Akslantirishlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	17000UZS
Hajmi	284.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	17 Dekabr 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Maxmudjon Fattayev

Ro'yxatga olish sanasi 02 Dekabr 2025

0 Sotish

Akslantirishlar

Sotib olish

1O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
ANDIJON DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
“__________________________” yo‘nalishi
“________________________” fanidan
KURS ISHI
Mavzu : Akslantirishlar
Bajardi: ____________
Ilmiy rahbari: ____________
Andijon 2024

2R E J A
I.KIRISH .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.ASOSIY QISM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................... 5
2.1. Funksiya tushunchasini umumlashtirish ....................................... 5
2.2. Qisqartirib aks ettirish prinsipi va uning tadbiqlari .................... 14
2.3.Qisuvchi akslantirishlar prinsipining integral tenglamalarga
tadbiqi. Fedholm tenglamasi ............................................................. 18
III.Xulosa ..................................................................................................... 22
IV.Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati ....................................................... 24

3I.KIRISH
Mavzuning dolzarbligi. Respublikamiz prezidenti I.A. Karimov o‘zining
"Barkamol avlod - O‘zbekiston taraqqiyotining poydevori" deb nomlangan
asarida ta'kidlaganidek "Bugungi kunda oldimizga qo‘yilgan buyuk
maqsadlarimizga, ezgu niyatlarimizga erishishimiz, jamiyatimizning
yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirilayotgan
islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi, taqdiri - bularning barchasi,
avvalambor, zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli
mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chamabarchas bog‘liqligini
barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga, hammamiz yana bir haqiqatni
anglab yetmoqdamizki, faqatgina chinakam ma'rifatli kishi, inson qadrini, millat
qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda, o‘zligini anglash, erkin va ozod jamiyatda
yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga mos obro‘li o‘rin
egallashi uchun fidoyilik bilan hissa qo‘shishi mumkin".
Matematika fani yoshlarning mantiqiy fikrlash qobiliyatini o‘stiruvchi
vosita sifatida maktablarda qadimgi Yunonistonda o‘qita boshlangan. Yangi era
boshlarida Xitoyda sonlar nazariyasi, Hindistonda o‘nli sanoq sistemasi, O‘rta
Yer dengiz sohillarida trigonometriya yaratila boshlagan. VII –VIII asrlardan
boshlab ilm-fan taraqqiyotining markazi O‘rta Osiyoga ko‘chdi. O‘z ilmiy
ishlari bilan butun dunyoga tanilgan Muhammad Muso al-Xorazmiy, Ahmad
Farg‘oniy, Abu Rayhon Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Abu Nasr Forobiy, Ismoil
Buxoriy, Umar Hayyom, Ulug‘bek va boshqalar shu O‘rta Osiyoda yashab ijod
qilganlar.
Sharq mamlakatlari olimlarining qilgan ishlari XIV – XVI asrlar
Yevropadagi ilm-fan rivojiga asos bo‘ldi desak, hech ham mubolag‘a bo‘lmaydi.
Keyingi yillarda bu olimlarning davomchilari sifatida Respublikamizdan
ko‘plab matematiklar yetishib chiqdi. Ular matematika fanining asosiy
yo‘nalishlari bo‘yicha maktablar yaratdilar. Masalan, ehtimollar nazariyasi
maktabi – S.X.Sirojiddinov, T.A.Sarim-soqov, T.A.Azlarov, matematik fizika

4va differensial tenglamalar maktabi – Sh.A.Alimov, M.S.Salohiddinov,
N.Yu.Satimov, S.N.Lakayev, algebra va analiz maktabi – T.A.Sarimsoqov, J.
Xojiyev, Sh. Ayupov, A. Sa’dullayev, I.A.Ikromov, matematika tarixi –
G.P.Matviyevskaya, S.A.Ahmedov maktablariga asos solindi.

5II .ASOSIY QISM
2.1. Funksiya tushunchasini umumlashtirish
Ma’lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha
ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror to‘plam bo‘lsin. Agar har bir
x 
X songa
f qoida bo‘yicha aniq bir
y = f ( x ) son mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X
to‘plamda
f funksiya aniqlangan deyiladi. Bunda X to‘plam f funksiyaning
aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan
tashkil bo‘lgan
E ( f ) = { y : y
= E ( f
)
f ( x ), to‘plam
f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni
x  X }.
Agar sonli to‘plamlar o‘rnida ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda
funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz.
Bizga ixtiyoriy
X va Y metrik fazolar berilgan bo‘lsin. Agar har bir
x  X
elementga biror f qoida bo‘yicha Y to‘plamdan yagona y element mos
qo‘yilsa, u holda X to‘plamda aniqlangan va Y to‘plamdan qiymatlar qabul
qiluvchi f akslantirish berilgan deyiladi. X to‘plamda aniqlangan va
Y
to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi
f akslantirish
f : X 
Y kabi belgilanadi.
Biz asosan quyidagi belgilashlardan foydalanamiz:
N 
natural sonlar
to‘plami, Z 
butun sonlar to‘plami, Q  ratsional sonlar to‘plami, R 
haqiqiy
sonlar to‘plami,
R = [0,  ),
Z

= {0} ∪
N hamda R n
sifatida n 
o‘chamli
arifmetik Evklid fazosi.
Har
bir
a 
X uchun unga mos qo‘yilgan b = f ( a )
 Y element a
elementning f akslantirishdagi tasviri yoki aksi deyiladi. Umuman, X
to‘plamning biror A qism to‘plami berilgan bo‘lsa, A to‘plam barcha

6elementlarining Y dagi tasvirlaridan iborat bo‘lgan to‘plam, A to‘plamning f
akslantirishdagi tasviri yoki aksi deyiladi va
f (
A ) kabi belgilanadi. b  Y
ixtiyoriy element bo‘lsin.
X to‘plamning b ga akslanuvchi barcha elementlari
x 2
 1.
b
elementning f akslantirishdagi asli deyiladi va f  1
( b ) kabi belgilanadi.
f : X 
Y akslantirishda B 
Y to‘plam
uchun X ning B ga o‘tuvchi
(akslanuvchi) qism to‘plami B to‘plamning
f akslantirishdagi asli deyiladi va
f  1
( B ) = { x  X : f ( x ) 
B } kabi
belgilanadi. Agar barcha b 
B elementlar
uchun ularning
f  1
( b ) aslilari bo‘sh bo‘lsa, u holda
B to‘plamning asli ham
bo‘sh to‘plam bo‘ladi.
3.1-teorema. Ikki to‘plam birlashmasining asli ular aslilarining
birlashmasiga teng, ya’ni
f  1
 A ∪ B   f  1
 A  ∪ f  1
 B 
3.2-teorema. To‘plamlar kesishmasining asli ular aslilarining
kesishmasiga teng, ya’ni
f
1A ∩ B  f 1A∩ f  1
 B 
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlar birlashmasi va
kesishmasi uchun ham 3.1 va 3.2-teoremalar o‘rinli, ya’ni
f
 1 
 ∪
A α 
  ∪
f
 1 
A α 
, f
 1 
 ∩
A α 
  ∩
f
 1 
A α 
 α  α  α  α
3.3-teorema. Ikki to‘plam birlashmasining tasviri ular tasvirlarining
birlashmasiga teng
f  A ∪ B   f  A  ∪ f  B 
3.3-teorema ham ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlar uchun
o‘rinli bo‘ladi, ya’ni
f 
 ∪
A α 
  ∪
f
 A α

tenglik o‘rinli.

$ 0, agar  0 7 α  α 3.1-eslatma. Umuman olganda, ikkita to‘plam kesishmasining aksi ular aksilarining kesishmasiga teng emas. Bunga quyida keltirilgan 3.12-misolda ishonch hosil qilamiz. f : X  Y akslantirishga misollar keltiramiz. 3.1-misol. f : R  R , f ( x )  qismi. 3.2-misol. g : R  R , g ( x ) = [ x ]. Bu yerda [ x ] belg i x sonining butun 3.3-misol. Dirixle funksiyasi D : R  R , D ( x )   1, agar  x  Q , x  R \ Q . 3.4-misol. Riman funksiyasi R 0 : R  R ,  1 , x  m  Q  qisqarmas kasr R ( x )   n n   0, x  R \ Q . 3.5-misol. Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi P : R 2  R , P ( x , y ) = x . 3.6-misol. Sferik akslantirish S : R 3  R , S ( x , x , x ) = x 2  x 2  x 2 . 1 2 3 1 2 3 3.7-misol. Yuqorida, 3.1-3.6 misollarda keltirilgan akslantirishlarning qiymatlar sohalarini toping. Yechish. 3.1-misolda keltirilgan f : R  R akslantirishlarning qiymatlar sohasi E ( f )  [1,  ) dan iborat. Chunki barcha x  R lar uchun  1 va ixtiyoriy x 2  1$

y
8y  [1,  )
uchun f ( y  1)  tenglik o‘rinli.
3.2- misolda keltirilgan
g : R  R ,
g ( x ) =
[ x ] akslantirishlarning
qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko‘ra
E ( g ) =
Z dan iborat.
Dirixle funksiyasi
D : R 
R ning qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko‘ra
E ( D ) = {0;1} ikki nuqtali to‘plamdan iborat.
Riman funksiyasi
R
0 : R  R
ning qiymatlar sohasi,
E ( R )  
1
1 1

0  0,1, , , ..., ,...
 .
 2
3 n

Ortogonal proyeksiyalovchi akslantirish
P : R 2

R , P ( x , y ) =
x ning
qiymatlar sohasi
E ( P ) =
R dan iborat.
Sferik akslantirish
S : R 3
 R , S ( x , x , x ) = x 2
 x 2

x 2 ning
qiymatlar sohasi E ( S ) =
R
 dan iborat. 1 2 3

9akslantirishning syuryektivligini, yechimning yagonaligi esa uning inyektivligini
ta’minlaydi. Bu tenglamaning yechimi yagona bo‘lib u
x = c 
b
a dir.

103.11-misol. Agar
f : X 
Y biyektiv akslantirish bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
A 
X uchun f : A  B
( B = f (
A )) ham biyeksiya bo‘lishini isbotlang.
Yechish
. f ( A ) =
B ekanligidan uning syuryektiv akslantirish ekanligi
kelib chiqadi, inyektivligi esa
f : X 
Y ning inyektivligidan kelib chiqadi.
3.12-misol. 3.5-misolda keltirilgan proyeksiyalash akslantirishi
P ( x , y ) = x va
A = {( x ; y ) : 0  x  1, y =
0}, B = {( x ; y ) : 0  x  1, y =
1}
to‘plamlar berilgan.
ko‘rsating.PA ∩ B  PA∩
PB
tenglik o‘rinli emasligini
Yechish. A va B kesmalar o‘zaro kesishmaydi, ya’ni
A ∩ B =
 . Ammo
ularning
P akslantirishdagi tasvirlari ustma-ust tushadi, ya’ni P ( A ) = [0;1],
P ( B ) = [0;1]
va P ( A ) ∩ P ( B ) = [0;1].
Biroq P ( A ∩ B ) =  .
Uzluksizlik va tekis uzluksizlik
X   X ,
ρ  va Y   Y ,
d  – metrik fazolar, f – esa X ni
Y ga
akslantirish bo‘lsin. Shunday qilib, har bir
x 
X elementga yagona
y  f
 x   Y element mos qo‘yilgan bo‘lsin.

11Ta’kidlash lozimki, agar X metrik fazodagi masofani
X 
X metrik
fazoni
R

:  [0,
 ) metrik
fazoga akslantirish deb qarasak, - uzluksiz
akslantirish bo‘ladi. Bu yerda
X 
X
  x, y: x, y  X
 to‘plamda  x
1 , x
2  va
 y
1 , y
2
 juftliklar
orasidagi masofa d  x1, x2 , y1, y2  = x1 , y1 + x2 , y2

formula yordamida aniqlanadi. Endi akslantirishning uzluksizligini
ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy  x
0 , y
0   X  X nuqtani olamiz va uni tayinlaymiz.
Keyin
ixtiyoriy
 x , y   X 
X
foydalanamiz: nuqta olib, metrikaning uchburchak aksiomasidan
ρx, y 
ρx, x0
  ρx0 , y   ρx, x0
  ρx0 , y0
  ρy0 , y,
ρx0 , y0
  ρx0 , x  ρx, y   ρy, y0
.
Bu ikki tengsizlikdan
ga kelamiz. Agar
ρx, y ρx0 , y0

 ρ x, x0  ρy0 , y
d  x, y,
x0 , y0
 = x, x0 + ρy, y0   ε
desak, u holda
akslantirish ekan. ρ  x , y   ρ  x
0 , y
0  
ε bo‘ladi, ya’ni uzluksiz
Agar
f : X 
Y akslantirish
X va Y metrik fazolar o‘rtasida o‘zaro bir
qiymatli
(biyektiv) moslik o‘rnatsa, u holda Y ni X ga akslantiruvchi
x  f
1y
teskari akslantirish mavjud bo‘ladi. Agar f o‘zaro bir qiymatli
moslik bo‘lib,
f va
f  1
akslantirishlar uzluksiz bo‘lsa, u holda
f gomeomorf

12akslantirish yoki gomeomorfizm deb ataladi, X va Y fazolar esa gomeomorf
fazolar deb ataladi. Gomeomorf metrik fazolarga
R     ;
  sonlar o‘qi va

1,1 
intervallarni misol sifatida qarash mumkin. Bu holda gomeomorfizm
y  2
arctgx
π formula yordamida o‘rnatiladi.
Agar
X   X , ρ 
va Y   Y ,
d  metrik fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli
(biyektiv)
moslik o‘rnatuvchi f akslantirish ixtiyoriy
x
1 , x
2 
X lar
uchun
ρx1, x2
  d  f x1 , f
x2
 shartni
qanoatlantirsa, f akslantirish izometriya
deyiladi, X
va Y fazolar esa izometrik fazolar deb ataladi.
X va Y metrik fazolarning izometrikligi, ular elementlari orasidagi metrik
bog‘lanishlar bir xil bo‘lib, faqatgina ular elementlarining tabiatiga ko‘ra bir -
biridan farq qilinishini bildiradi. Ular orasidagi bu farq metrik fazolar nazariyasi
nuqtai - nazaridan muhim emas. Bundan keyin o‘zaro izometrik fazolarni aynan
bitta fazo deb qaraymiz.
4.1. (  ;  )
da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz bo‘lmagan funksiyaga
misol keltiring.
f ( x )  x 2
.
4.2. Lipshits shartini qanoatlantiruvchi akslantirish tekis uzluksiz
akslantirish bo‘lishini isbotlang.
4.3. K ( t ,
s )
uzluksiz bo‘lsa, funksiya [ a ; b ]
 [ a , b ] kvadratda ikkala argumenti bo‘yicha
b Ax ( t ) 


 
13 4.6. ( X ,
ρ ) metrik fazo, A 
 , A 
X biror to‘plam bo‘lsin. d : X  R
funksiya
d ( x ) 
inf ρ ( x ,
y )
y  A tenglik bilan aniqlangan. Shu akslantirishning tekis
uzluksiz ekanligini isbotlang.
4.7. R 2
to‘plamda ρ ( x , y )
 metrika, C −
kompleks sonlar to‘plamida
d ( z
1 , z
2 )  | z
1  z
2
| metrika kiritilgan. Bu
fazolarning izometrik ekanligini isbotlang.
4.8. X va Y lar metrik fazolar bo‘lsin.
fazolarning izometrik ekanligini isbotlang. X  Y
va Y 
X metrik
4.9. x  1
cos x 
2 3 tenglama yagona yechimga ega ekanligini isbotlang.
Tenglama yechimini 0,001 aniqlik bilan toping.
4.10. Agar
f : R  R
va |
f (x) | q  1 bo‘lsa,
x  f
( x ) tenglama
yagona yechimga ega ekanligini isbotlang.
4.11. Agar
f :[ a ; b ]  [ a ; b ]
uzluksiz funksiya akslantirish bo‘lsa,
x  f ( x ) tenglamaning yechimi mavjudligini isbotlang.
4.12. Agar
f : R  R
uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, ushbu
0  α |
f (x) | β
,
x 
R shart o‘rinli bo‘lsa, f ( x ) 
0 tenglama yagona
yechimga ega ekanligini isbotlang.
4.13. R
n fazoda
S n  1



 x  ( x
1 ,
x
2 , … , x
n ) : n


x
i
i  1 
1, x  0 
i
( x 
y  2
  x 
y
 211 22

14qism to‘plam simpleks deb ataladi. Agar
P  ( p
ij
), i , j  1,
n matritsa
elementlari
p
ij 
0 n
va

p
ij
i  1  1 shartlarni qanoatlantirsa, P stoxastik
matritsa deyiladi.x  Px
akslantirish S n
 1
simpleksni o‘zini- o‘ziga
akslantirishini ko‘rsating.
S n
 1
to‘plamda
ρ ( x , y ) 
n
 |
x
i
i  1  y
i |, x , y  S n
 1
metrika kiritilgan bo‘lsin. Agar P matritsaning biror satri musbat elementlardan
iborat bo‘lsa ( p
i 1  0, p
i
2  0, … , p
in  0 )
, Px 
x tenglama
S n  1
simpleksda yagona yechimga ega bo‘lishini isbotlang.

152.2. Qisuvchi akslantirishlar prinsipi va uning tadbiqlari
Berilgan shartlarda tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi bilan
bog‘liq masalalarni mos metrik fazolardagi biror akslantirishning qo‘zg‘almas
nuqtasi mavjudligi va yagonaligi haqidagi masala ko‘rinishida ifodalash
mumkin. Qo‘zg‘almas nuqta mavjudligi va yagonaligi belgilari ichida eng sodda
va shu bilan birga juda muhim belgi - bu «qisuvchi akslantirishlar prinsipi» deb
nomlanuvchi belgidir.
5.1-ta’rif. X metrik fazo va uni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi A
akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar shunday α
 (0;1) son mavjud bo‘lib, barcha
x , y 
X nuqtalar
uchun
ρAx ,
Ay   α ρx,
y (5.1)
tengsizlik bajarilsa, A qisuvchi akslantirish deb ataladi.
Har bir qisuvchi akslantirish uzluksizdir. Haqiqatan ham, agar
x
n  x
ρxn
, x 
0
bo‘lsa, u holda ρAx n ,
Ax   α ρxn , x
bo‘lgani uchun
Ax
n  Ax .
Agar
A : X 
X akslantirish uchun shunday x 
X nuqta mavjud bo‘lib
Ax  x
deyiladi. tenglik
bajarilsa, x nuqta A akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi
5.1-teorema. (Qisuvchi akslantirishlar prinsipi). To‘la metrik fazoda
aniqlangan har qanday qisuvchi akslantirish yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega .
I sbot . X metrik fazodan ixtiyoriy x
0 nuqtani olamiz. Keyin
x
1  Ax
0
, x
2  Ax
1  A 2

x
0 , x
3  Ax
2  A 3
x
0 ,..., x
n  Ax
n 
1  A n
x
0
, … nuqtalar
ketma-ketligini qaraymiz. Ixtiyoriy
m , n ( n 
m ) natural sonlar uchun

n m 0 0 0 m 
n
n
R
i
n
n
R n

1
16ρ  x , x   ρ  A n
x , A m
x   α n
ρ  x , x 
 α n
 ρ  x
0 , x
1   ρ  x
1 , x
2   ...  ρ  x
m 
n 
1 , x
m 
n  
5.1. R n
fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va
 Ax 
i 

a
ij x
j 
b
i ,
j  1 i  1 , 2 , … ,n
formulalar orqali aniqlangan A akslantirishning qisuvchilik shartlarini toping.
Yechish. Qanday shartlarda A qisuvchi akslantirish bo‘ladi? Bu savolga
javob fazoda qanday metrika berilishiga bog‘liq. Biz quyida uch xil variantni
qaraymiz:
a)

fazo, ya’ni
ρ ( x, y )  max x  y
1  i  n
bo‘lsin.
ρ ( y ', y ") 
max
y 
y′
 max

a x  x′ 
 max


a
x  x′ 
i
i
1  i  n 1  i 
n ij j
j
j  1 1  i 
n ij j j
j  1
n
 max
a 
max
x 
x′  
max n a

ρx, x′ .
1  i  n 
ij j  1 1  j  n
j j 


1  i  n 
j 
1 ij 

Bu yerdan kelib chiqadiki, A qisuvchi akslantirish bo‘lishi uchun
max

a
i
j  α 
1 (5.2)
1  i  n
j  1
shartning bajarilishi yetarli. Shuning uchun
n
fazoda (5.2) shartni A
akslantirishning qisuvchilik sharti sifatida qabul qilamiz.
b) n n
R

n n
1
17fazo, ya’ni
bo‘lsin. U holda n
ρ ( x , y ) 

x
i  y
i
i  1ρ ( y,
y′ ) 
 y  y′
   a x  x′   

a
x  x′ 
i
i  1 i
i 
1 ij j
j
j  1 ij j j
i  1 j  1

n

n
a
  x  x′
 
max n
a 
 n a x  x′  max

n
a   ρx, x′ .
 

j  1 
i  1 ij 
j
 j 

1 
j  n 
i 
1 ij 
 
ij
j j  1 j 

1 
j  n 
i 
1 ij 

Bu yerdan ko‘rinadiki, A akslantirish uchun qisuvchilik sharti
n
fazoda
ko‘rinishga ega. max

1  j  n
i 
1 a
i
j  α 
1 (5.3)
c) R n
fazo ya’ni
ρ ( x , y ) 
bo‘lsin. U holda
n
n

n
 2
ρ 2 ( y, y′ )   y  y′2
   a
x  x′  
i
i
i  1 i  1

j  1 ij j j


n


n
a 2

 n x
 x′ 2   n
n
a

2   ρ 2 x, x′ .
 

i  1


j  1 ij 
 
j
j j  1 


j  1
i  1 ij 

Yuqorida keltirilgan tenglik va tengsizliklarga ko‘ra
akslantirishning qisuvchilik sharti R n
fazoda A
n n
2
  a
ij  α 
1 (5.4)n
n n
R
 n

x  y
 2
i 1 iin

n

1
18ko‘rinishga ega. j  1 i  1
Shunday qilib, agar (5.2)-(5.4) shartlardan birortasi bajarilsa, u holda
yagona
x   x
1 , x
2 , … , x
n  nuqta mavjud bo‘lib,
x
i 

a
ij x
j 
b
i ,
j  1 i  1 , 2 , … ,n
bo‘ladi. Bundan tashqari bu nuqtada ketma-ket yaqinlashishlar quyidagi
ko‘rinishga ega
x ( k )



a x ( k  1 )

b
, x  k 


x ( k )
,x ( k
)
,, x( k )
, k  1 , 2 , 3 ... .
i ij
j
i j  1 1 2 …
n
Bu yerda
x0
 x( 0 ) , x( 0 ) ,...,x ( 0
) 
sifatida R n
dagi ixtiyoriy nuqtani qabul qilish
mumkin. 1 2 n
Qaralayotgan
y 
Ax akslantirish
qisuvchi bo‘lishi uchun (5.2)- (5.4)
shartlarning ixtiyoriy birining bajarilishi yetarli. Isbotlash mumkinki, (5.2) va
(5.3) shartlar mos ravishda
n

va n
fazolarda y 
Ax akslantirish qisuvchi
bo‘lishi uchun zarur ham bo‘ladi.
Ta’kidlash lozimki, (5.2) - (5.4) shartlarning birortasi ham ketma-ket
yaqinlashishlar usulining tadbig‘i uchun zarur emas. n
R
R



192.3.Qisuvchi akslantirishlar prinsipining integral tenglamalarga tadbiqi
Fredholm tenglamasi .
Qisuvchi akslantirishlar prinsipini ushbu
b
f ( x )  λ

K ( x , y ) f ( y ) dy  φ (x)
a (5.5)
ikkinchi tur Fredholm integral tenglamasi yechimining mavjudligi va
yagonaligini isbotlash uchun qo‘llaymiz. Bu yerda K integral tenglama yadrosi
va φ - berilgan funksiyalar, f - izlanayotgan (noma’lum) funksiya, λ esa -
haqiqiy parametr.
Ko‘rsatamizki, qisuvchi akslantirishlar prinsipini λ parametrning
yetarlicha kichik qiymatlarida qo‘llash mumkin.
Faraz qilamiz,
K ( x ,
y ) -
[ a , b ]
 [ a , b ] kvadratda, φ (x) - [ a , b ] kesmada
uzluksiz funksiyalar bo‘lsin. Shunday ekan, musbat
M son mavjud bo‘lib,
barcha
x , y  [ a , b ]
uchun K( x, y ) 
M tengsizlik bajariladi. To‘la C [ a , b ]
fazoni o‘zini- o‘ziga
b
g ( x )  λ

K ( x , y ) f ( y ) dy 
φ ( x )
a (5.6)
formula vositasida akslantiruvchi
g 
Af akslantirish berilgan bo‘lsin. U holda
yoki ρ  g
1 , g
2   max g
1  x   g
2  x 
 λ
a x b M  b 
a   max
a  x  b
f1x f2 x
Shunday ekan,
ρAf 1 , Af 2 
 λ
M 
b
 a 
 ρ 
f 1 , f 2 
.
λ  1
M   b  a 

21bo‘lganda A qisuvchi akslantirish bo‘ladi. Qisuvchi akslantirishlar prinsipiga
asoslanib xulosa qilamizki, (5.7) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy λ da (5.5)
Fredholm tenglamasi yagona uzluksiz yechimga ega.
Bu yechimga intiluvchi ketma-ket yaqinlashishlar f
0
,
b f
1 ,..., f
n ,...
f
n ( x )  λ

K ( x , y ) f
n 
1 ( y ) dy  φ ( x )
a
ko‘rinishga ega, bu yerda
mumkin. f
0 sifatida ixtiyoriy uzluksiz funksiyani olish
Chiziqlimas integral tenglamalar . Qisuvchi akslantirishlar prinsipining
b
f ( x )  λ

K ( x , y ; f ( y )) dy  φ ( x )
a
ko‘rinishdagi chiziqlimas integral tenglamalarga tadbiqini qaraymiz. Bu yerda
K va φ funksiyalar uzluksiz bo‘lib, bundan tashqari K o‘zining 3 - chi
funksional argumenti bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantirsin, ya’ni shunday
L 
0 mavjud
bo‘lib,
K ( x , y ; z
1 )  K ( x , y ; z
2 )  L z
1  z
2
tengsizlik barcha
x , y  [ a , b ]
va z
1 ,
z
2 lar uchun o‘rinli bo‘lsin. Bu holda C [ a , b ]
fazoni o‘zini- o‘ziga
b
g ( x )  λ

K ( x , y ; f ( y )) dy  φ ( x )
a
formula vositasida akslantiriuvchi
g 
Af akslantirish uchun
max
a  x 
b g
1  x   g
2  x  
λ L  b 
a   max
a  x  b
f1x f
2  x 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda
g
1 
Af
1 , g
2  Af
2 . Shunday ekan,

1 1
2
2
23M  max
a  x , y  bK x, y .
Olingan tengsizlikdan kelib chiqadiki,
A2
Umuman, f
(x)
 A2 f
(x)
 λ 2

M ( x  a ) 2
2


2 max
a 
x  b f
1 ( x )  f
2 ( x ) .
Anf
(x) 
An f (x)
 λ
n 
M n 
( x 
a ) n

n ! 
max
a 
x  b f
1 ( x )  f
2 ( x ) 
 λ n
 M
n
 ( x  a ) n
n !
 ρ f1, f2 .
Ixtiyoriy λ uchun n nomerni shunday tanlash mumkinki,
λ n
 M n

( b  a ) n

n!
tengsizlik bajariladi. U holda
B 
A n akslantirish qisuvchi bo‘ladi. ∆
Shuning uchun, yuqoridagi tasdiqqa asosan (5.8) Volterra tenglamasi har
qanday λ da yagona yechimga ega.
5.1. Diskret metrik fazoda
qanday akslantirish qisqartirib akslantirish
bo‘ladi?
5.2.
S   z
: | z | 
1
aylana
bo‘lsin. f : S  S
qisqartirib akslantirish
mavjudmi?
5.3. X
metrik fazo,
f : X  X
qisqartirib akslantirish bo‘lsin. U holda f
akslantirish uzluksiz va hatto tekis uzluksiz bo‘lishini isbotlang.
5.4. X to‘la metrik fazo va
f
i : X  X ( i 
1,2) akslantirishlar berilgan
bo‘lsin. Agar
f
1 qisqartirib akslantirish bo‘lsa, hamda
f1

∘ f
2

f2 ∘ f1
tenglik o‘rinli bo‘lsa, mavjudligini isbotlang.1

24f
2 akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi
5.5. R 2
metrik fazoda (Evklid tekisligi) yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega
bo‘lgan izometriya − shu nuqta atrofida burishdan iborat ekanligini
isbotlang.
5.6.
C [  a ; a ]
metrik fazo va f
i : C [  a ; a ]  C [  a ; a ] ( i  1,2)
5.7. t

25XULOSA
Ma’lumki, matematikaning barcha sohalarida metrik fazolar va
akslantirishlar nazariyasi ularning xossalaridan keng foydalanib kelinmoqda.
Jumladan matematik analiz, funksional analiz va ehtimollar nazariyasi fanlarida
metrika (masofa) akslantirishlar (operatorlar) va stoxastik matritsalar ularning
xossalaridan keng foydalaniladi.
Bitiruv malakaviy ishida keltirilgan nazariy ma’lumotlar [1], [4], [6], [7],
[8], [10] adabiyotlardan olindi. Masalalar esa [2], [3], [5], [11] kitoblardan
tanlab olingan. I bobda metrik fazolar, to‘la metrik fazolarga misollar qaralgan.
Metrik fazolarning asosiy xossalari o‘rganilgan, metrik fazoning to‘la
bo‘lishining zarur va yetarli sharti «ichma-ich joylashgan yopiq sharlar haqidagi
teorema» isboti bilan keltirilgan. II bobda akslantirishlar, ularning sodda
xossalari jumladan to‘plamlar (chekli yoki cheksiz) birlashmasining asli ular
aslilarining birlashmasiga tengligi
f
 1 
 ∪
A α 
  ∪
f
 1
 A

, xuddi
shunday
 α  α
to‘plamlar kesishmasining asli ular aslilarining kesishmasiga tengligi
f
 1 
 ∩
A α 
  ∩
f
 1
 A

, to‘plamlar birlashmasining tasviri ular
tasvirlarining
 α  α
birlashmasiga tengligi
f 
 ∪
A α 
  ∪
f
 A
 ko‘rsatilgan. Lekin ikkita to‘plam
 α  α
kesishmasining aksi ular aksilarining kesishmasiga teng bo‘lavermasligi ya’nif
A ∩ B

f A∩ f
B
tenglik doim o‘rinli bo‘lmasligiga misol (3.12- misolga
qarang) keltirilgan. Uzluksiz, tekis uzluksiz, Gyolder va Lipshits shartini
qanoatlantiruvchi akslantirishlar bir-biriga bog‘lab (qiyoslab) o‘rganilgan.
Gomeomorf va izomorf akslantirishlarga misollar qaralgan, ularning
xossalaridan foydalanib izometrik metrik fazolar haqida ma’lumotlar olingan.
Stoxastik va qisqartirib akslantirishlar ehtimollar nazariyasi va integral
tenglamalarga oid masalalarini yechishga tadbiq qilishga yo‘naltirilib

26o‘rganilgan. Qisqartirib akslantirishlar prinsipini chiziqli bo‘lmagam integral
tenglamalarga nadbiq qilish mumkinligi ko‘rsatilgan.
Kurs ishi mavzusiga oid ko‘plab misollar keltirilgan.
Keltirilgan misollarning 40 % i yechib ko‘rsatilgan.
Metrik fazoda akslantirishlar mavzusiga oid materiallar bir sistemaga solib
o‘rganildi. Ishni bajarish jarayonida metrik fazoda berilgan akslantirishlar
xossalaridan samarali foydalanish usullari keltirildi.

27Foydalanilgan adabiyotlar
1. J.I. Abdullayev, R.N. G‘anixo‘jayev, M.H. Shermatov, O.I.Egamberdiyev.
«Funksional analiz». Darslik. Toshkent. LIGHT-GROUP. 2015.
2. J.I.Abdullayev, Y.Eshqobolov, R.N.G‘anixo‘jayev. Funksional analiz.
Misol va masalalar yechish. O‘quv qo‘llanma. I qism. Toshkent. Tafakkur-
Bo‘stoni. 2015.
3. J.I. Abdullayev, Y.X. Eshqobolov, I.A. Ikromov, R.N. G‘anixo‘jayev.
Funksional analiz. Misol va masalalar yechish. O‘quv qo‘llanma. II qism.
Toshkent. Tafakkur-Bo‘stoni. 2016.
4. A.Abdushukurov, T.Zuparov. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika.
Darslik.Toshkent. Tafakkur-Bo‘stoni. 2015.
5. A.Abdushukurov, N.Nurmuhamedova, K.Sagidullayev. Matematik
statistika. O‘quv qo‘llanma. Toshkent. Universitet. 2013.
6. Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev. Funksiyalar
nazariyasi. Toshkent. 2004.
7. Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev. Funksional analiz.
Toshkent. 2008.
8. Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi.
Toshkent: Fan. 1994.
9. Sarimsoqov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent: O‘qituvchi. 1986.
10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. Москва: Наука. 1989.
11. В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. Задачи и
упражнения по функциональному анализу. Москва: Наука. 1984.

28ANDIJON DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
Talabalarning kurs ishlarini himoya qilish hay’ati yig‘ilishining
YOZMA BAYONNOMASI №____
Qatnashdilar: Hay’at a’zolari, kurs ishi yozgan talabalar, kurs ishi rahbarlari.
Talaba: __________________________________________ ning
“ _________________________________________________ ” mavzusidagi ma’ruzasi
tinglandi.
Savollar______________________________________________________________________
____________________________________________________________
Javoblar______________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Aniq fanlar fakultetining “Matematika va informatika” kafedrasida
__________________________________ fani bo‘yicha ________________________
__________________________________________________________________________
mavzusida yozilgan kurs ishining sifati haqida
XULOSA
Kurs ishning rahbari: o’qit: ____________________________
1. Kurs ishi mavzusining tahlili ______ ___________________________________
___________________________________________ _______ __________________
____ ___ _____________________________________________________________
2. Kurs ishining chizma va rasmiylashtirish bo‘yicha bahosi ___ _____ ____________
____________________________________________________________________
3. Kurs ishining tajriba-eksperiment bo‘yicha bahosi __________________________
4. Kurs ishining sifati haqida xulosalar va ishning sifatini yaxshilashga qaratilgan takliflar
______________________________________________________________
Kurs ishining ba h osi ______________________
Kurs ishining rahbari ______________________
Kafedra mudiri ______________________

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Akslantirishlar

O'xshash dokumentlar