Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni o’zgaruvchilarni ajratish usuli - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	447.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	29 Май 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Telzor Uchun

Дата регистрации 21 Апрель 2025

24 Продаж

Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni o’zgaruvchilarni ajratish usuli

Купить

MAVZU: LAPLAS TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN CHEGARAVIY
MASALALARNI O’ZGARUVCHILARNI AJRATISH USULI
MUNDARIJA:
KIRISH.................................................................................................................3
I BOB. TENGLAMALAR VA CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR.............5
1.1 Elliptik tipdagi tenglamalarning xossalari .......................................................5
1.2 Chekli ayirmali sxemalar to’g’risida tushunchalar .........................................10
II.BOB. MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL
TEOREMALARI...............................................................................................14
2.1. Muavr-Laplasning lokal teoremasi ..............................................................14
2.2. Muavr-Laplasning integral teoremasi ...........................................................20
XULOSA ............................................................................................................26
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR...........................................................27
KIRISH ...................................................................................................................... 3
XULOSA ................................................................................................................. 27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................. 29

KIRISH
Hisoblash usullari zamonaviy matematikaning ajralmas bir qismi
hisoblanadi. Hisoblash usullari ko’pgina amaliy masalalarni yechishda modellarni
differensial tenglamalar terminida ifodalanadigan jarayon, jarayonlarni tanqid
qilishning ajralmas qismi ekanligi ma’lum. Bunday modellarni samarali tadbiq
qilish u yoki bu hisoblash algoritmlarini tanlash va kompyuterda dasturlash usullari
bilan bevosita bog’liq.
Haqiqatda mavjud obyektlarning asosiy xossalarini ularning matematik
modellari yordamida o‘rganishning klassik vositasi bu analitik usullar bo‘lib, ular
aniq yechimni matematik formulalarda ifodalash imkonini beradi. Bu usullar
hozirgi kunda ham masalani yechish haqida yetarlicha aniqlikdagi to‘la axborotni
bermoqda va ular o‘z amaliy ahamiyatini yo‘qotgani yo‘q. Ammo, afsuski,
ularning qo‘llanilish sohasi juda cheklangan. Shuning uchun, odatda, sonli
usullarga yoki hisoblash usullariga murojaat qilinadi. Hisoblash usullari – bu
matematik modelga mos algoritmlarni qo‘llashga asoslangan amaliy matematika
masalalarini taqribiy yechish usullari. Hisoblash usullari analitik usullardan farqli
ravishda umumiy yechimni emas, balki xususiy yechimni beradi. Bunda sonli va
mantiqiy massivlar ustida yetarli sondagi arifmetik va mantiqiy amallar bajarilishi
talab qilinadi. Hisoblash usullari fanining sonli tahlil qismi ikki turdagi sonli
usullarga bo‘linadi: 1) to‘g‘ri usullar (ma’lum bir sondagi amallar bilan yechimni
topishga asoslangan usullar); 2) iteratsion usullar (qaytariluvchi (siklik)
jarayonlardan foydalanishga asoslangan va ketma-ket yaqinlashuvchi natijalarni
olish imkonini beruvchi usullar). Hisoblash usullariga ehtimoliy usullar (yechimni
tasodifiy izlash) ham kiradi, ammo bu usullar mazkur o‘quv qo‘llanma doirasida
qaralmaydi 1
.
Kurs ishining maqsadi: Elliptik tipdagi tenglamalardan bo’lgan Laplas
tenglamasi va uning chegaraviy masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida
yechishni o’rganish va olingan bilimlarni mustahkamlab amaliyotda qo’llay
bilishdan iborat.
1
M.S.Salоhitdinоv. Matematik fizika tenglamalari. T. «ФАН», 2004.
3

Kurs ishining dolzarbligi: Kurs ishining dolzarbligi shundaki bu kurs ishi
Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmali sxemalar
yordamida yechishni o’rganib, uni zamonaviy EHM dasturlar yordamida hisoblash
imkoniyatini beradi.
Kurs ishining obyekti: Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni
chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish haqida o`quvchilarga ma`lumot
berish.
Kurs ishining predmeti: Hisoblash usullarida Laplas tenglamasi uchun
chegaraviy masalalarni yechish usullari.
Kurs ishining tarkibi: Ushbu kurs ishi kirish, 2 ta bob, 4 ta paragraf, xulosa
va foydalanilgan adabiyotlar bo’limlaridan iborat.
4

I BOB TENGLAMALAR VA CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR
1.1. ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALARNING XOSSALARI
Faraz qilaylik, evklid fazosida biror S sirt bilan chegaralangan sohani D deb
belgilaylik. Bu sohada quyidagi
. (1)
chiziqli xusu?iy hosilali differensial tenglamani qaraylik. Bu yerda , ,
c(x) tenglamaning koeffitsiyent.lari, f(x) esa uning ozod hadi deyiladi. Agar (1)
tenglamada f(x) — 0 bo'lsa, u holda berilgan tenglama bir jinsli. aks holda bir jinsli
bo'lmagan tenglam > deyiladi. D sohadan biror ixtiyoriy nuqta
olamiz va bu nuqtada (1) tenglamaga mos ushbu 7?
(2)
kvadratik forma tuzamiz, haqiqiy o‘zgaruvchilar
1-ta'rif.. Agar (2) kvadratik formaning ishorasi € D nuqtada musbat yoki
manfiy aniqlangan boisa. u holda (1) tenglama shu nuqtada elliptik tipdagi
tenglama deyiladi. Agar D sohaning har bir nuqtasida (1) tenglama elliptik boisa, u
holda bu tenglama D sohada elliptik tenglama deyiladi.
2 -T A ’RIF. Agar noldan farqli boigan bir xil ishorali va haqiqiy
sonlar mavjud boiib, barcha x € D nuqtalar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda (1) tenglama D sohada tekis elliptik tenglama deyiladi.
Qaralayotgan tenglamaning tekis elliptikligi oddiy elliptiklik shartiga qaraganda
6

umumiyroq, chunki tekis elliptik boiishidan qaralayotgan tenglamaning elliptik
tenglama ekanligi kelib chiqadi, aksinchasi noto'g'ri.
1-MISOL. Ushbu
(4)
Laplas tenglamasini qaraylik. Bunda agar i j boisa va = 1 , agar i = j
boisa. U holda (4) tenglamaga mos kvadratik forma
(5)
boiadi. Demak, (4) tenglama butun fazoda elliptik tipga tegishli, chunki (5)
kvadratik forma boiganda musbat aniqlangan. Laplas tenglamasining
Rn fazoda tekis elliptik tipga tegishli boiishi (3) tengsizlikdan kelib chiqadi 2
.
Bunda yoki deb tanlab olish kifoya.
2 - misol. xOy tekislikdagi biror sohada quyidagi ikkinchi tartibli xususiy
hosilali
(6)
differensial tenglamani qaraylik.
Bu tenglamaga mos kvadratik forma
(7)
ko‘rinishda bo‘ladi.
2
M.S.Sal о hitdin о v, G.N.Nasritdin о v. О ddiy differensial tenglamalar. T. «O‘qituvchi».1982.
7

Agar bo‘lsa, u holda (7) kvadratik formaning ishorasi aniqlangan
bo'ladi va D sohaning < 0 bo‘lgan barcha nuqtalarida (6) tenglama elliptik
tipdagi tenglama deyiladi.
3—MISOL. Quyidagi
tenglama Trikomi tenglamasi deyiladi. Bu tenglama у > 0 da elliptik tipga tegishli
bo'ladi, chunki . Lekin qaralayotgan D sohada Trikomi tenglamasi
tekis elliptik tenglama bo'lmaydi.
Elliptik tipdagi eng s о dda tenglama Laplas tenglamasi bo‘lib, u n o‘lch о vli
Dekart k оо rdinatalar sistemasida quyidagi ko‘rinishga ega:
. (8)
Agar u funksiya bir о r  s о hada ikkinchi tartibli uzluksiz h о silalarga ega
bo‘lib, Laplas tenglamasini qan о atlantirsa, u shu s о hada garm о nik funksiya
deyiladi.
Agar  chegaralanmagan cheksiz s о ha bo‘lsa, u h о lda garm о nik funksiyaga
cheksizlikda quyidagi qo‘shimcha shart qo‘yiladi:
(9)
bu yerda C=const, , ya’ni ikki o‘zgaruvchili garm о nik
funksiyaning cheksizlikda chegaralanganligi, ko‘p o‘zgaruvchilisini esa
cheksizlikda tekis n о lga intilishi talab qilinadi.
Bir jinsli bo‘lmagan Laplas tenglamasi ya’ni ushbu
u=f(x
1 ,x
2 ,…,x
n )
tenglama Puass о n tenglamasi deyiladi.
Bev о sita differensiallash о rqali ushbu
8

(10)
funksiyaning,  =x nuqtadan tashqari, barcha nuqtalarda Laplas tenglamasini
qan о atlantirishini ko‘rsatish mumkin, bu yerda
,

n (  ,x) funksiya Laplas tenglamasining fundamental yechimi deyiladi.
Ushbu paragrafda, umumiy usullardan f о ydalanmasdan, yechimlarni bev о sita,
о ddiy tanlash yo’li bilan t о piladigan chegaraviy masalalarni qaraymiz. Bunda
Laplas tenglamasining x=
 cos  , y=  sin  qutb k оо rdinatalaridagi ushbu

(11)
if о dasidan va ushbu
u(x,y)=A(x 2
-y 2
)+Bxy+Cx+Dy+E (12)
ko‘phadning garm о nik funksiya ekanligidan f о ydalanamiz, bu yerda A, B, C, D, E
ixtiyoriy o‘zgarmas s о nlar.
Yuq о ridagi qutb k оо rdinatalarida (4) ko‘phad quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(13)
1-masala . funksiya Laplas tenglamasining
 ={( x,y ); 0< x < +  , 0 < y < +  } s о hada u(0,y)=siny, u(x,0)=sinx chegaraviy
shartlarni qan о atlantiruvchi Dirixle masalasining yechimi ekanligini ko‘rsating.
Yechilishi : Berilgan funksiya Laplas tenglamasi va chegaraviy shartlarni
qan о atlantirishini ko‘rsatamiz.
9

Yetarlicha katta ( x , y ) lar uchun
| u ( x , y )| e - y 
| sinx |+ e - x
| siny |  1+1=2
Demak , berilgan funksiya qo ‘ yilgan masalasining barcha shartlarini
qan о atlantiradi , ya ’ ni u Laplas tenglamasi uchun  s о hada Dirixle masalasining
yechimi ekan .
2- masala . D ={( x , y ): x 2
+ y 2
< R 2
} d о irada ushbu
Dirixlening ichki masalasini yeching , bu yerda

={( x,y ): x 2
+ y 2
= R 2
}, g ( x,y )= x 2
-2 y 2
.
Yechilishi : Qaralayotgan D s о ha d о ira bo‘lgani uchun x=
 cos  , y=  sin 
qutb k оо rdinatalarga o’tamiz:
.
Yechimni (1.13) ko‘phad ko‘rinishida izlaymiz, n о ma’lum A, B, C, D va E
o‘zgarmas s о nlarni chegaraviy shartdan f о ydalanib t о pamiz.
,
Bundan ekanligini t о pamiz. Demak,
izlangan yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
yoki eski o‘zgaruvchilarga qaytsak,
10

bo ’ ladi . Demak , t о pilgan funksiya berilgan masalasining yechimi ekan .
11

1.2 CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR TO ’ G ’ RISIDA TUSHUNCHALAR
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini
topishda eng qulay usullardan biridir . Bu usulining asosida hosilarni Chekli
ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi . .
Aytaylik , O xy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan chegaralangan
yoyiq G soha berilgan bo ` lsin . G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel bo‘lgan
to‘g’ri chiziqlar oylasini quramiz :
,i=0,
Bu to‘g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan
turda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan Ox yoki
Oy koordinata o‘qlari yo’nalishida h yoki l masofada joylashgan bo‘lsa +G
sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan, h yoki lqadamdan kichik
masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan turtta tugun ajratilgan
tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi.
Noma’lum u=u(x,y) funkisyani tugunlaridagi qiy-matin kabi
belgilaymiz. Har bir ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar
nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:
,
chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo'lgan quyidagi formular bilan
almashtiramiz:
,
Xudi shuningdek ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni quyidagicha almashiramiz:
,
12

Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilali tenglamalarning o'rniga
chekli ayrimali sistemani yechishga olib keladi.
Faraz qilaylik argumentning o'zaro teng uzoqlikda joylashgan ,
( - jadval qadami) qiymatlarida funksiyaning mos
ravishdagi qiymatlari berilgan bo’lsin.
Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(1)
ifodaga, ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(2)
ifodaga va hokazo - tartibli chekli ayirmalar deb
(3)
ifodaga aytiladi. Chekli ayirmalarni quyidagi 1- jadval ko'rinishida ham olish
mumkin.
1- jadval
…
…
(1) dan quyidagiga ega bo ’ lamiz :
(4)
Bu yerdan ketma - ket quyidagilami keltirib chiqaramiz :
,
,
13

. . . . . . . . . . . .
.
Nyuton binomi formulasidan foydalanib , quyidagiga ega bo ' lamiz :
Bundan esa:
yoki
(5)
Masalan, (1.5) dan
,
,
va h.k.
Chekli ayirmalar quyidagi xossalarga ega:
1. Funksiyalar yig'indisining (ayirmasining) chekli ayirmasi funksiyalarning
chekli ayirmalari yig'indisiga (ayirmasiga) teng:
2. Funksiya o'zgarmas songa ko'paytirilsa, uning chekli ayirmasi o'sha songa
ko'payadi:
3. - tartibli chekli ayirmaning - tartibli chekli ayirmasi -tartibli
chekli ayirmaga teng:
.
4. - tartibli ko'phadning - tartibli chekli ayirmasi o'zgarmas songa,
-tartibli chekli ayirmasi esa nolga teng.
Misol. Jadval qadamini va dastlabki qiymatni deb hisoblab,
ko'phadning ayirmalar jadvali tuzilsin.
14

Yechish. u ning , , , nuqtalardagi qiymatlarini
hisoblaymiz: , , , . Bundan esa quyidagilar kelib
chiqadi: , , .
Bu qiymatlarni
2-jadvalga joylashtiramiz:
2- jadval
0
1
2
3
4
5
… -1
2
13
44
107
214
… 8
11
31
63
107
… 8
20
32
44
… 12
12
12
…
Berilgan funksiya 3- darajali ko ' phad bo ' lganligi sababli uning 3- tartibli
ayirmasi o ' zgarmas son bo ' lib , bo ' ladi . Jadvalning qolgan ustunlari
, ( );
, (0,1, 2,... i );
, ( )
formulalar yordamida to ' ldiriladi .
15

II.BOB. MUAVR-LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL
TEOREMALARI. MUAVR-LAPLASNING INTEGRAL LIMIT
TEOREMASI
2.1. Muavr-Laplasning lokal teoremasi.n→ ∞
da Pn(m) ehtimol uchun asimptotik formula topish zaruriyati
tug`iladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
xm= xm,n,p= m− np
√npq
ϕ(x)= 1
√2πe
x2
2 .
Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar
n ta
bog`lanmagan tajribalarning har biror
A hodisaning ro`y berish ehtimoli p (
0< p<1
) bo`lsa u holda |xm|<c1 bo`ladigan hamma n va m lar uchun
Pn(m)=
ϕ(xm)(1+αn(m))
√npq
(1)
o`rinli bo`ladi. Bu yerda
|αn(m)|<
C2
√n .
Bu teoremani Muavr 1730 yilda
p= q= 1
2 bo`lgan hol uchun, so`ngra
Laplas ixtiyoriy
p∈(0,1 ) uchun isbotlagan.
Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma`lum
bo`lgan Stirling formulasidan foydalanamiz.
s!=√2πs sse−seθs
, |θ|≤ 1
12 s .
xm= m−np
√npq
bo`lgani uchun
16

m− np = xm⋅√npq, m= np +xm√npq = np (1+xm√
q
np ) (2)
Shunga o`xshash
m− np = xm⋅√npq dan m− n(1− q)= xm⋅√npq
m− n+nq = xm⋅√npq
, n− m= nq − xm⋅√npq = nq (1− xm√
p
q) (3)
tenglik o`rinli bo`ladi.
(2) va (3) tengliklardan ko`rinadiki,
n→ ∞ da n−m va m lar ham
cheksizlikka intiladi.
Bernulli formulasiga asosan:
Pn(m)=Cn
mpmqn−m= n!
m!(n− m)!
⋅pm⋅qn−m
.
Stirling formulasiga asosan:
Pn(m)= √2πn ⋅nn⋅e−n⋅eθn
√2πm ⋅mm¿emeθm¿√2π(n−m)⋅(n−m)n−m¿e−(n−m)¿eθn−m¿pmqn−m=
=
√
n
2πm (n− m )
⋅ nn
mm⋅(n− m )n−m pmqn−meθ
(4)
bu yerda
θ=θn−θm−θn−m va
|θ|≤ 1
2(
1
n− 1
m− 1
n− m) . (2) va (3) larga
asosan
|θ|≤
1
2
(
1
n
+
1
np (1+xm⋅
√
q
np )
+
1
nq (1− xm⋅
√
p
nq ))
=
1
12 n
(
1+
1
p(1+xm⋅
√
q
np )
+
1
q(1−xm⋅
√
p
nq ))
(5)
17

Bundan ko`rinadiki n→ ∞ eθ→ 1 (6).
Belgilash kiritamiz:
An= nnpmqn−m
mm(n− m)n−m

deb belgilaymiz.
U holda (2) va (3) ga asosan:
ln An= ln nnpmqn−m
mm(n− m)n−m= ln (
np
m )
m
(
nq
n− m )
n−m
= ln (
np
m )
m
+ln (
nq
n− m )
n−m
=
=−mln m
np −(n−m)ln n−m
nq =−(np +xm√npq )ln
np +xm√npq
np −(nq − xm√npq )ln
nq −xm√npq
nq =
=−(np +xm√npq )ln (1+xm√
q
np )−(nq − xm√npq )ln (1− xm√
p
nq )
. (7)
n
yetarlicha katta bo`lganda
xm√
q
np va
xm√
p
nq larni yetarlicha kichik
qilish mumkin? Shuning uchun
ln (1+xm√
p
nq ) va ln (1− xm√
p
nq ) larni darajali
qatorga yoyish mumkin.
ln (1+xm√
p
nq )= xm√
q
np − xm2⋅q
2np +o
(
1
n
32)
(8)
ln (1− xm√
p
nq )= xm√
p
nq − xm2⋅p
2nq +o
(
1
n
32)
(9)
(8) va (9) larga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin:
18

ln An=−(np +xm√npq )
[
xm√
q
np − xm2
2⋅q
np +O
(
1
n
32)]
=−(nq −xm√npq )
[
xm√
p
nq − xm2
2 ¿ p
nq +O
(
1
n
32)]
=
=−npx m√
q
np +xm2
2⋅q
np np −nqO (
1
n
32)−xm2√npq √
q
np +xm2
2√npq ¿q
np −xm√npq O(
1
n
32)+nqx m√
p
nq +
+nq xm2
2
p
nq −nqO (
1
n
32)−xm2√npq √
p
nq −xm3√npq p
nq +xm√npq O(
1
n
32)=−xm√npq +xm2
2 q−npO (
1
n
32)−
−xm2q+xm3
2 √
q
np q−xm√npq O(
1
n
32)+xm√npq +xm2
2 p−nqO (
1
n
32)−xm2p− xm3
2 √
p
nq p+xm√npq O(
1
n
32)=
= xm2
2 (q+p)−npO
(
1
n
32)
− xm2q+xm3
2 (√
q
np q−√
p
nq p)−nqO
(
1
n
32)
−xm2p= xm2
2 −nO
(
1
n
32)
(p+q)−
− xm
2(q+p)+
xm
3
2√n(√
q
np q−
√
p
nq p)=−
xm
2
2 +O (
1
√n)
a≤ xm≤ b bo`lgani uchun n→ ∞ da
An:e
−x2
2→ 1
(10)
(2) va (3) larni hisobga olsak,
√
n
2πm (n−m)
=
√
n
2πnp (1+xm√
q
np )np (1−xm√
p
nq )
= 1
√2π√npq
√
1
(1+xm√
q
np )(1−xm√
p
nq )
,
(11)
va
n→ ∞ da
√
1
(1+xm√
q
np )(1− xm√
p
nq )
→ 1
(12)
19

(6), (10), (11), (12) larni hisobga olsak (4) dan teoremaning isboti
kelib chiqadi.
Masalalar yechishda qulaylik tug`dirish uchunϕ(x)= 1
√2πe
−x2
2
funksiya uchun jadval tuzilgan.
Bu jadval faqat argumentning manfiy bo`lmagan qiymatlari uchun
tuzilgan.
ϕ(x)
juft bo`lgani uchun x ning manfiy qiymatlari uchun ham shu
jadvaldan foydalanish mumkin 3
.
Masalalar yechiashda quyidagi taqribiy formuladan foydalaniladi:
Pn(m)≈ 1
√npq
ϕ(x)
(13)
Endi oldingi ma`ruza oxirida keltirilgan masalani (13) formuladan
foydalanib yechamiz.
Masala shartiga ko`ra:
n=10000 , p=0,005 , m=40 ,
√npq =√10000 ⋅0,005 ⋅0,995 =√49 ,75 ≈7,05
.
xm= m−np
√npq
=−1,42
;
ϕ(−1,42 )=ϕ(1,42 )=0,1456 .
Demak,
Pn(m)= 0,1456
7,05 =0,00206 .
3
M.S.Sal о hitdin о v, G.N.Nasritdin о v. О ddiy differensial tenglamalar. T. «O‘qituvchi».1982.
20

Muavr-Laplasning lokal teoremasidan foydalanmasdan o`tkazilgan
aniq hisolashlar P10000 (40 )=0,0197 ekanligini ko`rsatadi.
Taqribiy va aniq qiymat orasidagi farq
0,00009 ni tashkil qiladi. Bu
xatolikni inobatga olmaslik mumkin.
Faraz qilaylik, bizdan
n ta bog`lanmagan tajribalarda biror A
hodisasining kami bilan
m1 ko`pi bilan m2 marta ro`y berish ehtimolligini
Pn(m1m2)
ni topish talab qilinsin.
Bernulli formulasiga asosan:
Pn(m1,m2)=Pn(m1≤ m≤m2)= ∑m=m1
m2
cnmpmqn−m
(14)
Agar
n,m1,m2 lar yetarlicha katta bo`lsa, (14) ifodaning qiymatini
hisoblash texnik qiyinchiliklarga olib keladi.
Shuning uchun ham
Pn(m1,m2) ehtimollik uchun asimptotik formula
izlash zaruriyati tug`iladi.
21

2.2. Muavr-Laplasning integral teoremasi.
Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar n ta
bog`lanmagan tajribalarning har birida biror
A hodisaning ro`y berish
ehtimoli
p ( 0< p<1 ) bo`lsa, n→ ∞ da
Pn(m1,m2)→∫
a
b
ϕ(x)dx
munosabat
a va b larda ( − ∞ <a≤ b<∞ ) nisabatan tekis bajariladi.
Bu yerda
a=
m1− np
√npq
,
b=
m2−np
√npq , ϕ(x)= 1
√2πe
x2
2 .
Isbot. Muavr-Laplasning lokal teoremasiga asosan
a va b lar chekli
bo`lganda
Pn(m1,m2)=Pn(
m1−np
√npq
≤ m−np
√npq
≤
m2−np
√npq )= ∑
xm∈|a,b|
Pn(m)= ∑
xm∈|a,b|
ϕ(xm)(1+αn(m))
√npq
=Rn+Tn
bu yerda
Rn= ∑xm∈|a,b|
ϕ(xm)
√npq
, Tn= ∑xm∈|a,b|
ϕ(xm)αn(m)
√npq .
Quyidagi ayirmani qaraymiz:
Δx m= xm+1− xm= m +1− np
√npq
− m− np
√npq
= 1
√npq
Bunga asosan
Rn= ∑
xm∈|a,b|
ϕ(xm)Δx m
va
n→ ∞ da
22

Rn→∫
a
b
ϕ(x)dx (15)
Endi
Tn ni baholaymiz.
Tn≤∑ ϕ(xm)|αn(m)|Δx m≤ Rn
c
√n
.
Bunda
n→ ∞
da Tn→ 0 (16)
ekanligi kelib chiqadi. (15) va (16) dan teoremaning isbotiga ega
bo`lamiz.
Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanib maslalalar
yechishda
Φ(x)= 1
√2π∫
0
x
e
−u2
2du
funksiyaning qiymatini hisoblashga to`g`ri keladi.
Ф(x)
funksiya qiymatlari uchun jadval tuzilgan.
Jadvalda
Ф(x) funksiyaning nol va musbat x larga mos qiymatlari
keltirilgan.
Ф(x)
da funksiyaning toqligidan foydalanib, jadvaldan x<0 bo`lgan
holda ham foydalanish mumkin.
Jadvalda
Ф(x) ning x∈[0,5 ] kesmadagi qiymatlari berilgan, agar x>5
bo`lsa, u holda
Ф(x)≈0,5 deb olinadi.
Ф(x)
funksiya orqali Pn(m1,m2) ni quyidagicha ifodalash mumkin:
23

Pn(m1,m2)=∫
a
b
ϕ(x)dx =Ф(b)−Ф (a)Endi quyidagi masalani yechamiz:
Masala. Korxonada ishlab chiqariladigan har bir maxsulotning
yaroqsiz bo`lish ehtimoli
p=0,005 . 10000 ta ishlab chiqarilgan maxsulot
orasida yaroqsizlari soni 70 tadan oshmaslik ehtimolini toping.
n=10000
; m1=0 ; m2=70 ; p=0,005 ; q=0,995 ;
√npq =7,053
;
a=
m1− np
√npq ; a=−7,089 ;
b=
m2−np
√npq ; b=2,836 .
Φ(x)= 1
√2π∫
0
x
e
−u2
2du
funksiya jadvalidan
Φ(2,84 )=0,498 ; Φ(−7,084 )=−0,5
P{0≤m≤70 }= Pn(0;70 )=Φ(2,836 )+Φ(7,089 )=0,998
.
Faraz qilaylik Muavr-Laplasning integral teoremasidagi barcha
shartlar bajarilgan bo`lsin. Biz
m
n nisbiy chastotaning o`zgarmas p
ehtimoldan chetlanishning absolyut qiymati bo`yicha oldindan berilgan
ε>0
sondan katta bo`lmaslik ehtimolini topish masalasini qaraymiz, ya`ni
|m
n− p|<ε
tengsizlikni bajarilish baholaymiz.
P{|m
n− p|<ε}= P{− ε<m− np
n <ε}= P {− p
√
n
pq <m− np
√npq
<ε
√
n
pq }
Muavr-Laplas integral teoremasiga asosan
P{|m
n− p|<ε}=Φ (ε
√
n
pq )−Φ (− ε
√
n
pq )=Φ (ε
√
n
pq )+Φ (ε
√
n
pq )=2Φ (ε
√
n
pq )
Shunday qilib
24

P{|m
n− p|<ε}= 2Φ (ε
√
n
pq ) (17)
(17) ning ikkala tomonidan
n→ ∞ da limitga o`tsak,
lim
n→∞
P{|m
n− p|<ε}= 2lim
n→∞
Φ (ε
√
n
pq )=2⋅1
2= 1
.
lim
n→∞
P{|m
n− p|<ε}=1
.
Bu munosabatga Bernulli sxemasi uchun katta sonlar qonuni yoki
Bernulli teoremasi deyiladi.
Masala. Tajriba tanga tashlashdan iborat bo`lsin. Tangani 100 marta
tashlaganda raqamli tomon tushish hodisasining nisbiy chastotasi
m
100 ning
1
2
ehtimoldan absolyut qiymat bo`yicha farqi
0,04 dan oshmaslik ehtimolini
baholang.
Yechish. Masala shartiga ko`ra
n=100 , p= 1
2 , q=1− p= 1
2 , ε=0,04 .
(17) formulaga asosan
P{|m
100 − 1
2|<0,04 }=2Φ (0,04 ⋅2⋅10 )=2Φ (0,8 )= 2⋅0,2881 = 0,5762
,
chunki
Φ(0,8 )=0,2881 .
ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tajribalar ketma-ketligi ko‘rilayotgan
bo‘lib, biror hodisaning ro‘y berish ehtimolligi har bir tajriba uchun
soniga teng bo‘lsin. Muavr-Laplas teoremalari Bernulli sxemasida
lar katta qiymatlar qabul qilgandagina quyidagi ehtimolliklarni
taqribiy hisoblash uhun qo‘llaniladi:
25

va
Muavr-Laplasning lokal teoremasi. Agar ta o‘zaro bog‘liq
bo‘lmagan tajribalar ketma-ketligida biror hodisaning ro‘y berish ehtimolligi
o‘zgarmas soniga teng bo‘lsa, bu tajribalar hodisaning aynan marta ro‘y
berish ehtimolligi
formula yordamida hisoblanadi. Bu yerda ϕ(x)= 1
√2πe
x2
2
Laplas funktsiyasi deb ataladi, uning qiymatlari ilovadagi 3-jadvalda
keltirilgan. Funktsiya juft bo‘lganligi uchun manfiy qiymatlari ham ana shu
jadvaldan topiladi ( qiymatlarda deb olinadi).
Muavr-Laplasning integral teoremasi. Agar ta o‘zaro bog‘liq
bo‘lmagan tajribalar ketma-ketligida biror hodisaning ro‘y berish ehtimolligi
o‘zgarmas soniga teng bo‘lsa, bu tajribalarda hodisaning ro‘y berishlar
soni ning va qiymatlar orasida bo‘lish ehtimolligi
P(m1;m2)= P(m1≤ m≤ m2)≈ Φ (
m2− np
√npq )− Φ (
m1− np
√npq )
formula yordamida hisoblanadi. Bunda

Φ(x)= 1
√2π∫
0
x
e
−t2
2dt (1)
26

Laplasning integral funktsiyasi deb ataladi, bu funktsiyasining quymatlari 4-
jadvalda keltirilgan 4
.
toq funktsiya bo‘lgani uchun manfiy qiymatlari ana shu
jadvaldan foydalaniladi. da bo‘ladi.
EXSEL dasturining standart funktsiyalari:
Standart funktsiyalar: (1) ko‘rinishdagi Laplasning integral
funktsiyasining qiymatlarini maxsus NORMSTRASP (Z) -0,5 nomli funktsiya
hisoblaydi.
Ф0(x)=Ф (х)+0,5
O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tajribalar nisibiy chastotaning o‘zgarmas
ehtimollikdan chetlashishini baholashda Muavr-Laplasning integral
teoremasining natijasidan foydalaniladi.
Natija: ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisalarning ro‘y
berish ehtimolligi bo‘lsa, hodisaning ro‘y berishlar soni ning nisibiy
chastotasi ning o‘zgarmas ehtimollik dan chetlashishining biror
dan katta bo‘lmaslik ehtimollgi quyidagiga tehg:
P{|m
n− p|≤ ε}≈ 2Φ (ε
√
n
pq )
Bu formulani hosil qilish uchun dan
hosil qilamiz. Muavr-Laplasning teoremasini va
chegaralar uchun qo‘llasak, natija isbot bo‘ladi.
XULOSA
Ushbu kurs ishi Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli
ayirmali sxemalar yordamida yechish mavzusida bo ’ lib , unda Laplas tenglamasi
4
М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики. M.«Наука». 1975.
27

haqida ma ’ lumotlar berilgan . Laplas tenglamasi uchun ichki va tashqi chegaraviy
masalalar haqida ham yoritib o ’ tilgan . Laplas va Puass о n tenglamalari uchun
chegaraviy masalalarni yechishning o ‘ zgaruvchilarni ajratish usuli haqida ham
alohida to ’ xtalib o ’ tilgan .
Mazkur kurs ishida elliptik tipdagi tenglamalar va elliptik tipdagi garmonik
funksiyalar haqida ham ma’lumotlar berilgan. Ushbu kurs ishini bajarish davomida
hisoblash usullari fanini yanada chuqurroq o’rganishga erishdim va hisoblash
usullari fanidan bilimlarimni oshirdim. Kelgusi o’qish va mehnat faoliyatimda bu
kurs ishimda olgan bilimlarim yordam berishiga ishonaman 5
.
5
М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики. M.«Наука». 1975.
28

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. M.S.Salоhitdinоv. Matematik fizika tenglamalari. T. «ФАН», 2004.
2. M.S.Salоhitdinоv, G.N.Nasritdinоv. Оddiy differensial tenglamalar. T.
«O‘qituvchi».1982.
3. N.Teshabоeva. Matematika fizika metоdlari. T. «O‘qituvchi». 1966.
4. T.N.Nurim о v. Matematika fizika met о dlari. T. «O‘qituvchi». 1980.
5. Н.С.Кошляков, Е.Б.Глинер, М.М.Смирнов. Основные дифферен-
циальные уравнения математической физики. M.GIFML. 1962.
6. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.
M.«Наука». 1972.
7. А.В.Бицадзе, Д.Ф.Калиниченко. Сборник задач по уравнениям
математической физики. M.«Nauka». 1977.
8. М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики.
M.«Наука». 1975.
9. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по
математической физике. M.«Наука». 1972.
10. В.С.Владимиров и другие. Сборник задач по уравнениям матема-
тической физики. M .«Наука». 1974.
11. Xolmatov T.X va boshqalar. « Informatika va xisoblash texnikasi
».Toshkent 2001 y.
INTERNET SAYTLARI
1. www.ziyonet.uz
2. www.tuit.uz
3. www.referat.uz
29

LAPLAS TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN CHEGARAVIY MASALALARNI O’ZGARUVCHILARNI AJRATISH USULI

Купить