Информация о документе

Цена 19900UZS
Размер 832.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 12 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Физика

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

227 Продаж

Affin va ortogonal almashtirishlar

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ MAVZU: Affin va ortogonal almashtirishlar 1 MUNDARIJA Kirish ..................................................................................................................2 1- §. Affin almashtirishlarning ta’rifi va xossalari................................................4 2- § . Affin almashtirishlar gruppasi va uning qism gruppalari ……………......6 3 -§ .Tekislikda а ffin va dekart koordinatalar sistemasini almashtirish..................7 4 - § . Ortogonal proyeksiyalarni qayta tuzish usullari...........................................12 5 - § . Proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli..............................................15 6 - § . Proyeksiyalar tekisliklarining bittasini almashtirish......................................17 7- § . Proyeksiyalar tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtiri sh……………..19 Xulosa....................................................................................................................22 Foydalanilgan adabiyotlar.....................................................................................23 KIRISH 2 Mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi: Birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklifqilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi; Ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlarimehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi; Uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadidaTalabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining (keyingi o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi; To‘rtinchidan ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajor-tadqiqotlikinstituti joriy etildi; Beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlabchiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisiligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublikakengashi tashkil etildi. Kurs ishining dolzarbligi . O‘quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning Galiley va uning teoremasi haqidagi bilimlarini yanada chuqurlashtirish. Respublikamiz prezidenti Shavkat Mirziyoyev “O‘zbekistonni yanada rivojlantirish bo‘yicha Harkatlar strategiyasi to‘g‘risida” gi farmoni va oliy talim tizimini yanada rivojlantirish bo‘yicha qabul qilingan PQ 29-09 qaror mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxasisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayoning mohiyatini to‘laqonli ochib berilgan . Malakali kadrlar tayyorlash jarayoning har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish , uni yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon talimi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni 3 amalga oshirish lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida ta’lim jarayonining samaradorligini oshirish muhim ahmiyat kasb etadi. Kurs ishining maqsadi : Affin va ortogonal almashtirishlar mavzusini o‘rgatish. Kurs ishining obyekti : Oliy va o‘rta talim muassasalarida Chiziqli algebra va analitik geometriya fanini o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti : Chiziqli algebra va analitik geometriya fani ning o‘qitish metodlari va vositalari. Kurs ishining vazifalari : 1.Mavzuga doir ma’lumotlarini yig‘ish va rejani shakllantirish 2. Affin va ortogonal almashtirishlar 3. Affin va ortogonal almashtirishlarning ta’rifi va xossalari 1- §. Affin almashtirishlarning ta’rifi va xossalari 4 A p da ikki B= {O ,e1,e2,e3,...,en} va B'= {O ,e1,e2,e3,...,en} penep berilgan bo’lsin. Bu reperlar yordamida A p ning nuqtalari orasida shunday f moslik o’rnatamizki, ixtiyoriy M ∈An nuqta B reperda qanday koordinatalarga ega bo’lsa, uning obrazi M' = f (M) nuqta B ' reperda xuddi shunday koordinatalarga ega bo’lsii, ravshanki, bu moslik o’zaro bir qiymatli bo’lib, A p ni o’z-o’ziga o’tkazadi, demak, f biror almashtirishdir . 1-ta’rif. Yuqoridagicha aniqlangan f almashgirish A n ni affin almshtiriish deb ataladi. Bu ta’rifdan ko’rinadiki, affin almashtirish bir jufg affin reperlarning berilishi bilan to’la aniqlanadi. Endi affin almashtirishning qator xossalari bilan tanishaylik. 1°. f affin almashtirishda ⃗a∈An vektor shu fazoning biror ⃗f(a)=⃗à vektoriga almashadi, chunki IV 2 ga asosana ⃗a= ⃗MN desak, M, N nuqtalarning obrazlari f(M) = M', f(N) = N' bo’lib, bu nuqtalar ham A p ga tegishli bo’lgani uchun ularga mos kelgan avektor f(⃗a) bo’ladi. Xususiy holda, nolь vektor yana nolь vektorga almashadi. 2°. f affin almashtirishda ⃗a vektorning k o ordinatalari V qanday bo’lsa, unga mos kelgan ⃗a vektorning ham koordinatalari V ' da xuddi shu s onlardan iborat bo’ladi. Bu xossa f ning ta’rifi va 1° dan bevosita kelib chiqadi. 5 3°. f affin almashtirishda ikki vektorning yig’indisiga mos kelgan vektor qo’shiluvchi vektorlarga mos kelgan vektorlar yig’indisidan iborat, ya’ni ⃗a+⃗b= ⃗c⇒ f(⃗c)= f(⃗a)+ f(⃗b) . Bu xossaning o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish uchun koo rdinatalar bilan berilgaa vektorlarni qo’shish qoidasini eslasak f ning ta’r i fini e’tiborga olsak, kifoyadir. 4°. k⃗a vektorga mos kelgan vektor kf (⃗a)= k⃗a' vektordir. Bu ikki 3°, 4° xossadan f almashtirishda λ1⃗a+λ2⃗a2+ ...+ λk⃗ak vektor ga λ1⃗a'+λ2⃗a2'+ ...+ λk⃗ak' vektorning mos kelishi kelib chiqadi, ya’ni f da vektorlarn i ng chiziqli kombinatsiyasi saqlanadi, demak, chiziqli e rkli vektorga yana chiziqli erkli vektorlar mos keladi. Bu xossalarni va 4- § dagi ikki affin fazoning izomorfligi ta’rifini e’tiborga olsak, affin almashtirishning quyidagi ikkinchi ta’rifi kelib chiqadi. 2 - t a ‘ r i f. A p fazoning o’z-o’ziga izomorf akslanishi A n dagi affin almashtirish deb ataladi. 3 - t a ‘ r i f. [ M N ] kesmani R nuqta λ nisbatda bo’lsa ( ya’ni ⃗MP = λ⃗PN bo’lsa ), u holda λ son M, N, R nuqtalarning oddiy nisbati deb atalib, uni odatdagidek λ= (MN ,P) ko’rinishda belgilanadi. Demak, ⃗MN = λ⃗PN ⇔ λ= (MN ,P ) u holda 4-xossani e’tiborga olsak, affin almashtirishda nuqta berilgan kesmani qanday nisbatda bo’lsa, uning obrazi xam berilgan kesma obrazini shu nisbatda bo’ladi, degan xulosaga kelamiz, demak, affin almashtirishda uch nuqtaning oddiy nisbati saqlanadi. 6 5°. f affin almashtirishda k o’lchovli P k tekkislik yana k o’lchovli Πk' tekislikka almashadi, ya’ni tekislikning o’lchovi f uchun invariantdir. 6°. f affin almashtirishda parallel tekisliklar ya n a parallel tekisliklarga o’tadi. Bu xossa affin almashtirishning o’zaro bir qiymatli ekanligidan kelib chiqadi (buni to’liq isbotlashni o’quvchiga topshiramiz). 2- § . Affin almashtirishlar gruppasi va uning qism gruppalari Ma’lumki, almash t irishlar to’plamining gruppani hosil qilishi uchun quyidagi ikki shart bajarilishi kerak. 1. SHu to’plamdagi ixtiyoriy ikki almasht i rish ko’paytmas i (kompozitsiyasi) yana shu to’plamga tegishl i almashtirish; 2. SHu to’plamdagi har bir almashtirishga teskari almashtirish ham shu to’plamga qarashli. A p ning barcha almash t irishlari to’plamini A bilan belgilaylik. Bu to’plam bo’sh bo’lmasdan, balki uning elementlari avvalgi paragrafdagi muhokamamizga asosan cheksiz ko’pdir. A to’plamning elementlari yuqoridagi ikki shartni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Ravshanki, f affin almashtirish bo’lsa, u bir juft B,B' affin reperlarning berilishi bilan to’la aniqlanadi (affin almashtirish ta’rifiga asosan) va, aksincha. 1. Agar f affin almashtirish B,B' reperlar bilan aniqlangan bo’lib, g affin almashtirish B,B'' reperlar bilan aniqlansa, u 7 holda B,B'' reperlar bilan aniqlangan affin almashtirish berilgan affin almashtirishlar ko’paytmasidan iborat: f,g∈ A⇒ g⋅f∈ A . 2. f affin almashtirish B,B' bilan aniqlansa, B',B bilan aniqlangan affin almashtirish f ning teskarisi f -1 , ya’ni f∈ A ⇒ f−1∈ A . Demak, A to’plam gruppa tashkil qiladi, uni qisqacha affin gruppa deb ataladi. Endi almash t irishlar gruppasining i n varianta tushu n chasini kiritamiz. G biror almashtirish gruppasi bo’lib, G’ ixtiyoriy figura bo’lsin. G ning istalgan almashtirishida G’ figura biror G’' figuraga almashganda G’ ning G’' uchun ham o’rinli bo’lib qoladigan xossalari G’ ning G gruppaga nisbatan invariantlari deb ataladi. U holda affin gruppaning invariantlari oldingi paragrafdagi xossalarini e’tiborga olsak quyidagilar bo’ladi: 1. Har qanday affin almashtirishda k o’lchovli tekislik yana k o’lchovli tekislikka o’tgani uchun tekislikning o’lchovi A g a nisbatan invariantdir. A 2. Har qanday affin alm a shtirishda uch nuqtaning oddiy nisbati A ga nisbatan invariantdir. 3. Affin almashtirishda parallel tek i sliklar yana parallel tekisliklarga o’tgani uchun parallellik munosabati A ga nisbatan invariantdir. 8 e 2 e 1 N e2 e1y x xyBu tushunchalarga asoslanib affin geometriya nimani o’rganadi degan savolga javob berish mumkin. Affin g e ometriya p o’lchovli affin fazo figuralarining shunday xossalarini o’rganadiki, bu xossalar affin gruppaga n i sbatan invariant bo’ladi (yoki geometriyaning affin almashtirishda figuralarning shu almashtirish gruppasiga nisbatan o’zgarmay qoladigan xossalarini o’rganadigan bo’limi affin geometriya deb ataladi). 3 -§ .Tekislikda а ffin va dekart koordinatalar sistemasini almashtirish. Affin koordinatalar sistemasini almashtirish. Geometrik obrazlarni soddalashtirish uchun ko’pincha bir koordinatalar sistemasidan boshqa koordinatalar sistemasiga o’tishga to’g’ri keladi. Bu esa bir nuqtaning har xil sistemadagi koordinatalarni bog’lovchi formulalarni topish masalasini keltirib chiqaradi. Tekislikda ikkita ) , ,0( 2 1 e e ⃗ ⃗ va ( 2 1, ,0 e e   ⃗ ⃗ ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin . Qulaylik uchun birinchisini eski, ikinchisini yangi affin koordinatalar sistemasi deb olamiz. Bundan tashqari, yangi koordinatalar sistemasining vaziyati eski koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan bo’lsin. (2.11) Ta’rifga ko’ra ushbuni yoza olamiz. 9 o 20102221122 2211111 .; eyexoecece ecece ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗    (2.12) Bizning maqsadimiz N nuqtaning eski koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini x, u larni, shu nuqtaning yangi koordinatalar sistemasidagi x’, y’ koordinatlar orqali ifodalashdir. Vektorlarni qo’shishdagi uchburchak qoidasiga asosan2 1 ey ex ON N O OO ON ⃗ ⃗      (25 - chizma). Bundan, . (1.12) dan foydalanib, 2 22 21 1 12 11 20 10 2 1 ) ( ) ( e y c x c e y c x c ey ex ey ex ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗          va vektorlar kolleniar emasligidan foydalanib quyidagi formulani yozamiz. (2.13) (2.13) formuladan affin koordinatalar sistemasini almashtirish formulasi deyiladi. Bu formulaning chap tomonining koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa (2.14) C’ matritsa C matritsani transponirlash natijasida hosil qilingan. Matritsa determinanti (2.15) chunki va vektorlar bazis vektorlar. (2.13) ni hamma vaqt x’, y’ larga nisbatan yechish mumkin. Bu esa N nuqtaning yangi koordinatalar sistemasidagi x’, y’ larni shu nuqtaning eski sistemasidagi x, y koordinatalar orqali ifodalash mumkinligini ko’rsatadi. Quyidagi xususiy holni qaraymiz: 1. 10 у у ' хx' е 1 е 1е 2 е 2 N bundan s 11 =1, s 21 =0, s 12 =0, s 22 =1 bu topilgan qiymatlarni (1.14) formulaga qo’yib (26-chizma) x=x’+x 0 ; y=y’+y 0 . (2.16) koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish formulasiga ega bo’lamiz. 1. O=O’ bo’lib, bazis vektorlar turlicha bo’lsin (27-chizma), u holda x 0 =y 0 =0 bo’lib, ( 2.17 ) formulaga ega bo’lamiz. To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini almashtirish. Endi dekart koordinatalar sistemasini almashtirishga to’xtaymiz. Bir to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasidan ikkinchi dekart koordinatalar sistemasiga o’tishda (6.4) formuladan foydalanamiz, lekin o’tish matritsasining s ij (i, j=1,2) elementlariga qo’shimcha shartlar qo’yiladi. 11 i ij j iy y’ xx’  у y ’ xx’ i ⃗ j ⃗ i ⃗ j ⃗ j ⃗ i  ⃗ Tekislikda - eski - yangi dekart koordinatalar sistemasi bo’lsin. (2.18) bo’lsin, bu yerda ikki hol o’rinli bo’ladi. 1. Eski va yangi koordinatalar sistemasi bir xil yo’nalishga ega. (6.6) tenglikni navbat bilan va vektorlarga skalyar ko’paytirib quyidagilarga ega bo’lamiz. topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib, (2.19) Yo’nalishlari bir xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz. 2. Eski va yangi koordinatalar sistemasi turli yo’nalishga ega (30-chizma). 12j Buni e’tiborga olib, (6.6) ni va vektorlarga navbati bilan ko’paytirsak, ushbuga ega bo’lamiz. Topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib, (2.20) Yo’nalishlari har xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz. (2.16) va (2.20) formulalarni bitta (2.21) formulaga birlashtirish mumkin, bu yerda , yo’nalishlar bir xil bo’lsa , agar har xil bo’lsa ga teng. 4 - § . Ortogonal proyeksiyalarni qayta tuzish usullari Geometrik shaklning proyeksiyalaridagi holatlari uning fazoda proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan joylashuviga bog’liq. Umumiy vaziyatdagi geometrik shakllarning proyeksiyalari proyeksiyalar tekisliklariga qisqarib proyeksiyalanadi (1,a,b–rasm). 13 Agar geometrik shaklning proyeksiyasi originaliga teng bo’lib proyeksiyalansa, bu shaklga oid metrik xarakteristikalarni, masalan, Δ ABC tomonlarining haqiqiy o’lchamlari, uchlaridagi burchaklarning qiymatlari va boshqa xarakteristikalarini aniqlash mumkin (1,v–rasm). Demak, shunday xulosaga kelish mumkinki, agar geometrik shakl proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan fazoda xususiy vaziyatda berilsa yoki umumiy vaziyatda berilgan geometrik shakl xususiy vaziyatga keltirilsa, bu bilan metrik va pozitsion masalalarni yechish mumkin. Shuning uchun ayrim a b v 1-rasm hollarda umumiy vaziyatda berilgan geometrik shakllarning berilgan ikki proyeksiyasi asosida maqsadga muvofiq ravishda yangi xususiy vaziyatga keltirilgan proyeksiyalari tuziladi. Geometrik shaklning berilgan ortogonal proyeksiyalari asosida yangi proyeksiyalarini yasash ortogonal proyeksiyalarni qayta tuzish deyiladi. Umumiy vaziyatda berilgan geometrik shakllarni xususiy vaziyatga keltirish asosan ikki usulda bajariladi. Aylantirish usuli . Bunda proyeksiyalar tekisliklari o’z holatlarini o’zgartirmaydi. Proyeksiyalanuvchi shakl ularga qulay holga kelguncha biror o’q atrofida aylantiriladi. 14 Geometrik shaklning fazoviy vaziyati o’zgartirilmasdan proyeksiyalar tekisliklari sistemasini unga nisbatan xususiy vaziyatga kelguncha yangi proyeksiyalar tekisliklari bilan almashtirish - proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli deyiladi. Quyida bu usullarni alohida ko’rib chiqamiz. Aylantirish usuli Aylantirish usuli parallel harakatlantirish usulining xususiy holi hisoblanadi. Bu usulda geometrik shaklga tegishli nuqtaning trayektoriyasi ixtiyoriy bo’lmay, balki berilgan biror o’qqa nisbatan aylana bo’yicha harakatlanadi. Aylana markazi berilgan o’qda joylashgan bo’lib, aylanish radiusi esa harakatlanuvchi nuqta bilan aylanish o’qi orasidagi masofaga teng bo’ladi yoki aylanish tekisligini aylanish o’qi bilan kesishgan nuqtasi bo’ladi. Aylanish o’qlari proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan perpendikulyar, parallel, shuningdek, proyeksiyalar tekisligiga tegishli va boshqa vaziyatlarda bo’lishi mumkin. Quyida turli vaziyatlarda joylashgan aylanish o’qlari atrofida aylantirish usullarni ko’rib chiqamiz. Geometrik shakllarni proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o’q atrofida aylantirish. Nuqtani aylantirish. H va V tekisliklar sistemasida ixtiyoriy A nuqta va i aylanish o’qi berilgan bo’lsin (2,a-rasm). Agar A nuqtani i ⊥ V aylanish o’qi atrofida harakatlantirsak, mazkur nuqta V tekislikka parallel V 1 tekislikda radiusi OA ga teng aylana bo’yicha harakatlanadi.Shuningdek, A nuqtaning harakatlanish trayektoriyasining gorizontal proyeksiyasi V 1 tekislikning V 1N izi bo’yicha harakat qiladi. Chizmada V 1 tekislik V tekislikka parallel bo’lgani uchun A nuqtaning frontal proyeksiyasi aylana bo’yicha, gorizontal proyeksiyasi V 1N ∥ Ox bo’yicha harakat qiladi (2,b– rasm). 15 2-rasm 3-rasm. nuqtaning H tekislikka perpendikulyar i o’qi atrofida aylantirilishi 3,a-rasmda ko’rsatilgan. B nuqta B 1 vaziyayatga radiusi OB ga teng aylana bo’yicha H tekislikka parallel bo’lgan N 1 tekislikda harakatlanadi. Bunda N 1 tekislik H tekislikka parallel bo’lgani uchun B nuqta harakatlanish trayektoriyasining gorizontal proyeksiyasi aylana bo’yicha, frontal proyeksiyasi N 1 tekislikning N 1 V izi bo’yicha Ox ga parallel bo’lib harakatlanadi. ( 3,b–rasm). Yuqorida bayon qilinganlardan quyidagi xulosalarga kelamiz: 16a b a 1-xulosa. Agar A nuqta frontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o’q atrofida aylantirilsa, mazkur nuqtaning frontal proyeksiyasi aylana bo’yicha, gorizontal proyeksiyasi Ox o’qiga parallel to’g’ri chiziq bo’yicha harakatlanadi. 2-xulosa. Agar nuqta gorizontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o’q atrofida aylantirilsa, nuqtaning gorizontal proyeksiyasi aylana bo’yicha, frontal proyeksiyasi Ox o’qiga parallel to’g’ri chiziq bo’yicha harakatlanadi. Nuqtani proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o’q atrofida aylantirish qoidalariga asosan umumiy vaziyatda joylashgan geometrik shakllarni xususiy yoki talab qilingan vaziyatga keltirish mumkin. 1–masala . Umumiy vaziyatdagi AB ( A ′ B ′, A ″ B ″) kesmani V tekislikka parallel vaziyatga keltirilsin. (4–rasm). 4-rasm. Yechish. AB kesmaning biror, masalan B uchidan i ⊥ H aylantrish o’qi o’tkaziladi. So’ngra bu o’q atrofia kesmaning A ′ B ′ gorizontal proyeksiyasini A ′ B 17 ′ ∥ Ox vaziyatga kelguncha aylantiramiz. Bunda AB kesmaning A ″ nuqtasi N 1 V ∥ Ox bo’yicha harakatlanib, A ″1 vaziyatni egallaydi. Shaklda hosil bo’lgan AB kesmaningyangi A ′ 1 B ′ 1 va A ″ 1 B ″ 1 proyeksiyalari uning V tekislikka parallelligini ko’rsatadi. Shakldagi α burchak AB kesmani H tekislik bilan hosil etgan burchagi bo’ladi. 2–masala . ∆ ABC (∆A′B′C′, ∆A″B″C″) tekislikni proyeksiyalovchi vaziyatga keltirilsin (5–rasm). Yechish. B erilgan ∆ ABC tekislikni frontal proyeksiyalovchi vaziyatga keltirish uchun uchburchakning biror, masalan, C nuqtasidan i ′ ⊥ H aylanish o’qi o’tkaziladi va bu o’q atrofida uchburchakni h 1 ⊥ V (epyurda h′ 1 ⊥ V ) vaziyatga kelguncha aylantiriladi. Bunda, uchburchakning A , B va C nuqtalari ham φ º burchakka harakatlanadi. Chizmada uchburchak uchlarining yangi A ′ 1 , B ′ 1 va C ′ 1 proyeksiyalari orqali uning A ″ 1 B ″ 1 C ″ 1 frontal proyeksiyalarini aniqlanadi. Bu nuqtalar o’zaro tutashtirilsa, A ″ 1 B ″ 1 C ″ 1 kesma (uchburchakning yangi frontal proyeksiyasi) hosil bo’ladi. 5 - §. Proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli Proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usulida geometrik shaklning dastlabki fazoviy vaziyati saqlanib qoladi. Proyeksiyalar tekisliklari berilgan geometrik 18 shaklga nisbatan xususiy (parallel yoki perpendikulyar) vaziyatda bo’lgan yangi proyeksiyalar tekisliklari bilan almashtiriladi. Bunda dastlabki va yangi proyeksiyalar tekisliklarining o’zaro perpendikulyarlik sharti bajarilishi talab qilinadi. Bu usulda geometrik shaklning fazoviy vaziyati o’zgarmaydi, balki proyeksiyalash yo’nalishi yangi proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar qilib olinadi. Geometrik masalada qo’yilgan shartga ko’ra, proyeksiyalar tekisliklari bir yoki ikki marta ketma-ket almashtirish mumkin. Proyeksiyalar tekisliklarining ikki marta almashtirilganda, ular ketma-ket ravishda, masalan, avval geometrik shaklga nisbatan parallel, so’ngra unga perpendikulyar yoki aksincha qilib almashtiriladi. 6 - § .Proyeksiyalar tekisliklarining bittasini almashtirish. Fazodagi biror A nuqta va uning H va V proyeksiyalar tekisliklardagi A ′ va A ″ ortogonal proyeksiyalari berilgan bo’lsin ( 6,a–rasm). Agar V tekislikni V 1 tekislik bilan almashtirsak, V 1 yangi proyeksiyalar tekisliklari tizimi hosil bo’ladi. A H nuqtaning V 1 tekislikdagi proyeksiyasini yasash uchun berilgan nuqtadan mazkur tekislikka perpendikulyar o’tkazib, yangi frontal proyeksiyasi A ″ 1 topiladi. 6-rasm. 19a b Rasmdagi yasashlardan ko’rinishicha, A ″ nuqtadan Ox o’qigacha bo’lgan masofa A ″ 1 nuqtadan O 1 x 1 o’qigacha bo’lgan masofaga tengdir, ya‘ni A ″1 Ax 1= A ″ Ax . Nuqtaning yangi proyeksiyalar tizimidagi chizmasini yasash uchun yangi proyeksiyalar tekisligi dastlabki proyeksiyalar tekisligi bilan jipslashtiriladi. Chizmada A nuqtaning yangi A ″ 1 proyeksiyasini yasash uchun A nuqtadan O 1 x 1 ga perpendikulyar tushiriladi (6,b–rasm). Uning davomiga A ″ A x masofa qo’yiladi. Natijada, hosil bo’lgan A ′ va A ″ 1 lar A nuqtaning yangi V 1 tekisliklar sistemasidagi proyeksiyalari bo’ladi. Frontal proyeksiyalar tekisligi yangi proyeksiyalar tekisligi bilan almashtirilganda nuqtaning z koordinatasi o’zgarmaydi. H va V proyeksiyalar tekisliklari tizimida B nuqta B ′ va B ″ proyeksiyalari berilgan bo’lsin ( 7,a–rasm). H tekislikni H 1 ⊥ V tekislik bilan almashtirsak, H V 1 yangi tekisliklar tizimiga ega bo’lamiz. B nuqtadan H tekislikka perpendikulyar o’tkazib, bu nuqtaning B ′ 1 proyeksiyasini yasaymiz. Nuqtaning yangi tekisliklar tizimidagi chizmani yasash uchun (7,b–rasm) H 1 tekislikni V tekislik bilan jipslashtiramiz. Chizmada B nuqtaning yangi proyeksiyasini yasash uchun uning B ″ proyeksiyasidan O 1 x 1 ga o’tkazilgan perpendikulyarning davomiga B ′ 1 B x 1 = B 1 B x masofa qo’yiladi. Natijada hosil bo’lgan B ′ 1 va B ″ yangi V H 1 20 b a 7-rasm. tekisliklar tizimidagi B nuqtaning chizmasi bo’ladi. Demak, gorizontal proyeksiya tekisligi almashtirilganda, nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasida y koordinatasi o’zgarmaydi. 7 - §. Proyeksiyalar tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish. Ayrim geometrik masalalarni yechishda proyeksiyalar tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish zarur bo’ladi. 8–rasm 8–rasmda A nuqtaning V Н tizimida berilgan A ′ va A ″ proyeksiyalari orqali uning yangi A ′ 1 va A ″ 1 proyeksiyalarini yasash ko’rsatilgan. Buning uchun avval V tekislikni V 1 tekislik bilan almashtirib, V 1 tizimi hosil qilinadi. Buning uchun chizmada ixtiyoriy vaziyatda O 1 x 1 yasash uchun uning A ′ proyeksiyasidan O 1 x 1 proyeksiyalar o’qiga perpendikulyar o’tkazib, uning davomiga A ″ A x masofa qo’yiladi. Natijada, A nuqtaning V tizimidagi yangi A ″ 1 proyeksiyasi hosil bo’ladi. A nuqtaning A ′ 1 H 1 proyeksiyasini yasash uchun V 1 tizimdan V 1 tizimga o’tiladi. Buning uchun Н H 1 ixtiyoriy vaziyatda joylashgan O 2 x 2 o’qi olinadi va nuqtaning A ″ 1 proyeksiyasidan O 2 x 2 ga perpendikulyar o’tkazib, uning 21 davomiga A ′ A X1 masofa qo’yiladi. Shunday qilib O 2 x 2 tizimda A nuqtaning A ″ 1 va A ′ 1 yangi proyeksiyalari hosil bo’ladi. 1–masala. Umumiy vaziyatda berilgan AB ( A ′ B ′, A ″ B ″) kesmaning haqiqiy uzunligini aniqlash talab etilsin (10-rasm). Yechish. Buning uchun umumiy vaziyatda berilgan AB kesmaga parallel qilib gorizontal yoki frontal proyeksiyalar tekisligini yangi proyeksiyalar tekisligi bilan almashtiriladi. Chizmada masalani 10-rasm yechish uchun uning yangi proyeksiyalar o’qini kesmaning biror, masalan, A ′ B ′ gorizontal proyeksiyasiga V 1 parallel qilib olinadi. Hosil bo’lgan proyeksiyalar tekisliklari tizimida AB kesma V 1 proyeksiyalar tekisligiga parallel bo’ladi va bu tekislikda u haqiqiy uzunligiga teng bo’lib proyeksiyalanadi. Xuddi shu usul bilan AB ( A ′ B ′, A ″ B ″) to’g’ri chiziqning ∆CDE(∆C′D′E′, ∆ C ″D″E ″), bilan kesishish nuqtasining F′ va F″ proyeksiyalarini yasaladi (11-rasm). Bunda mazkur uchburchak tekislik proyeksiyalovchi tekislik vaziyatga keltiriladi. Buning uchun chizmada ∆ C D E tekislikning biror bosh chizig’iga, masalan, C 1( C ′1′, C ″1″) frontaliga perpendikulyar qilib yangi O 1 x 1 proyeksiyalar o’qini o’tkaziladi. Uchburchakning C ′ 1 D′ 1 E ′ 1 to’g’ri chiziq kesmasi tarzida proyeksiyalangan proyeksiyasi va kesmaning A ′ 1 B ′ 1 yangi proyeksiyalari yasaladi. Ularning o’zaro kesishgan F′ 1 nuqtasi belgilanadi, so’ngra F nuqtaning frontal F″ va gorizontal F′ proyeksiyalarini yasaladi. 22 2 Xulosa Men ushbu kurs ishini yozish davomida affin va ortogonal almashtirishlar hb’yicha juda ko’p ma’lumotga ega bo’ldim. Tekislikda ikkita o’zaro perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazamiz: biri gorizantal, ikkinchisi vertikal. Ularning kesishish nuqtasini O harfi bilan belgilaymiz. Shu to’g’ri chiziqlarda yo’nalishlar tanlaymiz: gorizantal to’g’ri chiziqda chapdan o’ngga, vetikal to’g’ri chiziqda pastdan yuqoriga. Har bir to’g’ri chiziqda bir xil uzunlik birligini ajratamiz. 23 11 - rasm . Gorizontal to’g’ri chiziq OX bilan belgilanadi va absissalar o’qi deyiladi, vertikal to’g’ri chiziq OY bilan belgilanadi va ordinatalar o’qi (koordinata o’qlari) deyiladi. Bu kurs ishini bajarish davomida affin va ortogonal almashtirishlar haqida atroflicha ma’lumotlar bayon qilingan. Mazkur kurs ishini yozish davomida analitik geometriya fanidan bilimlarimni mustahkamladim Foydalanilgan adabiyotlar 1. М. А. Собиров, А.Е. Юсупов «Дифференциал геометрия курси» Т. 1965; 2. А.В. Погорелов. «Геометрия» М. 1983; 3. П. К. Рашевский «Курс дифференциальной геометрии» М. 1956; 4. А.Я. Нарманов «Диффе ренциал геометрия» Т. 2003; 5. под. Ред. Феденко «Сборник задач по дифференциальной геометрии» М.1979; 6. А.С. Мишенко и др. «Курс дифференциальной геометрии и топологии» М.МГУ., 1980 7. U. Xojixonov “Differensial geometriya” N., 2007. 24 8. “Egri chiziqlar” o`quv qo`llanma. Samarqand 1989. 9. Титаренко А.М. Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Математика. / А.М.Титаренко, А.М. Роганин. - «Эксмо», 2008. – 304 с. 10. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для Вузов. Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника / Беклемишев Д. В. - М.: Физматлит, 2009. - 309 с. 11. Л.С.Атанасян Геометрия. Ч. 1. М., Просвещение, 1973 12. Атанасян Л. С, Атанасян В. А. Сборник задач по геометрии, ч. I. M., Просвещение, 1973. 13.Базылев В. Т., Дуничев К. И., И в а н и ц к а я В. П. Геометрия, ч. I. М., Просвещение, 1974. 14.Dadajonov N., Jo’rayeva M., Geometriya 1 qism, Toshkent “o’qituvchi” 1996 25 Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti Fizika- Matematika fakulteti Matematika va informatika ta’lim yо‘nalishi “Matematik-analiz” fanidan yozilgan kurs ishiga doir komissiya XULOSASI Talaba__________________________________________________________ning _____________________________________________________________________ _______________________________________________________mavzusidagi Kurs ishiga ilmiy rahbar xulosasi: Rejani tо‘g‘ri yoritilganligi:_____________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ O‘quvchining mustaqil va erkin faoliyati: _________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________ Nazariy yozma bayoniga qo yiladigan reyting balli (himoya kuniga qarab):ʻ Ilmiy rahbar: ______________________________________________________ Kurs ishi himoyasiga komissiya xulosasi ___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Kurs ishi himoyasiga qo yiladigan _________:_____________________________ ʻ Jami: ____________________________ Rais: M. Nurillayev ____________________________________________ A’zolari: A.Xolboyev_______________________________________________ R.Koshnazarov _____________________________________________ 26 27

Affin va ortogonal almashtirishlar

MUNDARIJA

Kirish ..................................................................................................................2

1-§. Affin almashtirishlarning ta’rifi va xossalari................................................4

2-§. Affin almashtirishlar gruppasi va uning   qism  gruppalari……………......6

3-§.Tekislikda аffin va dekart koordinatalar sistemasini almashtirish..................7

4-§. Ortogonal proyeksiyalarni qayta tuzish usullari...........................................12

5-§. Proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli..............................................15

6-§.Proyeksiyalar tekisliklarining bittasini almashtirish......................................17

7-§.Proyeksiyalar tekisliklarini ketma-ket ikki marta almashtirish……………..19

Xulosa....................................................................................................................22

Foydalanilgan adabiyotlar.....................................................................................23

Купить