Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 986.3KB
Покупки 0
Дата загрузки 19 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Stoks formulasi va uni hisoblash

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Stoks formulasi va uni hisoblash MUNDARIJA Kirish…………………………………………………………………………...…3 1-§. Sirt integrali …………………………………………………………...…….5 2-§. Sirt integralini hisoblash …………………………………………………....8 3-§. Stoks va Ostrogradskiy formulalari………………………..…………….…12 4-§. Grin formulasi va uning tatbiqlari ………………………..…………………20 Xulosa…………………………………..………………………………………...27 Foydalanilgan adabiyotlar……………………….…………….………………….28 KIRISH 3 Davlat ta’lim standarti o’quvchilarning har biriga ta’lim olishda keng imkoniyatlarni yaratib berish,har birining yuqori natijaga erishishlarini rag’batlantirish va shu orqali o’quv – biluv jarayonining farqli tashkil etilishini ta’minlash uchun da’vat etilgan Yuqorida aytilgan mezon va talablarga rioya qilgan holda. Respublikamizda, zamonaviy bilim malaka va ko’nikmalarga ega va yosh avlodni tarbiyalashda zamonaviy metod va uslublardan foydalana oladigan yetuk kadrlar tayyorlash dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Shu borada, hech shubhasiz, o’z vaqtida, ya’ni bundan 20-yil oldin Kadrlar tayyorlash va shuningdek, maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy dasturlarni qabul qilganimiz ta’lim - tarbiya sohasida eski qolip va asoratlardan holi bo’lgan, bugun o’zgalarning havasini tortayotgan yangi tizimni hayotimizda tadbiq etganimiz haqiqatdan ham tarixiy bir voqea bo’ldi, desak, adashmagan bo’lamiz. Buning natijasida mustaqil va yangicha fikrlaydigan, zamon talabiga javob beradigan avlodni shaklantirishga erishdik, Vatanimizning ertangi kunini, taqdirini o’z qo’liga olishga qodir bo’lgan farzndlarimiz bugun minbarga chiqmoqda. Ma’lumki, Davlat ta’lim standartlarida uzluksiz ta’lim tizimining har bir mustaqil ta’lim turi boshqa ta’lim turlari va bosqichlari bilan uzluksizlik va uzviylik tamoyillariga asosan bog’lanishi ko’zada tutilgan.Shu o’rinda har bir ta’lim turi va bosqichi o’ziga xos xususiyatlarga ega bo’lib, oldingisidan keyingisiga o’tishda ta’lim jarayoni samarali kechishi uchun o’qituvchi va o’quvchidan alohida tayyorgarliklarni talab etishi aniq. Bunday muammolar asosan o’rta maxsus, kasb – hunar va oliy ta’lim muassasalar o’rtasidagi ta’lim mazmuni va jarayonini tashkil etishdagi uzluksiz va uzviylik masalasini hal etishda mavjuddir. Bu borada matematika fani katta imkoniyatlarga ega. Shunday ekan, matematika fani izchil, bosqichma – bosqich boshqa fanlar bilan aloqadorlikda o’rganish o’quvchilar mustaqil fikrlash qobiliyatini o’stirishga yordam beradi. Respublikamizda matematika fani asoslari turli bosqichlarda faoliyat ko’rsatayotgan ta’lim muassasalarining ta’lim mazmuniga mos ravishda 4 o’quvchilarning psixologik va pedagogok xususiyatlariga muvofiq muayyan `izchillikni o’rnatish fanlar, boblar, mavzular, o’quv materiallari orasida uzviylikni ta’minlash asosida amalga oshiriladi. Shunday ekan, matematika fani asoslarini yorituvchi kurslar o’rtasida uzviylikni ta’minlash, o’quv materiallarini turli bosqich ta’lim muassasalari o’quvchilarining yosh xususiyatlariga mos holda tanlash, ularning muayyan mantiqiy ketma – ketlik, fanlararo uzviylik hamda izchillik asosida joylashtirish, o’quv jarayonida uzviylik tamoyilining yetakchi o’rin tutishiga erishish va bu holatni pedagogik jihatdan asoslash muammosini yuzaga keltiradi. Kurs ishining mavzusining dolzarbligi: stoks formulasi bu egri chiziqli integrallarni o’rganishda hamda egri chiziqli integrallarni ikki va uch o’lchovli soha integrallarga o’tishda muhim ahamyatga ega. Ko’pincha matematik analiz va matematik fizika tenglamalarini yechishda ikki o’lchovli va uch o’lchovli soha bo’yicha integrallarni yechish biroz qiyinchilik tug’diradi, stoks formulalari esa bu integrallarni shu egri chiziqli sohaning chegarasi boyicha integrallarga otishga yordam beradi. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Amaliyotda eng ko’p uchraydigan integrallar bu bir o’zgaruvchili integrallar hisoblanadi. Boshqa integrallar ma’lum shartlar ostida bu integrallash qoidasiga bo’ysinadi. Shuning uchun egri chiziqli soha bo’yicha integrallarni o’rganish uchun egri chiziqli integrallarning o’zini yaxshi bilish muhim hisoblanadi. Ular jumlasiga Stoks va Grin formulalarini o’rganish kiradi. 1-¿ . Sirt integrali 5 Oxyz to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida biror V soha berilgan bo’lsin. Bu Vsohada biror λ fazoviy chiziq bilan chegaralangan σ sirt berilgan bo’lsin. Biz σ sirtga nisbatanuning har bir P nuqtasidagi normalning musbat yo’nalishi n( P ) birlik vector yo’naltiruvchi kosinuslari sirt nuqtalari koordinatalarining uzluksiz funksiyalari deb faraz qilamiz. Sirtning har bir nuqtasida F = X ( x , y , z ) i + Y ( x , y , z ) j + Z ( x , y , z ) k vector aniqlangan bo’lsin, bunda X,Y,Z koordinatalarning uzluksiz funksiyalaridir. Sirtni biror usul bilan ∆σi elementar yuzlarga bo’lamiz. Har bir yuzda ixtiyoriy Pi nuqtani olamiz va ∑ i ( F ( P i ) n ( P i ) ) ∆ σ i ( 2.1 .1 ) yig’indini qaraymiz, bunda F(Pi)− F vektorning ∆σi yuzning Pi nuqtadagi qiymati, n ( P ) − ¿ shu nuqtadagi narmalning birlik vektori, Fn − ¿ shu vektorlarning sikalyar ko’paytmasi. Barcha bunday yuzlarning diametrlari nolga intilgandagi hamma ∆σi yuzlarga tadbiq etilgan (2.1.1) yig’indining limiti sirt integrali deb ataladi va ushbu ∬ σ❑ Fn dσ simvol bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra lim diam ∆ σ i → 0 ∑ F i n i ∆ σ i = ∬ σ❑ Fn dσ . ( 2.1 .2 ) (2.1.1) yig’indining har bir Fini∆σi= Fi∆σicos (ni,Fi)(2.1 .3) 6 qo’shiluvchisini mexanik jihatdan: asosi ∆σi va balandligi Ficos (ni,Fi) bo’lgan silindirning hajmiga teng deb tushinish mumkin. 2.1.1-rasm Agar F vector σ sirtdan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezligi bo’lsa, (3) ko’paytma ∆σi yuzdan vaqt birligida ni vektor yo’nalishida oqib o’tgan suyuqlikning miqdoriga teng (2.1.1-rasm). Agar F vector suyuqlikning berilgan nuqtadagi oqish tezligi deb tushunilsa, ∬σ ❑ Fn dσ ifoda vaqt birligida σ sirt oprqali musbat yo’nalishda oqib o’tuvchi suyuqlikning umumiy miqdorini bildiradi. Shuning uchun sirt integrali (2) σ sirt orqali o’tuvchi F vector maydonning oqimi deb ataladi. Sirt integralining ta’rifidan, agar σ sirt σ 1 , σ 2 , σ 3 , .. . , σ k qismlarga bo’linsa, u vaqtda ∬σ ❑ Fn dσ =∬σ1 ❑ Fn dσ +∬σ2 ❑ Fn dσ +∬σ3 ❑ Fn dσ +… +∬σk ❑ Fn dσ ekanligi chiqadi. 7 2.1.2-rasm n birlik vektorni uning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari orqali ifodalaymiz: n = cos( n , x ) i + cos ( n , y ) j + ¿ cos ( n , z ) k . ¿ F va n vektorlarning proeksiyalari orqali ifodalarini (2) integralga qo’yib mana buni hosil qilamiz: ∬ σ❑ Fn dσ = ∬ σ❑ ¿ ¿ ∆ σ cos ( n , z ) ko’paytma ∆ σ yuzning Oxy tekislikdagi proeksiyasidir (2.1.2- rasm). Shu kabi muhokama quydagi ko’paytmalar uchun ham to’g’ridir. ∆ σ cos ( n , x ) = ∆ σ yz , ∆ σ cos ( n , y ) = ∆ σ xz ' ∆ σ cos ( n , z ) = ∆ σ xy , } ( 2.1 .4 ) bu yerdagi ∆σyz,∆σxz,∆σxy lar ∆σ yuzning koordinata tekisliklaridagi proeksiyalari. Bunga asosan (2’) integralni boshqacha shakilda ham yozsa ham bo’ladi: ∬ σ❑ Fn dσ = ∬ σ❑ ¿ ¿ 8 ¿∬σ ❑ Xdydz +Ydzdx +Zdxdy .(2.1 .2 '') 2−¿.Sirt integralini hisoblash Egri sirt bo’yicha olingan integralni hisoblash tekis soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralni hisoblashga keltiriladi. Masalan, ushbu ∬ σ❑ Z cos ( n , z ) dσ integralni hisoblash usulini ko’rsatamiz. σ sirt shunday bo’lsinki, Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq uni bitta nuqtada kesib o’tsin. Bu holda sirtning tenglamasini quydagi shakilda yozish mumkin: z = f ( x , y ) . σ sirtning Oxy tekislikdagi proeksiyasini D bilan belgilasak (sirt integralining ta’rifiga asosan): ∬ σ❑ Z ( x , y , z ) cos ( n , z ) dσ = lim diam ∆ σ i → 0 ∑ i = 1n Z ( x i , y i , z i ¿ ¿ ) cos ( n i , z ) ∆ σ i . ¿ ¿ So’ngra 2.1-paragrafdagi (2.1.4) formulaning oxirgisini hisobga olib, quydagini hosil qilamiz: ∬ σ❑ Z cos ( n , z ) dσ = lim diam ∆ σ xy → 0 ∑ i = 1n Z ( x i , y i , f ( ¿ ¿ x i , y i ) ) ¿ ¿ ¿ ¿ ± lim diam ∆ σ xy → 0 ∑ i = 1n Z ( x i , y i , f ( ¿ ¿ x i , y i ) ) ∨ ∆ σ xy ¿ i , ¿ ¿ oxirgi ifoda esa Z=(x,y,f(x,y)) funksiyadan D soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralning integral yig’indisidir. Shuning uchun 9 ∬ σ❑ Z cos ( n , z ) dσ = ± ∬ D❑ Z =( x , y , f ( x , y )) dxdy . Agar cos ( n , z ) ≥ 0 bo’lsa, ikki o’lchovli integral oldida plyus ishora, agar cos (n,z)≤0 bo’lsa, minus ishora olinadi. Agar σ sirt shu paragrafning boshida ko’rsatilgan shartni qanoatlantirmasa, sirtni shu shartni qanoatlantiradigan qismlarga bo’linadi va har bir qism bo’yicha ayrim integral olinadi. Ushbu ∬ σ❑ X cos ( n , x ) dσ ; ∬ σ❑ Y cos ( n , y ) dσ integrallar ham shuning singari hisoblanadi. Qilgan isbotimiz, sirt integralini 2.1-panarafdagi (2.1.2’’) shakilda yozishning to’g’ri ekanligini tasdiqlaydi. Bunda (2.1.2’’) tenglikning o’ng tamonini σ sohaning mos proeksiyalari bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralning yig’indisi deb qarash mumkin, bu yerda ikki o’lchovli integralning ishoralarini (yoki boshqacha aytganda dydz , dxdz , dxdy ko’paytmalarning ishoralari) yuqorida ko’rsatilgan qoidaga muvofiq olinadi. 1-misol. σ yopiq sirt shunday bo’lsinki, Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq uni ikkitadan ortiq nuqtada kesmasin. Ushbu ∬σ ❑ zcos (n,z)dσ integralni qaraymiz. Normalning musbat yo’nalishi deb tashqi normalni hisoblaymiz. Bu holda sirtni tenglamalari quydagicha bo’lgan z = f 1 ( x , y ) va z = f 2 ( x , y ) 10 ikkita ostki va ustki qismga bo’lish mumkin. 2.2.1-rasmσ sirtning Oxy tekislikdagi proeksiyasini D bilan belgilaymiz ( 2.2.1-rasm); u holda ∬ σ❑ z cos ( n , z ) dσ = ∬ D❑ f 2 ( x , y ) dxdy − ∬ D❑ f 1 ( x , y ) dxdy . z= f1(x,y) sirt uchun cos ( n , z ) manfiy bo’lganidan bu sirt bo’yicha olingan sirt integralidagi dxdy ko’paytmaning ishorasi manfiy bo’ladi; shunga ko’ra ikkinchi integral oldidagi ishora ham manfiy bo’ladi. Biroq, so’ngi formulaning o’ng tamonidagi integrallarning ayirmasi, σ sirt bilan chegaralangan hajmni beradi. Demak, σ yopiq sirt bilan chegaralangan jismning hajmi, sirt bo’yicha olingan: V = ∬ σ❑ z cos ( n , z ) dσ integralga tengdir. 2-misol. Koordinatalar boshiga joylashtirilgan e musbat elektir zaryadi vector maydon hosil qiladi, fazoning har bir nuqtasida vector F kulon qonuni bo’yicha aniqlanadi: 11 F= k e r2m ,bunda r-koordinatalar boshidan qaralayotgan nuqtagacha bo’lgan masofa; m- berilgan nuqtaning radus vektori boyicha yo’nalgan birlik vector (2.2.2-rasm); k- o’zgarmas koeffitsent. Markazi koordinatalar boshida bo’lgan R radusli sfera orqali o’tuvchi vector maydonning oqimi aniqlansin. 2.2.2-rasm Yechim. r=R =const ekanligini etiborga olib, ushbuni hosil qilamiz: ∬ σ❑ k e r 2 mndσ = ke R 2 ∬ σ❑ mndσ . Biroq, so’ngi integral σ sirtning yuzasiga teng. Haqiqatdan, integralning ta’rifiga asosan ( mn = 1 ekanligini hisobga olinsa): ∬ σ❑ mndσ = lim ∆ σ k → 0 ∑ m k n k ∆ σ k = lim ∆ σ k → 0 ∑ ∆ σ k = σ . Demak, oqim: ke R 2 σ = ke R 2 ∙ 4 π R 2 = 4 πke . 3-&.Stoks va Ostrogradskiy formulalari 1 0 . Stoks formulasi. Fazoda ushbu z= z(x,y) (1) (1) tenglama bilan aniqlangan S sirtni qaraylik. Uning XOY tekislikdagi proeksiyasi D to‘plamni (shaklni) hosil qilsin. S sirt va D shakl ning 12 chegaralovchi yopiq chiziqlarni (kontur larni) mos ravishda ∂S va ∂D deylik. Ravshanki, ∂S ning proeksiyasi ∂D bo‘ladi. Sirt tomoni va konturi yo‘nalishlari uning proeksiyalari yo‘nalish lari orasi - dagi muvofiqlik 62 - chizmada keltirilgan. 62 -chizma Aytaylik, (1) tenglamadagi z= z(x,y) funksiya D to‘plamda uzluksiz va uzluksiz zx '(x,y), zy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Faraz qilaylik, S sirtda P= P(x,y,z) funksiya aniqlangan bo‘lib, u uzluksiz va uzluksiz ∂P(x,y,z) ∂x , ∂P(x,y,z) ∂y , ∂P(x,y,z) ∂z xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ravshanki, bunday holda ushbu ∫ ∂S P(x,y,z)dx egri chiziqli ushbu integral mavjud bo‘ladi. Bunda ∂S kontur yo‘nalishning sirt tomoni bilan muvofiqligi 29-chizmada ifodalangan. Modomiki, ∂S kontur S sirtga tegishli ekan, unda ∂S ning nuqtalari z= z(x,y) tenglamani qanoatlantiradi. Binobarin, ∂S da P= P(x,y,z) funksiya 13 P= P(x,y,z(x,y)) bo‘lib, u D da berilgan ikki o‘zgaruvchili funksiyaga aylanadi. Shuning uchun ∫ ∂S P(x,y,z)dx = ∫ ∂S P(x,y,z(x,y))dx (2) bo‘ladi. Grin formulasi (qaralsin, 93-ma’ruza) dan foydalanib topamiz: ∫ ∂S P(x,y,z)dx =−∬ D ∂ ∂y (P(x,y,z(x,y))dxdy . Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral ostidagi xususiy hosila quyidagicha ∂P(x,y,z(x,y)) ∂y +∂P(x,y,z(x,y)) ∂z ⋅zy '(x,y) bo‘lib, ∫ ∂S P(x,y,z(x,y))dx =−∬ D (∂P(x,y,z(x,y)) ∂y + ∂P(x,y,z(x,y)) ∂z ⋅zy '(x,y))dxdy bo‘ladi. Ma’lumki, S sirtning ustki tomoni qaralganda uning n → normalining yo‘naltiruvchi kosinuslari cos α= − zx '(x ,y ) √1+ zx '2 + zy '2 , cos β= − zy '(x ,y ) √ 1+ zx '2 + zy '2 , cos γ= 1 √1+ zx '2 + zy '2 bo‘ladi. Bu munosabatlardan cos β cos γ =− zy '(x,y) bo‘lishi kelib chiqadi. Natijada 14 ∫ ∂S P(x,y,z(x,y))dx =−∬ D (∂P(x,y,z(x,y)) ∂y − ∂P(x,y,z(x,y)) ∂z ⋅cos β cos γ )dxdy (3) bo‘ladi. Endi keyingi tenglikdagi ikki karali integralni avvalgi ma’ruza da keltirilgan ∫ ∂S f(x,y,z)dx dy =∬ D f(x,y,z(x,y))dxdy formuladan foydalanib ikkinchi tur sirt integrali orqali quyidagicha ∬ D (∂P(x,y,z(x,y)) ∂y −∂P(x,y,z(x,y)) ∂z ⋅cos β cos γ )dxdy = ¿∬ S (∂P(x,y,z) ∂y −∂P(x,y,z) ∂z ⋅cos β cos γ )dxdy (4) yozib olamiz. So‘ng bu ikkinchi tur sirt integrali uchun, birinchi va ikkin chi tur sirt integrallarini o‘zaro bog‘lovchi ushbu ∬ S f(x,y,z)dzdx =∬ S f(x,y,z)cos βdS (5) ∬ S f(x,y,z)dxdy =∬ S f(x,y,z)cos γdS formulalarga ko‘ra ∬ S (∂P(x,y,z) ∂y −∂P(x,y,z) ∂z ⋅cos β cos γ )cos γdxdy = ¿∬ S (∂P(x,y,z) ∂y ⋅cos γds −∬ S ∂P(x,y,z) ∂z ⋅cos β)dS (6) bo‘lib, bu tenglikdagi birinchi tur sirt integrallari yana (5) for mu la lar ga binoan ∬ S ∂P(x,y,z) ∂y cos γdS =∬ S (∂P(x,y,z) ∂y dxdy , ∬ S ∂P(x,y,z) ∂z cos βdS =∬ S (∂P(x,y,z) ∂z dzdx (7) 15 bo‘ladi. Yuqoridagi (2), (3), (4), (6) va (7) munosabatlardan ∫ ∂S P(x,y,z)dx =∬ S ∂P(x,y,z) ∂z dzdx − ∂P(x,y,z) ∂y dxdy (8) bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash S sirt va unda aniqlangan Q(x,y,z) , R(x,y,z) funk siyalar uchun tegishli shartlarda ∫ ∂S Q(x,y,z)dy = ∬ S ∂Q(x,y,z) ∂x dxdy −∂Q(x,y,z) ∂z dydz , ∫ ∂S R(x,y,z)dz = ∬ S ∂R(x,y,z) ∂y dydz −∂R(x,y,z) ∂x dzdx (9) bo‘lishi ko‘rsatiladi. (8) va (9) tengliklarni hadlab qo‘shib topamiz: ∫ ∂S P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz = =∬ S [ ∂Q (x,y,z) ∂x −∂P(x,y,z) ∂y ]dxdy + +[ ∂R(x,y,z) ∂y − ∂Q(x,y,z) ∂z ]dydz + (10) +[ ∂P(x,y,z) ∂z − ∂R(x,y,z) ∂x ]dzdx . (10) formula Stoks formulasi deyiladi. Stoks formulasi S sirt bo‘yicha olingan sirt integralini shu sirt ning chegarasi ∂S yopiq egri chiziq bo‘yicha olingan egri chiziqli integ ral ora sidagi bog‘lanishni ifodalaydi. 16 2 0 . Ostrogradskiy formulasi . Bu formula fazoda chega ra langan jism (to‘plam) bo‘yicha olingan uch karrali integralni shu jismni o‘rab turuvchi yopiq sirt bo‘yicha olingan sirt integrali bilan bog‘lanishini ifodalaydi. Aytaylik, V to‘plam ushbu z= z1(x,y) , z= z2(x,y) sirtlar hamda yasovchilari OZ o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bilan chegaralangan to‘plam bo‘lib, bu silindrik sirtning XOY tekislikdan ajrat gan qismi D to‘plamni ifodalasin. Bunda ∀ (x,y)∈D uchun z1(x,y)≤ z2(x,y) deylik. Bu holda V jismni o‘rab turgan S sirt z= z1(x,y) - tenglama bilan aniqlangan S1 sirt, z= z2(x,y) tenglama bilan aniqlangan S2 sirt va yasovchilari OZ o‘qiga parallel, yo‘nal ti ruv - chi lari ∂D bo‘lgan silindrik sirt S3 dan iborat bo‘ladi. ( 6 3-chizma) 6 3-chizma 17 Aytaylik, V da R(x,y,z) funksiya aniqlangan bo‘lib, u V da uzluksiz va uzluksiz ∂R(x,y,z) ∂z xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Bu holda ∂R(x,y,z) ∂z funksiya - ning V to‘plam bo‘yicha uch karrali integ rali mavjud bo‘lib, 8 7- ma’ruzada kelti ril - gan formulaga ko‘ra ∭ V ∂R(x,y,z) ∂z dxdydz =∬ D ( ∫ z1(x,y) z2(x,y) ∂R(x,y,z) ∂z dz )dxdy bo‘ladi. Ravshanki, ∫ z1(x,y) z2(x,y) ∂R(x,y,z) ∂z dz = R(x,y,z2(x,y))− R(x,y,z1(x,y)). Demak, ∭ V ∂R(x,y,z) ∂z dxdydz =∬ D R(x,y,z2(x,y))dxdy −∬ D R(x,y,z1(x,y))dxdy . (11) Bu tenglikning o‘ng tomonidagi ikki karrali integral larni sirt integrallari orqali yozamiz: ∬ D R(x,y,z2(x,y))dxdy =∬ S2 R(x,y,z)dxdy , (12) ∬ D R(x,y,z1(x,y))dxdy =∬ S1 R(x,y,z)dxdy . (13) (12) da integral S2 sirtning ustki tomoni bo‘yicha, (13) da esa integ ral S1 sirtning ostki tomoni bo‘yicha olingan. Ravshanki, ∬ S3 R(x,y,z)dxdy =0 (14) Yuqoridagi (11), (12), (13) va (14) munosabatlardan 18 ∭ V ∂R(x,y,z) ∂z dxdydz =∬ S1 R(x,y,z)dxdy +∬ S2 R(x,y,z)dxdy + +∬ S3 R(x,y,z)dxdy =∯ S R(x,y,z)dxdy (15) bo‘lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi yopiq sirt bo‘yicha integral S ning tashqi tomoni bo‘yicha olingan. Xuddi shunga o‘xshash fazoda V to‘plam (jism), uni o‘rab turuvchi S sirt va V da berilgan P(x,y,z) , Q(x,y,z) funksiyalar uchun tegishli shartlarda ∭ V ∂P(x,y,z) ∂x dxdydz =∯ S P(x,y,z)dydz , ∭ V ∂Q (x,y,z) ∂y dxdydz =∯ S Q(x,y,z)dxdz (16) bo‘lishi ko‘rsatiladi. (15) va (16) tengliklarni hadlab qo‘shib topamiz: ∭ V ( ∂P(x,y,z) ∂x +∂Q(x,y,z) ∂y +∂R(x,y,z) ∂z )dxdydz = ¿∯ S P(x,y,z)dydz +Q (x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy . (17) (17) formula Ostrogradskiy formulasi deyiladi. E slatma. Biz yuqorida Ostrogradskiy formulasini maxsus to‘plam V uchun keltirib chiqardik. Agar qaraladigan to‘plam umumiy roq bo‘lib, uni chekli sondagi yuqoridagi V kabi to‘plamlarga ajratish mumkin bo‘lsa, bunday to‘plam uchun ham Ostrogradskiy formulasi o‘rinli bo‘ladi. 1- misol. Aytaylik S sirt ushbu x2+ y2+ z2= a2 , z>0 yarim sferadan, uning konturi ∂S esa 19 x2+ y2= a2, z= 0 aylanadan iborat bo‘lsin. Bu sirtda aniqlangan P(x,y,z)= x2y3, Q(x,y,z)=1, R(x,y,z)= z funksiyalar uchun Stoks formulasining o‘rinli bo‘lishi ko‘r satil sin, bunda sirtning ustki tomoni qaralib, konturning yo‘nali shi esa yuqori dan qaraganda soat strelkasi yo‘nalishiga teskari qilib olinadi. ◄Stoks formulasidagi ∫ ∂S P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz integral, masalaning shartiga ko‘ra ∫ ∂S x2y3dx +dy +zdz bo‘lib, u ∫ ∂S x2y3dx ga keladi. Keyingi integralda x= acos ϕ,y= asin ϕ deb topamiz: ∫ ∂D x2y3dx = − a6∫ 0 2π sin 4ϕcos 2 dϕ ϕ = − π 8 a6 . Ikkinchi tomondan berilgan P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) funk siya lar uchun ∂Q ∂x − ∂P ∂y =− 3x2y2, ∂R ∂y − ∂Q ∂z = 0, ∂P ∂z − ∂R ∂x = 0 bo‘lib, Stoks formulasidagi ∬ S ( ∂Q ∂x − ∂P ∂ y)dxdy +( ∂R ∂y − ∂Q ∂z)dydz +( ∂P ∂z − ∂R ∂x)dxdz 20 integral ushbu −3∬ S x2y3dxdy ko‘rinishga keladi. Bu integralni hisoblab topamiz: − 3∬ S x2y3dxdy =− 3 ∬ x2+y2≤a2 x2y2dxdy =− π 8 a6 . Demak, berilgan funksiyalar uchun Stoks formulasi o‘rinli bo‘ladi. ► 2 -misol . Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, ushbu ∬ S x2dydz + y2dzdx + z2dxdy sirt integrali hisoblansin, bunda S sirt quyidagi V = {(x,y,z)∈ R3:0≤ x≤ a,0≤ y≤ a,0≤ z≤ a} kubning tashqi tomoni. ◄Ostrogradskiy formulasiga ko‘ra ∬ S x2dydz + y2dzdx +z2dxdy =∭ V (2x+2y+2z)dxdydz bo‘ladi. Uch karrali integralni hisoblab topamiz: ∭ V (2x+2y+2z)dxdydz = 2∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a (x+y+z)dxdydz = ¿2∫ 0 a [∫ 0 a (a(x+y)+a2 2 )dy ]dx = 2∫ 0 a (a2x+a3)dx = 3a4. Demak, ∬ S x2dydz + y2dzdx + z2dxdy = 3a4 . ► 21 Mashqlar 1. Stoks formulasini quyidagicha∮ ∂S P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz = =∯ S {( ∂Q (x,y,z) ∂x −∂P(x,y,z) ∂y )cos α+( ∂R(x,y,z) ∂y −∂Q(x,y,z) ∂z )cos β+ +( ∂P(x,y,z) ∂z − ∂R(x,y,z) ∂x )cos γ}dS ham yozish mumkinligi ko‘rsatilsin. 2. Ostrogradskiy formulasini quyidagicha ∭ V ( ∂P(x,y,z) ∂ x +∂Q (x,y,z) ∂ y +∂R(x,y,z) ∂z )dxdydz = ¿∯ S (P(x,y,z)cos α+Q (x,y,z)cos β+R (x,y,z)cos γ)dS ham yozish mumkinligi ko‘rsatilsin. 4-§ Grin formulasi va uning tatbiqlari 1 0 . Grin formulasi. Tekislikda ushbu y= y1(x),y= y2(x) (a≤ x≤ b,y1(x)≤ y2(x)) hamda x= a,x= b chiziqlar bilan chegaralangan D1 to‘p a mni olaylik, bunda y1(x) va y2(x) funk - siya lar [a,b] da uzluksiz. ( 5 1-chizma) 22 51-chizma Ravshanki, D1 ning chegarasi (kontori) ∂D1 quyidagi I, II, III, IV chiziq - larga ajraladi (bunda ΙΙ va ΙV chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin). Aytaylik, D = D1∪ ∂D1 da P(x,y) funksiya uzluksiz bo‘lib, u uzluksiz ∂P(x,y) ∂y xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Ushbu ∫ ∂D1 P(x,y)dx egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha ∫ ∂D1 P(x,y)dx =∫ I P(x ,y)dx +∫ II P(x,y)dx +∫ III P(x,y)dx +∫ IV P(x ,y)dx yozib olamiz. ΙΙ va ΙV chiziqlar OX o‘qiga perpendikulyar bo‘l gan ligi sababli ∫ II P(x,y)dx =∫ IV P(x ,y)dx =0 bo‘lib, ∫ ∂D1 P(x,y)dx =∫ I P(x,y)dx +∫ III P(x,y)dx bo‘ladi. Endi, ∫ I P(x,y)dx +∫ III P(x,y)dx =∫ a b P(x,y1(x))dx +∫ a b P(x ,y2(x))dx = =∫ a b [P(x,y1)− P(x,y2)]dx =−∫ a b P(x,y)|y=y1 y=y2dx = =−∫ a b [∫ y=y1 y=y2∂P(x,y) ∂y dy ]dx =−∬ D1 ∂P(x ,y) ∂y dxdy bo‘lishini e’tiborga olsak, unda ∫ ∂D1 P(x,y)dx −∬ D1 ∂P(x,y) ∂y dxdy ( 1) tenglikka ega bo‘lamiz. 23 Faraz qilaylik, tekislikdagi G to‘p a m shunday bo‘lsinki, uni (verti kal chiziqlar yordamida) yuqoridagi D1 kabi Gk (k=1,2,3 ...) larga ajratish mumkin bo‘lsin. ( 52 -chizma) 52 -chizma Bunday to‘p a m uchun ham (1) formula o‘rinli bo‘ladi: ∫ ∂G1 P(x ,y)dx =∑ k=1 n ∫ ∂Gk P(x ,y)dx =∑ k=1 n ( −∬ Gk ∂P(x ,y) ∂y dxdy ) =−∬ G ∂P(x,y) ∂y dxdy . Endi tekislikda ushbu x= x1(y),x= x2(y) (c≤ y≤ d) hamda y= c,y= d chiziqlar bilan chegaralangan D2 to‘p a m ni olaylik, bunda x1(y) , x2(y) funksiyalar [c,d] da uzluksiz. ( 53 -chizma) 53 -chizma 24 Ravshanki, D2 ning chegarasi (kontori) ∂D2 quyidagi I , II , III , IV chiziqlarga ajraladi (bunda ΙΙ va ΙV chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin). Faraz qilaylik, D 2= D 2∪ ∂ D 2 da Q(x,y) funksiya uzluksiz bo‘lib, u uzluksiz ∂Q(x,y) ∂x xususiy hosilaga ega bo‘lsin. Ushbu ∫ ∂G2 Q(x,y)dy egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha ∫ ∂G2 Q (x,y)dy =∫ I Q (x ,y)dy +∫ II Q (x ,y)dy +∫ III Q (x ,y)dy +∫ IV Q (x,y)dy yozib olamiz. ΙΙ va ΙV chiziqlar OY o‘qiga perpendikulyar bo‘lganligi sabab li ∫ II Q (x ,y)dy =∫ IV Q (x,y)dy = 0 bo‘lib, ∫ ∂G2 Q (x,y)dy =∫ I Q(x ,y)dy +∫ III Q (x,y)dy bo‘ladi. Endi ∫ I Q (x ,y)dy +∫ III Q (x,y)dy =∫ c d Q (x1(y),y)dy + +∫ c d Q (x2(y),y)dy =∫ c d [Q (x1,y)−Q (x2,y)]dy = =∫ c d Q (x ,y)|x=x1 x=x2dy =∫ c d [ ∂Q (x,y) ∂x dx ]dy =∬ D2 ∂Q (x ,y) ∂x dxdy bo‘lishini e’tiborga olib topamiz: ∫ ∂G2 Q(x,y)dy =∬ D2 ∂Q(x,y) ∂x dxdy . (2) Aytaylik, tekilikdagi F to‘p a m shunday bo‘lsaki, uni (gorizontal chiziq lar yordamida) yuqoridagi D2 kabi Fk (k=1,2,3 ...) larga ajra tish mumkin bo‘lsin. ( 54 - chizma) 25 54 - chizma Bunday to‘p a m uchun ham (2) formula o‘rinli bo‘ladi:∫ ∂F Q (x,y)dy =∑ k=1 n ∮ ∂Fk Q (x ,y)dy =∑ k=1 n (∬ Fk ∂Q (x ,y) ∂x dxdy ) =∬ G ∂Q (x ,y) ∂x dxdy Faraz qilaylik, teki c likdagi D to‘p a m yuqoridagi D1 va D2 lar xususiyatiga ega bo‘lib, unda P(x,y),Q(x,y) funksiyalar uzluksiz va uzluksiz ∂P(x,y) ∂y ,∂Q(x,y) ∂x xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar uchun bir yo‘la (1) va (2) formulalar o‘rinli bo‘ladi. Ularni hadlab qo‘shib topamiz: ∫ ∂D P(x,y)dx +Q(x,y)dy =∬ D ( ∂Q (x,y) ∂x − ∂P(x,y) ∂y )dxdy . (3) Bu Grin formulasi deyiladi. Demak, Grin formulasi to‘plam bo‘yicha olin - gan ikki karrali integral bilan shu to‘plam chegarasi bo‘yicha olingan eg‘ri chiziqli integralning bog‘lanishini ifo da laydi. 2 0 . Grin formulasining ba’zi bir tadbiqlari. Aytaylik, yuqorida kel ti rilgan bir bog‘lamli D to‘plamda P(x,y), Q(x,y) funksiyalar uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda Grin formulasi (3) o‘rinli bo‘ladi. Grin formulasidan foydalanib, tekis shaklning yuzining egri chiziq li integral yordamida ifodalanishini, yakobianning geometrik ma’no sini va ba’zi tasdiqlarning ekvivalent ligini ko‘rsatish mumkin. 26 1) Tekis shakl yuzining egri chiziqli integral orqali ifoda lanishi. Aytay - lik, P¿(x,y), Q¿(x,y) funksiyalar to‘plamda yuqorida kelti ril gan shartlar ni qanoatlantirishi bilan birga ushbu ∂Q¿(x ,y) ∂x − ∂P¿(x ,y) ∂y ≡1 shartni ham qanoatlantirsin. Unda ∬ D ( ∂Q ¿(x,y) ∂x − ∂P¿(x,y) ∂y )dxdy = μD bo‘lib, Grin formulasiga ko‘ra μD = ∫ ∂D P¿(x,y)dx +Q¿(x,y)dy bo‘ladi. Xususan, P¿(x,y)=− y, Q (x,y)= 0 yoki P¿(x,y)=0, Q(x,y)= x yoki P¿(x,y)=− 1 2 y, Q(x,y)= 1 2 x b o‘ lsa , ∂Q¿(x ,y) ∂x − ∂P¿(x ,y) ∂y ≡1 bo‘lib, to‘plamning yuzi μD =− ∮ ∂D ydx = ∮ ∂D xdy = 1 2∮ ∂D xdy − ydx (4) bo‘ladi. 2) Yakobianning geometrik ma’nosi. Faraz qilaylik, XOY tekislikda D to‘plam berilgan bo‘lib, uning chegarasi (kontori) ∂D bo‘lsin. ( 55 -chizma). UOV tekis likda esa Δ to‘plam berilgan bo‘lib, uning chegarasi (kontori) ∂Δ bo‘lsin. ( 56 - chizma). 27 55 -chizma 56 -chizma Aytaylik, D va Δ to‘plam nuqtalari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lib, ular ushbu { x= x(u,v), y= y(u,v) formula bilan ifodalansin. Bunda x(u,v),y(u,v) funksiyalar yopiq Δ to‘plam da uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Δ to‘plam chegarasi ∂Δ chiziq ushbu { u=u(t), v=v(t) (t1≤ t≤ t2) parametrik tenglama bilan ifodalansin. Bunda u(t),v(t) funk siya lar [t1,t2] oraliqda uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega. Unda D to‘plamning chegarasi ∂D ushbu { x= x(u(t),v(t))= x(t), y= y(u(t),v(t))= y(t) (t1≤ t≤ t2) tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. Bunda ∂Δ ning nuqta la riga ∂D ning nuqtalari mos keladi. Ma’lumki, μD = ∫ ∂D xdy . (5) Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral uchun ∮ ∂D xdy =∫ t1 t2 xdy dt dt =∫ t1 t2 x( ∂ y ∂u⋅∂u ∂t+∂ y ∂v⋅∂v ∂t)dt =±∫ ∂Δ x( ∂y ∂u du +∂y ∂v dv ) (6) 28 bo‘ladi. (t parametr t1 dan t2 ga qarab o‘zgarganda ∂D egri chiziq musbat yo‘nalish da bo‘lsa, ∂Δ egri chiziqning yo‘nalishi musbat ham, manfiy ham bo‘li - shi mumkin. Shuning uchun ∫ ∂D xdy , ∫ ∂Δ( ∂y ∂u du +∂ y ∂v dv ) Xulosa Stoks formulasi bo’yicha olingan integrallar deb nomlanadi.Bu kurs ishida Sirt integrali, Sirt integralini hisoblash, Stoks formulasi, Ostrogradskiy formulasi, va Grin formulalaridan iborat. Birinchi paragrafda: Sirt integraliga oid ta’rif va formulalar hamda chizmalar berilgan bo’lib, bu paragrafda mavzu shular orqali ochib berishga harakat qilingan. Ikkinchi paragrifda: Sirt integralini hisoblash mavzusi qo’yilgan bo’lib bu mavzuda ham sirt integralini hisoblash uchun zarur bo’lgan formulaning isboti va misollar orqali ifodalash bilan tushuntirilgan, uchinchi paragrifda esa: Stoks formulasi keltirib chiqarishi bilan keltirilgan hamda 29 teorema va misollar bilan tushuntirib o’tilgan, to’rtinchi paragrafda: Ostrogradskiy formulasi va uning keltirib chiqarilishi, ifodalanishlari keltirib o’tilgan. Beshinchi paragrafda esa Ostrogradsky formulasining xususiy holi bo’lmish Grin formulalari keltib o’tilgan. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Mirziyayev Sh.M “Milliy taraqqiyot yo’limizni qat’iyat bilan davom ettiramiz” .Toshkent. “O’zbekiston” 2017 2. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz asoslari - 1”. Toshkent, “O,qituvchi”, 1989 - yil 3. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz assoslari -2”. Toshkent “O’zbekirton”,1995-yil 30 4. G.Xurdoyberganov, A.K.Vorisova, X.T.Mansurov, B.A. Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism.-T.:Voris nashiriyot, 2010-y. 5.Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3- qism.-T.:O’qituvchi, 1996. 6. Shoimqulov B.A.Tuychiyev T.T.,Djumaboyev D.X. Matematik analizdan mustaqil ishlar.T. “O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”.2008. 7. www.edu.uz - O’zbekiston Respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi sayti. 8. www.press-service.uz – O’bekiston Republikasi Prezidentining matbuot xizmati sayti. 9. A.Sadullayev, H. Mansurov, G.H 10. I.Israilov, Z. Pashayev. Matematika. Akademik litsey uchun sinov darslik. Toshkent .”O’qituvchi” 2005 11. Umirbekov A.U. Shaabzalov Sh.Sh. Matematikani takrorlang. Toshkent. “O’qituvchi”, 1989 y 31

Stoks formulasi va uni hisoblash

MUNDARIJA

Kirish…………………………………………………………………………...…3 

1-§.  Sirt integrali …………………………………………………………...…….5

2-§.  Sirt integralini hisoblash …………………………………………………....8

3-§.  Stoks va Ostrogradskiy formulalari………………………..…………….…12

4-§.  Grin formulasi va uning tatbiqlari………………………..…………………20

Xulosa…………………………………..………………………………………...27

Foydalanilgan adabiyotlar……………………….…………….………………….28

Купить