Loran qatorlari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	824.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	29 May 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Loran qatorlari

Sotib olish

MAVZU: LORAN QATORLARI
MUNDARIJA:
I. KIRISH……………………………………………………………….………3
II. ASOSIY QISM……………………………………………………….……..4
1.1. Loran qatorlari tushunchasi …………………………………………..……..4
1.2. Funksiyani Loran qatoriga yoyilmasining yagonaligi ……………….…….13
1.3. Loran qatori koeffitsiyentlari uchun Koshi tengsizliklari ………………….17
1.4. Maxsus nuqtalar va ularning turlari ………………………………….…….18
1.5. Misollar ……………………………………………………………….……21
III. XULOSA……………………………………………..…………………….33
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………….……34
2

KIRISH
Matematik tahlilning muhim bo‘limlaridan biri hisoblangan kompleks analiz
sohasi, ko‘p hollarda murakkab sonli funksiyalar bilan ishlashni o‘z ichiga oladi.
Ayniqsa, Loran qatorlari bu yo‘nalishda muhim o‘rin egallaydi. Loran qatorlari
yordamida holomorf funksiyalarni maxsus nuqtalar atrofida tasvirlash, ularni tahlil
qilish hamda singularliklarini o‘rganish imkoniyati mavjud bo‘ladi.
Kengaytirilgan Teýlor qatori sifatida qaraluvchi Loran qatori,
funksiyalarning halkasimon sohalarda yaqinlashuvini ta'minlaydi. Bu esa, ayniqsa
fizikada, injiniringda va boshqa aniq fanlarda uchraydigan real muammolarni
kompleks sonli analiz vositalari orqali tahlil qilishda beqiyos ahamiyatga ega.
Mazkur kurs ishida Loran qatorining ta’rifi, hosil bo‘lish shartlari, maxsus
nuqtalar bilan bog‘liqligi, yaqinlashuv sohasi, koeffitsiyentlarining aniqlanishi kabi
asosiy jihatlari ko‘rib chiqiladi. Shuningdek, Koshining integral formulasi,
konformlik, funksiyaning turlari va singularlik tahlili bilan bog‘liq asosiy teorema
va misollar yoritiladi.
Ushbu mavzuni o‘rganish orqali talaba nafaqat nazariy bilimga ega bo‘ladi,
balki amaliy jihatdan ham Loran qatorlarini tatbiq etishni o‘rganadi, bu esa uni
murakkab funksiyalar tahlilida mustaqil ishlashga tayyorlaydi.
3

1.1. loran qatorlari tushunchasi
f(z) funksiya
doirada golomorf bo‘lsa, u Teylor qatori
ga yoyilishini ko‘rdik. Bu yerda
bo‘ladi
f(z) funksiya halqada golomorf bo‘lsa, uning shu halqada qatorga yoyish masalasi
kompleks analiz va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
Loran qatorlari
1°. Loran qatori tushunchasi. Aytaylik, f(z) funksiya ushbu
sohada (halqada, 1-chizma) golomorf bo‘lsin, bunda
1- chizma
K sohada ixtiyoriy z nuqta olib , uni tayinlangan deb qaraymiz . So‘ng shunday
4

sohani (halqani) olamizki, bunda
bo‘lib, bo‘lsin. Ravshanki, bu holda bo‘ladi (2-chizma).
2-chizma
Ushbu
aylanalarni mos ravishda γ , ₁ Γ orqali belgilaymiz: ₁
Unda sohaning chegarasi
bo‘ladi. Bu yerda va aylanalarda yo‘nalish soat strelkasi yo‘nalishiga qarshi
qilib olingan.
Qaralayotgan funksiya sohada golomorf bo‘lganligi sababli
Koshining integral formulasiga ko‘ra uchun
bo‘ladi . Ravshanki ,
5

Demak,
(1)
uchun tekis yaqinlashuvchi
ushbu
qatorni
ga ko‘paytirib, so‘ng bo‘yicha hadlab integrallasak,
(2)
hosil bo‘ladi. Bu yerda
(3)
(Shuni ta’kidlash lozimki, bu holda (3) munosabatdagi koeffitsiyentlar
keltirilgandek
6

ga teng qilib olib bo‘lmaydi. Sababi, funksiya nuqtada golomorf
bo‘lmasligi mumkin).
Endi (1) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi integral ostidagi
funksiyani uchun quyidagicha
(4)
yozib olamiz da
bo‘lganligi sababli (3) qator tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Yuqoridagi (4) tenglikning har ikki tomonini ga ko‘paytirib, so‘ng
bo‘yicha hadlab integrallab:
(5)
bo‘lishini topamiz, bunda
(6)
bo‘ladi. Natijada (1), (2) va (5) munosabatlardan
(7)
bo‘lishi kelib chiqadi.
(3) va (6) formulalardagi qiymatlarni qabul qiladigan
indeksini, qiymatlarni qabul qiladigan indeks bilan
almashtirsak, unda (6) formula quyidagicha ko‘rinishga keladi:
7

(8)
Agar z nuqta (K) soxadagi ixtiyoriy nuqta ekanini, (f(z) funksiyasi shu
sohada golomorf bo‘lishini hamda va chiziqlar (K) soxaga tegishliligini
e’tiborga olsak, Koshining teoremasiga ko‘ra:
umuman,
bo‘lishini topamiz. Bu yerda:
Endi (3) va (8) tengliklarni solishtirib:
ya’ni:
bo‘lishini topamiz.
Quyidagi yig'indilarni birlashtirib, ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:
Demak,
bo‘lib, bunda
1-teorema. Ushbu
8

sohada (halqada) golomorf bo‘lgan ixtiyoriy funksiya shu sohada
yaqinlanuvchi
qatorning yig‘indisi sifatida ifodalanadi:
Bu yerda qatorning koeffitsiyentlari:
bo‘lib, bo‘ladi. Odatda, bu teorema Loran teoremasi deyiladi.
1-ta’rif. Koeffitsiyentlari
formulalar yordamida aniqlanadigan Kator funksiyaning K soxadagi
(xalkadagi) Loran qatori deyiladi. funksiya K soxada (xalkada) golomorf
bo‘lsa, teoremaga binoan
bo‘lishini e’tiborga olib, bu holda f(z) funksiya K soxada (xalkada) Loran
qatoriga eg’ilgan deb aytamiz.
Demak, funksiyaning Loran qatori z-a ning musbat va manfiy butun
darajalari bo‘yicha eg’ilgan qatorni ifodalar ekan.
Yuqorida aytilganlardan hamda darajali qatorlar haqidagi ma’lumotlardan
foydalanib, quyidagi xulosalarga kelamiz:
1) Loran qatori
9

ni ikkita
(9)(10)
qatorlarning yig‘indisidan iborat deb qarash mumkin. Odatda (9) qator Loran
qatorining to‘g‘ri qismi, (10) qator esa Loran qatorining bosh qismi deyiladi.
2) Loran qatorining to‘g‘ri qismi
darajali qatordir. Uning yaqinlashish soxasi Abel teoremasiga ko‘ra
doiradan iborat bo‘lib, yaqinlashuv radiusi Kosh-Adamar formulasi
ga ko‘ra topiladi. (9) qator
da tekis yaqinlashuvchidir.
3) Loran qatorining bosh qismi
(10)
(10) da
deyilsa, unda bu qator
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bu qator Abel teoremasiga ko‘ra
10

da yaqinlashuvchi bo‘lib, yaqinlashish radiusi Kosh-Adamar formulasiga ko‘ra
bo‘ladi. Demak,
qator doiraning tashqi qismi bo‘lgan
sohada yaqinlashuvchi bo‘ladi.
4) Agar bo‘lsa, Loran qatorining yaqinlashish sohasi bo‘sh to‘plam bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, Loran qatori
ning yaqinlashish sohasi
halqadan iborat bo‘ladi.
5) Agar funksiyaning Loran qatori
sohada (halqada) yaqinlashuvchi bo‘lsa, Abel teoremasiga ko‘ra qator
11

e'lon qilingach, bu sohada tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Veyershtrass teoremasiga ko‘ra Loran qatorining yig'indisi funksiya.
sohada golomorf bo‘ladi.
12

2. Funksiyani Loran qatoriga yoyilmasining yagonaligi
Biz
sohada (halqada) gоlomоrf bo‘lgan har qanday f(z) funksiyani Loran qatori:
ga yoyilishini ko‘rdik. Ravshanki, f(z) funksiyaning Loran qatori (Teylor
qatori singari) o‘z koeffitsiyentlari
bilan to‘liq aniqlanadi.
Endi funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasida koeffitsient lar
yagona holda aniqlanishini, ya’ni funksiya turli usullar bilan Loran qatoriga
yoyilganda ularda koeffitsiyentlar har doim bir xil bo‘lishini ko‘rsatamiz.
2-teorema. Agar sohada (halqada)
gоlomоrf bo‘lsa, bu funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi
yagonadir.
Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni K sohada (halqada) gоlomоrf bo‘lgan
funksiyaning Loran qatori ikkita
(11)
(12)
bo‘lib, bo‘lsin. Ushbu
13

Tenglikning har ikki tomonini — tayinlangan butun son) ga
ko‘paytirsak:
(13)
tenglikka kelamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy butun k soni uchun
bo‘ladi. Bu tenglikdan foydalanib, (13) munosabatdan bo‘lishini
topamiz. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Odatda, bu teorema yagonalik teoremasi deyiladi.
Eslatma. Funksiyalarni Loran qatoriga yoyish masalasi uning
koeffitsientlarini aniqlash bilan hal qilinadi. Bu koeffitsientlar ko‘pincha integralni
hisoblash bilan topiladi.
Ko‘pincha bunday integrallarni hisoblash qiyin bo‘ladi. Yagonalik teoremasi
funksiyalarni Loran qatoriga yoyishda boshqa usullardan foydalanish imkoniyatini
yaratadi.
Shuning uchun funksiyalarni Loran qatoriga yoyishda turli usullardan
foydalanish mumkin bo‘ladi.
Misol. Ushbu
funksiyani sohada (xalqada) Loran qatoriga yoying.
Berilgan
funksiya nuqtalarda golomorf bo‘lmasdan
14

sohada (xalkada) golomorf. Binobarin , 1- teoremaga ko ' ra funksiya shu
xalkada Loran qatoriga yoyiladi . Bu yoyilmani topish uchun qaralayotgan
funksiyani quyidagicha yozib olamiz :
(14)
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi funksiya
doirada golomorf.
Ravshanki,
Demak,
Bu qator da yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Endi (14) tenglikning o‘ng tomonidagi funksiyani olib, uni
quyidagicha yozib olamiz:
Bu funksiya ( ) da golomorf bo‘lib, u yaqinlashuvchi
qatorga yoyiladi. Demak, bu qator ( ) da yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Natijada
soxa (xalqa) da (14) tenglikka ko‘ra
15

ya'ni
bo‘ladi. Demak,
16

3. Loran qatori koeffitsiyentlari uchun Koshi tengsizliklari
Faraz qilaylik, funksiya
soxada (xalqa)da golomorf bo‘lib,
bo‘lsin. U holda f(z) funksiyaning K xalqadagi Loran qatori
koeffitsiyentlari uchun ushbu
(15)
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.
Haqiqatan ham, Loran qatori koeffitsiyentlari uchun
bo‘lishini e’tiborga olib,
bo‘lishini topamiz. Demak,
Bu tengsizliklar Koshining tengsizliklari deyiladi.
17

4. Maxsus nuqtalar va ularning turlari
1-tarif. Agar nuqtada funksiyaning golomorf bo‘lishi sharti
bajarilmasa, u holda funksiyaning shu nuqta atrofida o‘rganiladi. Odatda, bunday
nuqta f(z) funksiyaning maxsus nuqtasi deb qaraladi.
2 - ta’rif. Agar funksiya ushbu sohada golomorf bo‘lsa, u holda a
nuqta funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi:
Misol. Ushbu funksiyani ko‘raylik:
Bu funksiya sohada golomorf:
Demak, a = -i nuqta berilgan funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi
bo‘ladi.
3 - ta’rif. Agar f(z) funksiya ushbu sohada golomorf bo‘lsa, u holda a = ∞
nuqta f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi:
Misol. Ushbu funksiyani ko‘raylik:
Bu funksiya sohada golomorf:
Demak, a = +∞ nuqta berilgan f(z) = e^z funksiyaning yakkalangan maxsus
nuqtasi bo‘ladi.
Funksiyaning yakkalanmagan maxsus nuqtalari ham bo‘ladi. Masalan,
ushbu:
(16)
Funksiyani qaraylik. Ravshanki,
18

nuqtalar (16) funksiyaning maxsus nuqtalari bo‘ladi. Bunda maxsus
nuqta berilgan funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘lmaydi.
Darhaqiqat,
bo‘lganligi sababli, a = 0 nuqtaning har qanday uyilgan atrofi
da funksiyaning maxsus nuqtalari bo‘ladi. Demak, berilgan
funksiyaning yakkalanmagan maxsus nuqtasi ekan.
Biz quyida yakkalangan maxsus nuqtalarni o‘rganamiz.
Yakkalangan maxsus nuqtalarning turlari
Aytaylik a nuqta funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘lsin.
Unda funksiya
sohada (a nuqtaning uyilgan atrofida) golomorf bo‘lsa, funksiyaning
dagi limitining xarakteriga qarab yakkalangan maxsus nuqtalar turlarga
ajraladi.
4-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo‘lib,
bo‘lsa, u holda a nuqta funksiyaning bartaraf qilinishi mumkin bo‘lgan
maxsus nuqtasi deyiladi.
3°. Maxsus nuqtalar bilan Loran qatorlari orasidagi bog‘lanishlar.
Faraz qilaylik, f(z) funksiyasi
19

sohada (a nuqtaning o‘ralgan atrofi) g'olomorf bo‘lib, a nuqta shu
funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘lsin. Unda 1-teoremaga ko‘ra
funksiyasi da Loran qatoriga
ga yoyiladi. Ko‘rilayotgan funksiyaning Loran qatori (17) ga nisbatan
quyidagi uchta holni ko‘ramiz:
a) (17) qatorda ayirmaning manfiy darajali hadlari qatnashmagan hol;
b) (17) qatorda ayirmaning manfiy darajali hadlaridan chekli sondagisi
qatnashgan hol;
v) (17) qatorda ayirmaning cheksiz ko‘p manfiy darajali hadlari
qatnashgan hol. Mana shu hollarga qarab funksiyaning yakkalangan maxsus
nuqtalarining turlarini aniqlash mumkin bo‘ladi.
20

1.5. Misollar
Misol. Ushbu funksiyani ko‘raylik:
Bu funksiya sohada golomorf:
Demak, a = -i nuqta berilgan funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi
bo‘ladi.
Ta’rif. Agar f(z) funksiya ushbu sohada golomorf bo‘lsa, u holda a = ∞
nuqta f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi:
21

2-misol: Quyidagi funksiyani quyidagi nuqtalar atrofida qatorga yoying:
Nuqtalar:
Yechish: Berilgan funksiyani quyidagi ko‘rinishda Teylor yoki Loran
qatoriga yoyish mumkin:
yoki:
Bu ikkala yoyilma ham bir xil asosiy qator asosida olingan, farq ularning
yozilish tartibida.
Agar nuqtasi atrofida qaralsa, to‘g‘ri qismlar soni to‘rtta bo‘ladi va
natija quyidagicha yoziladi:
f
Agar nuqtasi atrofida qaralsa, yakuniy ko‘rinish quyidagicha
bo‘ladi:
22

3-misol: Berilgan funksiyalarni Teylor qatori yordamida tahlil qilamiz va
limitlarni aniqlaymiz.
a)
b)
Yechish: `a) Quyidagi funksiyani qatorga yoyamiz va uning limitini
topamiz:
Kosinus funksiyasining qatoriga asoslanib yozamiz:
Shu sababli:
Natija:
Demak,
Asimptotik formula:
b) Funksiya:
Sinus funksiyasi uchun:
23

Yoki:
Demak,
Asimptotik formula:
24

4-misol : Berilgan funksiya:
Nomal ko‘rinishdan ko‘rinadiki, ifoda quyidagicha faktorizatsiyalanadi:
Uni oddiy kasrlar ko‘rinishida ajratamiz:
Umumiy maxrajga keltiramiz va tenglik o‘ng va chap qismlarining
kasrlarining tengligini ta'minlaymiz:
Shartga ko‘ra, koeffitsiyentlarni tenglashtiramiz:
Bu tizimni yechamiz:
Demak, funksiya quyidagicha ajraladi:
25

5-misol
Ushbu funksiyani qaraylik. Bu funksiya da
golomorf bo‘lib, nuqta uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi.
Qaralayotgan funksiyaning da limiti mavjud emas. Haqiqatan ham,
agar bo‘lib ga intisa, unda
bo‘ladi, va demak, da limiti mavjud emas.
Agar bo‘lib ga intilsa, unda bo‘lishini
e’tiborga olib, funksiyaning limiti mavjud emasligini
topamiz.
Demak, nuqta berilgan funksiyaning o‘ta maxsus nuqtasi bo‘ladi.
26

6-misol
Misol. Ushbu
funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiya da golomorf
bo‘lib, nuqta uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi. Ayni paytda
bo’ladi.
Demak, a nuqta berilgan funksiyaning bartaraf qilinadigan maxsus nuqtasi
bo‘ladi.
Ta’rif. Agar funksiyaning limiti mavjud bo‘lib,
bo‘lsa, u holda a nuqta funksiyaning qutb maxsus nuqtasi deyiladi.
27

7-Misol.
Ushbu funksiyani qaraylik. Bu funksiya da
golomorf bo‘lib, nuqta uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi.
Bu funksiya uchun bo‘lganligi sababli berilgan
funksiyaning qutb nuqtasi bo‘ladi.
6-Ta’rif. Agar z → a da funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, u holda
nuqta funksiyaning o‘ta (muxim) maxsus nuqtasi deyiladi.
8-misol
Misol: Berilgan funksiyani Loran qatoriga ajratamiz:
Natijada:
Bu qatorda nuqtasida uchinchi tartibli qutb mavjud.
Funksiya meromorf deyiladi, agar u har bir doirada analitik bo‘lsa, faqat
nihoyatda ko‘pi bilan yakunli sondagi qutblar istisno.
28

9-Misol: Quyidagi funksiya meromorf funksiyadir:
Bunda:
bu funksiyaning oddiy qutblari bo‘lib, ularning soni hisoblanadigan sondir.
Qutbdagi limit:
29

10- misol
Quyidagi misolda, f(z) funksiyasini z = 0 nuqta atrofida Loran qatori
ko‘rinishida yozamiz:
Funksiya:
.
Bu ifodani quyidagicha parchalash mumkin:
Endi oddiy ulushlarga ajratamiz:
Umumiy maxrajga keltirib, tenglik o‘rniga quyidagini yozamiz:
Tenglikni ochamiz:
Bu yerda, tenglik har doim bajarilishi uchun quyidagilar bo‘lishi kerak:
Demak,
Endi shartida geometrik qator shaklida yozamiz:
Natijada, Loran qatori:
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
30

11-misol
Quyidagi misolni Loran qatoriga yoyamiz:
12-misol
Quyidagi misolni Loran qatoriga yoyamiz:
13-misol
Quyidagi misolni Loran qatoriga yoyamiz:
31

14-misol
15-misol
32

III. XULOSA
Kurs ishida kompleks analizning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan Loran
qatorlari keng tahlil qilindi. O‘rganishlar natijasida aniqlanishicha, Loran qatorlari
orqali holomorf funksiyalarni halkasimon sohalarda taqribiy ifodalash va ular
atrofidagi maxsus nuqtalarni tahlil qilish imkoniyati yaratiladi.
Teýlor qatorining umumlashtirilgan shakli sifatida Loran qatori musbat va
manfiy darajali hadlardan tashkil topadi. Bu esa funksiyalarni singularlikka ega
sohalarda ifodalashda qulaylik yaratadi. Ayniqsa, ko‘rsatkichlar tahlili,
yaqinlashuv shartlari, maxsus nuqtalarning tasnifi (bartaraf etiladigan, qutb va juda
maxsus nuqtalar) va ularning Loran qatorlari bilan bog‘liqligi matematik tahlil
uchun katta amaliy ahamiyatga ega ekanligi ko‘rsatildi.
Kurs ishida Koshining integral formulasi, Loran qatori koeffitsiyentlarini
aniqlash usullari, bir qancha teorema va misollar, shuningdek, konkret funksiyalar
uchun Loran qatorlariga yoyish masalalari ko‘rib chiqildi. Misollar orqali Loran
qatorlarining aniq yechimlarga olib keluvchi kuchli vosita ekanligi tasdiqlandi.
Xulosa qilib aytganda, Loran qatorlari yordamida kompleks funksiyalarni
chuqur tahlil qilish, ularning xatti-harakatini maxsus nuqtalar atrofida aniqlash,
chegaraviy holatlarda xulosa chiqarish va bu orqali nazariy va amaliy masalalarga
yechim topish mumkin bo‘lar ekan. Mazkur bilimlar, albatta, keyingi ilmiy
izlanishlar, fizikaviy modellashtirish va texnik hisoblashlar uchun muhim nazariy
asos bo‘lib xizmat qiladi.
33

IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Т. Жўраев, А. Саъдуллаев, Г. Худойберганов, Ҳ. Мансуров, А.
Борисов. Олий математика асослари. 1-том. Тошкент: «Ўзбекистон», 1995.
2. Т. Азларов, Ҳ. Мансуров. Математик анализ. 2-том. Тошкент:
«Ўқитувчи», 1994.
3. . Саъдуллаев, Г. Худойберганов, Ҳ. Мансуров, А. Борисов, Т.
Тўйчиев. Математик анализ курсидан мисол ва масалалар тўплами (комплекс
анализ). 3-том. Тошкент: «Ўзбекистон», 1994.
4. Ш.М. Маскудов, М. Салоҳиддинов, С. Сиро иддинов. Комплексҷ
ўзгарувчининг функциялар назарияси. Тошкент: «Фан», 1996.
5. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ. 1-часть. М.: Наука,
1985.
6. Ю. В. Сидоров, М. В. Федоров, М. И. Шабунин. Лекции по
теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.
7. И. Н. Привалов. Введение в теорию функции комплексного
переменного. М.: Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1957.
8. Н. А. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций.
М.: Физматгиз, 1966.
9. Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Абрамович. Сборник задач
по теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1963.
10. М.А. Егафоров, К.А. Бежанов, Ю.В. Сидоров, М.В. Федоров,
М.И. Шабунин. Сборник задач по теории аналитических функций. М.: Наука,
1972.
34

LORAN QATORLARI kurs ishi tayyor

Sotib olish