarni qiziqtirishga yordam beradi. ............................................................................................................................................................... 34 To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq vazifalar bilan mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning ma’nosi asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy harakatlar asosida va tegishli matn vazifalari tizimida ochiladi. Ular asosida harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlar o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlarning ko’rib chiqilayotgan xususiyatlari va o’rganilgan matematik munosabatlari bolalar ongiga olib boriladi. ....... 34 Sonlarni qo`shish va ko`paytirish kommutativlik, assotsiativlik xossalariga ega, ko`paytirish qo`shishga nisbatan distributivdir. ........................................................................................................................... 34 12$

Bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalini tuzishda ko’paytirishning kommutativ xususiyati keng
qo’llaniladi. Assotsiativ qonun boshlang’ich maktabda aniq ko’rib chiqilmaydi, lekin sonni ko’paytmaga
ko’paytirishda kommutativ qonun bilan birga qo’llaniladi. Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan
taqsimot qonuni maktabda aniq misollar bilan ko’rib chiqiladi va sonni yig’indiga, yig’indini songa
ko’paytirish qoidalari deb ataladi. Ushbu ikki qoidani ko’rib chiqish uslubiy mulohazalar bilan
belgilanadi. ............................................................................................................................................ 34
Ish natijasida biz shunday xulosaga keldikki, arifmetik amallar va ularning xossalarini o’rganish
boshlang’ich maktabda ayniqsa muhimdir, chunki bu matematikani keyingi o’rganish uchun asosiy
asosdir. .................................................................................................................................................. 34
Adabiyotlar : .............................................................................................................................................. 35
13

Kirish
Hozirgi vaqtda maktabda matematika o`qitish muammolariga ko`proq e`tibor
berila boshlandi. Bu fan-texnika taraqqiyoti va fanni ko’p talab qiladigan
tarmoqlarning rivojlanishi bilan bog’liq. So’nggi paytlarda jadal rivojlanayotgan
va katta amaliy ahamiyatga ega bo’lgan texnika fanlarini, masalan, axborot
texnologiyalari, elektronika va boshqalarni matematika apparatisiz tasavvur qilib
bo’lmaydi.
Matematik savodxonlikning asosi aynan maktabda qo’yilgan, shuning uchun bu
jarayon bilan bog’liq masalalarni o’rganishga katta e’tibor beriladi. Matematika
maktabning asosiy fanlaridan biridir. U boshqa fanlarni o’rganishni ta’minlaydi.
Talabalardan irodali va aqliy kuchlarni, rivojlangan tasavvurni, diqqatni
jamlashni talab qiladi, matematika o’quvchi shaxsini rivojlantiradi. Bundan
tashqari, matematikani o’rganish mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga sezilarli
hissa qo’shadi va maktab o’quvchilarining dunyoqarashini kengaytiradi.
Matematikaning boshlang’ich kursi integratsiyalashgan kursdir: u arifmetik,
algebraik va geometrik materiallarni birlashtiradi. Shu bilan birga, boshlang’ich
kursning asosini natural son va nol, manfiy bo’lmagan butun sonlar bilan to’rtta
arifmetik amal va ularning eng muhim xususiyatlari, shuningdek og’zaki va
yozma ravishda ongli va mustahkam o’zlashtirish g’oyasi tashkil etadi. bu
bilimlar asosida hisoblash texnikasi.
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan
aniq vazifalar bilan mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning
ma’nosi asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy harakatlar asosida va tegishli
matn vazifalari tizimida ochiladi .
Agar berilgan ikkita raqam ma’lum shartlarni qondiradigan uchinchi raqamni
aniqlasa, matematikada bu jarayon harakat deb ataladi.
Hozirgi vaqtda mavjud bo’lgan barcha muqobil ta’lim tizimlari arifmetik
amallarning xususiyatlarini shakllantirishda to’plam nazariyasi yondashuviga
asoslanadi.
14

topshiriqlarga murojaat qilmasdan elementlar to’plamidan foydalanish odatiy
holdir . Har bir o’qituvchi vazifa bilan ishlash jarayonida arifmetik amallar va
ularning xossalarini o’rganish yaxshiroq o’rganilishini aniq tushunmaydi.
Arifmetik amallarning xossalarini o’rganishning ahamiyatidan kelib chiqib, turli
o’quv tizimlarida ushbu muammoni o’rganishga yagona yondashuv yo’qligi
sababli xossalar tushunchasini shakllantirish xususiyatlarini ko’rib chiqish,
aniqlashtirish va aniqlashtirish zarurati tug’iladi. arifmetik amallar. Bu
dolzarblikdir, chunki birinchidan, arifmetik amallarning xossalarini o’rganish va
qo’llash muhim mavzulardan biri bo’lsa, ikkinchidan, ko’pgina o’qituvchilar ushbu
amallarning xususiyatlaridan foydalanishga e’tibor bermaydilar.
Muvofiqligini hisobga olib , biz "Boshlang’ich maktabda matematika kursida
asosiy arifmetik amallar" kurs ishining mavzusini aniqladik.
Tadqiqot muammosi: bolalarning qanday ish usullari, faoliyati arifmetik
amallarning xususiyatlarini o’zlashtirishga erishishi mumkin.
Tadqiqot maqsadi: kichik yoshdagi o’quvchilarda arifmetik amallar xossalarini
shakllantirish xususiyatlarini aniqlash.
O’quv ob’ekti: boshlang’ich maktabda matematikani o’rganish jarayoni.
mavzusi : kichik yoshdagi o’quvchilarda arifmetik amallarning xususiyatlarini
shakllantirish.
O’qituvchilar tomonidan arifmetik amallar xossalarining o’ziga xos ma’nosini
ochib berish arifmetik amallar xossalari tushunchasini malakali shakllantirishga
yordam beradi:
1. Masala va misollar yechishda uni o’rganish, xossa va amallarni qo’llash
yaxshidir;
2. Kichik yoshdagi o’quvchilar uchun qulay shaklda ularni ko’rib chiqilayotgan
harakatlarning og’zaki va yozma hisob-kitob usullarining nazariy asosi bo’lgan
xususiyatlari bilan tanishtirish;
3. Bolalarda ongli va kuchli tez va to`g`ri hisoblash malakalarini shakllantirish.
Maqsadga erishish uchun quyidagi tadqiqot vazifalari belgilandi:
1. Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixini ko’rib chiqing.
15

2. Asosiy arifmetik xususiyatlarni ko’rib chiqing.
3. Boshlang’ich sinflarda arifmetik amallar va ularni o’rganish metodikasi bilan
tanishing.
Tadqiqot davomida quyidagi usullar qo’llanildi:
uslubiy va o’quv adabiyotlarini tahlil qilish; boshlang’ich sinf o’qituvchilari
tajribasini o’rganish.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi arifmetik amallar xossalarining o’ziga xos ma’nosini
ochish xususiyatlarini aniqlash va ulardan matematikani o’rganish jarayonida
foydalanishdadir.
16

I-bob . Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi
1.1. Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi
Raqamlar fani hisoblangan arifmetika bilan bizning matematika bilan tanishuvimiz
boshlanadi. 1703 yilda L. F. Magnitskiy tomonidan yozilgan birinchi rus
arifmetika darsliklaridan biri bu so’zlar bilan boshlangan: "Arifmetika yoki
hisoblagich - bu halol, hasad qilmaydigan va hamma uchun tushunarli, eng foydali
va eng maqtovga sazovor bo’lgan , eng qadimgi va eng yangi san’at. , turli
davrlarda yashagan eng yaxshi arifmetikani ixtiro qilgan va tushuntirgan. U o’z
kitobida beshta “ta’rif” yoki arifmetik amallarni ko’rib chiqdi: “sonlash yoki
hisoblash, qo’shish yoki qo’shish, ayirish yoki ayirish, ko’paytirish bo’lsa
ko’paytirish, bo’lish bo’lsa bo’lish”.
Arifmetika bilan biz, M.V.Lomonosov aytganidek, “o’rganish darvozalari”ga
kiramiz va dunyoni bilish bo’yicha uzoq va qiyin, ammo maftunkor sayohatimizni
boshlaymiz.
Turli xalqlarda turli davrlarda arifmetika kursining mazmuni juda xilma-xil edi.
Masalan, hindlar kub ildizini ajratib olishni elementar arifmetik amallar qatoriga
qo’ygan.
Arifmetik amallar deb atalgan narsani tushunish boshqacha edi. Bir necha asrlar
davomida barcha xalqlarning maktablari tomonidan qo’llanilgan lotin tili
darsliklarida bu harakatlar tiplar (harakat) deb nomlangan (lot. turlardan ) .
Arifmetik amallarning ta’rifi uchun bu nom birinchi marta 13-asr qo’lyozmalarida
uchraydi. XVI asrda. u keng tarqalgan bo’lib, arifmetik qism atamasini siqib
chiqaradi (lot. pars . dan artmetika ). Hind matematiklari oltita arifmetik amalni
ko’rib chiqdilar: qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish va
ildizlarni chiqarish.
Sakroboskoda (XIII asr) keyingi asrlarning ko’plab mualliflari kabi ulardan
to’qqiztasi mavjud: raqamlash, qo’shish, ayirish, ikkiga ko’paytirish, ko’paytirish (
yarmga bo’lish), bo’linish, progressiya, ildizlarni chiqarish. "Progressiya" harakati
ko’p hollarda tabiiy qator raqamlarining yig’indisini, kamdan-kam hollarda tabiiy
qatorlarning alohida juft va toq sonlarining yig’indisini va faqat istisno hollarda
17

ikkita oddiy geometrik progressiyalarning 1, 2 yig’indisini ko’rib chiqadi. , 4, 8, ...
va 1 , 3, 9, 27,...
"Ikki ko’paytirish" harakati Misrdan kelib chiqqan. Misr matematikasi haqidagi
asosiy ma’lumotlar 1800-1600 yillarda yozuvchi Ahmes tomonidan yozilgan
Rhind papirusidan olingan . Miloddan avvalgi. Bu Misr raqamlash bobida
tasvirlangan.
Eng so’nggi tadqiqotchilar (Archibald, Vileintner ) Misr fani sof amaliy va empirik
deb hisoblangan mavjud nuqtai nazarni rad etadilar, Ahmesning vazifalari ba’zan
shu qadar mavhumki, ular bevosita amaliyotdan kelib chiqqan.
Misrliklar sonlar ustidagi to’rt amalimizni qo’shish, ikkiga ko’paytirish va yarmiga
bo’lish yo’li bilan bajarishdi.
Ikki marta ko’paytirish asosiy operatsiya edi; Misr tilida ham buning uchun qo’sh
sonning maxsus shakli mavjud. To’g’ridan-to’g’ri operatsiyalardan faqat o’n
baravar ko’payish ishlatilgan. Ayirish minuendga ayirmani qo’shish, bo’lish ikki
barobarga ko’paytirish orqali amalga oshirildi.
Yunonlar, garchi ular ko’paytirish harakatiga ega bo’lsalar ham, kundalik
amaliyotda ular odatda Misrning ikki barobar ko’paytirish usulidan
foydalanganlar. Platon raqamlarni ko’paytirishning ikkita usulini eslatib o’tadi.
Maxsus arifmetik amallar sifatida u hind sanoqlarini targ ib qilgan samarqandlikʻ
matematik al-Xorazmiy (12-asr boshlari) o zining darsligiga ikki barobar va
ʻ
meditatsiyani kiritdi.
Hindlar bu harakatlardan foydalanmagani uchun, bu al-Xorazmiyning o’z g’oyasi
yoki Misrning arablar orqali ta’siri deb qarash kerak.
XII asrda al-Xorazmiy kitobining tarjimasi orqali. bu harakatlar birinchi marta
lotin tiliga Iordaniya Nemorariusning (XIII asr) Yevropa qo’llanmalariga va u
orqali monastir maktablariga kirdi. Faqat 15-asrning oxirida italiyalik muallif Luka
Pacioli raqamlarning ikki baravar ko’payishi va bifurkatsiyasi ko’payish va
bo’linishning alohida holatlari ekanligini ta’kidlaydi va ularni bekor qiladi.
18

Universitet fanlari vakillaridan birinchi bo’lib keraksiz harakatlardan voz
kechganlar XVI asrda matematik ta’limning ko’zga ko’ringan namoyandalari edi.
Vena universitetida Grammateus ( Shreiber ) va Gemma Frisius .
Ikkinchisi birinchi marta ta’rif beradi: "arifmetik operatsiya (lot. Turlardan ) biz
raqamni topish usulini chaqiramiz."
Biroq, hatto 1754 yilda Wolfning "Boshlanishi" o’z davri uchun ilg’or darsligi ham
sonni ko’paytirish jadvalini yodlamasdan - ikki barobarga oshirish va natijalarni
qo’shish orqali ko’paytirish mumkinligini ko’rsatadi.
Volfning 1770 yildagi kitobining birinchi ruscha nashri ("Matematikaning birinchi
asoslarining qisqartmasi") endi bu ko’rsatkichni o’z ichiga olmaydi va "kim tez
orada ko’paytirishni xohlasa, Pifagor panjarasini (ko’paytirish) o’rganishi kerak"
degan ko’rsatkich bilan cheklangan. stol) yoddan va hozircha, u sizning oldingizda
bo’lishi uchun xotirada qotib qolmaydi. "
Ikki marta ko’paytirish va ikki barobar ko’paytirishning Misr usuli juda qat’iyatli
bo’lib chiqdi va yaqin vaqtgacha amalda saqlanib qoldi.
Xorijiy adabiyotda bugungi kunda bu ko’paytirish usuli bir necha bor "Rossiya
dehqonlari tomonidan qo’llaniladigan raqamlarni ko’paytirish usuli" deb
ta’riflangan.
To’rt arifmetik amalni o’rganish tartibi turli xil vaqtlarda taklif qilingan.
Leonardda Piza harakatlari tartibda o’rganiladi: ko’paytirish, qo’shish, ayirish,
bo’lish; Piter Borgi (1484) - ko’paytirish, bo’lish, qo’shish, ayirish.
Arifmetik operatsiyalarni ko’paytirish bilan o’rganishni boshlash uchun bu asrning
boshlarida xalqaro falsafiy kongresslardan birida taklif qilingan. V.V. bu taklifga
keskin qarshi chiqdi. Bobinin Kebel (1515) to’rtta harakatning tengligini
ta’kidlaydi, Grammat (1518) qo’shishning ko’paytirish bilan, ayirishning bo’linish
bilan o’zaro bog’liqligini qayd etadi. Misrahiy (1528) ko’paytirishni qo’shishning
maxsus holati deb hisoblaydi va uni arifmetik amallar qatoriga kiritmaydi, chunki
u faqat qisqartirilgan belgilash usuli hisoblanadi.
Nepir (1550-1617) qadamlardagi arifmetik amallar orasidagi farqni birinchi marta
faqat 1839 yilda nashr etilgan "Logistika san’ati" kitobida ko’rsatadi. Nepir
19

ko’paytirish va bo’lishni qo’shish va ayirishdan yuqori tartibli harakatlar deb
biladi; operatsiyalarning uchinchi bosqichi - eksponentatsiya va ildizlarni olish.
Eng qadimiy hind yozuvlari Hindistonda arifmetikaning to’rtta amali bugungi
kunda xuddi shunday amalga oshirilganligidan dalolat beradi. Hindiston aholisi
keraksiz raqamni "o’chirish" oson bo’lgan silliqlangan planshetlarga yozganligi
sababli, ular chapdan o’ngga harakat qilishdi. Qog’ozga yozishda, bu tartib bilan,
uning ustiga yoki uning ostiga haqiqiyni yozish uchun keraksiz yoki noto’g’ri
raqamni kesib tashlash kerak bo’ldi. Bu texnikani arablar kiritgan va ulardan
yevropaliklarga o’tgan; uning noqulayligi allaqachon Maksim Planud (1313)
tomonidan qayd etilgan.
15-asrdan boshlab Evropada bizning hisoblash usullarimiz qo’llaniladi, bu
raqamlarni chizishni talab qiladi (Italiyadan boshlab). Beldomandining "
algoritmik traktati" da (1410) faqat bo’linish arifmetik amallarni bajarish
uslublarimizdan farq qiladi. Germaniyada qo’llanilgan "nemis uslubidagi"
raqamlarni kesib tashlash usuli, so’nggi usul XV asrning eng ko’zga ko’ringan
evropalik matematiklari tomonidan qabul qilinganidan so’ng, italyanchaga o’tdi.
Gmunden , Purbach , Regiomontanus .
Shunday qilib, har bir xalqning o’ziga xos arifmetik amallari mavjud edi. Va
ularning barchasi raqamlar ustida operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming
yildan ortiq vaqt davomida arifmetik amallarni bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va
tasdiqlangan. Har qanday kontseptsiyaning rivojlanish tarixini o’rganish nafaqat
talabalar uchun, balki o’zimiz uchun ham qiziqarli va arifmetik amallarning
rivojlanish tarixini o’rganish, albatta, kichik yoshdagi o’quvchilarni matematikaga
qiziqtirishga yordam beradi.
1.2. Arifmetik amallarning xossalari.
Boshlang’ich sinf o’qituvchisi birinchi bo’lib sonlar va ularning xossalari ustida
turli amallarni kiritadi. Bolalarni maktab o’quvchilariga matematikani keyingi
o’qitishda algebraik tushunchalarni rivojlantirish istiqbollarini ko’rishga malakali
20

o’rgatish uchun o’qituvchi algebraik operatsiya nima ekanligini, qanday
xususiyatlarga ega bo’lishi mumkinligini bilishi kerak.
Keling, algebraik amallarning xossalarini umumiy shaklda aniqlagan holda ko’rib
chiqaylik. Biz algebraik amallarni belgilar bilan belgilaymiz: * (yulduzcha) va ○
(doira).
Algebraik amallarning eng muhim xossasi assotsiativlik (kombinatsiya) xossasidir.
Ta’rif. Algebraik operatsiya *, deyiladi assotsiativ , agar biron bir element uchun
tenglik bo’lsa
( a * b ) * c = a * ( b * c )
Masalan, natural sonlarni qo’shish assotsiativ hisoblanadi: har qanday a , b va c
natural sonlar uchun ( a + b ) + c = a + ( b + c ) tengligi bajariladi . Ratsional va
haqiqiy sonlarni assotsiativ qo’shish. Shuning uchun bir nechta sonlar yig’indisini
qavssiz yozish mumkin.
(a + b) + c va a + (b + c) o’rniga a + b + c.
Assotsiativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak, (12 -
7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3) butun sonlarni ayirish assotsiativ emas.
Algebraik amalning assotsiativligi barcha ifodalarni qavslarsiz yozish imkonini
beradi, lekin bu ifodaga kiritilgan elementlarni qayta tartibga sola olmaysiz.
Elementlarni almashtirish faqat operatsiya kommutativ bo’lgan taqdirdagina
mumkin (o’zgartirish xususiyati).
Ta’rif. Har qanday ikkita a va b element uchun tenglik bajarilsa, * algebraik
operatsiya kommutativ deyiladi :
a * b = b * a
Kommutativ amallarga natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish misol bo’la oladi,
chunki har qanday natural sonlar uchun a va b tengliklari a + b = b + a , a ∙ b = b ∙ a
. Bu tengliklar nafaqat natural sonlar, balki har qanday haqiqiy sonlar uchun ham
amal qiladi, shuning uchun haqiqiy sonlar to’plamida qo’shish va ko’paytirish ham
kommutativdir.
Kommutativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak,
butun sonlarni ayirish kommutativ emas. Masalan: 12 - 7 ≠ 7 - 12.
21

Agar to’plamda ikkita algebraik amal berilgan bo’lsa, u holda ular bir-biri bilan
taqsimlanish xususiyati (taqsimot qonuni) bilan bog’lanishi mumkin.
Ta’rif. Agar biron bir element uchun quyidagi tengliklar bajarilsa, algebraik amal ○
algebraik amalga nisbatan distributiv deyiladi:
1) (a * b)○ c = (a ○ b)*(a ○ b) 2) c○(a * b) = (c ○ a)*(c ○ b).
* amaliga nisbatan to g ri taqsimlovchi ʻ ʻ deyiladi ; agar u operatsiyaga nisbatan
amalga oshirilsa *.
Keling, qanday hollarda o’ng va chap tomonda taqsimlanish farqlanishini bilib
olaylik.
Natural sonlar to’plamida ikkita amalni ko’rib chiqaylik: darajaga ko’tarish (1 va 2
tengliklardagi ○ operatsiyasiga mos keladi) va ko’paytirish (1 va 2 tengliklardagi *
operatsiyasiga mos keladi). 1-tenglik bo’yicha bizda: ( a ∙ b ) c
= a c
∙ b c
. Olingan
tenglik har qanday natural sonlar uchun amal qiladi , ya’ni ko’paytirishga nisbatan
ko’rsatkich to’g’ri taqsimlanadi. 2-tenglikka muvofiq, biz olamiz
miloddan avvalgi
= a b
∙ a c
. Ammo bu tenglik har doim ham qondirilmaydi, ya’ni
kuchga ko’tarish operatsiyasi ko’paytirishga nisbatan chap tomonda
taqsimlanmaydi. Bu holat eksponentsiya kommutativlik xususiyatiga ega
bo’lmagan operatsiya ekanligining natijasidir.
Agar natural sonlarni qo’shish va ko’paytirishni oladigan bo’lsak, u holda
ko’paytirish qo’shishga nisbatan taqsimlanadi: har qanday a , b va c natural sonlari
uchun tenglik
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c; c ∙ (a + b) = c ∙ a + c ∙ b.
c omili qayerda yozilishi muhim emas - yig’indining o’ng tomonida ( a + b ) yoki
uning chap tomonida. Shuning uchun maktab matematika kursida ular chap va
o’ng taqsimotni ajratmaydilar, shunchaki ko’paytirishning qo’shishga nisbatan
taqsimlanishi haqida gapiradilar.
Ko’pincha, algebraik operatsiya ko’rib chiqiladigan to’plamda neytral va yutuvchi
deb ataladigan maxsus elementlar ajratiladi.
22

Ta’rif. X to’plamdagi e elementi, agar X to’plamdagi har qanday x element uchun
x * e = e * x = x tengliklari bajarilsa , algebraik operatsiyaga * nisbatan neytral
deyiladi .
Agar algebraik operatsiyaga nisbatan neytral element mavjud bo’lsa, u yagona
hisoblanadi.
Ta’rif. X to’plamdagi p elementi, agar X to’plamdagi har qanday x element uchun
x * p = p * x = p tengliklari bajarilsa , algebraik operatsiyaga * nisbatan yutish
deyiladi .
Agar algebraik operatsiyaga nisbatan yutuvchi element mavjud bo’lsa, u yagona
hisoblanadi.
arifmetik amallarning xossalari .
Qo’shimcha xususiyatlar:
1. Qo’shishning kommutativ (kommunikativ) qonuni:
a + b = b + a .
Shartlar joylarini o’zgartirishdan yig’indi o’zgarmaydi.
Misol: 45 + 21 = 21 + 45 = 66.
2. Qo’shishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni:
a + b + c = a + (b + c).
Har qanday qo’shni shartlar guruhi ularning yig’indisi bilan almashtirilsa, yig’indi
o’zgarmaydi.
Misol: 197 + 23 + 77 = 197 + (23 + 77) = 197 + 100 = 297.
Eslatma: ikkala qonun ham istalgan muddat uchun amal qiladi.
3. a + 0 = 0 + a = a . neytral element. Raqamga nol qo’shish bu raqamni
o’zgartirmaydi.
Misol: 99 + 0 = 0 + 99 = 99.
Ayirish xususiyatlari:
1. a - 0 = a. O’ng tomonda neytral element. Raqamdan nolni ayirish bu raqamni
o’zgartirmaydi.
Misol: 17 - 0 = 17.
2. a - a = 0. Agar bu raqam raqamdan ayirilsa, u holda farq nolga teng.
23

$Misol: 276 - 276 = 0. 3. Raqamdan yig’indini ayirish: a - (b + c) \u003d a - b - c. Raqamdan yig’indini ayirish uchun bu sondan bitta hadni, hosil bo’lgan farqdan ikkinchi hadni ayirish mumkin. Misol: 183 - (43 + 19) = 183 - 43 - 19 = 140 - 19 = 121. 4. Yig’indidan sonni ayirish: (a + b) - c \u003d (a - c) + b \u003d a + (b - c). Raqamni yig’indidan ayirish uchun siz bu raqamni istalgan bitta haddan ayirib, hosil bo’lgan farqni qolgan shartlar yig’indisiga qo’shishingiz mumkin. Misol: (143 + 27) - 33 = (143 - 33) + 27 = 110 + 27 = 137. 5. Ayirmani songa qo’shish: a + (b - c) = a + b - c. Raqamga farqni qo’shish uchun siz unga minuendni qo’shishingiz va olingan summadan ayirmani ayirishingiz mumkin. Misol: 543 + (202 - 45) = 543 + 202 - 45 = 745 - 45 = 700. Ko’paytirish xususiyatlari: 1. Ko’paytirishning ko’chirish (kommunikativ) qonuni: a b = b a. Mahsulot omillar o’rnini o’zgartirishdan o’zgarmaydi. Misol: 10 ∙ 11 = 11 ∙ 10 = 110. 2. Ko’paytirishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni: a b c = a (b c). Har qanday qo’shni omillar guruhi ularning mahsuloti bilan almashtirilsa, mahsulot o’zgarmaydi. Misol: 39 ∙ 25 ∙ 4 = 39 ∙ (25 ∙ 4) = 39 ∙ 100 = 3900. 3. Qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot (taqsimlash) qonuni: (a + b + c) d = ad + bd + cd . Bir necha sonlar yig’indisining istalgan songa ko’paytmasi har bir hadning shu songa ko’paytmalari yig’indisiga teng. Misol: (150 + 12) ∙ 4 = 150 ∙ 4 + 12 ∙ 4 = 600 + 48 = 648. 4. Ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimlovchi (tarqatuvchi) qonuni: (a - b) c = ac - bc . 24$

Farqni raqam bilan ko’paytirish uchun siz bu raqamni alohida-alohida
qisqartirilgan va ayirilgan holda ko’paytirishingiz mumkin, so’ngra ikkinchisini
birinchi mahsulotdan ayirishingiz mumkin.
Misol: (125 - 40) ∙ 8 = 125 ∙ 8 - 40 ∙ 8 = 1000 - 320 = 680.
5. a 1 = 1 a = a. neytral element.
Raqamni bittaga ko’paytirish raqamning o’zini beradi.
Misol: 45 ∙ 1 = 1 ∙ 45 = 45.
6. a 0 = 0 a = 0. Yutuvchi element.
Raqamni nolga ko’paytirsangiz, siz nolga erishasiz.
Misol: 699 ∙ 0 = 0.
Eslatma. Agar bir nechta omillar mahsulotida omillardan kamida bittasi nolga
teng bo’lsa, u holda mahsulot nolga teng bo’ladi.
Bo’linish xususiyatlari:
1. a : 1 = a. neytral element.
Raqamni bittaga bo’lganingizda, siz raqamning o’zini olasiz.
Misol: 503 : 1 = 503.
2. 0 : a = 0. Chapdagi yutuvchi element.
Nolni nolga teng bo’lmagan har qanday raqamga bo’lganingizda, siz nolga
erishasiz.
Misol: 0 : 942 = 0.
3. Siz nolga bo’la olmaysiz!
4. a : a = 1.
Nolga teng bo’lmagan son o’z-o’zidan bo’linsa, biz bittani olamiz.
Misol: 67 : 67 = 1.
5. Yig’indini songa bo’lish: (a + b ) : c = a : c + b : c.
Yig’indini qandaydir songa bo’lish uchun siz har bir atamani ushbu raqamga
alohida (agar iloji bo’lsa) bo’lishingiz va natijada olingan ko’rsatkichlarni
qo’shishingiz mumkin.
Misol: (55 + 75 ) : 5 = 55 : 5 + 75 : 5 = 11 + 15 = 26.
25

$6. Ayirmani songa bo’lish: (a - b ) : c = a : c - b : c. Farqni ba’zi bir raqamga bo’lish uchun siz bu raqamni qisqartirilgan va ayirilmagan (agar iloji bo’lsa) bo’linib, ikkinchisini birinchi qismdan ayirishingiz mumkin. Misol: (99 - 66 ) : 3 = 99 : 3 - 66 : 3 = 33 - 22 = 11. 7. Mahsulotni raqamga bo’lish: (a b ): c \u003d (a: c) b \u003d a (b: c). Ikki omilning mahsulotini raqamga bo’lish uchun siz ushbu raqamga har qanday omillarni (agar bo’linish mumkin bo’lsa) bo’lishingiz va qismni ikkinchi omilga ko’paytirishingiz mumkin. Misol: (77 ∙ 9 ) : 7 = (77 : 7) ∙ 9 = 11 ∙ 9 = 99. 26$

-bob.Matematikaning boshlang’ich kursidagi arifmetik amallar va ularni
o’rganish usullari.
Boshlang’ich ta’limning barcha to’rt yillik davrida bolalarda natural son va
arifmetik amallar haqidagi tushunchalarni shakllantirish ishlari olib borilmoqda.
Bu eng boshidan bu tushunchalarni amaliy qo’llashning turli holatlarini ko’rib
chiqish, bolalar tomonidan sonlarning ayrim xossalarini, o’nlik sanoq sistemasini,
arifmetik amallar va ular asosida hisoblash usullarini o’zlashtirishga qaratilgan
ishlar bilan chambarchas bog’liq holda amalga oshiriladi. Ushbu ishning natijasi
bolalar tomonidan dasturga kiritilgan nazariy savollarni o’zlashtirishi va
o’rganilgan nazariy savollarni turli amaliy va o’quv masalalarini hal qilishda
qo’llash, og’zaki va yozma hisob-kitoblarni bajarish ko’nikmalarini ongli va kuchli
egallashi kerak. Shu bilan birga, nazariya va amaliyot dasturning arifmetik
qismidagi butun ish davomida ularning birligi va o’zaro bog’liqligida harakat
qilishi kerak. Ommaviy maktablar amaliyotida dasturni amalga oshirish tajribasini
kuzatishlar shuni ko’rsatadiki, dasturning aynan shu eng muhim talabi ko’pincha
buziladi.
Bu shuni ko’rsatadiki, aytaylik, og’zaki hisoblash ko’nikmalarini mashq qilganda,
o’qituvchilar ko’pincha bolalar ongiga bajariladigan operatsiyalarning nazariy
asoslarini etkazish zarurligini unutib qo’yishadi, agar xatolar bo’lsa, buni
o’rgatmaydilar. Hisob-kitoblar kursi, talabalar o’sha masalalarni ko’rib chiqishga
qaytadilar, ularning xatosi sababini tushunishga va uni o’zlari tuzatishga yordam
beradigan nazariyalar. Ayni paytda, ishonchli, to’g’ri va tezkor hisob-kitoblarning
haqiqatan ham kuchli ko’nikmalarini shakllantirish uchun asos bo’lgan
assimilyatsiya ongidir.
Nazariya va amaliyotni birlikda ko’rib chiqish talabining buzilishi matematika
darslarida nazariy xarakterga ega bo’lgan savollar ko’pincha bolalar oldiga
mavhum shaklda, tegishli ta’riflar, “qoidalar” va hokazolar qo’yilishida ham
namoyon bo’ladi . o’rganiladi. ularning amaliy qo’llanilishidan tashqari. Shu bilan
birga, talabalardan dasturda umuman ko’zda tutilmagan yoki keyinchalik bolalar
tomonidan o’rganilishi kerak bo’lgan formulalarni bilish talab qilinadigan holatlar
27

bilan shug’ullanish kerak. Bu, masalan, birinchi sinf o’qituvchisi: "Qo’shilgan
raqamlar qanday nomlanadi?", degan savolga to’liq javob talab qilganda. Bu
shaklda matematik terminologiyani bilish umuman talab qilinmasligi kerak. (Faqat
o’qituvchi ularni qo’llaganida, bolalar tegishli so’zlarning ma’nosini tushunishlari
va bu atamalarni o’z nutqlariga asta-sekin kiritishlari muhim) Bu, shuningdek,
birinchi sinfda o’qiyotgan o’qituvchi o’quvchilardan ayirish qanday amalga
oshirilishini tushuntirishni talab qilganda ham shundaydir. qo’shimcha yordamida
tekshiriladi (bu ikkinchi o’quv yili materiali) va hokazo.
O’quvchilarning sun’iy ortiqcha yuklanishiga olib keladigan bunday uslubiy
xatolarga yo’l qo’ymaslik uchun I sinfdan IV sinfgacha arifmetik materiallar ustida
ishlashning butun tizimini aniq tushunish, nazariyaning ushbu elementlarining
ma’nosi va o’rnini tushunish muhimdir. dastur tomonidan.
Dastur talablaridan quyidagi vazifalar kelib chiqadi:
1. Ko`rib chiqilayotgan harakatlarning ma`nosini bolalar ongiga yetkazish, turli
sodda masalalarni yechishda arifmetik amalni to`g`ri tanlashga o`rgatish.
2. Kichik yoshdagi o’quvchilar uchun qulay darajada va ular uchun qulay shaklda,
ularni ko’rib chiqilayotgan harakatlarning og’zaki va yozma hisob-kitob
usullarining nazariy asosi bo’lgan xususiyatlari bilan tanishtirish.
3. Hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish, shuningdek, masalalar yechishning eng
oqilona yo’llarini topish maqsadida tegishli bilimlardan foydalangan holda
o’rganilayotgan xususiyatlarni turli sharoitlarda qo’llashni o’rgatish.
4. Bolalar harakatlar o’rtasida mavjud bo’lgan aloqalarni o’rganishlarini
ta’minlash. Tegishli bilimlarni qo’llash yo’llarini o’rgatish: a) hisob-kitoblarda
(ko’paytirishning tegishli holini bilish asosida bo’lakni topishda, qo’shishning
tegishli holini bilish asosida ayirma topishda); b) bajarilgan hisob-kitoblarning
to’g’riligini tekshirishda; v) harakatlarning noma’lum komponentini topishga oid
masalalarni yechishda va d) eng oddiy tenglamalarni yechishda.
5. Bolalarning og’zaki va yozma hisob-kitoblarning asosiy usullarini ongli va
qat’iy o’zlashtirishini ta’minlash, har bir aniq misolning xususiyatlariga eng mos
keladigan ma’lum hisoblash usullarini ongli ravishda tanlash qobiliyati.
28

6. Bolalarda tez va to’g’ri hisoblashning ongli va kuchli ko’nikmalarini
shakllantirish.
Kursning ushbu aniq vazifalarining har birini muvaffaqiyatli hal qilish uchun
nafaqat tegishli mashqlarning mazmuni va tizimini aniqlash kerak (bu asosan
darsliklarda amalga oshiriladi), balki turli xil o’qitish usullaridan foydalanish
maqsadga muvofiqdir.
Harakatlarning ma’nosini, ular o’rtasida mavjud bo’lgan bog’lanishlarni,
harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlikni anglash faqat
ushbu nazariy masalalarni bolalarning o’z tajribasiga asoslangan holda ko’rib
chiqishda ta’minlanishi mumkin. Shu bilan birga, shuni yodda tutish kerakki, biz
bu erda nafaqat bolalarning ob’ektlar bilan turli amaliy harakatlar jarayonida
egallagan hayotiy tajribasi, balki maktabda matematikani o’rganishda to’plangan
tajriba haqida ham gaplashishimiz kerak.
Aytaylik, raqamlash va arifmetik operatsiyalar ustida ishlash matematikaning
dastlabki kursida konsentrik tarzda qurilgan . Dasturda bolalar bilan ko’rib
chiqiladigan raqamlar (o’n - yuz - ming - ko’p xonali sonlar) maydonini
bosqichma-bosqich kengaytirish va ushbu mavzularning har birini o’rganishda bir
qator masalalarni ko’rib chiqish tizimi ko’rsatilgan. raqamlarning yangi sohasi,
bolalarning raqamlash va raqamlar bilan operatsiyalar bo’yicha ilgari olingan
bilimlarini bosqichma-bosqich joriy etish (yoki chuqurlashtirish, tizimlashtirish,
umumlashtirish). Bolalarni raqamlar va arifmetik amallar bilan tanishtirish
matematikaning birinchi darslarida ikkita berilgan ob’ektlar to’plamini
birlashtirish, ikkita to’plam elementlari o’rtasidagi moslikni o’rnatish, berilgan
ob’ektlar to’plamining bir qismini ajratib ko’rsatish bo’yicha amaliy mashg’ulotlar
bilan tayyorlanadi.
To’plamlar bilan operatsiyalardan boshlab, bolalar asta-sekin ob’ektlarni sanashga
o’tadilar, tabiiy qatorning birinchi o’nta raqami (ularning nomlari, ketma-ketligi)
bilan tanishadilar, bu raqamlar misolida har bir keyingi raqam natural qatorda
qanday hosil bo’lishini bilib oladilar, sonlarni solishtirish, ularning yig’indisi va
ayirmasini topishni o’rganish. Birinchidan, bu ikkita to’plamni birlashtirish yoki
29

to’plamning bir qismini o’chirish natijasida olingan ob’ektlar to’plami bo’yicha
tegishli operatsiyalarni bajarish va to’plamning elementlarini sanash, so’ngra
raqamlarga ta’sir qilishning ba’zi usullarini qo’llash (hisoblash va hisoblash)
asosida amalga oshiriladi. birlik va guruhlar bo’yicha va boshqalar).
10, so’ngra yuzlab qo’shish va ayirishni o’rganayotganda bolalar amallar
xossalaridan (yig’indining almashinish xususiyati, sonni yig’indiga va yig’indini
songa qo’shishning turli usullari) foydalanishga asoslangan hisoblash texnikasi
bilan tanishadilar. , yig’indidan sonni va sondan yig’indini ayirish), shuningdek,
qo’shish va ayirish o’rtasidagi munosabatni tushunishga asoslanadi. Shu bilan
birga, yuqorida aytib o’tilganidek, ushbu xususiyatlarni va turli xil hisoblash
usullarini hisobga olish bilan bog’liq barcha ishlar hisob-kitoblarni
ratsionalizatsiya qilish muammosiga bog’liq.
Hisoblash ko’nikmalarini shakllantirish bilan bog’liq o’qishning birinchi yilidagi
eng muhim vazifa - bu bir xonali raqamlarni qo’shish va ko’nikmalarni
shakllantirishda avtomatlashtirilgan hisob-kitoblarni amalga oshirish imkoniyatini
beradigan qo’shish va ayirishning jadvalli holatlarini bolalar tomonidan
o’zlashtirish. ikki xonali raqamlar bilan tez og’zaki hisoblar uchun.
Dasturning tushuntirish xatida qo’shish va ayirishning jadval hollarini xotirada
mashq bajarish natijasida bolalar o’zlashtirib olishlari kerakligi, shuning uchun
ham bolalarda ularni yodlash uchun sharoit yaratish katta ahamiyatga ega ekanligi
ta’kidlangan. Shuningdek, kunlik o’quv ishlarini olib borish kerak, ularsiz istalgan
natijaga erishib bo’lmaydi.
100 ichida raqamlashni ko’rib chiqishda bolalarni yangi hisoblash birligi - o’n
bilan tanishtirishga, bitli sonlardan raqamlar tarkibini o’rganishga (13 - 10 va 3
yoki 1 o’n va 3 birlik), raqamlarning mahalliy ma’nosini aniqlashga alohida e’tibor
beriladi. ikki xonali sonlarni yozishda. Ushbu masalalarni ko’rib chiqish bolalar
tomonidan tegishli bilimlardan ishonchli foydalanishni nazarda tutadigan darajada
amalga oshiriladi, ammo har qanday umumlashtirilgan formulalarni o’zlashtirishni
talab qilmaydi.
30

100 ichida ko’paytirish va bo’lish II sinfda o’rganiladi. Bolalar uchun ushbu yangi
arifmetik amallar bilan tanishishda o’qituvchi I sinf uchun dasturda ko’zda tutilgan
tayyorgarlik ishlariga tayanishi mumkin (bir xil atamalar yig’indisini topish va
sonni shunday yig’indi sifatida ifodalash mashqlari).
Qo’shish va ayirishni o’rganishda bo’lgani kabi, 100 ichida ko’paytirish va bo’lish
usullarini ko’rib chiqish bolalarni ushbu harakatlarning eng muhim xususiyatlari
va ko’paytirish va bo’lish o’rtasidagi mavjud munosabatlar bilan oldindan
tanishtirishga asoslanadi. Bu qo’shish va ayirish bilan bog’liq yuqorida muhokama
qilgan savollarga o’xshash savollarni tug’diradi.
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq
vazifalar bilan mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning ma’nosi
asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy harakatlar asosida va tegishli matn
vazifalari tizimida ochiladi.
Ular asosida harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlik,
harakatlar o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlarning ko’rib chiqilayotgan xususiyatlari
va o’rganilgan matematik munosabatlari bolalar ongiga olib boriladi.
Allaqachon "O’n" mavzusida birinchi o’nta raqam bilan tanishgandan so’ng,
bolalar birinchi marta nolga duch kelishadi. Kelajakda qo`shish, ayirish,
ko`paytirish va bo`lishni o`rganish jarayonida nol bilan amallar hollarini ko`rib
chiqishga alohida e`tibor beriladi. Ko’paytirish va bo’linishni o’rganish bilan
bog’liq holda, ko’paytirish va bo’lishning nol va bir bilan amalga oshiriladigan
holatlari alohida ajratilgan.
Raqamlar va arifmetik amallarni o’rganish bilan uzviy bog’liq holda, bolalarni
miqdorlar va ularni o’lchash bilan tanishtirish ishlari ham olib borilmoqda. Yangi
o’lchov birliklari bilan tanishish va ular o’rtasidagi munosabatlarni o’rnatish, turli
o’lchov birliklarida ifodalangan raqamlarni o’zgartirish mashqlari odatda
raqamlash bo’yicha ishlar bilan bog’liq. (Shunday qilib, parallel ravishda, ikkinchi
o’nlik raqamlarining bit shartlaridan tarkibi va o’lchash natijasida 1 dm 5 sm
ko’rinishdagi raqamlar segmentlarini olish, bu raqamlarni o’zgartirish: 1 dm 5 sm
= 15 sm.Bu shakldagi holatlarga o’xshashlik yo’li bilan amalga oshiriladi: 1 dek. 5
31

birlik 15 birlik ) Bu tamoyil kelajakda ham amalga oshiriladi - raqamlar
oralig’ining har bir kengayishi bilan va harakatlarning yangi holatlarini ko’rib
chiqishda.
"Ming" va "Ko’p xonali sonlar" mavzularini o’rganishga o’tishda yozma hisoblash
ko’nikmalarini shakllantirish ishlari birinchi darajali ahamiyatga ega bo’ladi. Shu
bilan birga, arifmetik amallarni yozma bajarish usullarini ko’rib chiqish bilan bir
qatorda, 100 ichida raqamlar bilan (shuningdek, engil holatlarda, katta raqamlar
bilan) og’zaki hisob-kitoblarni bajarish qobiliyati ham doimo yaxshilanadi deb
taxmin qilinadi. .
Sonlarni yozma qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish usullarini, shuningdek
og’zaki hisoblash usullarini ochib berishda talabalarga bajariladigan amallarning
ma’nosi, ularning ketma-ketligi va mavjud asoslari haqida tushuncha beriladi . Shu
bilan birga, yakuniy maqsadni doimo yodda tutish kerak, ya’ni yozma hisob-
kitoblarda ma’lum bir avtomatizmni rivojlantirish (bajarilgan operatsiyalarni
tushunishga qaytish ham tavsiya etiladi, bunda asosan ma’lum qiyinchiliklar yoki
xatolar yuzaga kelganda). hisob-kitoblar).
Dasturda boshlang’ich sinf o’quvchilarini millionlar sinfida raqamlash va ko’p
xonali raqamlar ustida amallar bilan tanishtirish nazarda tutilgan bo’lsa-da,
tushuntirish xatida ko’rsatilgan cheklovga muvofiq, o’quv mashg’ulotlarining katta
qismi faqat shunday raqamlar va operatsiyalarni o’z ichiga olishi kerak. bu
milliondan oshmaydi.
Yozma hisob-kitoblar bo’yicha ish bilan bir qatorda, bolalarning harakatlarning
o’zlari, ularning xususiyatlari (ba’zi yangi xususiyatlar kiritiladi), harakatlar
o’rtasidagi mavjud bog’liqlik, tarkibiy qismlardan biri o’zgarganda harakatlar
natijalarini o’zgartirish to’g’risida, munosabatlar haqida bilimlari. komponentlar va
natija o’rtasidagi umumlashtiriladi va chuqurlashtiriladi. Tegishli bilimlarni
umumlashtirish va chuqurlashtirish to’rt yillik boshlang’ich ta’lim davomida
tizimli ravishda olib boriladigan kuzatuvlar asosida amalga oshiriladi. Bu
bilimlarning barchasi, dasturning tushuntirish xatida ta’kidlanganidek, hisob-
kitoblarni ratsionalizatsiya qilish uchun ishlatiladi.
32

$Sonlar va arifmetik amallarni o’rganish bilan parallel va chambarchas bog’liq holda ifoda, tenglik va tengsizlik tushunchalarini shakllantirishga qaratilgan ishlar olib borilmoqda. Raqamli ifodalar, tenglik va tengsizliklar birinchi navbatda matematika o’qitishning birinchi darslarida uchrab turadi va keyin darsdan darsga tizimli ravishda ular ustida ishlash davom ettiriladi. Bu nafaqat ko’rib chiqilayotgan raqamlar maydonini kengaytirish, balki ko’rib chiqilayotgan iboralar tuzilishini murakkablashtirish va bolalar tomonidan ilgari olingan bilimlardan foydalanish bilan bog’liq vazifalar turlarini murakkablashtirish orqali materialni bosqichma-bosqich murakkablashtirishni o’z ichiga oladi. Ushbu tizim dastur matnida alohida, eng tipik misollar bilan tasvirlangan. Shunday qilib, "O’n" mavzusida birinchi navbatda bolalarni raqamlar va shakldagi yozuvlarni taqqoslash bilan tanishtirish ko’zda tutilgan: 5 \u003d 5, 6 < 7 , 9 > 8; so’ng shakldagi ifodalarni o’qish, yozish va solishtirish: 5+4 va 6+4, 7+2 va 7 – 2, 3+0 va 3 – 0 bilan tanishtiriladi.“Yuz” mavzusida iboralarni solishtirishga misollar keltiriladi. shakl bo’yicha: 10 - (5 + 3) va 10 - 5 - 3 (ularni taqqoslash har bir taqqoslangan iboraning qiymatini oldindan hisoblash va olingan raqamlarni taqqoslash asosida ham amalga oshirilishi mumkin. harakatlarning allaqachon ma’lum bo’lgan xususiyatlarining asosi). "100 ichida ko’paytirish va bo’lish" mavzusini o’rganishda taqqoslash uchun shaklning ifodalari taklif etiladi: mahsulotning kommutativ xususiyatidan foydalanish bilan bog’liq bo’lgan x 9 va 9 x va 7 8 va 7 9, bu erda bilimlar ko’paytirish va qo’shish o’rtasidagi bog’liqlik ishlatilishi mumkin va hokazo. P. Tegishli mashqlar ifoda, tenglik, tengsizlik tushunchalarini shakllantirish vazifasiga qo’shimcha ravishda, shuning uchun ham hisoblash ko’nikmalarini, ham harakatlarni o’rganishda hisobga olingan arifmetika nazariyasi elementlarini mustahkamlash vazifasini bajaradi. 33$

Xulosa
Har bir xalqning o’ziga xos arifmetik amallari bo’lgan. Va ularning barchasi
raqamlar ustida operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming yildan ko’proq
vaqt davomida qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lishning arifmetik amallarini
bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va tasdiqlangan. Bu arifmetik amallar
matematikada asosiy amallardir. Rivojlanish tarixini o’rganish nafaqat talabalar
uchun, balki o’zimiz uchun ham qiziqarli bo’lib, o’rganish yosh talabalarni
qiziqtirishga yordam beradi.
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq
vazifalar bilan mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning ma’nosi
asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy harakatlar asosida va tegishli matn
vazifalari tizimida ochiladi. Ular asosida harakatlarning tarkibiy qismlari va
natijalari o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlar o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlarning
ko’rib chiqilayotgan xususiyatlari va o’rganilgan matematik munosabatlari bolalar
ongiga olib boriladi.
Sonlarni qo`shish va ko`paytirish kommutativlik, assotsiativlik xossalariga ega,
ko`paytirish qo`shishga nisbatan distributivdir.
Bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalini tuzishda ko’paytirishning kommutativ
xususiyati keng qo’llaniladi. Assotsiativ qonun boshlang’ich maktabda aniq ko’rib
chiqilmaydi, lekin sonni ko’paytmaga ko’paytirishda kommutativ qonun bilan
birga qo’llaniladi. Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimot qonuni maktabda
aniq misollar bilan ko’rib chiqiladi va sonni yig’indiga, yig’indini songa
ko’paytirish qoidalari deb ataladi. Ushbu ikki qoidani ko’rib chiqish uslubiy
mulohazalar bilan belgilanadi.
Ish natijasida biz shunday xulosaga keldikki, arifmetik amallar va ularning
xossalarini o’rganish boshlang’ich maktabda ayniqsa muhimdir, chunki bu
matematikani keyingi o’rganish uchun asosiy asosdir.
34

Adabiyotlar :
1. Bantova M.A. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi: Maktab
o’quvchilari uchun darslik. Maxsus pedagogika maktablari № 2001 / Nashr.
M.A. Bantova, M.A. Beltyukov - 3-nashr, Rev. - M.: Ma’rifat , 1984 yil.
2. Berlyand I.E. Topishmoq va raqamlar: 1-sinfda xayoliy darslar: O’qituvchi
uchun qo’llanma. - M.: Akademiya, 1996 yil.
3. Vernier J. Bola, matematika va haqiqat: boshlang’ich maktabda matematika
o’qitish muammolari. - M .: Rossiya Fanlar akademiyasining Psixologiya
instituti, 1998 yil.
4. Volkova S.I. 2-sinfda matematika darslarida bolalarning kognitiv
qobiliyatlarini rivojlantirish: to’rt yoshli boshlang’ich maktab o’qituvchisi uchun
qo’llanma . - M.: Ma’rifat, 1995 yil.
5. Grudenov Ya.I. Matematika o`qitish metodikasining psixologik -didaktik
asoslari. - M .: Pedagogika, 1987 yil.
6. Episheva O.B. Maktab o’quvchilarini matematikani o’rganishga o’rgatish:
o’quv faoliyati usullarini shakllantirish: o’qituvchi uchun kitob. - M.: Ma’rifat,
1990 yil.
7. Zilberg N.I. 1-sinfda matematika darsi . / Osin.ped.school . - Osa: Rossiani ,
1993 yil.
8. Istomina N.B. Boshlang’ich sinflarda matematika darslarida o’quvchilarni
faollashtirish: o’qituvchi uchun qo’llanma. - M.: Ma’rifat, 1985 yil.
35

Konsentrlar va ular ustida amallarni haqida metodika

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Konsentrlar va ular ustida amallarni haqida metodika

O'xshash dokumentlar