Информация о документе

Цена 60000UZS
Размер 358.6KB
Покупки 0
Дата загрузки 28 Март 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Алгебра

Продавец

Rajabov Yorbek

Дата регистрации 19 Март 2026

0 Продаж

3 o’zgaruvchili bosh mukammal formaga mos Voronoy sohasining 5 o’lchovli yoqlarini topish

Купить
Mundarija. Kirish……………………………………………………………………………………………………… 1 Bob. Mukammal formalar nazariyasiga oid tushunchalar. 1.1. Musbat aniqlangan kvadratik formalar………………………………………………… 1.2. Mukammal formalar………………………………………………………………………………… 1.3. Mukammal formalarni izlash haqidagi Voronoy masalasi………………….. 2 Bob. mukammal forma Voronoy sohasining 5-o’lchovli yoqlari. 2.1. Mukammalashtirilgan Voronoy algoritmi………………………………………………. 2.2. mukammal forma haqida ma’lumotlar………………………………………………. 2.3. mukammal forma Voronoy sohasining 5-o’lchovli yoqlari……………… Xulosa……………………………………………………………………………………………………. Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………………………………… 1 Kirish. Geometrik sonlar nazariyasining markaziy masalalardan bo’lgan musbat aniqlangan mukammal formalar nazariyasidir.Mukammal formalar nazariyasida aniq tayinlangan n lar uchun, barcha ekvivalent bo’lmagan mukammal formalarni topish masalasi muhim masalalardan biridir. Tayinlangan n larning o’sishi yoki har bir aniq mukammal formaning arifmetik minimumini beruvchi nuqtalarni sonning kattaligiga qarab, mukammal formalarni izlash (topish) ning Voronoy algoritmidan foydalanish juda qiyinliklarga olib keldi. Bitiruv malakaviy ishi, 3 o’zgaruvchili bosh mukammal formaga mos Voronoy sohasining 5 o’lchovli yoqlarini topishga bag’ishlangan bo’lib kirish qism, ikki bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Bitiruv malakaviy ishining kirish qismida qaralayotgan mavzuning dolzarbligi, maqsadi va vazifalari keltirilgan. Bitiruv malakaviy ishida 1- bob 3 ta paragrafdan iborat bo’lib, ularni quyidagicha ketma-ketlikda keltiramiz: 1.1da musbat aniqlangan kvadratik formalar n ta noma’lumlarni kanonik ko’rinishga keltiriladi va kvadratik formalarni kanonik ko’rinishga keltirishga oid misollar ishlandi. Kvadratik formalar musbat aniqlangan kvadratik formalar, manfiy aniqlangan kvadratik formalar dan iborat.Bu bitiruv malakaviy ishda faqat musbat aniqlangan kvadratik formalar xususida fikr yuritiladi. 1.2da mukammal kvadratik formaning minimal matritsasi, musbat aniqlangan kvadratik formaning koeffitsiyentlarini aniqlash,mukammal kvadratik forma ta’rifi qayd etilgan. 2 1.3 da Ermit masalasining kelib chiqish, hamda Korkin-Zolotaryovning limit formalariga ta’rif berilgan. Shuningdek bu paragrafda mukammal formalarni izlash haqidagi Voronoy masalasi keltirib o’tilgan. Bitiruv malakaviy ishining 2-bobi 3 ta paragrafdan iborat bo’lib ularni quyidagicha ketma-ketlikda keltiramiz: 2.1 da mukammalashtirilgan Voronoy algoritmi kvadratik formalar sistemasi yoqqa yotmasligi bilan ushbu yoqni aniqlash haqida o’rganiladi. 2.2 da kvadratik formani musbat aniqlangan kvadratik forma ekanligi haqidagi lemmani isbotlash , musbat aniqlangan kvadratik formaning mukammal forma ekanligini isbotlashdan iborat. 2.3 da mukammal formaga mos Voronoy sohasining 5 o’lchovli yoqlari haqida fikr yuritiladi. Umuman olganda bitiruv malakaviy ishida qayd etilgan natijalarni olishda algebra ,geometrik sonlar nazariyasi , mukammal formalar haqidagi Voronoy algoritmli, mukammalashtirilgan Voronoy algoritmidan keng foydalanildi. Bitiruv malakaviy ishida qayd etilgan natijalar nazariy ahamiyatga ega bo’lib, bu natijalardan 3-o’zgaruvchili mukammal formalarni Voronoy atrofida topishda hamda 3-o’zgaruvchili ekvivalent bo’lmagan mukammal formalarni topishda ham foydalanish mumkin. Bitiruv malakaviy ishida quyidagi natijalar qayd etiladi: 1. mukammal forma Voronoy sohasi aniqlandi. 2. mukammal forma Voronoy sohasining 5-o’lchovli yoqlari toldi. 3 1.1. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Agar n ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli kvadratik formasi n ta musbat kvadratdan iborat normal ko’rinishga keltirilsa, ya’ni bu formaning rangi ham inersiyasining musbat indeksi ham noma’lumlar soniga teng bo’lsa, bu forma musbat aniqlangan deyiladi. Quyida keltiriladigan teorema musbat aniqlangan formalarni, ularni normal yoki kanonik ko’rinishga keltirib o’tirmasdan, tavsiflashga imkon beradi. n ta x 1 ,x 2 …….x n nona’lumning haqiqiy koeffitsiyent f kvadratik formasi hech bo’lmaganda bittasi noldan faqli bo’lgan bu noma’lumlarning har qanday haqiqiy qiymatlarida musbat qiymatlar qabul qilganda va faqat shundagina, bu forma musbat aniqlangan bo’ladi. Isboti. f forma musbat anqlangan bo’lsin, ya’ni ushbu normal ko’rinishga keltiriladigan bo’lsin: (1.1) bu yerda i=1,…,n (1.2) va haqiqiy a ij koeffitsiyentlardan tuzilgan determinant noldan faqli. Agar f ga hech bo’lmaganda bittasi noldan farqli bo’lgan x 1, x 2 , . . . , x n noma’lumlarning ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarini qo’ymoqchi bo’lsak, ularni dastlab (2 ) ga, so’ngra 4 esa barcha y i lar uchun hosil qilingan qiymatlarni ( 1.1) ga qo’yish mumkin. (1.2 ) dan y 1, y 2 ………y n lar uchun olingan qiymatlarning hammasi birdaniga nolga teng bo’lmasligini qayd qilib qo’yaylik, chunki aks holda i=1,…,n chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining determinanti noldan farqli bo’lsada, u nol bo’lmagan yechimlarga ega ekanligini hosil qilar edik. y 1, y 2 ………y n lar uchun topilgan qiymatlarni ( 1.1) ga qo’yib, f formaning orasida nolga teng bo’lmaganlari ham bor bo’lgan n ta haqiqiy sonning kvadratlari yig’indisiga teng bo’lgan qiymatini hosil qilamiz; binobarin, bu qiymat qat’iy musbat bo’ladi. Aksincha, f forma musbat aniqlangan bo’lmasin, ya’ni yo uning rangi yoki inersiyasining musbat indeksi n dan kichik bo’lsin. Bu formaning (1.2) xosmas chiziqli almashtirish yordamida keltiriladigan normal ko’rinishida yangi noma’lumlardan hech bo’lmaganda bittasi, masalan, y n yo butunlay yo’q yoki minus ishora bilan turadi degan so’zdir. Bunday holda x 1 ,x 2 …….x n noma’lumlar uchun shunday haqiqiy qiymatlar tanlab olish mumkinki, noma’lumlarning bu qiymatlarida f formaning qiymati nolga teng yoki, hatto manfiy bo’lishini ko’rsatamiz. Masalan, x 1 ,x 2 …….x n larning (1.2) dan bo’lganda hosil bo’ladigan tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi bo’yicha yechganda hosil qilinadigan qiymatlari yuqorida tilga olingan qiymatlar bo’ladi Darhaqiqat, x 1, x 2 , . . . , x n larning bu qiymatlarida f forma: agar y 1 bu formaning 5 normal ko’rinishiga kirmasa, nolga, agar normal ko’rinishga manfiy ishora bilan kirsa - 1 ga teng. Hozir isbot qilingan teoremadan musbat aniqlangan kvadratik formalar tatbiq qilinadigan hamma yerda foydalaniladi.Biroq bu teorema yordamida forma koeffitsiyentlari bo’yicha uning musbat aniqlangan ekanligini tayinlash mumkin emas. Bu maqsad uchun boshqa bir teorema xizmat qiladi Uni isbotlash va ta’riflash uchun dastlab bitta yordamchi tushuncha kiritamiz, n ta noma’lumning matritsasi bo’lgan f kvadratik formasi berilgan bo’lsin. Bu matritsaning yuqori chap burchagiga joylashgan 1, 2 , . . . , n -tartibli minorlari, ya’ni , ,…, minorlar (bularning eng oxirgisi, ravshanki, A matritsaning determinanti bilan bir xil) f formaning bosh minorlari deyiladi. Quyidagi teorema o`rinli: n ta noma’lumning koeffitsiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgan kvadratik formasi uning bosh minorlari qat’iy musbat bo’’lganda va faqat shundagina, musbat aniqlangan bo’ladi. Isbot . n =1 bo’lganda teorema o’rinli, chunki buolda forma ax 2 ko’rinishga ega va shuning uchun a >0 bo’lgandava faqat shundagina, musbat aniqlangan. 6 Shuning uchun teoremani n = 1 ta noma’lum uchun isbot qilingan deb faraz qilib, uni n ta noma’lum uchun isbot qilamiz. Avval quyidagiga e’tibor beraylik: koeffitsiyentlari haqiqy sonlardan iborat bo`lgan f kvadratik forma berilgan bulib, uning koeffitsiyentlaridan tuzilgan matritsa n <4 bo’lsin. Agar f kvadratik forma ustida haqiqy matritsasi Q bo’lgan xosmas chiziqli almashtirish bajarilayotgan bo’lsa, u holda forma determinantining (ya’ni forma matritsasi determinantining) ishorasi o’zgarmaydi. Haqiqatdan ham almashtirishdan so’ng matritsasi Q`AQ bo’lgan kvadratik formani hosil qilamiz, birok | Q` |=|A| bo’lgani uchun ya’ni | A | determinant musbat songa ko’paytirilyapti.Endi ushbu kvadratik forma berilgan bo`lsin: Uni quyidagi kurinishda yozish mumkin: (1.3) bu yerda forma n -1 ta noma’lumning f formaning x 2 noma’lum kirmagan hadlaridan tuzilgan kvadratik formasidir. Formaning bosh minorlari f formaning 7 oxirgisidan tashqari hamma bosh minorlari bilan bir xil ekanligi ravshan f forma musbat aniqlangan bo’lsin. Bu holda forma ham musbat aniqlangan bo’ladi:agar x 1 ,x 2 …….x n noma’lumlarning forma qat’iy musbat bo’lmagan qiymat oladigan, orasida nolga teng bo’lmaganlari ham bor bo’lgan qiymatlari mavjud bo’lganda edi, u xolda qo’shimcha ravishda x n =0 deb faraz qilib, x 1 ,x 2 …….x n noma’lumlarning qiymatlari orasida nolga teng bo’lmaganlari ham bor bo’lsa-da, (1.3) ga ko’ra, f formaning ham qat’iy musbat bo’lmagan qiymatlarini hosil qilgan bo’lar edik. Shuning uchun induktiv farazga kura formaning hamma bosh minorlari, ya’ni formaning, oxirgisidan tashqari, hamma minorlari qat’iy musbat. f formaning oxirgi bosh minoriga, ya’ni A matritsaning determinantiga kelsak, uning musbat ekanligi quyidagi mulohazalardan kelib chiqadi: f forma musbat aniqlangan bulgani uchun, u xosmas chiziqli almashtirish yordamida n ta musbat kvadratdan tuzilgan normal kurinishga keltiriladi. Bu normal kurinishning determinanti sat’ny musbat, shuning uchun yutsoridagi izozga kura f formaning determinanti ham musbat.Endi f formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat bo’lsin. Bu yerdan formaning hamma bosh minorlari musbat ekanligi, ya’ni induktiv faraz bo’yicha bu formaning musbat anitslangan ekanligi kelib chitsadi. Binobarin, x 1 ,x 2 …….x n noma’lumlarning shunday xosmas chiziqli almashtirilishi mavjudki, u formani yangi x 1 ,x 2 …….x n noma’lumlarning n -1 ta musbat kvadratlari yig’indisi ko’rinishiga keltiradi. Bu chiziqli almashtirishni, x n =y n deb faraz qilib, barcha x 1 ,x 2 …….x n noma’lumlarni (xosmas) chiziqli almashtirishgacha to’ldirish mumkin. (1.3) ga ko’ra f forma ko’rsatilgan almashtirish orqali ushbu 8 f = (1.4) ko’rinishga keltiriladi. b in koeffitsiyentlarning aniq ifodalari biz uchun muhim emas. bo’lgani uchun , i =1,2,…, n -1, z n =y n xosmas chiziqli almashtirish f formani (1.4) ga ko’ra (1.5) kanonik ko’rinishga keltiradi. f formaning musbat anitslangan ekanligini kursatish uchun s sonning musbat ekanligini kursatish soldi. (5) tenglikning ung tomonida turgan formaning determinanti s ga teng. Bi rots bu determinant musbat "bulishi kerak, chunki (5!) tenglik ning ung tomoni f formadan ikkita xosmas chizitsli almashtirish orsali {Osil silingan, f formaning determinanti esa bu formaning oxirgi bosh minori sifatida musbat edi. Teoremaning isboti tugadi. 9 Misollar 1. Ushbu kvadratik forma musbat aniqlangan, chunki uning bosh minorlari musbat , 2. Ushbu kvadratik forma musbat aniklangan emas, chunki uning ikkinchi bosh mi nori manfiy: Musbat aniqlangan kvadratik formalarga o’xshash manfiy aniqlangan formalarni ham, ya’ni normal ko’rinishlari noma’lumlarning faqat manfiy kvadratlaridangina iborat xosmas kvadratik formalarni kiritish mumkinligini qayd qilib o`tamiz. Normal ko`rinishlari bir xil ishorali kvadratlardan tuzilgan xos kvadratik formalar ba’zan yarim aniqlangan formalar deyiladi. Nihoyat, normal ko’rinishlari noma’lumlarning musbat kvadratlari bilan bir qatorda manfiy kvadratlardan ham tuzilgan kvadratik formalar aniqlanmagan (aniqmas) deyiladi. 10 1.2 . Mukammal formalar. Faraz qilaylik, (1.2.1) ixtiyoriy musbat aniqlangan kvadratik forma bo’lsin. (1.2.1) musbat aniqlangan kvadratik formani m arifmetik minimumini beruvchi nuqtalarni (1.2.2) kabi belgilaymiz. Demak ,(1.2.2) nuqtalar sistemasi arifmetik minimum nuqtalar beruvchi sistemasi. Bu nuqtalardan tuzilgan ushbu Matritsa formaning minimal matritsa deyiladi. Bulardan quyidagi tenglikni , (1.2.3) hosil bo’ladi. Qaralayotgan kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma bo’lganligi uchun ushbu , Ikkita nuqtalar sistemasini bittasini olib qaraymiz. Yuqoridagi qilgan farazimiz hamda arifmetik minimum ta’rifiga ko’ra quyidagi tengsizlikka egamiz. 11 Tengsizlikka sistema o’zgaruvchilarning butun qiymatlari (2) nuqtalar sistemasida yotmasa ega bo’ladi.Bu sistemalardan sistema ya’ni (0,0,…,0) nuqtalar kirmaydi. (3) tenglikni k indikslar bo’yicha alohida- alohida yozsak ushbu tenglamalar tenglamalar sistemasini (1) musbat aniqlangan kvadratik formaning koeffitsiyentlarini aniqlashdagi tenglamalar sistemasi sifatida qaraymiz. Bunday tenglamalar sistemasini yechishda ikki xil holatda bo’ladi. 1. Tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. 2. Tenglamalar sistemasi faqat yagona yechimga ega bo’ladi. Ta’rif .Arifmetik minimum va arifmetik minimumni beradigan nuqtalar to’plami bilan o’zaro bir qiymatni aniqlanadigan musbat aniqlangan kvadratik forma mukammal kvadratik forma deyiladi. Masalan, kvadratik forma mukammal formadir. Haqiqatdan ham formada bo’lganligidan osongina uning musbat aniqlangan 12 kvadratik forma ekanligini ko’rish mumkin. Ya’ni Silvestr kriteriyasiga ko’ra biz qarayotgan kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma ekanligi kelib chiqadi. Demak, qaralayotgan kvadratik formaning barcha qiymatlari , ya’ni da har doim qat’iy musbat ekanligi kelib chiqadi. Endi arifmetik minimum ta’rifiga ko’ra lar da qaraladi. Bundan musbat aniqlangan kvadratik formaning 0 dan farqli eng kichik musbat qiymati ya’ni arifmetik minimumi ekanligi,bu qiymatni esa ushbu±(0,1 )va ±(1,−1) larda qabul qiladi.Bu sistemada faqat mubatlarni qa’bul qilamiz , ya’ni (1,0) da φ ( 1,0 ) = 1 2 +0 2 +1 ∙ 0 (0,1) da da ekanligi kelib chiqadi. Endi qaralayotgan musbat aniqlangan kvadratik forma uchun arimetik minimum va arifmetik minimumni beruvchi nuqtalar sistemasi orqali (3) tenglamalar sistemasini quyadagicha hosil qilamiz: S =1 da (1,0) ligidan S =2 da (0,1) ligidan S =3 da (1,-1) ligidan Tengliklarni hosil qilamiz.Bu tengliklarni ushbu 13 Sistema kabi qarab 12 11 22 1 1 1 2 a a a           Topilgan bu koeffitsiyentlar qaralayotgan musbat aniqlangan kvadratik formaning koeffitsiyentlari bo ’ lib bir qiymatli aniqlangan . Bundan mukammal forma ekanligi kelib chiqadi. 1.3.Mukammal formalarni izlash haqidagi Voronoy masalasi. Korkin –Zolotaryovning limit formalari (1.3.1) n(n ≥ 2) o’zgaruvchili, haqiqiy koeffitsiyentli Simmetrik matrissali, 14 11 12 1 21 22 2 1 2 , , , , ( ) ................. , , n n n n nn a a l a a a d d f a a a      Kabi bo’lgan musbat aniqlangan kvadratik forma bo’lsin. Ixtiyoriy f musbat aniqlangan kvadratik formani aniqlaydigan koeffitsiyentlari yordamida o’lchovli Yevklit fazosida nuqtani mos qo’yish mumkin. Bu moslik o’zaro bir qiymatli moslik bo’ladi, ya’ni har bir kvadratik formaga o’lchovli Yevklit fazosidagi bitta nuqta va aksincha Yevklit fazosidagi har bir nuqta bitta kvadratik forma mos keladi. Lemma. Barcha musbat aniqlangan kvadratik formalar koeffitsiyentlar fazosi Yevklit fazosida musbatlik konusi ni hosil qiladi. ISBOT .Haqiqatdan ham kvadratik formalar musbat aniqlangan kvadratik formalar bo’lsa u holda; 1) va ( ) kvadratik formalar ham musbat aniqlangan for- malar bo’ladi. 2) (1- ) kvadratik formalar ham musbat aniqlangan kvadratik formalar bo’ladi. musbat aniqlangan kvadratik formaning nuqtalar bo’yicha olingan (1.3.2) 15 Qiymatlarning aniq quyi chegarasi musbat aniqlangan kvadratik for- maning arifmetik minimum deyiladi. (1.3.3) Butun koordinatali hamda tengliklarni bajaruvchi Yevklid fazoning nuqtalari musbat aniqlangan kvadratik formaning arifmetik minimum beruvchi nuqtalari bo’lsin.Musbat aniqlangan kvadratik forma m arifmetik minimumini xossasiga asosan tabiiy ravishda kabi aniqlangan f musbat aniqlangan kvadratik formaning normallangan arifmetik minimumni qarash mumkin. Bundan ixtiyoriy f musbat aniqlangan kvadratik formaning normallangan arifmetik minimumi uchun tenglik bajariladi. Haqiqatdan ham tenglik ixtiyoriy musbat aniqlangan kvadratik formanlar uchun o’rinli bo’lishini ko’rsatadi. Yuqorida aniqlangan f musbat aniqlangan kvadratik formaning arifmetik minimumi musbatlik konusi da aniqlangan f formaning uzluksiz funksiyasi bo’lsa normallangan arifmetik minimum esa da aniqlangan f formaning uzluksiz funksiyasidir. Tarif . Agar musbat aniqlangan kvadratik formani musbat aniqlangan kvadratik formaga aylantiruvchi (o’tkazuvchi ) butun sonli unimodulyar chiziqli almashtirish mavjud 16 bo’lsa, u holda musbat aniqlangan kvadratik formalar ekvivalent deyiladi. Xususiy holda agar bo’lsa , unimodulyar chiziqli almashtirish f formaning aftomorfizmi deb ataladi. Demak, agar almashtirish f musbat aniqlangan kvadratik formaning avtomorfizmi bo’lsa, o’rinli bo’ladi. Ta’rif. f musbat aniqlangan kvadratik forma funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo’lsa, u holda f musbat aniqlangan kvadratik forma limit (ekstrimal) forma deyiladi. Yuqoridagi tushunchalardan n o’zgaruvchili ekvivalent bo’lmagan limit formalarning soni chekliligidan aniq tayinlangan n lar uchun ekvivalent bo’lmagan limit formalarni topish masalasi kelib chiqadi. Bu masala musbat aniqlangan kvadratik formalarini arifmetik minimumlari haqidagi Ermit masalasi deb yuritiladi. Mukammal formalarni izlash haqidagi Voronoy masalasi. Limit formalar ushbu asosiy xossaga ya’ni ixtiyoriy limit forma o’zining arifmetik minimum va arifmetik minimumni beruvchi nuqtalari orqali bir qiymatli aniqlanishidan Voronoy tomonidan quyidagi savolni qo’yishga sabab bo’ladi. Agar limit formanining arifmetik minimum va arifmetik minimum beruvchi nuqtalari bir qiymatli aiqlaydigan bo’lsa aksincha ixtiyoriy musbat aniqlangan kvadratik formani uning arifmetik minimum va arifmetik minimumini beruvchi nuqtalari bir qiymatli aniqlasa bu musbat aniqlangan forma limit forma bo’ladimi yoki yo’qmi Voronoy ilmiy ishlarida arifmetik minimum va arifmetik minimumni beruvchi nuqtalari bilan to’liq bir qiymatli aniqlanadigan har qanday kvadratik formalar limit forma bo’lavermasligini aniqlaydi va mukammal forma tushunchasini kiritadi. 17 Ta’rif.Agar minimum va arifmetik minimumni beruvchi nuqtalari bilan to’liq aniqlangan f musbat aniqlangan kvadratik mukammal forma deyiladi. Voronoy aniq tayinlangan n lar uchun ekvivalent bo’lmagan mukammal formalarning soni chekli ekanligigini isbotlaydi. Bu esa aniq tayinlangan n lar uchun mavjud bo’lgan barcha noekvivalent mukammal formalarni izlash (topish) masalasiga asos bo’ladi.Ushbu masala mukammal formalarni izlashning Voronoy masalasi deb nomlanadi. 18 2 Bob. mukammal forma Voronoy sohasining 5-o’lchovli yoqla ri . 2.1 . Mukammalashtirilgan Voronoy algoritmi Voronoy algoritmi. Voronoy mukammal formalarni topish algoritmini, ya’ni Voronoy algoritmini ishlab chiqadi. Voronoy algoritmiga asosan har bir f mukammal formaga ko’rinishida ifodalanadigan barcha nomanfiy to’plamini mos qo’yadi. Bunda , lar esa f formaning arifmetik minimum beruvchi nuqtalar yordamida aniqlanadigan chiziqli formalardir. Bunday aniqlangan nomanfiy kvadratik formalar to’plamiga f formaning Voronoy sohasi (oblasti) deyiladi va uni kabi belgilanadi. - Voronoy sohasi Yevklid fazosida noma ’ lumlarga nisbatan qandaydir bir jinsli tengsizliklar yechimidan iborat bo ’ ladi , ya ’ ni Kabi tengsizliklar sistemasidan iborat bo’ladi. mukammal forma bilan qo’shni bo’lgan mukammal formalarni quydagicha quriladi. (1.3.4) Bunda 19 Shu kabi hosil qilingan mukammal formalar to’plamida butun sonli unimodulyar chiziqli almashtirishlar guruppasiga nisbatan ekvivalent bo’lmaganlarini ajratib mukammal formaning mukammal formalardan iborat to’plami hosil bo’ladi. Bu to’plamga mukammal formaning unimodulyar chiziqli almashtirishlar gruppasiga nisbatan Voronoy atrofi deyiladi va yoki kabi belgilanadi . mukammal formaning Voronoy sohasini N-1-o’lchovli yoqlari tenglama bilan aniqlangan hamda formalar ushbu N-1o’lchovli yoqlariga yotgan kvadratik formalar kvadratik formalar esa ga yotmagan kvadratik formalar bo’lsin. U holda quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi. (1.3.5) (1.3.5) ga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz. (1.3.6) 20 (1.3.7) Lemma 1. kvadratik formalar to’plami yoqdagi jami kvadratik formalar bo’lishi uchun ushbu 1) (1.3.6)tenglamalar sistemasiga rangi N-1 ga teng 2) Yechimlar to’plami tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarlidur. V oronoy algoritmidagi tenglikdagi bir xil larning oldidagi koefsintlarning tenglashtirib noma’lumlarga bog’liq ushbu (2.1.1) tenglamalar sistemasini hosil qilamiz s=N bo’lgan holda (2.1.1) tenglamalar sistemasini (2.1.2) kabi yagona yechimga ega bo’ladi . (2.1.2)dagi N ta tenglik mukammal formaning Voronoy oblastining N-1 o’lchovli yoqlarini to’liq aniqlaydi. 21 s>N bo’lgan holda (2.1.1) tenglamalar sistemasini yechimi V=S-N ta parametirga bog’liq (2.1.3) ko’rinishga ega.Bunda chiziqli forma . Lemma.2. kvadratik formalar f mukammal forma Voronoy oblastining yoqiga yotmasligi uchun va keltirilgan munosabatarini koeffitsiyentlari har doim musbat bo’lishi zarur va yetarli yoqning tenglamasi bo’ladi. (1)va (2) lemmalarga ko’ra kvadratik formalar sistemasi yoqqa yotmasligi bilan ushbu yoqni to’la aniqlaydi.Qisqacha aytganda bunday sistemani ,,yoqlar’’ deb ataymiz. 22 2.2. mukammal forma haqida. Korkin-Zolotoryov ilmiy asarlarida ushbu ko’rinishdagi (2.2.1) kvadratik forma o’rganildi. Biz bu kvadratik formani mukammalashtirilgan Voronoy algoritmi yordamida tahlil qilamiz. Keltirilgan kvadratik formaning dastlab musbat aniqlangan kvadratik forma ekanligi hamda mukammal forma ekanligini ko’rsatamiz. Lemma.2.2.1. kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik formadir. ISBOT. kvadratik formaning matritsasi ekanligidan uning bosh minorlari 23 Ekanligidan uning musbat aniqlangan kvadratik forma ekanligi kelib chiqadi. Demak , kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma bo’lgani uchun hamda alohida o’zgaruvchilari kvadratlarining oldidagi koeffitsiyentlari birga tengligidan arifmetik minimum ya’ni ekanligini aniqlaymiz. Arifmetik minimum beruvchi nuqtalar (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1) ; (1,o,-1) ; (0,1,-1) ; (1,1,-1) (2.2.2) ekanligini osongina tekshiramiz mumkin. Bu arifmetik minimum beruvchi nuqtalarga ushbu , (2.2.3) chiziqli formalar mos keladi. LEMMA. musbat aniqlangan kvadratik forma mukammal formadir. Isbot.3 o’zgaruvchili ixtiyoriy kvadratik formaning umumiy ko'rinishi 24 kabi bo’ladi. Bunday ko’rinishdagi kvadratik formaga ketma –ket musbat aniqlangan kvadratik formani arifmetik minimum va arifmetik minimum beruvchi nuqtalarini qo’ysak, ya’ni (1,0,0) : (0,1,0) : (0,0,1) : (1,0,-1) : (0,1,-1) : (1,1,-1) : tengliklardan noma’lumlarga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu chiziqli tenglamalar sistemasi yagona 25 yechimga ega bo’ladi. Bu yechimlar musbat aniqlangan kvadratik forma koeffitsiyentlari bilan ustma-ust tushadi. Bundan esa musbat aniqlangan kvadratik forma arifmetik minimum va minimum beruvchi nuqtalari bilan bir qiymatli aniqlanishi kelib chiqadi. 2.2.2. mukammal formaga mos Voronoy sohasining 5 o’lchovli yoqlari. Mukammalashtirilgan Voronoy algoritmiga ko’ra bunda tenglikdagi o’xshash hadlarni tenglashtirib noma’lum larni topib ularga nisbatan talab etilgan shartni qo’llasak qaralayotgan mukammal formani Voronoy sohasi hosil bo’ladi. Bu tushunchani mukammal formaga qo’llaymiz. lar mos ravishda (2.2.3) kabi chiziqli formadan iboratligidan 26 Qavslarni ochib o’xshash hadlani ixchamlab 27 t englikni hosil qilamiz. 28
Купить