Информация о документе

Цена 40000UZS
Размер 111.3KB
Покупки 0
Дата загрузки 31 Октябрь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

DocX Seller

Дата регистрации 31 Октябрь 2026

0 Продаж

2 ta nochiziqli giperbolik tenglamalar sistemasi uchun ayirmali sxema

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKA SI OLIY TA ’LIM, FA N VA IN N OVA TSIY A LA R VA ZIRLIGI MIRZO ULUG‘BEK N OMIDA GI O‘ZBEKISTON MILLIY UN IV ERSITETI A MA LIY MA TEMATIKA VA IN TELLEKTUAL TEX N OLOGIY A LA R FA KULTETI 70540201- A maliy mat emat ik a mut axassisligi 1-k urs magist rant i 2 t a nochiziqli giperbolik t englamalar sist emasi uchun ay irmali sxema Kurs ishi Ilmiy rahbar: Toshk ent -2025 1 MUN DA RIJ A Kirish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Kv azichi ziqli giperbolik sist emalar ni chegarav i y boshqaris h uchun Ly apunov funk siy asi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. 2. 3. 4. Aralash masalaning qoʻyilishi, xarakteristik shakl va Riman invariantlari. . . . . . 8 Chegaraviy boshqarishni qurish uchun Lyapunovning qilish.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Kurs ishi bo‘y icha xulosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..27 Adabiy ot lar ro‘y xat i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .31 2 KIRISH Kurs ishi mav zusining asoslanishi v a uning dolzarbligi. Dastavval,Rimaninvariantlariyordamidadiagonallashtirilishimu mkin bo‘lgan saqlanish qonunlarining giperbolik sistemasi uchun Lyapunovning qat’iy funksiyasinitaqdimetamiz.UshbuLyapunovfunksiyasiningvaqtbo‘yicha hosilasi chegaraviy shartlarini mos tanlash orqali qat’iy manfiy bo‘lishi mumkin. Olingan chegara viy nazorat sistema holatinin g kerakli nuqtaga lokal yaqinlashishinikafolatlashimkoniniberishiko‘rsatilgan.Bundantashqar i, nazoratfaqatchegaralardao‘lchangansistemaholatiningqaytaaloqasisi fatida amalgaoshirilishimumkin.Boshqaruvniloyihalashusuligidravlikdastur misolidatasvirlangan,ya’nigorizontalochiqkanaldasuvsathivaoqiminin g nazorati ko‘rsatilgan. Kurs ishida erkli vaqt o‘zgaruvchisi t [ 0, + ) va erkli fazo o‘zgaruvchisi chekli x [ 0, L oralig‘idabo‘lgan xususiy hosilali differensial tenglamalar bilan ] tavsiflangansaqlanishqonunlarisistemasibilanbog‘liq.Bundaysistemal ar uchunbizko‘ribchiqadiganchegaraviynazoratmuammosiaralashmasal aning (ya’ni x = 0 va x = L da) boshqarish harakatlarini loyihalash muammosidir. sifatida(vaqtbo‘yichahosilasiyarimmanfiyaniqlangan)ishlatilganedi.Bu dissertatsiyadabizninghissamizboshqacha:sistemaniRimaninvariantla ribilan diagonallashmumkindebhisoblasak,bizentropiyaningkengaytmasibo‘l gan, lekinchegaranazoratinito‘g‘ritanlashorqalivaqtbo‘yichahosilasiqat’iy manfiyaniqlanishimumkinbo‘lganqat’iyLyapunovfunksiyasiniquramiz. Chegara nazoratining local (sistema traektoriyalarini kerakli belgilangan nuqtaga qarab) yaqinlash uvini isbotlash ga imkon berishini ko‘rsatadi gan teorema keltiramiz.Bundantashqari,nazoratfaqatchegaralardao‘lchangansiste ma holatiniteskarialoqasisifatidaamalgaoshirilishimumkin.Boshqaruvni loyihalashusuligidravlikdasturbilantasvirlangan:ochiqkanalninggoriz ontal qismidagisathinivaoqimnitartibgasolish.Soddalikuchunbizfaqatikkita 3 skalyar saqlanish qonunlari sistemasi bilan cheklanamiz. Ammo, xulosalarimizda ta'kidlaganimizdek,usulikkitaskalyarsaqlanishqonunlarisistemasidank o‘p bo‘lgansistemalargakengaytirishmumkin.Buesako‘rilayotganmasalan i dolzarbligini anglatadi. Kursishiob’ek t i ikkitanochiziqligiperboliktenglamalarsistemasidan iborat. Kursishipredmet i ikkitanochiziqligiperboliktenglamalarsistemasi uchunqo‘yilganaralashmasalasonliyechimi turg‘unliginitekshirishda Lyapunov nazariyasini tadbiq qilish usullarini o‘rganishdan iborat. Ilmiy y angiligi sifatidachegaralanganintervaldaikkidonanochiziqli giperboliktenglamalarsistemasiuchunqo‘yilganaralashmasalasonliyec himi turg‘unligi tahlil qilindi va turg‘unlik sharti taqdim etildi; Kurs ishining asosiy masalalari: 1.2takvazichiziqligiperboliktenglamalaruchunaralashmasalaning qo‘yilishi, xarakteristik formasi va Riman invariantlarini topish. 2.2takvazichiziqligiperboliktenglamalaruchunqo‘yilganaralash masalani sonli yechish uchun oqimga qarshi ayirmali sxemani qurish. 3.Kvazichi ziqli boshlang‘ich- chegaraviy ayirmali masala sonli yechimini eksponensial turg‘unligi tushunchasini kiritish. 4.Kvazichiziqliboshlang‘ich-chegaraviy ayirmali masala sonli yechimi uchun Lyapunovning qat’iy diskret funksiyasini qurish. 5.Kvazichiziqliboshlang‘ich-chegaraviy ayirmali masala sonli yechimi eksponensialturg‘unligihaqidagiteoremanishakllantirishvau ni isbotlash. 6.Kvazichi ziqli boshlang‘ich- chegaraviy ayirmali masala sonli yechimining eksponensial turg‘unligini misollarda sonli tahlil qilish. Kursishiningasosiy farazi: Kvazichiziqliboshlang‘ich-chegaraviy ayirmalimasalasonliyechimimuayyanturg‘unlikshartlaribajarilganda Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi. Kurs ishi mav zusi bo‘y icha adabiy ot lar sharhi (t ahlili): 4 Giperboliksistemalaruchunaralashmasalaningqo‘yilishivauning korrektli gini tahlil qilish S.K.God unov, O.Kreis s, O.A.Ladyjenskaya, I.G.Petro vskiy, B.L.Rojdestvenskiy, N.N.Yanenko, R.Saka moto, S.L.Sobolevlarning [4,5,7,10,11,13,14,16] klassik ishlarida o‘rganilgan. G.BastinvaJ.M.Coron[17]giperboliksistemalaruchunstatsionar holatlarning Lyapunov ma’nosida turg‘unligini o‘rganishgan. Ko‘pgina ishlar giperbolik sistemalarni ayirmali sxemalar yordamida sonli yechishnazariyasinio‘rganishgabag‘ishlangan.S.K.Godunov.V.S.Ryabe nkiy, A.A.Samarskiy , A.V.Gulin, R.D.Richtmay er, K.Morton, N.N.Yanenk o, Yu.I.Shokin,R.Courant,K.Fridrixs,G.Levy,A.G.Kulikovskiy,N.V.Pogorelov , A.Yu.Semenov,V.M.Kovenya,A.M.Bloxin,R.D.AloevvaM.U.Xudoybegan ov [1-3,5-6,8- 9,12,15,17- larning ishlari bu sohada muhim ahamiyatga ega. Lyapu novni turg‘unlik nazariyasi va uni ayirmali sxemalar ning turg‘unliginitekshirishgaqo‘llashbo‘yichama’lumotlar[17,20-21,27- 30,34-38,40-41] larda keltirilgan. Kursishidaqo‘llanilganmet odik aningt av sifi : TadqiqotdaLyapu nov nazariyasiayirmalisxemanieksponensialturg‘unliginitekshirishdaqo‘lla nildi. BumetodikaLyapunovfunksiyasiniqurishgaasoslanganbo‘lib,uniquris h jarayonidamuayyantengsizlikkeltiribchiqariladi.Shutengsizlikbajarilga nda ayirmali sxemaningLyapunov ma’nosida turg‘unligi isbot qilinadi. Kurs ishi nat ijalarining nazariy v a amaliy ahamiy at i: Kursishinatijalarining nazariyahamiyati shundaniboratki,giperbolik sistemalarniyechishuchuntavsiyaetilgansonliusulvaolingannatijalarda n giperboliksistemalaruchunturliaralashmasalalarningsonliyechimining turg‘unligini o‘rganish uchun foydalanish mumkin. Kursishinatijalarining amaliyahamiyati shundaniboratki,taklifqilin gan sonliusullardangiperboliksistemalarorqalitavsiflanganturlimasalalarn i yechimlarini sonli hisoblashda foydalanish mumkin. 5 Ish t uzilmasining t av sifi . Kurs ishi kirish qismi, bitta bob, 4 ta paragraph, xulosa,foydalanilganadabiyotlarro‘yxatidaniborat.Kursishininghajmi3 4 sahifani tashkil etadi . Kv azichiziqli giperbolik sist emalarni chegarav iy boshqarish uchun Ly apunov funk siy asi. Ushbu kurs ishida biz saqlanish qonunlari sistemalari bilan shug‘ullanamiz, sifatidavaqtt ∈ [0,+ )vafazoviykoordinatacheklanganoraliqdax∞ ∈ [0,L]qa bul yaqinlashishinita’minlashdir.Oldingitadqiqotlarda([20]va[21])sistema entropiyasidanLyapunovfunksiyasisifatidafoydalanilgan,bufunksiyava qt bo‘yicha yarim-manfiy aniqlangan hosilaga ega. Ushbu bobda esa biz boshqacha yondashuvniko‘ribchiqamiz:agarsistemaRimaninvariantlariyordamida diagonallashtirilishi mumkin bo‘lsa, entropiyaningkengaytirilganshakli bo‘lgan qat’iyLyapunovfunksiyasinikeltiribchiqaramiz.Ushbufunksiyashunday xossalargaegabo‘ladiki,mosravishdatanlanganchegaraviyboshqaruvo rqali uningvaqtbo‘yichahosilasiqat’iymanfiyaniqlanganbo‘lishimumkin.Biz teoremakeltiramiz,undachegaraviyboshqaruvsistematrayektoriyalari ning maqsadlinuqtagalokalyaqinlashishinita’minlashiniisbotlaymiz.Bunda n tashqari, ushbu boshqaru v faqatgina chegarala rda o‘lchanga n holatga tayanadiganteskarialoqaorqaliamalgaoshirilishimumkin.Boshqaruvu suli gidravlikmuammoga,ya’niochiqkanaldasuvsathivaoqiminingtartibga solinishigamisolsifatidaqo‘llanadi.Soddalik uchunbizningtaqdimotimizfaqat ikkinchitartiblisistemalar(ya’ni,ikkitaskalyarsaqlanishqonunlarisistem alari) bilancheklanadi.Biroq,xulosaqismidaqaydetamizki,buusulyuqoritartib li sistemalarningkengsinfigaosonginaumumlashtirilishimumkin.Kvazic hiziqli giperboliktizimlarfizikadavamuhandislikdakengqo'llaniladi,masalan,g azva 6 suyuqlik oqimlarinimodellashda, transporttarmoqlaridavagidravliktizimlarda. Ushbutizimlarningdinamikasiodatdaqiyinbo'lib,ularninazoratqilishva barqarorlashtirishuchunmaxsususullartalabetiladi.Chegaraviyboshqa rish (boundarycontrol)butizimlarniboshqarishningsamaraliusullaridanbiri dir, chunkitizimningfaqatchegaralaridao'lchovlarva boshqaruvlaramalga oshiriladi.Lyapunovfunktsiyasimetodlaritizimlarningbarqarorliginitahli l qilishda va boshqaruv strategiyalarini ishlab chiqishda muhim vosita hisoblanadi. Ushbu metodlar yordamid a tizimning energiya darajasini ifodalovc hi funktsiyalaryaratiladivaularningvaqtbo'yichakamayishiniko'rsatishorq ali tizimning barqarorligi ta'minlanadi. Chegaraviy boshqaruvda Lyapunov funktsiyasining roli ayniqsa muhimdir, chunkitizimningichkixususiyatlarivatashqichegaraviyshartlaro'rtasida gi bog'liqliknihisobgaolishzarur.Masalan,Jean- MichelCoronvaboshqalar tomonidan olib borilgan tadqiqotlarda, Riman invariantlari bilan diagonalizatsiya qilinadigan Lyapunov funktsiyasi yordamida chegaraviy boshqaruv ning samaradorligiko'rsatilgan.Ushbuyondashuvtizimningholatinimaqsadl i nuqtagayaqinlashtirishnita'minlaydivafaqatchegaralardao'lchovlaror qali amalgaoshiriladi.Shuningdek,MichaelHertyvaFerdinandTheintomoni dan olibborilgantadqiqotda,umumiychiziqliko'po'lchovlibirinchitartibli giperbolik tizimlar uchun Lyapunov funktsiyas i asosida chegara viy boshqaruvningbarqarorligiko'rsatilgan.UshbuyondashuvdatizimningL ² normasi bo'yicha barqaror lik ta'minla nadi va tegishli chiziqli matrits a tengsizliklariorqaliboshqaruvstrategiyalarianiqlanadi.Ushbukursishid a, kvazichiziqligiperboliktizimlaruchunchegaraviyboshqaruvstrategiyala rini ishlabchiqishdaLyapunovfunktsiyasiningahamiyativaqo'llanilishitahlil qilinadi.Tizimlarningbarqarorliginita'minlashdaLyapunovmetodlarini ng samaradorligi va amaliy qo'llanilishi ko'rib chiqiladi. 7 bilan farqlanadi. Shuning uchun, ξ( Y ) = 0 bo‘lishi uchun uni tanlash mumkin va nuqtaga)yaqinlashishinita’minlashuchunboshqaruvharakatlarinianiql ash masalasiga qayta ifodalangan bo‘lishi mumkin. Aralash masala (mixed problem)— buqismanDirixlevaNeumannshartlaribilanberilganqismandifferensial tenglamadir.Buturdagimasalalar,masalan,gidrodinamikada,elastikad ava akustikadauchraydi.Ushbumasalalarda,tizimningbaʼzichegaralaribo‘yi cha qiymatlarberilgan(Dirixlesharti),boshqalaribo‘yichaesanormalhosilala r (Neumann sharti). Giperboliksistemalaruchunxarakteristikshakl(characteristicform) sistemaningxususiyatlarini,yaʼnito‘lqinlarningtarqalishyo‘llarinibelgila ydi. Riman invariantl ari esa sistemani ng xususiyatl arini ifodalovc hi maxsus o‘zgaruvchilardir.Buinvariantlaryordamidatizimnidiagonalshaklgakelt irish mumkin,buesayechimlarnitopishniosonlashtiradi.Aralashmasalalarda , sistemaningto‘lqinlitabiativachegaraviyshartlaro‘rtasidagio‘zarotaʼsirn i hisobgaolishzarur.Rimaninvariantlaributaʼsirlarnitahlilqilishdamuhim vosita hisoblana di. Ushbu invariantl ar yordamid a tizimning to‘lqinli xususiyatlarinianiqlashvayechimlarnitopishmumkin.Aralashmasalalar va Riman invariantlari nazariy jihatdan muhim bo‘lishi bilan birga, amaliyotda ham kengqo‘llaniladi.Masalan,gazvasuyuqliklaroqimi,elastikmateriallar deformatsiyasivaakustikto‘lqinlarkabisohalardabuyondashuvlarsama rali qo‘llaniladi. 11 AgarLyapunovfunksiyasivaqtbo‘yichadoimiykamayibboradiganbo‘lsa, bu tizim qat ’iy barqaror deyiladi. Qat ’iy (y ok ik uchli)Ly apunov funk siy asi —bushundayfunksiyabo‘lib,u faqatvaqto‘tishibilankamaymasdan,balkianiq past gay o‘nalt irilgano‘s ish qonuniga ega. Ya’ni:  Sistemada har qanday harakat kuchli tarzda so‘nadi.  Chegaraviyboshqaruvnatijasidasistemaningenergiyasima’lumdaraj ada tezlikda kamayadi. Bu xususiyatlar st abilizat siy a muammosini hal qilishda juda muhim. Sisteman i chegara orqali boshqaris h uchun quyidagic ha strategiy a qo‘llaniladi:  DastlabtizimgamosLyapunovfunksiyasitanlanadi.Bufunksiyasistem a holatidan qat’i nazar har doim ijobiy qiymatga ega bo‘ladi.  Keyinbufunksiyaningvaqtbo‘yichahosilasitahlilqilinadi.Agarbu hosilamanfiybo‘lsa(ya’nifunksiyakamayibborsa),demaksistema barqaror.  Bukamayishfaqat ma’lumboshqaruv qonuni (ya’ni,chegarada qo‘llaniladigan signal) asosida amalga oshadi.  Natijada,chegaraorqalita’siretib,sistemaniistalganholatdantinch holatga olib borish mumkin bo‘ladi. Lyapunov funksiyasi yordamida qurilgan chegaraviy boshqaruv:  Sistemani beqaror holatdan tez va ishonchli chiqara oladi,  Har qanday boshlang‘ich holatdan qat’iy barqarorlikni kafolatlaydi,  Minimal energiya bilan maksimal boshqaruv samarasi beradi. Buyondashuvhozirgikundaissiqliktenglamalari,elastikto‘lqinlar,nurlan ish jarayonlarikabitizimlarniboshqarishda,jumladan,infratuzilmaviymuha ndislik 14 yokiaviatsiyatizimlaridakengqo‘llaniladi.Chegaraviyboshqaruvnisama rali tashkilqilishuchunLyapunovningqat’iyfunksiyasigaasoslanishengisho nchli nazariyyondashuvlardanbiridir.Uyordamidatizimbarqarorligikafolatla nadi, boshqaruvsamarasibaholanadivaamaliyjihatdanqo‘llanishimkoniyatia niq belgilanadi. Bumetodchegaradajoylashganoddiysignalorqalibutun sistemani izchil va barqaror holatda ushlab turish imkonini beradi. Ko‘pgina fizik jarayonlar (issiqlik tarqalishi, to‘lqinlar tarqalish i, deformatsiyalar)chegaralardannazoratqilinadi.Sistemaichkarisigabev osita ta’siretaolmasak- da,chegarashartlarinito‘g‘riboshqarishorqalibutun sistemanikerakliholatgakeltirishimizmumkin.Bu chegarav iy boshqaru v deyiladi.UnisamaralitashkilqilishuchunLyapunovnazariyasiasosqilib olinadi. Lyapunovfunksiyasi— busistemadagi“energiyao‘xshash”kattalik,u vaqt o‘tgan sari kamayi b borishi kerak. Bu — sistem a barqa rorligi (stabilizatsiyasini) anglatadi. Agar bu funksiya:  nol nuqtada nolga teng bo‘lsa,  boshqa hollarda musbat bo‘lsa,  va uning vaqt bo‘yicha hosilasi har doim manfiy bo‘lsa, u holda bu funksiya qat ’iy Ly apunov funk siy asi hisoblanadi. Bu funksiya orqali:  sistemaning energiyasi qanday kamayadi?  boshqaruv signali qanday ishlashi kerak?  qanchalik tez stabilizatsiya bo‘ladi? kabi savollarga javob topiladi. Chegaraviy boshqaruvni qurish printsipi 15 1.Sistema modeli (odatda bu qattiq yoki suyuq muhitda harakatlanayotgan PDE sistemasi) olinadi. Masalan: issiqlik, to‘lqin, navier-stokes, elastiklik tenglamalari. 2. Energiy a funk siy asi sifatida Lyapunov funksiyasi tanlanadi. Bu funksiya sistema holatining normasi, graidenti yoki integraliga asoslanadi. 3.Sistema tenglamasining hosilasi va Lyapunov funksiyasi hosilasi tahlil qilinadi. Bunda tekshiriladi: bu funksiya vaqt o‘tishi bilan kamayadimi? 4.Agar u o‘z-o‘zidan kamaymasa, sistemaga boshqaruv signali kiritiladi. Bu signal faqat chegara orqali beriladi (masalan, issiqlik manba, kuch, harakat chegarada qo‘yiladi). 5.Boshqaruv shunday tanlanadiki, Ly apunov funk siy asining hosilasi qat ’iy manfi y bo‘ladi. Bu esa energiyaning kamayishini kafolatlaydi. 6.Demak, vaqt o‘tishi bilan tizim yechimi nolga yaqinlashadi, ya’ni sistema qat’iy barqarorlashtiriladi. Issiqlik tenglamasi (parabolik PDE):  Chegarada haroratni boshqarish orqali butun muhitdagi haroratni muvozanatlashtirish mumkin.  Lyapunov funksiyasi sifatida energiyaning integral shakli olinadi.  Agar chegara orqali sovutish (yoki isitish) to‘g‘ri nazorat qilinsa, energiya tezda kamayadi. To‘lqin tenglamasi (giperbolik PDE):  Uzun sim yoki elastik novda harakatini chegara orqali boshqarish.  Lyapunov funksiyasi kinetik va potensial energiyaning yig‘indisiga asoslanadi.  Chegarada tormozlash vositasi orqali energiyani so‘ndirsa, to‘lqinlar so‘nadi. 16 butengsizlik(10)-(12)-(14)tenglamalartizimining(11)-(13)- (15)chegaraviy shartlari bo‘yicha yechimlari uchun bajariladi. EndibizLyapunovkonvergensiyatahliliniyakunlashbosqichidamiz. Tahlilni quyidagi global Lyapunov funksiyasi orqali boshlaymiz: S = U + V + W . 4-lemma.Agar| k 0 k L | < 1vamusbathaqiqiysonlar µ , A , B (9) tengsizliklarniqanoatlantirsa,undashundaymusbathaqiqiysonlar λ 0 va δ 0 mavjudki, agar S ( t ) < δ 0 , bo’lsa, unda quyidagi baho bajariladi: S ˙ −≤ λ 0 S bu yerda S = U + V + W - globalLyapunov funksiyasi bo’lib, yopiq konturdagi (10)-(11)-(12)-(13)-(14)-(15) sistemalari bo’yicha aniqlanadi. Isbot: Ilovada beriladi. Endi esa biz asosiy konvergentsiya natijamizga erishamiz. 1- teorema.Shundaymusbathaqiqiysonlar K , δ , λ mavjudki,harqanday boshlan g’ich shartlar uchun ( a 0 ( x ) ,b 0 ( x )) in H 2 (0 ,L ) 2 va ular moslik (kompatibellik) shartlarini qanoatlantirsa, quyidagi natijalar hosil bo‘ladi. Z 0 u 0 0 H(t,x) u L L xV(t,x) 1-rasm: Ikki sozlanadigan to‘kiluvchi to‘g‘on bilan chegaralangan ochiq suv yo‘lining (kanalning) ma’lum oralig‘I. 21 Va quyidagicha bo‘lsin: uholda,(10)yopiqkonturlisistema(11)chegaraviyshartlarbilan Nochiziqli sistemalarda quyidagi muammolar yuzaga keladi: Analiti k yechi mlar ko‘pinc ha mavju d emas yoki faqat zaif (zaif integrallashgan) shaklda mavjud bo‘ladi.  Sonli yechimlar ham zaif yechimlarga yaqinlashishi kerak.  Diskontinuitetlar(keskino‘zgarishlar)mavjudligisababliyaqinlashish tahlili yanada murakkab bo‘ladi.  Ayirmalisxemaningtartibi—busonliyechimninghaqiqiyyechimga qanchalik tez yaqinlashishini bildiradi.  Pasttartiblisxemalar(1-darajali)odatdakeskino‘zgarishlarniyaxshi ushlaydi, lekin silliq sohalarda aniq emas.  Yuqoritartiblisxemalaresasilliqyechimlarnianiqroqberadi,ammo keskin o‘zgarishlarda tebranishlar yuzaga kelishi mumkin. Yaqinlashish nazariy asoslarini kompyuterda tekshirish uchun:  Hisoblash tarmoqlarining qadamlarini kichraytirib boriladi.  Harbirqadamuchunsonliyechimolinadivaularnitaqqoslashorqali yechimlar orasidagi farq aniqlanadi.  Agar farqlar kichrayib borsa, yaqinlashish mavjudligi tasdiqlanadi. 2tanochiziqligiperboliktenglamalarsistemasiningayirmalisxema si uchun yaqinlashish tahlili — bu sonli yechimlarning haqiqiy yechimga intilishini matematikjihatdantekshirishjarayoni.Bujarayonuchtaasosiyshart— to‘g‘rilik,barqarorlikvayagonayechimmavjudligiasosidaamalgaoshirila di. Nochiziqliktufaylibujarayonmurakkabbo‘lsa- da,zamonaviysonlimetodlar yordamida ishonchli va samarali yechimlar olish mumkin. 23 4. Ochiq k analning gorizont al qismida suv sat hi v a suv oqimi t ezligini nazorat qilish. Ochiqkanallar—busuverkinsathbilanoqadiganinshootlarbo‘lib, ko‘pinchairrigatsiya(sug‘orish),drenaj,kanalizatsiya,shaharsuvta’minot iva gidrotexnikinshootlardauchraydi.Gorizontal(tekis)bo‘lakdasuvninghar akati tabiiyog‘makuchlarta’sirida,ya’nipastdanyuqorigaoqmasdan,yerningt abiiy nishabligihisobigayuzberadi.Ochiqkanalninggorizontalbo‘lagidasuvsa thi (balandligi) va oqim tezligini nazorat qilish bir nechta sababga ko‘ra muhim:  Suvyo‘qotilishinikamaytirish:Haddantashqarioqimyokisuvsathi balandligi tufayli suv sathidan chiqib ketishi mumkin.  Tengtaqsimot:Kanaldagi harbirbo‘lakdasuvtengmiqdordatarqalishini ta’minlash kerak.  Qurilishxavfsizligi:Oqimhaddanortsa,kanalqirralaribuzilishiyoki eroziya yuzaga kelishi mumkin.  Sug‘oriladigan maydonlarga aniqlik bilan suv yetkazish.  Darvozalar(shlyuzlar):Suvyo‘liniochib-yopishorqalisuvmiqdorini boshqaradi.  To‘g‘onlar (barjerlar): Suv sathini oshirib, oqim tezligini pasaytiradi.  Suv bo‘luvchilar: Oqimni turli tarmoqlarga teng yoki belgilangan nisbatda taqsimlaydi. Suv sathi o‘lchagi chlar: Maxsus linzali yoki suzuvc hi qurilm alar yordamida suv sathining doimiy o‘zgarishini kuzatib boradi.  Tezliko‘lchagichlar:Odatdasensorlaryordamidasuvningoqishtezligi o‘lchanadi.Avtomatlashtirilgan sistemalar  Ko‘plabzamonaviykanallardasuvsathivaoqiminirealvaqtrejimida kuzatuvchi va masofadan boshqariluvchi tizimlar mavjud.  Datchiklar,kameralar,sun’iyintellektasosidagialgoritmlaryordamida avtomatik nazorat va tahlil amalga oshiriladi. 24 H(t,0)vaH(t,L)nio‘lchashkifoyaqiladi.Bushunianglatadiki,orqaga bog‘lanishliboshqaruvniamalgaoshirishuchunhovuzichidagisuvsathini o‘lchash va oqim tezligi yoki sarfini (ya’ni V vaQ) o‘lchash talab qilinmaydi. Kurs ishi bo‘y icha xulosa. Ushbukursishidabizsaqlanishqonunlariningikkinchitartiblisistem alari uchunchegaraviyboshqaruvniloyihalashvayopiqkonturlisistemaning muvozanat holatiga yaqinlashuvini tahlil qilishda foydalanilishi mumkin bo‘lgan qat’iyLyapunovfunksiyasinitaqdimetdik.Quyidagiqo‘shimchaizohlarni keltiramiz: 1.Ushbukursishidaqo‘llanilganULyapunovfunksiyasi[25]da keltirilganLyapunovfunksiyagao‘xshash.Biroq,[25]dabuLyapunov funksiyasifaqatchiziqli,simmetrik,giperboliksistemalarningmaxsussin fi uchunbarqarorliknitahlilqilishdaishlatilganinita’kidlashlozim.Ushbubo bda giperbolik saqlanish qonunlari sistemalari uchun ma’lumki,aniqifodalanganLyapunovfunksiyasigaegabo‘lishningikkimu him afzalligi bor: birinchida n, bu boshqaru vning barqarorli gini ta’minlay di, ikkinchidan esa tortilish sohasi (basin of attraction) ni hisoblash imkonini beradi. chegarashartlarinitanladik.Biroq,agarular 2.Ayirmalisxemalarbarqarorlikvayaqinlashuvchanlikjihatidanbahol andi. Bu degani, sxema orqali olingan yechim vaqt o‘tishi bilan buzilmasligi va haqiqiy yechimga yaqinlashishi tekshirildi. 3.Sxemalar fizik qonunlarga mos ravishda ishlashi ta'minlandi. Ya’ni massa, impuls,energiyakabiasosiyfizikmiqdorlarsonlihisoblashdasaqlan ib qoldi. 4.Turlisonlitajribalarorqalisxemaningamaliysamaradorligisinovdan o‘tkazil di. Bu orqali sxemani ng zarbalar ni aniq aniqlay olishi, to‘lqinlarning harakatini to‘g‘ri ifodalay olishi isbotlandi. 5.Ishnatijalarigaasoslanib,ayirmalisxemalarorqalinochiziqligiperbo lik tenglamalarnisamaraliyechishmumkinligiko‘rsatildi.Bumetodlar real muhandislik va ilmiy hisoblashlarda keng qo‘llanilishi mumkin. Umum an olgand a, bu mavzu doirasi da olib borilga n ishlar sonli matematikadamuhimo‘rintutadiganbiryo‘nalish—nochiziqligiperbolik tenglamalarniishonchlivasamaraliyechishmetodlariniamaldaqo‘llash imkoniyatini kengaytirdi. Nochiziql i giperbolik tenglamal ar sistemasi ni sonli usulda yechish bugungikundahisobiymatematikaningengdolzarbvaamaliyjihatdanm uhim yo‘nalishlaridanbiridir.Butizimlarorqalimodellashtiriladiganjarayonlar ko‘pinchakeskino‘zgarishlargaegabo‘ladi—masalan,zarbato‘lqinlari, kontaktdiskontinuitetlar,sinishvaqaytishholatlari.Anashumurakkab jarayonlarnikompyuterdaishonchlitarzdamodellashtirishuchunayirm ali sxemalarning to‘g‘ri tanlanishi va tahlili juda muhim. Ushbu mavzu doirasida quyidagi muhim jihatlar e’tiborga olindi: 1.Matematikmodellashtirishdaaniqlik–Nochiziqlisistemaningfizik mohiyatinito‘g‘riifodalovchisonlimodeltuzildi.Modeldasistemani ng giperbolikligi,ya’nito‘lqinlarningmavjudligivaularningvaqtbo‘yich a harakati inobatga olindi. 29 2.Sxematanlashdayondashuvlar– Ayirmalisxematanlashdazarbalarni aniqushlabqoladigankonservativsxemalargaustuvorlikberildi.Ch unki fizik qonunla r (masala n, massa yoki energiya saqlanis hi) aynan konservativ sxemalarda yaxshiroq saqlanadi. 3.Barqarorlikvayaqinlashuv– Harqandaysonlimetodningishlashiuchun barqarorlikasosiytalabdir.Shuboissxemalarningvaqtvafazoviy o‘lchovlarorasidagimuvozanati(masalan,bosqichuzunligivavaqt qadami)tahlilqilindi.Natijada,yechimlarningbuzilmasligivahaqiqi y yechimga yaqinlashishi ta'minlandi. 4.Hisoblashamaliyotigamoslik–Ishlabchiqilgansxemalaramaliy masalalargaqo‘llanishimumkinbo‘lishiuchunkompyuterdasamar ali ishlashgamoslashtirildi.Ya’nihisoblashlaroptimalbo‘lishi,ortiqcha xatoliklar paydo qilmasligi e’tiborga olindi. 5.Tadqiqotningamaliyahamiyati–Ushbunatijalarorqalirealfizik tizimlarni (masalan, gazlar oqimi, portlash jarayonlari, suv osti to‘lqinlari) ishonchli sonli modellashtirish mumkinligi ko‘rsatildi. Bu esa muhandislik, aeronavtika, harbiy, meteorologiya va boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llanish imkonini beradi. Bu kurs ishi orqali nochiziql i giperboli k tenglam alarni yechish da ishlatiladiganayirmalisxemalarnazariyvaamaliyjihatdantahlilqilindi. Sxemalarning muhim xossalari, ishlash shartlari va amaliy yechim olishdagi roli asoslanganholdabayonqilindi.Buesa,kelgusidayanadamurakkabtiziml arga (masalan,ko‘po‘lchamliyokiturlifizikjarayonlarbilanbog‘langantizimlar) qo‘llash imkonini beradi. 30 Foy dalanilgan adabiy ot lar ro‘y xat i 1.Блохин A.M., Алоев Р.Д. (1993) Интегралы энергии и их приложения к исследова нию устойчивос ти разностны х схем. Издательс тво Новосибирского госуниверситета.1993. 224 стр. 2.БлохинА.М.,АлаевР.Д.Некоторыепроблемыматематического моделирования. Ташкент: Университет, 1992. 112 стр. 3.БлохинА.М.,СоковиковИ.Г.Ободномподходеформулировкира зностныхсхемдляквазилинейныхуравненийгазовойдинамик и.Сибирский математический журнал, 1999, V.40,6, 236- 1243стр. 4.ГодуновС.К.(1979)Уравненияматематическойфизики.M.Наука, 372 стр. 5.ГодуновС.К.,РябенькийВ.С.Введениетеориюразностныхсхем. Физматгиз, 1962. 222 стр. 6.КовеняВ.М.Алгоритмырасщепленияприрешениимногомерны хзадач аэрогидродинамики. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2014. - 280с. 7.КрейсО.Смешанныезадачидлягиперболическихуравнений.- Вкн. «Математика», 1970, т.14,№4, с. 98-111. 8.КуликовскийА.Г.,ПогореловН.В.,СемёновА.Ю.Математические проблемы численного решения гиперболических систем. М.: Физико-математическое издательство,2001, 608 стр. 9.Ку рант Р.,Фридрихс К., Леви Г. О разнос тных уравн ениях математи ческой физики. Успехи математическ их наук. 1940. Вып.8.Стр.125-162. 10.Лады женская О.А. Краевые задачи математич еской физики. М.:Наука,1973. 408с. 11.ПетровскийИ.Г.Лекцииобуравненияхвчастныхпроизводных. М., Физматгиз. 1961. 400 стр. 12.РихтмайерР.Д.,МортонК.Разностныеметодырешениякраевы х задач. М., Мир. 1972. 420 стр. 31 13.Рожд ественск Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилин ейных уравненийиихприложениявгазовойдинамике.М.,«Наука»,196 8. 687 стр. 14.СакамотоР.Смешанныезадачидлягиперболическихуравнени й.--В кн. «Математика», 1972, т.16, №1, с. 62-100. 15.СамарскийА.А.,ГулинА.В.Устойчивостьразностныхсхем. М., «Наука», 1973. 415 стр. 16.СоболевС.Л.Некоторыепримененияфункцианальногоанализ авматематическойфизики.-Л.:ЛГУ,1950,с.1- 255;Новосибирск,1962,с. 1-255. 17.BastinG.,andCoronJ.M. (2016)StabilityandBoundaryStabilizationof 1-D Hyperbolic Systems. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications,Vol 88, Birkhauser ¨ Basel. 2016. 18.D.Serre,”Syst`emesdeloisdeconservation”,DiderotEditeur,Artset Sciences ”, Paris, 1996. 19.M.E.Taylor,”PartialDifferentialEquations,TomeIII,Nonlinear equations”.AppliedMathematicalSciences,Vol.117,Springer- Verlag, New-York, 1996. 20.J-M.Coron,B.d’Andr´ea-Novel,G.Bastin,”ALyapunovapproachto controlirrigationcanalsmodeledbytheSaintVenantequations”, European Control Conference 1999, Proceedings CDROM, Paper F1008-5, Karlruhe, Germany, September 1999. 21.J-M.Coron,J.deHalleux,G.Bastin,B.d’Andr´ea-Novel,”Onboundary controldesignforquasi-linearhyperbolicsystemswithentropiesas Lyapunovfunctions”,Proceedings41- thIEEEConferenceonDecision and Control, Las Vegas, USA, December 2002, pp. 3010 - 3014. 22.J. de Halleu x, C. Prieur, J-M. Coron, B. d’Andr ´ea- G. Bastin,”Boundaryfeedbackcontrolinnetworksofopenchannels”, Automatica, 39, pp. 1365 - 1376, 2003 32 23.J. de Halleux, C. Prieur, G. Bastin, ”Boundary control design for cascades ofhyperbolic2×2PDEsystemsviagraphtheory”,Proceedings43rd IEEEConferenceonDecisionandControl,Nassau,TheBahamas, December 2004, pp. 3313 - 3318. 24.G. Bastin, J-M. Coron, B. d’Andr´ea-Novel, L. Moens, ”Boundary control forexactcancellationofboundarydisturbancesinhyperbolicsyste msof conservation laws”, submitted ECC-CDC’05. 25.C-Z.XuandG.Sallet,”Exponentialstabilityandtransferfunctionsof processes governed by symmetric hyperbolic systems”, ESAIM Journal on Control,OptimisationanCalculusofVariations,Vol.7,pp.421-442, 2002. 26.H.Brezis,”Analysefonctionnelle,th ´eorieetapplications”,Collection Math´ematiques appliqu´ees pour la maˆıtrise, Masson, Paris, 1983. 27.Б.П.Демидович,Лекциипоматематическойтеорииустойчивос ти, Москва, изд-во «Наука», 1967. 28.Д.И.Мартынюк,Лекциипокачественнойтеорииразностных уравнений, Киев, «Наукова Думка», 1972. 29.Ю.Г.Евтушенко,В.Г.Жадан,Применениеметодафункций Ляпунова для исследова ния сходимост и численных методов, ЖВММФ, 15, №1 (1975), 101—112. 30.В.И.Зубов,МетодыЛяпуноваиихприменение,Ленинград,изд- во ЛГУ, 1957. 31.Gottlich,S.,&Schillen,P. (2017).Numericaldiscretizationofboundary controlproblemsforsystemsofbalancelaws:Feedbackstabilisatio n. European Journal of Control , 35 , 11–18. 32.Weldegiyorgis, G. (2017). Numerical stabilization with boundary controls forhyperbolicsystemsofbalancelaws. (Preprintonwebpageat http://hdl.handle.net/2263/60870, Accessed:2017 Aug 19). 33.СамарскийА.А.Теорияразностныхсхем.Москва.«Наука».1989г ., стр. 109. 33 34.Aloev,R.,Berdyshev,A.,Bliyeva,D.,Dadabayev,S.&Baishemirov,Z. (2022).StabilityAnalysisofanUpwindDifferenceSplittingSchemefor Two-Dimensional Saint–Venant Equations. Symmetry , 14(10), 1- 21. 35.Aloev,R.D.&Dadabaev,S.U. (2022).Stabilityoftheupwinddifference splittingschemeforsymmetrict-hyperbolicsystemswithconstant coefficients. Results in Applied Mathematics , 15, 1-20. 36.Aloev, R.D., & Hudayberganov, M.U. (2022). A Discrete Analogue of the LyapunovFunctionforHyperbolicSystems. JournalofMathematical Sciences ( United States ), 264, 661-671. 37.Aloev, R.D., Eshkuvatov, Z.K., Khudoyberganov, M.U. & Nematova, D.E. (2022).TheDifferenceSplittingSchemeforn- DimensionalHyperbolic Systems. Malaysian Journal of Mathematical Sciences , 16(1), 1–10. 38.Aloev,R.,Berdyshev,A.,Akbarova,A.,Baishemirov,Z.(2021). Development of an algorithm for calculating stable solutionsof theSaint- Venantequationusinganupwindimplicitdifferencescheme. Easter n-European Journal of Enterprise Technologies , 4(4(112), 47–56. 39.B anda M. K. & Herty, M. (2013). Numeri cal discret ization stabilizationproblemswithboundarycontrolsforsystemsofhyperb olic conservation laws. Math. Control Relat. Fields , 3(2), 121–142. 40.Jean-Michel Coron, Brigitte d'Andrea-Novel & Georges Bastin. (2007). A strictLyapunovfunctionforboundarycontrolofhyperbolicsystemsof conservation laws. IEEE Transactions on Automatic Control, 52(1), 2-11. 41.Lyapunov,A.M. (1950). Generalproblemofmotionstability .Moscow: Gostekh-izdat. 42.Mapundi,K.Bandaa&Gediyon,Y.Weldegiyorgisa. (2020).Numerical boundaryfeedbackstabilizationofnon- uniformhyperbolicsystemsof balance laws. 93(6), 1428-1441. 34

MUNDARIJA

Kirish

Lyapunov funksiyasi

1. Aralash masalaning qo‘yilishi, xarakteristik shakl va Riman invariantlari

2. Chegaraviy boshqarishni qurish uchun Lyapunovning qat’iy funksiyasi

3. Yaqinlashish tahlili

4. Ochiq kanalning gorizontal qismida suv sathi va suv oqimi tezligini nazorat qilish

Kurs ishi bo‘yicha xulosa

Adabiyotlar ro‘yxati

Купить