Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashish

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	223.0KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	21 Aprel 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

7 Sotish

Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashish

Sotib olish

MAVZU: SPLAYNLAR YORDAMIDA FUNKSIYALARNI
YAQINLASHTIRISHNING MATLAB DASTURIDAGI
TADBIG’I.
REJA:
KIRISH ………………………………………………………………………......3
I.BOB. SPLAYNLAR............................................................................................5
1.1. Kubik splayn qurish .........................................................................................5
1.2. Kubik splayn bilan interpolyasiylash jarayonining yaqinlashishi ....................9
II.BOB. FUNKSIYALARNI YAQINLASHTIRISH MASALASI VA
MATLAB TADBIQI.............................................................................................14
2.1. Splayn funktsiyalar yordamida kvadratur formula qurish ................................14
2.2. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishning Matlab
dasturidagi tadbig’i .................................................................................................23
XULOSA......…………………..............................................................................28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR...........................……………………...30

$KIRISH Kurs ishining dolzarbligi: Hozirgi kunda katta hajmdagi ma'lumotlar bilan ishlash zaruriyati ortib bormoqda. Splaynlar yordamida ma'lumotlarni yaqinlashtirish, ma'lumotlarni soddalashtirish va ularni yanada tushunarli qilish imkonini beradi. Yaqinlashtirish usullariga nisbatan splaynlar yuqori aniqlikni ta'minlaydi, chunki ular lokal xususiyatlarni hisobga olib, har bir segmentda mos keluvchi polinomlar bilan ishlaydi. Splaynlar, grafikalar, muhandislik, iqtisodiyot, statistik tahlillar kabi ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Ular yordamida murakkab funksiyalarni oddiyroq shaklda taqdim etish mumkin. MATLAB dasturida splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish oson va qulay. MATLABning kuchli hisoblash imkoniyatlari va vizualizatsiya qulayliklari tadqiqotchilarga samarali natijalarga erishish imkonini beradi. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish matematik va amaliy jihatdan dolzarbdir. MATLAB dasturida ushbu usulni qo'llash, zamonaviy tadqiqotlar va ma'lumotlar tahlilida muhim rol o'ynaydi. Bu usulning rivojlanishi va qo'llanilishi, ilm-fan va texnologiyaning rivojlanishida yangi imkoniyatlar yaratadi. Kurs ishini maqsadi va vazifasi: Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishning maqsadi: Aniq modellashtirish: Murakkab funksiyalarni oddiyroq splaynlar yordamida ifodalash va ularni yaxshiroq tushunish. Ma'lumotlar tahlili: Turli sohalarda olingan ma'lumotlarni samarali tarzda tahlil qilish va vizualizatsiya qilish. Matematik model yaratish: Amaliy muammolarni yechishda matematik modellarni yaratish va ularni MATLAB dasturida amalga oshirish. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishning maqsadi: Aniq modellashtirish: Murakkab funksiyalarni oddiyroq splaynlar yordamida ifodalash va ularni yaxshiroq tushunish. Ma'lumotlar tahlili: Turli sohalarda olingan ma'lumotlarni samarali tarzda tahlil qilish va vizualizatsiya qilish. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $Matematik model yaratish: Amaliy muammolarni yechishda matematik modellarni yaratish va ularni MATLAB dasturida amalga oshirish. Kurs ishining tuzilishi: kirish, ikkita bob, 5 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $I.BOB. SPLAYNLAR 1.1. Kubik splayn qurish Funksiyani interpolyasion ko‘phad yordamida yaqinlashtirish, ko‘phad yuqori tartibli bo‘lganda hisoblash xatoliklarining yig‘ilib borishi natijasida yomon yaqinlashadi. Shuning uchun [a,b¿ oraliqni kichik oraliqlarga ajratib har birida yaqinlashtiruvchi ko‘phad ko‘rish ancha yaxshi natija berishi aniqlanadi. hap bir bo‘lakda ko‘phaddan iborat va ma’lum tartibli uzliksiz hosilalaga ega bo‘lgan funksiya splayin deb aytiladi. Splayn yaqinlashtirish ko‘phad bilan yaqinlash- tirishdan afzalligi shundan iboratki u: Birinchidan: funksiyaga yaqinlashadi, Ikkinchidan : hisoblash jarayoi turg‘undir. 1.Kubik splaynni qurish. Faraz qilamiz [ a,b¿ kesmada aniqlangan f(x) uzliksiz funksiya berilgan bo‘lsin. a = x 0 < x 1 < , … < x N − 1 < x N = b to‘rni aniqlab, fi= f(xi),i= 0,1 ,… .,N deb belgilaymiz. f ( x ) funksiyaga va { x i } N i = 0 tugun nuqtalarga mos S ( x ) splayn deb quyidagi shartlarni qanotlantiruvchi funksiyaga aytiladi: 1) Har bir [ xi−lf,xi ] sigmentda i = 1,2 , … . , N , S ( x ) funksiya uchunchi darajali ko‘phad; 2) S ( x ) funksiya va uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari [ a,b¿ da uzliksiz; S ( x i ) = ( x i ) , i = 0,1 , … . , N . Oxirgi shart interpolyasiyalash shartlari deb aytiladi, splayn esa interpolyasiyalaydigan splayn deb aytiladi. Yuqorida qayd etilgan splayn mavjud va yagonaligini isbot qilamiz. Quyida keltiriladigan isbot splaynni qurish usulini ham aniqlaydi Har bir [ x i − 1 , x i ] , i = 1,2 , … , N kesmada, S ( x ) = S , ( x ) − ¿ ni S , ( x ) = a i + b i ( x − x i ) + c i 2 ¿ (1.1) ko‘rinishda izlaymiz . Bu erdagi a i , b i , c i , d i − ¿ koeffitsientlar aniqlanishi lozim bo‘lgan noma’lum koeffitsientlar ma’nosini aniqlaymiz . PAGE \* MERGEFORMAT30$ $S i'( x ) = b i + c i ( x − x i ) + d i 2 ¿ Si''(x)= ci+di(x− xi),S'''(x)=di tengliklarga egamiz, shuning uchun ai= Si(xi),bi= Si'(xi),ci= Si''(xi),diSi'''(xi)S(xi)= f(xi)i=1,2 ,… ,N interpolyasiya shartlaridan. a i = S i ( x i ) , i = 1,2 , … , N larni hosil qilamiz. ao= f(xo) deb aniqlaymiz. S ( x ) ning uzliksizlik shartidan. Si(xi)= Si+1(xi),i=1,2 ,… ,N −1. Bundan, S ( x ) ifodasini inobatga olib i=1,2 ,… ,N −1 uchun a i = a i + 1 + b i + 1 ( x i − x i + 1 ) + c i + 1 2 ¿ tengliklarni hosil qilamiz h i = x i − x i − 1 deb belgilab, bu tenglamalarni h i b i − h i2 2 c i + h i3 6 d i = f i − f i − 1 , i = 1,2 , … , N ( 1.2 ) ko‘rinishlarda yozib olamiz Birinchi tartibli hosilaning uzluksizligi Si'(xi) = S i + 1' ( x i ) , i = 1,2 , … , N − 1 , cihi− di 2 hi2=bi− bi−1,i=2,3 ,… ,N (1.3 ) tenglamalarga olib keladi. Ikkinchi tartibli hosilaning uzliksizligidan dihi=ci− ci−1,i= 2,3 ,… ,N (1.4) tengliklar hosil bo‘ladi. Tengliklar (2) - (4) ni birlashtirib bi,ci,dii=1,2 ,… ,N noma’lumlarga nisbatan 3N – 2 ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ikkita etmaydigan tenglamani hosil qilish uchun S ( x ) ga u yoki bu chegaravi shartlar quyadigilar, Masalan f ' ' ( a) = f ' ' ( b ) = 0 deb olish mumkin. Unda S ' ' ( a ) = S ' ' ( b) = 0 bo‘lishini talab qilish tabiydir. Bundan S1''(a)=0,SN''(xN)=0, ya’ni c1− d1h1= 0,cN=0 tenglamalar hosil bo‘ladi. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $c1− d1h1= 0 shartdan i=1,c0=0 bo‘lganda (4)- bilan bir xil bo‘ladi. Shunday qilib kubik splaynning koeffitsientlarini aniqlash uchun quydagi yopiq sistemaga kelamiz hidi=ci− ci−1,i=1,2 ,… ,N ,c0=cN=0(1.5 ) h i c i − h i2 2 d i = b i − b i − 1 , i = 2,3 , … , N ( 1.6 ) h i b i − h i2 2 c i + h i3 6 d i = f i − f i − 1 , i = 1,2 , … N ( 1.7 ) Bu sistemaning yagona yechimga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Sistema (1.5)-(1.7) dan bi,di,i= 1,2 ,… .N−1 noma’lumlarni yo‘qotib,faqat ci− ¿ no- ma’lumlar qatnashadigan sistemani hosil qilamiz. Buning uchun tenglamalar (1.7) dan ikki qo‘shnilarni qaraymiz: bi= hi 2ci− hi2 6 di+ fi− fi−1 hi b i − 1 = h i − 1 2 c i − 1 − h i − 12 6 d i − 1 + f i − 1 − f i − 1 h i − 1 Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib b i − b i − 1 = 1 2 ( h i c i − h i − 1 c i − 1 ) − 1 6 ( h i2 d i − h i − 12 d i − 1 ) + f i − f i − 1 h i − f i − f i − 2 h i − 1 tenglikni hosil qilamiz. Ayirma b i − b i − 1 uchun topilgan ifodani (1.6) – ning o‘ng tomoniga qo‘yib, hi.ci− hi2 2 .di= 1 2.(hi.ci−hi−1ci−1)− 1 6(hi2.di−hi−12 .di−1)+ fi− fi−1 hi − fi− fi−2 hi−1 yoki h i . c i + h i − 1 . c i − 1 − 2 3 h i2 . d i − 1 3 h i − 12 . d i − 1 = ¿ 2 ( f i − f i − 1 h i − f i − f i − 2 h i − 1 ) ( 1.8 ) tenglikni hosil qilamiz. Tenglik (1.5) dan h i2 . d i = h i ¿ tengliklarni hosil qilib ,bularni (1.8)-ga qo‘ysak , .ci−1+2.(hi−1+hi).ci−1+hi.ci=6.( fi− fi−1 hi − fi− fi−2 hi−1 ) tenglik hosil bo‘ladi. ci koeffitsientlarni aniqlash uchun h i . c i − 1 + 2 ( h i + h i + 1 ) . c i + h i + 1 . c i + 1 = 6. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $(f i + 1 − f i h i + 1 − f i − f i − 1 h i ) , i = 1,2 , … , N − 1 c0= cN= 0 tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistema matritsasining dioganal elementlari boshqa elementlarga nisbatan ancha katta bo‘lganligi uchun uning echimi mavjud va yagonadir. Bu sistema uch diagonalli bo‘lganligi uchun progonka usulida yechish mumkin. bu holda progonka metodi turg‘undir. Aniqlangan c i bo‘yicha bi va d i koeffitsientlarni oshkor formulalar ko‘rnishida yozish mumkin di= ci−ci−1 hi ,bi= hi 2.ci− hi2 6 .di+ fi− fi−2 hi ,i= 1,2 ,… ,N (1.10 ) Shunday qilib, tenglamalar (1.1) -(1.3) va S ' ' ( a ) = S ' ' ( b) = 0 chegaraviy shartlar bilan aniqlanadigan yagona splayn mavjudligi ko‘rsatildi. Boshqa chegaraviy shartlar bilan ham masalani qarash mumkin ekanligini ta’kidlaymiz. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $1.2. Kubik splayn bilan interpolyasiyalash jarayonining yaqinlashishi. Bu yerda kubik interpolyasion splaynlarning tugun nuqtalar soni N cheksizga intilganda interpolyasiyalanuvchi funksiyaga intilishini ko‘rsatamiz. Interpolyasion splayn bilan f (x) orasidagi farq U (x) = f (x) – S (x) funksiya silliqlik tartibiga va tugun nuqtalarining joylashishiga bog‘liq. Soddalik uchun nuqtalari tekis joylashgan to‘rlar ketma–ketligini qaraymiz : ω h ={ x i = a + i . h , = 0,1 , … , N } , bu yerda h = b − a N Bu holda sistema (9) ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi ci−1+4ci+ci−1=6fxẋ,i,i=1,2 ,… ,N−1,c0= xN=0,(2.1 ) bunda f , x ẋ , i = f i − 1 − 2 f i + f i + 1 h 2 f (x) funksiya [a,b] oraliqda to‘rtinchi tartibli uzliksiz hosilaga ega deb talab qilamiz: f(x) ∈ C ( 4 ) [ a , b ] Bundan tashqari f ' ' ( a) = f ' ' ( b ) = 0 chegaraviy shartlari bajarilsin, xuddu shunday shartlar splayn uchun hambajarilsin deb shart qo‘yamiz. ‖ g ( x ) ‖ C [ a , b ] ¿ a ≤ x ≤ bmax . | g ( x ) | , M 4 = ‖ f ( 4 ) ( x ) ‖ C [ a , b ] deb belgilaymiz Faraz qilamiz Sh ( x ) , f(x) funksiyani [a,b] oraliqda ωh to‘rda interpolyasiyalaydigan splayn bo‘lsin. Quyidagi teoremada f (x) funksiya va uning f ' ( x ) va f ' ' ( x ) hosilalarining interpolyasiya xatolari bahosi keltirilgan. 1-teorema. Agar f(x) ϵ C ( 4 ) [ a , b ] bo‘lsa , ‖ f ( x ) − S h ( x ) ‖ C [ a , b ] ≤ M 4 . h 4 (2.2) ‖ f ' ( x ) − S h' ( x ) ‖ C [ a , b ] ≤ M 4 . h 3 ( 2.3 ) PAGE \* MERGEFORMAT30$ $‖f''(x)− Sh''(x)‖C[a,b]≤M 4.h2(2.4 ) baholar o‘rinli bo‘ladi Bu tengsizliklardan, h → 0 ( N → ∞ ) S h ( i) ( x ) larning f ( i)( x ) − ¿ larga i=0,1,2 intilishi kelib chiqadi.Bu teoremani isbot qilish uchun f''(xi)− Sh''(xi) xatolikni baholovchi lemmani keltiramiz . ‖φ(x)‖C(ωh)≤maxxi∈ωh ¿ deb belgilaymiz .1- lemma. f(x) ∈c(4)[a,b]. uchun ‖f''(x)− Sh''(x)‖C(ωh)≤3 4M 4 .h2(2.5 ) Isbot. f''(x)=ci bo‘lganligi uchun, bu erda ci(2.1 ) - sistemaning yechimi, zi=cif''(xi) xatolikning bahosini toppish kifoya. C i = Z i − f i ni (11) –ga qo‘yib zi−1+4.zi+zi−1=ψi , i=1, 2, …, N-1, z0= zN=0(2.6 ) tenglamalarni hosil qilamiz, bu erda ψi=6. fxx,i−(fi+1''+4fi''+ fi−1'').(2.7 ) Sistema (2.6) yechimini ψi - o‘ng tamonlar orqali baholaymiz. Buning uchuin (2.6)- tenglamani 4zi=− zi−1− zi+1+ψi ko‘rinishida yozamiz. Bundan 4 |zi|=|− zi−1− zi+1+ψi|≤|zi−1|+|zi+1|+|ψi|≤ max xi−1∈ωh|zi−1|+ max xi+1∈ωh|zi+1|+ max xi∈ωh|ψi|= 2‖z‖C(ωh)+‖ψi‖C(ωh) kelib chiqadi Bu tengsizlik barcha i- lar uchun o‘rinli bo‘lganligi uchun, y | z i | maksumiga erishadigan i¿i0 uchun ham, ya’ni x i = x i 0 uchun ham o‘rinli bo‘ladi . Shuning uchun 4‖z‖C(ωh)≤2‖z‖C(ωh)+‖ψ‖C(ωh) ya’ni ‖ f ' ' ( x ) − S h' ' ( x ) ‖ C ( ωh ) ≤ 1 2 ‖ ψ ‖ C ( ωh ) ( 2.8 ) bajariladi. Bundan (2.5)-bahoni hosil qilish uchun ‖ψ‖C(ωh) ni baholash lozim. Bunda ψ=(ψ¿¿1,ψ2,… .,ψN−1,),φi−¿¿ lar tenglik (2.7) yordamida aniqlangan. ψ i − ¿ ψ i , = 6 f ¨x x , i − ( f i + 1' ' + 4 f i' ' + f i − 1' ' ) = 6 ¿ ko‘rinishida yozamiz va Teylor formulalaridan foydalanamiz. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $fxx,i= fi+1''−2f,i+fi−1 h2 = 1 h2f''(xi).h2+ 1 12 h2[ f(4)(ƺi)+f(4)(ƺi) 2 ].h4= f''(xi)+ 1 12 f(4)(ᶯi).h2,xi−1<ᶯi<xi−1munosabat o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shunday usul bilan f ' ' x x , i = f i + 1' ' − 2 f ' ' i + f ' ' i − 1 h 2 = f ξi ( 4 ) + f ξi ( 4 ) 2 = f . ( 4)( ξ i ) , ξ i ϵ ( x ¿ ¿ i − 1 , x i − 1 ) ¿ tenglikni hosil qilish mumkin. (2.9)- dan ψi=6(f¿¿xx,i− fi'')− h2.fxx,i '' =6[fi''+ 1 12 f(ᶯi)(4).h2− fi'' ]−h2f(4)(ᶯi)= 1 2 f(4)(ᶯi)h2−h2f(4)(ξi),i=1,2 ,..N −1¿ kelib chiqadi. Bundan 1,2 ,..N−1 | ψi | ≤ h 2 2 | f ( 4)( ᶯ i )| + h 2 | f ( 4)( ξ i )| ≤ h 2 2 max a ≤ x ≤ b | f ( 4)( x )| + h 2 max a ≤ x ≤ b | f ( 4)( x )| = 3 2 M 4 h 2 . b undan M 4= maxa≤x≤b|f(4)(x)|kelib chiqadi . Tengsizlik (2.8)-dan ‖ ψ ‖ C ( ωh ) 4 = 3 4 M 4 . h 2 ekanligi ma’lum bo‘ladi. 1- lemma isbot bo‘ldi. Endi 1- teoremani isbot qilishga o‘tamiz . Eng avval baho (2.4) ning o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. [ xi−1,xi ] i=1, 2, ..., N kesmani qaraymiz. Bu kesmada f''(x)− S''(x) ga shunday birinchi darajali P 1 ( x ) ko‘pxadni qo‘shib ayiramizki, S ' ' ( x ) - P1(x) birinchi darajali ko‘phad f''(x) ni xi−1 va xi nuqtalarda interpolyasiyalasin. Unda quyidagiga ega bo‘lamiz : |f''(x)− Sh''(x)+P1(x)− P1(x)|≤∨ f''(x)−Sh''(x)+P1(x) |+ P 1 ( x ) ∨ . ( 2.10 ) O‘ng tomonidagi hadlarini alohida – alohida baholaymiz . Sh''(x)− P1(x) birinchi darajali ko‘pxad f ' ' ( x ) ni intorpolyasiyalovchi qo‘shhhad ekanligi uchun, interpolyasiya xatoligini baholash formulasidan: ¿ f ' ' ( x ) − S h' ' ( x ) + P 1 ( x ) ∨ ≤ 1 2 . max x i − 1 ≤ ξ ≤ x i . | f ( 4)( ξ )| .| x − x i − 1 | .| x − x i | ≤ 1 2 max a ≤ x ≤ b | f ( 4)( x )| . max x i − 1 ≤ ξ ≤ x i . | x − x i − 1 | .| x − x i | = 1 4 . M 4 . h 2 ( 2.11 ) P1(x)=¿¿ ). x − x i x i − 1 − x i + ¿ PAGE \* MERGEFORMAT30$ $ko‘rinishda bo‘ladi. Shuning uchun ¿ P 1( x )| ≤ max x i − 1 ≤ x ≤ x i | P 1 ( x ) ∨ ¿ max x i − 1 ≤ x ≤ x i ¿ Bo‘ladi lemmaga asosan ¿P1(x)∨≤3 4M 4h2 (2.12) baho hosil bo‘ladi. Tengsizlik (2.10)-dan (2.11)- va (2.12)-larga asosan ixtiyoriy x ϵ[xi−1,xi] uchun ¿ f ' ' ( x ) − S k' ' ( x ) ∨ ≤ M 4 h 2 (2.13) hosil bo‘ladi ,i=1,2,…,N ixtiyoriy bo‘lgani uchun (2.14)-baho o‘rinli ekanligi kelib chiqadi . Endi baho (2.13) ning o‘rinli ekanligi ni ko‘rsatamiz. [ x i − 1 , x i ] kesmada r(x) =f(x)- S h ( x ) funksiyani qaraymiz r ( x ¿ ¿ i − 1 ) = r ( x ¿ ¿ i ) = 0 ¿ ¿ bo‘lgani uchun shunday xi−1<ξ<xi nuqta topiladiki r' r( ξ ) = 0. Shu sababli | r'(x)∨¿ =| r ' ( x ) − r ' ( ξ ) |=| r ' ' ( ξ ) .( x − ξ ) ∨ ≤ | r ' ' ( ξ )| . h bo‘ladi. Shunday qilib | f(x)− Sh'(x)∨≤∨¿ f''(ξ)− Sh' ( ξ ) ∨ h bo‘ladi, Agar (14) ni inobatga olsak | f(x)− Sh'(x)∨≤M 4h2 bo‘lishi va bundan (13)-kelib chiqadi . baho (12) ni isbot qilish kerak. g(t)= f(t)− Sh(x)− K(t− xi−1)(t− xi) (2.14) K doimiy son x ϵ [ x i − 1 , x i ] , K ni g(x)=0 shartdan aniqlaymiz, ya’ni K= f ( x ) − S h ( x ) ( x − x i − 1 )( x − x i ) g(x)=g ¿ ¿ )=g( xi )=0 ga egamiz. Shuning uchun shunday ξ ϵ[xi−1,xi], topiladiki g ' ' ( x ) = 0 , g''(t)= f''(t)−Sh''(t)= 2K bo‘lgani uchun f''(ξ)− Sh''(ξ)= 2K , ya’ni f(x)- S h ( x ) = f ' ' ( ξ ) − S h' ' ( ξ ) 2 .(x− xi−1).(x− xi) bo‘ladi. Bundan va (2.14)-dan | f(x)- S h ( x ) ∨ ≤ 1 2 ‖ f ( x ) − S h' ' ( x )‖ C ( ωh ) . h 3 4 ≤ M 4. h 4 8 baho hosil bo‘ladi. Bundan baho (2.12) kelib chiqadi. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $PAGE \* MERGEFORMAT30$ $II.BOB. FUNKSIYALARNI YAQINLASHTIRISH MASALASI VA MATLAB TADBIQI. 2.1. Splayn funktsiyalar yordamida kvadratur formula qurish Teng oraliqlar uchun qo‘llaniladigan interpolasiyalash formulalariga Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari, Gausning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari Stirling va Bessel formulalarini ko‘rsatish mumkin. Tengmas oraliqlar uchun interpolasiyalash formulalariga Lagranj va Nyuton formulalarini misol qilib ko‘rsatish mumkin. Argumentning teng oraliqda bo‘lgan qiymatlari uchun interpolasiyalash. Funksiya f(x) ning berilgan (n+1) ta har xil x 0, x 1, x 2, …, x n nuqtalardagi qiymatlariga ko‘ra, shu funksiyaning qaralayotgan oraliqning x∈ [ x 0, ,x n ] nuqtasidagi qiymatini topish talab qilingan bo‘lsin. Interpolasiyalash ko‘phadi L n (x) ni tuzamiz, bu ko‘phadning qiymati berilgan nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymati bilan mos tushishi lozim. L n ( x i ) = f ( x i ) , i = 0 , 1 , 2 , … , n . ( 1 ) L n ( x ) ko‘phad interpolasiyalash ko‘hadi deyiladi. Funksiya f(x) ning qiymatini formula f(x)= L n (x) bilan taqribiy topish, f(x) funksiyani algebraik ko‘phad bilan interpolasiyalash deyiladi. Agar x nuqta barcha x0,x1,x2,… ,xn nuqtalarni o‘z ichiga oluvchi kesmadan tashqarida bo‘lsa, bu holda f(x) funksiyani formula (1) bilan taqribiy almashtirish ekstropolasiyalash deyiladi. Agar x i + 1 − x i = ∆ x i = h = const , i = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 bo‘lsa, interpolasiyalash tugunlari teng uzoqlikda yoki teng oraliqda joylashgan deyiladi. Funksiya y=f(x) ning chekli ayirmalari deb, quyidagi ko‘rinishdagi ayirmalarga aytiladi. ∆ yi= yi+1− yi –birinchi tartibli chekli ayirma, ∆2yi= ∆ yi+1− ∆yi —ikkinchi tartibli chekli ayirma, va hokazo, ∆kyi= ∆k−1yi+1− ∆k−1yi —k-tartibli chekli ayirma. Xuddi shu tariqa, indeks I sonning manfiy qiymatlari uchun xam chekli ayirmalar kiritish mumkin: ∆ y − ( i + 1 ) = y − i − y − ( i + 1 ) , ∆ 2 y − ( i + 1 ) = ∆ y − i − ∆ y − ( i + i ) , PAGE \* MERGEFORMAT30$ $∆ k y − ( i + 1 ) = ∆ k − 1 y − 1 − ∆ k − 1 y − ( i + 1 ) . bu formulalarda y i = f ( x i ) = f i (3.1) Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari. Nyutonning birinchi interpolasiyalash formulasi yoki Nyutonning oldinga interpolasiyalash formulasi quyidagi ko‘rinishga esaLn(x)= f0+qΔf 0+q(q−1) 2! Δ2f0+...+q(q−1)...(q−n+1) n! Δnf0. ( 3.2) bu yerda q=(x-x 0 )/h. Formula (2) ning qoldiq hadi Rn(x)=hn+1q(q−1)(q−2)...(q−n) (n+1)! f(n+1)(ξ) , ξ ∈ [x 0 , x n ] formulasi bilan aniqlanadi. Formula (2) y=f(x) funksiyani x ning x 0 nuqtaga yaqin bo‘lgan qiymatlarida interpolasiyalashda, ya’ni q ning qiymati kichik bo‘lganda qo‘llaniladi. Nyutonning ikkinchi interpolasiyalash formulasi yoki Nyutonning orqaga interpolasiyalash formulasi deyiladi. Bu formula Ln(x)= fn+qΔf n−1+q(q−1) 2! Δ2fn−2+...+q(q+1)...(q+n−1) n! Δnf0 (3.3) ko‘rinishga ega, bu erda q=(x-x n )/h. Formula (3) ning qoldiq hadi Rn(x)=hn+1q(q+1)(q+2)...(q+n) (n+1)! f(n+1)(ξ) bo‘yicha aniqlanadi, bu yerda ξ ∈ [x 0 ,x n ]. Nyutonning ikkinchi interpolasiyalash formulasi (3.3) dan x ning qiymati x n nuqtaga yaqin bo‘lganda interpolasiyalashda foydalaniladi. Interpolyatsiyalash amaliy masalalarni hal qilishda qo‘llaniladigan unumli usullardan biri hisoblanadi. Bu usulda acosan ikkita masala qo‘yiladi. 1) Berilgan funktsiyani o‘ziga yaqin funktsiya bilan (mahlum xatolikda) PAGE \* MERGEFORMAT30$ $almashtiriladi. 2) Funksiyaning jadvaldagi qiymatlariga acoslanib, uning analitik ifodasini (ma’lum xatolikda) topiladi. Bu masalalarni hal qilish uchun bir necha usullar mavjuddir. Ko‘phollarda (amaliy masalalarni hal qilishda) funktsiyani ko‘phad bilan almashtirish maqsadga muvofiq bo‘ladi va olingan ko‘phad interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladigan interpolyatsiyalash ko‘phadini qurish usullari bilan tanishamiz. Aytaylik, [ a,b ] kesma biror usul bilan n ta bo‘laklarga bo‘lingan bo‘lib, bo‘linish nuqtalari a=x 0 <x 1 <…<x n =b ko‘rinishda belgilangan bo‘lsin. Bo‘lish natijasida olingan x i ,(i=0,1,2, … n) nuqtalar tugun nuqtalar, tugun nuqtalar to‘’lami  n ={x i i=0, 1, 2,…,n} esa [ a;b ] kesmada kiritilgan to‘r deb yuritiladi. Agar to‘rda, yahni tugun nuqtalarda, f (x) funktsiyaning f (x i )=y i (i=0, 1, 2, …, n) (3.4) qiymatlari mahlum bo‘lsa, uni [ a,b ] kesmada darajasi n dan katta bo‘lmagan P n (x)=a 0 + a 0 x +…+ a n x n ko‘phad bilan almashtirish masalasini qaraylik.Bunda R n ( x i ) = f ( x i ) bo‘lishini talab qilsak, (3.1) ni hisobga olgan holda {a 0 +a 1 x 0 +...+a n x 0 n =y 0,¿{a 0 +a 1 x 1 +...+a n x 1 n =y 1,¿¿¿¿ (3.2) sistemaga ega bo‘lamiz. Demak, R n (x) ko‘phadning koeffitsientlari a 0 , a 1 , …, a n larni (3.2) sistemadan aniqlash kerak ekan. Bu sistema n+1 nomahlumli n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasi ekanligiga va uning aniqlovchi ¿ |1x0...x0 n ¿||1x1...x1 n ¿||..........¿|¿ ¿ ¿ Vandermond determinanti ekanligidan uning yagona yechimi mavjudligi ravshandir. SHunday qilib, qo‘yilgan masala yagona yechimga ega ekanligiga PAGE \* MERGEFORMAT30$ $shubha yo‘q . Bu yerda funktsiyani interpolyatsiyalash ko‘phadi bilan almashtirish natijasida yo‘l qo‘yilganRn(x)= f(x)− Pn(x)(3.5 ) xatolikni baholash muhimligini va bu masala uchun keyinroq interpolyatsiyalash ko‘phadini qurish usullarini har biriga bog‘liq holda hal qilinishini aytib o‘tamiz. Aytaylik, [ a;b ] kesmada  n to‘r kiritilgan bo‘lib, y= f (x) funktsiyaning undagi qiymatlari (3.1) ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Bu yerda interpolyatsiyalash ko‘phadi L n (x) ni qurishning Lagranj usuli bilan tanishamiz. Interpolyatsiyalash masalasini qo‘yilishiga ko‘ra: L n ( x i ) = y i ; ( i = 0 , 1 , 2 , ... , n ) . Bu geometrik jihatdan quyidagi rasmda tasvirlangan 3.1-rasm Avvalo, quyidagi oddiy masalani qaraylik, shunday ko‘phad qurilsinki, u P i ( x i ) = 1 ; P i ( x j ) = 0 ; i j ( 3.6 ) shartlarni qanoatlantirsin. Qurilishi talab qilingan P i (x) ko‘phadlik (3.4) shartga ko‘ra x i i  j nuqtalarda nolga aylanishi kerakligidan Pi(x)= Si(x− x0)… (x− xi− 1)(x− xi+1)… (x− xn) ko‘rinishda olish tabiiydir. Oxirgida x=x i desak, (3.4) shartga ko‘ra Ci= 1 (xi−x0)...(xi−xi−1)(x1−xi+1)...(x1− x0) PAGE \* MERGEFORMAT30$ $kelib chiqadi. Buni hisobga olsak, acosiy masalani, yahni L n (x) ko‘phadni qurish masalasini osongina hal qilish mumkin. Buning uchun L n (x) niLn(x)=∑ i=0 n λiPi(x) ko‘rinishda qidiramiz. Agar oxirgida x=x k desak, Ln(xk)=∑i=0 n λiPi(xi)= λkPi(xk)= λk= yk ekanligidan oxirgi natija Ln(x)=∑i=0 n yiPi(x) yoki Li(x)=∑ i=0 n (x−x0)...(x−xi−1)(x−xi+1)...(x−x0) (xi−x0)...(xi−xi−1)(xi−xi+1)...(xi− x0)yi (3.7) kelib chiqadi va u Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladi. Demak Lagranj interpolyatsiya ko‘phadi (3.5) ni umumiy holda quyidagicha yozishimiz mumkin: L n(x )= ∑ j=0 n y j∏ i≠ j (x− xi) (x j− xi) , (3.7’) Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadi n=3 bo‘lganda quyidagicha yoziladi: L3(x)= y0 (x− x1)(x− x2)(x− x3) (x0− x1)(x0− x2)(x0− x3)+ y1 (x− x0)(x− x2)(x− x3) (x1− x0)(x1− x2)(x1− x3)+ + y2 (x− x0)(x− x1)(x− x3) (x2− x0)(x2− x1)(x2− x3)+ y3 (x− x0)(x− x1)(x− x2) (x3− x0)(x3− x1)(x3− x2) Eng sodda kvadratur formulalar: to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida ko‘rish mumkin. Aytaylik, ∫ ab f ( x ) dx Intedralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda f(x) ≈const bo‘lsa, u vaqtda PAGE \* MERGEFORMAT30$ $∫a b f(x)dx= (b-a) f ¿ ) (4.1) deb olishimiz mumkin. Bu formula to‘g‘ri to‘rtburchak formulasi deyiladi. 4.1-chizma (to‘g‘ri to‘rtburchak formulasining geometrik ma’nosi) Faraz qilaylik, f(x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo‘lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi b-a ga va asoslari f(a) va f(b) ga teng bo‘lgan trapetsiya yuzi bilan almashtirish mumkin, u holda ∫a b f(x)dx = b − a 2 ( f ( a ) + f ( b ) ) (4.2) deb olishimiz mumkin. Bu formula trapetsiya formulasi deyiladi. PAGE \* MERGEFORMAT30 xy ba xb a a ay f(a) f(b)$ $4.2-chizma (terapetsiya formulasining geometrik ma’nosi) F(x) funksiya [a,b] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo‘lsin, u holda ∫a b f(x)dx ni taqribiy ravishda Ox o‘qi, x=a va x=b to‘g‘ri chiziqlar hamda y=f(x) funksiya grafigining absissalari x = a , x = ( a + b ) / 2 va x=b bo‘lgan nuqtalaridan o‘tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuza bilan almashtirish mumkin, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz: ∫a b f(x)dx ≈b−a 6 {f(a)+4∗ f( a+b 2 )+f(b) } (4.3) 4.3-chizma (Simpson formulasining geometrik ma’nosi) Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743-yilda taklif etgan edi. Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko‘rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali P2(x)= a0+a1x+a2x2 Ko‘phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo‘ldik.Simpson formulasi biz kutgandan ko‘ra yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali P3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 ko‘phadlarni ham aniq integrallaydi. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko‘rib chiqdik. Ulardan ikkitasi to‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari – birinchi darajali ko‘phad uchun aniq formula bo‘lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko‘phad uchun aniq formuladir. To‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Ushbu ifoda R n ( f ) = ∫ ab f ( x ) dx − ∑ k = 1n A k ( n) f ( x k ( n)) kvadratur formulaning qoldiq hadi yoki xatosi deyiladi.To‘g‘ri to‘rtburchak formulasining qoldiq hadi R0(f)=∫a b f(x)dx −(b−a)f(a+b 2 ) Bu formulani quyidagicha yozish mumkin: R 0 ( f ) = ( b − a ) 3 24 f } (ε ¿ ( a ≤ ε ≤ b ) (4.4) Trapetsiya formulasining qoldiq hadi: PAGE \* MERGEFORMAT30ay 0 xb(a+b)/2 f(b) f(a)$ $R1(f)= −(b−a)3 12 f”(ε)(a≤ε≤b) (4.5) Simpson formulasining qoldiq hadi: R2(f)= −(b− a)5 2880 fIV(ε)(a≤ε≤b) (4.6) Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko‘rsatadiki, to‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq bo‘lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq formuladir. Interpolyatsion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur formulaning A 1( n ) , A 2( n ) , … , A n( n ) koeffisentlari va x 1( n ) , x 2( n ) , … , x n( n ) tugunlarini yuqori indekssiz A1,A2,… ,An va x 1 , x 2 , … , x n ko‘rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga f ( x ) funksiyaning x 1 , x 2 , … , x n nuqtalaridagi f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , … , f ( x n ) qiymatlari berilgan bo‘lib, maqsad shu qiymatlar bo‘yicha ∫a b f(x)dx integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori aniqlikda topishdan iborat bo‘lsin. Demak, Ak koeffisentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun f(x) ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, (n-1)-darajali ko‘phad bilan interpolyatsiyalaymiz: f(x)= Ln−1(x)+rn(f,x)=∑k=1 n ∏i=1,i≠k n x− xi xk− xi f(xk)+rn(f,x) (4.7) Endi bu tenglikni ρ ( x ) ga ko‘paytirib, a dan b gacha integrallaylik: ∫a b ρ(x)f(x)dx =∫a b ρ(x)Ln−1(x)dx +∫a b ρ(x)rn(f,x)dx Agar bundagi Rn(f)=∫a b ρ(x)f(x)dx −∑k=1 n Akf(xk)=∫a b ρ(x)rn(f,x)dx (4.8) qoldiq hadni tashlasak, ∫ ab ρ ( x ) f ( x ) dx ≈ ∑ k = 1n A k f ( x k ) , A k = ∫ ab ρ ( x ) ∏ i = 1 , i ≠ kn x − x i x k − x i dx (4.9) kvadratur formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula qurilish usuliga ko‘ra interpolyatsion kvadratur formula deyiladi. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $Ko‘rib o‘tganimizdek, ya’ni uchta kvadratur formulalar to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya, Simpson kvadratur formulalar aniq integarallarni taqribiy hisoblash uchun qo‘llaniladi. Bulardan to‘g‘ri to‘rtburchak va trpetsiya formulalari birinchi darajali ko‘phadlar uchun aniq hisoblasa, Simpson formulasi esa, uchinchi darajali ko‘phadni aniq hisoblaydi. Simpson formulasi biz kutgandan ko‘ra yaxshiroq formuladir. Interpolyatsion kvadratur formulalar bilan tanishdik. Endi bu formulalar ya’ni to‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya, Simpson formulalarning dasturlarini Mathcad dasturlash tilida yechimini va qoldiq hadini ya’ni xatosini ko‘ramiz. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $2.2. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishning Matlab dasturidagi tadbig’i. Quyida splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishga oid misollarni Matlab dasturi orqali ko’rib chiqamiz: Misol 1: Sinus Funktsiyasini Yaqinlashtirish Funksiya: ?????? ( ?????? )=sin( ?????? ) % Berilgan nuqtalar x = [0, pi/2, pi, 3*pi/2, 2*pi]; % x nuqtalari y = sin(x); % sin(x) funktsiyasining qiymatlari % Splayn yordamida yaqinlashtirish xx = linspace(0, 2*pi, 100); % Yana qo'shimcha nuqtalar yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash % Grafikni chizish figure; plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Original Points'); % Berilgan nuqtalar hold on; plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Spline Approximation'); % Splayn grafiki hold off; % Grafikni sozlash title('Splayn yordamida sin(x) funksiyasini yaqinlashtirish'); xlabel('x'); ylabel('f(x) = sin(x)'); legend show; grid on; axis tight; PAGE \* MERGEFORMAT30$ $Misol 2: Polinomial Funktsiyani Yaqinlashtirish f(x)=x^3 −6x^2 +9x % Berilgan nuqtalar x = [0, 1, 2, 3, 4]; % x nuqtalari y = x.^3 - 6*x.^2 + 9*x; % f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x funktsiyasining qiymatlari % Splayn yordamida yaqinlashtirish xx = linspace(0, 4, 100); % Yana qo'shimcha nuqtalar yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash % Grafikni chizish figure; plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Original Points'); % Berilgan nuqtalar hold on; plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Spline Approximation'); % Splayn grafiki hold off; % Grafikni sozlash title('Splayn yordamida f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x funksiyasini yaqinlashtirish'); xlabel('x'); ylabel('f(x)'); legend show; grid on; axis tight; PAGE \* MERGEFORMAT30$ $Misol 3: Eksponential Funktsiyani Yaqinlashtirish Funktsiya: ?????? ( ?????? )= ?????? ^ ?????? % Berilgan nuqtalar x = [0, 1, 2, 3, 4]; % x nuqtalari y = exp(x); % f(x) = e^x funktsiyasining qiymatlari % Splayn yordamida yaqinlashtirish xx = linspace(0, 4, 100); % Yana qo'shimcha nuqtalar yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash % Grafikni chizish figure; plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Original Points'); % Berilgan nuqtalar hold on; plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Spline Approximation'); % Splayn grafiki hold off; % Grafikni sozlash title('Splayn yordamida f(x) = e^x funksiyasini yaqinlashtirish'); xlabel('x'); ylabel('f(x)'); legend show; grid on; axis tight; PAGE \* MERGEFORMAT30$ $Misol 4: Eksperimental Ma'lumotlarni Yaqinlashtirish Ushbu misolda vaqt va tezlik o'rtasidagi aloqani aks ettiruvchi eksperimental ma'lumotlarni splayn yordamida yaqinlashtiramiz. Berilgan nuqtalar:(0, 0)(1, 2)(2, 4)(3, 3)(4, 5) % Berilgan nuqtalar x = [0, 1, 2, 3, 4]; % Vaqt (s) y = [0, 2, 4, 3, 5]; % Tezlik (m/s) % Splayn yordamida yaqinlashtirish xx = linspace(0, 4, 100); % Yana qo'shimcha nuqtalar yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash % Grafikni chizish figure; plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Original Points'); % Berilgan nuqtalar hold on; plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Spline Approximation'); % Splayn grafiki hold off; % Grafikni sozlash title('Splayn yordamida eksperimental ma\'lumotlarni yaqinlashtirish'); xlabel('Vaqt (s)'); ylabel('Tezlik (m/s)'); legend show; grid on; axis tight; PAGE \* MERGEFORMAT30$ $Misol 5: Fizik jarayonlarni modellashtirish Bu misolda fizik jarayonlarni modellashtirish uchun, harorat va vaqt o'rtasidagi bog'lanishni splayn yordamida yaqinlashtiramiz. Masalan, biror jismining haroratining vaqt o'tishi bilan o'zgarishini ko'rib chiqamiz. % Berilgan nuqtalar x = [0, 1, 2, 3, 4]; % Vaqt (soat) y = [20, 25, 30, 28, 22]; % Jismining harorati (°C) % Splayn yordamida yaqinlashtirish xx = linspace(0, 4, 100); % Yana qo'shimcha nuqtalar yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash % Grafikni chizish figure; plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Original Points'); % Berilgan nuqtalar hold on; plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Spline Approximation'); % Splayn grafiki hold off; % Grafikni sozlash title('Splayn yordamida jismining haroratini modellashtirish'); xlabel('Vaqt (soat)'); ylabel('Jismining harorati (°C)'); legend show; grid on; axis tight; PAGE \* MERGEFORMAT30$ $XULOSA Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish, matematik modellashtirish va ma'lumotlarni tahlil qilishda muhim o'rin egallaydi. Ushbu usul, asosan, murakkab va noaniq funksiyalarni oddiyroq shaklda ifodalash imkoniyatini taqdim etadi. Splaynlar, polinomlar yordamida segmentlarga bo'lingan funksiyalarni ifodalashda qo'llaniladi va bu jarayon funksiyaning har bir segmentida yuqori aniqlikni ta'minlaydi. Splaynlar, masalan, kubik splaynlar, ikki yoki undan ortiq nuqtalarda bog'langan segmentlar sifatida ishlaydi. Ular, har bir segmentda polinomdan foydalanish orqali, ma'lum bir nuqtalarda uzluksizlik va birinchi hosilalarni saqlab qoladi. Bu splaynlarning birinchi afzalligi sifatida ko'rish mumkin. Ushbu xususiyat, splaynlar yordamida yaqinlashtirilgan funksiyalarni nafaqat aniqlik, balki estetik jihatdan ham qulay qiladi. Splaynlarning yana bir muhim afzalligi — ularning lokal xususiyatlari. Har bir segmentda faqat o'sha segmentga ta'sir ko'rsatadigan nuqtalar mavjud bo'lib, bu esa barcha funktsional maydonni o'zgartirmasdan, faqat kerakli joylarda o'zgarishlar kiritish imkonini beradi. Ushbu xususiyat, splaynlar yordamida funksiyalarni modellashtirishni yanada osonlashtiradi va hisoblash jarayonini tezlashtiradi. MATLAB dasturi, splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish uchun juda qulay muhit taqdim etadi. MATLABda splaynlar bilan ishlash uchun turli xil funksiyalar mavjud. Masalan, spline funksiyasi, berilgan nuqtalar bo'yicha splaynni yaratish uchun ishlatiladi. Bu funktsiya, ma'lumotlarning uzluksizligini ta'minlaydigan polinomlarni avtomatik tarzda yaratadi. MATLAB yordamida splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish jarayonida, dasturchilar kerakli nuqtalarni belgilab, ushbu nuqtalar bo'yicha splaynni qurishlari mumkin. Olingan splayn, grafikda ko'rsatilishi mumkin, bu esa ma'lumotlarni vizualizatsiya qilishda yordam beradi. Vizualizatsiya jarayoni, tadqiqotchilar va foydalanuvchilarga o'z natijalarini yanada intuitiv tarzda tushunish imkonini beradi. Splaynlar, ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Ularning asosiy qo'llanishlaridan biri — muhandislik. Muhandislikda, splaynlar yordamida konstruktsiyalar va tizimlarning modellashtirilishi, loyihalash jarayonlarini osonlashtiradi. Masalan, mexanik PAGE \* MERGEFORMAT30$ $tizimlar yoki elektr tizimlarida splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish orqali, turli xil xususiyatlarni aniqlash mumkin. Bundan tashqari, statistika va iqtisodiyot sohalarida ham splaynlar keng qo'llaniladi. Ma'lumotlar tahlil qilish jarayonida, splaynlar yordamida turli xil iqtisodiy ko'rsatkichlarni yaqinlashtirish va ularni kelajakdagi prognozlar uchun ishlatish mumkin. Ushbu jarayon, iqtisodiy tahlillarni yanada aniq va ishonchli qiladi. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish jarayoni, nafaqat matematik nazariyaga, balki amaliyotga ham katta ta'sir ko'rsatadi. Ushbu usul, ma'lumotlarni qayta ishlash va tahlil qilishda samaradorlikni oshiradi. Splaynlar yordamida yaratilgan modellar, o'zining yuqori aniqligi va moslashuvchanligi bilan turli sohalarda keng qo'llanilmoqda. MATLAB dasturida splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish, ilmiy tadqiqotlar va amaliy muammolarni yechishda yangi imkoniyatlar ochadi. Bu esa, splaynlar metodini yanada rivojlantirish va qo'llash uchun zarur bo'lgan ilmiy va amaliy ishlanmalarga olib keladi. Shu bilan birga, splaynlar yordamida yana ko'plab muammolarni hal qilish imkoniyatlari mavjud. Masalan, murakkab funktsiyalarni yaxshiroq tushunish uchun, tadqiqotchilar yangi splayn turlarini ishlab chiqishlari va ularni amaliyotda qo'llashlari mumkin. Bu esa, o'z navbatida, matematik modellashtirish va ma'lumotlarni tahlil qilish jarayonlarini yanada rivojlantiradi. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish, zamonaviy ilm-fan va texnologiyalarning rivojlanishida muhim rol o'ynaydi va bu jarayon, kelajakda yanada ko'proq tadqiqotlar olib borish uchun keng imkoniyatlar yaratadi. PAGE \* MERGEFORMAT30$ $FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. Hisoblash usullari: o‘quv qo‘llanma / G.P.Ismalullayev. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus taTim vazirligi. T.: «Tafakkur Bo‘stoni, 2014. —240 b. 2. Исроилов. М.И. Ҳисоблаш методлари. Тошкент, Ўқитувчи, 1- қисм, 2003, 2-қисм, 2008 3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М., Наука. 1989. 4. Алоев Р.Д., Худойберганов М.У. Ҳисоблаш усуллари курсидан лаборатория машғулотлари тўплами. УзМУ.Ўқув қўлланма. 2008 й.110б. 5. Исматуллаев Т.П., Косбергенова М.С. Ҳисоблаш усуллари. “Тафаккур- бўстони” Тошкент 2014 6. Ф.В.Зенков. Численные методы. Учебн. пособ. Екатеринбург. Издательство Уралского университета- 2016 г. 7. Исматуллаев Ғ.П., ЖураевГ.У. Ҳисоблаш усулларидан методик қўлланма. Тошкент, Университет. 2007 8. AbdirashidovA.BabayarovA.I.Hisoblashusullari1-qism2018 - 2023- 11-08T092420.206.pdf 9 . Д.Кирьянов, Mathcad 15/. Mathcad Prime 1.0. Санк-Петербург «БХВ- Петербург» 2012 г. 10. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari, 1. Toshkent, O'qituvchi, 2000. 11. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. 2-qism. - T.: « O‘qituvchi, 2008. Internet sayt ro‘yxatlari. 1. www.exponenta.ru 2. www.lochelp.ru . PAGE \* MERGEFORMAT30$

Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashish

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashish

O'xshash dokumentlar