Stoks formulasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	40000UZS
Hajmi	1.7MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	06 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Stoks formulasi

Sotib olish

MAVZU: STOKS FORMULASI
MUNDARIJA:
Kirish……………………………………………………………………..……...…3
1-§. Sirt integrali ………………………………………………………….....…….5
2-§. Sirt integralini hisoblash ……………………………………………..……....8
3-§. Stoks va Ostrogradskiy formulalari………………………..……….…….…12
4-§. Grin formulasi va uning tatbiqlari ………………………..……….…………20
Misollar…………………………………………………………………….……..26
Xulosa…………………………………..………………………………….……...43
Foydalanilgan adabiyotlar……………………….…………….………………….44

KIRISH
Davlat ta’lim standarti o’quvchilarning har biriga ta’lim olishda keng
imkoniyatlarni yaratib berish,har birining yuqori natijaga erishishlarini
rag’batlantirish va shu orqali o’quv – biluv jarayonining farqli tashkil etilishini
ta’minlash uchun da’vat etilgan
Yuqorida aytilgan mezon va talablarga rioya qilgan holda.
Respublikamizda, zamonaviy bilim malaka va ko’nikmalarga ega va yosh avlodni
tarbiyalashda zamonaviy metod va uslublardan foydalana oladigan yetuk kadrlar
tayyorlash dolzarb vazifalardan hisoblanadi.
Shu borada, hech shubhasiz, o’z vaqtida, ya’ni bundan 20-yil oldin Kadrlar
tayyorlash va shuningdek, maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy dasturlarni
qabul qilganimiz ta’lim - tarbiya sohasida eski qolip va asoratlardan holi bo’lgan,
bugun o’zgalarning havasini tortayotgan yangi tizimni hayotimizda tadbiq
etganimiz haqiqatdan ham tarixiy bir voqea bo’ldi, desak, adashmagan bo’lamiz.
Buning natijasida mustaqil va yangicha fikrlaydigan, zamon talabiga javob
beradigan avlodni shaklantirishga erishdik, Vatanimizning ertangi kunini, taqdirini
o’z qo’liga olishga qodir bo’lgan farzndlarimiz bugun minbarga chiqmoqda.
Ma’lumki, Davlat ta’lim standartlarida uzluksiz ta’lim tizimining har bir
mustaqil ta’lim turi boshqa ta’lim turlari va bosqichlari bilan uzluksizlik va
uzviylik tamoyillariga asosan bog’lanishi ko’zada tutilgan.Shu o’rinda har bir
ta’lim turi va bosqichi o’ziga xos xususiyatlarga ega bo’lib, oldingisidan
keyingisiga o’tishda ta’lim jarayoni samarali kechishi uchun o’qituvchi va
o’quvchidan alohida tayyorgarliklarni talab etishi aniq. Bunday muammolar asosan
o’rta maxsus, kasb – hunar va oliy ta’lim muassasalar o’rtasidagi ta’lim mazmuni
va jarayonini tashkil etishdagi uzluksiz va uzviylik masalasini hal etishda
mavjuddir. Bu borada matematika fani katta imkoniyatlarga ega. Shunday ekan,
matematika fani izchil, bosqichma – bosqich boshqa fanlar bilan aloqadorlikda
o’rganish o’quvchilar mustaqil fikrlash qobiliyatini o’stirishga yordam beradi.
Respublikamizda matematika fani asoslari turli bosqichlarda faoliyat
3

ko’rsatayotgan ta’lim muassasalarining ta’lim mazmuniga mos ravishda
o’quvchilarning psixologik va pedagogok xususiyatlariga muvofiq muayyan
`izchillikni o’rnatish fanlar, boblar, mavzular, o’quv materiallari orasida uzviylikni
ta’minlash asosida amalga oshiriladi. Shunday ekan, matematika fani asoslarini
yorituvchi kurslar o’rtasida uzviylikni ta’minlash, o’quv materiallarini turli
bosqich ta’lim muassasalari o’quvchilarining yosh xususiyatlariga mos holda
tanlash, ularning muayyan mantiqiy ketma – ketlik, fanlararo uzviylik hamda
izchillik asosida joylashtirish, o’quv jarayonida uzviylik tamoyilining yetakchi
o’rin tutishiga erishish va bu holatni pedagogik jihatdan asoslash muammosini
yuzaga keltiradi.
Kurs ishining mavzusining dolzarbligi: stoks formulasi bu egri chiziqli
integrallarni o’rganishda hamda egri chiziqli integrallarni ikki va uch o’lchovli
soha integrallarga o’tishda muhim ahamyatga ega. Ko’pincha matematik analiz va
matematik fizika tenglamalarini yechishda ikki o’lchovli va uch o’lchovli soha
bo’yicha integrallarni yechish biroz qiyinchilik tug’diradi, stoks formulalari esa bu
integrallarni shu egri chiziqli sohaning chegarasi boyicha integrallarga otishga
yordam beradi.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Amaliyotda eng ko’p uchraydigan
integrallar bu bir o’zgaruvchili integrallar hisoblanadi. Boshqa integrallar ma’lum
shartlar ostida bu integrallash qoidasiga bo’ysinadi. Shuning uchun egri chiziqli
soha bo’yicha integrallarni o’rganish uchun egri chiziqli integrallarning o’zini
yaxshi bilish muhim hisoblanadi. Ular jumlasiga Stoks va Grin formulalarini
o’rganish kiradi.
4

1-¿ . Sirt integrali
Oxyz to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida biror V soha berilgan
bo’lsin. Bu Vsohada biror
λ fazoviy chiziq bilan chegaralangan σ sirt berilgan
bo’lsin.
Biz
σ sirtga nisbatanuning har bir P nuqtasidagi normalning musbat yo’nalishi
n(P) birlik vector yo’naltiruvchi kosinuslari sirt nuqtalari koordinatalarining
uzluksiz funksiyalari deb faraz qilamiz.
Sirtning har bir nuqtasida
F= X (x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k
vector aniqlangan bo’lsin, bunda X,Y,Z koordinatalarning uzluksiz funksiyalaridir.
Sirtni biror usul bilan
∆σi elementar yuzlarga bo’lamiz. Har bir yuzda
ixtiyoriy P
i nuqtani olamiz va
∑
i ( F ( P
i ) n ( P
i ) ) ∆ σ
i ( 2. 1.1 )
yig’indini qaraymiz, bunda F
( P
i ) − F
vektorning ∆σi yuzning P
i nuqtadagi qiymati,
n
( P ) − ¿
shu nuqtadagi narmalning birlik vektori, Fn − ¿ shu vektorlarning sikalyar
ko’paytmasi. Barcha bunday yuzlarning diametrlari nolga intilgandagi hamma ∆ σ
i
yuzlarga tadbiq etilgan (1.1) yig’indining limiti sirt integrali deb ataladi va ushbu
∬
σ❑
Fn dσ
simvol bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra
lim
diam ∆ σ
i → 0 ∑ F
i n
i ∆ σ
i =
∬
σ❑
Fn dσ . ( 2.1 .2 )
(2.1.1) yig’indining har bir
6

Fini∆σi= Fi∆σicos (ni,Fi)(2.1 .3)qo’shiluvchisini mexanik jihatdan: asosi
∆σi va balandligi F
i cos ( n
i , F
i )
bo’lgan
silindirning hajmiga teng deb tushinish mumkin.
2.1.1-rasm
Agar F vector σ
sirtdan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezligi bo’lsa, (3) ko’paytma
∆ σ
i yuzdan vaqt birligida
ni vektor yo’nalishida oqib o’tgan suyuqlikning
miqdoriga teng (2.1.1-rasm).
Agar F vector suyuqlikning berilgan nuqtadagi oqish tezligi deb tushunilsa,
∬σ
❑
Fn dσ
ifoda vaqt birligida
σ sirt oprqali musbat yo’nalishda oqib o’tuvchi
suyuqlikning umumiy miqdorini bildiradi. Shuning uchun sirt integrali (2)
σ sirt
orqali o’tuvchi F vector maydonning oqimi deb ataladi.
Sirt integralining ta’rifidan, agar
σ sirt σ1,σ2,σ3,...,σk qismlarga bo’linsa, u
vaqtda
∬
σ❑
Fn dσ =
∬
σ
1❑
Fn dσ +
∬
σ
2❑
Fn dσ +
∬
σ
3❑
Fn dσ + … +
∬
σ
k❑
Fn dσ
ekanligi chiqadi.
7

2.1.2-rasm
n birlik vektorni uning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari orqali
ifodalaymiz:
n = cos( n , x ) i + cos ( n , y ) j + ¿ cos ( n , z ) k . ¿
F va n vektorlarning proeksiyalari orqali ifodalarini (2) integralga qo’yib mana
buni hosil qilamiz:
∬
σ❑
Fn dσ =
∬
σ❑
¿ ¿
∆ σ cos
( n , z )
ko’paytma ∆ σ
yuzning Oxy tekislikdagi proeksiyasidir (2.1.2-
rasm). Shu kabi muhokama quydagi ko’paytmalar uchun ham to’g’ridir.
∆ σ cos
( n , x ) = ∆ σ
yz ,
∆ σ cos
( n , y ) = ∆ σ
xz '
∆ σ cos
( n , z ) = ∆ σ
xy , } ( 2.1 .4 )
bu yerdagi
∆σyz,∆σxz,∆σxy lar ∆σ yuzning koordinata tekisliklaridagi proeksiyalari.
Bunga asosan (2’) integralni boshqacha shakilda ham yozsa ham bo’ladi:
∬
σ❑
Fn dσ =
∬
σ❑
¿ ¿
8

¿∬σ
❑
Xdydz +Ydzdx +Zdxdy .(2.1 .2 '')9

2−¿.Sirt integralini hisoblash Egri sirt bo’yicha olingan integralni hisoblash
tekis soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralni hisoblashga keltiriladi.
Masalan, ushbu
∬
σ❑
Z cos ( n , z ) dσ
integralni hisoblash usulini ko’rsatamiz.

σ sirt shunday bo’lsinki, Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq uni bitta
nuqtada kesib o’tsin. Bu holda sirtning tenglamasini quydagi shakilda yozish
mumkin:
z = f
( x , y ) .
σ
sirtning Oxy tekislikdagi proeksiyasini D bilan belgilasak (sirt
integralining ta’rifiga asosan):
∬
σ❑
Z ( x , y , z ) cos ( n , z ) dσ = lim
diam ∆ σ
i → 0 ∑
i = 1n
Z ( x
i , y
i , z
i ¿ ¿ ) cos
( n
i , z ) ∆ σ
i . ¿ ¿
So’ngra 2.1-paragrafdagi (2.1.4) formulaning oxirgisini hisobga olib, quydagini
hosil qilamiz:
∬
σ❑
Z cos ( n , z ) dσ = lim
diam ∆ σ
xy → 0 ∑
i = 1n
Z ( x
i , y
i , f ( ¿
¿ x
i , y
i ) ) ¿ ¿ ¿
¿ ± lim
diam ∆ σ
xy → 0 ∑
i = 1n
Z ( x
i , y
i , f ( ¿
¿ x
i , y
i ) ) ∨ ∆ σ
xy ¿
i , ¿ ¿
oxirgi ifoda esa
Z=(x,y,f(x,y)) funksiyadan D soha bo’yicha olingan ikki
o’lchovli integralning integral yig’indisidir. Shuning uchun
∬
σ❑
Z cos ( n , z ) dσ = ±
∬
D❑
Z =
( x , y , f ( x , y )) dxdy .
10

Agar cos ( n , z ) ≥ 0
bo’lsa, ikki o’lchovli integral oldida plyus ishora, agar cos (n,z)≤0
bo’lsa, minus ishora olinadi.
Agar
σ sirt shu paragrafning boshida ko’rsatilgan shartni qanoatlantirmasa,
sirtni shu shartni qanoatlantiradigan qismlarga bo’linadi va har bir qism bo’yicha
ayrim integral olinadi.
Ushbu
∬
σ❑
X cos ( n , x ) dσ ;
∬
σ❑
Y cos ( n , y ) dσ
integrallar ham shuning singari hisoblanadi.
Qilgan isbotimiz, sirt integralini 2.1-panarafdagi (2.1.2’’) shakilda
yozishning to’g’ri ekanligini tasdiqlaydi.
Bunda (2.1.2’’) tenglikning o’ng tamonini σ
sohaning mos proeksiyalari bo’yicha
olingan ikki o’lchovli integralning yig’indisi deb qarash mumkin, bu yerda ikki
o’lchovli integralning ishoralarini (yoki boshqacha aytganda dydz ,
dxdz , dxdy
ko’paytmalarning ishoralari) yuqorida ko’rsatilgan qoidaga muvofiq olinadi.
11

3-&.Stoks va Ostrogradskiy formulalari
1 0
. Stoks formulasi. Fazoda ushbu z= z(x,y)
(1)
(1) tenglama bilan aniqlangan
S sirtni qaraylik. Uning XOY tekislikdagi
proeksiyasi
D to‘plamni (shaklni) hosil qilsin. S sirt va D shakl ning
chegaralovchi yopiq chiziqlarni (kontur larni) mos ravishda
∂S va ∂D deylik.
Ravshanki,
∂S ning proeksiyasi ∂D bo‘ladi.
Sirt tomoni va konturi yo‘nalishlari uning proeksiyalari yo‘nalish lari orasi -
dagi muvofiqlik 62 - chizmada keltirilgan.
62 -chizma
Aytaylik, (1) tenglamadagi
z= z(x,y) funksiya D to‘plamda uzluksiz va
uzluksiz
zx
'(x,y), zy
'(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘lsin.
Faraz qilaylik,
S sirtda P= P(x,y,z) funksiya aniqlangan bo‘lib, u uzluksiz
va uzluksiz
∂P(x,y,z)
∂x
,

∂P(x,y,z)
∂y
, ∂P(x,y,z)
∂z
xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ravshanki, bunday holda ushbu
12

∫
∂S
P(x,y,z)dxegri chiziqli ushbu integral mavjud bo‘ladi. Bunda
∂S kontur yo‘nalishning sirt
tomoni bilan muvofiqligi 29-chizmada ifodalangan.
Modomiki,
∂S kontur S sirtga tegishli ekan, unda ∂S ning nuqtalari
z= z(x,y)
tenglamani qanoatlantiradi. Binobarin, ∂S da P= P(x,y,z) funksiya
P= P(x,y,z(x,y))
bo‘lib, u D da berilgan ikki o‘zgaruvchili funksiyaga aylanadi.
Shuning uchun
∫
∂S
P(x,y,z)dx = ∫
∂S
P(x,y,z(x,y))dx
(2)
bo‘ladi.
Grin formulasi (qaralsin, 93-ma’ruza) dan foydalanib topamiz:
∫
∂S
P(x,y,z)dx =−∬
D
∂
∂y
(P(x,y,z(x,y))dxdy
.
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral ostidagi xususiy hosila quyidagicha
∂P(x,y,z(x,y))
∂y
+∂P(x,y,z(x,y))
∂z
⋅zy
'(x,y)
bo‘lib,
∫
∂S
P(x,y,z(x,y))dx =−∬
D
(∂P(x,y,z(x,y))
∂y + ∂P(x,y,z(x,y))
∂z ⋅zy
'(x,y))dxdy
bo‘ladi.
Ma’lumki,
S sirtning ustki tomoni qaralganda uning n
→ normalining
yo‘naltiruvchi kosinuslari
cos α= −
zx
'(x ,y )
√1+ zx
'2
+ zy
'2
, cos β= −
zy
'(x ,y )
√ 1+ zx
'2
+ zy
'2 , cos γ= 1
√1+ zx
'2
+ zy
'2
13

bo‘ladi. Bu munosabatlardancos β
cos γ
= − zy
'(x,y)
bo‘lishi kelib chiqadi. Natijada
∫
∂S
P(x,y,z(x,y))dx =−∬
D
(∂P(x,y,z(x,y))
∂y − ∂P(x,y,z(x,y))
∂z ⋅cos β
cos γ )dxdy
(3)
bo‘ladi.
Endi keyingi tenglikdagi ikki karali integralni avvalgi ma’ruza da keltirilgan
∫
∂S
f(x,y,z)dx dy =∬
D
f(x,y,z(x,y))dxdy
formuladan foydalanib ikkinchi tur sirt integrali orqali quyidagicha
∬
D
(∂P(x,y,z(x,y))
∂y
−∂P(x,y,z(x,y))
∂z
⋅cos β
cos γ
)dxdy =
¿∬
S
(∂P(x,y,z)
∂y
−∂P(x,y,z)
∂z
⋅cos β
cos γ
)dxdy
(4)
yozib olamiz. So‘ng bu ikkinchi tur sirt integrali uchun, birinchi va ikkin chi tur sirt
integrallarini o‘zaro bog‘lovchi ushbu
∬
S
f(x,y,z)dzdx =∬
S
f(x,y,z)cos βdS
(5)
∬
S
f(x,y,z)dxdy =∬
S
f(x,y,z)cos γdS
formulalarga ko‘ra
∬
S
(∂P(x,y,z)
∂y
−∂P(x,y,z)
∂z
⋅cos β
cos γ
)cos γdxdy =
¿∬
S
(∂P(x,y,z)
∂y
⋅cos γds −∬
S
∂P(x,y,z)
∂z
⋅cos β)dS
(6)
14

bo‘lib, bu tenglikdagi birinchi tur sirt integrallari yana (5) for mu la lar ga binoan∬
S
∂P(x,y,z)
∂y
cos γdS =∬
S
(∂P(x,y,z)
∂y
dxdy ,
∬
S
∂P(x,y,z)
∂z
cos βdS =∬
S
(∂P(x,y,z)
∂z
dzdx
(7)
bo‘ladi. Yuqoridagi (2), (3), (4), (6) va (7) munosabatlardan
∫
∂S
P(x,y,z)dx =∬
S
∂P(x,y,z)
∂z dzdx − ∂P(x,y,z)
∂y dxdy
(8)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o‘xshash
S sirt va unda aniqlangan Q(x,y,z) , R(x,y,z)
funk siyalar uchun tegishli shartlarda
∫
∂S
Q(x,y,z)dy = ∬
S
∂Q(x,y,z)
∂x
dxdy −∂Q(x,y,z)
∂z
dydz ,
∫
∂S
R(x,y,z)dz = ∬
S
∂R(x,y,z)
∂y
dydz −∂R(x,y,z)
∂x
dzdx
(9)
bo‘lishi ko‘rsatiladi.
(8) va (9) tengliklarni hadlab qo‘shib topamiz:
∫
∂S
P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz =
=∬
S [
∂Q (x,y,z)
∂x
−∂P(x,y,z)
∂y ]dxdy +
+[
∂R(x,y,z)
∂y
− ∂Q(x,y,z)
∂z ]dydz +
(10)

+[
∂P(x,y,z)
∂z − ∂R(x,y,z)
∂x ]dzdx .
(10) formula Stoks formulasi deyiladi.
15

Stoks formulasi S sirt bo‘yicha olingan sirt integralini shu sirt ning chegarasi
∂S
yopiq egri chiziq bo‘yicha olingan egri chiziqli integ ral ora sidagi bog‘lanishni
ifodalaydi.
2 0
. Ostrogradskiy formulasi . Bu formula fazoda chega ra langan jism
(to‘plam) bo‘yicha olingan uch karrali integralni shu jismni o‘rab turuvchi yopiq
sirt bo‘yicha olingan sirt integrali bilan bog‘lanishini ifodalaydi.
Aytaylik,
V to‘plam ushbu
z= z1(x,y)
, z= z2(x,y)
sirtlar hamda yasovchilari
OZ o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bilan
chegaralangan to‘plam bo‘lib, bu silindrik sirtning
XOY tekislikdan ajrat gan qismi
D
to‘plamni ifodalasin. Bunda
∀ (x,y)∈D
uchun
z1(x,y)≤ z2(x,y)
deylik. Bu holda
V jismni o‘rab turgan S sirt z= z1(x,y) - tenglama bilan
aniqlangan
S1 sirt,
z= z2(x,y)
tenglama bilan aniqlangan
S2 sirt va yasovchilari OZ o‘qiga parallel, yo‘nal ti ruv -
chi lari
∂D bo‘lgan silindrik sirt S3 dan iborat bo‘ladi. ( 6 3-chizma)
6 3-chizma
16

Aytaylik, V da R(x,y,z) funksiya aniqlangan bo‘lib, u V da uzluksiz va
uzluksiz
∂R(x,y,z)
∂z xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Bu holda
∂R(x,y,z)
∂z funksiya -
ning
V to‘plam bo‘yicha uch karrali integ rali mavjud bo‘lib, 8 7- ma’ruzada kelti ril -
gan formulaga ko‘ra
∭
V
∂R(x,y,z)
∂z dxdydz =∬
D ( ∫
z1(x,y)
z2(x,y)
∂R(x,y,z)
∂z dz )dxdy
bo‘ladi. Ravshanki,
∫
z1(x,y)
z2(x,y)
∂R(x,y,z)
∂z dz = R(x,y,z2(x,y))− R(x,y,z1(x,y)).
Demak,
∭
V
∂R(x,y,z)
∂z dxdydz =∬
D
R(x,y,z2(x,y))dxdy −∬
D
R(x,y,z1(x,y))dxdy .
(11)
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi ikki karrali integral larni sirt integrallari
orqali yozamiz:
∬
D
R(x,y,z2(x,y))dxdy =∬
S2
R(x,y,z)dxdy
, (12)
∬
D
R(x,y,z1(x,y))dxdy =∬
S1
R(x,y,z)dxdy
. (13)
(12) da integral
S2 sirtning ustki tomoni bo‘yicha, (13) da esa integ ral S1
sirtning ostki tomoni bo‘yicha olingan. Ravshanki,
∬
S3
R(x,y,z)dxdy =0
(14)
Yuqoridagi (11), (12), (13) va (14) munosabatlardan
17

∭
V
∂R(x,y,z)
∂z dxdydz =∬
S1
R(x,y,z)dxdy +∬
S2
R(x,y,z)dxdy +
+∬
S3
R(x,y,z)dxdy =∯
S
R(x,y,z)dxdy (15)
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi yopiq sirt bo‘yicha integral
S ning tashqi
tomoni bo‘yicha olingan.
Xuddi shunga o‘xshash fazoda
V to‘plam (jism), uni o‘rab turuvchi S sirt
va
V da berilgan P(x,y,z) , Q(x,y,z) funksiyalar uchun tegishli shartlarda
∭
V
∂P(x,y,z)
∂x
dxdydz =∯
S
P(x,y,z)dydz ,
∭
V
∂Q (x,y,z)
∂y
dxdydz =∯
S
Q(x,y,z)dxdz
(16)
bo‘lishi ko‘rsatiladi.
(15) va (16) tengliklarni hadlab qo‘shib topamiz:
∭
V (
∂P(x,y,z)
∂x +∂Q(x,y,z)
∂y +∂R(x,y,z)
∂z )dxdydz =
¿∯
S
P(x,y,z)dydz +Q (x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy .
(17)
(17) formula Ostrogradskiy formulasi deyiladi.
Eslatma. Biz yuqorida Ostrogradskiy formulasini maxsus to‘plam
V uchun
keltirib chiqardik. Agar qaraladigan to‘plam umumiy roq bo‘lib, uni chekli sondagi
yuqoridagi
V kabi to‘plamlarga ajratish mumkin bo‘lsa, bunday to‘plam uchun
ham Ostrogradskiy formulasi o‘rinli bo‘ladi.
Mashqlar
1. Stoks formulasini quyidagicha
18

∮
∂S
P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz =
=∯
S {(
∂Q (x,y,z)
∂x
−∂P(x,y,z)
∂y )cos α+(
∂R(x,y,z)
∂y
−∂Q(x,y,z)
∂z )cos β+
+(
∂P(x,y,z)
∂z
−
∂R(x,y,z)
∂x )cos γ}dSham yozish mumkinligi ko‘rsatilsin.
2. Ostrogradskiy formulasini quyidagicha
∭
V (
∂P (x,y,z)
∂x
+∂Q (x,y,z)
∂ y
+∂ R(x,y,z)
∂ z )dxdydz =
¿∯
S
(P (x,y,z)cos α+Q (x,y,z)cos β+R (x,y,z)cos γ)dS
ham yozish mumkinligi ko‘rsatilsin.
19

4-§ Grin formulasi va uning tatbiqlari
1 0
. Grin formulasi. Tekislikda ushbu y= y1(x),y= y2(x)
(a≤ x≤ b,y1(x)≤ y2(x))
hamda
x= a,x= b
chiziqlar bilan chegaralangan
D1 to‘p a mni olaylik, bunda y1(x) va y2(x) funk -
siya lar
[a,b] da uzluksiz. ( 5 1-chizma)
51-chizma
Ravshanki,
D1 ning chegarasi (kontori) ∂D1 quyidagi I, II, III, IV chiziq -
larga ajraladi (bunda
ΙΙ va ΙV chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin).
Aytaylik,
D = D1∪ ∂D1 da P(x,y) funksiya uzluksiz bo‘lib, u uzluksiz
∂P(x,y)
∂y
xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Ushbu
∫
∂D1
P(x,y)dx
egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha
∫
∂D1
P(x,y)dx =∫
I
P(x ,y)dx +∫
II
P(x,y)dx +∫
III
P(x,y)dx +∫
IV
P(x ,y)dx
yozib olamiz.
ΙΙ va ΙV chiziqlar OX o‘qiga perpendikulyar bo‘l gan ligi sababli
∫
II
P(x,y)dx =∫
IV
P(x ,y)dx =0
bo‘lib,
∫
∂D1
P(x,y)dx =∫
I
P(x ,y)dx +∫
III
P(x ,y)dx
20

bo‘ladi.
Endi, ∫
I
P(x,y)dx +∫
III
P(x,y)dx =∫
a
b
P(x,y1(x))dx +∫
a
b
P(x ,y2(x))dx =
=∫
a
b
[P(x,y1)− P(x,y2)]dx =−∫
a
b
P(x,y)|y=y1
y=y2dx =
=−∫
a
b
[∫
y=y1
y=y2∂P(x,y)
∂y dy ]dx =−∬
D1
∂P(x ,y)
∂y dxdy
bo‘lishini e’tiborga olsak, unda
∫
∂D1
P(x,y)dx −∬
D1
∂P(x,y)
∂y dxdy
( 1)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Faraz qilaylik, tekislikdagi
G to‘p a m shunday bo‘lsinki, uni (verti kal
chiziqlar yordamida) yuqoridagi
D1 kabi Gk (k=1,2,3 ...) larga ajratish mumkin
bo‘lsin. ( 52 -chizma)
52 -chizma
Bunday to‘p a m uchun ham (1) formula o‘rinli bo‘ladi:
∫
∂G1
P(x ,y)dx =∑
k=1
n
∫
∂Gk
P(x ,y)dx =∑
k=1
n
(
−∬
Gk
∂P(x ,y)
∂y
dxdy
)
=−∬
G
∂P(x,y)
∂y
dxdy
.
Endi tekislikda ushbu
x= x1(y),x= x2(y)
(c≤ y≤ d)
hamda
21

y= c,y= dchiziqlar bilan chegaralangan
D2 to‘p a m ni olaylik, bunda x1(y) , x2(y) funksiyalar
[c,d]
da uzluksiz. ( 53 -chizma)
53 -chizma
Ravshanki,
D2 ning chegarasi (kontori) ∂D2 quyidagi I , II , III , IV
chiziqlarga ajraladi (bunda
ΙΙ va ΙV chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin).
Faraz qilaylik,
D 2= D 2∪ ∂ D 2 da Q(x,y) funksiya uzluksiz bo‘lib, u
uzluksiz
∂Q(x,y)
∂x xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Ushbu
∫
∂G2
Q(x,y)dy
egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha
∫
∂G2
Q (x,y)dy =∫
I
Q (x ,y)dy +∫
II
Q (x ,y)dy +∫
III
Q (x ,y)dy +∫
IV
Q (x,y)dy
yozib olamiz.
ΙΙ va ΙV chiziqlar OY o‘qiga perpendikulyar bo‘lganligi sabab li
∫
II
Q (x ,y)dy =∫
IV
Q (x,y)dy = 0
bo‘lib,
∫
∂G2
Q (x,y)dy =∫
I
Q(x ,y)dy +∫
III
Q (x,y)dy
bo‘ladi.
Endi
∫
I
Q (x ,y)dy +∫
III
Q (x,y)dy =∫
c
d
Q (x1(y),y)dy +
22

+∫
c
d
Q (x2(y),y)dy =∫
c
d
[Q (x1,y)−Q (x2,y)]dy =
=∫
c
d
Q (x ,y)|x=x1
x=x2dy =∫
c
d
[
∂Q (x,y)
∂x dx ]dy =∬
D2
∂Q (x ,y)
∂x dxdybo‘lishini e’tiborga olib topamiz:
∫
∂G2
Q(x,y)dy =∬
D2
∂Q(x,y)
∂x dxdy
. (2)
Aytaylik, tekilikdagi
F to‘p a m shunday bo‘lsaki, uni (gorizontal chiziq lar
yordamida) yuqoridagi
D2 kabi Fk (k=1,2,3 ...) larga ajra tish mumkin bo‘lsin.
( 54 - chizma)
54 - chizma
Bunday to‘p a m uchun ham (2) formula o‘rinli bo‘ladi:
∫
∂F
Q (x,y)dy =∑
k=1
n
∮
∂Fk
Q (x ,y)dy =∑
k=1
n
(∬
Fk
∂Q (x ,y)
∂x
dxdy
)
=∬
G
∂Q (x ,y)
∂x
dxdy
Faraz qilaylik, teki c likdagi
D to‘p a m yuqoridagi D1 va D2 lar xususiyatiga
ega bo‘lib, unda
P(x,y),Q(x,y) funksiyalar uzluksiz va uzluksiz
∂P(x,y)
∂y
,∂Q(x,y)
∂x
xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda P(x,y) va Q(x,y)
funksiyalar uchun bir yo‘la (1) va (2) formulalar o‘rinli bo‘ladi. Ularni hadlab
qo‘shib topamiz:
∫
∂D
P(x,y)dx +Q(x,y)dy =∬
D (
∂Q (x,y)
∂x − ∂P(x,y)
∂y )dxdy
. (3)
23

Bu Grin formulasi deyiladi. Demak, Grin formulasi to‘plam bo‘yicha olin -
gan ikki karrali integral bilan shu to‘plam chegarasi bo‘yicha olingan eg‘ri chiziqli
integralning bog‘lanishini ifo da laydi.
2 0
. Grin formulasining ba’zi bir tadbiqlari. Aytaylik, yuqorida kel ti rilgan
bir bog‘lamli D to‘plamda P(x,y), Q(x,y) funksiyalar uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda Grin formulasi (3) o‘rinli bo‘ladi.
Grin formulasidan foydalanib, tekis shaklning yuzining egri chiziq li integral
yordamida ifodalanishini, yakobianning geometrik ma’no sini va ba’zi
tasdiqlarning ekvivalent ligini ko‘rsatish mumkin.
1) Tekis shakl yuzining egri chiziqli integral orqali ifoda lanishi. Aytay -
lik,
P¿(x,y), Q¿(x,y) funksiyalar to‘plamda yuqorida kelti ril gan shartlar ni
qanoatlantirishi bilan birga ushbu
∂Q¿(x ,y)
∂x
−
∂P¿(x ,y)
∂y
≡1
shartni ham qanoatlantirsin. Unda
∬
D (
∂Q ¿(x,y)
∂x
− ∂P¿(x,y)
∂y )dxdy = μD
bo‘lib, Grin formulasiga ko‘ra
μD = ∫
∂D
P¿(x,y)dx +Q¿(x,y)dy
bo‘ladi. Xususan,
P¿(x,y)=− y,
Q (x,y)= 0
yoki
P¿(x,y)=0,
Q (x,y)= x
yoki
P¿(x,y)=− 1
2
y,
Q(x,y)= 1
2
x
b o‘ lsa ,
24

∂Q¿(x ,y)
∂x
− ∂P¿(x ,y)
∂y
≡1bo‘lib, to‘plamning yuzi
μD =− ∮
∂D
ydx = ∮
∂D
xdy = 1
2∮
∂D
xdy − ydx
(4)
bo‘ladi.
2) Yakobianning geometrik ma’nosi. Faraz qilaylik,
XOY tekislikda D
to‘plam berilgan bo‘lib, uning chegarasi (kontori)
∂D bo‘lsin. ( 55 -chizma). UOV
tekis likda esa
Δ to‘plam berilgan bo‘lib, uning chegarasi (kontori) ∂Δ bo‘lsin. ( 56 -
chizma).
55 -chizma 56 -chizma
Aytaylik,
D va Δ to‘plam nuqtalari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik
o‘rnatilgan bo‘lib, ular ushbu
{
x= x(u,v),
y= y(u,v)
formula bilan ifodalansin. Bunda
x(u,v),y(u,v) funksiyalar yopiq Δ to‘plam da
uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin.
Δ
to‘plam chegarasi ∂Δ chiziq ushbu
{
u=u(t),
v=v(t)
(t1≤ t≤ t2)
parametrik tenglama bilan ifodalansin. Bunda
u(t),v(t) funk siya lar [t1,t2] oraliqda
uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega. Unda
D to‘plamning chegarasi ∂D ushbu
25

{
x= x(u(t),v(t))= x(t),
y= y(u(t),v(t))= y(t) (t1≤ t≤ t2)
tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. Bunda
∂Δ ning nuqta la riga ∂D ning
nuqtalari mos keladi.
Ma’lumki,
μD = ∫
∂D
xdy
. (5)
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral uchun
∮
∂D
xdy =∫
t1
t2
xdy
dt dt =∫
t1
t2
x(
∂ y
∂u⋅∂u
∂t+∂ y
∂v⋅∂v
∂t)dt =±∫
∂Δ
x(
∂y
∂u du +∂y
∂v dv )
(6)
bo‘ladi. (
t parametr t1 dan t2 ga qarab o‘zgarganda ∂D egri chiziq musbat
yo‘nalish da bo‘lsa,
∂Δ egri chiziqning yo‘nalishi musbat ham, manfiy ham bo‘li -
shi mumkin. Shuning uchun
∫
∂D
xdy ,
∫
∂Δ(
∂y
∂u
du +∂ y
∂v
dv )
26

MISOLLAR
1-MISOL. σ yopiq sirt shunday bo’lsinki, Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri
chiziq uni ikkitadan ortiq nuqtada kesmasin.
Ushbu
∬σ
❑
zcos (n,z)dσ
integralni qaraymiz. Normalning musbat yo’nalishi deb tashqi normalni
hisoblaymiz. Bu holda sirtni tenglamalari quydagicha bo’lgan
z = f
1
( x , y ) va z = f
2 ( x , y )
ikkita ostki va ustki qismga bo’lish mumkin.
2.2.1-rasm
σ
sirtning Oxy tekislikdagi proeksiyasini D bilan belgilaymiz ( 2.2.1-rasm); u
holda
∬
σ❑
z cos ( n , z ) dσ =
∬
D❑
f
2
( x , y ) dxdy −
∬
D❑
f
1 ( x , y ) dxdy .
z= f1(x,y)
sirt uchun cos ( n , z )
manfiy bo’lganidan bu sirt bo’yicha olingan sirt
integralidagi
dxdy ko’paytmaning ishorasi manfiy bo’ladi; shunga ko’ra ikkinchi
integral oldidagi ishora ham manfiy bo’ladi.
27

Biroq, so’ngi formulaning o’ng tamonidagi integrallarning ayirmasi, σ sirt
bilan chegaralangan hajmni beradi. Demak, σ
yopiq sirt bilan chegaralangan
jismning hajmi, sirt bo’yicha olingan:
V =
∬
σ❑
z cos ( n , z ) dσ
integralga tengdir.

28

2-MISOL. Koordinatalar boshiga joylashtirilgan e musbat elektir zaryadi vector
maydon hosil qiladi, fazoning har bir nuqtasida vector F kulon qonuni bo’yicha
aniqlanadi:F= k e
r2m ,
bunda r-koordinatalar boshidan qaralayotgan nuqtagacha bo’lgan masofa; m-
berilgan nuqtaning radus vektori boyicha yo’nalgan birlik vector (1-rasm); k-
o’zgarmas koeffitsent. Markazi koordinatalar boshida bo’lgan R radusli sfera
orqali o’tuvchi vector maydonning oqimi aniqlansin.
1-rasm
Yechim. r=R =const ekanligini etiborga olib, ushbuni hosil qilamiz:
∬
σ❑
k e
r 2 mndσ = ke
R 2 ∬
σ❑
mndσ .
Biroq, so’ngi integral σ
sirtning yuzasiga teng. Haqiqatdan, integralning ta’rifiga
asosan (
mn =1 ekanligini hisobga olinsa):
∬
σ❑
mndσ = lim
∆ σ
k → 0 ∑ m
k n
k ∆ σ
k = lim
∆ σ
k → 0 ∑ ∆ σ
k = σ .
Demak, oqim:
ke
R 2 σ = ke
R 2 ∙ 4 π R 2
= 4 πke .
29

3- MISOL. Aytaylik S sirt ushbu
x2+ y2+ z2= a2
, z>0
yarim sferadan, uning konturi
∂S esa
x2+ y2= a2,
z= 0
aylanadan iborat bo‘lsin. Bu sirtda aniqlangan
P(x,y,z)= x2y3,
Q(x,y,z)=1, R(x,y,z)= z
funksiyalar uchun Stoks formulasining o‘rinli bo‘lishi ko‘r satil sin, bunda sirtning
ustki tomoni qaralib, konturning yo‘nali shi esa yuqori dan qaraganda soat strelkasi
yo‘nalishiga teskari qilib olinadi.
◄Stoks formulasidagi
∫
∂S
P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz
integral, masalaning shartiga ko‘ra
∫
∂S
x2y3dx +dy +zdz
bo‘lib, u
∫
∂S
x2y3dx
ga keladi. Keyingi integralda
x= acos ϕ,y= asin ϕ deb topamiz:
∫
∂D
x2y3dx = − a6∫
0
2π
sin 4ϕcos 2 dϕ ϕ = − π
8 a6
.
Ikkinchi tomondan berilgan
P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) funk siya lar
uchun
30

∂Q
∂x
− ∂P
∂y
=−3x2y2, ∂R
∂y
− ∂Q
∂z
= 0, ∂P
∂z
− ∂R
∂x
= 0
bo‘lib, Stoks formulasidagi
∬
S (
∂Q
∂x
− ∂P
∂ y)dxdy +(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z)dydz +(
∂P
∂z
− ∂R
∂x)dxdz
integral ushbu
−3∬
S
x2y3dxdy
ko‘rinishga keladi. Bu integralni hisoblab topamiz:
− 3∬
S
x2y3dxdy =− 3 ∬
x2+y2≤a2
x2y2dxdy =− π
8
a6
.
Demak, berilgan funksiyalar uchun Stoks formulasi o‘rinli bo‘ladi. ►
31

4 -MISOL . Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, ushbu ∬
S
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
sirt integrali hisoblansin, bunda
S sirt quyidagi
V = {(x,y,z)∈ R3:0≤ x≤ a,0≤ y≤ a,0≤ z≤ a}
kubning tashqi tomoni.
◄Ostrogradskiy formulasiga ko‘ra
∬
S
x2dydz + y2dzdx +z2dxdy =∭
V
(2x+2y+2z)dxdydz
bo‘ladi.
Uch karrali integralni hisoblab topamiz:
∭
V
(2x+2y+2z)dxdydz = 2∫
0
a
∫
0
a
∫
0
a
(x+y+z)dxdydz =
¿2∫
0
a
[∫
0
a
(a(x+y)+a2
2 )dy ]dx = 2∫
0
a
(a2x+a3)dx = 3a4.
Demak,
∬
S
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy = 3a4
. ►
32

5 - MISOL. Aytaylik S sirt ushbu
x2+ y2+ z2= a2
, z>0
yarim sferadan, uning konturi
∂S esa
x2+ y2= a2,
z= 0
aylanadan iborat bo‘lsin. Bu sirtda aniqlangan
P(x,y,z)= x2y3,
Q(x,y,z)=1, R(x,y,z)= z
funksiyalar uchun Stoks formulasining o‘rinli bo‘lishi ko‘r satil sin, bunda sirtning
ustki tomoni qaralib, konturning yo‘nali shi esa yuqori dan qaraganda soat strelkasi
yo‘nalishiga teskari qilib olinadi.
◄Stoks formulasidagi
∫
∂S
P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz
integral, masalaning shartiga ko‘ra
∫
∂S
x2y3dx +dy +zdz
bo‘lib, u
∫
∂S
x2y3dx
ga keladi. Keyingi integralda
x= acos ϕ,y= asin ϕ deb topamiz:
∫
∂D
x2y3dx = − a6∫
0
2π
sin 4ϕcos 2 dϕ ϕ = − π
8 a6
.
Ikkinchi tomondan berilgan
P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) funk siya lar
uchun
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
=−3x2y2,
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
= 0, ∂P
∂z
− ∂R
∂x
=0
bo‘lib, Stoks formulasidagi
∬
S (
∂Q
∂x
− ∂P
∂ y)dxdy +(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z)dydz +(
∂P
∂z
− ∂R
∂x)dxdz
integral ushbu
33

−3∬
S
x2y3dxdyko‘rinishga keladi. Bu integralni hisoblab topamiz:
− 3∬
S
x2y3dxdy =− 3 ∬
x2+y2≤a2
x2y2dxdy =− π
8
a6
.
Demak, berilgan funksiyalar uchun Stoks formulasi o‘rinli bo‘ladi. ►
34

6 -MISOL . Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, ushbu ∬
S
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
sirt integrali hisoblansin, bunda
S sirt quyidagi
V = {(x,y,z)∈ R3:0≤ x≤ a,0≤ y≤ a,0≤ z≤ a}
kubning tashqi tomoni.
◄Ostrogradskiy formulasiga ko‘ra
∬
S
x2dydz + y2dzdx +z2dxdy =∭
V
(2x+2y+2z)dxdydz
bo‘ladi.
Uch karrali integralni hisoblab topamiz:
∭
V
(2x+2y+2z)dxdydz = 2∫
0
a
∫
0
a
∫
0
a
(x+y+z)dxdydz =
¿2∫
0
a
[∫
0
a
(a(x+y)+a2
2 )dy ]dx = 2∫
0
a
(a2x+a3)dx = 3a4.
Demak,
∬
S
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy = 3a4
. ►
35

7—MISOL: Koordinata tekisliklari bilan berilgan sirtning kesishishi
natijasida hosil bo‘lgan L konturi bo‘yicha vektor maydonning tsirkulyatsiyasini
hisoblang.
Yechim:Ц = ∮
L
Pdx +Qdy +Rdz = ∬
S
⃗n⋅rot { ⃗a⋅dS ¿
P=y, Q=-1, R=xz,
Vektor maydonning rotorini topamiz. :
2.1-rasm. Koordinata
x+ y+z2= 1 , tekisliklari bilan kesishuvchi sirt.
Faraz qilaylik, S — tsilindrik sirt bo‘lib.
x+ y+z2= 1 , uning koordinata
tekisliklaridagi proyeksiyalari kontur L ni hosil qiladi.
Endi sirt S ga normal vektorni topamiz:
36

⃗n=
⃗i+⃗j+2z⃗k
√12+12+(2z)2Vektor maydonning rotori bilan normal vektorning skalyar ko‘paytmasini
hisoblaymiz:
S sirtini ?????????????????? tekisligiga proyeksiya qilamiz va uning yuzasini topamiz:
dS = √2+ 4 z2dxdz
Vektor maydonning tsirkulyatsiyasini hisoblaymiz:
Javob:
Ц =− 3
4.
37

8-MISOL: Vektor maydon tsirkulyatsiyasining modulini toping:
kontur ?????? bo‘ylab, bu yerda: L:2x2+2y2= 1,x+ y+z= 3
Stoks formulasi yordamida.
Yechish:
2.2-rasm. Sfera va piramida
Stoks formulasi bo‘yicha:
Ц =∮
L
Pdx +Qdy +Rdz =∬
S
⃗n⋅rot { ⃗a⋅dS ¿
P=2y, Q=5z, R=3x,
Vektor maydonning rotorini topamiz. :
= (0− 5)⃗i+(0− 3)⃗j+(0− 2)⃗k=− 5⃗i− 3⃗j− 2⃗k
Birlik normal vektorini hisoblaymiz:
n= 1
√3
⃗i+ 1
√3
⃗j+ 1
√3
⃗k
Birlik normal vektorning rotor bilan skalyar ko‘paytmasi quyidagiga teng:
38

S sirtini ?????????????????? tekisligiga proyeksiya qilamiz va quyidagi formuladan
foydalanamiz:
S sirtining ?????????????????? tekisligidagi proyeksiyasi markazi koordinatalar boshida
joylashgan va radiusi x2+ y2= 1
2 bo‘lgan aylana bo‘lib, u quyidagicha
ifodalanadi:
R= 1
√2 . Bu aylananing yuzasi:
S= πR 2= π
2 .
Yuzali integralni ikki marta integralga o ‘ tkazish orqali quyidagiga ega
bo ‘ lamiz :
Ц =√3 ∬
D(x,y)
(− 5
√3
− 3
√3
− 2
√3
)dxdy =−10 SD(x,y)=−10 π
2=−5π
Demak, tsirkulyatsiya moduli quyidagiga teng:
|Ц |=|− 5π|= 5π
Javob:
|Ц|=5π.
39

9- MISOL : Vektor maydonning tsirkulyatsiyasini hisoblang:⃗a=− x⃗i+2y⃗j− z⃗k
ABC uchburchagi bo‘ylab ijobiy yo‘nalishda, bu yerda, A
(3,0,0) , B (1,2,0) , C (0,0,2) .
Yechim:
Stoks formulasiga ko‘ra:
Ц = ∮
L
Pdx +Qdy +Rdz = ∬
S
⃗n⋅rot { ⃗a⋅dS ¿
Bu yerda:
P=-x, Q=2y, R=-z,
Uchburchakning yuqori tomonidagi sirt orqali yuzali integralni hisoblash
kerak..
Ц = ∮
L
(− xdx + 2 ydy − zdz )dS = ∬
S
⃗n⋅rot { ⃗a⋅dS ¿

2.3-rasm. ABC uchburchagi
Vektor maydonning rotorini topamiz::
40

Vektor maydonning tsirkulyatsiyasi nolga teng bo‘ladi, chunki
integrallanuvchi ifoda nolga teng.Ц = ∮
L
(− xdx + 2 ydy − zdz )dS = ∬
S
⃗n⋅rot { ⃗a⋅dS = ∬
S
0⋅⃗n⋅dS = 0¿
Javob : Ц=0.
41

10-MISOL: Stoks formulasi yordamida quyidagi vektor maydonning
tsirkulyatsiyasini toping:
quyidagi tekislik:x+ y+ z− 5= 0
bilan koordinata tekisliklari kesishmasidan hosil bo‘lgan chiziq
bo‘ylab.
Yechish :
P=2x+y, Q=y-z, R=3x+y+z,
Normal vektorni va vektor maydonning rotorini hisoblaymiz:
2.4-rasm.
x+ y+ z− 5= 0 tekisligi koordinata tekisliklari bilan
kesishmoqda
Tsirkulyatsiyani yuzali integralni uchta integralga ajratib hisoblaymiz.:
42

Javob : Ц=-25.
43

XULOSA
Stoks formulasi bo’yicha olingan integrallar deb nomlanadi.Bu kurs ishida
Sirt integrali, Sirt integralini hisoblash, Stoks formulasi, Ostrogradskiy formulasi,
va Grin formulalaridan iborat. Birinchi paragrafda: Sirt integraliga oid ta’rif va
formulalar hamda chizmalar berilgan bo’lib, bu paragrafda mavzu shular orqali
ochib berishga harakat qilingan. Ikkinchi paragrifda: Sirt integralini hisoblash
mavzusi qo’yilgan bo’lib bu mavzuda ham sirt integralini hisoblash uchun zarur
bo’lgan formulaning isboti va misollar orqali ifodalash bilan tushuntirilgan,
uchinchi paragrfda esa: Stoks formulasi keltirib chiqarishi bilan keltirilgan hamda
teorema va misollar bilan tushuntirib o’tilgan, to’rtinchi paragrafda: Ostrogradskiy
formulasi va uning keltirib chiqarilishi, ifodalanishlari keltirib o’tilgan. Beshinchi
paragrafda esa Ostrogradsky formulasining xususiy holi bo’lmish Grin formulalari
keltib o’tilgan.
44

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. Mirziyayev Sh.M “Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan davom
ettiramiz” .Toshkent. “O’zbekiston” 2017
2. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz asoslari - 1”. Toshkent,
“O,qituvchi”, 1989 - yil
3. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz assoslari -2”. Toshkent
“O’zbekirton”,1995-yil
4. G.Xurdoyberganov, A.K.Vorisova, X.T.Mansurov, B.A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism.-T.:Voris nashiriyot, 2010-y.
5.Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3- qism.-T.:O’qituvchi, 1996.
6. Shoimqulov B.A.Tuychiyev T.T.,Djumaboyev D.X. Matematik analizdan
mustaqil ishlar.T. “O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”.2008.
7. www.edu.uz - O’zbekiston Respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim
vazirligi sayti.
8. www.press-service.uz – O’bekiston Republikasi Prezidentining matbuot
xizmati sayti.
9. A.Sadullayev, H. Mansurov, G.H
10. I.Israilov, Z. Pashayev. Matematika. Akademik litsey uchun sinov
darslik. Toshkent .”O’qituvchi” 2005
11. Umirbekov A.U. Shaabzalov Sh.Sh. Matematikani takrorlang. Toshkent.
“O’qituvchi”, 1989 y
45

STOKS FORMULASI.docx

Sotib olish

O'xshash dokumentlar
Funksiya tushunchasi
Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
Makroiqtisodiyot test savollari
Iqtisodiy siyosatga kirish test savollari
Biznes test savollari