Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025
9 SotishYarim chegaralangan sohalarda bir o’lchamli issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo’yilgan ( . ) ni davom ettirish usulida yechish
![II. ASOSIY QISM.
1.Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi deb,
C 2,1
( t > 0 ) ∩ C ( t ≥ 0 ) sinfiga tegishli va
t > 0 , x ∈ R n
da
u
t = a 2(
u
x
1 x
1 + u
x
2 x
2 + u
x
3 x
3 + … … + u
x
n x
n ) + f ( x , t ) ( 1.1 )
tenglamani t=0 da esa
u|t=0=φ(x),x∈Rn(1.1 ')
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u ( x , t )
funksiyani topishga aytiladi.
Agar berilgan uzluksiz chegaralangan funksiyalar bo’lsa, u holda (1.1),
(1.1) Koshi shartlarni yechimi mavjud va yagona bo’lib, u
u(x,t)= 1
(2a√πt )n∫
Rnφ(ξ)e
−|x−ξ|2
4a2t dξ +∫0
t
∫
Rn
f(ξ,τ)e
−|x−ξ|2
4a2(t−τ)dξdτ
[2a√π(t−τ)]n (1.2 )
Puasson formulasi yordamida ifodalanda.
1. Agar (1.2) formulada n=1 da f
( x , t ) = 0
bo’lsa, u holda (1.1), (1.2) Koshi
masalasi yechimi
u(x,t)= 1
2a√πt ∫−∞
−∞
φ(ξ)e
−|x−ξ|2
4a2tdξ = 1
2a∫−∞
+∞
E(x,t;ξ)φ(ξ)dξ (1.3 )
ko‘rinishda yoziladi. u
t = a 2
u
xx tenglamaning fundamental yechimi.
2. Agar (1.2) formulada n=1 da f
( x , t ) ≠ 0
bo’lsa, u holda (1.1), (1.2)
Koshi masalasi yechimi
u
( x , t ) = 1
2 a √ πt ∫
− ∞+ ¿ φ
( ξ) e −| x − ξ| 2
4 a 2
t
dξ + ¿ ¿
¿
+
∫
0 t
∫
− ∞+ ∞
f ( ξ , τ ) e −
| x − ξ | 2
4 a 2
( t − τ )
dξdτ
2 a
√ π ( t − τ ) ( 1.4 )
ko’rinishda yoziladi.
9](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_9.png?v=1)
![1
√2π∫−∞
+∞∂u(x,t)
∂t e
−iλξ
dx = ∂
∂t[
1
√2π∫−∞
+∞
u(x,t)e−iλξ dx ]= dv (t,λ)
dt (2.10 )
1
√2π∫−∞
+∞∂2u(x,t)
∂x2 e
−iλξ
dx = 1
√2π∫−∞
+∞
u(x,t)(− λ)e−iλξ dx = ¿¿ λ 2
√
2 π ∫
− ∞+ ∞
u ( x , t ) e − iλξ
dx = − λ 2
v ( t , λ ) ( 2.11 )
v(0,λ)= 1
√2π ∫−∞
+∞
u(x,0)e−iλξ dx = 1
√2π∫−∞
+∞
φ(x)e−iλξ dx =Ф (λ)(2.12 )
o’rinlidir.
(2.1) tenglamani (2.2) shartni ikkala tomonini 1
√
2 π e − iλξ
ga ko’paytirib,
hamda x bo’yicha − ∞
dan
+∞ gacha integrallab, (24) - (26) ni hisoblab olib,
quyidagi masalani hosil qilamiz.
dv ( t , λ )
dt + a 2
λ 2
v
( t , λ ) = 0 ( 2.13 )
v(0,λ)=Ф (λ)(2.14 )
(2.13) oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi
v
( t , λ ) = c
1 e − a 2
λ 2
t
( 2.15 )
teng. (2.15), (2.14) dan
v(0,λ)=c1=Ф (x)
Demak, (2.13), (2.14) masalaning yechimi
v
( t , λ ) = Ф ( λ ) e − a 2
λ 2
t
( 2.16 )
ko’rinishda bo’ladi.
Endi (2.11) teskari Fur’e almashtirishga ko’ra (2.13)dan ko’rinadiki,
12](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_12.png?v=1)
![u(x,t)= 1
√2π∫−∞
+∞
v(x,t)eiλξ dλ (2.17 )hosil qilamiz.
(2.17) ni (2.16) ga quyib (2.13) asosan
u
( x , t ) = 1 √
2 π ∫
− ∞+ ∞
Ф ( λ ) e iλξ
e − a 2
λ 2
t
dλ = 1 √
2 π ∫
− ∞+ ∞
φ ( ξ ) dξ
∫
− ∞+ ∞
e − a 2
λ 2
t
e − iλ ( x − ξ )
dλ = ¿
¿ 1
√
2 π ∫
− ∞+ ∞
φ ( ξ ) dξ [
∫
− ∞+ ∞
cos λ ( x − ξ ) e − a 2
λ 2
t
dλ + i
∫
− ∞+ ∞
sin λ ( x − ξ ) e − a 2
λ 2
t
dλ ]
ni olamiz. Bundan
cos x funksiyaning juftligini sin x
funksiyani toqligini hisobga
olib,
u
( x , t ) = 1
π ∫
− ∞+ ∞
φ ( ξ ) dξ
∫
0∞
cos λ ( x − ξ ) e − a 2
λ 2
t
dλ ( 2.18 )
hosil qilamiz.
(2.18)dan va
∫0
+∞
e−a2λ2tcos βλdλ = √π
2αe
−β2
4a2(2.19 )
formulani hamda
α= a√t,β= x− ξ ni e’tiborga olib, Koshimasalasining
yechimini topamiz.
u(x,t)= 1
2a√πt ∫−∞
+∞
φ(ξ)e
−(x−ξ)2
4a2t dξ (2.20 )
13](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_13.png?v=1)
![firmulaga asosan (3.4) va (3.5) Koshi masalasining yechimi quyidagicha yozib
olamiz.
U( x , t ) = 1
2 a
√ πt ∫
− ∞+ ∞
Ф
( ξ ) e −
| x − ξ | 2
4 a 2
t
dξ
( 3.6 )
(3.6) formuladan (3.3) ko’ra U
( x , 0 ) = φ ( x ) , 0 ≤ x < + ∞
shartni bajarilishini oson
ko’rishimiz mumkin.
(3.3) asosan (3.6) formulada qo’yidagicha ega bo’lamiz.
U
( x , t ) = 1
2 a
√ πt ∫
0+ ∞
φ
( ξ ) e −
| x − ξ | 2
4 a 2
t
dξ − 1
2 a
√ πt ∫
0+ ∞
φ
( ξ ) e −
| x + ξ | 2
4 a 2
t
dξ
Bundan U
( x , 0 ) = 0
shartni o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Hamda agar
0≤x<+∞
bo’lsa, u holda U ( x , t ) = u ( x , t )
bo’ladi.
Shunday qilib (3.1) masalaning yechimi
u(x,t)= 1
2a√πt ∫0
+∞
[e
−|x−ξ|2
4a2t−e
−|x+ξ|2
4a2t]φ(ξ)dξ
ko’rnishda bo’ladi.
Izotermik sirt dF dan d vaqt ichida o‘tayotgan issiqlik miqdorini aniqlash
uchun (5) tenglamani F va bo‘yicha integrallash lozim, ya’ni jism ichidagi
temperatura maydonini bilish kerak. Bu masalani yechish uchun issiqlik
o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasi keltirib chiqariladi.
Tenglamani keltirib
chiqarishda quyidagi shartlar qabul
qilinadi: jism bir jinsli va izotrop; uning fizik
parametrlari o‘zgarmas. Energiyaning
saqlanish qonuniga asosan, jismning
elementar hajmiga vaqt ichida
15
2-rasm. Issiqlik o‘tkazuvchanlikning
differentsial tenglamasiga
doir. Dekart (a) va Silindrik (b)
koordinatalarda](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_15.png?v=1)
![tashqaridan issiqlik o‘tkazuvchanlik yo‘li bilan keltirilgan dQ
1 issiqlik miqdori va
ichki issiqlik manbai tomonidan ajralib chiqayotgan issiqlik miqdori dQ
2 yig‘indisi
jismning ichki energiyasining o‘zgarishiga teng bo‘lishi kerak dQ=dU:
dQ
1 +dQ
2 =dQ (9)
Bu tenglama hadlarini Dekart koordinata tizimida aniqlash uchun jismda
tomonlari dx, dy, va dz bo‘lgan parallelepiped ajratib olamiz (2-rasm).
Bu yerda dQ
x , dQ
y , dQ
z – olib keltirilayotgan issiqlik. dQ
x+dx , dQ
y+dy , dQ
z+dz –
olib ketilayotgan issiqlik. U holda dy dz qirra uchun Fure qonuniga (5) asosan:dQ x=−χ∂t
∂xdydzd τ; dQ x=−χ[(∂t
∂x+ ∂
∂x(∂t
∂x)dx ]dydzd τ=
¿−χ(∂t
∂x+∂2t
∂x2dx )dydzd τ.
Bu kattaliklar farqi parallelepipedda qolayotgan issiqlik miqdorini beradi:
dQ x1= dQ x−dQ x+dx= χ ∂2t
∂x2dxdydzd τ
Xuddi shunday bog‘lanishni qolgan ikki qirra uchun keltirib chiqarish
mumkin. U holda jismga keltirilgan va unda qolgan umumiy issiqlik miqdori
quyidagiga teng bo‘ladi:
dQ 1= λ(∂2t
∂x2+ ∂2t
∂y2+ ∂2t
∂z2)dxdydzdr
Agar ichki issiqlik manbaining solishtirma issiqlik unumdorligini q
v (J/m 3
)
orqali belgilasak:
dQ
2 =q
v dx dy dz d bo‘ladi.
16](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_16.png?v=1)
![q=− λdt
dx
yoki dt =− q
λdx va t=− q
λdx +c(16)
Integrallash doimiysi c chegara shartlaridan aniqlanadi: x =0 bo‘lganda t=t
1 .
Bundan c=t
1 , binobarin tenglama quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
t=− q
λx+t1
Bu tenglamadan ko‘rib chiqilayotgan devor orqali o‘tuvchi issiqlik
oqimining zichligini aniqlash mumkin. Ushbu tenglamaga x = qiymatni qo ‘ ysak
t = t
2 bo ‘ ladi , bundan
q= λ
δ(t1−t2)= λ
δΔt
(17)
Yassi devorda issiqlik oqimining zichligi issiqlik o ‘ tkazuvchanlik
koeffitsenti ga , temperaturalar farqi ( t
1 – t
2 ) ga to ‘ g ‘ ri proportsional va devor
qalinligi ga teskari proportsional bo ‘ ladi . Shuni nazarda tutish kerakki , issiqlik
oqimi temperaturaning absolyut qiymati bilan emas , balki ularning farqi – issiqlik
bosimi t
1 – t
2 = t bilan aniqlanadi .
/ nisbat devorning issiqlik o ‘ tkazuvchanligi deyiladi ; uning o ‘ lchamligi
[ Vt /( m 2
grad )]. (17) tenglikni boshqacha ko ‘ rinishda yozish mumkin :
q=
t1−t2
δ/χ
(18)
Devor qalinligining issiqlik o ‘ tkazuvchanlik koeffitsientiga nisbati /
devorning termik qarshiligi deyiladi .
(17) formuladan devorning yassi sirti F orqali vaqt ichida uzatilgan
umumiy issiqlik miqdori Q ning qiymatini topish mumkin .
Q= qF ⋅τ= χ
δ ΔtF τ
(19)
20](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_20.png?v=1)
![Bu tenglamadan har qaysi qatlamda temperaturaning o‘zgarishini aniqlasa
bo‘ladi:t
1
−t
2
=qδ
1
/λ
1¿}t
2
−t
3
=qδ
2
/λ
2¿}¿¿ ¿
(21)
Bundan
t1−t4= Δt = q[δ1
λ1
+δ2
λ2
+δ3
λ3
]
Bu nisbatdan ko‘p qatlamli devor orqali o‘tadigan solishtirma issiqlik oqimi
q ning kattaligini aniqlash mumkin:
q= t1− t4
δ1/λ1+δ2/λ2+δ3/λ3
. (22)
n qatlamli devor uchun (22) formula quyidagi ko‘rinishda yoziladi.
q= t1−tn+1
∑i=1
n
δi/λi
(22) tenglamadan ko‘p qatlamli yassi devorning umumiy termik qarshiligi
har qaysi qatlam termik qarshiliklarining yig‘indisiga teng, degan xulosa kelib
chiqadi:
R=
1 /
1 +
2 /
2 +
3 /
3 +….+
n /
n .
(21) va (22) formulalar asosida noma’lum temperaturalar t
2 va t
3 ning
qiymatlarini topish mumkin:
22](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_22.png?v=1)
![t
2 =t
1 -qδ2/λ2 t
3 =t
2 -q δ2/λ2 =
t1−q[δ1
λ1
+δ2
λ2
]
yoki
t
3 =t
4 + q
δ3/λ3 .
=const bo‘lganda devorning har qaysi qatlamida temperaturaning
taqsimlanishi to‘g‘ri chiziq qonuniga bo‘ysunadi, ko‘p qatlamli devor uchun esa
siniq chiziq ko‘rinishida bo‘ladi.
Issiqlik mashinalari va issiqlik almashinuv apparatlari devorining sirtlari
ko‘pincha kontsentrik joylashgan ikkita Silindrik sirt
(quvurlar, apparatlarning korpuslari, dvigatelning
silindrlari va shunga o‘xshash) bilan chegaralangan
bo‘ladi.
5-rasmda uzunligi
ℓ bo‘lgan quvur bo‘lagi
ko‘rsatilgan. Uning ichki diametri d
1 va tashqi diametri d
2
Materialning issiqlik o‘tkazuvchanligi o‘zgarmas
va ga teng. Quvurning ichki va tashqi sirtlari
temperaturalari t
1 va t
2 ga teng va t
1 >t
2 . Temperatura faqat radial yo‘nalishda
o‘zgaradi. Tekshirilayotgan devor ichidan radiusi r va qalinligi dr bo‘lgan
elementar Silindrik qatlam ajratamiz. U holda Fure qonuniga asosan shu qatlamdan
vaqt birligi ichida o‘tadigan issiqlik miqdori quyidagiga teng.
Q=− χS dt
dr =− χ2πrl dt
dr
(23)
bundan
dt=− Q
2πχ l
dr
r
va
t=− Q
2πxlln r+c (24)
235-rasm. Bir qatlamli
Silindrik devor.](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_23.png?v=1)
![t1−t4= Δt = qℓ[
1
2πχ 1
ln d2
d1
+ 1
2πχ 2
ln 1
2πχ 3
ln d4
d3]U holda
ql= Δt
1
2πχ 1ln d2
d1+ 1
2πχ 2ln d3
d2+ 1
2πχ 3ln d4
d3
(31)
n qatlamli devor uchun:
qe= Δt
∑i=1
i=n 1
2 πχ iln di+1
di
(32)
Noma’lum bo‘lgan t
2 va t
3 temperaturalarni aniqlash uchun (31) tenglamadan
q
l ni (30) tenglikka qo‘yish kerak.
Issiqlik oqimi sharsimon devordan o‘tadi va issiqlik manbai sharning ichida
joylashgan deb hisoblaymiz. Temperatura faqat radius bo‘ylab o‘zgaradi. Ichki sirt
temperaturasi
tcm', tashqi sirt temperaturasi tcm'', devorning issiqlik o‘tkazuvchanlik
koeffitsienti
χ=const ga teng.
Fure qonuniga asosan radiusi r va qalinligi dr bo‘lgan shardan o‘tayotgan
issiqlik oqimi quyidagiga teng bo‘ladi:
Q=− χF (dt/dr )=− χ4πr 2(dt /dr )
yoki
dt = − (Q )⋅(dr /r2)
Oxirgi tenglamani t va r bo‘yicha integrallaymiz va chegara shartlaridan r=r
1 da
t=tcm' , r= r2
da t=tcm'', ni aniqlaymiz. U holda:
27](https://docx.uz/documents/b15f4342-f10a-4260-bd15-d6cc568f589c/page_27.png?v=1)
YARIM CHEGARALANGAN SOHALARDA BIR O’LCHAMLI ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN ( . ) NI DAVOM ETTIRISH USULIDA YECHISH
-
O'xshash dokumentlar
- Ikkinchi tartibli sirtning asimptotik konusi va diametral tekisligi
- Fazoda tekislik va to`g`ri chiziqning o`zaro joylashuvi
- Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari
- Tekislikda koordinatalar metodi
- Ikkinchi tartibli chiziqni tenglamasiga ko’ra yasash