Tekislikda geometrik almashtirishlar va ularning qo'llanilishi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	3.8MB
Xaridlar	4
Yuklab olingan sana	12 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

173 Sotish

Tekislikda geometrik almashtirishlar va ularning qo'llanilishi

Sotib olish

REJA:
KIRISH
I BOB. GEOMETRIK AKSLANTIRISHLAR
1.1 Geometrik almashtirish tushunchasi haqida
1.2 Geometrik akslantirishning mazmuni va akslantirishlarning tatbiqi
1.3 Geometrik akslantirishning ba’zi xillari
II-BOB.GEOMETRIK AKSLANTIRISHLAR VA ULARNING
QO’LLANILISHI
2.1 Simmetriya va parallel ko’chirishlar
2.2 Nuqta atrofida aylantirish
2.3 Inversiya haqida tushuncha
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

KIRISH
Ilm o’rganish har bir inson uchun hayot yo’llarida asqotadigan, odamlar
orasida uni ajratib turadigan, yolg’iz qolgan paytlarda yo’ldosh bo’lib,
tushkunlikka tushganda doimo madadkor bo’luvchi yengilmas quroldir. Shu
nuqtai nazardan, bugun har birimiz ilm olishimiz, mukammal bilim
egallashimiz, kasb-hunar o’rganishimiz va bu orqali o’z kelajagimizni o’zimiz
yaratib, mamlakatimiz gullab-yashnashi, ravnaq topishi hamda rivojlangan
davlatlar qatoridan munosib o’rin olishi uchun o’z hissamizni qo’shishimiz
zarur va shartdir.
Bugungi kunda ta’lim tizimi oldida turgan ta’lim-tarbiya samaradorligini
oshirish jahon ta’lim standartlari darajasida bilim berish orqali har tomonlama etuk
ijodkor ma’naviy boy, kasb-hunarli, milliy va umuminsoniy qadriyatlar, milliy
istiqlol g’oyasi ruhida tarbiyalangan, o’z mustaqil fikriga ega barkamol shaxsni
kamolga yetkazish kabi vazifalarni hal etishda oliy ta’lim muassasalarining
pedagogik jamoasi, xususan har bir fan o’qituvchisi o’z pedagogik faoliyatini
tubdan o’zgartirishi lozim. Maktablarimizning eng muhim vazifalaridan biri
o’quvchilarda dialiktiv materialistic dunyo qarashini o’zgartirishdir.
Geometriyada deyarli hamma mavzularini o’tishda ayniqsa geometric
aalmashtirishlarni o’rgatishda bu g’oyani amalga oshirish uchun juda keng
imkoniyatlar bor.
Malumki nuqtalarning har qanday to’plamiga figura deyiladi va figuraning har
bir nuqtasi shu to’plaamning elementi deb ataladi. Shuning uchun har bir
geometric
figurani nuqtaviy to’plam deb qarash mumkin. Masalan, kesma
nuqtalarining to’plami, to’g’ri chiziq nuqtalarining to’plami, uchburchak
nuqtalarining to’plami, kub nuqtalarining to’plami va xokazo.
O’zining ahamiyati va mohiyatiga ko’ra hech narsa bilan qiyoslab
bo’lmaydigan hayotimizdagi o’zgarishlar haqida gapirganda, avvalo,
odamlarimizning dunyoqarashi va kayfiyati, fikr-u zikri, ularning hayotga, o’z
mehnati natijasiga munosabati tubdan o’zgarib, yuksalib borayotgani haqida
2

to’xtalmasdan o’tolmaymiz. Bugun insonning o’zi o’zgarmoqda, uning grajdanlik
va siyosiy ongi, huquqiy madaniyati o’smoqda.
Mustaqil fikrlaydigan, zamonaviy bilim va kasb-hunarlarga ega, hayotga
yangicha qaraydigan, sobiq mustabid tuzumga xos tushunchalardan ozod bo’lib
voyaga yetayotgan, o’z fikri va qarashlariga ega bo’lgan navqiron yoshlarimiz
hayotga ishonch bilan kirib kelmoqda, jamiyatimizda mustahkam o’rin olmoqda va
mamlakatimizning taraqqiyoti yo’lida hal qiluvchi kuchga aylanmoqda. O’quvchi
yoshlarni ijtimoiy himoyalashga, ularga ishlab chiqarishdan ajralgan holda
o’qib,bilim olishi uchun zarur moddiy sharoit yaratishga doimo e’tibor berilmoqda.
Mamlakatimizda yosh avlod ta’lim-tarbiyasiga alohida e’tibor qaratilmoqda.
O’g’il qizlarning zamonaviy bilim olish, yuksak manaviyatli bo’lib ulg’ayishi
uchun zarur sharoit yaratish borasidagi ishlar izchil davom ettirilmoqda.
Davlatimiz rahbar SH. Mirziyoyevning “Ijtimoiy barqarorlokni ta’minlash,
muqaddas dinimizning sofligini asrash—davr talabi” mavzudagi anjumanda
so’zlagan nutqida yosh avlod tarbiyasi haqida alohida to’xtalib o’tdi
“Bizni hamisha o’ylantirib keladigan yana bir muhim masala—bu
yoshlarimizning odob-axloqi, yurish-turishi, bir so’z bilan aytganda, dunyoqarashi
bilan bog’liq. Bugun zamon shiddat bilan o’zgaryapti. Bu o’zgarishlarni
hammadan ham ko’proq his etadigan kim—yoshlar. Mayli yoshlar o’z davrining
talablari bilan uyg’un bo’lsin. Lekin ayni paytda o’zligini ham unutmasin. Biz
kimmiz, qanday ulug’ zotlarning avlodimiz, degan da’vat ularning qalbida doimo
aks sado berib,o’zligiga sodiq qolishga undab tursin. Bunga nimaning hisobidan
erishamiz? Tarbiya, tarbiya va faqat tarbiya hisobidan” deya ta’kidladi
Prezidentimiz.
Zamon talabiga muvofiq holda har bir fan o’qituvchisi o’zining mutaxas sisligini
chuqur o’zlashtirgan, pedagogik-psixologik hamda ik bilim, ko’nikma va
malakalarni puxta egallagan, ta’lim-tarbiya jarayonini samaradorligini oshiradigan
zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalaridan xabardor va ularni ta’lim
jarayonida qo’llay olish malakasiga ega bo’lishi lozim.Ma’lumki, hozirgi davrda
o’rta maktab o’quv jarayoniga yangi pedagogik texnologiyalar kirib kelmoqda.
3

Ularni amalda tadbiq etish va qo’llash o’qituv chilarning asosiy vazifalaridan
biridir. Shularni hisobga olib mazkur uslubiy qo’llanmada maktab va oli ta’lim
yurtlarida geometriyani o’qitishda bu ishni amalga oshirish muammolari atroflicha
muhokama etilib, ularni qo’llashga doir zaruriy xulosa va misollar keltirilgan.
O’quvchilarning fazoviy tasavvurlarini kengaytirishda, ijodiy va konstruktorlik
qobiliyatlarini rivojlantirishda va mantiqiy fikrlashlashga o’rgatishda yasashga doir
geometrik masalalar yechishning ahamiyati g’oyat kattadir.
O’quvchilarda bunday qobiliyatlarni tarbiyalash, ayniqsa, bizning Vatanimizda
katta ahamiyatga ega, chunki texnikamizning keng miqyosda rivojlanib borishi
kelajakda injener, texnik va konstruktor bo’lib yetishuvchi o’quvchilarimizdan
shunday qobiliyatga ega bo’lishi talab etiladi. Geometriya o’qitish jarayonida
talabalarga asosiy tushunchalarni to’g’ri tushuntirish, uning tadbiqlarini ular
ongiga yetkaza olish, ularning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish matematika
o’qitish muvaffaqiyatini ta’minlabgina qolmay, balki talabalarning bilish va
tafakkur qobiliyatlarini rivojlantirish uchun ham xizmat qiladi. Bu hol esa yangi
zamonaviy texnologiyalarga tayangan holda geometriya darslarini o’tishni talab
etadi. Shu sababli uslubiy qo’llanmada geometriya o’rganishning nazariy asoslari
bilan birga ko’rgazmali va noan’anaviy usullarni qo’llash xususiyatlari hamda
zarur dars ishlanmalari hamda masalalar yechish bo’yicha imkoniyatlari batafsil
bayon etilgan.
Bu kurs ishini yozishda rus tilidagi adabiyotlar hamda professor Aleksandr
Stepanovich Smogorjevskiyning, olimlar professor N.F.Chetveruxin, professor
T.N.Qori Niyoziy, dotsent M.A.Sobirov, A.P.Domoryad, A.L.Pereldik va boshqa
olimlarning og’zaki va yozma maslahatlari orqali to’plangan bilimlar asosida
R.K.Otajonovning konstruktiv geometriyaga asoslangan kitobidan foydalanildi.
Kurs ishining maqsadi: Yozilgan bu kurs ishning asosiy maqsadi,
geometriya darslarida geometrik lar nazariyasi haqidagi bilimlarni chuqurroq
egallash va uni geometrik masalalar yechishda tadbiqlarini ko’rib o’tishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari: Hоzirgi bоsqichda ta’limning asosiy vazifasi,
o’quv-tarbiya jarayonini takоmillashtirish asosida har tоmоnlama yetuk, kelajak
4

kishisini tarbiyalash, vоyaga yetkazishdan ibоrat. O’quvchilarni barcha kerakli
bilim va ko’nikmalar bilan qurоllantiruvchi, ularni katta hayotga tayyorlaydigan
har bir o’qituvchi hоzirgi zamоn ijtimоiy- iqtisоdiy taraqqiyot masalalarini o’z
vaqtida ilg’ab оlishi hamda o’zining bоr kuch va bilimini, kasb mahоratini
takоmillashtirishga qaratmоg’i, tinmay izlanib mehnat qilmоg’i lоzim.
Kurs ishining predmeti: Umumta’lim maktablari va oily o’quv yurtlari
geometriya darsliklaridagi mavzuga oid misollar yechish ikasi ishning tadqiq
predmeti sifatida tanlangan.
Ushbu kurs ishining mavzusiga oid barcha adabiyotlarni to’plash va shu
vaqtgacha to’plangan bilimlar geometrik yasashlarda, ayniqsa, geometriya
darslarida yechiladigan misollarning tadbiqlarini yanada mukammalroq
o’rganish katta ahamiyatga ega bo’lib, bu esa kelajakda geometk
almashtirishlar i va ularning tadbiqlarini ilmiy nuqtai nazardan yanada
atroflicha o’rganishda va tasavvur hosil qilishda katta ahamiyatga ega bo’ladi
deb o’ylayman.
Kurs ishining obyekti: Umumta’lim maktablari va oily ta’lim yurtlarida
geometriya fanini o’rgatish jarayoni hamda ushbu fan orqali o’quvchi va
talabalarda ezgu axloq, e’tiqod, estetik tarbiya va bilimlarni shakllantirishda
yordam beradigan, o’quvchini faollashtiradigan usullarini aniqlashga harakat
qilish.
5

$I BOB 1.1 Geometrik almashtirish tushunchasi. Geometrik almashtirish— to g ri chiziq, tekislik yoki fazoni o zaro bir qiymatliʻ ʻ ʻ akslantirish; ma lum qonuniyat va qoidalarga asosan berilgan figuradan yangi ʼ figura hosil qilish. Masalan, o q simmetriyasi yoki markaziy simmetriya — eng ʻ oddiy G. a. Uni quyidagicha ta riflash ham mumkin. Ma lum qoida asosida ʼ ʼ tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq Af nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo li aniqdangan yoki qisqacha, almashtirish ʻ berilgan deyiladi va bu ramziy tarzda quyidagicha ko rsatiladi: f(M)=M\ Bundagi ʻ M’ nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nukta esa M’ nuqtaning pro-obrazi (asli) deyiladi, / ramzi almashtirishning nimadan iboratligini ko rsatadi. M’ nuqtaning ʻ vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog liq bo lgani uchun Af nuqta M nuqtaning ʻ ʻ argumenta, M nukta esa Af nuqtaning funksiyasi deyiladi. Figuralar analitik usulda ham almashtirilishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtaning pro-obrazi bittagina nukta bo lgan obrazlarni hosil qiluvchi G. a.lar muhim. Bunday G. a., odatda, ʻ o zaro bir qiymatli almashtirish deyiladi. Geometriyada uchraydigan hamma ʻ o zaro bir qiymatli almashtirishlar ichida harakat deb ataluvchi G. a. muhim o rin ʻ ʻ tutadi (har qanday ikki M va N nuktani tutashtiradigan almashinuvchi figuraning MN kesmasi shu nuqtalarning obrazlari M’ va N’ ni tutashtiruvchi kesmaga teng bo lsa, bunday almashtirish harakat deb ataladi). Geometriyada ayrim ʻ almashtirishlar bilan bir qatorda G. a.lar to plami ham ahamiyatli. Bulardan gruppa ʻ deb atalgan to plamlar yana ham muhimroq. G. a.lar geometriyaning yetakchi va ʻ samarali yo nalishlaridan biri hisoblanadi ʻ Bir qancha figuralarni nuqtalar to’plamidan tuzilgan to’plam deb qarash mumkin. Masalan, ko’pburchakning tomonlaari va dioganallari to’plami, bitta 6$ $aylanaga urinuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami, prizma yoqlari va dioganal kesimlari to’plami, bitta sferaga urinuvchi tekisliklar to’plami va xokazo.Ta’rif: Tekislik nuqtalari to’plamidan iborat biror geometrik figurani ma’lum qonun qoida yordamida almashtirib, shu tekislikning ikkinchi bir figurasiga o’tkazish geometrik almashtirish deyiladi. Tekislikna nuqta atrofida burish, markaziy simmetriya, o’q simmetriyasi, parallel ko’chirish va gomotetiyalar geometrik almashtirishning eng sodda ko’rinishlaridandir. Geometrik almashtirish- to’g’ri chiziq, tekislik yoki fazoni o zaro bir qiymatliʻ akslantirish; ma lum qonuniyat va qoidalarga asosan berilgan figuradan yangi ʼ figura hosil qilish. Mac, o q simmetriyasi yoki markaziy simmetriya — eng oddiy ʻ geometrik almashtirish. Uni quyidagicha ta riflash ham mumkin. Ma lum qoida ʼ ʼ asosida tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq Af nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo li aniqdangan yoki qisqacha, ʻ almashtirish berilgan deyiladi va bu ramziy tarzda quyidagicha ko rsatiladi: ʻ f(M)=M\ Bundagi M’ nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nukta esa M’ nuqtaning pro-obrazi (asli) deyiladi, / ramzi almashtirishning nimadan iboratligini ko rsatadi. ʻ M’ nuqtaning vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog liq bo lgani uchun Af nuqta M ʻ ʻ nuqtaning argumenta, M nukta esa Af nuqtaning funksiyasi deyiladi. Figuralar analitik usulda ham almashtirilishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtaning pro- obrazi bittagina nukta bo lgan obrazlarni hosil qiluvchi geometrik almashtirishlar ʻ muhim. Bunday geometrik almashtirish, odatda, o zaro bir qiymatli almashtirish ʻ deyiladi. Geometriyada uchraydigan hamma o zaro bir qiymatli almashtirishlar ʻ ichida harakat deb ataluvchi geometrik almashtirish muhim o rin tutadi (har ʻ qanday ikki M va N nuktani tutashtiradigan almashinuvchi figuraning MN kesmasi shu nuqtalarning obrazlari M’ va N’ ni tutashtiruvchi kesmaga teng bo lsa, bunday ʻ almashtirish harakat deb ataladi). Geometriyada ayrim almashtirishlar bilan bir qatorda geometrik almashtirishlar to plami ham ahamiyatli. Bulardan gruppa deb ʻ atalgan to plamlar yana ham muhimroq. Geometrik almashtirishlar geometriyaning ʻ yetakchi va samarali yo nalishlaridan biri hisoblanadi. Agar f(M)= M1 ʻ 7$

almashtirish o’zaro bir qiymatli almashtirish bo’lsa, har bir M obrazga bittagina M
proobrazi topiladi, bu holda M nuqtaga M ni mos keltiruvchi (ya’ni obrazdan
proobrazga o’tishdan iborat) almashtirish f almashtirishga nisbatan teskari
almashtirish deb ataladi va f-1 bilan belgilanadi:
F -1 (M) = M!
Geometriyada uchraydigan hamma o’zaro bir qiymatli almashtirishlar ichida
harakat deb ataluvchi almashtirishlar muhim o’rin tutadi. Geometriyada harakat
quyidagicha tariflanadi:
Agar almashinuvchi figuraning har qanday ikki M va N nuqtalarini tutashtiruvchi
MN kesma shu nuqtalarning obrazlari M va N nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaga
teng bo ‘lsa, bunday almashtirish harakat deb ataladi.Demak, harakatda
almashtiriluvchi figuraning har ikki nuqtasi orasidagi masofa o’zgarmaydi ya’ni
harakat qaytma almashinishdir.Agar f almashtirish harakat bo’lsa, bu almashtirish
o’zaro bir qiymatli bo’ladi. Haqiqatdan AI obraz bitta proobrazga emas balkim
ikkita Ai va A2 proobrazga ega deb faraz qilaylik. Bu holda harakatning ta’rifiga
ko’ra A1A2- AI AI =0 bo’lishi kerak: ya’ni A1 va A2 nuqtalar ustma ust tushishi
lozim, ammo A1 va A2 nuqtalar har xil bo’lgani uchun bu tenglik bajarilmaydi.
Demak, harakat natijasida har bir obraz birgina proobrazga ega bo’lib, almashtirish
o’zaro bir qiymatli bo’ladi.Agar F figura harakat bo’lgan almashtirish natijasida F1
figuraga o’tsa, F va F1 figuralar o’zaro teng deb ataladi. Harakat bilan tenglikning
ta’riflaridan ma’lum bo’ladiki, harakat teng figuralarning nuqtalari oarsidagi bir
qiymatli moslikdir ya’ni harakat teng figuraga o’tkazuvchi almashtirishdir.
Almashtirishlar gruppasining umumiy xossalari;
1.Almashtirishlar to’plami о dagi har qandayikki almashtirishning ko’paytmasi
(yoki yig’indisi) yana shu о to’plamga tegishli almashtirish bo’ladi.
Almashtirishlar gruppasining bu xossasiga qisqacha almashtirishlar to’plamining
yopiqlik xossasi deyiladi.
2. Almashtirishlar to’plami о dagi ixtiyoriy uchta almashtirishni ko’paytirish
assotsiativlik qonuniga boysunadi : о to’plamga qarashli ixtiyoriy uchta f 1, f 2,
f3 almashtirishlar uchun ushbu
8

(f 1* f 2* ) *f3=f 1 *( f 2 *f3)
Munosabat bajariladi.
9

3. Almashtirish to’plamida о-birlik f 0 almashtirishga ega, ya’ni u almashtirish
figurani aslicha qoldirish xossasiga egadir.
4. о to’plamdagi har qanday almashtirish teskari almashtirishga egadir, ya’ni
to’plamdagi har bir f almashtirishga teskari f-1 almashtirish mavjud, bu
almashtirish shu to’plamga kiradi va f * f -1 =f *f = f 0 bo’ladi.
11

1.2 Geometrik akslantirishlar mazmuni va akslantirishlar tatbiqi
Geometriyaning deyarli hamma mavzularini o’tishda va ayniqsa, geometrik
akslantirishlarni o’rgatishda o’quvchilar diqqatini jalb etrish uchun juda keng
imkoniyatlar bor.
Haqiqatan, geometrik akslantirishga doir har bir teoremani isbotlashda va
masalalar yechishda, berilgan figura uchun topiladigan obrazning shakli va
vaziyati o’sha figuraning shakli va vaziyatigagina emas, balki, akslantirishning
xiliga va uning shartlariga qarab ham o’zgarib turishini o’quvchilar kuzatib
boradilar va geometrik figuralarni doimiy o’zgarishda, harakatda ekanligiga chuqur
ishonch hosil qiladilar.
O’quvchilar geometrik figuralarning bir vaziyatdan ikkinchi vaziyatga va bir
shakldan ikkinchi shaklga o’tib o’zgarib turishini yozuvdagina emas, balki
bevosita o’z ongida tasavvur etishga va bundan tegishli xulosalar chiqarishga
o’rganadilar va yetarli darajada malaka hosil qiladilar.
Buning natijasida:o’quvchilar ongida ilmiy dunyoqarash kengayadi, ular
geometriyani yuksak nazariy-g’oyaviy saviyada chuqur o’zlashtiradilar va fanning
yuqori cho’qqilarini egallashga harakat qiladilar.
Demak, geometrik akslantirishlar hozirgi zamon geometriyasininng yetakchi va
samarali g’oyalaridan biri bo’lib, u yosh avlodni zamonamizning munosib
saviyada tarbiyalashdek muqaddas bir sohada o’qituvchi qo’lidagi muhim bir
quroldir.
Geometrik akslantirishlarning g’oyaviy mazmuni haqida yuqorida aytilgan
maqsadga to’laroq erishish uchun o’quvchilar geometrik akslantirishning
ahamiyati nimalardan iboratligini aniqroq tasavvur etishlari zarur
Geometrik akslantirishlar bilan shug’ullanish yosh avlodning ilmiy
dunyoqarashini shakllantirish bilan birga, ularga ilmiy tadqiqot ishlarni bajarishda,
ko’pgina teoremalarni isbotlashda, masalalar yechish va funksiya grafiklarini
yasashda yordam beradi.Shuning uchun o’rta maktab va oily o’quv yurtlarining
matematika programmalarida geometrik akslantirishlarni o’rganishga keng o’rin
12

berilgan.Akslantirish (aks ettirish) matematikaning eng muhim tushunchalaridan
biri bo’lib, u quyidagicha ta’riflanadi:
1-ta’rif. Biror to’plamning har bir x elementi
uchun f qonun yoki qoida yordami bilan to’plamning
aniq bir elementini mos keltirishga A to’plamni B to’plamga
akslantirish deyiladi va u quyidagicha belgilanadi:
yoki (1)
Bu akslantirishda x ga mos keluvchi y element x ning aksi yoki obrazi, x
esa y ning aksi yoki proobrazi deyiladi. x ga mos keladigan y ni topishda
ishlatiladigan f qonun moslik qonuni deyilib, unalitik, grafik, jadval usullari
yoki biror qoida va shunga o’xshash vositasida berilishi mumkin.
2-ta’rif. Agar A to’plamning har bir elementiga B to’plamning bittagina
elementi mos kelishi bilan birga B to’plamning har bir elementiga A
to’plamning bittagina elementi mos kelsa, A to’plamning B to’plamga bunday
akslanishi o’zaro bir qiymatli akslanish deyiladi.
A to’plamni B to’plamga o’tkazuvchi bunday o’zaro bir qiymatli
akslantirishda B to’plamni A to’plamga akslantiruvchi qaytma (qarama-qarshi)
akslantirish ham albtta mavjud bo’ladi. Bunda B to’plamning har bir elementi A
to’plamning bittagina elementiga mos keladi.
3-ta’rif. Biror to’plamning shu sohadagi to’plamga akslantiruvchi, ya’ni A
to’plamni yana A to’plamga o’tkazuvchi bir qiymatli akslantirish A to’plamni
akslantirish deb ataladi.
Quyida tekislik figuralarini shu yekislik figuralariga akslantiruvchi
almashtirishlar bilan tanishamiz.
Faraz etaylik bizda Α va В bo’sh bo’lmagan to’plam bеrilgan bo’lsin.
13

1-ta’rif: Agar bir f qoidaga muvofiq Α to’plamning har bir x∈Α
elеmеntiga
В to’plamning biror y elеmеnti mos qo’yilgan bo’lsa, bu f
qoidaga aks ettirish dеyiladi va
f:A→ B yoki y= f(x) ko’rinishida bеlgilanadi.
Bunda
f(x)∈B ga x∈ A el е m е ntining obrazi (aksi), x ga esa y= f(x)B
el е m е ntining probrazi (asli) d е b ataladi.
Α to’plam f aks ettirishning
aniqlanish sohasi, B to’plam esa qiymatlar to’plami dеyiladi.
f:A→ B
akslantirishda ∀ x∈Α yagona f(x)∈B образга эга , lеkin B ning
istalgan elеmеnti har doim ham asliga ega bo’lavеrishi asliga ega bo’lganda
ham u yagona bo’lishi shart emas.
Misollar:
Α− odamlar to’plami, Β− musbat ratsional sonlar to’plami
bo’lsin.
f:A→ B akslantirish har bir odamga uning santimеtrlarda hisoblangan
bo’yini mos qo’ysin. U holda
f:A→ B odamlar to’plamini ratsional sonlar
to’plamiga akslantiradi. Har bir odamga yagona uzunlik mos k е ladi, l е kin 1500
sm mos k е luvchi odam mavjud emas, shuningd е k 175 sm ga mos k е luvchi
odamlar yagona emas.
2.
f:x→ x2 akslantirish barcha haqiqiy sonlar to’plami R ni haqiqiy
sonlar to’plami
R+ ga akslantiradi. f:A→ B akslantirishga Α ning obrazini
f(A)
bilan b е lgilaymiz. U holda f(A)⊆B bo’ladi.
Agarda
f:A→ B aks ettirish uchun ∃ b0∈B elеmеnt mavjud bo’lib
∀ x∈A,f (x)=b0
t е nglik o’rinli bo’lsa, f ga (o’zgarmas akslantirish) funktsiya
dеyiladi.
2-ta’rif: Agar
f:A→ B va g:Α→ B aks ettirishlar bеrilgan bo’lib ∀ x∈A
uchun
f(x)=g(x) o’rinli bo’lsa bu aks ettirishlarni tеng dеyiladi va f= g
ko’rinishda bеlgilanadi.
B е rilgan
Α to’plamni Β to’plamga akslantiruvchi barcha akslantirishlar
to’plamini
Α orqali b е lgilaymiz. Α1⊂ A bo’lsin. U holda x∈Α1 f1(x)= f(x)
14

tеnglik bilan aniqlangan f1:A1→ B aks ettirishga f ning torayishi f esa f1 ning
k е ngayishi (davomi) d е yiladi.
Masalan:
R dagi f(x)=√|x| akslantirish dagi f (x)=√x
(f:x→ √x)
ning davomidir.
3-ta’rif. Agar
f:A→ B aks ettirishga har bir y∈B elеmеnt Α to’plamda
kamida bitta aslga ega bo’lsa bunday aks ettirish (s’yurеktsiya) s’yurеktiv aks
ettirish dеyiladi.
4-ta’rif. Agar
f:A→ B aks ettirishda har bir y∈B bittadan ortiq aslga
ega bo’lsa (ya’ni
f(x1)= f(x2) dan x1=x2 k е lib chiqsa) bunday aks ettirish
(in’еktsiya ) in’еktiv aks ettirish dеyiladi.
5-ta’rif. Biz vaqtida ham s’yur е ktiv va ham in’ е ktiv bo’lgan
f:A→ B
akslantirish biektsiya (o’zaro bir qiymatli akslantirish) dеyiladi.
Misollar: 1)
f:R→ R f(x)=x2 aks ettirish s’yurеktiv ham, inyuеktiv
ham emas. Chunki manfiy sonlar birorta ham aslga ega emas.
2)
f1:R→ R+ ni qarasak s’yurеktiv bo’ladi (f1(x)=x2)
3)
f2:R+→ R (f2(x)= x2) in’ е ktiv bo’ladi.
4)
f3:R+→ R+ (f3(x)=x2) ni qarasak bi е ktiv akslantirish bo’ladi.
Ixtiyoriy 2 ta
f:A→ B va g:B→ C aks ettirishlar bеrilgan bo’lsin.
6-ta’rif. Har bir
x∈Α uchun p(x)=g(f(x)) tеnglik bilan aniqlanuvchi
p:A→ C
aks ettirishga f va g aks ettirishlarning kompozitsiyasi
(supеrpozitsiyasi) (ko’paytmasi) dеyiladi va
p= g⋅f bilan b е lgilanadi.
Agarda
A= B= C bo’lsa, gf :A→ Α bilan birga fg :A→ A kompozitsiyani
ham qarash mumkin. Bunda umuman aytganda
gf ≠ fg bo’ladi.
Masalan :
f:R→ R, f:x→ x2 (f (x)= x2);

g:R→ R , g:x→ x+ 1 (g (x)= x+1)
15

bo’lsa, u holda g(f(x))= g (x2)= x2+1 va f g (x)= f(x+1)= (x+1)2
былади . Dеmak
gf ≠ fg .
1-t е or е ma. Har qanday
f:A→ B , g:B → C , h:C → D aks ettirishlar
uchun
h(gf )=(hg )f t е nglik o’rinli.
Isboti. Haqiqatdan ham
h(gf )(x)=h(gf (x))= h(g(f(x))) va
(hg )f(x)=h(g(f(x))).

Bu tеngliklarning chap tomonlari tеngligi ularning o’ng tomonlarining
tеngligidan kеlib chiqadi. Bu tеorеma aks ettirishning assosativlik xossasini
isbotlaydi.
∀ х∈Α
uchun e(x)= x tеnglik bilan aniqlangan aks ettirishga Α
to’plamning ayni akslantirishi dеyiladi. (yoki birlik aks ettirish ham dеb
yuritiladi).
Tushunarliki, har qanday
Α to’plam uchun eΑ:A→ A− aks ettirish
biеktsiyadir. Shuningdеk agar
f:A→ B bo’lsa, f eΑ= eΑf= f bo’ladi.
7-ta’rif. Agar
f:A→ Β aks ettirish uchun ∃ g:B→ Α aks ettirish mavjud
bo’lsaki
gf =eΑ va fg =eΒ tеngliklar o’rinli bo’lsa. Bunday f aksettirish
t е skarilanuvchi
g ga esa f ning t е skarisi d е yiladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki bu holda
g ham tеskarilanuvchi va f ga g ning
tеskarisi dеyiladi.
2-tеorеma. Agar
f aks ettirishning tеskarisi mavjud bo’lsa u yagonadir.
Isboti. Faraz etaylik
g:B→ Α, h:B→ Α lar f:A→ Β ga tеskari bo’lsin,
ya’ni
gf =eΑ, hf = eΑ,fg =eΒ,fh= eΒ . U holda h(fg )= h⋅eΒ= h va
h (fg )= (hf )⋅g= eΑ⋅g= g
lardan h= g k е lib chiqadi.
Bundan k е yin
f ga tеskari aks ettirishni f−1 bilan bеlgilaymiz.
3-tеorеma. Aks ettirishning tеskarilanuvchi bo’lishi uchun uning
biyеktsiya bo’lishi zarur va yеtarlidir.
16

Isboti. f:A→ Β t е skarilanuvchi g:B→ Α, uning tеskarisi bo’lsin, u
holda
fg = eΒ, gf = eΑ va uchun f (g (y))= (fg ) y= eΒ y= y.
Bundan
g(y)∈Α elеmеnt y elеmеntning asli ekanligi kеlib chiqadi. Dеmak f
syurеktsiya endi agar biror
x1,x2∈Α elеmеntlar uchun f(x1)= f(x2) bo’lsa, u
holda
x1= eΑ(x1)= gf (x1)= gf (x2)= (gf ) x2= eΑ x2= x2 bo’ladi, ya’ni f
in’еktsiya, shunday qilib
f biеktsiya ekan.
Е tarli ekanligi. Faraz etaylik
f:A→ Β biеktsiya bo’lsin. U holda har bir
у∈B
uchun yagona asl mavjud. Bundan g (y)∈Α elеmеnt y ning asli ekanligi
kеlib chiqadi, ya’ni
g:B→ Α aks ettirish f:A→ Β ga tеskari.
Misollar: 1) Agar
a∈R va a≠0 bo’lsa, u holda y:R→ R f(x)=ax
funktsiya biеktsiya. Uning tеskarisi
g:R→ R , g (y)= y
a (¿ f(x)
a = ax
a = x) dan
iborat.
2). Ixtiyoriy
b∈R uchun f:R→ R, f(x)= x+b funktsiya ham bi е ksiya.
Uning t е skarisi
g:R→ R, g(y)= y−b.
3) Agar
a,b∈R va a≠0 bo’lsa, u holda f:R→ R, f(x)=ax +b
funktsiya biеksiya va uning tеskarisi
g:R→ R, g (y)= y−b
a .
4-t е or е ma. Agar
f:A→ Β va g:B→ C bi е ksiyalar bo’lsa, ularning
kompozitsiyasi
gf :A→ C ham biеksiya bo’ladi va (gf )−1= f−1g−1.
Isboti.
f va g lar bi е ksiya bo’lgani uchun f−1:B→ A va g−1:C → B lar
mavjud va dеmak
f−1g−1:C→ Α kompozitsiyasi ham mavjud.
Kompozitsiyaning assosativligiga asosan
(gf )(f1g−1)= g (f⋅ f−1) g−1= (ge )g−1= g⋅g−1= e
va
(f−1g−1) (gf )= f−1(g−1⋅g) f= f−1⋅(ef )= f−1⋅ f= e
Bundan
gf tеskarilanuvchi va (gf )−1= f−1⋅g−1 yuqorida isbotlangan 3-tеorеmaga
asosan
gf biеktsiya.
17

8- ta ’ rif . f:A→ Α bi е ksiyaga Α to ’ plamning o ’ zgarishi ( almashtirishi )
d е yiladi .
Α to ’ plamning barcha o ’ zgartirishini GΑ bilan b е lgilaymiz .
9-таъриф.
GΑ to ’ plamning H qism to ’ plami quyidagi shartlarni
qanoatlantirsa unga o ’ zgartirishlar guruhi d е yiladi .

g1)∀ f,g∈H uchun fg ∈H va gf ∈H ;
g2)Α
to’plamning birlik o’zgartiruvchisi eΑ ham H ga tеgishli.
g3)∀ f∈H
uchun f−1∈H .
1.3 Geometrik akslantirishning ba’zi xillari.
Ma’lumki, nuqtalarning har qanday to’plamiga figura deyiladi va figuraning
har bir nuqtasi shu to’plamning elementi deb ataladi. Shuning uchun har bir
geometrik figurani nuqtaviy to’plam deb qarash mumkin. Masalan, kesma
nuqtalarining to’plami, to’g’ri chiziq nuqtalarining to’plami, uchburchak
nuqtalarining to’plami, kub nuqtalarining to’plami va h.k.
Bir qancha fuguralarni nuqtalar to’plamlaridan tuzilgan to’plam deb qarash
mumkin. Masalan, ko’pburchakning tomonlari va diagonallari to’plami, bitta
aylanaga urinuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami, prizma yoqlari va diagonal kesimlari
to’plami, bitta sferaga urinuvchi tekisliklar to’plami va h.k.
4-ta’rif. Tekislik nuqtalari to’plamidan iborat biror geometrik figurani
ma’lum qonun yordamida akslantirib, shu tekislikning ikkinchi bir figurasiga
o’tkazish
‒ geometrik almashtirish deyiladi. Tekislikni nuqta atrofida burish,
markaziy simmetriya, o’q simmetriyasi, parallel ko’chirish va gomotetiyalar
geometrik almashtirishning eng sodda ko’rinishlaridandir.
Geometrik akslantirishni yana quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
5-ta’rif. Ma’lum qoida asosida tekislikning har bir M nuqtasiga shu
tekislikdagi aniq nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarning yo’li
aniqlangan yoki qisqacha, akslantirish berilgan deyiladi va bu simvolik ravishda
quyidagicha ko’rsatiladi:
. (2)
18

Bundagi nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nuqta esa nuqtaning
proobrazi (asli) deyiladi. Bunda f simvoli akslantirishning nimadan iboratligini
ko’rsatadi.
Tekis F figuraning har bir M nuqtasiga mos obrazlar to’plamidan iborat
figura F fuguraning obrazi deyilib, F fugura esa figuraning proobrazi
deyiladi va bu ham simvolik ravishda quyidagicha ko’rsatiladi:
. (2 )
(2 ) ning ma’nosini quyidagicha bayon qilish ham mumkin: harakatdagi M
nuqta F figuraning hamma nuqtalari vaziyatini olib o’tganda f akslantirish
bo’yicha M mos nuqta ham o’z o’rinlarini o’zgartirib, figurani chizib
beradi.
nuqtaning vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog’liq bo’lgani uchun M
nuqta nuqtaning argument, nuqta esa M nuqtaning funksiyasi deyiladi.
(2 ) dagi F va figuralarning har biri bittagina nuqtadan, ayrim nuqtalar
top’lamidan, ixtiyoriy chiziqdan yoki tekislikning biror bo’lagidan yoki tekislikdan
iborat bo’lishi mumkin.
Figuralarni akslantirish analitik usulda ham berilishi mumkin.
1-misol. 1-chizmadagi OX o’qda yotgan nuqtalarni tenglama
yordamida koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqdagi nuqtalarga
akslantirish mumkin. Buning uchun OX o’qdagi M(x,O) nuqtaga koordinatalari x
va y=kx bo’lgan nuqtani mos keltirish kerak.
Agar M nuqta OX o’qi bo’yicha siljisa, unga mos nuqta OA to’g’ri
chiziq bo’yicha harakatlanadi.
2-misol. Ixtiyoriy AOB o’tkir burchakning bir tomonidagi nuqtalarni uning
ikkinchi tomonidagi nuqtalarga turlicha akslantirish mumkin; bulardan biri OB
tomon nuqtalariga shu nuqtalarning OA tomonidagi ortogonal proyeksiyalarini mos
keltirishdir.
19

2-chizma.
3-misol. 3-
chizmadagi AOB
burchakning OB tomonidagi M, N,…, nuqtalarga OA tomondagi M , N ,
…, nuqtalarni shu burchakning bissektrisasiga o’tkazilgan perpendikulyarlar
vositasida mos keltirish mumkin.
Olgan misollarimizda M nuqtaga M ni, N nuqtaga N ni va h.k mos keltirdik.
OB nurga har qanday nuqtaga shu akslantirishga asosan OA nurdan unga mos
bo’lgan nuqtani topish mumkin. Shuning uchun quyidagilarni yoza olamiz:
, ,…
Xuddi shunday OA nurning M nuqtasi uchun OB nurda aniq bir M nuqtani toppish
mumkin, ya’ni quyidagilar o’rinlidir:
,…
Shuning uchun bunday aks ettirishlar qaytma akslanish bo’ladi.
3-chizma.
4-misol. 4-chizmadagi tenglama bilan berilgan parabola nuqtalariga
uning simmetriya o’qi OY ning nuqtalarini mos keltirish mumkin.
20

4-chizma.
Buning uchun parabolada yotgan nuqtaning absissasi x bo’lsa,
nuqtani unga mos keltiramiz. nuqta nuqtaning OY dagi
ortogonal proyeksiyasi deb ham qarash mumkin.
Yuqoridagi 1,2,3-misollarning har birida obrazning ( OX o’q va OA to’g’ri
chiziqning) har qanday nuqtasi bittagina obrazga ( M nuqtaga) ega bo’lib, 4-
misoldagi OY obrazning O dan boshqa har qanday nuqtasiga ikkita proobrazga
( va nuqtalarga) egadir.
Agar aylana nuqtalariga uning diametridagi ortogonal proyeksiyalari mos
keltirilsa, diametrning uchlaridan boshqa har bir nuqtasi aylanada ikkita
proobrazga ega bo’ladi.
Agar doira nuqtalariga doiraning biror diametridagi ortogonal proyeksiyalari
mos keltirilsa, diametrning uchlaridan boshqa har qanday nuqtasining proobrazlari
shu nuqtadan diametrga perpendikulyar qilib o’tkazilgan vatarning cheksiz ko’p
nuqtalaridan iborat bo’ladi.
Shunday qilib, geometrik akslantirishlarda har bir nuqtaning proobrazi
bittagina nuqtadan, ikkita nuqtadan va cheksiz ko’p nuqtalardan iborat bo’lishi
mumkin.
Geometriyada har bir nuqtasining proobrazi bittagina nuqta bo’lgan
obrzalarni hosil qiluvchi akslantirishlar katta ahamiyatga egadir.
21

Bunday akslantirishlarga, odatda, o’zaro bir qiymatli akslantirish deyiladi va
bundagi F proobraz bilan nuqtalari orasidagi moslikka o’zaro bir qiymatli
moslik deyiladi.
Yuqorida ko’rilgan misollardan 1,2,3-lari o’zaro bir qiymatli akslantirish
bo’lib, 4-misoldagi akslantirish o’zaro bir qiymatli emas.
Agar akslantirish o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lsa, har bir
M obrazga bittagina M ni mos keltiruvchi (ya’ni obrazdan proobrazga o’tishdan
iborat) akslantirish f akslantirishga nisbatan teskari akslantirish deb ataladi va
bilan belgilanadi:
.
Geometriyada uchraydigan hamma o’zaro bir qiymatli akslantirishlar ichida
harakat deb ataluvchi akslantirishlar muhim o’rin tutadi. Geometriyada harakat
quyidagicha ta’riflanadi: agar akslantiruvchi figuraning har qanday ikki M va N
nuqtalarini tutashtiruvchi MN kesma shu nuqtalarning obrazlari va
nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaga teng bo’lsa, bunday akslantirish harakat deb
ataladi.
Demak, harakatda aks ettiriluvchi figuraning har ikki nuqtasi orasidagi
masofa o’zgarmaydi(salanadi), ya’ni harakat qayta akslanishdir.
Yuqorida ko’rilgan misollardan uchinchisi harakatdir(3-chizma), chunki
yasalishiga ko’ra M bilan N kesmalar OC bissektrisaga perpendikulyar
bo’lgani uchun va ; bundan . Qolgan
uchta misolda ko’rilgan akslantirishlarning birortasi ham harakat bo’la olmaydi.
Agar f akslantirish harakat bo’lsa, bu akslantirish o’zaro bir qiymatli bo’ladi.
Haqiqatan, obraz bitta proobrazga emas, balki ikkita proobrazga ega deb
faraz qilaylik. Bu holda harakatning ta’rifiga ko’ra, bo’lishi
kerak, ya’ni nuqtalar ustma-ust tushishi lozim, ammo nuqtalar har
xil bo’lgani uchun bu tenglik bajarilmaydi. Demak, harakat natijasida har bir obraz
birgina proobrazga ega bo’lib, akslantirish o’zaro bir qiymatli bo’ladi.
22

Agar F figura harakat bo’lgan akslantirish natijasida figuraga o’tsa, F va
figuralar o’zaro teng deb ataladi. Harakat bilan tenglikning ta’riflaridan
ma’lum bo’ladiki, harakat teng figuralarning nuqtalari orasidagi bir qiymatli
moslikdir, ya’ni harakat har bir figurani o’ziga teng figuraga o’tkazuvchi
akslantirishdir.
Uzluksiz akslantirishning xossalari.
Teorema . Aytaylik akslantirish fazoning a nuqtasida,
akslantirish fazoning nuqtasida uzluksiz bo’lsin. U holda ni ga
akslantiruvchi murakkab akslantirish a nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Isboti . fazo nuqtasining ixtiyoriy atrofini olamiz. akslantirish
nuqtada uzluksiz va bo’lganligi sababli, nuqtaning
shartni qanoatlantiruvchi atrofi mavjud. Shunga o’xshash, T
akslantirish a nuqtada uzluksiz bo’lganligi sababli, bu nuqtaning shartni
qanoatlantiruvchi atrofi mavjud. holda ga ega
bo’lamiz. Bu esa akslantirishning a nuqtada uzluksiz ekanligini
isbotlaydi.
Teorema . Agar T akslantirish metrik fazoni metrik fazoga aks ettiruvchi
uzluksiz akslantirish bo’lsa, u holda fazodan olingan ixtiyoriy ochiq
to’plamning fazodagi proobrazi ochiq, yopiq to’plamniki esa yopiq bo’ladi.
Isboti . Aytaylik to’plam da ochiq bo’lsin. fazodagi
to’plamning barcha nuqtalari ichki nuqta ekanligini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik bo’lsin. U holda va ochiq
bo’lganligidan b nuqta to’plamning ichki nuqtasi bo’ladi. Shuning uchun bu
nuqtaning ga to’laligicha tegishli bo’lgan atrofi mavjud. akslantirishning a
nuqtada uzluksizligidan nuqtaning shunday U atrofi mavjud bo’lib,
23

bo’ladi. U holda , bundan esa kelib chiqadi. Bu esa
ixtiyoriy nuqtaning ga tegishli atrofi mavjudligi, ya’ni a ichki nuqta
ekanligini isbotlaydi. Shuning uchun ochiq to’plam.Yopiq to’plamning
to’ldiruvchisi ochiq ekanligidan, fazoda biri ikkinchisiga to’ldiruvchi
to’plamlarning proobrazlari, fazoda ham biri ikkinchisiga to’ldiruvchi
bo’lishidan va teoremaning isbot qilingan qismidan ikkinchi qismning isboti kelib
chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Uzluksiz akslantirishda, ochiq to’plamning obrazi
har doim ham ochiq bulavermaydi. Masalan, uzluksiz akslantirishda
intervalning obrazi kesmadan iborat.
Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar
Teorema . Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompakt to’plam
bo’ladi.
Isboti . Aytaylik kompakt to’plam va uzluksiz akslantirish bo’lsin.
to’plamning kompakt ekanligini isbotlash kerak.
to’plamdan ixtiyoriy ketma-ketlikni olib, orqali nuqtaning
akslantirishdagi obrazini belgilaymiz. U holda to’plamdagi ketma-
ketlikka ega bo’lamiz. kompakt to’plam bo’lganligi sababli bu ketma-ketlikdan
to’plamning biror nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib
olish mumkin. T akslantirishda bu qism ketma-ketlik ning {xnk
'} qism ketma-
ketligiga o’tadi. T akslantirishning s nuqtada uzluksizligidan
lim
k→∞
x’nk= limk→∞T (xnk)= T(limk→∞xnk)=
 . Shunday qilib, to’plamdan
olingan har bir ketma-ketlik da yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega. Bu
esa to’plamning kompakt ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
Aytaylik metrik fazoda uzluksiz funkstional berilgan bo’lsin.
Teorema . funkstional kompakt to’plamda chegaralangan hamda o’zining
eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
24

Isboti . Yuqoridagi teoremaga asosan funkstionalning qiymatlar to’plami
, kompakt to’plam bo’ladi. Demak, chegaralangan, ya’ni shunday
va sonlar topilib, bo’ladi. Bundan funkstionalning da
chegaralanganligi kelib chiqadi.
to’plamning chegaralanganligidan, uning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari
mavjud. Endi belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi ketma-
ketlikni olamiz. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko’ra, ketma-ketlikning har
bir hadi uchun, M to’plamga tegishli shunday x nuqtalar topilib,  -
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. So’nggi tengsizlikni qanoatlantiruvchi x nuqtalardan
birini bilan belgilaymiz. U holda bu nuqtalar uchun
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. O’osil bo’lgan ketma-ketlikdan to’plamning
nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratamiz. Bu nuqtada
funkstional uzluksiz, shu sababli f(x
0 )=lim
k→∞
f(xnk)= α bo’ladi. Demak,
funkstional o’zining eng katta qiymatini qabul qiladi.
Shunga o’xshash, funkstionalning eng kichik qiymatiga erishishi isbotlanadi.
Teorema isbot bo’ldi.
metrik fazoda uning biror qism to’plami va funkstional berilgan
bo’lsin.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday topilsaki, shartni
qanoatlantiruvchi har qanday x
1 ,x
2  M uchun ushbu

|f(x2)− f(x1)|<ε
tengsizlik bajarilsa, u holda f funkstional M to’plamda tekis uzluksiz deyiladi.
25

to’plamda tekis uzluksiz funkstionalning shu to’plamda uzluksiz bo’lishini
ko’rish qiyin emas.
Haqiqatan, aytaylik nuqta to’plamga tegishli bo’lsin. Hadlari
to’plamga tegishli bo’lib, nuqtaga yaqinlashuvchi biror ketma-ketlikni
tuzib olamiz. U holda, ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, etarlicha
katta n larda tengsizlikning bajarilishidan
tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, nuqtaga yaqinlashuvchi
ixtiyoriy ketma-ketlik uchun sonli ketma-ketlik ga
yaqinlashadi. Bu esa funkstionalning nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi.
Tanlashimizga ko’ra nuqta to’plamning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi
sababli, f funkstional to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Quyidagi teorema funkstional tekis uzluksizligining etarli shartini ifodalaydi.
Teorema (Kantor). Agar metrik fazodagi funkstional kompakt
to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda funkstional shu to’plamda tekis uzluksiz
bo’ladi.
Isboti . funkstional to’plamda uzluksiz, lekin tekis uzluksiz bo’lmasin deb
faraz qilamiz.
II-BOB.GEOMETRIK AKSLANTIRISHLAR VA ULARNING
QO’LLANILISHI
2.1 Simmetriya va parallel ko’chirish lari
Simmetriya so’zi grekcha so’zdan olingan bo’lib, uning lug’aviy ma’nosi
o’lchovdosh demakdir.
Geometriyada esa simmetriya yoki simmetrik deganda ikki teng figuraning
biror to’g’ri chiziqqa(nuqtaga yoki biror tekislikka) nisbatan ma’lum qonun
asosida bir xil vaziyatda joylashuvlari tushuniladi.
Ta’riflar
26

Tekislikdagi har qanday ikki nuqta ularni tutashtiruvchi kesmaning o’rta
perpendikulyaralriga nisbatan simmetrik nuqtalar deb ataladi.
Bu ta’rifga ko’ra, tekislikda berilgan har qanday A nuqtaga shu tekislikdagi
biror S to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik nuqta quyidagi talablarga javob
berishi shart:
1) A to’g’ri chiziq S to’g’ri chiziqqa perpendikulyar; 2) A va nuqtalar
2) S to’g’ri chiziqdan har xil tarafda; 3) A va nuqtalar S to’g’ri chiziqda
bir xil uzoqlikda yotadi.
S to’g’ri chiziq A va nuqtalarning simmetriya o’qi deb ataladi. O’qda
yotuvchi har bir nuqta o’z-o’ziga simmetrik deb hisoblanadi.
Har xil A va nuqtalar bittagina simmetriya o’qiga ega bo’ladi.
Tekislikning har bir A nuqtasiga S o’qqa nisbatan simmetrik nuqtani mos
keltirish simmetrik akslantirish deyiladi.
S o’qqa nisbatan A nuqtaga simmetrik nuqta bo’ladideyish o’rniga biz
qisqacha
(3)
deb yozamiz.
Agar bo’lsa, bo’lishini ko’rish qiyin emas,
demak, nuqta nuqtaga va aksincha, nuqta nuqtaga S to’g’ri
chiziqqa nisbatan simmetrik nuqtalardir, shuning uchun ularni S to’g’ri chiziqqa
nisbatan o’zaro simmetrik deb ataymiz. Bunday xossaga ega bo’lgan akslantirishlar
involyutsion akslantirish deyiladi.
Biror F figurani tashkil etuvchi nuqtalarga S to’g’ri chiziqqa nisbatan
simmetrik nuqtalardan tuzilgan figura S o’qqa nisbatan F figuraga nisbatan
simmetrik deyiladi va
(4)
ko’rinishida yoziladi(5-6-chizmalar).
27

5-chizma
6-chizma
(4) dagi figuraning ixtiyoriy nuqtasi figuradagi birgina nuqtaning
obrazidir. Shuning uchun simmetriya o’zaro bir qiymatli akslantirishdir.
Simmetrik akslantirishdan foydalanib yasashga doir masalalarni yechish
simmetriya i deyiladi.
Bu bilan masala yechishda so’ralgan figurani topildi deb faraz qilib,
taxminan chizib qo’yilgandan keyin, bu figuraning lozim topilgan biror f bo’lagi
yoki berilganlardan ba’zilari shunday bir o’qqa nisbatan shunday akslantiriladiki,
hosil bo’lgan figura bilan figura elementlari orasidagi bog’lanishdan
foydalanib, asosiy talabga javob beradigan yordamchi figura topiladi. Bu
28

yordamchi figurani masalada berilganlarga tayanib yasash va bu figuradan
izlangan figuraga o’tish mumkin bo’lishi shart.
Shu ikki talabga javob beruvchi figuraning analiz chizmasida topilishi bilan
masalani yechish plani tuzilib qoladi.
1-masala . Ikki tomoni va shu tomonlar qarshisidagi burchaklarining
ayirmasi berilgan uchburchak yasang.
Analiz. Izlangan uchburchak 7-chizmadagi ABC uchburchak bo’lib, uning
BC=a, AB=c tomonlari va ular qarshisidagi burchaklar ayirmasi berilgan
bo’lsin.
7-chizma
Berilgan burchakni chizish uchun ABC uchburchak AC tomonining o’rta
perpendikulyariga ( S o’qqa) nisbatan simmetrik akslantiraylik.
va uchburchaklarda: bo’ladi. ga teng
burchakli uchburchakda tomonlari va ular orasidagi
burchak ma’lum. Demak, bu uchburchakni (yordamchi figurani) yasash
mumkin.
Ikkinchidan, uchburchaklardan izlangan ABC uchburchakka o’tish
mumkin. Haqiqatan, uchburchakni, uning tomonining S o’rta
perpendikulyarlariga nisbatan simmetrik akslantirsak, bundan hosil
bo’ladi. Shuning bilan ABC uchburchakning C uchi ham aniqlanadi.
29

Demak, masalada berilganlar bo’yicha izlangan uchburchakni yasash uchun
avval berilgan a va c tomonlar va ular orasidagi burchak bo’yicha
uchburchakni yasab, so’ngra tomonining o’rta perpendikulyarlariga nisbatan
A nuqtani C nuqtaga simmetrik akslantirish kerak. ABC uchburchak izlangan
uchburchak bo’ladi.
Parallel ko’chirish
Agar tekislikda ixtiyoriy V vektor berilgan bo’lsa, tekislikdagi har bir A
nuqtaga shartni qanoatlantiruvchi bittagina A nuqtani mos keltirish
mumkin.
Shunga ko’ra, tekislikning biror A nuqtasini
(5)
shartni qanoatlantiruvchi nuqtaga keltiishni ma’lum V vektor qadar parallel
ko’chirish deb ataladi.
Tekislikning A va nuqtalari orasiga o’rnatilgan (5) moslikni quyidagi
shaklda belgilashni shart qilamiz:
(5 )
va buni quyidagicha o’qiymiz. A nuqtani V vektorga qadar parallel ko’chirsak,
nuqta hosil bo’ladi. (5 ) dagi nuqta A nuqtaning obrazi, A nuqta esa
nuqtaning proobrazi bo’ladi.
Parallel ko’chirishning asosiy xossalari
Birinchi xossa. Tekislikda parallel ko’chirish tekislik nuqtalarini o’zaro bir
qiymatli akslantirishdir, ya’ni parallel ko’chirishda, tekislikning bitta nuqtasiga
o’sha tekislikning bittagina nuqtasi mos keladi va, umuman, F figurani parallel
ko’chirishdan hosil bo’ladigan obrazning har bir nuqtasiga nuqtasi F
figuraning bittagina M nuqtasini ko’chirishdan hosil bo’ladi.
Ikkinchi xossa. Parallel ko’chirish harakatdir, ya’ni har bir figurani parallel
ko’chirishdan unga teng figura hosil bo’ladi.
30

Haqiqatan, 8-chizmadagi F va mos figuralarning A va , B va mos
nuqtalaridan A bilan B ni va bilan ni tutashtirishdan tenglik
hosil bo’ladi. Buning to’g’riligiga to’rtburchakning parallelogrammligi
asos bo’ladi.
8-chizma
Bu bajarilgan akslantirishning harakat ekanligini tasdiqlaydi. Bundan,
parallel ko’chirishda har bir figuraning o’ziga teng figuraga o’tishi ma’lum bo’ladi.
Bu bilan masala yechish asosan quyidagi tartibda bajariladi:
I. Masalada so’ralgan F figura, odatdagicha topiladi deb faraz qilib,
taxminan chizib qo’yiladi.
II. Chizilgan taxminiy figuraning lozim topilgan biror bo’lagi yoki uning
chiziqli elementi shunday parallel ko’chiriladiki, uning va ba’zi bir qo’shimcha
chiziqlarning chizilishi natijasida yordamchi f figura hosil bo’ladi.
2-masala. Asoslari va diogonallari berilgan trapetsiya yasang .
Analiz. Izlanuvchi trapetsiya 9-chizmadagi ABCD trapetsiya deb faraz
qilaylik.uning berilgan elementlarini bir uchburchakka keltirish uchun berilgan
chiziqli elementlardan birirni parallel ko’chirib ko’raylik, chunonchi, AC
diagonalni CB asosi bo’yicha siljitib(parallel ko’chirib) uni B holatga
keltiramiz, buning uchun B nuqtadan to’g’ri chiziq o’tkazib, DA asosni
bu chiziq bilan kesishguncha davom ettiramiz.
31

9-chizma
Bundan hosil bo’lgan uchburchak yordamchi figura bo’ladi, chunki:
A) uchburchakning uchala tomoni ma’lum
va BD ham ma’lum. Shuning uchun ham bu
uchburchakni yasay olamiz.
B) uchburchakdan izlanuvchi ABCD trapetsiyaga o’tish uchun uning
A va C uchlarini topish kifoya. Bu masadda uchburchakning tomonini
kesma qadar parallel ko’chiramiz.
32

2.2 Nuqta atrofida aylantirish
Tekislikning biror O nuqtasi atrofida yo’nalishi va kattaligi berilgan
burchak miqdorida aylantirish(burish) deb, bu tekislikning har bir nuqtasi
uchun
(6)
talabga javob beruvchi nuqtani mos keltirishga aytiladi(10-chizma).
Ta’rifda aytilgan O nuqta ― aylantirish markazi, esa aylantirish burchagi
(ba’zan burish burchagi) deyiladi, nuqta M nuqtaning obrazi, M nuqta esa
nuqtaning proobrazi deyiladi. (6) da aytilgan aylantirishni qisqacha bunday
yozishga shartlashib olamiz:
(6 )
Aylantirishning asosiy xossalari
1) Aylantirish harakatdir. Haqiqatan, 11-chizmada ko’rsatilganidek
va bo’lsa, undagi AOB va uchburchaklarning
tengligidan ma’lum bo’ladi. Bu esa aylantirishning harakat ekanligini
tasdiqlaydi. Shuning uchun aylantirish o’zaro bir qiymatli almashtirishdir.
10-chizma
33

11-chizma
2) Bir nuqta atrofida bajarilgan hamma aylantirishlar to’plami ( ), ularni
ko’paytirish(qo’shish)ga nisbatan gruppa tashkil etadi.
3) O’qlari parallel bo’lmagan, ketma-ket bajarilgan ikkita simmetrik
almashtirish nuqta atrofida aylantirishga teng kuchlidir.
3-masala. Bir uchi berilgan A nuqtada, B va C uchlari esa mos ravishda
berilgan b va c parallel to’g’ri chiziqlarda yotuvchi teng tomonli ABC uchburchak
yasang.
Analiz. ABC uchburchak ― izlangan teng tomonli uchburchak deb faraz
qilaylik(12-chizma).
12-chizma
34

ABC uchburchakning AB tomonini, b to’g’ri chiziqni A nuqta atrofida
burchak miqdorida shunday aylantiraylikki, AB tomon AC tomon ustiga tushsin.
Bu holda uchburchakning b to’g’ri chiziqdagi B uchi uning C uchiga tushib, b
to’g’ri chiziq esa C nuqtadan o’tuvchi vaziyatga keladi. Demak, uchburchakning
C uchi c va to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtasida bo’lar ekan.
Yasash. Berilgan to’g’ri chiziqlardan birini, masalan, b to’g’ri chiziqni
berilgan A nuqta atrofida (yoki )burchakka aylantiramiz. Bundan hosil
bo’lgan to’g’ri chiziq bilan berilgan c to’g’ri chiziqning kesishgan nuqtasi ―
izlangan uchburchakning C uchi bo’ladi. Topilgan C nuqtani A nuqta atrofida li
burchakka aylantirib, b to’g’ri chiziqda B nuqtani topamiz.
4-masala . Ikki tomoni va uchinchi tomoniga o’tkazilgan medianasi berilgan
uchburchak yasang.
Analiz. ABC uchburchak―izlangan uchburchak(13-chizma), AB, BC
berilgan tomonlari va BD berilgan medianasi bo’lsin.
13-chizma
CD tomonli BCD uchburchakni D nuqta atrofida ga aylantirsak, AD va DC
kesmalarning tengligidan uning CD tomoni AD kesma ustiga tushadi. Bu holda
BCD uchburchakning B uchi E nuqtaga va C uchi A nuqtaga tushib, o’zi AED
uchburchak vaziyatiga keladi. DE kesma ning davomi bo’ladi. Hosil bo’lgan
ABE uchburchak yordamchi figura bo’ladi.
Haqiqatan ham:
35

A) Masalada berilgan va hamda
elementlar bo’yicha ABE uchburchakni yasash mumkin.
B) ABE uchburchakdan ABC uchburchakka o’tish mumkin: BE tomonning
o’rtasi D ni topib, ubi A nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo’lgan ADE
uchburchakni D nuqta atrofida ga aylantirib, uni BDC uchburchak holiga
keltiramiz. ABC uchburchak ― izlangan uchburchak bo’ladi.
Bu yerda inversion almashtirish ning quyidag i teorema bilan
ifodalanuvchi yana bir muhim xossasi bilan tanishamiz.
Teorema. Ikki c hiziq orasidagi burchak 1 1
ularga inversion mos chiziklar
orasidagi burchakka kongrue nt bo’ladi.
Chiziqlar orasidagi burchakni o’zgartirmaydigan almashtirishlar konform
almashtirish deb ataladi.
Bu n i isbot qilish uchun (20- chizmadagi) va egri chiziqlarga
inversion mos bo’lgan va egri chiziqlarni chizaylik.
bilan chiziqlar nuqtada va bilan esa nuqtada kesish sin. Bu
holda A’ nuqta A nuqtaga inversion mos bo’ladi.
Inversiya markazi nuqtadan egri chiziqlarni mos
ravishda nuqtalarda kesib o’tuvchi ixtiyoriy bir nur o’tkazamiz.
So’ngra, nurni ham chizib, nuqtani va nuqtalar bilan hamda
nuqtani va nuqtalar bilan tutashtiramiz.
Bundagi bilan va bilan to’gri chiziqlarning
burchakka nisbatan antiparallel ekanligidan foydalanib (13- chizmadagi
ni isbot qilishda qo’llanilgan yo’l bilan),
tenglikning to’g’riligini isbot qilish mumkin.
Agar nurni atrsfida aylantirib,
burchakni kichraytirib borsak, undagi
va nuqtalar nuqtaga, va
1
36

nuqtalar esa nuqtaga yaqinlashib boradi , bu vaqtda yuqoridagi tenglik
hamma vaqt o’z kuchini saqlab qoladi. Bu
holda (ya’ni burchak ga intilganda) undagi
kesuvchilar va yoylarning nuqtasiga o’tkazilgan urinmalar
vaziyatiga intilib, va kesuvchilar esa va yoylarning umumiy
nuqtasiga o’tkazilgan urinmalar vaziyatiga intiladilar.
Shu bilan birga, ushbular ham mavjud :
nolga intilganida va ning qiymatlari o ’ zaro
teng bo ’ lib qolganligi uchun ularning limitlari ham o ’ zaro teng bo ’ ladi , ya ’ ni
yoki
Chizmadan ko’rinadiki, va burchaklar faqat absolyut
qiymatlari jihatidan teng bo’lib, ularning ishoralari har xildir.
T eorema. O’zaro inversion mos bo’lgan ikki nu q tadan o’tuvchi aylana
o’z-o’ziga inversion va inversiya aylanasiga ortogonal bo’ladi.
Buni isbot qilish uchun aylanaga nisbatan inversion va
nuqtalardan o’tuvchi, biror aylanani chizaylik. Bu aylana bilan inversiya
aylanasinyng kesishgan nuqtalarini va bilan belgilaylik.
Bu holda aylanaga nisbatan aylanaga inversion bo’lgan ikki aylana,
albatta, shu va nuqtalardan o’tadi; shuning uchun aylana
aylananing o’zi bo’ladi. Bundan va aylanalarning o’zaro ortogonalligi
ma’lum bo’ladi.
37

Teorema. Har biri inversiya aylanasiga ortogonal bo’lgan ikki aylananing
kesish iSh nuqta lari o’zaro inversion mos bo’ladi. aylanaga ortogonal
bo’lgan va aylanalarning kesishgan va nuqtalarining o’zaro
inversion mos bo’lishlari ravshan, chunki birinchi teoremaga teskari
teoremaga muvofiq, vnversiya aylanasiga ortogonal bo’lgan aylanaga
inversion figura o’sha aylananing uzi bo’ladi. Shuning uchun bilan
aylanalarning kesishgan nuqtalari ham o’zaro inversion mos bo’ladi.
Teorema. Agar aylana va unga nisbatan o’zaro inversion mos va
nuqta lar boshqa bir aylanaga nisbatan inversion almashtirish natijasida mos
ravishda aylanaga hamda va nuqtalarga akslansa, so’nggi va
nuqta lar aylanaga nisbatan ‘o’zaro inversion bo’ladi. .
Bu teoremani, qisqacha, quyidagicha ifoda qilish mumkin;
Agar
b o’lsa,
bo’ladi 1
.
Buni isbot qilish uchun va nuqtalardan va aylanalarni
o ’ tkazaylik . Birinchi teoremaga muvofiq, keyingi aylanalarning har biri
inversiya aylanasi ga ortogonal bo’ladi. va aylanalar aylanaga nisbatan
va aylanalarga inversion mos aylanalar bo’lsin. Inversion almashtirishda
burchakning absolyut qiymati o’zgarmagani uchun va lar ga ortogonal
bo’lib, va nuqtalardano’tadilar. Demak (bundan oldingi teoremaga
binoan) va nuqtalar aylanaga nisbatan inversion mos bo’ladi.
2.3 Inversiya haqida tushuncha
Inversiya so’zi lotincha inversion so’zidan olinib, buning ma’nosi tekarisini
ag’darish yoki o’rinlarini akslantirish demakdir.
38

Inversiya―muhim geometrik akslantirishlardan biri bo’lib, u boshqa lar
yordamida yechilishi qiyin bo’lgan konstruktiv masalalrni osonroq masalaga
keltirib yechishga imkon beradi. Inversiya geometriyaning boshqa ko’pgina
sohalarida va ba’zi bir mexanizmlarning, masalan, turli inversorlarning tuzilishi va
ishlatilishini nazariy asoslashda ishlatiladi.
6-ta’rif. Agar biror aylana markazidan chiqqan nurning ikki nuqtasidan shu
aylana markazigacha bo’lgan masofalarning ko’paytmasi aylana radiusining
kvadratiga teng bo’lsa, bunday ikki nuqta bu aylanaga (yoki uning markaziga)
nisbatan inversion mos nuqtalar deyiladi.
Bu ta’rifga ko’ra, biror u(O,r) aylana tekisligidagi ( O nuqtadan boshqa) A
va nuqtalar shu aylanaga nisbatan inversion mos bo’lishi uchun bular quyidagi
ikki talabni qanoatlantirishi shart:
1) nuqta OA nurda yotadi;
2) munosabat mavjud; (7)
3) O nuqta A va nuqtalar oralig’ida yotmaydi.
Yuqorida aytilgan u aylana ― inversiyaning asosiy aylanasi yoki inversiya
aylanasi deyilib, bu aylananing markazi ― inversiya markazi (yoki qutbi) deyiladi;
inversiya aylanasining radiusi ― inversiya darajasi (yoki koeffitsiyenti) deyiladi.
7-ta’rif. u(O,r) aylana tekisligidagi (O nuqtadan boshqa) har bir A nuqtani
OA nurda yotgan va shartni qanoatlantiruvchi nuqtaga
o’tkazuvchi akslantirish ― inversion akslantirish yoki inversiya deyiladi(14-
chizma).
39

14-chizma
Bu da izlanuvchi figura bilan masalada berilganlar orasidagi bog’lanishni
bevostita aniqlamay, oldin ularga iversion mos figuralar orasidagi munosabat
topiladi, so’ngra izlanuvchi figuraga o’tiladi. Bu ish quyidagi tartibda bajariladi:
1. Masalada izlanuvchi figura topildi deb, taxminan chizib qo’yiladi.
2. Mo’ljallab shunday bir nuqtani inversiya markazi deb qabul qilinadiki, bu
nuqtani markaz qilib chizilgan aylanaga nisbatan berilgan va so’ralganlarni
inversion akslantirganda masala yechishning osonroq yo’li topilsin, ya’ni masalada
berilgan va so’ralganlar orasidagi munosabatga qaraganda ularga inversion mos
figuralar orasidagi munosabat soddaroq bo’lsin.
3. Chizilgan inversion figuralar orasidagi munosabatni o’rganib, so’ralgan
figuraga mos figurani yasash mumkinligi aniqlanadi, ya’ni berilgan masalaga
nisbatan ososnroq bo’lgan yordamchi masalani yechish yo’li belgilanadi. Shu bilan
masalani yechishning analiz bosqichi tugaydi.
5-masala. Berilgan ikki nuqtadan o’tib, berilgan aylanaga urinuvchi aylana
chizing.
Analiz. Izlanuvchi aylana 15-chizmadagi M va N nuqtalardan o’tuvchi va
berilgan A(O,R) aylanaga urinuvchi aylana deb faraz qilaylik. Berilgan
nuqtalaradan birortasini, masalan, M nuqtani inversiya markazi deb qabul qilib,
shu markazdan ixtiyoriy radius bilan inversiya aylanasi u ni chizib qo’yamiz.
40

15-chizma
u aylanagan nisbatan N nuqta, A va
aylanalarni inversion akslantiririb, ularga mos bo’lgan
nuqta, aylana va to’g’ri chizizqni hosil
qilamiz. Farazimizga binoan izlanuvchi aylana
berilgan nuqtalardan o’tib, A aylanaga uringanligi
uchun to’g’ri chiziq ham nuqtadan o’tib,
aylanaga urinadi. Demak, to’g’ri chiziqni:
“ma’lum nuqtadan ma’lum aylanaga urinma
o’tkazing” degan yordamchi masalani yechib topamiz; so’ngra, topilgan ni u ga
nisbatan inversion akslantirib, aylanani topamiz. Demak, to’g’ri chiziq
yordamchi figura bo’ladi, chunki uni berilganlarg tayanib chizish va undan
izlanuvchi figuraga o’tish mumkin.
Yasash. 1. Berilgan nuqtalardan bittasini, masalan, M nuqtani inversiya
markazi deb qabul qilib, shu markazdan ixtiyoriy radius bilan inversiya aylanasi u
ni chizamiz.
2. Berilgan N nuqta va A aylanani u unversiya aylanasiga nisbatan inversion
akslantirib, nuqta va aylanani hosil qilamiz.
3. nuqtadan aylanaga va urinmalarni o’tkazamiz(umumiy
holda ikkita urinma mavjud, 15-chizmada faqat bitta urinma ko’rsatilgan).
4. Topilgan urinmalarni u inversiya aylanasiga nisbatan akslantirib,
so’ralgan va aylanalarga ega bo’lamiz.
6-masala. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan ikki to’g’ri chiziqqa urinuvchi
aylana chizing.
41

16-chizma
Analiz. Izlanuvchi aylana 16-chizmada berilgan M nuqtadan o’tib, a va b
to’g’ri chiziqlarga urinuvchi ayalana deb o’ylayalik.
M markazdan ixtiyoriy radius bilan chizilgan u aylanaga nisbatan a va b
to’g’ri chiziqlarni va aylanani inversion akslantiraylik. a va b to’g’ri chiziqlar
mos ravishda aylanalarga, aylana esa bularga urinuvchi to’g’ri
chiziqqa aylansin.
Demak, masalani yechish uchun avval a va b to’g’ri chiziqlarni M markazli
ixtiyoriy u aylanaga nisbatan inversion akslantirib, bundan hosil bo’lgan
aylanalarga umumiy urinmalar o’tkaziladi. So’ngra, topilgan umumiy urinmalarni
u aylanaga nisbatan inversion akslantirib, izlanuvchi aylanalar hosil qilinadi.
To’g’ri chiziqni inversion almashtirish
Teorema. Inversiya markazidan o’tuvchi to’g’ri chiziqq a inversion
mos figura shu to’g’ri chiziq ning o’zidir.
Haqiq at an, teoremada aytilgan to’g’ri chiziqning inversiya aylanasi
42

bilan kesishish nuqtalarining har biri (inversiya aylanasiga q a rashli bo’lgani
uchun) inversion almashtirish da o’sha nuqtaning o’ziga o’tadi.
Ikkinchi tomondan, inversiya markazidan chiqqan nurning har bir
nuqtasi inversion almashtirish da yana o’sha nurda yotuvchi ikkinchi bir
nuqtaga o’tadi .
Demak, teorema o’rinli.
Bunda yana quyidagilarni ham nazarda tutiladi:
a) inversiya markazidan chiqqan nurning inversiya aylanasi ichida
joylashgan bo’lagi, o’sha nurning tashqi bo’lagiga o’tadi va, aksincha (6-
chizma);
b) inversiya markazidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning nuqtasiga (ya’ni
inversiya markaziga) hech qanday nuqta inversion mos kelmaydi va uning o’zi
ham hech qanday nuqtaga inversion mos bo’lmaydi.
Teorema. Inversiya markazidan o’tmovchi to’g’ri chiziqqa inversion mos
figura inversiya markazidan o’tuvni aylanadir.
Bu teoremani turli yo’llar bilan isbot qilish mumkin; bu paragrafda
quyidagi ikki yo’lni ko’ramiz:
B i r i n c h i y o ’ l . Inversiya aylanasining markazidan berilgan to’g’ri
chiziqqa perpendikulyar tushirib, bu perpendikulyarning asosi bo’lgan
nuqtaga inversion mos nuqtani topamiz (7- chizma).
So’ngra to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini inversion akslantirib,
nuqtani topaylik. Endi
43

va nuqtalarning qanday figuraga qarashli ekanligini -
aniqlaymiz.
Buning uchun va nuqtalarni o’zaro tutashtirib, va
kesmalarning burchakka nisbatan antiparallelligidan foydalanamiz.
Bundan oldingi § dagi I natijaga binoan:
bo ’ lib , bularning keyingisi yasalishiga ko ’ ra to ’ g ’ ri burchak bo ’ lgani
uchun oldingisi ham to ’ g ’ ri burchak bo ’ ladi . Shu sababli nuqta
kesmani diametr qil i b chizilgan aylanada yotadi . Agar nuqta to ’ g ’ ri
chiziq bo ’ yicha harakatlansa , unga mos bo ’ lgan nuqta aylana bo ’ yicha
harakatlanadi . Aksincha, aylananing ( dan boshqa) har bir nuqtasi
uchun to’g’ri chiziqda unga inversio n mos bo’lgan nuqtani topish
mumkin.
Haqiqatan, agar nur to’g’ri chiziq bilan nuqtadan kesish sa,
bo’lgani uchun o’tgan § dagi II natijaga asosan
bo’ladi. Bu esa va nuqta l arning o’zaro
inversion mos ekanligini ko’rsatadi.
I k k i n c h i y o ’ l . Bunda ham birinchi yo’lda aytilgan va
nuqtalarga. mos va nuqtalarni topib, quyidagicha muhokama yuritamiz.
Bundan oldingi § dagi teoremaga asosan nuqtalardan o’tuvchi
a aylanani chizaylik (8- chizma). burchak yasalishiga ko’ra, to’g’ri
burchak bo’lgani uchun yoy yarim aylana bo’ladi.
Shuning uchun aylananyng ikkinchi yarmiga tiralgan burchak
ham to’g’ri burchak bo’lib, unga qo’sh ni bo’lgan burchak ham to’g’ri
bo’ladi. Demak, nuqta diametr bilan chizilgan aylanada yotadi.
Endi aylananing (O dan boshqa) har bir nuqtasi to’g’ri chiziqdagi
biror nuqtaga inversion mos bo’lishini ko’rsatamiz. Bu fikrning to’g’riligiga
44

quyidagi yo’l bilan ishonch hosil qilish mumkin. nur to’g’ri chiziq bilan
nuqtada kesish sin. 8 - chizmadagi figuralarning yasalishiga binoan
quyidagi tengliklar mavjuddir:
Bundan to’rtburchakka tashqi aylana chizish mumkinligi
bilinadi. aylanani c hizib, unga o’tkazilgan va kesuv c hilar uchun
quyidagilarni yozamiz:
Bu tenglik va nuqtalarning o ’ zaro
inversion mosligini bildiradi . Demak, aylananing ( dan boshqa) har bir
nuqtasi uchun to’g’ri chiziqda unga mos nuqta topish
mumkin.
Demak, inversiya aylanasi tekisligidagi biror nuqta
inversiya markazidan o’tmovchi to’g’ri chiziq bo’yicha harakat
qilganida, uning obraz bo’lgan nuqta inversiya markazi-
dan o’tuvchi aniq bir aylana chizadi; nuqta o’zining bunday
harakatida inversiya markazidan „irg’ib* o’tadi.
Yuqoridagilardan, to’g’ri chiziqni inversion
almashtirish -
ning quyidagi umumiy usuli ma’lum bo’ladi;
inversiya mar-
kazidan o’tmovchi to’g’ri chiziqning
inversiyasini chizish uchun
inversiya markazi. dan bu to ’ g ’ ri chiziqqa
perpendikulyar o ’ tkazib , uning to ’ g ’ ri chiziqdagi asosi belgilanadi
nuqtani inversion akslantirib nuqta topiladi .
Nihohat kesmani diametr qilib aylana chizilgan shu aylana berilgan to’g’ri
chiziqning inversion aksi hisoblanadi.
Shuning bilan birga, to’g’ri chiziqni inversion akslantirishda uchraydigan
45

xususiy hollarni ko’zdan kechirib o’taylik:
I. Inversi
ya aylanasi bilan umumiy nuqtaga ega bo’lmagan
to’g’ri chiziqqa inversion mos figura inversiya aylanasi ichida yotib, uning
markazidan o’tuvchi aylanadir (8- chizma).
II. Inversi
ya aylanasiga urinuvchi to’g’ri chiziqqa mos fi-
gura inversiya markazidan o’tib, o’sha to’g’ri chiziqqa urinuvchi
aylanadir (9- chizma).
III. Inversi
ya aylanasini kesib, uning markazidan o’tmovchi to’g’ri chiziqqa inversion mos
figura inversiya markazi vaberilgan to’g’ri chiziqning inversiya aylanasi bilan
kesishish nuqtalaridan o’tuvchi aylanadir (9- 10- chizmalar).
IV.Inversiya markazidan o’tmovchi parallel to’g’ri chiziqlarga inversion mos
figuralar inversiya markazida bir-biriga urinuvchi aylanalardir va, aksincha (9- va
10- chizma).
IV. V.
Inversiya markazidan o’tmaydigan, biroq, o’zaro
46

Kesishuvchi to’g’ri chiziqlarga inversion mos figuralar inversi ya markazidan
o’tib, yana bir nuqtada kesishuvchi ikki aylanadir (11-chizma). Bu aylanalarning
dan boshqa kesishgan nuq tasi berilgan to’g’ri chiziqlar kesishish nuqtasiga
mos bo’ladi.
47

XULOSA
Ushbu kurs ishida ta’lim jarayonini tashkil etishda matematika ta’limini
berishda geometric yasashlar asosida geometrik dunyoqarashni shakllantirish
haqida fikr yuritildi. Hozirgi paytda maktablarda matematika o’qitishning asosiy
vazifasi o’quvchilarni har tomonlama yetuk insonlar qilib tarbiyalash hisoblanadi.
Bunda ularda matematika bo’yicha bilimlar berish bilan birga ularga
o’rganilayotgan bilimlarni asosli va puxta bo’lishini ta’minlash, ularni qo’llay olish
ko’nikma va malakalarini shakllantirish muhim ahamiyatga ega. Ayniqsa,
o’quvchilarda geometrik dunyoqarashni shakllantirish matematik ta’limning asosiy
vazifalaridan biri. Shu nuqtai nazardan, bo’lajak pedagoglarga oliy ta’limda
geometriyadan chuqur bilimlar berish ahamiyatlidir. Ayniqsa, geometriyaning
geometrik yasashlar bo’limini chuqur o’rgatish masalasi ko’ndalang qo’yilishi
kerak. Matematikadan bilimlarning uzilish nuqtalari aynan shu mavzularda bo’lib
qolayapti. O’quv jarayonida geometrik yasashlarga keng to’xtalish va bu borada
fundamental bilimlar bera olish hozirgi biz pedagoglarning asosiy vazifamiz
hisoblanadi. G eometrik yasashlarda geometrik almashtirishlar i va uning tatbiqlari
o’ziga xos xususiyatlarga ega, ularni ta’lim mazmuni va o’rganilayotgan
tushunchalar mohiyatini ochib berishda foydalanish, o’zaro aloqadorlikda va
o’quvchilar amaliy faoliyati tajribasi bilan qo’shgan holda o’qitish, fundamental
bilimlar asosida ta’lim berish dolzarb masalalardan hisoblanadi. Bu usullarni ishlab
chiqish va amalda qo’llash o’qitish sifat va samaradorligini oshirishga xizmat
qiladi. Matematika o’qitishning asosiy maqsadlaridan biri ham o’quvchilar
intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o’quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini
rivojlantirish hisoblanadi.Demak, geometrik yasashlar lari, xususan, geometrik
yasashlarda geometrik almashtirishlar nazariyasi haqida umumiy tushunchalar,
y echish lari va yechish bosqichlari haqida dastlabki tushunchalar, masalalarni
bosqichlab yechishga oid ba’zi bir misollar ga keng to’xtalib o’tish orqali hamda
tekislikda geometrik yasashlarda simmetriya, parallel ko’chirish, nuqta atrofida
burish va ularning tatbiqlariga oid masalalarni yechish va chuqurroq o’rganish
orqali geometrik bilimlarni yanada chuqurlashtiriladi.
48

O’quvchilarning fazoviy tasavvurlarini kengaytirishda, ijodiy va konstruktorlik
qobiliyatlarini rivojlantirishda va mantiqiy fikrlashlashga o’rgatishda yasashga doir
geometrik masalalar yechishning ahamiyati g’oyat kattadir.
O’quvchilarda bunday qobiliyatlarni tarbiyalash, ayniqsa, bizning Vatanimizda
katta ahamiyatga ega, chunki texnikamizning keng miqyosda rivojlanib borishi
kelajakda injener, texnik va konstruktor bo’lib yetishuvchi o’quvchilarimizdan
shunday qobiliyatga ega bo’lishi talab etiladi. Geometriya o’qitish jarayonida
talabalarga asosiy tushunchalarni to’g’ri tushuntirish, uning tadbiqlarini ular
ongiga yetkaza olish, ularning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish matematika
o’qitish muvaffaqiyatini ta’minlabgina qolmay, balki talabalarning bilish va
tafakkur qobiliyatlarini rivojlantirish uchun ham xizmat qiladi. Bu hol esa yangi
zamonaviy texnologiyalarga tayangan holda geometriya darslarini o’tishni talab
etadi. Shu sababli uslubiy qo’llanmada geometriya o’rganishning nazariy asoslari
bilan birga ko’rgazmali va noan’anaviy usullarni qo’llash xususiyatlari hamda
zarur dars ishlanmalari hamda masalalar yechish bo’yicha imkoniyatlari batafsil
bayon etilgan.
49

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Sh.Mirziyoyev “Ijtimoiy barqarorlikni ta’minlash, muqaddas dinimizning
sofligini asrash―davr talabi” anjumandagi nutqi, Toshkent-2018.
2. Сотволдиев Н.С. Геометрик алмаштиришлар. Т. , 1963
3. Р.К.Отажонов. Конструктив геометрия элементлари. Т. , 1974
4. Р.К.Отажоновю Векториал алгебра элементлари. Т. , 1976
5. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995
“O’zbеkiston”
Internet saytlari:
1. htt p ://www.school .ru
2. htt p :// www.aim.uz
3. htt p ://www.bilimdon.uz
4. http://www.edunet.uz
5. htt p ://www.gov.uz
6. http://www.z iyonet.uz
50

Tekislikda geometrik almashtirishlar va ularning qo'llanilishi

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Tekislikda geometrik almashtirishlar va ularning qo'llanilishi

O'xshash dokumentlar