Noideal bog’lanishli sistema uchun Appel tenglamasi - Mexanika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	40000UZS
Hajmi	292.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	06 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Mexanika

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Noideal bog’lanishli sistema uchun Appel tenglamasi

Sotib olish

NOIDEAL BOG’LANISHLI SISTEMA UCHUN APPEL TENGLAMASI.
Reja:
I. Kirish
II. Asosiy qism
2.1. Bog‘lanishlar va ularning klassifikatsiyasi
2.2. Mexanik sistemaga qo‘yilgan bog‘lanishlar
2.3. Noideal bog‘lanishli sistema uchun Appel tenglamasi
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish.
Nazariy mexanika fani moddiy jismlarning bir biriga ko‘rsatadigan ta’siri va
mexanik harakatning umumiy qonunlari haqidagi fandir.
Fazoda vaqtning o‘tishi bilan moddiy jismlarning bir-birlariga nisbatan ko‘chishi
mexanik harakat deyiladi .Bu harakat jismlarning o‘zaro bir birlariga ko‘rsatgan
ta’sirlari natijasida sodir bo‘ladi .
Ushbu kurs ishi kirish, asosiy qism, to‘rt paragraf, xulosa va foydanilgan
adabiyotlardan iborat.
Asosiy qismning birinchi qismida bog‘lanish haqida tushunchaga ega bo‘lamiz
va sistemaning qanday joylarida bog‘lanish qo‘yilishi haqida.
Ikkinchi qismida mehanik sistemaga qo’yilgan bog’lanishlarni o’rganamiz,
bunda golonom sistema, nogolonom sistema haqida tushunchaga ega bo’lamiz .
Bog‘lanish turlari ideal , noideal bog’lanishlarni o’rganamiz.Uchinchi qismida
noideal sistema uchun Appel tenglamasini kiltiramiz . Appel tenglamasini
keltirishdan oldin Raus tenglamasini keltirilgan. Turli hil bo’lanishlar uchun Appel
tenglamasini keltirishi o’rganamiz.Bularni bilishdan oldin bog‘lanish nima? degan
savolga javob keltirib o‘tsak.
Jismning harakati yoki holatini cheklovchi sabab bog‘lanish deyiladi.
Mehanikada bog’lanishlar qattiq yoki elastik jismlar vositasida bajariladi.
Bog’lanishni jismga bergan ta’sirini ekvivalent kuch bilan almashtirish mumkin
uni bog’lanish reaksiyasi deb aytiladi. Jismning bog’lanishga ta’siri bosim deb
aytiladi.
Bog‘lanish sirt , tekislik , egri chiziq yoki to‘g‘ri chiziq bo‘lishi mumkun.
Bog’lanishlar, sirtlar, tekisliklar, egri chiziqlar, to’g’ri chiziqlar , tenglamalar
bilan beriladi. Moddiy nuqta bog’lanishlar ta’sirida yoki bog’lanishlar bo’ylab
harakat qilar ekan,uning koordinatalari bog’lanishlar tenglamasini qanoatlantirrishi
kerak.

2.1Bog‘lanishlar va ularning klassifikatsiyasi
Jismning harakati yoki holatini cheklovchi sabab bog‘lanish deyiladi.
Mehanikada bog’lanishlar qattiq yoki elastik jismlar vositasida bajariladi.
Bog’lanishni jismga bergan ta’sirini ekvivalent kuch bilan almashtirish mumkin uni
bog’lanish reaksiyasi deb aytiladi. Jismning bog’lanishga ta’siri bosim deb aytiladi.
Bog‘lanish sirt , tekislik , egri chiziq yoki to‘g‘ri chiziq bo‘lishi mumkun.
Bog’lanishlar, sirtlar, tekisliklar, egri chiziqlar, to’g’ri chiziqlar , tenglamalar bilan
beriladi. Moddiy nuqta bog’lanishlar ta’sirida yoki bog’lanishlar bo’ylab harakat
qilar ekan , uning koordinatalari bog’lanishlar tenglamasini qanoatlantirrishi
kerak.Masalan moddiy nuqta biror sirt bo‘ylab harakatlansin,u holda
bog‘lanishning tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Agar moddiy nuqta biror fazoviy egri chiziq bo‘ylab
harakatlansa,bunday egri chiziq ikkita va sirtlarning
kesishish chizig’i sifatida olinishi mumkun .Binobarin , bu ikkita tenglama fazoviy
egri chiziqning tenglamasi –bog’lanish tenglamasini ifodalaydi .
Moddiy nuqtaning koordinatalari bog’lanishlar tenglamasini qanoatlantirishi kerak
bo’lgani kabi , bog’lanish shartlar ham endi ixtiyoriy bo’la olmaydi .Ular ham
bog’lanishlar tenglamasini qanoatlantirishi kerak.
Bu yerda misol keltirib o’tamiz: M moddiy nuqta uzunligi R bo’lgan sterjenning bir
uchiga mahkamlangan bo’lsin .Sterjening ikkinchi uchi qo’zg’almas O nuqtaga
sferik sharnir bilan biriktirilgan,O nuqta koordinatalar boshida olingan . U holda
nuqta , tenglamasi bo’lgan sfera bo’ylab harakat qiladi. Nuqta
boshlang’ich paytda qanday vaziyatni egallamasin va boshlang’ich tezligi qanday
bo’lmasin , uning bu paytdagi koordinatalari sfera tenglamasini qanoatlantirishi,
tezligi esa sfera sirtiga urinma bo’lishi kerak .
Bog’lanishlar faqat tenglamalar bilangina emas tengsizliklar bilan ham berilishi
mumkin . Masalan , moddiy nuqta uzunligi l bo’lgan ipning bir uchiga

biriktirilgan bo’lsin. Ipning ikkinchi uchini qo’lda ushlab moddiy nuqtani

vertikal tekislikda aylantiraylik. Nuqtaning tezligi yetarli katta bo’lganda , u
aylana bo’ylab harakatlanadi . Yozilgan bu tenglama bog‘lanishning
tenglamasi bo’ladi.Agar nuqtaning tezligi kamaysa , nuqta aylananing yuqoridagi
qismida bo’lganda ip “bukilib ” nuqta traektoriyadan “tushib”ketishi mumkin. Bu
holda bo’ladi. Shunday qilib ,bog’lanish tengsizlik bilan ham berilishi
mumkun. Tengsizlik ishorasi bilan berilgan bog’lanishlar bo‘shatmaydigan
bog’lanishlar deyiladi.Tengsizlik bilan ifodalanadigan bog’lanishlar bo’shatadigan
deyiladi. Ko’rilgan bog’lanishlar tenglamasiga faqat nuqta koordinatalari kirgan .
Ular nuqta koordinatalarini ma’lum shartlar bilan bog’laydi. Bunday bog’lanishlar
golonom( yoki geometrik)bog‘lanishlar deyiladi. Lekin bog’lanishlar faqat nuqta
koordinatalarinigina emas, balki koordinatalarining vaqt bo’yicha hosilalarini ham
ma’lum shartlar bilan bog’lashi mumkun. Bog’lanishlar tenglamalariga nuqta
koordinatalarining hosilalari ham kirib , bu bog’lanishlar integrallanmaydigan
bo’lsa, ularga begolonom( yoki kinematik)bog’lanishlar deyiladi . Golonom
bog’lanishlar ham , begolonom bog’lanishlar ham statsionar va nostatsionar
bog’lanishlarga bo’linadi .Vaqtga bog’liq bo’lmagan bog’lanishlar statsionar
bog’lanishlar deyiladi. Agar bog’lanish vaqtga bog’liq bo’lsa , u nostatsionar
bog’lanish deyiladi . Statsionar va nostatsionar bog’lanishlar ham bo’shatmaydigan
va bo’shatadigan bo’lishi mumkin. Bog’lanishdagi nuqtaning harakati bog’lanishga
mos ravishda sodir bo’lar ekan , bunday nuqtaga nisbatan bog’lanishlar sonining
uchtadan ortiq bo’lishi ma’noga ega emas.
Aytilganlarga mos ravishda bog’lanishlar tenglamalarini quydagicha
klassifikatsiyalash mumkin:
1. Statsionar bo’shatmaydigan , golonom bog’lanishlar:

2.Nostatsionar bo’shatmaydigan , golonom bog’lanishlar:

3.Bo’shatmaydigan statsionar, golonom bog’lanishlar :

4.Bo’shatadigan nostatsionar golonom bog’lanishlar:

5.Begolonom statsionar , bo’shatmaydigan bog’lanishlar;

6.Begolonom nostatsionar, bo’shatmaydigan bog’lanishlar;

7.Begolonom statsionar,bo’shatadiganbog’lanishlar;

8.Begolonom nostatsionar, bo’shatadigan bog’lanishlar;

Bog’lanishdagi moddiy nuqta harakatini o’rganishda unga qo’yilgan kuchlar
qatoriga bog’lanish ta’sirini bera oladigan reaksiya kuchini ham qo’shib olish
kerak . Bog’lanish reaksiya kuchi esa noma’lum kattaliklar qatoriga kiradi.
Binobarin , bog’lanishdagi moddiy nuqta dinamikaning birinchi yoki ikkinchi asosiy
masalasini yechishda reaksiya kuchlarini aniqlash yoki ularni masalani hal qilishda
tuziladigan tenglamalardan chiqarib tashlash muammosiga duch kelinadi. Bu
muammo doimo osonlikcha hal bo’lavermaydi; uni hal qilishda bog’lanishga
nisbatan ba’zi cheklashlar qabul qilishga to’g’ri keladi. Masalan ,
berilgan kuch ta’sirida moddiy nuqtaning biror , sirt bo’ylab
harakatini aniqlashda Dekart koordinatalari sistemasida yana uchta differensial
tenglama tuzish mumkin. Natijada to’rtta tenglamaga ega bo’lamiz. Biroq,
reaksiya kuchining ham miqdori, ham yo’nalishi no’malum bo’lganidan uning
koordinata o’qlaridagi proeksiyalari
olinishi kerak. SHunga ko’ra
noma’lumlar soni oltita bo’ladi.To’rtta tenglamadan oltita
noma’lumni aniqlash mumkun emas. Agar bog’lanishni ideal silliq sirt deb qarasak,
reaksiya kuchi sirtga o’tkazilgan normal bo’yicha yo’nalishi ma’lum bo’lganidan
faqat uning miqdorini aniqlash kerak bo’lib , noma’lumlar soni bilan tenglamalar
soni tenglashadi. Bunday masalalarni yechishning ayrim hollari uchun quydagi

aksiomani keltirish mumkin.
Aksioma. Har qanday bog’lanishdagi jismni erkin jism deb qarash uchun
bog’lanishlarni bog’lanish reaksiya kuchlari bilan almashtirish kerak.
Bu aksioma bog’lanishdan qutulish prinsipi deyiladi. Bu aksiomaga asosan , jismga
ta’sir etayotgan kuchlar sistemasi qatoriga bog’lanish reaksiya kuchlarini ham
qo’shish kerak. Odatda,ular noma’lum bo’lib, berilgan kuchlar sistemasining
muvozanat shartlardan topiladi.Bog’lanishlardan qutulish uchun bog’lanish reaksiya
kuchining yo’nalishini aniqlashda quyidagidan foydalanish lozim . Bog’lanishdagi
jismlarning harakati qaysi tomonga cheklangan bo’lsa , reaksiya kuchi shu
yo’nalishga teskari yo’nalgan bo’ladi.

2.2Mexanik sistemaga qo‘yilgan bog‘lanish
Sistema nuqtalarining holati va harakatiga qo’yilgan har qanday chegara
mehanikada bog’lanish deyiladi. Bog‘lanishlar biror koordinatalar sistemasiga
nisbatan
sistema nuqtalarining koordinatalari ulardan vaqt
bo'yicha olingan birinchi tartibli hosilalari
orasidagi ma’lum
munosabatlar bilan ifodalanadi. Bu munosabatlarda t vaqt oshkor ravishda
qatnashishi mumkin.
Sistema nuqtalariga qo‘yilgan bog’lanishlarni ifodalovchi munosabatlar
tenglamalar yoki tengsizliklardan iborat bo’lishi mumkin.
Sistema nuqtalariga quyilgan bog’lanishlar aktiv kuchlar ta’siridagi sistema
nuqtalarining harakatini huddi shu kuchlar ta’siridagi erkin sistema nuqtalarining
harakatiga nisbatan ma’lum ma’noda cheklaydi.
Bunday cheklashdan texnikaning turli sohalarida, amaliyot uchun zarur bo’lgan,
maqsadga muvofiq biror yo’nalish buyicha harakatini tahminlashda foydalaniladi.
Dvigatel silindri ichida harakatlanayotgan porshen bunga misol bo’la oladi. Bunda
silindr bog’lanish vazifasini o’taydi.
Shunday qilib, bog’lanishdagi sistema nuqtalarining harakati faqat sistema
nuqtalariga ta’sir etuvchi kuchlar va boshlang’ich shartlargagina bog’liq bo’lmay,
balki quyilgan bog’lanishlarga ham bog’liq bo’ladi. Bu holda boshlang’ich shartlar
bog’lanish tenglamalarini qanoatlantirishi kerak.
Sistema nuqtalariga quyilgan bog’lanishlar turiga qarab sistema nuqtalari turlicha
harakatda bo’ladi. Bog’lanishlarning turli hillarini ko’rib o’tamiz.
Bog’lanishlar faqat sistema nuqtalarining koordinatalarini cheklasa, bunday
bog’lanishlar geometrik bog’lanishlar deyiladi. Geometrik bog’lanishning
tenglamasi

ko’rinishda yoziladi. f - funksiya va uning hosilalari uzluksiz funksiya deb qaraladi.

Agar bog’lanish sistema nuqtalarining koordinatalaridan tashqari tezligini ham
cheklasa, bunday bog’lanish kinematik yoki differentsialli bog’lanish , deyiladi.
Kinematik bog’lanish tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Geometrik bog’lanishlar va integrallanadigan ko’rinishdagi differentsial
bog’lanishlar Gers ta’rifiga ko’ra golonom boglanishlar deyiladi.
Integrallanmaydigan differentsial bog’lanishlar nogolonom bog’lanishlar deyiladi.
Nogolonom bog’lanish tenglamalarini sistema nuqtalari koordinatalarining
funksiyasidan iborat bo’lgan biror funktsiyaning to’liq differentsiali tarzida
ifodalab bo’lmaydi. Agar bog’lanish tenglamasi vaqtga oshkor ravishda bog’liq
bo’lsa, bunday bog’lanish nostatsionar(reonom) bog’lanish deyiladi.
Mumkin bo‘lgan ko‘chish.
Analitik mehanikada mumkin bo’lgan ko’chish tushunchasi asosiy
tushunchalardan biri hisoblanadi. Bu tushunchani golonom(geometrik) bog‘lanish
qo’yilgan nuqta uchun kiritamiz. Moddiy nuqtaga

golonom nostatsionar bog’lanish qo’yilgan bo’lsin. Biror paytda sirt ustidagi
nuqtaning egallagan holatida bog‘lanishni qanoatlantirgan holda fikran har qanday
elementar (juda kichik) ko’chishlarni olish mumkunligini tasavvur qilaylik. Bu
ko’chishlarni nuqta radus-vektoriniig sirt ustida joylashgan orttirmalari tarzida
tasvirlash mumkin. Mazkur ko’chishilarni biriichi tartibli kichik miqdorgacha
aniqlik bilan olsak, u holda bu ko’chishlar M nuqtada sirtga o’tkazilgan urinma
tekislikda yotadi. Quyilgan bog’lanishni berilgan onda qanoatlantiruvchi nuqtaning
har qanday tasavvur qilinadigan cheksiz kichik ko‘chishi mumkin bo’lgan
ko’chish yoki virtual ko’chish deyiladi. Nuqtaning mumkin bo’lgan
ko’chishi
bilan belgilanadi.
Agar nuqtaga statsionar bo’lmagan

bog’lanish quyilgan bo’lsa, u holda nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi
vaqtning berilgan paytidagi aniq qayd qilingan qiymati uchun hisoblanadi, ya’ni
bunda
deb qaraladi. Masalan,harakatdagi yoki deformatsiyalanuvchi sirt ustidagi
nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi, berilgan paytda sirt egallagan holatda
nuqtaning sirt bo’ylab elementar ko’chishlaridan iborat bo’ladi va quyidagi
tenglamani qanoatlantiradi:

Agar sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar chiziqli kinematik
bog’lanishdan iborat bo’lsa ,u holda mumkin bo’lgan ko’chishlar
munosabatlarni qanoatlantirishi kerak.
Bog’lanishni qanoatlantirgan holda nuqtaning fazoda dt vaqt ichida elementar
ko’chishi xaqiqiy ko’chish deyiladi.Agar nuqtaga bog’lanish
qo’yilgan bo’lsa, u holda M nuqtaning dt vaqt ichidagi haqiqiy ko’chishi dr shu
paytda traektoriyaga urinma bo’yicha yo’naladi. Nuqtaning haqiqiy ko’chishi
nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarga, unga quyilgan bog’lanishga va boshlang’ich
shartlarga bog’liq bo’ladi. Nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi bilan haqiqiy
ko’chishi orasidagi munosabatni aniqlaymiz. Agar nuqtaga statsionar bog’lanish
qo‘yilgan bo’lsa, u holda nuqtaning har bir haqiqiy ko’chishi birorta mumkin
bo’lgan ko’chishi bilan ustma-ust tushadi. Nuqtaning har bir mumkin bo’lgan
kuchishini golonom bog’lanish bilan ifodalangan sirtga nisbatan nuqtaning nisbiy
ko’chishi deb qarash mumkin. Agar bog’lanish statsionar bo’lsa, ya’ni sirt
geometrik shaklini o’zgartirmasa va fazoda ko’chmasa, sirt ustidagi nuqta
ko’chirma xarakatda qatnashmaydi va nuqtaning barcha mumkin bo’lgan
kuchishlari absolyut ko’chishlardan iborat bo’ladi. Binobarin, kuchlar
ta’siridagi nuqtaning istalgan haqiqiy ko’chishi
shu nuqtaning biror
mumkin bo’lgan ko’chishi bilan ustma-ust tushadi. Statsionar bo’lmagan
bog’lanishlar qo’yilgan nuqtaning haqiqiy ko’chishi birorta ham mumkin bo’lgan

ko’chish bilan ustma-ust tushmasligi mumkin.
Mehanik sistema nuqtalarining mumkin bo’lgan ko’chishlari to’plami
sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishi deyiladi. Nuqtaning mumkin bo’lgan
ko’chishi bilan haqiqiy ko’chishi orasida o’rnatilgan munosabatlar sistema
nuqtalarining ko’chishiga ham taalluqli bo’ladi.
Agar sistema nuqtasining rasius vektorini va koordinatalarini bilan
belgilasak nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi

vektor bilan ifodalanadi. Bunda i,j,k lar inertsial sistema koordinata
o’qlarining birlik vektorlarini lar esa mumkin bo’lgan ko’chishning
mazkur o’qlaridagi proektsiyalarini ifodalaydi va koordinatalarning variatsiyalari
deyiladi.
nuqtaning haqiqiy ko’chishi esa

vektor bilan ifodalanadi.Bunda lar koordinatalarning differentsialini
ifodalaydi.
Sistemaning holati umumlashgan koordinatalar orqali ifodalanganda sistemaning
mumkin bo’lgan ko’chishlarini ham umumlashgan koordinatalarning variatsiyalari
orqali ishlash mumkin.

Yuqorida ko’rganimizdek, sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishini aniqlashda
bog’lanish tenglamasida t ni o’zgarmas deb qarash kerak.
Analitik mehanikada sistemaning harakati yoki muvozanatini tekshirishda muhim
ahamiyatga ega bo’lgan yana bitta tushuncha kuchning mumkin bo’lgan
ko‘chishdagi ishi tushunchasi kiritiladi.Kuchning mumkin bo’lgan ko’chishdagi
elementar ishi  A quyidagicha aniqlanadi:

Agar sistemaning har qanday mumkin bo’lgan ko’chishida sistema nuqtalariga
quyilgan bog’lanish reaktsiya kuchlarining elementar bajargan ishlari yig’indisi
nolga teng bo’lsa, bunday bog’lanishlar ideal bog‘lanishlar deyiladi. Ideal
bog‘lanishlar uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

O’z navbatida sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar noideal deb ataladi,
agar
sistemaning har qanday mumkin bo’lgan ko’chishida sistema
nuqtalariga quyilgan
bog’lanish reaktsiya kuchlarining elementar bajargan ishlarining
yig’indisi uchun
quyidagi munosabat o’rinli bo’lsa:

Mumkin bo‘lgan ko‘chish printsipi berilgan kuchlar tahsiridagi ma’lum
bog’lanishlar quyilgan mehanik sistemaning muvozanat shartini ifodalaydi.
Aktiv kuchlar t a’siridagi ideal v a st at sionar bog‘lanishlar quy ilgan
mehanik
sist ema muv ozanat da bo‘lishi uchun sist ema nuqt alarining har
qanday
mumk in bo‘lgan k o’chishida barcha ak t iv k uchlani element ar
ishlarining
y ig’indisi nolga t eng (bo’shat may digan) v a noldan k ichik y ok i
nolga t eng
(bo‘shat adigan bog’lanishlar uchun) bo’lishi zarur v a y et arlidir,
y a’ni

Shuni ta’kidlash kerakki,bu Lagranj prinsipi yordamida ixtiyoriy prinsip shartlarini
qanoatlantiriuvchi mehanik sistemaning muvozanat holatini o‘rganish mumkin.
Ta’rif . koordinatalar tsiklik koordinatalar deb ataladi, agar bu
koordinatalar Lagranj funktsiyasiga oshkor ravishda qatnashmasa. Ta’rifga
ko’ra yoki va Lagranj tenglamalaridan
siklik integrallarni olamiz.Bunda integrallash
doimiylari. Raus tenglik integlardan foydalanib, sistema harakat tenglamalarining
tartibini pasaytirgan. Buning uchun

siklik integrallar yordamida tsiklik tezliklarni pozitsion koordinatalar va ularning
tezliklarga nisbatan yechib olamiz va
qolgan Lagranj tenglamalariga tsiklik tezliklarni o’rniga qo’yib pozitsion
koordinatalarga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Mana shu usul
Raus tomonidan amalga oshirilgan va tenglamalar sistemasining tartibi
pasaytirilgan.Raus tomonidan huddi Lagranj funksiyasini rolini bajaradigan
funksiya kiritilgan va siklik tezliklar integrallar yordamida
pozitsion koordinatalar va tezliklar orqali almashtirilgan.Bunga ko’ra Raus
funksiyasi pozitsion
koordinatalar,tezliklar va integrallash doimiylarining funktsiyasidan iborat
bo’ladi.Raus funktsiyasining ikkala tomonini variatsiyalab

va bu tenglamaning ikkala tomonidagi bir hil variatsiyalar oldidagi

koeffitsientlarni
tenglab

Bundan Raus funktsiyasidan olingan hususiy hosilalar Lagranj funktsiyasidan
olingan hususiy hosilalarga teng bo’lishi kelib chiqar ekan. Olingan natijani
o’rniga
qo’yib,

pozitsion koordinatalarga nisbatan harakat tenglamalarini hosil qilamiz.
Shunday qilib, siklik integrallar yordamida tenglamalar sistemasining
tartibini siklik koordinatalar soniga kamaytirsa bo’lar ekan.

2.3 Noideal bog‘lanishli sistema uchun Appel tenglamasi.
Raus tenglamalari.
Quyida kinematik bog’lanishli sistemaning harakat tenglamalarini Lagranj
ko’paytuvchilari yordamida tuzishni ko’rib chiqamiz. Faraz qilamiz, N ta moddiy
nuqtadan tashkil topgan sistemaga S geometrik ideal
,
va r chiziqli kinematik

yoki

ko’rinishdagi kinematik bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin. Bunda
o’zgaruvchilarning funkiyasi. Agar mehanik sistema uchun o’rinli bo’lgan
Dalamber–Lagranj printsipida faqatgina geometrik bog’lanishlarni hisobga

oladigan bo’lsak quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:
(2.3.1)
Bu tenglamadagi umumlashgan koordinatalar variatsiyalarining hammasi ham
erkin bo’lmay, ular kinematik bog’lanishlar tenglamalari bilan bog’langan.
Birinchi navbatda umumlashgan koordinatalar

kiritish bilan geometrik bog’lanishlarni hisobga olamiz. Bunga ko’ra:

va kinematik bog’lanishlar tenglamalariga qo’yib umumlashgan koordinatalarga
nisbatan kinematik bog’lanishlarni olamiz.

.
Yoki

bunda

Kinematik bog’lanishlarga ko’ra umumlashgan koordinatalarning variatsiyalari
uchun

munosabatlar o’rinli. Bu sistemani har bir tenglamasini ko’paytuvchilarga
ko’paytirib qo’shib chiqamiz.
(2.3.2)
(2.3.1)va (2.3.2) tenglamalarni qo’shib

munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglamadagi Lagranj ko’paytuvchilarini
shunday tanlab olamizki,o’zaro bog’liq bo’lgan r ta variatsiyalar oldidagi
koeffitsientlar ham nolga aylansin. Bundan
(2.3.3)
Bu tenglamalardagi noma’lumlar soni , ta bo’lib,
tenglamalar soni esa n ta. Bu tenglamalar sistemasiga kinematik bog’lanishlar
tenglamalarini qo’shib ta noma’lumli ta tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz.

Olingan tenglamalar sistemasi Raus tenlamalari deb ataladi va sistemaga
kiritilgan umumlashgan koordinatalar formal ravishda umumlashgan deyiladi,
chunki bu
koordinatalar kinematik bog’lanishlar orqali o’zaro bog’langan.
Appel tenglamalari.
Endi tenglamalar soni sistemaning erkinlik darajasiga teng bo’lgan harakat
tenglamalarini keltirib chiqarash ustida to’xtalamiz. Faraz qilamiz,N ta moddiy
nuqtadan tashkil topgan sistemaning holati umumlashgan koordinatalar
bilan aniqlansin.
U holda Dekart koordinatalari
(2.3.4)
(2.3.5)
(2.3.6)
umumlashgan koordinatalar va vaqtning funksiyasi bo’ladi.
Bundan tashqari, sistemaga

(2.3.7)
Yoki differensial ko’rinishdagi
(2.3.8)
Kinematik bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin.
Bu bog’lanishlar umumlashgan koordinatalarning variatsiyalariga quyidagicha
chegara qo’yadi:
(2.3.9)
SHunday qilib, umulashgan koordinatalarning n ta variatsiyalari ta
(2.3.9) bog’lanishlar bilan bog’langan. (2.3.7) va (2.3.8) munosabatlardan
foydalanib (2.3.5) va (2.3.6) tenglamalardagi o’zaro bog’liq bo’lgan haqiqiy
ko’chishlarni, variatsiyalarni

(2.3.10)

chiqarib tashlaymiz. Bunda – larga bog’liq bo’lgan yangi
funksiyalar.
Bu holda o’zaro bog’liq bo’lmagan variatsiyalar soni (n-r) ga teng bo’ladi. Bunga
ko’ra dalamber-lagranj prinsipini quyidagi ko’rinishda
yozish mumkin:
(2.3.11)
Aktiv kuchlarning elementar bajargan ishlari esa

(2.3.12)
ko’rinishda aniqlanadi.Bunda o‘zaro bog’liq bo’lmagan
variatsiyalarga tegishli umumlashgan kuchlar.
Prinsipga tegishli ikkinchi had ustida to’xtalamiz. (2.3.10) ga ko’ra

Bu munosabatning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha hosila olamiz.

Bundan
(2.3.13)
munosabat kelib chiqadi.
Endi quyidagi
(2.3.14)
funksiyani kiritamiz. Bu S - funktsiya Appel tomonidan kiritilgan
bo’lib,tezlanishlar energiyasi deb ataladi (kinetik energiyaga
o’xshash) va umumlashgan tezlanish bo’yicha olingan hosila uchun

(2.3.15)
munosabat o’rinli.
(2.3.13) va (2.3.15) ga ko’ra Dalamber-Lagranj prinsipi quyidagi ko’rinishga
keladi:

(2.3.16)
Bundan variatsiyalarning hammasi o’zaro bog’liq bo’lmagani uchun
(2.3.17)
tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu tenglamalar sistemasi Appel tomonidan
keltirib chiqarilgan bo’lib, Appel nomi bilan ataladi. Bu tenglamalarning soni
sistemani erkinlik darajasiga teng.
O’zaro bog’liq bo’lmagan variatsiyalarga tegishli umumlashgan kuchlarni topish
uchun, aktiv kuchlarning mumkin bo’lgan ko’chishlardagi ishlarini hisoblaymiz.

va kinematik bog’lanishlar yordamida bog’liq bo’lgan variatsiyalarni chiqarib
tashlaymiz.
Shuni ta’kidlash kerakki, tezlanishlar uchun kinetik energiya uchun o’rinli bo’lgan.
Keniga teoremasiga o’xshash teorema o’rinli:

va ekanligini hisobga olsak,

Bunda C-sistema massa markazi; -sistemaning massasi;
Shunday qilib, sistemaning tezlanishlar energiyasi massa markazining
tezlanish energiyasidan (bu nuqtaga sistemaning massasi jamlangan) va massa
markazi atrofidagi nisbiy harakat tezlanishlari energiyalarining yig’indisidan iborat
bo’lar ekan.
–n ta material nuqtalardan iborat bo’lgan sistemaga k-ta golonom va d-ta
nogolonom bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin.Agar ,mustaqil
umumlashgan koordinatalar bo’lsalar,u holda

(2.3.18)
formulalar yordamida dekart va umumlashgan koordinatalar orasidagi bog’lanish
o’rnatiladi. (2.3.18) dan kelib chiqadi:
(2.3.19)
(2.3.20)
Nogolonom bog’lanish tenglamalari quyidagi shaklda bo’ladi
;(v=1,2,…,d) ( 2.3.21)
S-d-ta mustaqil kvazitezlik (sohta;qalbaki) o’rniga (erkinlik darajasining soniga
qarab) S-d-ta chiziqli mustaqil bo’lgan umumlashgan tezliklar kombinatsiyasini
olamiz:

(2.3.22)
(2.3.21) va (2.3.22) lardan umumlashgan tezliklarni kvazitezliklar dan
bog’liqligini aniqlaymiz,agar (2.3.21) va (2.3.22) larning determinatlari
noldan
farqli bo’lsa:

Topilgan bog’lanish quyidagi shaklda bo’ladi:

(2.3.23)
bu yerda va vaqt va umumlashgan koordinatalar funksiyasi hisoblanadi.
istagan ihtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin,chunki (2.3.23) ga asosan
mos larni tanlab olish mumkin bo’ladi.(2.3.23) dan qiymatlarini (2.3.19) ga
qo’yib,hosil qilamiz.

almashtirishlarni kiritib hosil qilamiz:
(2.3.24)
(2.3.25)
(2.3.24) dan vaqt bo’yicha hosila olsak,quyidagi paydo bo’ladi :

Bu ifodadan ko’rinadiki, i-tezlanishdan bo’yicha hususiy hosila ga
teng, ya’ni

(2.3.26)
(2.3.25) chi formuladan qiymatini dinamikaning umumiy tenglamasiga
qo’yamiz:

bu yerda kvazikoordinatalar -larga mos keladigan umumlashgan kuchlar
quyidagilarga teng:
(2.3.28)
miqdorlar bir -biriga bog’liq bo’lmasligi tufayli (2.3.27) dan hosil bo’ladi:

(2.3.29)
(2.3.26) ga asosan
(2.3.30)
- funksiyaga tezlanish energiyasi deb ataladi.
Shunday qilib,S-d –ta
(2.3.31)
-umumlashgan kuchlar; tenglamalarni hosil qilamiz va bu tenglamalar Appel
tenglamalari deyiladi. (2.3.31 ) chi tenglamalar sistemasi va nogolonom
bog’lanishlar tenglamalari-

Yordamida dekart koordinatalarini va
kvazitezliklarni t vaqt funksiyasi sifatida topish mumkin.

Xulosa
Bu kurs ishimda noideal sistemalari uchun Appel tenglamasini kiritishdan oldin
bog‘lanishlar haqida tushunchalarni keltirdim . Bog’lanishlarning golonom ,
nogolonom, statsionar, nostatsionar turlarini keltirib o’tilgan. Bog’lanishlarni
aniqlashda vaqtga bog’liq yoki bog’liq bo’lmaganligiga qaraladi Ideal , noideal
bog‘lanishlarni keltirishdan oldin sistemaning mumkun bo’lgan ko’chishlarini
keltirilgan.
Appel tenglamasini chiqarishda golonom,nogolonom bog’lanishlar hisobga
olinadi;Umumlashgan tezliklar va kvazitezliklar orasidagi bog’lanish aniqlagandan
keyin,dinamikaning umumiy formulasi (tenglamasidan)dan foydalanilgan usul
bilan Appel tenglamalari chiqariladi.Nihoyat integrallashgan harakat tenglamalari
aniqlanadi.Bu jarayonda tezlanish energiyasi degan tushuncha ham kiritiladi.Va
quydagi formulaga ega bo‘ldik.

Bundan variatsiatsiyalarning hammasi o’zaro bog’liq bo’lmagani uchun

tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu tenglamalar sistemasi Appel tomonidan
keltirib chiqarilgan bo’lib, Appel nomi bilan ataladi. Bu tenglamalarning soni
sistemani erkinlik darajasiga teng.

Adabiyotlar ro’yhati.
1.Н.В.Бутенин Введение в аналитическую механику М 1971
2.Н.Н.Бухголъц Основной теоретической механики ч.2 М 1972.
3.М.Т.O’разбоев Назарий механика асосий курси Тошкент O’qитувчи 1966
4.Е.Н.Поляхова Сборник задач по аналитической механике Л ЛГУ 1982.
5.Н.В.Мешчерский, Назарий механикадан масалалар тo’плами ,Тошкент
yk итувчи 1989
6.Ф.Р.Гантмахер, Лекции по аналитической механике, Наука, М, 1966.
7.О.М.Дo’сматов, А.Тилавов, Аналитик механика асослари, СамДУ,2004.
8.Т.Р.Рашидов, Ш.Шозиётов, К.Б.Мo’минов, Назарий механика, Т.,1990.
9.А.А.Яблонский, Курс теоретической механика, В.2-х.Т.,Выс.школа, 1977.
10.М.Н.Бать, Г.Ю.Джаналидзе, А.С.Кельзон, Теоретическая механика в
примерах и задачах, Т.1,2,3, М.,1973.
11. Т.Б.Айзенберк, И.М.Воронков, В.М.Осецкий, Руководство к решинию
задач по теоретической механике, М.,Высшая школа, 1968.
12. Л.Г.Лойцянский, А.Н.Лурье, Курс теоретической механики, т.1,2, М.,
Наука,1984.
Internet resurslari
1 . http://ziyonet.uz
2. http://orbita.uz
3. http://natlib.uz
4. www.twirpx.com

NOIDEAL BOG’LANISHLI SISTEMA UCHUN APPEL TENGLAMASI..docx

Sotib olish