Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni

Dokument ma'lumotlari

Narxi	34999UZS
Hajmi	153.8KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	09 Yanvar 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Navruz

Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2023

25 Sotish

Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni

Sotib olish

Mundarija
Kirish ……………………………………………………………….….….6
1-BOB. Integralning Tanishuvchi Tushunchasi :
1.1 I ntegralning tushunchasi va umumiy maqsadi
1.2. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda integrallash .
2-BOB. Integralning Hisoblanishi
2.1. Integralning xususiyliklari
2.2 Definite integralni hisoblash usullari: to'g'ri integrallash, qo'shimcha
usullar, almashtirishlar.
Xulosa ……………………………….…….……………………………....…33
Foydalanilgan adabiyotlar …………………….………………………........….36
1

1-BOB. Integralning Tanishuvchi Tushunchasi :
Integral matematikada, bir funksiyaning belgilangan araligida
integrallanishi uchun ishlatiladi. Integralning tanishuvchi tushunchasi
quyidagi shaklda ifodalay oladi:
Definitsiya: Integral, funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishi,
ya'ni bir funksiya � ( � ) f ( x ) ni kesilayotgan kesmada maydonning yuzasi
sifatida tasavvur qilinadi.
Integralning belgilangan oraliqda (kesmada) hisoblanishi uchun
integrallanuvchi funksiya va integrallanuvchi oraliq (kesma chegaralari)
belgilanishi kerak.
Integralning umumiy formula ko'rinishi quyidagicha:
∫ �� ( � ) �� ∫ ab f ( x ) dx
Bu formulada, � ( � ) f ( x ) integrallangan funksiya, � a va � b esa
integrallanish kesmada bo'lgan oraliqlar.
Integral matematik tahlil tushunchalariga tegishli va abssissada
chegaralangan integral chiziqli trapetsiya maydonini grafik jihatdan
birlashtiradi. Funksiyaning integralini topish, uning hosilasini izlashga
qaraganda ancha qiyin. Noma'lum integralni hisoblashning bir necha
usullari mavjud: to'g'ridan-to'g'ri integratsiya, differentsial belgi ostida
kirish, almashtirish usuli, qismlar bo'yicha integratsiya, Vaystrashtni
almashtirish, Nyuton-Leybnits teoremasi va boshqalar. To'g'ridan-
to'g'ri integratsiya oddiy konvertatsiyalar yordamida asl integralning
jadval qiymatiga tushirilishini o'z ichiga oladi. Masalan: ∫ dy / (sin ² y ·
cos ² y) = ∫ (cos ² y + sin ² y) / (sin ² y · cos ² y) dy = ∫ dy / sin ² y + ∫ dy / cos ² y = -
ctgy + tgy + C. Differentsial belgi ostiga kirish yoki o'zgaruvchini
o'zgartirish usuli bu yangi o'zgaruvchining o'rnatilishi. Bunday holda,
asl integral to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli bilan jadval shaklida
o'zgartirilishi mumkin bo'lgan yangi integralga qisqartiriladi: integral
(f) (y) dy = F (y) + C va ba'zi o'zgaruvchilar bo'lsin v = g (y), keyin: f (y) dy -
2

> ∫ f (v) dv = F (v) + C Ushbu usul bilan ishlashni osonlashtirish uchun ba'zi bir
oddiy almashtirishlarni eslab qolish kerak: dy = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y² + b);
sinydy = - d (shinam); shinam = d (gunohkor)
Masalan: -dy / (1 + 4 · y²) = -dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · -d (2 · y) /
(1 + (2 y) ²) = 1/2 arctg2 y +
Bo'limlar bo'yicha integratsiya quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: dudv
= u · v - dvdu Masalan: Dy · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy =
-y · shinam + siny + C
Ko'pgina hollarda aniq integral Nyuton-Leybnits teoremasi orqali topiladi: [a;
intervalda f (y) dy. b] F (b) - F (a) ga teng. Masalan: [0; intervaldan ∫y · sinydy
toping; 2 π ]: yy · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = (-2 π · cos2 π
+ sin2 π ) - (-0 · cos0 + sin0) = -2 π .
1.1 I ntegralning tushunchasi va umumiy
maqsadi
Agar [a,b] kеsmada aniqlangan f(x) funksiya uchun bu kеsmaning barcha
nuqtalarida F1 (х)=f(х) tеnglik bajarilsa, F(х) funksiya shu kеsmada f(х) funksiyaga
nisbatan bоshlang`ich funksiya dеb ataladi.
Agar F(х) funksiya biror oraliqda f(х) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u
holda F(х)+C (bu yerda C – ihtiyoriy doimiy) funksiyalar to‘plami shu kesmada f(х)
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
 f (x)dx  F(x)  C
Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni 
3

 f (x)dx' f (x)
Aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng, ya’ni
d  f (x)dx   f (x)dx
Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy
o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni
 F'(x)d x  F(x)  C
ya’ni Biror funksiyaning differentsialidan olingan aniqmas integral shu funksiya
bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng,
 d F(x)  F(x)  C
Chekli sondagi funksiyalarning algerbaik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu
funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga
teng, ya’ni
 f (x)  f (x)  f (x) d x  f (x)d x  f (x)d x  f (x)d x
Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning
eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan
chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni,
yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga
keltiriladi.
[a,b] kesmada uzluksiz y  f (x) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu
oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz.
[a,b] kesmani
a  x0, x1, x2,..., xn  1, xn  b,
bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda
x0  x1  x2  ...  xn ,
4

va
x1  x0   x1, x2  x1   x2,....,xn  xn  1   xn
So’ngra, y  f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini
quyidagicha belgilaymiz
[x , x ] m va M , 0
[x1, x ] m va M
............................
[xn  1, xn] mn va M n
Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits
formulasi
 f (x)dx
Aniq integralda quyi a chegara mahkamlangan, yuqori b chegara esa
o’zgraib tursin. U holda integralning qiymati ham o’zgarib turadi, ya’ni
integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’lib qoladi.
Yuqori chegarani x bilan, integral o’zgaruvchini t bilan belgilaymiz:
 f (t)dt
Integralga ega bo’lamiz. a o’zgarmas son bo’lganda bu integral x yuqori
chegaraning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani biz  (x)bilan belgilaymiz:
 (x)   f (t)dt
Agar f (t) - nomanfiy funksiya bo’lsa, u holda  (x) miqdor son jihatdan aAXx
egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng . x o ’ zgarganda bu yuza o ’ zgarishi
ochiq ravshan .
 (x) funksiyaning hosilasini topamiz, ya’ni (1) integraldan yuqori chegara
bo’yicha hosila olamiz.
x
Teorema 1 Agar f (x) uzluksiz funksiya va  (x)   f (t)dt bo’lsa, u holda
a
 '(x)  f (x)
tenglik o’rinli.
5

Boshqacha aytganda, aniq integraldan yuqori chegara bo’yicha olingan
hosila integral ostidagi funksiyaga teng.
Isbot. x argumentga musbat yoki manfiy  x orttirma beramiz; u holda
topamiz (6-xossa):
 (x   x)   f (t)dt   f (t)dt   f
(t)dt
 (x) funksiyaning orttirmasi
  (x   x)  (x)   f (t)dt   f (t)dt
  f (t)dt
ga teng, ya’ni
   f (t)dt
Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llaymiz (5-xossa).
  f (  )(x  x  x)  f (  )  x
bu yerda  miqdor x va x   x orasida joylashgan.
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan topamiz:
Demak,
 '(x)  lim f (  )
 x  0  x
 x  0
Ammo   x da  x  0 bo’lganligi uchun
lim f (  )  lim f (  )
 x  0
 x
f (x) uzliksiz bo’lganligi uchun
lim f (  )  f (x)
 x
Shunday qilib,  '(x)  f (x) . Teorema isbotlandi.
Nyuton-Leybnits formula aniq integrallarni hisoblashning qulay usulidir.
6

1.2. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda
integrallash
Daraj integral integral turdagi integrallarni hisoblash uchun
ishlatiladigan kuchga ko'tarilgan ma'lum bir funktsiyaga.
Xususan, bu odatda" dx^n dx "
Funktsiyaning aniq integrali, integral turi ma'lum bir diapazondagi
integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi. Aniq integralning natijalari
funktsiyaning ma'lum bir pastki va yuqori chegarasi ma'lum bir
diapazondagi umumiy o'zgarishni yoki ular orasidagi bo'shliqni
ifodalaydi. Aniq integralni hisoblash uchun belgining integrali pastki va
yuqori chegaralar qiymatlariga qo'shiladi. Misol uchun,a va B o'rtasida
funktsiya aniq integral shaklida ko'rsatilgan f(x) DX, integrallarni
hisoblaydi.
Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda
katta ahamiyatga ega bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu
uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi
funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik.
Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina
tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi.
Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta
qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga
ega. Ushbu teoremalar [a;b] kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu
xossaga ega bo‘lgan [a;b] kesmaga tegishli s nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi. 1.
Ferma teoremasi Teorema. Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va biror
ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishsa va shu nuqtada chekli f’(c)
hosila mavjud bo‘lsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladi. Isbot. f(c) funksiyaning eng katta
qiymati bo‘lsin, ya’ni  x  (a;b) da f(x) ≤ f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Shartga ko‘ra
bu s nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud. Ravshanki,
7

. Roll teoremasi Teorema (Roll teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada
aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1) [a;b] da uzluksiz; 2) (a;b) da differensiallanuvchi; 3)
f(a)= f(b) shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladigan kamida bitta c
(a<cm, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan
kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik
uchun f(c)=m bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra  x  [a,b] uchun f(x) 
f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Endi f’(c)=0 ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning
ikkinchi shartiga ko‘ra f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli
hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma
teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi. f(c)=M bo‘lgan
holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. Roll teoremasiga quyidagicha
geometrik talqin berish mumkin (20-rasm). Agar [a,b] kesmada uzluksiz, (a,b)
intervalda differensiallanuvchi f(x) funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul
qilsa, u holda f(x) funksiya grafigida abssissasi x=c bo‘lgan shunday C nuqta
topiladiki, shu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga
parallel bo‘ladi. Eslatma. Roll teoremasining shartlari yyetarli bo‘lib, zaruriy shart
emas.
f(x)=x3 , x  [-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.
8

(f(-1)=-1  1=f(1)), lekin f’(0)=0 bo‘ladi
Koshi teoremasi Teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x)
berilgan bo‘lib, 20 1) [a,b] da uzluksiz; 2) (a,b) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud,
hamda g‘(x)  0 bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a<c<a<b) nuqta
topiladi,
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Ravshanki, (1.4) tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun g(b)  g(a) bo‘lishi kerak.
Bu esa teoremadagi g‘(x)  0, x  (a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham,
agar g(a)=g(b) bo‘lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantirib, biror c  (a;b) nuqtada g‘(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa  x  (a;b) da
g‘(x)  0 shartga ziddir. Demak, g(b)  g(a)
Endi yordamchi
hosilaga ega.
So‘ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha
shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday c
(a<c<b) nuqta topiladiki F’(c)=0 boladi.
9

Shunfay qilib
va bundan (1.4) tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi. Isbotlangan
(1.4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi.
2-BOB. Integralning Hisoblanishi
Integralning hisoblanishi, matematikada bir funksiyaning belgilangan
araligida integrallanishini topishni anglatadi. Integral hisoblash jarayoni
quyidagi bosqichlardan o'tadi:
1. Antiderivativani Topish: Integralni hisoblash uchun,
integrallanayotgan funksiyaning antiderivatasi (integral funksiya)
topilishi kerak. Bu, funksiyaning tushunchasini olishga mos keladi.
Antiderivatani topish uchun integrallanayotgan funksiyaning bitta
o'zgaruvchanli funksiya bo'lishi kerak.
2. Integrallanayotgan Kesma Belgilash: Integralni aniqlash
uchun, integrallanayotgan kesmaning (maydonning) chegaralarini
belgilash kerak. Bu chegaralar � a va � b bilan belgilanadi:
∫ �� ( � ) �� ∫ ab f ( x ) dx .
3. Integral Hisoblanishi: Antiderivatani topganingizda,
integrallanayotgan kesmani o'rganing va integralni hisoblang. Bu
natija integrallanayotgan maydonning yuqori va pastki chegaralari
orasidagi maydonning sifatida ko'rsatiladi.
Integralni hisoblash uchun murakkab funksiyalarni integrallash
formulalari yoki integralning hisoblanishi uchun ba'zi kalkulyatorlar
yordam beradi. Ammo, murakkab funksiyalarni integralini topish uchun
ko'p holatda qo'shimcha integratsiya, almashtirishlar,
10

$integrallanuvchanliklar va qo'llaniladigan boshqa formulalar bilan ishlash kerak bo'lishi mumkin. Integrallashda amaliy hisoblash uchun, integrallanayotgan funksiyaning xususiyatlari va uning integrallanishi haqida ko'p bilimga ega bo'lish, matematik hisoblashning bir qancha ko'nikmalaridan foydalanish zarur. Ikki karrali integralni hisoblash. Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. D soha y = y1 (x), y = y2 (x) funksiyalar grafklari hamda x = a va x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsin, ya'ni f a < x < b \yi (x ) < y < y2 (x ) tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral quyidagicha hisoblanadi: b ff f (x, y )ds =f D a (1) Oxirgi aniq integral ichki integral deb ataladi va uni hisoblashda x ni o'zgarmas deb, integrallash y bo'yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo'ladi. D soha y2 ( x ) f f( yi( x ) x y y)dy b y 2 ( x ) dx = f dx f f (. a yi( x ) x, y y)dy с < y < d 11$

x1 ( У ) < x < x2 ( У ) tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral
d
JJ f (x, У )dxdy = J
D
x2 ( У )
J f (x, У )dx
.x1( У )
d x2 (y ) dy = J dy J f (x, y )dx _ s x1(y )
formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi. 1-misol.
JJxlnydxdy integralni D soha: 0 < x < 4, 1 < y < e to'g'ri
D
to'rtburchak bo'lganda hisoblang.
Yechish. (1) formulaga asosan,
JJ x ln ydxdy = J xdxJ ln ydy = J xdx[y ln y — y je = —
П П П 2
D
4=8.
2-misol. JJ (x — y)dxdy integralni D : y = 2 — x2, y = 2x — 1, chiziqlar
D
bilan chegaralangan soha bo'lganda hisoblang.
Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada OY o'qiga simmetrik bo'lgan
parabola. Ikkinchisi chiziq to'g'ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish
nuqtalarini topamiz:
о 2
У = 2 — x y = 2 x — 1
tenlamalar sistemasini yechib, A(— З ;—7), B(1,1) nuqtalarni topamiz. (1)
formulaga asosan,
1 2—x2
JJ (x, y)dxdy = J dx J (x — y)dy =
D
— З 2x—1
12

= J
xy
2
2—x2
1
dx = J
2x—1
x • (2 — x )
(2 — x2)2
— -
=J
—З
—З 4
2
1 fn _ З 4 — 4x2 + x4 2 4x2 — 4x + 1Л 2 x x 2 x x
J
— З
v
2
2
x • (2 x — 1) -dx =(2 x — 1)22y
Ikki karrali integralning ta'rifi.
f (x, y)funksiya biror D sohada aniqlangan bo'lsin. D sohani n ta Dz
qismlarga bo'lamiz. Har bir Dz qismda P (xt, yi ) bittadan nuqta tanlaymiz
hamda
Sn = tf ( x, yi (i)
i=l
yig'indini to'zamiz. (1) yig'indiga f (x,y)funksiya uchun D sohadagi integral
yig'indi deyiladi. X qism sohalar diametrlarining eng kattasi bo'lsin. AS;, Dt
sohaning yuzi.
13

Ta'rif. (1) integral yig'indining, qismlarga bo'linish usuliga, P nuqtalarning
tanlanishiga bog'liq bo'lmagan X ^ 0 dagi limiti mavjud bo'lsa, bu limitga f
(x, y) funksiyaning D sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va
ff f ( x y )ds
D
simvol bilan belgilanadi.
Ikki karrali integral aniq integralning ikki o'zgaruvchili(argumentli) funksiya
uchun umumlashgan holidir.
Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq
integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etam an .
2.1. Integralning xususiyliklari
Definite va Indefinite Integral Farqliklari: Definite integral, belgilangan
oraliqda (kesmada) integrallanishni ifodalaydi, va uni aniqlash uchun a va
b nuqtalari bilan belgilanadi: ∫ ∫ ab f ( x ) dx . Indefinite integral esa
antiderivatani topish uchun ishlatiladi, ya'ni integrallanayotgan
funksiyaning o'zgaruvchan funksiyasini topish uchun qo'llaniladi:
∫ ∫ f ( x ) dx .
Additivlik: Integralning additivligi, bir nechta funksiyalarni integrallash va
uning natijalarining qo'shilishi bo'yicha ruxsat beradi. Ya'ni, ∫ ( f ( x )
+ g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
Skalyar Ko'paytma Qoidasi: Skalyar ko'paytma qoidasi, integralning
skalyar ko'paytma bilan birga ishlashini ta'minlaydi. Misol uchun,
c ⋅ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( c ⋅ f ( x )) dx (bu yerda � c skalyar ko'paytma).
Integrallashning Aljabar Tashqi Ko'rinishi: Ular, bir xil miqdorda
integralni ifodalash uchun aljabar tashqi ko'rinishlarda bo'ladi. Misol
uchun, ∫ ( f ( x )− g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
Integrallash va Maydonning Geometrik Tushunchasi: Integralning
belgilangan funksiya yoki maydonning geometrik ma'nosini ifodalash
14

uchun ishlatiladi. Masalan, bir funksiyaning integrallanayotgan kesmada
maydonning yuzasi sifatida tasavvur qilinishi mumkin.
Integralning Linearlik Sifati: Integralning linearlik sifati, integralning
skalyar ko'paytma bilan ishlashi, qo'shilish va ayirishning amalga
oshirilishini ta'minlaydi. Bu sifat, integralning bir nechta funksiyalarni
birlashtirish va ulardan foydalanishda qulaylik yaratadi.
Bu xususiyliklar, integralning operatsion xususiyatlarini va uning
belgilangan funksiyalar yoki maydonlar bilan bog'liqlikni ifodalaydi.
Integrallashning aljabaraviy va geometrik yordamlari, funksiyaning
muammolarini hal qilishda va integrallashning amaliyotlari uchun
muhimdir.
Funksiyalarni qo'shish : Integralning additivligi, ikki yoki undan ko'p
funksiyalarni integrallashda integralning o'zini qo'shishning imkoniyatini
ta'minlaydi. Bu, integralning qo'shish qoidalari asosida funksiyalarni
qo'shishda ishlatiladi:
∫ ( f ( x )+ g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
Funksiyalarni ayirish: Qoidalik sifat bilan, integrallanayotgan
funksiyalarni ayirishda integralning integralini funksiyalarning
ayirishining integrali bo'lmagan oddiy funksiyalarga bo'lib ajratish
mumkin:
∫ ( f ( x )− g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
Additivlik ko'rinishi : Ushbu additivlik ko'rinishi, integralning
integrallovchi funksiyalarni qo'shish va ayirish amallarida oddiy arifmetik
qoidalari o'rganish orqali aniqlanadi. Bu xususiyat, integralning bir
nechta funksiyalarni integrallash uchun ishlatiladi va integralning
umumiy qoidalari bilan bog'liqlikni ifodalaydi.
Integralning additivligi, integrallovchi funksiyalarni operatsiyalar
(qo'shish, ayirish) orqali birlashtirishni ta'minlaydi va uning mantiqiy
tushunchasini ko'rsatadi. Bu qoidalarning amaliyotda va integralning
ko'nikmalarini aniqlashda ahamiyati katta bo'lgan matematik
konseptlardan biridir.
15

Skalyar ko'paytma qoidasi integralning xususiyatlaridan biridir. Bu qoida
integrallovchi funksiya yoki funksiyani skalyar (saniyavi) ko'paytirishda
ishlatiladi. Skalyar ko'paytma qoidasi quyidagi ko'rinishda ifodalaydi:
c ⋅ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( c ⋅ f ( x )) dx
Bu formulada c skalyar (saniyavi) ko'paytma va f ( x ) integrallanayotgan
funksiya hisoblanadi. Qoidaning bu ko'rinishi aytishicha, skalyar ko'paytma
(saniyavi ko'paytma) integralning tashqari qilinishida integral o'zini nisbatan
o'zgartirmaydi.
Bu qoida integralning skalyar ko'paytma bilan birga ishlashini mantiqiy
ko'rsatadi. Misol uchun, c ni integrallanayotgan funksiya bilan ko'paytirish,
integral o'zgaruvchanligini saqlaydi va natijada integralning qiymatini c ga
ko'paytiradi.
Skalyar ko'paytma qoidasi integralning linearni xususiyatlaridan biri
hisoblanadi va bu integralning matematik amaliyotlarida o'zgaruvchan
funksiyalarni saniyavi ko'paytirish holatlarida foydalaniladi.
Funksiyalarni qo'shish matematikada integralning bir xususiyatidir. Integralning
additivligi bo'yicha funksiyalarni qo'shish quyidagi ko'rinishda ifodalaydi:
∫ ( f ( x )+ g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
Bu formulada, f ( x ) va g ( x ) integrallanuvchan funksiyalar, va ularning
yig'indisi integrallangan holda yig'indisiga tengdir. Bu formuladan kelib
chiqadiki, ikki funksiyaning yig'indisi integrallangan holatda integralining
yig'indisi, ularning integrali hisoblanadi va integralni yig'indisi ham
integrallash mumkin.
Bunday qoida integralning qo'shish (va ayirish) qoidalari orqali
funksiyaning integrallovchi sifatlarini aniqlashda va integrallashning
mantiqiy xususiyatlarini tushuntirishda foydalaniladi. Bu qoida
integrallash uchun murakkab funksiyalarni birlashtirish va
integrallanuvchan funksiyalarni integrallashda qo'llaniladi.
16

Funksiyalarni ayirish integralning bir xususiyatidir va quyidagi ko'rinishda
ifodalay oladi :
∫ ( f ( x )− g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx
Bu formulada, f ( x ) va g ( x ) integrallanuvchan funksiyalar. Bu formuladan
kelib chiqadiki, ikki funksiyaning farqining integrali, ularning integrali
farqidan iborat bo'ladi. Bu integralning ayirish (va qo'shish) xususiyatlari
orqali funksiyaning integrallanishi bilan bog'liq mantiqiy xususiyatlarini
ko'rsatadi.
Funksiyalarni ayirish qoidasi, integrallanuvchan funksiyalarni ajratish
uchun ishlatiladi va bu ko'rinish integrallashning mantiqiy xususiyatlarini
aniqlashda, integralni hisoblashda va funksiyaning integrallovchi
sifatlarini tushuntirishda foydalaniladi.
Aniq integralning barcha xossalari birinchi tur sirt integrallari uchun o’rinlidir.
Agar
sirtning Oxy tekislikka proyeksiyasi ху bir qiymatli bo’lsa, ya’ni Oz o’qqa
parallel
har qanday to’g’ri chiziq sirtni faqat bitta nuqtada kessa, mos birinchi tur sirt
integralni hisoblashni ushbu formula orqali ikki o’lchovli integralni
hisoblashga
keltirish mumkin:
bu yerda z = z(x, u) — sirtning tenglamasi.
Xususan, agar sirt yopiq bo’lsa va Q fazoning biror sohasini chegaralasa, u
holda sirtning musbat yoki tashqi tomoni deb uning normal vektorlar Q
sohadan
yo’nalgan tomoni, manfiy yoki ichki tomoni deb uning normal vektorlari Q
sohaga
yo’nalgan tomoni aytiladi. Musbat (tashqi) va manfiy (ichki) tomonlari
mavjud
bo’lgan sirtlar ikki tomonlama sirtlar deyiladi. Ular uchun quyidagi xossa
o’rinlidir.
17

Agar → n normal vektorning asosini bunday sirtda yotuvchi istalgan
yopiq L
kontur bo’ylab uzluksiz ko’chirilsa, dastlabki nuqtaga kaytganda →n ning
yo’nalishi dastlabki yo’nalish bilan bir xil bo’ladi.
Bir tomonlama sirtlar uchun →nnormal vektorning bunday ko’chishi
dastlabki
nuqtaga qaytilganda ( — →n) vektorga olib keladi.
Ma’lum tomoni tanlangan sirt orientatsiyalangan deyiladi.
2.2 Definite integralni hisoblash usullari:
to'g'ri integrallash, qo'shimcha usullar,
almashtirishlar.
Aniq integral grafikdagi egri chiziq yuzasini topishga yordam beradi. Uning
chegaralari bor: egri chiziq ostidagi maydon hisoblanadigan boshlang'ich va
so'nggi nuqtalar. Egri chiziqning maydonini topish uchun chegara nuqtalari [a, b]
deb taxmin qiling f(x) x o'qiga nisbatan. Keyin aniq integralning va b a f ( x ) d x .
Integratsiya bu maydonlarning yig'indisidir va aniq integrallar chegaralar ichida
maydonni topish uchun ishlatiladi.
Definite integral, belgilangan oraliqda bir funksiyaning integrallanishini
ifodalaydi. Definite integralni hisoblash uchun bir nechta usullar
mavjud:
To'g'ri Integrallash: Bu usulda, funksiya integrallanuvchan bo'lgan
oraliqning to'g'ri formulasi yordamida integrallashadi. Integralning
qiymati funksiyaning integrallovchi oraliqda integrallangan maydonning
yuzasi sifatida hisoblanadi.
Qo'shimcha Usullar: Bu usullar integrallashni asanlash uchun yordam
beradi. Ular o'zida integrallashga yordam beradigan formulalarni va
xususiyliklarni o'z ichiga oladi. Misol uchun, qoidalar, o'zaro
almashtirishlar yoki integrallashga yordam beradigan algoritmalar
integrallashni oddiyroq qilishda foydalaniladi.
Almashtirishlar: Almashtirishlar (substitutsiya) usuli, integralni
o'zgartirish yoki o'zgartirishlar ketma-ketligi orqali integralni
18

integrallashning osonroq shaklini topish uchun qo'llaniladi. Bu usul,
integrallanayotgan funksiyaning o'zgaruvchanini o'zgartirib, integralning
ko'rsatilgan shaklini oddiyroq ko'rishga yordam beradi.
Integral hisoblashida, integrallanayotgan funksiyaning xususiyatlari va
integrallash usullari bilan tanishish, integralning integrallashgan
maydonning geometrik va matematik ma'nosi, to'g'ri formulalar va
qo'shimcha formulalar yordamida integralni hisoblash uchun xizmat
qilishi mumkin. Bu usullar bilan, murakkab funksiyalarning integralini
topish va integrallashda ishlatiladigan algoritmalar va ko'nikmalar
o'rganiladi.
Almashtirishlar (substitutsiya) usuli, integralning hisoblanishi uchun
foydalaniladigan usuldan biridir. Bu usul integralning integrallanayotgan
funksiyasining o'zgaruvchanlarini o'zgartirish yoki almashtirish
yordamida integrallashni osonlashtiradi. Bu usul bilan integralni
oddiyroq formulaga o'tkazish va integralni hisoblashda yordam beradi.
Almashtirishlar usulini quyidagi tartibda amalga oshiramiz:
Yangi o'zgaruvchan tanlash: Integralning integrallanayotgan
funksiyasining o'zgaruvchanlarini o'zgartirish uchun yangi o'zgaruvchani
tanlash. Bu o'zgaruvcha integralning qiyosiy o'zgaruvchasi bo'lishi
kerak.
Yangi o'zgaruvchan o'zgartirish: Integralning integrallovchi funksiya
formulalariga yangi o'zgaruvchani o'zgartirish uchun uning
almashtirish formulalaridan foydalanish. Bu o'zgaruvchan odatda
qanday o'zgaruvchaga o'tkazilishi kerakligini belgilaydi.
Integralni osonlashgan formulaga o'tkazish: Yangi o'zgaruvchan
orqali integralning o'zgaruvchalarini o'zgartirish va integralni
osonlashgan formulaga o'tkazish.
Integralni hisoblash: Yangi o'zgaruvchan yordamida integralni oson
formulaga o'tkazganingizdan so'ng, integralni hisoblash.
Almashtirishlar usuli, integralni osonlashtirish va integrallovchi
funksiyaning o'zgaruvchanlarini o'zgartirishda foydalaniladi. Bu usul
19

murakkab funksiyalarni oddiyroq formulaga o'tkazish va integralni
hisoblashda ko'p mashg'ulot qilishni kamaytiradi.
Integralni hisoblash, belgilangan funksiyaning integrallanishi va
integrallovchi oraliqda maydonning yuzasini topishni ifodalaydi. Integral
hisoblashi uchun quyidagi bosqichlar amalga oshiriladi:
Integrallanayotgan funksiya : Integralni hisoblashdan oldin,
integrallanayotgan funksiya beriladi. Bu funksiya integrallovchi oraliqda
integrallanishi kerak.
Antiderivatani topish: Integrallanayotgan funksiyaning antiderivatasi
(integral funksiya) topilishi kerak. Antiderivata funksiya, berilgan
funksiyaning integrallanuvchanligini aniqlaydi.
Integralning aniqlanishi : Integrallovchi oraliq belgilanadi (masalan, a dan
b gacha bo'lgan oraliq). Keyin, integralning belgilangan oraliqda
hisoblanishi uchun formulalar yoki almashtirishlar qo'llanadi.
Integral hisoblanishi : Integralni hisoblash, antiderivatani
integrallanayotgan oraliqda integrallash uchun formulalarga o'xshash
bo'lgan formulalar yordamida amalga oshiriladi. Agar funksiya oson
formulaga ega bo'lmasa yoki integral murakkab bo'lsa, kompyuter
dasturiy ta'minotlari yordamida integral hisoblanishi amalga oshiriladi.
Natijani hisoblash : Integralning hisoblanishi natijasi sifatida
integrallanayotgan oraliqda funksiyaning integrallanuvchanligi
aniqlanadi. Natija, integrallanayotgan maydonning yuqori va pastki
chegaralari orasidagi yuzasini ifodalaydi.
Integral hisoblashi, matematik modellash, fizika, injinerlik, iqtisodiyot va
boshqa ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Ushbu amalga oshirilishi kerak
bo'lgan bosqichlar, funksiyaning integrallanishini hisoblashda muhimdir
va integrallashni osonlashtiradi.
Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni xulosa.
20

Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni, bitta funksiyaning
belgilangan oraliqda integrallanishi va integrallovchi kesmadagi
maydonning yuzasi sifatida tasavvur qilingan qavratmaydigan miqdor
hisoblanadi.
Integralning bir funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni,
integrallanayotgan kesmada funksiya grafikasi ostida tashkil topgan
maydonni ifodalaydi. Bu maydon, funksiyaning belgilangan oraliqda
integrallanishi, ya'ni integrallashda ko'rsatiladi.
Matematikada integral, funksiyaning xisobiy miqdorlarini
integrallanayotgan kesmada birga o'z ichiga oladi va bu orqali
funksiyaning belgilangan oraliqda integrallanishini ifodalaydi.
Integralning tushunchasi, funksiya ostida yotuvchi maydonning yuzasi
sifatida tasavvur qilingan, bu esa funksiyaning belgilangan oraliqda
integrallanishi demakdir.
Integralning hisoblanishi va tasviri, funksiyaning belgilangan oraliqda
integrallanishi mumkinligini va bu integralning geometrik ma'nosini
ko'rsatadi. Integrallanuvchan funksiya integrallanayotgan kesmada
belgilangan oraliqda integrallanishi natijasida maydonning yuqori va
pastki chegaralari orasidagi yuzasini ifodalaydi.
Integralning integrallanuvchanlik mezoni, matematik amaliyotlarida,
fizika, injinerlik, iqtisodiyot va boshqa sohalarda funksiyaning
miqdorlarini integrallash uchun muhimdir. Bu mezoni hisoblash va
tasvirlash, funksiyaning xususiyatlarini va o'zgarishlarini tushuntiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
Funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va integralning hisoblanishi,
matematik, fizika, injinerlik, iqtisodiyot va ko'plab boshqa sohalarda
qo'llanilgan bo'lib, bu mavzuga bag'ishlangan bir nechta adabiyotlar
21

mavjud. Quyidagi adabiyotlar, funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni
haqida ta'limot beradigan eng mashhur adabiyotlardan ba'zilari:
1. "Calculus" by James Stewart : Bu kitob integral va differentsial
hisoblashning asosiy prinsiplari haqida qimmatli ma'lumotlar
taqdim etadi. Uning "Integral" bobida funksiyaning
integrallanuvchanlik mezoni va integralning hisoblanishi to'g'risida
ham ma'lumotlar mavjud.
2. "Advanced Engineering Mathematics" by Erwin Kreyszig :
Bu kitob injinerlik hisoblashi uchun integrallashning nazariy va
amaliy asoslarini ko'rsatadi. Ushbu adabiyot funksiyaning
integrallanuvchanlik mezoni va uning amaliyoti haqida ham
ma'lumotlar olib boradi.
3. "Mathematical Methods in the Physical Sciences" by Mary
L. Boas : Bu kitob fizika va matematika fanlariga mo'ljallangan
bo'lib, uning ichida funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va
integralning hisoblanishi haqida ma'lumotlar keltirilgan.
4. "Integral Calculus for Beginners" by Joseph Edwards :
Ushbu adabiyot integrallashning boshlang'ich qoidalari,
algoritmalar va integralning umumiy xususiyatlari to'g'risida
ma'lumotlar taqdim etadi.
5. "Introduction to Economic Analysis" by R. Preston McAfee
and Tracy R. Lewis : Iqtisodiyot hisoblash uchun yozilgan bu
adabiyot, integrallash va integralning hisoblanishi haqida iqtisodiy
modellashning asosiy ta'limotlarini ko'rsatadi.
Bu adabiyotlar funksiyaning integrallanuvchanlik mezoni va integralning
hisoblanishi bo'yicha muhim asosiy ma'lumotlarni taqdim etadi va o'qitish
uslublari o'rganishga yordam beradi.
1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 1994, 2 t .
1995
2. Toshmetov O‘. Matematik analiz. Matematik analizga kirish. T., TDPU. 2005y.
3. Hikmatov A.G‘., Turdiyev T. «Matematik analiz», T.1-qism.1990y.
4. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar
to`plami. T., «O ‘ zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995.
22

5. Vavilov V.V. i dr. Zadachi po matematike. Nachala analiza. M.Nauka.,1990.-
608s.
6. www.ziyonet.uz
23

Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni

O'xshash dokumentlar