Tekislikdagi harakat uning eng sodda turlari analitik ifodasi - Pedagogika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	9000UZS
Hajmi	628.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	22 Mart 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Pedagogika

Sotuvchi

Rustambek

Ro'yxatga olish sanasi 21 Mart 2026

1 Sotish

Tekislikdagi harakat uning eng sodda turlari analitik ifodasi

Sotib olish

Mavzu: Tekislikdagi harakat, uning eng soda turlari, analitik ifodasi
MUNDARIJA:
1 Kirish 2
2 Asosiy qism 4
2.1 Tekislikdagi harakat, uning eng sodda turlari, analitik ifodasi.
Harakatni o`q simmetriyalar ko`paytmasiga yoyish. 4
2.2 Tekislikda harakat klassifikatsiyasi. Harakat gruppasi va uning
qism gruppalari. 12
2.3 Fazodagi harakat. Harakatning ikki turi. Fazoda harakatning
klassifikatsiyasi. 16
3 Xulosa 26
4 Foydalanilgan adabiyotlar 28
Kirish
1

Mamlakatimizda ta’lim tizimining barcha bosqichlarida chuqur va puxta bilim
berish, yoshlarning tafakkurini rivojlantirish, ularni ijodiy fikrlashga yo‘naltirish
dolzarb vazifalardan biri hisoblanadi. Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyevning
ta’limga oid asarlarida “Yangi O‘zbekistonni barpo etishda raqamli texnologiyalar,
zamonaviy ilm-fan yutuqlari asosida fikrlaydigan va global muammolarga yechim
topa oladigan yetuk mutaxassislarni yetishtirish asosiy maqsadimizdir” degan
fikrlari mazkur mavzuning dolzarbligini yanada oshiradi 1
.
Bugungi kunda geometriya va matematik analiz nazariyasi doirasida fazoviy
va tekislikdagi harakatlarni o‘rganish ko‘plab amaliy va nazariy muammolarning
echimida muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, harakatlarning analitik ifodasi, simmetriya
operatsiyalari orqali obyektlarni harakatlantirish, hamda harakat guruhlarini
o‘rganish fizika, muhandislik, kompyuter grafikasi va boshqa fanlar bilan bevosita
bog‘liqdir.
O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi”da belgilanganidek, har bir fan o‘quvchiga nafaqat
nazariy bilimlar, balki ularni real hayotda qo‘llay olish malakalarini ham
shakllantirib borishi kerak. Shu nuqtai nazardan, tekislik va fazodagi
harakatlarning klassifikatsiyasi, ularning turlari, o‘q simmetriyalariga yoyilishi
kabi tushunchalarni chuqur o‘rganish o‘quvchilarning fazoviy tafakkurini
shakllantiradi va mantiqiy fikrlashni rivojlantiradi.
Olimlar — xususan, Yevklid, Galiley, Leybnits, Eler, Klayn, va
Lobaçevskiylarning geometriyaga oid ishlari, ayniqsa harakatlar nazariyasining
rivojiga katta hissa qo‘shgan. Bugungi kunda ushbu g‘oyalar zamonaviy
matematikaning ajralmas qismini tashkil etadi.
Mazkur kurs ishi matematikada “harakat” tushunchasining mohiyatini
yoritish, uning eng sodda turlari, analitik ifodasi, hamda tekislik va fazodagi
harakatlarning tasnifi va guruh strukturasini o‘rganishga bag‘ishlangan.
Kurs ishining maqsadi:
1
O‘zbekiston Respublikasining “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”. – Toshkent: Sharq, 2021
2

Tekislik va fazodagi harakatlar, ularning eng sodda turlari, analitik ifodasi va
guruhlar nazariyasidagi o‘rnini o‘rganish orqali matematik fazoviy model hosil
qilish.
Kurs ishining vazifalari:
 Harakat tushunchasini matematik nuqtai nazardan izohlash;
 Tekislikdagi harakatlarning analitik ifodasini o‘rganish;
 Harakatlarni o‘q simmetriyalar ko‘paytmasi orqali ifodalashni tushuntirish;
 Tekislik va fazodagi harakatlarning klassifikatsiyasini tahlil qilish;
 Harakat guruhlari va ularning qism guruhlarini ko‘rsatish;
 Harakatlarning amaliy qo‘llanmalardagi rolini aniqlash.
Kurs ishining predmeti:
Tekislik va fazodagi harakatlarning matematik modellari, ularning
klassifikatsiyasi va guruh strukturalaridir.
Kurs ishining dolzarbligi:
Mavzuning dolzarbligi, birinchidan, uning matematik asoslari boshqa fanlar
— fizika, muhandislik, informatika, arxitektura bilan bevosita bog‘liqligida;
ikkinchidan, maktab, litsey va oliy ta’limda ushbu tushunchalarning o‘qitilishi
fazoviy tushunish va muhandislik fikrlashini shakllantirishdagi rolida namoyon
bo‘ladi.
2.1. Tekislikdagi harakat, uning eng sodda turlari, analitik ifodasi. Harakatni
o`q simmetriyalar ko`paytmasiga yoyish .
3

Tekislikda harakat va uning xossalari . Harakatning sodda turlari .
1. Maktab geometriya kursida eng sodda almashtirishl ar bilan tanishish
ko’zda tutiladi, ular: parallel ko’chirish, simmet riya burish va o’xshash
almashtirishlardan iborat 2
.
Parallel ko’chirish, simmetriya va burish barchasi adab iyotlarda bitta
«harakat», yoki «siljitish» yoki «izometriya» deb aytil a d i.
1 -t a’rif. Tekislikning ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi masofani
o’zgartirmaydigan almashtirish « h arakat » yoki «izometriya» deyiladi.
Harakatni L orqali belgilaymiz.
L harakat bo’lsa, tekislikning har qanday ikki M,N nuqtasi uchun
ρ (M,N) = ρ (L(M), L(N)) (M 1
= L(M) N 1
= L(N))
Harakat xossalarini ko’rib chiqaylik.
1°. Harakat kesmani o’ziga teng kesmaga o’tkazadi.
2°. Harakat bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtani, yana bir to’g’ri chiziqda
yotuvchi nuqtaga o’tkazadi.
3°. Harakat to’g’ri chiziqni, to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
4°. Harakat nurni nurga o’tkazadi.
5°. Harakatda burchak kattaligi o’zgartirmaydi.
6°. Harakat, parallel to’g’ri chiziqlarni ya’n a parallel to’g’ri chiziqlarga
o’tkazadi.
7°. Harakat ko’pburchakni yana ko’pburchakka o’tkazadi (bunda mos
burchaklarning kattaligi, tomonlarining uzunliklari o’zgarmaydi)
8°. Harakat aylanani yana aylanaga o’tkazadi, bunda aylana radiuslari
o’zgarmaydi.
9°. Tekislikdagi harakatlar to’plami gruppa tashkil qiladi
Isboti: 1° xossani is bo t laylik. Tekislikda ikki ta A va B nuqtalarni olay lik.
Harakat A va B nuqtalarni L( A)=A' va L(B) = B '
nuqtalarga o’tkazsin.
Agar C A B bo’lsa, u holda (57-chizma)
2
Sobirov A.A. Analitik geometriya asoslari . – Samarqand: SamDU nashriyoti, 2021
4

ρ(AC)+ρ(CB)=ρ(AB) ( 28.1 )
Harakat ta’rifiga asosan
ρ (A' C ') + ρ ( C ' B ') = ρ( A' B ' ) ( 28.2 )
bu esa C ' A' B ' ko’rsatadi.
Aksincha, agar qandaydir C’ nuqta C’
 A’B’ bo’lsa, u holda (28.2) tenglik
o’rinli bo’ladi, bundan (28.1) tenglikning o’rinligini, undan esa C
 AB bo’ladi.
2° isbotini ko’rib chiqaylik. A, B, C bir to’g’ri chiziq nuqtalari bo’lsin,
harakatda ularga A’, B’, C’ nuqtalar mos kelsin. Aniqlik uchun C nuqta A va B
nuqtalar orasida yotsin deylik. U holda 1° xossaga asosan C'  A’B’ da yotadi.
Demak, A’, B’, C’ nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi 3
.
Nuqtalarning bir to’g’ri chiziqda yotish xossasini kollinearlik munosabati
deyiladi. Kollinearlik munosabatini
saqlovchi almashtirish kollineatsiya
deyiladi. Demak, tekislikdagi harakat
kollineatsiyadan iborat bo’ladi.
3° Tekislikda L -harakat va ixtiyoriy
d to’g’ri chiziq berigan bo’lsin. d to’g’ri
chiziqda yotuvchi ikkita A va B nuqtalarni
olamiz. Harakat L(A)=A', L(B)=B' . A ’
va B ’ nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni d ’
bilan belgilaymiz (58-hizma).
A gar M nuqta d to’g’ri chiziqqa qarashli ixtiyoriy nuqta bo’lsa, u holda 1°
xossaga ko’ra L(M)=M ’
 d ’ .
4°-9° larni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganiladi.
2 -ta’rif. Agar ikki figuradan birini ikkinchisiga o’tkazadigan harakat mavjud
bo’lsa, bu figuralar kongruent deyiladi. Bu k on g r ue n t figuralar tekislikdagi
vaziyatlari bilan farq qiladi xolos.
Teorema . Tekislikdagi L harakat R to’g’ri burchakli koordinatalar
sistemasini, R' to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga o’tkazsa, M'=L(M)
3
Sobirov A.A. Analitik geometriya asoslari . – Samarqand: SamDU nashriyoti, 2021
558-chizma

nuqtaning R' koordinatalar sistemasidagi koordinatalari M nuqtaning R to’g’ri
burchakli koordinatalar sistemasidagi koordinatalari bilan bir xil bo’ladi (59-
chizma).
Isbot. R (0,i,j) tekislikdagi to’ g’ ri bu r chakli d ekart koordinatalar sistemasi.
L(O ) = O ', L( A
1 )= A
1 ’ , L( A
2 )=A
2 ' o’tkaziladi. Yuqorida g i xossalarga asosan O ’
1 ,
A ’
1 va A’
2 nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotmaydi va ∠ A’
2 O’A’
1 = 90 0
. Demak R ' dekart
koordinatalar sistemasi bo’ladi.
Тekislikda ixtiyoriy M nuqtasini R ga nisbatan koordinatalari x,y bo’lsin.
x=
OM 1
OA 1
=−
M 1O
OA 1
=−(M 1A1O)
y=
OM 2
OA 2
=−
M 2O
OA 2
=−(M 2A2O )
M' nuqtaning R ' ga nisbatan koordinatalar i x', y ' bo’lsin
x'=
O'M '1
O'A'1
=−
M '1O'
O'A'1
=−(M '1A'1O')
y'=
O'M '2
O'A'2
=−
M '2O'
O'A'2
=−(M '2A'2O')
(M,A,O) = (M 1
1 A 1
1 O 1
) , (M
2 A
2 O) = (M'
2 A'
2 O') te ngliklardan x=x', y = y '.
2. Harakatning eng sodd a turlarini ko’rib chiqaylik,
a) To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya ( S
d )
Tekisli kda d to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin.
3-ta’rif. Tekislikdagi A, A 1
nuqtalar uchun AA 1
kesma d ga perpendikulyar bo’lib, AA 1
kesmaning
659-chizma
60-chizma

o’rtasi d to’g’ri chiziqida yotsa, u holda bu nuqtalar d to’g’ri chiziqqa nisbatan
simmetrik deb ataladi va S
d
ko’rinishda yoziladi 4
.
d to’g’ri chiziqni simmetriya o’qi deyiladi. Agar biror nuqta N d bo’lsa, u
holda S
d ( N ) =N (60-chizma) ya’ni d to’g’ri chiziqning har bir nuqtasi simmetrik
almashtirishda o’z-o’ziga o’tadigan qo’sh nuqtadan iborat bo’ladi.
Tekislikda bulardan tashqari bunday xossaga ega bo’lgan nuqta mavjud
emas.
T o’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirish quyidagi xossalarga ega:
1° S
d simmetrik almashtirish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
2° S
d simmetrik almashtirish ikki nuqta orasidagi masofani saqlaydi.
Bu xossalarni k oordinatalar metodidan foydalanib isbotlaymiz.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasining Ox o’qini simmetriya
o’qi deb olsak, A(x,y ) nuqtaning aksi A'(x',y') bo’ladi (61-chizma).
Bunda
x'=x
y'=−y (28.3)
( 28.3 ) O x o’qiga nisbatan
simmetrik almashtirish formulasi.
Simmetrik almashtirish
xossalarini isbotlaylik .
1° Agar d to’g’ri chiziq tenglamasi Ax+ By + C =0 berilsa, uning d 1
aksini ( 28.3 )
almashtirishdan foydalanib topamiz,
Ax 1
- By 1
+ C =0 . Bu yana to’g’ri chiziqdir.
2°. Tekislikning ixtiyoriy ikkita A(x
1 ,y
1 ) va B(x
2 ,y
2 ) nuqtalari,
A'(x'1,y'1),B'(x'2,y'2)
nuqtalar esa ularning aksi bo’lsin. ( 28.3 ) formulani e’tiborga
olib, bu nuqtalar orasidagi masofani hisoblaymiz
ρ(A',B')= √(x21− x11)2+(y21− y11)2= √(x2− x1)2+(− y2−(− y1))2
=√(x2− x1)2+(y2− y1)2= ρ(A,B)
4
Rasulov A.R. Harakatlar nazariyasining matematik asoslari . – Toshkent: O‘qituvchi, 2019.
7 61-chizma

De mak simmetrik almashtirish harakatdir.
4-ta’rif. Agar biror F figura d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik
almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, u holda d to’g’ri chiziq bu figuraning simmetriya
o’qi deyiladi.
b) Parallel ko’chirish ( Ta ). Tekislikda a
 0 vektor berilgan bo’lsin .
5 -ta’rif. Tekislikning har bir A nuqtasiga
AA '
= a ( 28.4 )
shartni qanoatlantiruvchi A 1
nuqtani mos keltirishga tekislikdagi
a vektor qadar
parallel ko’chirish deyiladi. Uni T
a ko’rinishda belgilanadi. a vektorni
ko’chirish vektori deyiladi.
Ta’rifga ko’ra, T
a parallel ko’chirish tekislikning barcha nuqtalarini a
vektor yo’nalishida |
a | masofaga siljitadi.
Parallel ko’chirish quyidagi xossalarga ega 5
:
1 0
. Parallel ko’chirish, to’g’ri chiziqni unga parallel to’g’ri chiziqqa
o’tkaziladi.
2 0
. Parallel ko’chirishda ikki nuqta orasidagi masofaga o’zgarmaydi.
Isbot: 1 0
. Xossani isbotlaylik.
Agar A 1
(x 1
1 ;y 1
1 ) nuqta A(x;y) nuqtaning aksi bo’lsa, u holda ta’rifga ko’ra
AA '
= a . Bunda a (x
0 ,y
0 ) va AA ' (x'-x, y'-y) koordinatalarga ega. (28.4) dan:
{
x'−х= x0
y'− у= у0
, ya’ni {
x'= x+x0
y'= y+y0 (28.5)
Parallel ko’chirish formulasiga ega bo’lamiz.
1 0
. Tekislikda d to’g’ri chiziq Ax + By+C = 0 tenglama bilan berilgan bo’lsin.
(28.5) formuladan foydalanib d to’g’ri chiziqni
a vektor qadar parallel
ko’chiramiz. Ya’ni x = x ’
-x
0 , y = y ’
-y
0 qiymatlarni d to’g’ri chiziq tenglamasiga
qo’yib:
d 1
: Ax 1
+By 1
+(C-Ax
0 -By
0 )=0 (28.6)
5
Rasulov A.R. Harakatlar nazariyasining matematik asoslari . – Toshkent: O‘qituvchi, 2019.
8

birinchi darajali tenglamaga ega bo’ldik, bu (28.6) tenglama to’g’ri chiziq
tenglamasi, d || d 1
Demak Ta (d) = d 1
to’g’ri chiziq.
2°. Ikkita ixtiyoriy A(x
1 ;x
2 ) va B(x
2 ; y
2 ) nuqtalarning obrazlari A 1
(x 1
1 ,y 1
1 ) va
B 1
(x 1
2 ,y 1
2 ) nuqtalar bo’lsin, u holda

{
x'1= x1+x0
y'1= y1+y0 {
x'2= x2+x0
y'2= y2+y0 (28.7)
Ikkita A 1
va B 1
nuqtalar orasidagi masofani (28.7) formulani
e’tiborga olib hisoblasak,
ρ(A1,B1)= √(x21− x11)2+(y21− y11)2= √(x2− x1)2+(y2− y1)2= ρ(A,B)
Demak parallel ko’chirish harakat.
v) Burish (R a
)
Tekislikda yo’nalishga ega bo’lgan
 burchak berilgan bo’lsin.
6-ta’rif. Tekislikning har bir A nuqtasiga
ushbu
1.
ρ ( 0,A)= ρ (O,A 1
);
2. <A0A 1
=<NKM=
 ;
shartlarni qanoatlantiruvchi A 1
nuqtani mos
keltiruvchi almashtirishga O nuqta atrofida berilgan
 burchakka burish deyiladi.
(62-chizma)
O nuqta burish markazi,
 burish burchagi deyiladi.
Tekislikdagi O nuqta atrofidagi
 burchakka burish R 
0 bilan belgilanadi.
R

0 burish quyidagi xossalarga ega:
1°. Burish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
2°. Ikki nuqta orasidagi masofa o’zgarmaydi.
Bu xossalarni koordinatalar metodi bilan isbotlash mumkin.
Burish ham harakat bo’ladi.
g) Markaziy simmetriya (S
0 )
9 62-chizma

7-ta’rif. Tekislikdagi biror O nuqta atrofida  =180° ga burish O nuqtaga
nisbatan simmetrik almashtirish yoki markaziy simmetriya deyiladi va S
0 bilan
belgilanadi.
O nuqta simmetriya markazi deyiladi.
(63-chizma)
Markaziy simmetriyada simmetriya
markazi O nuqta A nuqta va uning aksi A 1

nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi va OA
 OA 1
.
Markaziy simmetriyaning harakat ekanligini isbotlash qiyin emas.
8-ta’rif. Agar birorta figura O nuqtaga nisbatan simmetrik almashtirishda
o’z-o’ziga o’tsa, u holda O nuqta figuraning simmetriya markazi deyiladi 6
.
d) Sirpanuvchi simmetriya.
Tekislikda S
d simmetriya
Tp ( p 0 , p ||d) parallel ko’chirish berilgan
bo’lsin.
9-ta’rif. f=
Tp · S
d almashtirish kompozitsiyasi sirpanuvchi simmetriya
deyiladi (64-chizma).
Agar S
d (A)=A' ga va
Tp (A')=A" ga o’tkazsa, u
holda f(A)=A'' ga o’tkazadi.
Agar
Tp (A)=A
1 ga va S(A
1 )=A'' ga o’tkazsa
f(A)=A'' ga o’tkazadi (64-chizma).
Demak
Tp · S
d =S
d · Tp .
Sirpanuvchi simmetriya kommutativlik xossasiga ega.
Agar A(x,y), A 1
(x 1
,y 1
) A 11
(x 11
,y 11
) koordinatalarga ega, d = Ox bo’lsa:
S0x:¿{x
1
=x¿¿¿ Tp:¿{x
11
=x
1
+x0¿¿¿
bundan f :
{x
11
=x+x0;¿¿¿¿ (28.8)
6
Sobirov A.A. Analitik geometriya asoslari . – Samarqand: SamDU nashriyoti, 2021
10 64 -chizma63-chizma

(28.8) d=Ox bo’lgan sirpanuvchi simmetriya formulasidir. Yuqoridagi
ko’rilgan xossalar ham sirpanuvchi simmetriya uchun o’rinli bo’lishini ko’rsatish
qiyin emas.
(28.8) formuladan  = -1 ekanligi ma’lum. Demak, sirpanuvchi simmetriya
ikkinchi tur harakat.
2.2. Tek islik da harak at k lassifi k at siy asi. Harak at gruppasi v a uning
qism gruppalari.
H a r a k a t n i n g a n a l i t i k i f o d a s i
11

To’g’ri burchakli dekard koordinatalar sistemasini almashtirish formulasi
(6.9) dan foydalanamiz 7
.
Teorema. Tekislikdagi ixtiyoriy nuqta va uning aksini koordinatalari
x=x 1
cos -  y 1
sin  +x
0 ,
y=x 1
sin
 +  y 1
cos  +y
0 (29.1)
formula bilan bog’langan bo’lsa, u holda bu formula tekislikdagi harakatni
aniqlaydi.
Isboti. 1. Tekislikning ixtiyoriy A nuqtasini (29.1) formula yordamida A 1

nuqtaga o’tkazuvchi f almashtirish bir qiymatlidir.
Haqiqatan ham, ( 29.1 ) formulada determinant
|cos α − ε sin α ¿|¿
¿
¿ ¿
agar x,y larni berilgan deb olsak, (29.1) tenglamalar sistemasi x,y larga
nisbatan bir qiymatli echimga ega. Shu bilan har birga A 1
(x 1
,y 1
) nuqta bitta faqat
bitta acl A(x,y) nuqtaga ega bo’ladi.
Demak (29.1) formula tekislikdagi birorta bir qiymatli f almashtirishni
aniqlaydi.
2. Tekislikdagi A(x
1 ,y
1 ), B(x
2 ,y
2 ) nuqtalar, ularning akslari A
1 (x 1
1 ,y 1
1 ) va B
1 (x 1
2 ,y 1
2 )
bo’lsin. (29.1) almashtirishga ko’ra ushbu koordinatalarga ega bo’ladi:
x 1
1 =x
1 cos
 -  y
1 sin  +x
0 ,
y 1
1 =x
1 sin
 +  y
1 cos  +y
0
x 1
1 =x
2 cos
 -  y
2 sin  +x
0 ,
y 1
1 =x
2 sin
 +  y
2 cos  +y
0
u holda
ρ(A1,B1)=√(x2
1− x1
1)2+(y2
1− y1
1)2 =√(cos 2α+sin 2α)(x2− x1)2+(cos 2α+sin 2α)(y2− y1)2=
=√(x2− x1)2+(y2− y1)2= ρ(A,B)
, bunda  =+1
(29.1) almashtirish ta’rifga ko’ra harakat bo’ladi.
Shunday qilib tekislikdagi harakat (29.1) formula bilan aniqlanadi va uni
harakatning analitik ifodasi deyiladi.
7
Sobirov A.A. Analitik geometriya asoslari . – Samarqand: SamDU nashriyoti, 2021
12

Harakatni o’qli simmetriyalar ko’paytmasiga yoyish
1-teorema. Agar ikkita o’qli simmetriyaning d
1 va d
2
o’qlari O nuqtada kesishib φ
burchak hosil qilsa, ularning ko’paytmasi O nuqta atrofida 2? burchakka burish
bo’ladi va, aksincha, tekislikni O nuqta atrofida φ burchakka burish o’qlari O
nuqtada kesishib, o’zaro ϕ
2 burchak hosil qiluvchi ikkita o’qli simmetriya
ko’paytmasiga ajraladi.
Isbot. O nuqtada o’zaro φ burchak hosil qilib kesishuvchi d
1 , d
2 to’g’ri chiziqlar
tekisligida ixtiyoriy M nuqta olamiz. M ’
nuqta tekislikning d
1
o’qli simmetriyadagi
M nuqtaning obrazi M ’’
nuqta d
2 o’qli simmetriyada M’ nuqtaning obrazi bo’lsin.
(65-chizma). Bu ikki o’qli simmetriyani ketma-ket bajarsak, M nuqta M’’ nuqtaga
o’tadi. O’qli simmetriya harakat bo’lgani uchun quyidagilarni yoza olamiz:
ρ (O,M)= ρ (O,M’), ρ (O,M’)= ρ (O,M’’) bundan ρ (O,M)= ρ (O,M’’).
Shuningdek,
∠1=∠2 va ∠3=∠4 , lekin
∠1+∠3= ϕ⇒ ∠2+∠4= ϕ
. Shunday qilib,
M nuqtani M’’ nuqtaga o’tkazuvchi
Sd2⋅Sd1
almashtirish uchun quyidagi ikki
shart bajariladi:
ρ (O,M)= ρ (O,M’’),
(∠MOM '')= 2ϕ .
Demak
Sd2⋅Sd1 almashtirish tekislikda O nuqta atrofida 2? burchakka burishdan
iborat.
Aksincha
ROα tekislikda O nuqta atrofida α burchakka burish bo’lsin. O nuqta
orqali shunday ikki d
1 , d
2
to’g’ri chiziqni o’tkazamizki, ular orasidagi burchak
(d1,d2
¿
)= ϕ
2
bo’lsin. Tekislikni avval d
1
to’g’ri chiziqqa nisbatan, so’ngra d
2
to’g’ri
chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirishga duch keltiramiz. Teoremaning birinchi
qismiga ko’ra bu o’qli simmetriyalarning ko’paytmasi
Sd2⋅Sd1 almashtirish
1365-chizma

tekislikda O nuqta atrofida 2(ϕ
2)=ϕ burchakka burish bo’ladi, bundan ROϕ =
Sd2⋅Sd1
.
2- teorema. Agar ikkita o’qli simmetriyaning o’qlari d
1 , d
2 parallel bo’lsa, u holda
ularning ko’paytmasi uzunligi 2 ρ (d
1 , d
2 ) bo’lgan va bu o’qlarga perpendikulyar
р≠0
vektor qadar parallel ko’chirishdir va aksincha tekislikni р≠0 vektor qadar
parallel ko’chirish , o’qlari parallel va o’qlari orasidagi masofa
|р|
2 bo’lgan
ikkita o’qli simmetriya ko’paytmasiga ajraladi.
Isbot. d
1 //d
2 to’g’ri chiziqlar tekisligida ixtiyoriy M nuqta olamiz. Tekislikda avval
d
1 to’g’ri chiziqqa nisbatan, so’ngra d
2 to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik
almashtirishni bajaraylik.
Sd2(M )= M ',Sd1(M ')= M ''
bo’lsin (66-chizma). Natijaviy
Sd2⋅Sd1 almashtirish M nuqtani M ’’ nuqtaga
o’tkazadi.
O’qli simmetriya ta’rifiga ko’ra ρ(O
1 ,M)=ρ(O
1 , M ’), ρ(O
2 , M ’)=ρ(O
2 , M ’’). Bu yerda M
1
nuqta MM’ kesmaning, O
2
nuqta esa M’M’’ kesmaning o’rtasi:
ρ(M,M”)=ρ(M,O
2 )+ρ(O
2 ,O
1 )+ρ(O
1 ,M’’)=ρ(O
1 ,M’)+ρ(O
1 ,O
2 )+ρ(M’,O
2 )=2ρ(O
1 ,O
2 ) (30.1)
M nuqta d
1 , d
2 to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan polosaga tegishli bo’lganda
ham (30.1) tenglikning bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.(67-chizma).
(30.1) dan ko’rinib turibdiki, tekislikda
Sd2⋅Sd1 almashtirish uni 2ρ(O
1 ,O
2 )
uzunlikdagi vektor qadar parallel ko’chirishdan iborat.
1466-chizma 67-chizma

Aksincha,Tp tekislikda p vektor qadar parallel ko’chirish bo’lsin. Tekislikda
shunday N
1 ,N
2
nuqtalarni olamizki,
N1N2= 1
2p bo’lsin. N
1 ,N
2
nuqtalar orqali N
1 N
2

to’g’ri chiziqqa perpendikulyar d
1 , d
2
to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz (67-chizma). U
holda d
1 // d
2
va
ρ(d1,d2)= 1
2|p| bo’ladi, Sd2⋅Sd1 ni bajarsak , teoremaning birinchi
qismiga ko’ra almashtirish tekislikda
p vektor yo’nalishida 2(1
2|p|)=|p| masofa
qadar parallel ko’chirish bo’ladi. Demak,
Tp = Sd2⋅Sd1 .
15

2.3. Fazodagi harakat. Harakatning ikki turi. Fazoda harakatning
klassifikatsiyasi. Fazodagi harakat
Qaralayotgan bobda fazodagi eng sodda almashtirishlar o’rganiladi. Fazodagi
almashtirishlarni o’rganishda ishlatiladigan ta’rif va teoremalar tekislikdagi
almashtirishlarni o’rganishda ishlatilgan ta’rif va teoremalarga o’xshash bo’ladi.
Tekislikdagi almashtirishlarda kiritilgan tushuncha va terminlardan
foydalanamiz 8
.
Fazoni almashtirish tushunchasi asosiy tushunchalardan biridir.
Fazodagi nuqtalarini almashtirishda ixtiyoriy ikki A va B nuqtalar orasidagi
masofa, ularning akslari
A' va B' nuqtalar orasidagi masofaga teng bo’lsa, ya’ni
ρ(A,B)=ρ(A',B')
bo’lsa, u holda bunday almashtirish masofani o’zgartirmaydi
deyiladi.
Ta’rif. Fazodagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirishni harakat yoki
siljitish deyiladi.
Ayniy almashtirish fazodagi eng sodda harakatga misol bo’la oladi (Ayniy
almashtirish fazoning har bir nuqtasini o’z-o’ziga o’tkazadi).
Harakatga boshqa misollar ham keltiraylik.
1-misol. Fazoda ixtiyoriy
p vektor berilgan bo’lsin. Fazoning ixtiyoriy N
nuqtasiga
NN '=p
shartni qanoatlantiruvchi
N' nuqta mos qo’yilsa, u holda bu almashtirishni p
vektor qadar parallel ko’chirish deb ataladi.
Teorema. Parallel ko’chirish harakatdir.
8
Rasulov A.R. Harakatlar nazariyasining matematik asoslari . – Toshkent: O‘qituvchi, 2019.
16

N
P

P
147-chizma ..
' M Isbot. Fazoda M va N nuqtalar berilgan bo’lsin. M' va N'
nuqtalar esa ularning akslari (obrazlari) bo’lsin, u holda
MM '=p ,
NN '=p
bo’ladi. Shuning uchun MM '=NN ' vektorlarning
tengligidan
|MN |=|M 'N'| (147-chizma).
2-misol. Fazoda biror
O nuqtani olib, fazoning ixtiyoriy M nuqtasini O
nuqtaga nisbatan
M' nuqtaga mos qo’yuvchi simmetrik akslantirishni qaraylik.
Bu akslantirish almashtirish bo’lib,
O nuqtaga nisbatan simmetrik (markaziy
simmetriya yoki
O nuqtadan qaytish) deyiladi.
Teorema. Nuqtaga nisbatan simmetrik almashtirish harakatdir.
Isboti o’quvchilarga havola qilinadi.
3-masala. Fazodagi
Τ tekislikni olib, fazoning ixtiyoriy M nuqtasini Τ
tekislikka nisbatan simmetrik
M' nuqtasiga akslantirishni olaylik (44-chizma). Bu
akslantirishni
Τ tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish deyiladi.
Teorema. Tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish harakatdir.
Isboti. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasining
oxy koordinatalar
tekisligi
Τ tekislik bilan ustma-ust tushsin deylik (44-chizma). A(x1,y1,z1) va
B(x2,y2,z2)
fazoning ixtiyoriy nuqtalari A' va B' nuqtalar esa ularning simmetrik
almashtirishdagi akslari (obrazlari) bo’lsin.
T= xoy bo’lgani uchun A' va B'
nuqtalar
A'(x1,y1,−z1) , B'(x2,y2,−z2) koordinatalarga ega bo’ladi, u holda ikki
nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalanib quyidagini topamiz.
ρ(A',B')=√(x'2− x'1)2+(y'2− y'1)2+(z'2−z'1)2= ρ(A,B)
.
Demak,
ρ(A',B')= ρ(A,B) . Bu esa tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish
harakat ekanligini bildiradi.
Harakatning quyidagi xossalarini isbotlash mumkin:
17
N'.
.

1  . Harakat tekisliklarni tekisliklarga, parallel tekisliklarni parallel
tekisliklarga o’tkazadi.
2  . Harakat to’g’ri chiziqlarni to’g’ri chiziqlarga, parallel to’g’ri chiziqlarni
parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi.
3  . Harakat ikki yoqli burchakni o’ziga teng ikki yoqli burchakka o’tkazadi.
4  . Harakat uchta nuqtaning oddiy nisbatini saqlaydi.
5  . Harakat to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini to’g’ri burchakli
dekart koordinatalar sistemasiga o’tkazadi.
Harakatning ikki turi. Invariant nuqta, to’g’ri chiziq va tekislik 9
1. Fazoda ikkita (O,e1e2e3) va (O,e'1e'2e'3) affin koordinatalar sistemasi bir
xil oriyentirlangan (qarama-qarshi oriyentirlangan) bo’lishi uchun bazis
e1,e2,e3 va
e'1,e'2,e'3
bazis vektorlar bir xil yo’nalishga (qarama-qarshi yo’nalishga) ega
bo’lishi kerak (7-§ ga qarang).
Teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat yo fazo oriyentatsiyasini saqlaydi yoki
oriyentatsiyasini o’zgartiradi.
Bu teoremaning isboti tekislik uchun berilgan teorema isbotiga o’xshash bo’ladi.
Shunday qilib, fazoda ikki tur harakat mavjud: birinchi fazo oriyentatsiyasini
o’zgartirmaydigan, ikkinchisi fazo oriyentatsiyasini o’zgartiradigan harakat.
Birinchi holdagi harakatni birinchi tur harakat, ikkinchi holdagi harakatni
ikkinchi tur harakat deyiladi.
2. Fazoda ham invariantlik masalalari tekislikdagidek hal qilinadi.
Agar fazo nuqtasi almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, bunday nuqtani fazoning
invariant (qo’zg’almas) nuqtasi deyiladi. Shunga o’xshash to’g’ri chiziq
(tekislik) almashtirishda o’zi-o’ziga o’tsa, invariant to’g’ri chiziq (tekislik)
deyiladi.
9
Rasulov A.R. Harakatlar nazariyasining matematik asoslari . – Toshkent: O‘qituvchi, 2019.
18

Xususan, invariant to’g’ri chiziqning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan,
invariant tekislikning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan iborat bo’lishi
mumkin.
Fazoda L -harakat va Τ invariant tekislik berilgan bo’lsin. Bu harakatda
invariant tekislikning ixtiyoriy nuqtasi yana shu tekislik nuqtasiga o’tadi, ya’ni
Τ
tekislikda L' akslantirish vujudga keladi, bu akslantirish harakatdan iborat
ekanligi ravshan, chunki masofani saqlaydi. Bu almashtirishni
L -harakatning Τ
tekislikka indutsirlangan (singdi ril gan) harakati deyiladi.
Harakatning turlarini aniqlash uchun zarur bo’ladigan uchta teoremani beramiz.
1-teorema. Agar harakat invariant nuqtaga ega bo’lmasa, u holda ixtiyoriy ikki
invariant to’g’ri chiziqlari parallel bo’ladi.
Isbot. Teskarisini faraz qilib isbotlaymiz.
L -harakatning parallel bo’lmagan d1
va
d2 invariant to’g’ri chiziqlar i bo’lsin. U holda bu to’g’ri chiziqlar yo
kesishadi yoki ayqash bo’ladi. Birinchi holda,
M nuqta d1 va d2 to’g’ri
chiziqlarning kesishgan nuqtasi
L -harakatda M' nuqtaga o’tsin. Bu nuqta ham
d1
to’g’ri chizig’ida, ham d2 to’g’ri chizig’ida yotadi, ya’ni M =M ' . Bu teorema
shartiga ziddir (invariant nuqta yo’q).
Ikkinchi holati
d1 va d2 to’g’ri chiziqlar ayqash bo’lsin. Bu holda d1 va d2
to’g’ri chiziqlar umumiy
AB perpendikulyarga ega bo’ladi. A∈d1 , B∈d2 . AB
ikki to’g’ri chiziq orasidagi eng qisqa
masofa, u holda
L -harakatda A va B
nuqtalar invariant nuqtalar bo’ladi, bu
teorema shartiga ziddir.
2-teorema. Agar
L -harakat invariant
nuqtaga ega bo’lmay, lekin bir tekislikda
19 148- chizma

yotmaydigan kamida uchta parallel invariant to’g’ri chiziqlar mavjud bo’lsa, u
holda L -harakat invariant to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan nol bo’lmagan vektor
qadar parallel ko’chirishdan iborat (148-chizma).
3-teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat kamida bitta invariant to’g’ri chiziqqa
ega.
Keyingi ikki teoremani isbotini o’quvchilarga havola qilamiz.
Fazodagi harakat klassifikatsiyasi
Fazoda ikkita
R(O,ABC) va R'(O',ABC) affin reperi (yoki affin
koordinatalar sistemasi) berilgan bo’lsin. Agar bu reperlarning bazis
e1,e2,e3 va
e'1,e'2,e'3
vektorlarining yo’nalishlari bir xil (qarama-qarshi) bo’lsa, R va R'
reperlar oriyentatsiyasi bir xil (qarama-qarshi) deyiladi.
Fazodagi harakat klassifikatsiyasi tekislikdagi harakat klassifikatsiyasiga
o’xshash bo’ladi. Bu yerda ham harakatni klassifikatsiyalashda uning invariant
nuqtalaridan foydalanamiz.
1. Fazodagi harakat bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan kamida uchta invariant
nuqtaga ega bo’lsin .
A,B,C
nuqtalar - g harakatning bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan invariant
nuqtalari,
AD to’g’ri chiziq esa ABC tekislikka perpendikulyar to’g’ri chiziq
bo’lsin. (47-chizma).
g - harakat
ABC tekislik nuqtalarini yana shu tekislik nuqtalariga o’tkazishi
ravshan, ya’ni bu tekislik invariant. Shuning uchun
AD to’g’ri chiziq ham
invariant. Demak
D nuqta ham, uning obrazi D' nuqta ham AD to’g’ri chiziqda
yotadi.
g
almashtirish D nuqtani A D=AD' shartni qanoatlantiruvchi D' nuqtaga
o’tkazsin. Bunda quyidagicha ikki hol yuz berishi mumkin.
20

1) D' nuqta D nuqta bilan ustma-ust tushsin, u holda (ABC D) reperning uchlari
o’z-o’ziga o’tadi. Demak,
g ayniy almashtirishdir.
Ma’lumki, ayniy almashtirish-birinchi tur harakatdir.
2)
D va D' nuqtalar A nuqtaga simmetrik. g -almashtirishda R(ABC D) reper
R'(ABC D')
reperga o’tadi. Demak, g - almashtirish (ABC) tekislikka nisbatan
simmetrik almashtirishdan iborat. Bizga ma’lumki tekislikka nisbatan simmetrik
almashtirish - ikkinchi tur almashtirish bo’ladi.
2. Fazodagi harakat kamida ikkita invariant
A,B nuqtalarga ega, lekin AB
to’g’ri chizigda yotmaydigan birorta ham invariant nuqtaga ega bo’lmasin.
Bu holda
A B=d to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi invariant nuqta bo’ladi.
Haqiqatan ham,
N AB to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi. N' nuqta esa uning
aksi. Harakatda uchta nuqtaning oddiy nisbati o’zgarmaydi yani
(AB,N)=(AB,N')
.
A,B
nuqtalar invariant nuqtalar bo’lgani
uchun
N va N' nuqtalar ham ustma-ust tushadi. Demak, N nuqta berilgan
harakatning invariant nuqtasidir.
Shunday qilib,
AB to’g’ri chiziq nuqtalari invariant nuqtalardan iborat.
AB
to’g’ri chiziqqa uning biror P nuqtasiga Τ -perpendikulyar tekislik
o’tkazaylik. (150-chizma).
21149- chizma

Ma’lumki Τ tekislik berilgan L harakatda invariant tekislik bo’ladi.
Shuning uchun
Τ tekislikda qandaydir g harakatni indutsirlaydi (singdiradi),
ya’ni vujudga keltiradi.
P nuqta bu harakatning qo’zg’almas nuqtasi bo’ladi.
Demak,
g harakat P nuqta atrofida biror ϕ
burchakka
(ϕ≠ 0) burishdan iborat.
L
-harakat AB to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi ixtiyoriy
tekislikni ya’ni shu to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi tekislikka o’tkazadi (48-
chizma), u holda
AB to’g’ri chiziqqa perpendikulyar har bir tekislikda aynan bir
xil
ϕ burchakka burishni indutsirlaydi (singdiradi), ya’ni paydo qiladi.
Bu hosil qilingan harakatni fazodagi
AB to’g’ri chiziq atrofida ϕ burchakka
burish deyiladi.
AB to’g’ri chiziqni burish o’qi, ϕ burchakni burish burchagi
deyiladi. (150-chizma).
Teorema. Fazodagi
AB to’g’ri chiziq atrofidagi burish birinchi tur harakatdir.
Bu teorema isbotini talabalarning o’zlariga tavsiya
qilamiz.
Fazodagi
d to’g’ri chiziq atrofida π burchakka
burish,
d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya
deyiladi (151-chizma).
22150- chizma
151 -chizma

Bu holda fazoning har bir M nuqtasiga d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik
bo’lgan
M' nuqta mos keladi (151-chizma).
ϕ= 0
burchakka burishni ayniy almashtirish deyiladi.
3. Bitta qo’zg’almas
A nuqtaga ega bo’lgan harakat.
Har qanday harakat 23-§ dagi uchinchi teoremaga ko’ra qo’zg’almas
d to’g’ri
chiziqqa ega.
A nuqtaning invariant d to’g’ri chiziqqa qarashli ekanligi
ravshan, aks holda
A nuqtadan d to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar
asosi ham invariant nuqta bo’ladi. Buning bo’lishi shartga ko’ra mumkin emas.
Invariant
A nuqtadan o’tib, d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tekislikni Τ bilan
belgilaylik.
Τ tekislik - L harakatda invariant bo’lganligi tufayli, Τ tekislikda
invariant nuqtasi
A nuqtadan iborat g harakatni vujudga keltiradi. Bu harakat
faqat bitta invariant
A nuqtaga ega bo’lganligi uchun u A nuqta atrofida biror ϕ
(ϕ≠ 0)
burchakka burishdan iborat bo’ladi.
Endi ortonormallashgan
R(ABC D) reperni quyidagicha tanlab olaylik: B nuqta
d
to’g’ri chiziqda, C va D nuqtalar Τ tekislikda yotsin (48-chizma).
B∈d
nuqta qo’zg’almas nuqta emas, u
holda
B'=g(B) nuqta A nuqtaga nisbatan
B
nuqtaga simmetrik. Fazodagi L harakat
R(ABC D)
reperni R'(AB'C'D') reperga
o’tkazadi. Shu bilan birga
Τ tekislikdagi
R1(AC D)
reperni yo’nalishi bir xil bo’lgan
R'1(AC'D')
reperga o’tkazadi (152-chizma).
Shuning uchun
R va R' reperlar qarama-qarshi yo’nalishga ega bo’ladi. Bundan
g
harakat ikkinchi tur harakat ekanligi kelib chiqadi.
Bu
g harakatni burish simmetriyasi deyiladi.
23 152- chizma
49-chizma

Bunda d to’g’ri chiziq, ϕ burchak, Τ tekislik va A nuqta mos ravishda burish
simmetriyaning o’qi, burchagi, tekisligi va markazi deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan burish simmetriyasi,
d to’g’ri chiziq atrofida ϕ
burchakka burish
g1 bilan, Τ tekislikka simmetriya g2 ning ko’paytmasidan
iborat.
g= g2⋅g1 .
Agar
ϕ= π bo’lsa, burish simmetriyasi qo’zg’almas nuqtaga nisbatan
simmetriya bo’ladi.
4. Harakatning bitta ham qo’zg’almas nuqtasi mavjud emas .
g
berilgan harakat, d - uning invariant to’g’ri chizig’i bo’lsin. Ma’lumki bu
harakatning
d dan boshqa invariant to’g’ri chizig’i mavjud bo’lsa, u d ga
parallel bo’ladi (3-teorema, 23-§).
Bunda quyidagi uchta holning biri o’rinli bo’lishi mumkin.
1) Kamida uchta o’zaro parallel va bir tekislikda yotmaydigan invariant
to’g’ri chiziqlar mavjud. Bunda (2-teoremaga asosan)
g harakat nol bo’lmagan p
vektor qadar parallel ko’chirishdan iborat bo’ladi. Buning invariant to’g’ri
chiziqlari fazoning faqat
p vektorga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlardan iborat
bo’ladi. Ravshanki, parallel ko’chirish-birinchi tur harakatdir.
2) Kamida ikkita parallel invariant to’g’ri chiziqlar mavjud. Boshqa barcha
invariant to’g’ri chiziqlar, agar ular mavjud bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar orqali
o’tgan tekislikda yotadi. Bu holdagi
g harakatni sirpanuvchi simmetriya deyiladi.
g
ning Τ tekislikka simmetriya bilan p≠0 vektor qadar parallel ko’chirish
ko’paytmasidan iborat ekanini isbotlash qiyin emas. Sirpanuvchi simmetriya –
ikkinchi tur harakat.
3) Harakat faqat bitta
d invariant to’g’ri chiziqqa ega. Bu holda g harakatni
vint harakati deyiladi.
24

Bu g harakat, d to’g’ri chiziq atrofida ϕ≠ 0 burchak burish bilan, d to’g’ri
chiziqqa parallel
p≠0 vektor qadar parallel ko’chirish ko’paytmasidan iborat
ekanini isbotlash qiyin emas. Vint harakati – birinchi tur harakat.
Shunday qilib, fazodagi harakatning olti xili mavjud bo’lib, ular quyidagi
jadvalda keltirilgan:
Birinchi tur harakat
1.
p vektor qadar parallel ko’chirish.
a)
p≠0 vektor qadar parallel ko’chirish.
b)
p=0 . Ayniy almashtirish.
2. To’g’ri chiziq atrofida
ϕ burchakka burish.
a)
ϕ burchakka burish, bu yerda ϕ≠ 0 va ϕ≠ π
b)
(ϕ= 0) . Ayniy harakat.
v)
(ϕ= π) . To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya.
3. Vint harakati.
Ikkinchi tur harakat
4. Tekislikka nisbatan simmetriya.
5.
ϕ≠ 0 burchakka burish simmetriya.
a)
ϕ≠ 0 va ϕ= π burchakka burish simmetriya.
b) Nuqtaga nisbatan simmetriya
(ϕ= π) .
6. Sirpanuvchi simmetriya.
25

Xulosa
Mazkur kurs ishida tekislik va fazodagi harakatlar tushunchasi, ularning
klassifikatsiyasi, analitik ifodalanishi, hamda harakat guruhlarining matematik
asoslari ilmiy jihatdan yoritildi. O‘rganilgan mavzular asosida quyidagi xulosalarni
keltirish mumkin:
Birinchidan, harakat tushunchasi — bu fazo yoki tekislikdagi obyektlarning
o‘zaro joylashuvi o‘zgarmasdan, ya’ni masofalar va burchaklar saqlanib qolgan
holda ko‘chirilishini bildiradi. Geometriyada bu tushuncha asosiy amallardan biri
bo‘lib, u orqali obyektlarning simmetriyasi, invarianti va transformatsiyalari
chuqur tahlil qilinadi.
Ikkinchidan, tekislikdagi harakatlarning eng sodda turlari — parallel
ko‘chirish, aylantirish va simmetriya amallari bo‘lib, ular analitik usulda
koordinatalar vositasida ifodalanadi. Bu harakatlar kompozitsiyasi orqali murakkab
26

transformatsiyalar hosil qilinadi va ular o‘q simmetriyalarining ko‘paytmasi
sifatida ifodalanishi mumkin.
Uchinchidan, harakatlar guruhlar nazariyasi nuqtai nazaridan qaralganda, ular
matematik struktura — guruh hosil qiladi. Bu guruhning xossalari (assotsiativlik,
teskari element mavjudligi, biror element mavjudligi) harakatlar majmuasining
tartibli va tizimli ekanini ko‘rsatadi. Harakat guruhlarining qism guruhlari esa
geometrik simmetriyaning turli darajalarini ifodalaydi.
To‘rtinchidan, fazodagi harakatlar ikki asosiy turga bo‘linadi: qattiq jism
harakatlari va deformatsion harakatlar. Bu harakatlar ham klassifikatsiya qilinib,
ularning o‘zaro farqlari, invariantlari va fizik-matematik tahlili keltirildi.
Beshinchidan, ushbu mavzu o‘zining nazariy chuqurligi bilan birga, muhim
amaliy ahamiyatga ham egadir. Tekislik va fazodagi harakatlar fizikada (masalan,
mexanika va optikada), muhandislikda (konstruktsiyalar harakati), informatika va
grafik dasturlashda (kompyuter grafikasi, animatsiya) keng qo‘llaniladi.
Oltinchidan, kurs ishi davomida nafaqat matematik formulalar va nazariyalar
o‘rganildi, balki ularning didaktik ahamiyati, o‘quvchilarda fazoviy tafakkurni
shakllantirishdagi roli ham tahlil qilindi. Bu esa mazkur mavzuning boshlang‘ich
va oliy ta’lim tizimida o‘qitilishi zarur va dolzarb ekanini isbotlaydi.
Umuman olganda, kurs ishi o‘z oldiga qo‘yilgan maqsad va vazifalarni to‘liq
amalga oshirdi: harakat tushunchasining ilmiy asoslari, analitik modeli, guruhli
tuzilmalari va amaliy qo‘llanilishi yoritildi. Mazkur mavzuni chuqur o‘rganish
orqali talabalarda nafaqat nazariy bilimlar, balki amaliy ko‘nikmalar, fazoviy
tasavvur va mantiqiy fikrlash qobiliyati rivojlanadi.
27

Adabiyotlar ro‘yxati
a) Normativ-huquqiy hujjatlar va metodologik nashrlar
1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. –
Toshkent: Adolat, 2020.
2. O‘zbekiston Respublikasining “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”. –
Toshkent: Sharq, 2021.
3. Sh.M. Mirziyoyev. Yangi O‘zbekiston – taraqqiyot va bunyodkorlik
yo‘li . – Toshkent: “O‘zbekiston”, 2022.
4. Umumiy o‘rta ta’lim maktablari uchun “Geometriya” fani bo‘yicha
davlat ta’lim standarti. – Toshkent: 2023.
5. Pedagogika instituti talabalariga mo‘ljallangan “Geometriya fanidan
o‘quv-uslubiy majmua”. – Toshkent, 2022.
b) Monografiyalar, ilmiy maqolalar va to‘plamlar
6. Yoqubov M.X. Geometriya va uning o‘qitish metodikasi . – Toshkent:
Fan, 2020.
28

7. Sobirov A.A. Analitik geometriya asoslari . – Samarqand: SamDU
nashriyoti, 2021.
8. Rasulov A.R. Harakatlar nazariyasining matematik asoslari . –
Toshkent: O‘qituvchi, 2019.
9. Sultonova M.T. “Geometriyada harakat guruhlari va ularning
xossalari” // O‘zMU Ilmiy axborotnomasi , 2022, №2.
10. Matematika fanidan laboratoriya mashg‘ulotlari to‘plami / Tahrir
hay’ati rahbari: A. Karimov. – Buxoro: BDU, 2021.
c) Gazeta, jurnal, xorijiy adabiyotlar va internet manbalari
11. Matematika va ta’lim jurnali. – Toshkent: 2023, №4.
12. Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals . – Cengage Learning,
2016.
13. Bronshtein I.N., Semendyayev K.A. Handbook of Mathematics . –
Springer, 2013.
29

bu kurs ishi har doim 80+ olib kelgan.
Namuna uchun:

Sotib olish