O'zgarishi chegaralangan funksiyalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	419.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	14 Aprel 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Ixtiyor Kamolov

Ro'yxatga olish sanasi 14 Aprel 2026

0 Sotish

O'zgarishi chegaralangan funksiyalar

Sotib olish

Reja :
I. Kirish.
II. Asosiy qisim.
1. O’zgarishi chegaralangan funksiyalar va ularning xossalari
2. O’zgarishi chegaralangan funksiyalar uchun zaruriy va yetarli shartla
3. O’zgarishi chegaralangan uzluksiz funksiyalar. Jordan teoremasi
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar

2

KIRISH
Matematika fanida funksiyalar nazariyasi muhim o‘rin egallaydi. Ayniqsa,
funksiyalarning xossalarini o‘rganish, ularning turli shartlar ostidagi xatti-
harakatlarini tahlil qilish ilmiy va amaliy jihatdan katta ahamiyatga ega. Shunday
muhim tushunchalardan biri — o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar
hisoblanadi.O‘zgarishi chegaralangan funksiyalar tushunchasi matematik analizning
muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, u funksiyaning berilgan oraliqda o‘zgarish darajasini
aniqlashga xizmat qiladi. Bu tushuncha nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy
masalalarni yechishda ham keng qo‘llaniladi. Jumladan, integral hisob, ehtimollar
nazariyasi va differensial tenglamalar sohasida bu turdagi funksiyalar muhim rol
o‘ynaydi.Mazkur kurs ishining dolzarbligi shundan iboratki, o‘zgarishi chegaralangan
funksiyalar ko‘plab matematik modellarni qurishda va ularni tahlil qilishda asosiy
vositalardan biri hisoblanadi. Ularning xossalarini chuqur o‘rganish orqali murakkab
jarayonlarni soddalashtirish va aniqroq tushunish imkoniyati yuzaga keladi.Kurs
ishining maqsadi — o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar tushunchasini o‘rganish,
ularning asosiy xossalarini tahlil qilish hamda amaliy misollar orqali mazkur mavzuni
chuqurroq yoritishdan iborat.
Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagi vazifalar belgilab olindi:
- o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar ta’rifini o‘rganish;
- ularning asosiy xossalarini tahlil qilish;
- monoton funksiyalar bilan bog‘liqligini ko‘rib chiqish;
- amaliy misollar yordamida mavzuni mustahkamlash.Kurs ishining obyekti —
funksiyalar nazariyasi, predmeti esa o‘zgarishi chegaralangan funksiyalardir.
3

2.1.1 O’zgarishi chegaralangan funksiyalar va ularning xossalari.
Aytaylik, funksiya chekli oraliqda aniqlangan bo’lsin. Bu oraliqni
ushbu
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtalar yordamida n ta oraliqga
bolamiz va quydagi yig’indini tuzamiz.
. (1)
1-tarif. Agar (1) – yig’indilar uchun yuqoridan tekis chegaralangan
bo’lsa, unda funksiya kesmada o’zgarishi chegaralangan funksiya
deyiladi.
Shu yig’indilarning aniq yuqori chegarasiga mutloq o’zgarishi deb ataladi xamda u
kabi belgilanadi:
= (2)
Bazi hollarda funksiyaning cheksiz oraliqdagi
(masalan, oraliqdagi) o’zgarishi to’grisida ham gapirish mumkin bo’ladi.
Faraz qilaylik funksiya oraliqda berilgan bo’lsin
4

2-tarif. Agar funksiya oraliqda chekli o’zgaruvchiga ega deb
ataladi xamda
(3)
deb qabul qilinadi.
Izoh. funksiyaning chekli o’zgaruvchiga ega bo’lishida uning uzluksizligi
mutlaqo axamiyatga ega emas.
Misol. kesmada ixtiyoriy chegaralangangan monoton funkisiya chekli
o’zgaruvchisiga ega bo’ladi
a) - chekli bo’lsin.
(funksiya manaton bo’lgani uchun modullar yig’indisi
yig’indining moduliga teng bo’ladi)
=
.
5

2.1.2 Chekli o’zgaruvchili funksiyalar sinfi.
Avvalgi punktda ko’rganimizdek kesmada ixtiyoriy chegaralangan monoton
funksiya chekli o’zgaruvchiga ega bo’ladi.
Bu xossadan foydalanib, chekli o’zgaruvchili funksiyalar sinfini kengaytirish
mumkin.
1-teorema. kesmada berilgan funksiya shu kesmada bo’lakli
monoton bo’lsa yani
=
bo’lib funksiya xar bir kesmada monoton bo’lsa, unda
funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega bo’ladi.
kesmaning ixtiyoriy bo’linishini olib
yig’indi tuzamiz. Bu bo’linishga nuqtalarni qo’shib, kesmaning
yangi bo’linishini olamiz. Yangi bo’linish uchun
bo’lib, tengsizlik bajariladi
funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega.
6

2-teorema. Agar funksiya kesmada Lipshis shartini qanoatlantirsa,
yani shunday L > son topilsaki, ixtiyoriy nuqtalar uchun
L (4)
tengsizlik bajarilsa, unda funksiya kesmada lekin o’zgaruvchili funksiya
bo’ladi va
L
tengsizlik bajariladi.
3-teorema. Agar funksiya
kesmada
chegaralangan xosilaga ega bo’lsa, unda funksiya kesmada chekli
o’zgaruvchiga ega bo’ladi.
Teorema shartiga ko’ra shunday o’zgarmas L >0 son
topiladiki, uchun
L
tengsizlik bajariladi. nuqtalar olib (yoki ) kesmada
Lagranjning chekli orttirmalar haqidagi teoremasidan foydalanamiz:
L
7

Demak, funksiya kesmada Lipshis shartini qanoatlantiradi. Unda
2-teoremaga ko’ra u chekli o’zgaruvchiga ega bo’ladi.
4-teorema. Agar kesmada aniqlangan funksiyani shu kesmada
ushbu
(5)
ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu yerda funksiya kesimda absalyut
integrallanuvchi funksiya, u holda funksiya shu kesmada o’zgaruvchiga ega
bo’lib,
tengsizlik bajariladi.
8

2.1.3 Chekli o’zgaruvchili funksiyalarning xossalari.
Aytaylik, chekli kesma berilgan bolsin.
5-teorema. kesmadagi ixtiyoriy chekli o’zgaruvchili funksiyalar shu kesmada
chegaralangan bo’ladi.
nuqta olamiz. Unda shartga ko’ra
(6)
bo’ladi.
chegaralangan.
6-teorema. Agar va funksiyalar kesmada chekli o’zgaruvchi
bo’lsa, unda
a)
va
b)
funksiyalar ham shu kesmada chekli o’zgaruvchi bo’ladi.
7-teorema. Agar va funksiyalar kesmada chekli o’zgaruvchi
bo’lib, shu kesmada bo’lsa, unda nisbat ham kesmada
chekli o’zgaruvchi bo’ladi.
9

deb belgilab, uning chekli o’zgaruvchiga ega bo’lishini
ko’rsatamiz:
chekli o’zgaruvchili funksiya.
Unda 6-teoremaga ko’ra = funksiya ham kesmada
chekli o’zgaruvchili bo’ladi.
8-teorema. Aytaylik funksiya kesmada aniqlangan va bo’lsin.
Agar funksiya da chekli o’zgaruvchili bo’lsa, unda u va
kesmalarning har birida chekli o’zgaruvchi bo’ladi va aksincha. Shuningdek,
(7)
tenglik bajariladi.
Faraz qilaylik funksiya kesmada chekli o’zgaruvchi bo’lsin
va oraliqning har birini usul bilan alohida kesmalarga ajratamiz:
(8)
Natijada, butun kesma ham qisimlarga ajratiladi. va kesmalar
uchun quydagi yig’indilarni tuzamiz:
10

uchun
funksiya va kesmalarning har birida chekli o’zgaruvchiga ega va quydagi
tengsizlik bajariladi:
. (9)
Endi faraz qilaylik, funksiya va kesmalarning har birida
chekli o’zgaruvchiga ega bo’lsin. kesmaning ixtiyoriy bo’linishini olamiz. Agar
c nuqta bo’linish nuqtalariga kirmasa, unda c nuqtani ham bo’linish nuqtalariga
kiritamiz. Natijada yig’indi faqat kattalashishi mumkin:
funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega va
tengsizlik bajarildi. (9)- va (10)- tengsizliklardan (7)- tengsizlik kelib chiqadi.
9-teorema. Agar funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega
bo’lsa, unda ixtiyoriy uchun
to’liq o’zgaruvchi o’zgaruvchining monoton o’suvchi va chegaralangan
funksiyasi bo’ladi.
11

Ixtiyoriy nuqtalarni olsak, unda (8)- teoremaga ko’ra
tenglik o’rinli bo’ladi.
12

2.2 Chekli o’zgaruvchi funksiyalar uchun zaruriy va yetarli shartlar.
Aytaylik funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Bunda biz berilgan
funksiyaning chekli o’zgaruvchiga ega bo’lish mezonlarini keltiramiz.
10-teorema. funksiyaning kesmada chekli o’zgaruvchiga ega bo’lishi
uchun shu kesmada monoton o’suvchi va chegaralangan shunday funksiyaning
mavjud bo’lib ixtiyoriy kesmada
(11)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Shunday xossaga ega bo’lgan funksiyaga funksiya uchun
majoranta deyiladi.
Zarurligi. Faraz qilaylik funksiya chekli o’zgaruvchiga ega bo’lsin. Unda
deb belgilasak, funksiya kesmada monoton o’suvchi va chegaralangan
bo’ladi. To’liq o’zgaruvchining tarifiga ko’ra
tengsizlik bajariladi.
Yetarliligi.
Aytaylik (11)-tengsizlik bajarilsin. Unda
13

.
chekli o’zgaruvchi funksiya.
11-teorema. funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega bo’lishi
uchun uni shu oraliqda ikkita monoton o’suvchi va chegaralangan funksiyalarning
ayirmasi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lishi zarur va yetarli:
(12)
Zarurligi. Aytaylik funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega
bo’lsin. Unda (10)-teoremaga ko’ra shunday mojaranta topiladikiy, uning uchun
(11)-tengsizlik bajariladi.Tuzilishiga ko’ra funksiya monoton o’suvchi va
chegaralangan. Agar
deb belgilasak, bo’ladi hamda quydagi munosabat bajariladi:
va va chegaralangan, chunki
.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, va funksiyalar kesmada monoton
o’suvchi va (12)-tengsizlik bajarilsin.
14

deb olib, uning uchun mojoranta bo’lishini ko’rsatamiz:
- mojoranta. Unda (10)teoremaga ko’ra
funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega bo’ladi.
Natija. Agar funksiya kesmada chekli o’zgaruvchiga ega bo’lsa,
unda nuqtad uning chekli bir monotonli limitlari mavjud:
( 13 )
(11)-teoremaga ko’ra shunday o’suvchi va chegaralangan va
funksiyalar topiladiki,
tenglik bajariladi. Matematik analiz kursidan malumki, monoton funksiyalar uchun
chekli
lar mavjud ( 13 )
15

2.3 Chekli o’zgaruvchili uzliksiz funksiyalar.
Jordan teoremasi.
2.3.1 Chekli o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalar.
12-teorama. funksiya kesmada chekli o’zgaruvchi funksiya bo’lib,
bo’lsin. Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, unda
funksiya ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
deb faraz qilamiz va funksiyaning nuqtada o’ngdan uzluksiz
ekanligini isbotlaymiz. son olib,
kesmani ushbu
tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday nuqtalar yordamida kesmalarga ajratamizki,
natijada
( 14 )
tengsizlik bajarilsin.
, bo’lgani uchun, nuqtani nuqtaga shunday yaqin olish
mumkinki,
16

bo’lsin. Unda (14) ga ko’ra

bo’ladi. Demak
yoki
munosabat o’rinli. funksiya o’suvchi bo’lgani uchun

Bu tengsizlik va ning ixtiyoriyligidan foydalansak,
tenglikni, yani funksiyaning nuqtada o’ngdan uzluksiz ekanligini xosil
qilamiz.
bo’lgan xolda funksiyaning nuqtada chapdan uzluksiz
ekanligini ham shu kabi ko’rsatiladi.
17

Bu teoremadan quydagi natija kelib chiqadi.
Natija. kesmadagi chekli o’zgaruvchi uzluksiz funksiyani shu
kesmada ikkita uzluksiz, o’suvchi funksiyaning ayirmasi ko’rinishida ifodalash
mumkin:
.
Agar
deb belgilasak, unda va 12-teoremaga ko’ra bo’ladi. Unda
funksiya ham kesmada uzluksiz bo’ladi. Endi uning
bo’linishini ko’rsatamiz.
lar uchun
tengsizlik bajariladi. .
13-teorema. Aytaylik, bo’lsin kesmani ushbu
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtalar yordamida qisimlarga ajratamiz va
18

yig’indini olamiz. Unda, agar
bo’lsa, Ushbu
( 15 )
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bizga malumki,
va bo’linish nuqtalariga nisbatan . Demak, teoremani isbotlash uchun ushbu
( 16 )
tenglikning bajarilishini ko’rsatish kifoya.
Faraz qilaylik,
( 17 )
bo’lsin. Unda aniq yuqori chegaraning tarifiga ko’ra quydagilarni xosil qilamiz:
1) uchun
2) son olinganda ham topiladiki,
tengsizlik bajariladi.
19

uchun bo’ladi.
Demak , uchun
ekan. Ketma-ketlik limitining tarifiga ko’ra
( 18 )
tenglik o’rinli. (17) va (18) dan (16).
20

2.3.2 To’g’irlanuvchi chiziqlar. Jordan teoremasi.
Chekli o’zgaruvchili funksiya tushunchasi egri chiziqning to’g’irlanuvchiligi
masalasida o’z tatbiqini topgan.
Aytaylik ,
( 19 )
sodda egri chiziq berilgan bo’lib, bo’lsin.
Faraz qilaylik parameter dan ga qarab o’zgarganda, egri chiziqda mos
keluvchi
nuqta nuqtadan nuqtaga qarab o’zgarsin.
kesmada ushbu
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtalarni olib, ularga ( ) egri chiziqda
mos kelgan nuqtalarni deb belgilaymiz. Bu nuqtalarni
ketma-ket tutashtirish natijasida ( ) egri chiziqga chizilgan siniq chiziqni xosil
qilamiz. Bu siniq chiziqning peremetri
( 20 )
tenglik yordamida ifodalanadi.
3-tarif. Agar ushbu

limit mavjud va chekli bo’lsa, unda ( ) egri chiziq to’g’irlanuvchi chiziq deyiladi
hamda limitning qiymati ga uning uzunligi deb ataladi.
21

14-teorema (Jordan teoremasi). (19)- egri chiziqning to’g’irlanuvchi bo’lishi
uchun va funksiyalarning kesmaning ixtiyoriy bo’linishi uchun
tengsizlik bajariladi. Unda
ga ko’ra
tengsizlik o’rinli bo’ladi, yani chekli o’zgaruvchili funksiya bo’ladi. Xuddi shu
kabi funksiyaning ham chekli o’zgaruvchili bo’lishini hosil qilamiz.
Yetarliligi. Aytaylik va funksiyalar chekli o’zgaruvchili funksiyalar
bo’lsin. Unda
+
( 19 ) - to’g’irlanuvchi egri chiziq.

Teorema isbotida ko’rinib turibdiki
tengsizlik bajariladi.
Egri chiziqni yoyi uzunligini deb uni oraliqda qaraymiz. Unda
bo’ladi va bo’lganda uchun
22

tengsizliklar bajariladi. Uzluksiz to’g’irlanuvchi egri chiziq uchun funksiya
parametrning uzluksiz funksiyasi bo’ladi.
23

Xulosa
Ushbu kurs ishida o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar mavzusi atroflicha o‘rganildi.
Mazkur funksiyalar matematik analizning muhim tushunchalaridan biri bo‘lib,
ularning asosiy xossalari, aniqlanishi va qo‘llanilish sohalari tahlil qilindi. O‘zgarishi
chegaralangan funksiyalar orqali funksiyaning umumiy xatti-harakati, ya’ni uning
ortishi va kamayishi jarayonlari aniq ifodalanishi ko‘rsatib berildi.
Ish davomida o‘zgarishi chegaralangan funksiyaning ta’rifi, asosiy xossalari va
ularning boshqa funksiyalar bilan bog‘liqligi o‘rganildi. Ayniqsa, bunday
funksiyalarning integral hisoblashdagi o‘rni, jumladan, ularning Riman
integrallanuvchi funksiyalar sinfiga kirishi alohida ahamiyat kasb etishi ta’kidlandi.
Bundan tashqari, o‘zgarishi chegaralangan funksiyalarni monoton funksiyalar
yig‘indisi sifatida ifodalash mumkinligi ham muhim natijalardan biri sifatida ko‘rib
chiqildi.
Olib borilgan tahlillar shuni ko‘rsatdiki, o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar nazariy
va amaliy jihatdan katta ahamiyatga ega. Ular matematik analiz, differensial
tenglamalar va boshqa ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi. Shu sababli ushbu
mavzuni chuqur o‘rganish kelajakda murakkab matematik masalalarni yechishda
muhim asos bo‘lib xizmat qiladi.
Xulosa qilib aytganda, o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar matematik analizning
ajralmas qismi bo‘lib, ularni o‘rganish nazariy bilimlarni mustahkamlash bilan birga,
amaliy ko‘nikmalarni rivojlantirishga ham xizmat qiladi.
24

Foydalanilgan adabiyotlar
1. T.T. Tuychiev, A.S. Bedarev. Analizning tanlangan boblari. – Toshkent, 2006.
2. Sh. Ismoilov. Matematik analiz asoslari. – Toshkent: O‘qituvchi, 2010.
25

Sotib olish