Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni o’zgaruvchilarni ajratish usuli - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	423.2KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	29 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni o’zgaruvchilarni ajratish usuli

Sotib olish

MAVZU: LAPLAS TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN CHEGARAVIY
MASALALARNI O’ZGARUVCHILARNI AJRATISH USULI
MUNDARIJA:
I.KIRISH..................................................................................................................3
II.ASOSIY QISM
2.1 Elliptik tipdagi tenglamalarning xossalari ..........................................................5
2.2 Chekli ayirmali sxemalar to’g’risida tushunchalar ............................................10
2.3. Tog’ri to’rtburchak uchun dirixle masalasi ......................................................14
XULOSA ................................................................................................................2
4
FOYDALANILGAN
ADABIYOTLAR...............................................................25
KIRISH ...................................................................................................................... 3
XULOSA ................................................................................................................. 26
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................. 27

KIRISH
Hisoblash usullari zamonaviy matematikaning ajralmas bir qismi
hisoblanadi. Hisoblash usullari ko’pgina amaliy masalalarni yechishda modellarni
differensial tenglamalar terminida ifodalanadigan jarayon, jarayonlarni tanqid
qilishning ajralmas qismi ekanligi ma’lum. Bunday modellarni samarali tadbiq
qilish u yoki bu hisoblash algoritmlarini tanlash va kompyuterda dasturlash usullari
bilan bevosita bog’liq.
Haqiqatda mavjud obyektlarning asosiy xossalarini ularning matematik
modellari yordamida o‘rganishning klassik vositasi bu analitik usullar bo‘lib, ular
aniq yechimni matematik formulalarda ifodalash imkonini beradi. Bu usullar
hozirgi kunda ham masalani yechish haqida yetarlicha aniqlikdagi to‘la axborotni
bermoqda va ular o‘z amaliy ahamiyatini yo‘qotgani yo‘q. Ammo, afsuski,
ularning qo‘llanilish sohasi juda cheklangan. Shuning uchun, odatda, sonli
usullarga yoki hisoblash usullariga murojaat qilinadi. Hisoblash usullari – bu
matematik modelga mos algoritmlarni qo‘llashga asoslangan amaliy matematika
masalalarini taqribiy yechish usullari. Hisoblash usullari analitik usullardan farqli
ravishda umumiy yechimni emas, balki xususiy yechimni beradi. Bunda sonli va
mantiqiy massivlar ustida yetarli sondagi arifmetik va mantiqiy amallar bajarilishi
talab qilinadi. Hisoblash usullari fanining sonli tahlil qismi ikki turdagi sonli
usullarga bo‘linadi: 1) to‘g‘ri usullar (ma’lum bir sondagi amallar bilan yechimni
topishga asoslangan usullar); 2) iteratsion usullar (qaytariluvchi (siklik)
jarayonlardan foydalanishga asoslangan va ketma-ket yaqinlashuvchi natijalarni
olish imkonini beruvchi usullar). Hisoblash usullariga ehtimoliy usullar (yechimni
tasodifiy izlash) ham kiradi, ammo bu usullar mazkur o‘quv qo‘llanma doirasida
qaralmaydi 1
.
Kurs ishining maqsadi: Elliptik tipdagi tenglamalardan bo’lgan Laplas
tenglamasi va uning chegaraviy masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida
yechishni o’rganish va olingan bilimlarni mustahkamlab amaliyotda qo’llay
bilishdan iborat.
1
M.S.Sal о hitdin о v. Matematik fizika tenglamalari. T. «ФАН», 2004.
3

Kurs ishining dolzarbligi: Kurs ishining dolzarbligi shundaki bu kurs ishi
Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmali sxemalar
yordamida yechishni o’rganib, uni zamonaviy EHM dasturlar yordamida hisoblash
imkoniyatini beradi.
Kurs ishining obyekti: Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni
chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish haqida o`quvchilarga ma`lumot
berish.
Kurs ishining predmeti: Hisoblash usullarida Laplas tenglamasi uchun
chegaraviy masalalarni yechish usullari.
Kurs ishining tarkibi: Ushbu kurs ishi kirish, asosiy qism, 3 ta paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar bo’limlaridan iborat.
4

I BOB TENGLAMALAR VA CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR
1.1. ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALARNING XOSSALARI
Faraz qilaylik, evklid fazosida biror S sirt bilan chegaralangan sohani D deb
belgilaylik. Bu sohada quyidagi
. (1)
chiziqli xusu?iy hosilali differensial tenglamani qaraylik. Bu yerda , , c(x)
tenglamaning koeffitsiyent.lari, f(x) esa uning ozod hadi deyiladi. Agar (1)
tenglamada f(x) — 0 bo'lsa, u holda berilgan tenglama bir jinsli. aks holda bir jinsli
bo'lmagan tenglam > deyiladi. D sohadan biror ixtiyoriy nuqta
olamiz va bu nuqtada (1) tenglamaga mos ushbu 7?
(2)
kvadratik forma tuzamiz, haqiqiy o‘zgaruvchilar
1-ta'rif.. Agar (2) kvadratik formaning ishorasi € D nuqtada musbat yoki
manfiy aniqlangan boisa. u holda (1) tenglama shu nuqtada elliptik tipdagi
tenglama deyiladi. Agar D sohaning har bir nuqtasida (1) tenglama elliptik boisa, u
holda bu tenglama D sohada elliptik tenglama deyiladi.
2 -T A ’RIF. Agar noldan farqli boigan bir xil ishorali va haqiqiy
sonlar mavjud boiib, barcha x € D nuqtalar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda (1) tenglama D sohada tekis elliptik tenglama deyiladi.
Qaralayotgan tenglamaning tekis elliptikligi oddiy elliptiklik shartiga qaraganda
6

umumiyroq, chunki tekis elliptik boiishidan qaralayotgan tenglamaning elliptik
tenglama ekanligi kelib chiqadi, aksinchasi noto'g'ri.
1-MISOL. Ushbu
(4)
Laplas tenglamasini qaraylik. Bunda agar i j boisa va = 1 , agar i = j boisa.
U holda (4) tenglamaga mos kvadratik forma
(5)
boiadi. Demak, (4) tenglama butun fazoda elliptik tipga tegishli, chunki (5)
kvadratik forma boiganda musbat aniqlangan. Laplas tenglamasining
Rn fazoda tekis elliptik tipga tegishli boiishi (3) tengsizlikdan kelib chiqadi 2
.
Bunda yoki deb tanlab olish kifoya.
2 - misol. xOy tekislikdagi biror sohada quyidagi ikkinchi tartibli xususiy
hosilali
(6)
differensial tenglamani qaraylik.
Bu tenglamaga mos kvadratik forma
(7)
ko‘rinishda bo‘ladi.
2
M.S.Sal о hitdin о v, G.N.Nasritdin о v. О ddiy differensial tenglamalar. T. «O‘qituvchi».1982.
7

Agar bo‘lsa, u holda (7) kvadratik formaning ishorasi aniqlangan
bo'ladi va D sohaning < 0 bo‘lgan barcha nuqtalarida (6) tenglama elliptik
tipdagi tenglama deyiladi.
3—MISOL. Quyidagi
tenglama Trikomi tenglamasi deyiladi. Bu tenglama у > 0 da elliptik tipga tegishli
bo'ladi, chunki . Lekin qaralayotgan D sohada Trikomi tenglamasi
tekis elliptik tenglama bo'lmaydi.
Elliptik tipdagi eng s о dda tenglama Laplas tenglamasi bo‘lib, u n o‘lch о vli
Dekart k оо rdinatalar sistemasida quyidagi ko‘rinishga ega:
. (8)
Agar u funksiya bir о r  s о hada ikkinchi tartibli uzluksiz h о silalarga ega
bo‘lib, Laplas tenglamasini qan о atlantirsa, u shu s о hada garm о nik funksiya
deyiladi.
Agar  chegaralanmagan cheksiz s о ha bo‘lsa, u h о lda garm о nik funksiyaga
cheksizlikda quyidagi qo‘shimcha shart qo‘yiladi:
(9)
bu yerda C=const, , ya’ni ikki o‘zgaruvchili garm о nik
funksiyaning cheksizlikda chegaralanganligi, ko‘p o‘zgaruvchilisini esa
cheksizlikda tekis n о lga intilishi talab qilinadi.
Bir jinsli bo‘lmagan Laplas tenglamasi ya’ni ushbu
u=f(x
1 ,x
2 ,…,x
n )
tenglama Puass о n tenglamasi deyiladi.
Bev о sita differensiallash о rqali ushbu
8

(10)
funksiyaning,  =x nuqtadan tashqari, barcha nuqtalarda Laplas tenglamasini
qan о atlantirishini ko‘rsatish mumkin, bu yerda
,

n (  ,x) funksiya Laplas tenglamasining fundamental yechimi deyiladi.
Ushbu paragrafda, umumiy usullardan f о ydalanmasdan, yechimlarni bev о sita,
о ddiy tanlash yo’li bilan t о piladigan chegaraviy masalalarni qaraymiz. Bunda
Laplas tenglamasining x=
 cos  , y=  sin  qutb k оо rdinatalaridagi ushbu

(11)
if о dasidan va ushbu
u(x,y)=A(x 2
-y 2
)+Bxy+Cx+Dy+E (12)
ko‘phadning garm о nik funksiya ekanligidan f о ydalanamiz, bu yerda A, B, C, D, E
ixtiyoriy o‘zgarmas s о nlar.
Yuq о ridagi qutb k оо rdinatalarida (4) ko‘phad quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(13)
1-masala . funksiya Laplas tenglamasining
 ={( x,y ); 0< x < +  , 0 < y < +  } s о hada u(0,y)=siny, u(x,0)=sinx chegaraviy
shartlarni qan о atlantiruvchi Dirixle masalasining yechimi ekanligini ko‘rsating.
Yechilishi : Berilgan funksiya Laplas tenglamasi va chegaraviy shartlarni
qan о atlantirishini ko‘rsatamiz.
9

Yetarlicha katta ( x,y ) lar uchun
|u(x,y)| e -y 
|sinx|+ e -x
|siny|  1+1=2
Demak, berilgan funksiya qo‘yilgan masalasining barcha shartlarini
qan о atlantiradi, ya’ni u Laplas tenglamasi uchun  s о hada Dirixle masalasining
yechimi ekan.
2-masala . D ={( x,y ): x 2
+ y 2
< R 2
} d о irada ushbu
Dirixlening ichki masalasini yeching, bu yerda

={( x,y ): x 2
+ y 2
= R 2
}, g ( x,y )= x 2
-2 y 2
.
Yechilishi : Qaralayotgan D s о ha d о ira bo‘lgani uchun x=
 cos  , y=  sin 
qutb k оо rdinatalarga o’tamiz:
.
Yechimni (1.13) ko‘phad ko‘rinishida izlaymiz, n о ma’lum A, B, C, D va E
o‘zgarmas s о nlarni chegaraviy shartdan f о ydalanib t о pamiz.
,
Bundan ekanligini t о pamiz. Demak,
izlangan yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
yoki eski o‘zgaruvchilarga qaytsak,
10

bo’ladi. Demak, t о pilgan funksiya berilgan masalasining yechimi ekan.
11

1.2 CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR TO ’ G ’ RISIDA TUSHUNCHALAR
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini
topishda eng qulay usullardan biridir . Bu usulining asosida hosilarni Chekli
ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi . .
Aytaylik, O xy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan chegaralangan
yoyiq G soha berilgan bo`lsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel bo‘lgan
to‘g’ri chiziqlar oylasini quramiz :
,i=0,
Bu to‘g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan
turda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan Ox yoki
Oy koordinata o‘qlari yo’nalishida h yoki l masofada joylashgan bo‘lsa +G
sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan, h yoki lqadamdan kichik
masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan turtta tugun ajratilgan
tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi.
Noma’lum u=u(x,y) funkisyani tugunlaridagi qiy-matin kabi
belgilaymiz. Har bir ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar
nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:
,
chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo'lgan quyidagi formular bilan
almashtiramiz:
,
Xudi shuningdek ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni quyidagicha almashiramiz:
,
12

Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilali tenglamalarning o'rniga
chekli ayrimali sistemani yechishga olib keladi.
Faraz qilaylik argumentning o'zaro teng uzoqlikda joylashgan ,
( - jadval qadami) qiymatlarida funksiyaning mos
ravishdagi qiymatlari berilgan bo’lsin.
Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(1)
ifodaga, ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(2)
ifodaga va hokazo - tartibli chekli ayirmalar deb
(3)
ifodaga aytiladi. Chekli ayirmalarni quyidagi 1- jadval ko'rinishida ham olish
mumkin.
1- jadval
…
…
(1) dan quyidagiga ega bo ’ lamiz :
(4)
Bu yerdan ketma - ket quyidagilami keltirib chiqaramiz :
,
,
. . . . . . . . . . . .
13

.
Nyuton binomi formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz:
Bundan esa:
yoki

(5)
Masalan, (1.5) dan
,
,
va h.k.
Chekli ayirmalar quyidagi xossalarga ega:
1. Funksiyalar yig'indisining (ayirmasining) chekli ayirmasi funksiyalarning
chekli ayirmalari yig'indisiga (ayirmasiga) teng:
2. Funksiya o'zgarmas songa ko'paytirilsa, uning chekli ayirmasi o'sha songa
ko'payadi:
3. - tartibli chekli ayirmaning - tartibli chekli ayirmasi -tartibli
chekli ayirmaga teng:
.
4. - tartibli ko'phadning - tartibli chekli ayirmasi o'zgarmas songa,
-tartibli chekli ayirmasi esa nolga teng.
Misol. Jadval qadamini va dastlabki qiymatni deb hisoblab,
ko'phadning ayirmalar jadvali tuzilsin.
14

Yechish. u ning , , , nuqtalardagi qiymatlarini
hisoblaymiz: , , , . Bundan esa quyidagilar kelib
chiqadi: , , . Bu qiymatlarni
2-jadvalga joylashtiramiz:
2- jadval
0
1
2
3
4
5
… -1
2
13
44
107
214
… 8
11
31
63
107
… 8
20
32
44
… 12
12
12
…
Berilgan funksiya 3- darajali ko'phad bo'lganligi sababli uning 3- tartibli
ayirmasi o'zgarmas son bo'lib, bo'ladi. Jadvalning qolgan ustunlari
, ( );
, (
0,1, 2,... i );
, ( )
formulalar yordamida to'ldiriladi.
15

1.3. Tog’ri to’rtburchak uchun dirixle masalasi
Laplas tenglamasi:
(89)
Bu tenglama uchun to'g'ri to'rtburchakda quyidagi
chegaraviy shartlar berilgan:
(90)(91)
Dirixle masalasini yechamiz. Bu yerda funksiyalar
oraliqda berilgan va uning chetlarida nolga aylanadigan uzluksiz funksiyalar.
oraliqda berilgan, chetlarida nolga aylanuvchi uzluksiz
funksiyalar.
Masalaning yechimini topish uchun funksiyani quyidagicha ajratamiz:
(92)
ni (89) tenglamaga qo‘yib quyidagiga ega bo‘lamiz:
(93)
Tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda — o‘zgarmas. Bundan funksiyani
aniqlash uchun xos qiymatlar va xos funksiyalar to‘g‘risidagi quyidagi masalaga
kelamiz:
16

bu masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari:
ning bu qiymatini (93) da ning o‘rniga qo‘yib, funksiyani
aniqlash uchun:
Bu tenglamaning umumiy yechimi:
ni (92) qo‘yib, barcha yechimlarni yig‘ib, (89) tenglamaning
da nolga teng chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi yechimni hosil
qilamiz:
(94)
(94) qatoridagi va koeffitsientlarni shunday tanlaymizki, natijada bu
qator (90) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. va funksiyalari sinuslar
bo‘yicha tekis yaqinlanuvchi Furye qatorlariga yoyiladi, ya'ni:
17

(95)
Ko‘rib chiqilayotgan koeffitsientlar:
Bularni (94) qatorga qo‘yib,
tenglikni hisobga olsak, (89), (90), (91) masalaning bo‘lgandagi
yechimi quyidagicha bo‘ladi:
(96)
Agar (89), (90), (91) masalaning yechimini bo‘lganda
izlasak, yuqoridagi mulohazalar o‘zgarmaydi, faqat o‘rinlari almashtiriladi,
ya’ni:
Bu holda yechim quyidagicha bo‘ladi:
(97)
18

(96), (97) qatorlarni qo‘shib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
(98)
(98) qatorning to‘g‘ri to‘rtburchakda ikki marta hadlab
differentsiallangandan so‘ng tekis Yaqinlashuvchanligiga ishonch hosil qilamiz.
Demak, bu qator to‘g‘ri to‘rtburchak uchun (89), (90), (91) Dirixle masalasining
yechimini beradi.
Huddi shunga o‘xshash, to‘g‘ri to‘rtburchak uchun Laplas tenglamasiga
qo‘yilgan Neyman masalasining yechimini topish mumkin.
Doira uchun Dirixle masalasi
Laplas tenglamasi qutb koordinatalarda quyidagicha yoziladi:
(99)
Doiraning radiusi R markazi koordinata boshida joylashgan deb olamiz.
Doirada r = R chegarada berilgan uzluksiz qiymatlarni qanoatlantiruvchi
yechim topiladi:
(100)
19

Yechim funksiyasi bo‘lsin. Bu funksiyaning davrli bo‘lishi
uchun ham davrli bo‘lishi zarur. Yechimni quyidagicha ajratamiz:
Bu yerda noma’lumlar funksiyalar. Quyidagi tenglamalar
hosil qilinadi:
(101)
funksiyasi davrli bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak, bu yerda n
— butun son. Shunday qilib, funksiyaning yechimi quyidagicha bo‘ladi:
(102)
Bu tenglama bo‘lsa, Eyler tenglamasidir. Erkin o‘zgaruvchi
almashtirish natijasida:
Bu tenglama quyidagi echimlarga ega:
.
bo‘lganda esa, tenglama bilan bog‘liq bo‘lgan Yechimlarga ega.
Ammo da chegaralangan bo‘lmagan yechimlar istalmagan bo‘lgani uchun
va ko‘rinishidagi yechimlar e'tiborga olinmaydi. Shu sababli faqat:
20

Yechimlar olinadi. Shunga asoslanib:
Laplas tenglamasi chiziqli va bir jinsli bo‘lganligi sababli umumiy yechim:
(103)
Bu koeffitsientlar chegaraviy shartni bajarishi uchun
shunday tanlanadi:
Bu funksiyaning Furye qatoriga yoyilishidir. Uning koeffitsientlari
quyidagicha topiladi:
(104)
Ko‘rinib turibdiki, (103) qator da istalgan marta r va bo‘yicha
hadlab differentsiallanadi. da lar uchun tekis yaqinlanuvchi
qatorlar hosil bo‘ladi.
(104) formuladagi koeffitsientlar yordamida (103) qator integral ko‘rinishda
yozilishi mumkin:
21

bo‘lgani uchun:
Agar
deya belgilasak, bo‘ladi. Endi geometrik progressiya
yig‘indisidan foydalanamiz:
Demak,
Bu ifodaning haqiqiy qismini topish uchun surat va maxrajni maxrajga
qo‘shma son bilan ko‘paytiramiz.
22

Shunday qilib,
Bu esa IV bobning 2-§idagi, 3-bandda Grin funksiyasi yordamida olingan
shar uchun Dirixle masalasining $n = 2$ bo‘lgandagi yechimiga mos Puasson
formulasi hisoblanadi.
MISOL
Chegaraviy shartlar:
23

Laplas tenglamasini qo‘yib:
24

XULOSA
Ushbu kurs ishi Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli
ayirmali sxemalar yordamida yechish mavzusida bo ’ lib , unda Laplas tenglamasi
haqida ma ’ lumotlar berilgan . Laplas tenglamasi uchun ichki va tashqi chegaraviy
masalalar haqida ham yoritib o’tilgan. Laplas va Puass о n tenglamalari uchun
chegaraviy masalalarni yechishning o‘zgaruvchilarni ajratish usuli haqida ham
alohida to’xtalib o’tilgan.
Mazkur kurs ishida elliptik tipdagi tenglamalar va elliptik tipdagi garmonik
funksiyalar haqida ham ma’lumotlar berilgan. Ushbu kurs ishini bajarish davomida
hisoblash usullari fanini yanada chuqurroq o’rganishga erishdim va hisoblash
usullari fanidan bilimlarimni oshirdim. Kelgusi o’qish va mehnat faoliyatimda bu
kurs ishimda olgan bilimlarim yordam berishiga ishonaman 3
.
3
М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики. M.«Наука». 1975.
26

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. M.S.Salоhitdinоv. Matematik fizika tenglamalari. T. «ФАН», 2004.
2. M.S.Salоhitdinоv, G.N.Nasritdinоv. Оddiy differensial tenglamalar. T.
«O‘qituvchi».1982.
3. N.Teshabоeva. Matematika fizika metоdlari. T. «O‘qituvchi». 1966.
4. T.N.Nurim о v. Matematika fizika met о dlari. T. «O‘qituvchi». 1980.
5. Н.С.Кошляков, Е.Б.Глинер, М.М.Смирнов. Основные дифферен-
циальные уравнения математической физики. M.GIFML. 1962.
6. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.
M.«Наука». 1972.
7. А.В.Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко. Сборник задач по уравнениям
математической физики. M.«Nauka». 1977.
8. М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики.
M.«Наука». 1975.
9. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по
математической физике. M.«Наука». 1972.
10. В.С.Владимиров и другие. Сборник задач по уравнениям матема-
тической физики. M.« Наука ». 1974.
11. Xolmatov T.X va boshqalar. « Informatika va xisoblash texnikasi
».Toshkent 2001 y.
INTERNET SAYTLARI
1. www.ziyonet.uz
2. www.tuit.uz
3. www.referat.uz
27

LAPLAS TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN CHEGARAVIY MASALALARNI O’ZGARUVCHILARNI AJRATISH USULI tayyor

Sotib olish