Ortiqcha koordinatalar yordamida murakkab mayatnikning harakat ustuvorligi - Mexanika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	40000UZS
Hajmi	532.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	06 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Mexanika

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Ortiqcha koordinatalar yordamida murakkab mayatnikning harakat ustuvorligi

Sotib olish

ORTIQCHA KOORDINATALAR YORDAMIDA MURAKKAB
MAYATNIKNING HARAKAT USTUVORLIGI .
REJA:
I. Kirish.
II. Asosiy qism.
II.1. Murakkab mayatnikning oddiy mayatnikdan farqi.Mayatnik turlari.
Tebranishlar.
II.2. Sistemaning ustuvor va noustuvor muvozanati.Konservativ sistemalarning
muvozanat holatining ustuvorligi haqidagi Lagranj teoremasi.
II.3. Koordinatalar. Astronomik koordinatalar.Matematik o'qlar misolida
nuqtalarning koordinatalarini topish.
II.4. Mavzuga doir masalalar yechish.
III. Xulosa.
IV. Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish
Nazariy mexanika fani moddiy jismlarning bir-biriga ko’rsatadigan ta’siri va
mexanik harakatning umumiy qonunlari haqidagi fandir.Ko’pgina muhandislik
inshootlarini loyihalash hollarida ularning ishi haqida to’la tasavvur hosil qilish
uchun oddiy mustahkamlikka hisoblashning o’zi yetarli bo’lmaydi.Kuchlanish
mat е rialning hisobiy qarshiligidan katta emasligi inshootning xavfsiz holatdaligi
haqida hukm chikarish uchun yetarli emasligi aniqlangan.Mustahkamlik
muamm о si bilan bir qatorda inshoot yoki uning el е m е nti ustuvorligi d е b ataladigan
muamm о ham mavjud.
Muhandislik ob' е ktlarini hisoblashda etiborga olinadigan yuklanishlardan
tashqari jismni hisoblangan muvozanat yoki harakakat holatidan ch е tga
chiqarishga intiluvchi kichik ta'sirlar ham bo’ladi.Agar kichik ta'sirlar sist е mani
hisoblangan holatdan kichik miqdorga og’dirsa, sist е maning bu holati ustuvor
bo’ladi.Aksincha, kichkina ta'sirdan sist е ma hisoblangan holatidan katta miqdor ga
og’sa, uning bu holati noustuvor bo’ladi.

2.1. Murakkab mayatnikning oddiy mayatnikdan farqi. Mayatnik turlari.
Mayatnik — tashqaridan ta sir ettirilgan kuchlar, xususan, tortishish kuchiʼ
ta sirida qo zg almas nuqta yoki o q atrofida tebranma harakat qiladigan qattiq
ʼ ʻ ʻ ʻ
jism. Mayatniklar - davriy tebranish harakatlarini aks ettiruvchi ob’yektlar turi.
Oddiy mayatnik – bu mayatnikning asosiy shakli, murakkab mayatnik esa oddiy
mayatnikning kengaytirilgan shakli. Bu ikkala qurilma ham klassik mexanika,
to’lqinlar , tebranishlar va fizikaning boshqa sohalarini tushunishda juda
muhimdir. Oddiy mayatnik aylanma, ip va massadan iborat. Hisob – kitoblarning
qulayligi uchun ip elastik emas va nol massaga ega deb hisoblanadi.Ip aylantiriladi
va massa erkin tebranishi uchun ipga osiladi. Massaga ta’sir qiladigan yagona kuch
– bu tortishish kuchi va ipning tarangligi. Juda mayda burchaklar uchun oddiy
mayatnik harakati oddiy garmonik tebranishlar shaklida deyiladi. Oddiy garmonik
harakat
shaklidagi harakat sifatida ta’riflanadi, bu yerda “a” –
tezlanish, “x” – muvozanat nuqtasidan joy almashish.Oddiy garmonik harakat
tiklash kuchini talab qiladi. Bunday holda, tiklash kuchi tortishishning konservativ
kuch maydonidir.Tizimning umumiy mexanik enegiyasi saqlanadi. Oddiy
mayatnikning chastotasi faqat ipning uzunligi va tortishish tezlanishiga bog’liq.
Murakkab mayatnikning davri va chastotasi burilish uzunligiga, harakatsizlik
momentiga va mayatnik massasiga hamda tortishish tezlanishiga bog’liq.Oddiy
mayatnik, u ideal tizim bo'lsa ham, mayatnikning harakatiga nazariy yondashuvni
amalga oshirishga imkon beradi. Oddiy mayatnik harakatining tenglamalari biroz
murakkab bo'lsa ham, amplituda, yoki harakatning muvozanat holatidan siljishi
kichik bo'lsa, buni haddan tashqari murakkab bo'lmagan oddiy garmonik harakat
tenglamalari bilan taqqoslash mumkin. Nyuton matematik mayatnik yordamida

og’irlik kuchi tezlanishini juda katta aniqlik bilan topgan. Bu metodning aniqligi
shunchalik kattaki, og’irlik kuchi tezlanishining geografik kenglikka bo’glik
o’zgarishini xamda Yer qatlami zichligining o’zgarishi tufayli g ning normal
qiymatidan chetlanishini yaqqol aniqlashga imkon beradi. Matematik
mayatnik deb, vaznsiz va cho’zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtaga aytiladi.
Mayatnikning uzunligi osma ipning bog’lanish nuqtasidan uning og’irlik
markazigacha bo’lgan masofaga teng. Og’irlik markazigacha bo’lgan masofani
aniqlash qulay bo’lishi uchun mayatnik sifatida shar shaklidagi qattiq jism olinadi.
Fizikaviy mayatniklar deb esa, bir uchi mahkamlangan va erkin tebrana
oladigan har qanday real sistemaga aytiladi. Real sistemalarda dissipativ kuchlar
(ishqalanish kuchi, muhitning qarshilik kuchi va shu kabilar) ta’siri mavjud
bo’lganligi uchun fizik mayatniklar vaqt o’tishi bilan to’xtaydi. Ideal sistemalarda
bu kuchlar, shunchaki mavjud emas deb faraz qilinadi va bundan ularning
to’xtamasligi bevosita kelib chiqadi. Bunday sistemalarga matematik mayatnikni
misol qilish mumkin.Uzun ingichka ipga osilgan kichikroq og’ir sharcha
matematik mayatnikka yetarli darajada yaqinroq bo’ladi (2.1.1–rasm).
2.1.1-rasm
Qurilmaning tuzilishi: Qurilma kronshteyn–1, unga o’rnatilgan blok–2,
orqali ip–3, ipning uchiga osilgan 5–metall sharcha , ipning ikkinchi uchi
bog’langan baraban–4, hamda 6–kronshteynda o’rnatilgan millimetrli lineykadan

iborat. Barabanni aylantirish bilan matematik mayatnik uzunligini o’zgartirish
mumkin.
Fizikaviy va matematik mayatniklarning tebranishi va boshqalar davriy
ravishda takrorlanuvchi harakatlar hisoblanadi. Tabiatda va texnikada davriy
ravishda takrorlanib turuvchi harakatlar ham mavjud. Masalan, sayyoralarning
Quyosh va o’z o’qi atrofidan aylanishi, soat mayatnigining tebranishi, ichki yonuv
dvigatelidagi porshenning harakati va hokazolar shular jumlasidandir.Davriy
ravishda takrorlanuvchi harakatlarga garmonik tebranma harakatlar
deyiladi.Bunday harakatda jismlar harakat traektoriyasining vaqt bo’yicha
o’zgarishi sinuslar yoki kosinuslar qonuni bo’yicha sodir bo’ladi.
Mayatnikni muvozanat holatidan burchakka og’dirib, qo’yib yuborsak u
garmonik tebranma harakat qila boshlaydi va uning harakati quyidagi tenglama
bilan ifodalanadi:
(2.1.1)
Tebranuvchi jismning bir marta to’liq tebranishi uchun ketgan vaqtga
tebranish davri deyiladi va u quyidagi formula bilan ifodalanilad.
(2.1.2)
Bunda T–tebranish davri, t–tebranish vaqti, N–tebranishlar soni.
Matematik mayatnikning tebranish davri esa quyidagi formula bilan topiladi:
(2.1.3)
bundan og’irlik kuchining tezlanishini topsak:
(2.1.4)
Prujinali mayatnik deb, absolyut elastik prujinaga berkitilgan va elastiklik
kuchi
F=-kx
ta’sirida garmonik tebranma harakat qiladigan m massali yukka aytiladi. Turli xil
mexanik harakatlar orasida takrorlanib turadigan harakatlar ham uchraydi.

Masalan,moddiy nuqtaning aylana bo`ylab tekis harakati takrorlanuvchi harakatdir:
tekis aylanayotgan moddiy nuqta har bir yangi aylanishida bir xil vaziyatlardan
o`tadi, shu bilan birga avvalgi tartibda va o`shanday tezlik bilan o`tadi.Teng
vaqtlar ichida takrorlanib turadigan harakatlar davriy harakat deyiladi. Harakati
o`rganilayotgan jismlar guruhi mexanikada jismlar sistemasi yoki oddiygina
sistema deb yuritiladi.Sistemada jismlar orasidagi o`zaro ta’sir kuchlarini ichki
kuchlar deyiladi.Sistemadagi jismlarga shu sistemadan tashqaridagi jismlarning
ta’sir kuchi tashqi kuchlar deb ataladi. Tebranma harakat qila oladigan
sistema shunday bir vaziyatga egaki , u o`z holicha bu vaziyatda qoldirilganda
istalgancha uzoq vaqt davomida bo`la oladi. Sistema to`gri chiziq yoki yoy bo`ylab
harakatlanib o`zining muvozanat vaziyatidan goh bir tomonga, goh qarama–qarshi
tomonga chiqishidan iborat davriy harakat tebranma harakat yoki tebranishlar
deyiladi. Tebranayotgan sistemaga ko`rsatilayotgan ta’sirning xarakateriga qarab,
tebranishlar erkin (yoki xususiy) va majburiy tebranishlarga bo`linadi.
Bir marta turtki berilgandan yoki muvozanat vaziyatidan chiqarilgandan so’ng
ichki kuchlar ta’sirida yuzaga keladigan tebranishlar erkin tebranishlar
deyiladi . Bunga misol qilib ipga osib qo`yilgan sharcha (mayatnik) ning
tebranishini olish mumkin. Tebranishlar vujudga kelishi uchun sharchani turtib
yuborish yoki uni muvozanat holatidan chetga chiqarib qo`yib yuborish kifoya.
Davriy ravishda o`zgaruvchan tashqi kuchlarning ta’siri ostida bo`ladigan
tebranishlar majburiy tebranishlar deb ataladi. Bunga ichki yonuv dvigateli
silindridagi porshenning tebranishlari, tikuv mashinasi ignasining va mokisining
tebranishlari , ustidan odamlar tartibli qadam tashlab o`tayotgan ko`prikning
tebranishlari misol bo`la oladi. Tebranishlar fizik tabiati va murakkablik darajasi
jihatidan mexanik, elektromagnit, elektromexanik va hokazo tebranishlarga
bo`linadi. Bu tebra-nishlarning hammasi umumiy qonuniyatlar asosida ro`y
beradi.Eng sodda tebranish bu garmonik tebranishdir.Garmonik tebranish shunday
hodisaki, unda tebranuvchi kattalik (masalan, mayatnikning og’ishi) vaqtga bog’liq
ravishda sinus yoki kosinus qonuni buyicha o`zgaradi. Bu turdagi tebranish
quyidagi ikki sababga ko`ra juda muhimdir: a)tabiatda va mexnikada uchraydigan

tebranishlar o`z harakteri bilan garmonik tebranishlarga yaqin; b)boshqacha
ko`rinishdagi (vaqtga qarab o`zgaradigan) davriy tebranishlarni ustma–ust tushgan
bir necha garmonik tebranishlar sifatida tasavvur qilish mumkin. Biz mexanik–
garmonik tebranishlar ustida to`xtalib o`tamiz. Garmonik tebranishlarning asosiy
qonuniyatlari va xarakteristikalari bilan moddiy nuqtaning aylana bo`ylab tekis
harakatida tanishish qulay. Faraz qilaylik, M moddiy nuqta x
0 radiusli aylana
bo`ylab soat strelkasi harakati yo`nalishiga teskari yo`nalishda o`zgarmas burchak
tezlik bilan harakatlanayotgan bo`lsin . U holda bu M nuqtaning vertikal diametrga
bo`lgan proeksiyasi N nuqta O muvozanat vaziyati atrofida davriy tebranishda
bo`ladi. Bu proeksiyaning siljish kattaligi x
o dan –x
0 gacha chegarada davriy
o`zgaradi. Moddiy nuqtaning aylanish davri T uning sekundiga aylanishlar soni ,
burchak tezligi va radiusining burilish burchagi o`zaro quyidagi munosabatlar
bilan bog’langan bog’langan bo’lgani uchun quyidagi
,
ko`rinishlarda yozish mumkin.
(2.1.5)
Vaqtning ixtiyoriy t paytida siljish kattaligini aniqlaydigan formulalar
garmonik tebranishlar tenglamalarining turli ko`rinishidir. x siljish 0 muvozanat
vaziyatdan yuqoriga yo`nalgan bo`lsa–musbat, pastga yo`nalgan bo`lsa–manfiy
bo`ladi. Muvozanat vaziyatdan maksimal siljishning x
0 ga teng bo`lgan absolyut
qiymati tebranish amplitudasi deyiladi.

2.2. Sistemaning ustuvor va noustuvor muvozanati. Konservativ
sistemalarning muvozanat holatining ustuvorligi haqidagi Lagranj teoremasi.
Oddiy pirildoq (giroskop) ning aylanma harakati ustuvor t е zligi qancha katta
bo’lsa, v е rtikal o’q atrofida aylanishdan ch е tga chiqaruvchi urinishlarga qarshilik
shuncha katta bo’lishi bizga yaxshi ma’lum.Shunday qilib, pirildoqning aylan ma
harakati katta t е zliklarda kichik ta'sirlarga ustuvordir. Aylanish t е z ligi b е lgilangan
ma'lum qiymatdan kamayib k е tsa, kichik ta'sirlar ham uning holatini k е skin
o’zgartiradi va harakati tartibsiz bo’ladi. Shunday qilib, kichik t е zliklarda
prildoqning aylanma harakati noustuvor bo’ladi. Botiq yoki qavariq sirt ustida
yotgan og’ir sharning muvozanat holati ham ustuvor yoki noustuvor muvozanatga
misol bo’la oladi. Birinchi holda shar istalgan kichik miqdorga og’dirilganda
o’zining dastlabki vaziyatiga qaytishga intiladi. Sharning dastlabki va og’gan
holatlari bir- biridan kam farq qiladi. Ikkinchi holda shar har qanday kichik
miqdorga og’dirilganda ham pastga dumalab k е tadi. Sharning dastlabki va k е yingi
holatlari bir- biridan k е skin farq qiladi.Botiq sirt ichida yotgan shar ustuvor
muvozanat holatda, qavariq sirt ustida yotgan sharning munozanati esa noustuvor
holatdadir.Siqilgan st е rj е nning muvozanatini o’rganganda ham shunday hodisaga
duch k е lishi mumkin.Siquvchi kuch biror kritik qiymatdan kichik, ya'ni P<P
kp
bo’lganida siqilgan st е rj е n kichik ta'sirlarga s е zgir emas. Bunday ta'sirdan st е rj е n
o’zining to’g’ri chiziqli holatidan ozgina ch е tga chiqadi. P>P
kr da esa st е rj е nning
to’g’ri chiziqli holati noustuvordir. Har qanday kichik ta'sir ham st е rj е nni katta
burchakka og’diradi.Yonboshdan bo’ladigan ta'sir yo’qotilganda ham bo’ylama
kuch ta'siridan st е rj е n egilgancha qoladi. Bunga bo’ylama egilish
d е yiladi.Bo’ylama egilish shuning uchun ham xavfliki, siquvchi kuch ozgina

oshirilganida ham st е rj е nning egilishi t е z orta boradi. Salkilik va yuklanish o’zaro
chiziqsiz qonun bilan bog’langan. Salkilikning t е z o’sishi natijasida egilishdan
bo’ladigan kuchlanish ham t е z ortadi, bu esa d е formatsiyalanishni t е zlashtiradi va
ko’pincha st е rj е nning y е mirilishiga olib k е ladi.Yupqa d е vorli st е rj е nlar siquvchi
kuchlanishning mat е rial mustahkamligi nuqtai nazaridan xavfli bo’lmagan
qiymatlarida ham ko’pincha ustuvorligini yo’qotadi.
Tarixiy ma’lumotlar.
Qurilish san'ati rivojlanishi tarixida inshootlarni ustuvorlikka noto’g’ri
hisoblash oqibatida ularning y е mirilishi ko'p sodir bo’lgan. Masalan, 1907-yili
AQShda Shimoliy Lavr е ntiya daryosiga qurilgan, bosh prolyoti 549 m bo’lgan
konsol sist е mali katta ko’prik ag’darilib tushgan.Halokat qurilish k е tayotgan
vaqtda, ish kuni tamom bo’lishidan 15 minut oldin sodir bo’lgan. Bunda ko’prik
ustida ishlayotgan barcha ishchi va t е xniklar (jami 74 kishi) halok bo’lgan; 9 ming
tonnali m е tall konstruktsiya butunlay ishdan chiqdan. Konstruktsiyaning kattagina
qismi suvga 40 m chuqurlikka cho’kib k е tgan.Kv е b е k ko’prigining (ko’prik
Kv е b е kdan 14 km narida qurilgan) bu ulkan halokati ibratli saboq bo’lgan.
Halokatga siqilgan yig’ma st е rj е nning ustuvorlikka noto’g’ri hisoblanganligi sabab
bo’lgan.U vaqtlarda bunday st е rj е nlarni hisoblash nazariyasi mukammal ishlab
chiqilmagan bo’lib, bu loyihachilarning gunohini y е ngillashtiruvchi bir hol edi.
Shunisi qiziqki, bu voq е adan 9 yil o’tgach, 1916-yili o’sha joyda yana o’sha sx е ma
bo’yicha yangi Kv е b е k ko’prigini qurish nihoyasiga y е tkazildi, l е kin ikkinchi
marta ham ko’prik halokatga uchradi, bunda osma prolyoti suvga ag’darilib tushdi
va cho’kib k е tdi.1891-yil may oyida Shv е ytsariyaning M е nx е nsht е yn
qishlog’idagi ko’p rikda bo’lgan halokatli hodisa siqilgan st е rj е nlarni ustuvorlikka
puxta hisoblash naqadar zarur va muhimligini ko’rsatuvchi saboqdir. Halokat ro’y
b е rgan paytda ko’prikdan 12 vagondan iborat bo’lgan passajir po е zdi
o’tgan.Po е zdning uzunligi uncha katta emas, 42 m ga t е ng bo’lgan.Parovoz
ko’prikdan o’tib ulgurgan, l е kin daryoga qulagan vagonlar uni ham tortib k е tgan.
12 vagondan 6 tasi ag’darilib tushgan va bir - biriga urilib, parchalangan d е tallar

uyumiga aylangan. falokatda 74 kishi o’lgan va 200 kishi yarador bo’lgan. Bunda
f е rmaning siqilgan tirgovichlaridan biri ustuvorligini yo’qotgan va butun
ko’prikning buzilishiga sabab bo’lgan.
Ustivorlikning yo’qolish turlari.
Siqilgan st е rj е nlarning ko’ndalang k е sim yuzalari mustahkamlik shartidan
emas, balki siquvchi kuchlanishning kritik kuchlanishdan kichik bo’lishi shartidan,
ya'ni σ<σkr= Pkr/F dan topilishi k е rak.
2.2.3-rasm 2.2.4-rasm
2.2.1, 2.2.3-rasmlarda tasvirlangan hollar shu bilan xarakt е rliki, ustuvorlik
yo’qolgunga qadar barcha k е simlarda markaziy siqilish kuzatilgan.Ustuvorlik
yo’qolish paytida markaziy siqilishga egilish ham qo’shiladi.Sist е ma bitta
muvozanat holatidan boshqa holatga o’tadi.Markaziy siqilishning ustuvorligi
yo’qoladi.(2.2.4)-rasmda ustuvorlik yo’qolishining boshqa holi
ko’rsatilgan.Oldiniga balka v е rtikal t е kislikda egiladi (t е kis egilish). Kuch kritik
miqdordan ortishi bilan t е kis egilish shakli noustuvor bo’lib qoladi, gorizontal
t е kislikda qo’shimcha egilish va buralish paydo bo’ladi. Xuddi shuningd е k,
buralish, markaziy bo’lmagan siqilish va bosh qa d е formatsiya turlarida ham
ustuvorlikning yo’qolishi ro’y b е rishi mumkin. Agar sist е ma bitta emas bir n е cha
yoki qandaydir murakkab yuklanish bilan yuklangan bo’lsa, bitta param е tr tanlab
olinadi va barcha kuchlar sist е masi shu param е trga proparsional ravishda o’zgaradi
d е b hisoblanadi.Sistemaning muvozanati ustuvor va noustuvor muvozanatlarga
ajratiladi. Agar mexanik sistema nuqtalarini muvozanat holatidan ozgina siljitib,

ularga kichik tezlik berilgandan so’ng sistema o’zining boshlang’ich holatini
saqlasa, sistema ustuvor muvozanatda deyiladi.Aksincha sistema muzovanat
holatdan ozgina chetlatilganida bu chetlashish tobora ortib boraversa, sistema
noustuvor muvozanatda hisoblanadi. Ravshanki, sistemaning dastlabki muvozanat
holati noustuvor bo’lsa, uning bu holat atrofidagi tebranishlari kichik
tebranishlardan iborat bo’lmaydi.Binobarin, sistemaning kichik tebranishlarini
o’rganishda sistemaning dastlabki muvozanatini ustuvor muvozanat deb qabul
qilamiz.Sistema muvozanati ustuvor bo’lishining yetarli sharti quyidagi teorema
bilan ifodalanadi.
Teorema: Agar galonom, ideal bog’lanishli konservativ sistemaning
muvozanat holatdagi potensial energiyasi minimumga ega bo’lsa, uning bu
muvozanati ustuvor muvozanat bo’ladi. Bu teoremani dastavval Logranj
keltirgan.Lekin uning uzl – kesil isbotini Dirixle bajargan.Shuning uchun ham bu
teorema Logranj – Dirixle teoremasi deb yuritiladi.
Teorema isboti. Sistemaning muvozanat holatdagi, teoremada nazarda
tutilgan minimum potensial energiyasi bo’lsin. orqali
umumlashgan koordinatalarning muvozanat holat atrofidagi qiymatlarining
shunday sohasini belgilaylikki, umumlashgan koordinatalarning bu soha ichidagi
va uning chegarasidagi qiymatlari uchun o’rinli bo’lsin. koordinatalar
qiymatlarining ushbu sohasini funksiya minimumining sohasi deyiladi.
koordinatalardan birortasi funksiya minimumi sohasining chegarasida bo’lganida,
ya’ni da potensial energiyaning qiymatlarini ko’raylik. Potensial
energiyaning bu qiymatlari ichida eng kichigi albatta, dan katta bo’ladi.Uni
orqali belgilaylik, bunda α>0. Shunday qilib, hech bo’lmaganda bitta
umumlashgan koordinata funksiya minimumi sohasining chegarasida yotsa,
(2.2.1)

bo’ladi.Sistemani boshlang’ich muvozanat holatdan chiqaramiz. Buning uchun
umumlashgan koordintalarga funksiya minimumi sohasining qiymatlaridan berib,
sistema nuqtalarini siljitamiz va ularga kichik boshlangich tezliklar beramiz.
Qaralayotgan mexanik sistema konservativ sistema bo’lgani uchun unga nisbatan
to’liq mexanik energiyaning saqlanish qonuni o’rinli, ya’ni
(2.2.2)
Bunda– T ,˳ П mos ravishda sistemaning t=0 boshlang’ich paytdagi kinetik ˳
va potensial energiyalaridir. Doimo t≥0 bo’lgani uchun (2.2.2) dan quyidagi
munosabatni yozish mumkin.
П ≤T +
˳ П (2.2.3) ˳
Sistemani muvozanat holatdan chiqarishda umumlashgan koordinatalar
va umumlashgan tezliklar qiymatlarini shu darajada kichk qilib olish mumkinki,
(2.2.4)
bo’lsin. П potensial energiya umumlashgan koordinatalarning, T-kinetik
energiya esa umumlashgan koordinatalar va umumlashgan tezliklarning
uzluksiz funkisyasi bo’lgani uchun hmma vaqt amalga oshirish mumkin.
(2.2.5)
kelib chiqadi. (2.2.5) dan ko’ramizki, mexanik sistema nuqtalariga kichik tezliklar
berib, sistemani muvozanatdan chiqarganimizdan keyin harakat davomida sistema
umumlashgan koordinatalarining qiymatlari funksiyaning minimum sohasi ichida
qolyapti, ya’ni sistema harakat davomida muvozanat holatdan uzoqlashishga
intilayotgani yo’q.Haqiqatan, agar sistema keyingi harakati davomida muvozanat
holatdan uzoqlashishga intilsa, umumlashgan koordinatalarning qiymatlar funksiya
minimum sohasi chegarasiga tushib, (2.2.1) o’rinli bo’lib qolar edi.(2.2.1) ga

asosan bunday bo’lishi mumkin emas.Demak, sistemaning dastlabki holati ustuvor
muvozanatda bo’ladi.
Konservativ sistemalarning muvozanat holatining ustuvorligi haqidagi
Lagranj teoremasi.
Nazariy mexanika fanida mexanik sistemaning muvozanat holati atrofidagi
kichik harakatlarini o’rganishda xarakteristik tenglamaning yechimlarini topishni
ko’rib chiqqan edik.Bunda yechimlarning ko’rinishiga qarab muvozanat holati
atrofidagi harakat har xil bo’lar edi.Yana bir tug’iladigan savol, bu muvozanat
holatining ustuvorligi muammosi hisoblanadi.Faraz qilamiz, sistema umumlashgan
koordinatalarning ma’lum qiymatlarida berilgan kuchlar ta’sirida muvizanatda
bo’lsin.Agar sitemani boshlang’ich shartlar yordamida muvozanat holatidan
og’diradigan bo’lsak, uning harakati muvozanat holati atrofida qanday bo’ladi?
Bunda ikkita hol bo’lishi mumkin:
1) Sistema og’dirishlar hisobiga sistema har doim muvozanat holati atrofida
kichik harakat qiladi;
2)Sistema koordinatalari vaqt o’tishi bilan muvozanat holatidan uzoqlashadi,
ya’ni muvozanat holati noustuvor bo’ladi.
Endi muvozanat holatining ustuvorligi yoki noustuvorligiga tegishli
ta’riflarga to’xtalamiz. Faraz qilamiz, sistemaning muvozanat holatiga
umumlashgan koordinatalarning qiymatlari mos kelsin va t=t(0)
onda sistema boshlang’ich og’ishlar olsin. Sistemaning muvozanat holati
A.M.Lyapunov bo’yicha ustuvor deyiladi, agar ixtiyoriy kichik ε > 0
son uchun
shunday topilsaki, |qr0|<δ, |˙qr0|<δ ni qanoatlantiruvchi boshlang’ich
shartlarda, ixtiyori lar uchun
|qr|<ε tengsizlik bajarilsa, muvozanat holati
ustuvor deyiladi, aks holda muvozanat holati noustuvor bo’ladi..
|qr|=ε muvozanat
holati atrofida ma ’ lum D soha olamiz . Mexanik ma ’ nosiga ko ’ ra agar muvozanat
holati ustuvor bo ’ lsa , sistema kichik og ’ ishlar hisobiga olgan harakati har doim D

sohaning ichida qoladi . Agar sistema konservativ sistemadan iborat bolsa, u holda
sistemaning muvozanat holatini ustuvorligi potensial energiyaga bog’liq bo’lar
ekan.
2.3. Koordinatalar. Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar
sistemasi. Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Geografik
koordinatalar.Astronomik koordinatalar.Matematik o'qlar misolida
nuqtalarning koordinatalarini topish.
Koordinatalar — nuqtaning to g ri chiziq, tekislik, fazo va turli yuzalardagiʻ ʻ
holatini aniqlovchi sonlar.. Nuqtaning koordinatalari biror koordinata sistemasida
aniqlanadi.Masalan, bir nuqtadan o tuvchi o zaro tik uch to g ri chiziq fazoda K.
ʻ ʻ ʻ ʻ
sistemasini tashkil qiladi. Bunda M nuqtaning koordinatalari x= OA, u = OB, z=
OS bo ladi.Koordinatalar-ma’lum tartibda olingan
ʻ va nuqtaning chiziqdagi ,
tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini harakterlaydigan sonlardir.
Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani
geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi..Ravshanki, chiziqlar
nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan
tashkil topgan deb qarash mumkin.Shuning uchun geometrik shakllarni tekislikda
yoki fazoda nuqtalarning o‘rni deb qarash mumkin. Nuqtaning o‘rnini aniqlovchi
sonlar uning koordinatalari deyiladi.Musbat yo‘nalishi tanlab olingan l to‘g‘ri
chiziq o‘q deb ataladi. O‘qni yo‘nalishi odatda strelka bilan ko‘rsatiladi.
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi.
Agar ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘q, ularni kesishish nuqtasi
O (sanoq boshi) va masshtab birligi berilgan bo‘lsa, tekislikda to‘g‘ri burchakli

koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi . Odatda bu o‘qlarni biri
gorizontal, ikkinchisi vertikal joylashgan bo‘ladi.
Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemas
Fazoda nuqtaning o‘rnini aniqlash uchun bir-biri bilan to‘g‘ri burchak hosil
qilib kesishadigan uchta H,Q,R tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata
tekisliklari deb ataladi. H,Q,R tekisliklar OX,OY,OZ to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha
kesishadi, bu chiziqlar koordinata o‘qlari deyiladi va OX abssissa o‘qi, OY
ordinata o‘qi va OZ applikatalar o‘qi deb ataladi. Bu uch o‘qning kesishgan
nuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari o‘zaro kesishib
fazoni sakkiz qismga (bo‘lakka) ajratadi. Bu bo‘laklar oktantlar deyiladi.Bu
keltirilgan koordinata sistemasi fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata
sistemasi deyiladi. Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasini qisqacha
quyidagicha ta’riflash mumkin.
Sferik koordinatalar sistemasi.
Uch o’lchamli koordinatalar sistemasi bo’lib,fazodagi nuqtaning vaziyati
uchta kattalik bilan ( ) aniqlanadi.Bu yerda -koordinatalar boshigacha
bo’lgan masofa, va -mos holda zenit burchaklar.
Ta’rif: Agar 3 ta o‘zaro perpendikulyar o’q, ularni kesishgan nuqtasi O va
masshtab birligi berilgan bo‘lsa, fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar
sistemasi berilgan deyiladi.
Matematik o'qlar misolida nuqtalarning koordinatalarini topish.
Nuqtaning koordinatasi bu uning o'rnini belgilaydigan kattaliklardir.Nuqta
tekislikda yoki uch o'lchovli fazoda joylashgan bo'lishi mumkin.

Odatda matematikada uchinchi o'q Z deb nomlanadi. Agar nuqta
koordinatalarini topishimiz kerak bo'lsa, X, Y va Z o'qlarini perpendikulyar bo'ylab
qoldirishimiz kerak.

2.4 Mavzuga doir masalalar yechish .
2.4.1-Misol. Og’irligi P=50 H, inertsiya radiusi ρu= 0,1 m bo’lgan giroskop
rotori n = 60000 ayl/min burchak tezligi bilan aylansin. Agar giroskop o’qiga
perpendikulyar yo’nalgan va O nuqtadan a = 0,2 m masofaga qo’yilgan F = 100 H
kuch
τ=0,1 s davomida ta’sir etsa , shu vaqt ichida gidroskop o’qi ⃗F kuchiga
perpendikulyar yo’nalishda
α = F
o ' rt
P
g p
u2 = 100 ∙ 0,2 ∙ 0,1
50
9,8 ∙ 0,01 ∙ 2 ∙ 3,14 ∙ 60000
60 = 0,0063 pag = 0,36 0
burchakka og’adi, ya’ni gidroskop o’qi deyarli kuchishga ulgurmaydi.
2.4.2-masala. Temir yòl poyezdi yòlning gorizantal va tòģri chiziqli
uchastkasida harakat qiladi. Tormozlanganda hosil bòladigan qarshilik kuchi
poyezd oģirligining 0,1 qismiga teng bòladi. Tormazlash boshlanganda poyezdning
rezligi 20m/s ga teng bòldi. Tormozlash vaqti va tormoz yoli topilsin .
Berilgan:
R=0,1p
V
0 =20m/s
S=?

2.4.1-rasm
Yechish. Harakat tòģri chiziqli , shuning uchun uchta tenglamadan faqat bittasi
qoladi.
Mv
kx - mv
k0 = S
kx
0-mv
0 = - Rt yoki -mv
0 = -0,1pt
Mv
0 = 0,1mgt v= 0,1gt
T=v
0 /0,1g= 20/0,1•9,81=20,4sek. V
cp =(v
0 + v
1 )/2= (20+0)/2= 10m/s
V
cp =s/t S= v
cp •t= 10•20,4=204m
Javob: S=204m
2.4.4-masala. Massasi m ga teng bòlgan lokomotiv yòlning gorizantal
qismida harakatlanadi (2.2.5-rasm). Lokomotivga tortish kuchi F= const va
òzgarmas R qarshilik kuchi tasir etadi. Lokomotivning tezligi qanday t vaqt
oraligida v
0 dan v ga òzgaradi?
Yechish. Lokomotivni moddiy nuqta deb qaraymiz va Ox oqni harakat yònalishi
bòyicha yònaltiramiz. Lokomotivga tasir etuvchi kuchlarni rasmda
kòrsatamiz.Lokomotivni oģirlik kuchini P bilan belgilaymiz, lokomotiv rels orqali
boģlanishda bòlgani uchun relsning normal reaksiyasi N ni ham kiritish lozim.
Moddiy nuqta harakat miqdorining òzgarishi haqidagi teoremaning Ox òqqa
prayeksiyasidan foydalanamiz:
mv-mv
0 =(F-R)t bundan t=m(v-v
0 )/(F-R)

2.4.2- rasm
2.4.5- masala . Gorizont bilan a =30 0
burchak tashkil qiluvchi t ò p stvolining
o ģ irligi P
1 =11000 H , t ò p ò qining o ģ irligi P
2 =540 H . Ò q stvolning o ģ zidan
chiqishida v
2 = 900 m / s tezlik bilan harakat qiladi . Òqning otilib chiqish paytida
tòp stvolining erkin suratda orqaga tepish tezligining gorizantal tuzuvchisi
aniqlansin
Yechish. Koordinatalar boshini O nuqtada olib, x òqni gorizantal bòylab òngga
yònaltiramiz. Tòp stvolni va oqi mexanik sistemani tashkil etadi. Sistemaga stvol
va òqning oģirlik kuchlari P
1 va P
2 hamda boshlanģich reaksiya kuchi P tasir qiladi.
Bu kuchlar x òqqa perpendikular bòlgani uchun R
x e
= 0. Shu sababli sistema
xarakat miqdori-ning x òq bòyicha saqlanish qonuni quyidagiga ega bòlamiz:
K
x = const. Boshlanģich t = 0 paytda, yani òq otilish paytida, stvol va òqning
tezliklari nolga teng:
v
1⁰ = 0; v
2 ⁰ = 0 Òq tòp stvolidan chiqish paytidagi stvol tezligining gorizantal
tashkil etuvchisi v
1x ni aniqlash kerak.Berilgan boshlanģich shartlarga kòr
K
x = 0, Yani
M
1 v
1x – m
a v
2x = 0 Yoki. (P
1 /g)v
1x +(p
2 /g)v
2 cos 30 0
= 0,
Bundan
V
1x = - ((P
2 v
2 )/p
1 )cos 30 0
= -((540•900))•1000•(3 1/2
/2) = - 3,82 m/s.
Bunda manfiy ishora tòp stvolining tepish tezligi òq harakatiga qarama -qarshi
tomonga qarab yònalganligini ifodalaydi.

2.4.6-masala. V tezlik bilan gorizantal yònalishda uchib kelayotgan m
1
massali òq aravachaga òrnatilgan va qum tòldirilgan yashikka borib tegadi.Agar
aravachaning mazkur yashik bilan birgalikdagi massasi m
2 ga teng bòlsa, òq
yashikka urilgandan keyin aravacha qanday tezlik bilan harakatlanadi?
Yechish. Nyutonning uchinchi qonuniga kòra, òq yashikka urilganda, òq bilan
aravachaning òzaro tasir kuchlari miqdor jihatdan bir biriga teng bòladi. Agar oq
bilan aravachani bitta mexanik sistema deb qarasak, bu kuchlar ichki kuchlarni
tashkil etadi. Shu sababli bu sistema uchun harakat miqdorining òzgarishi haqidagi
teoremani qòllaganda mazkur kuchlar qatnashmaydi.
Agar Ox òqni aravachaning xarakat yònalishida gorizantal òng tomonga yònal-
tirsak, u holda sistema nuqtalariga tasir etuvchi P
1 , P
2 oģirlik kuchlari va rels N
1 va
N
2 reaksiya kuchlarining saqlanish qonuni òrinli bòladi:
yoki Bunda K
0x , K
x – mos ravishda òq aravachaga
urilgandan oldingi va urilgandan keyingi sistemaning xarakat miqdorlari. Òq
aravachaga urilishi oldida aravachaga tinch holatda bòlgani uchun
bòladi. Oq aravachaga urilgandan keyin aravacha bilan birgalikda v tezlik bilan
harakatlanadi. U holda bòlib yuqoridagi tenglikka kòra
. Bunda
2.4.3-rasm

III. Xulosa
Mening bu kurs ishim “Ortiqcha koordinatalar yordamida murakkab
mayatnikningharakat ustuvorligi” mavzusiga bag’ishlangan bo’lib, bu kurs ishim
uchun ma’lumot to’plash jarayonida va yozish mobaynida murakkab mayatnikning
oddiy mayatnikdan farqi, sistemaning ustuvor va noustuvor muvozanatlari
haqidagi bilimlarimni mustahkamladim. Ushbu kurs ishimda koordinatalar va
ularning turlari, mayatniklar, tebranishlar, muvozanat holatining ustuvorligi haqida
ma’lumotlar keltirib o’tdim. Kurs ishimni tayyorlash mobaynida konservativ
sistemalarning muvozanat holatining ustuvorligi haqidagi Lagranj
teoremasi,matematik o’qlar misolida nuqtalarning koordinatalarini topish,
tebranishlar, tekislikda va fazoda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi,
geoegrafik va astronomik koordinatalar haqidagi bilimlarimni yana bir bor
mustahkamladim.Nuqtaning koordinatalarini topish mahorati nafaqat
matematikadan masalalarni yechish uchun, balki hayotda ham kerak bo'lar ekan.

Kurs ishim mavzusiga doir asosan ustuvor va nustuvor muvozanatlarga doir
masalalarning yechimi haqida ushbu kurs ishimda qisqacha va tushunarli
ma’lumotlar keltirib o’tdim.
IV. Foydalanilgan adabiyotlar
1. P.SHohaydarova Nazariy mexanika.-T.:“O’qituvchi”, 1992 y.
2. T.R.Rashidov Nazariy mexanika asoslari.-T.: “O’qituvchi”,1991y.
3.I.V.Meshcherskiy. Nazariy mexanikadan masalalar to`plami.-T.:
“O’qituvchi”,1990-y.
4.M.M. Murodov, X.M.Inoyatova, K.U.Usnatdinov. Nazariy mexanika.- T.:”
Istiqlol”,2004y.
5.A.Azizqoriyev, S.K. Yangurazev. Nazariy mexanikadan masalalar
yechish.-T.:“O’qituvchi”,1980y.
6. D.I.Tolibova. Nazariy mexanika (Dinamika). -T.: “O’qituvchi”, 1987 y.
7. Sh.A.Shoobidov va boshqalar. Nazariy mexanika. -T.: “O’qituvchi”, 2008 y
8. M.S.Yaxyayev, K.B.Mo’minov “Nazariy mexanika” Toshkent 1990-yil
9. Sh.M.Mamatquluv “nazariy mexanika” Toshkent 2009-yil
10. Z.Abduqahhorov. “Nazariymexanika” Namangan 2016-yil

11. U.J.Saydullayev “Nazariymexanika” Samarqand 2013-yil
12. B.Ahmadxo’jayev “Nazariymexanika’ Toshkent 2006-yil ,
http://kutubxona.adu.uz
http://ilmiy.bmti.uz
http://arm.tdpushf.uz
http://library.navoiy-uni.uz
http://ziyonet.uz
https://uz.m.wikipedia.org
https://kitobxon.com

Ortiqcha koordinatalar yordamida murakkab mayatnikning harakat ustuvorligi

Sotib olish