Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	38000UZS
Размер	155.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	19 Январь 2025
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Algebra va δ-algebra. O'lchovli fazolar

9kichik s-algebra ekanligi kelib chiqadi . X da mumkin bo'lgan eng katta s-algebra
.
s -algebraning elementlari o'lchanadigan to'plamlar deyiladi . Tartiblangan juftlik ( X ,
S ) , bu erda X to'plam va S X dan s -algebra bo'lib , o'lchanadigan fazo deyiladi . Har
bir o'lchanadigan to'plamning oldingi tasviri o'lchanadigan bo'lsa , ikkita o'lchanadigan
bo'shliq orasidagi funktsiya o'lchanadigan funktsiya deb ataladi. O'lchanadigan
bo'shliqlar to'plami morfizm sifatida o'lchanadigan funktsiyalari bilan bir toifani tashkil
qiladi . O'lchovlar s dan ma'lum turdagi funktsiyalar sifatida aniqlanadi-algebradan [0,
∞] gacha.
s-algebra ham p-tizim , ham Dinkin tizimi (l-tizim). Dinkin teoremasi bo'yicha (quyida)
buning aksi ham to'g'ri.
Dinkinning p-l teoremasi [ tahrir ]
Bu teorema (yoki tegishli monoton sinf teoremasi ) o'ziga xos s-algebralarning
xossalari bo'yicha ko'plab natijalarni isbotlash uchun muhim vositadir. U ikkita
oddiyroq to'plamlar klassi, xususan, quyidagilarning tabiatiga asoslanadi.
p - tizim P - chekli ko'p kesishmalar ostida yopilgan X ning kichik to'plamlari
to'plami va
Dynkin tizimi ( yoki l-tizim) D - X ni o'z ichiga olgan va to'ldiruvchi ostida
va ajratilgan kichik to'plamlarning hisoblanuvchi birlashmalari ostida yopilgan
X ning kichik to'plamlari to'plami.
Dinkinning p-l teoremasida aytilishicha, agar P p-tizim bo'lsa va D P ni o'z
ichiga olgan Dynkin tizimi bo'lsa, P tomonidan yaratilgan s-algebra
s( P ) D tarkibida mavjud bo'ladi . Ba'zi p-tizimlar nisbatan sodda sinflar
bo'lganligi sababli, P dagi barcha to'plamlar ko'rib chiqilayotgan
xususiyatdan foydalanishini tekshirish qiyin bo'lmasligi mumkin , boshqa
tomondan, barcha kichik to'plamlarning D to'plami Dynkin tizimi ekanligini
ko'rsatishi mumkin. ham to'g'ri bo'ling. Dinkinning p-l teoremasi shundan
dalolat beradiki, s( P ) dagi barcha to‘plamlar s( P ) da ixtiyoriy to‘plamni
tekshirish vazifasidan qochib, xususiyatdan foydalanadi.).

chziqli bog’lanmagan deyiladi.
Agar L fazoning chelsiz x,y,⋯ elementlari sistemasining ixtiyoriy chekli qism-
sistemasi chiziqli bog’lanmagan bo’lsa, u holda bu elementlar sistemasi chiziqli
bog’lanmagan deyiladi.
Agar
L fazoda n ta chiziqli bog’lanmagan elementlar sistemasi topilib, bu
fazoning ixtiyoriy
n+1 ta elementlari chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda L fazo n -
o’lchovli deyiladi. Agar
L fazoda ixtiyoriy chekli sondagi chiziqli bog’lanmagan
elementlar sistemasi topilsa, u holda
L fazo cheksiz o’lchovli deyiladi. n -o’lchovli L
fazoning bazisi deb ixtiyoriy
n ta chiziqli bog’lanmagan elementlari sistemasiga
aytiladi. Oson ko’rsatish mumkinki,
Rn ning o’lchovi n ga teng. Haqiqattan, n ta
chiziqli bog’lanmagan elementlar sistemasi sifatida
e1=(1,0 ,⋯ 0),e2=(0,1,0 ,⋯ 0),⋯ ,en(0,0 ,⋯ 0,1 )
ni olish mumkin. Agar ixtiyoriy
α1,α2,⋯ ,αn
sonlar sistemasini olib, α1e1+α2e2+⋯ +αnen=0 tenglikni tuzsak, u holda
uning bajarilishi ushbu

α1⋅1+α2⋅0+α3⋅0+⋯ +αn⋅0= 0,
α1⋅0+α2⋅1+α3⋅0+⋯ +αn⋅0= 0,
……………………………………..
α1⋅0+α2⋅0+α3⋅0+⋯ +αn⋅1= 0
n
ta tengliklar sistemasining bajarilisgiga tengkuchlidir. Bu sistema esa yagona
α1= α2=⋯ = αn= 0
yechimga ega bo’lganligi uchun e1,e2,⋯ ,en∈Rn sistema chiziqli
bog’lanmagandir. U
Rn fazoning bazisi bo’ladi, chunki ∀ x=(x1,x2,⋯ ,xn)∈ Rn elementni
x= x1e1+x2e2+⋯ +xnen
ifodalash uchun quyidagi teoremadan foydalanamiz ([3], 53-54).
Teorema 1.1. Agar chiziqli fazo bazisga ega bo’lsa, u holda uning o’lchovi bazis
elementlari soniga teng bo’ladi.
Demak,
Rn fazoning o’lchovi n ga teng.

C[a,b] fazoning o’lchovi esa cheksizga teng ekanligini ko’rsating.
Ta’rif 1.3.
L chziqli fazoning bo’ch bo’lmagan qism-to’plami L' unda aniqlangan
qo’shish va songa ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazoni tashkil etsa, u holda
u
L fazoning qism-fazosi deyiladi. Boshqacha aytganda, L'⊂ L bo’lib, x∈L',y∈L'
23

12ishtirokchisi va fe'lning ishtiroki" degan so'zlar bilan izohlanadi . "
(MAK Halliday va bobini Yallop, leksikologiya: Qisqa kirish, Continuum, 2007)
" Lemma kontseptsiyali lemma hozirda korpus tadqiqotlari
va psixolinguistik ishlarda leksema bilan bir xil ma'noga ega bo'lib ishlatiladi, ammo
lemmani leksem bilan aralashtirib bo'lmaydi, masalan, Britaniya Milliy
korpusining muharriri foydalanuvchilarga phrasal fe'llar , , leksikologlarning leksik
birliklar deb ataladigan ikkita yoki uch qismdan tashkil topgan fe'llarga faqatgina
alohida lemmaslar orqali kira olishi mumkin, bu esa ikki lemmasdan iborat bo'lib, ,
shuningdek, lemmas (Leech, Rayson va Wilson, 2001) o'z ichiga olgan ro'yxatlar
tahrirlovchilari tomonidan hamomonomik ajratish har doim ham o'rnatilmagan.
"Lemma" lemma tushunchasini boshqa yo'llar bilan taqqoslaydi Linguistic corpora,
lemmatized so'z ro'yxatlarini, ya'ni lemmas o'z ichiga olgan so'z ro'yxatini ishlab
chiqaradigan ikkita asosiy izlovchiga ruxsat beradi va lememe kontseptsiyasini o'z
ichiga olgan yana bir so'z, ya'ni so'z ro'yxatlarini o'z ichiga oladi. so'z shakllari.
"Lemmalarning morfologik holati qanday? Bir necha gipotezalar mavjud, masalan:
1) har bir "so'zi" (erkin shakl), shu jumladan, formulalar va so'z birikmalarining o'ziga
kirishi va lemma bilan mos kelishi; kuchsizroq
2) barcha so'zlar o'zlarining kirib kelishi emas, ya'ni "muntazam" ta'sirchan shakllar va
ehtimol so'z birikmalar bazaning kirib kelishining bir qismini tashkil qiladi va bu
bazadanfoydalaniladi;
3) bu erkin shakllar emas, balki kelib chiqqan yoki ildizlari, lemmalarni hosil qiladi,
ulardan olingan boshqa shakllar «muntazam» yoki yo'qmi ». bu erda so'z chastotasi
bilan bog'liq muammodir, chunki chastotaning to'g'ri chastotasi nimani anglatmasin,
so'z chastotasini hisoblashning turli xil usullari mavjud va ular nazariy betaraflik emas.
"Masalan, lemma chastotasi, ya'ni so'zlarning barcha so'z shakllari chastotalari
birlamchi paradigma ichida to'planadi, masalan fe'lning lemma chastotasi yordam so'zi
frekanslarının yig'indisiga yordam beradi, yordam beradi, yordam beradi muntazam
inflexal shakllar ajralib turadigan va ildiz morfemalariga qarab tillarni qayta ishlash
hisob-kitoblarida hisobga olish kechikishlarini so'z shakli chastotasiga nisbatan ko'proq
belgilash uchun ildizning chastotasi ko'proq ahamiyatga ega bo'ladi, shuning uchun

dan ixtiyoriy α,β sonlar uchun αx +βy ∈L' kelib chiqsa, u holda L' L ning qism-
fazosi deyiladi.
Misol. 1.4.
C[a,b] – [a,b] oraliqda uzluksiz funksiyalar fazosida P[a,b]− barcha
algebraik ko’phadlar to’plami cheksiz o’lchovli qism-fazoni hosil qiladi (isbotlang).
Ta’rif 1.4. Agar haqiqiy chziqli
L fazoda aniqlangan manfiymas p funksional
quyidagi
1)
p(x+y)≤ p(x)+p(y)∀ x,y∈L;
2)
p(αx )=αp (x)∀ α>0 shartlarni qanoatlantirsa, u holda u qavariq deyiladi.

1.5. Normalashtirilgan fazolar.
Ta’rif 1.5. Faraz qilaylik,
L− chiziqli fazo bo’lsin. L da aniqlangan chekli
qavariq
p funksional quyidagi
1)
p(x)= 0 ⇔ x= 0,
2)
p(αx )=|α|p(x)∀ α
qo’shimcha sartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Ta’rif 1.6. Biror norma berilgan
L chiziqli fazo normalashtirilgan fazo deb
aytiladi.
Agar istalgan normalshtirilgan fazoda
ρ(x,y)=‖x−y‖ masofa kiritilsa, u holda u
metric fazoga aylanadi.

Misollar:
1.5. Elementlari
x=(x1,x2,⋯ ,xn) dan iborat haqiqiy n -o’lchovli Rn fazo uchun
‖x‖=(∑k=1
n
xk2)1/2
deb olsak, u normalashtirilgan fazoga aylanadi.
1.6. Uzluksiz funksiyalarning
C[a,b] fazosida normani ‖f‖=maxa≤t≤b|f(t)| formula
orqali aniqlaymiz. Norma shartlari bajarilishini ko’rsating. Unda metrika qanday
aniqlanadi?

1.6. Normalashtirilgan fazoning chekli o’lchovli qism-fazosi.
Normalashtirilgan fazolarda yopiq qism-fazolar (ya’ni barcha limitik nuqtalarini
24

o’zida saqlaydigan) asosiy qiziqish uyg’otadi. Chekli o’lchovli normalashtirilgan
fazolarda har qanday qism-fazo avtomatik ravishda yopiqdir (buni isbotlang). Cheksiz
o’lchovli holda bu unaqa emas.
Masalan, C[a,b] fazoda barcha algebraik ko’phadlar fazosi qism-fazoni tashkil etadi.
Lekin u yopiq emas. Nima uchun? Shu sababli, normalashtirilgan fazoning qism-
fazosi deb endi faqat yopiq qism-fazoni atashga kelishib olamiz.

X U L O S A
O`quvchi doimo o`z oldiga ― darslikdagi o`quv mat е riali o`quvchiga qanday
tarbiyalarni b е radi d
‖ е gan savol qo`yish k е rak . Darslikdan b е rilgan ko`pchilik
mazmun va matinli masalalar faqat ta‘lim maqsadlarini hal qilishi k е rak , d е gan fikr
mutloqo noto`g`ri. Balki, bu va mashqlar ko`pgina tarbiyaviy ishlarni ham amalga
oshiradi .Masalan : kishilarning turmush va m е hnatlari xalq xo`jaligi r е jalari , rejalarni
bajarishdagi kurashish , tadbirkorlikning moxiyati , mustaqillik uchun mehnat qilish va
kurashish , unumdorligi , xom – ashyo , vaqtni tejash , narx , savdo , texnika va
boshqalar to`g`risida ma‘lumotlar b е radi. Darslikda tavsiya qilingan har xil turdagi
mashqlar boshlang`ich sinfda mat е matika o`qitish orqali amalga oshiriladigan
tarbiyaviy masalalarning bajarilishi uchun imkoniyat yaratadi. O`qitishing е ffiktivligi
ana shu imkoniyatlarni hisobga olish orkali amalga oshiriladi. Bunday ko`p sondagi
mashqlar turli xil ifodalarni taqoslash bilan bogliqdir .Masalan , amal kompan е ntlari va
amal natijalari orasidagi bog`lanishni aniqlash uchun jadvallar orqali bu
kompan е ntlarning o`zgarish sabablarini bilib oladilar. Tarbiyaviy vazifalarni y е chish
uchun darslikdan il‘yustirativ (kursatma) mat е riallar ko`rsatilgan. Bular
o`quvchilarning konkrеt va abstrakt fikrlashining rivojlanishiga yordam bеradi.
Prеdmеt ko`rgazmasidan shartli ko`rgazmaga ( sxеma , chizma ) o`tish har xil
formadagi matеmatik munosabatlarni modеllashtirish bilan o`quvchilarni tanishtirish
ta‘minlanadi. Darslikdagi il‘yustirativ ko`rgazmalar matematik o`qitish bilan turmushni
mustahkam bog`lashda katta rol o`ynaydi, ular matеmatik bog`lanishlar bilan
tanishadilar va ularga amaliy qo`llanish imkoniyatlarni ko`rishda yordam
25

6yopilgunga qadar davom ettirish orqali hosil qilingan haqiqiy chiziqning kichik
to'plamlari to'plami. xususiyatlariga erishiladi ( borel ierarxiyasi deb nomlanuvchi
qurilish ).
Tarkib
 1 Motivatsiya
o 1.1 O'lchov
o 1.2 To'plamlar chegaralari
o 1.3 Sub s-algebralar
 2 Ta'rif va xususiyatlar
o 2.1 Ta'rif
o 2.2 Dinkinning p-l teoremasi
o 2.3 s-algebralarni birlashtirish
o 2.4 pastki fazolar uchun s-algebralar
o 2.5 s-ringga munosabati
o 2.6 Tipografik eslatma
 3 Maxsus holatlar va misollar
o 3.1 Ajraladigan s-algebralar
o 3.2 To'plamga asoslangan oddiy misollar
o 3.3 Vaqtni to'xtatish sigma-algebralari
 4 to'plamlar oilalari tomonidan yaratilgan s-algebralar
o 4.1 s-ixtiyoriy oila tomonidan yaratilgan algebra
o 4.2 funktsiya tomonidan yaratilgan s-algebra
o 4.3 Borel va Lebesg s-algebralari
o 4.4 Mahsulot s-algebra
o 4.5 s-silindr to'plamlari tomonidan yaratilgan algebra
o 4.6 s-tasodifiy o'zgaruvchi yoki vektor tomonidan yaratilgan algebra
o 4.7 stoxastik jarayon tomonidan yaratilgan s-algebra
 5 Shuningdek qarang
 6 Ma'lumotnomalar

$8va faqat qisman ma'lumotlar bilan belgilanadigan kichik to'plamlar to'plamidan iborat. Bu fikrni isbotlash uchun oddiy misol yetarli. Tasavvur qiling-a, siz va boshqa bir kishi tangani qayta-qayta ag'darish va uning bosh ( H ) yoki quyruq ( T ) paydo bo'lishini kuzatishni o'z ichiga olgan o'yinga pul tikishmoqda . Siz va sizning raqibingiz cheksiz boy bo'lganingiz uchun o'yin qancha davom etishi uchun hech qanday cheklov yo'q. Bu shuni anglatadiki, Ō namuna maydoni H yoki T ning barcha mumkin bo'lgan cheksiz ketma-ketliklaridan iborat bo'lishi kerak : Biroq, tangani n marta aylantirgandan so'ng, keyingi aylantirishdan oldin tikish strategiyangizni aniqlab olishingiz yoki qayta ko'rib chiqishingiz mumkin. O'sha nuqtada kuzatilgan ma'lumotni birinchi n burilish uchun 2 n imkoniyat bilan tavsiflash mumkin . Rasmiy ravishda, siz Ō ning pastki to'plamlarini ishlatishingiz kerak bo'lganligi sababli, bu s-algebra sifatida kodlangan. Keyin buni kuzating qayerda barcha boshqalarini o'z ichiga olgan eng kichik s-algebra. X bir nechta to'plam bo'lsin va ruxsat bering uning quvvat to'plamini ifodalaydi . Keyin kichik to'plam quyidagi uchta xususiyatni qanoatlantirsa, s -algebra deyiladi : [3] 1. X S da, X esa quyidagi kontekstda universal to‘plam hisoblanadi. 2. S to'ldiruvchi ostida yopiladi : Agar A S da bo'lsa , uning to'ldiruvchisi X \ A bo'ladi. 3. S hisoblanuvchi birlashmalar ostida yopiladi : Agar A 1 , A 2 , A 3 , ... S da bo'lsa, A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ … . Bu xossalardan kelib chiqadiki, s-algebra ham hisoblanuvchi kesishmalar ostida yopiladi ( De Morgan qonunlarini qo'llash orqali ). Bundan tashqari, bo'sh ∅ to'plam S da bo'ladi, chunki (1) X ning S da va (2) uning to'ldiruvchisi bo'sh to'plam ham S da ekanligini tasdiqlaydi. Bundan tashqari, { X , ∅ } (3) shartni ham qanoatlantirganligi sababli, { X , ∅ } X da mumkin bo'lgan eng$

T еkislik va fazoda vеktor tushunchasini kiritib, bu vеktorlar to ¢ plamida
vеktorlarni qo ¢ shish, ayirish, songa ko ¢ paytirish, ularni o ¢ zaro skalyar, vеktorial va
aralash ko ¢ paytirish amallarini kiritgan edik.
Endi vеktor tushunchasini umumlashtirib, vеktor fazoga ta'rif bеramiz.
TA'RIF 1: n ta tartiblashgan haqiqiy sonlardan tashkil topgan х =(х
1 ,х
2 ,…,х
n ) ko
¢ rinishdagi ifodagа n-o¢ lchovli vеktor dеyiladi.Bu еrdа х
i (i=1,2,…,n)
soni x
vеktorning i-komponеntasi dеb ataladi.
n–o ¢ lchovli vеktor tushunchasi iqtisodiyotda kеng qo ¢ llaniladi. Masalan, turli
maxsulotlardan tashkil etilgan to ¢ plamni х =(х
1 ,х
2 ,…,х
n ), ularning baholarini esa
у =(у
1 ,у
2 ,…,у
n ) vеktorlar ko ¢ rinishida ifodalash mumkin.
TA'RIF2: Ikkita bir xil n-o ¢ lchovli х =(х
1 ,х
2 ,…,х
n ) vа у =(у
1 ,у
2 ,…,у
n ) vеktorlar tеng
dеyiladi va х = у kabi bеlgilanadi, agarda ularning mos koordinatalari tеng, ya'ni х
1 =у
1 ,
х
2 =у
2 ,…, х
n =у
n bo ¢ lsa.
Endi ko ¢ p o ¢ lchovli vеktorlar ustida amallar kiritamiz.
TA'RIF 3: Ikkita bir xil n o ¢ lchovli х =(х
1 ,х
2 ,…,х
n ) vа у =(у
1 ,у
2 ,…,у
n ) vеktorlarning
yigindisi dеb shunday yangi х+у= z =(z
1 ,z
2 ,…,z
n ) vеktorga aytiladiki, uning
koordinatalari x va y vеktorlarning mos koordinatalarini qo ¢ shishdan hosil bo ¢ ladi,
ya'ni z
i =х
i +у
i , i=1,2,…,n.
TA'RIF4: х =(х
1 ,х
2 ,…,х
n ) vеktorni l xakikiy songa kupaytmasi dеb shunday yangi
l х = z =(z
1 ,z
2 ,…,z
n ) vеktorga aytiladiki, unda z
i = l x
i (i=1,2,…,n ) bo ¢ ladi.
Kiritilgan bu ikki amal yordamida x va y vеktorlarning ayirmasini х-у = х+( -1 )у
kabi kiritish mumkin.
Masalan, х =(3,-2,5,7,-4) vа у =(0,7,9,-1,2) bеsh o ¢ lchovli vеktorlar bеrilgan bo ¢ lsa,
unda
х+у =(3,-2,5,7,-4)+(0,7,9,-1,2)=(3+0,-2+7,5+9,7+(-1),-4+2)=(3,5,14,6,-2)
5 х=5 (3,-2,5,7,-4) =(5 × 3, 5 × (-2), 5 × 5, 5 × 7, 5 × (-4))=(15,-10,25,35,-20),
х-у= (3,-2,5,7,-4)-(0,7,9,-1,2)=(3-0,-2-7,5-9,7-(-1),-4-2)=(3,-9,-4,8,-6).
Ixtiyoriy vеktorlar ustidagi bu chiziqli amallar quyidagi xossalarni qanoatlantiradi:
1. х+у=у+х - yig ¢ indining kommutativlik xossasi;
2. х+(у+z)=(x+y)+z- yig ¢ indining assotsiativlik xossasi;
3. a× ( b х )=( a×b ) х -sonli ko ¢ paytuvchiga nisbatan assotsiativlik xossasi.
18

5I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY
MA'LUMOTLAR
1.1. Algebra va δ -algebra
Matematik tahlil va ehtimollar nazariyasida X to'plamidagi s-
algebra (shuningdek, s-maydon ) X ning kichik to'plamlarining S
to'plami bo'lib , to'ldiruvchi ostida yopiladi va sanaladigan birlashmalar va
sanab o'tiladigan kesishmalar ostida yopiladi . Juftlik ( X , S) o'lchanadigan bo'shliq deb
ataladi .
s-algebralar to'plam algebralarining kichik to'plamidir ; ikkinchisining elementlari faqat
chekli ko'p kichik to'plamlarning birlashishi yoki kesishishi ostida yopilishi kerak , bu
zaifroq holat. [1]
s-algebralarning asosiy qo'llanilishi o'lchovlarni belgilashda ; Xususan, ma'lum bir
o'lchov aniqlangan kichik to'plamlar to'plami, albatta, s-algebra hisoblanadi. Ushbu
kontseptsiya matematik tahlilda Lebeg integratsiyasining asosi sifatida va ehtimollar
nazariyasida muhim ahamiyatga ega bo'lib , u ehtimolliklarni belgilash mumkin
bo'lgan hodisalar to'plami sifatida talqin qilinadi. Bundan tashqari, ehtimollik nuqtai
nazaridan, s-algebralar shartli kutishning ta'rifida muhim ahamiyatga ega .
Statistikada (kichik) s - algebralar etarli statistik ma'lumotni rasmiy matematik ta'rifi
uchun kerak bo'ladi [2]
, ayniqsa statistik funktsiya yoki tasodifiy jarayon bo'lsa
va shartli zichlik tushunchasi qo'llanilmaydi.
Agar X = { a , b , c , d } bo lsa,ʻ X da bitta mumkin bo lgan s-algebra ʻ S = { ∅ , { a , b },
{ c , d }, { a , b , c , d } } bo ladi,
ʻ bunda ∅ - bo'sh to'plam . Umuman olganda, chekli
algebra har doim s-algebra hisoblanadi.
Agar { A
1 , A
2 , A
3 , …} X ning hisoblanuvchi bo limi
ʻ bo lsa, bo limdagi to plamlarning ʻ ʻ ʻ
barcha birlashmalari yig ilishi (shu jumladan bo sh to plam ham) s-algebra
ʻ ʻ ʻ
hisoblanadi.
Yana foydali misol - barcha ochiq intervallardan boshlanib, barcha sanaladigan
birlashmalarga, sanaladigan kesishmalarga va nisbiy to'ldiruvchilarga qo'shish va bu
jarayonni (barcha sanaladigan tartiblar orqali transfinite iteratsiya orqali) tegishli

qanday vеktor biror bazisdagi koordinatalari orkali bir qiymatli aniqlanadi. Xar
qanday bazisda 0 vеktorning koordinatalari nollardan va ixtiyoriy х =( х
1 , х
2 ,…, х
n )
vеktorga qarama-qarshi vеktorning koordinatalari - х
1 , - х
2 , …, - х
n sonlardan iborat bo
¢ ladi.
Masalan, 4 o ¢ lchovli vеktor fazoda е
1 (1,1,0,0), е
2 (0,1,1,0), е
3 (0,0,1,1), е
4 (0,1,0,1)
vеktorlar bazis tashkil etishini va bu bazisda х= (2,0,-3,1) vеktorning koordinatalari
х
1 =2, х
2 =-3, х
3 =0, х
4 =1 bo ¢ lishini talabalar mustaqil ish sifatida tеkshirib ko ¢ rishlari
mumkin.
TЕORЕMА: Agar е
1 , е
2 , …, е
n vеktorlar sistеmasi R fazoning chiziqli bog ¢ liqmas
vеktorlari bo ¢ lib, R fazoning ixtiyoriy a vеktori ular orqali chiziqli ifodalansa, u holda
R fazo n o ¢ lchovli vа е
1 , е
2 , …, е
n vеktorlar uning bazisi bo ¢ ladi.
Isbot: Tеorеmani isbot etish uchun R fazodagi ixtiyoriy m (m>n) ta а
1 , a
2 ,…,a
m
vеktorlarni olaylik. Tеorеma shartiga asosan olingan har bir vеktor е
1 , е
2 , …, е
n
vеktorlar orqali chiziqli ifodalanadi:
а
1 = а
11 е
1 + а
12 е
2 + … + a
1 n е
n
а
2 = а
21 е
1 + а
22 е
2 + … + a
2n е
n
(6)
… … … … … … … ……
… … … … … … … …
а
m = а
m1 е
1 + а
m2 е
2 + … + a
mn е
n
Hosil qilingan (6) sistеmaning А=( а
ij ) (i=1,2,…,m; j=1,2,…n) matritsasini qaraylik.
Bu matritsani rangi r(A) £ min(m;n)=n bo ¢ ladi.Bundan A matritsaning n tadan ko ¢ p bo
¢ lmagan chiziqli erkli satrlari mavjud ekanligi kеlib chiqadi.Unda, m>n bo ¢ lganligi
uchun, A matritsaning m ta satri chiziqli bog ¢ liqdir va shu sababli а
1 , a
2 ,…,a
m
vеktorlar ham chiziqli bog ¢ lik bo ¢ ladi. Bundan R fazoning n o ¢ lchovli va е
1 , е
2 , …, е
n
uning bazisi ekanligi kеlib chiqadi. Ta’rif 1.1. Quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi x,y,z,⋯ elementlarning bo’sh bo’lmagan L to’plami chiziqli yo’ki
vector fazo deyiladi:
I.
∀ x,y∈L elementlar uchun ularning yig’indisi deb ataluvchi va x+y
belgilanuvchi bir qiymatli aniqlangan uchinchi shunaqa
z∈L element mavjudki,
21

tavsiflanishi mumkin. Shuni yodda tutingki, doimiy bo'lmagan xarita diapazoni Borel
bo'lmasligi mumkin. Analitik to'plamga qarang .
Standart Borel maydonidagi har bir ehtimollik o'lchovi uni standart ehtimollik
maydoniga aylantiradi . Lusin [4]
tufayli Borel bo'lmagan reallarning kichik to'plamiga
misol quyida tasvirlangan. Bundan farqli o'laroq, o'lchovsiz to'plamning misolini
ko'rsatish mumkin emas, lekin uning mavjudligi isbotlanishi mumkin. Har
bir irratsional son cheksiz davomli kasr bilan yagona tasvirga ega qayerda ba'zi
bir butun va boshqa barcha raqamlardir musbat butun sonlardir . Mayli
ketma-ketliklarga mos keladigan barcha irratsional sonlar to'plami bo'lsin
quyidagi xususiyatga ega: cheksiz pastki ketma- ketlik mavjud Shunday qilib,
har bir element keyingi elementning bo'luvchisi bo'ladi. Bu to'plam Borel
emas. Aslida, bu analitik va analitik to'plamlar sinfida to'liq. Qo'shimcha ma'lumot
olish uchun tavsiflovchi to'plam nazariyasiga va Kechris kitobiga qarang , ayniqsa 209-
betdagi Mashq (27.2), 169-betdagi Ta'rif (22.9) va 14-betdagi (3.4) (ii) mashqlari.
Shuni ta'kidlash kerakki, ayni paytda ZFda tuzilishi mumkin, faqat ZFda Borel
bo'lmaganligini isbotlab bo'lmaydi. Aslida, bu ZF bilan mos keladi sanaladigan
to'plamlarning sanaladigan birlashmasi bo'lib, [5]
ning istalgan kichik to'plami
Borel to'plamidir.
Borel bo'lmagan boshqa to'plam - bu teskari tasvir cheksiz paritet funksiyasi
. Biroq, bu aniq misol emas, mavjudlikning isboti (tanlov aksiomasi orqali).
2.2. O'lchovli fazolar
17

4qaratilgan, natijada ularni mehnatga tayyorlashni qo’l mehnati jarayonida bolalar
asosan ishlab chiqarish texnologiyalar chiqindilari (qog’oz,karton,sim, yog’och,gaz
mol va boshqalar) bilan tabiiy va sun’iy xom ashyolar (maxsus loy,yog’och va
plastmassalar, plastilin, yelim va boshqalar) bilan ishlash keyingi sinflarda davom
ettirilishi uchun zarur aloqadorlik hosil qiladi. Ana shu vazifalardan kеlib chiqqan
hоlda bugungi kunda matеmatika fanidaerishilayotgan yutuqlarni o‘rganish uchun
uning asоsi bo‘lgan tushunchalarni mukammal o‘zlashtirishimiz kеrak. Bu fanni
o’quvchilarimiz a’lo darajada o‘zlashtirishi uchun esa biz turli xil metodlarni,
kichkintoylarimizni qiziqtirish uchun har-xil o‘yinlarni bilishimiz va ulardan dars
o‘tish jarayonida foydalanishimiz zarur va yetarlidir. Shu bois bu masalalarni bu kurs
ishimizda yoritib berishga harakat qilamiz.
Boshlang’ich sinf matematik darslarida ilg’or pedagogik texnologiyadan
foydalanib dars o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana
shu bilan asoslanadi.
Kurs ishi maqsadi: Boshlang’ich sinflarda arifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish.
Kurs ishi obyekti: U mumiy o’rta ta’limning boshlang’ich sinflaridagi o’quv-
tarbiyaviy jarayoni .
Kurs ishi predmeti: B oshlang’ich sinflarda a rifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish.
Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

II.BOB. BOREL δ -ALGEBRA VA O'LCHOVLI FAZOLAR
2.1. Borel δ -algebra
Matematikada Borel to'plami - bu ochiq to'plamlardan (yoki teng ravishda, yopiq
to'plamlardan ) hisoblanuvchi birlashma ,sanaladigan kesishish va nisbiy
to'ldiruvchi operatsiyalari orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan topologik fazodagi har
qanday to'plam . Borel to'plamlari Emile Borel sharafiga nomlangan .
X topologik fazosi uchun X dagi barcha Borel to'plamlarining to'plami Borel
algebrasi yoki Borel s-algebrasi deb nomlanuvchi s -algebrani hosil qiladi . X dagi
Borel algebrasi barcha ochiq to'plamlarni (yoki teng ravishda barcha yopiq
to'plamlarni) o'z ichiga olgan eng kichik s-algebradir.
Borel to'plamlari o'lchovlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega , chunki bo'shliqning
ochiq to'plamlarida yoki fazoning yopiq to'plamlarida aniqlangan har qanday o'lchov
shu bo'shliqning barcha Borel to'plamlarida ham aniqlanishi kerak. Borel to'plamlarida
belgilangan har qanday o'lchov Borel o'lchovi deb ataladi . Borel to'plamlari va ular
bilan bog'liq Borel ierarxiyasi ham tavsiflovchi to'plamlar nazariyasida asosiy rol
o'ynaydi .
Ba'zi kontekstlarda Borel to'plamlari ochiq to'plamlar emas, balki topologik
makonning ixcham to'plamlari tomonidan yaratilishi uchun aniqlanadi . Ikki ta'rif
ko'plab yaxshi xulqli bo'shliqlar uchun, jumladan, barcha Hausdorff s-ixcham
bo'shliqlar uchun ekvivalentdir, lekin ko'proq patologik bo'shliqlarda farq qilishi
mumkin. Agar X metrik fazo bo'lsa, Borel algebrasi birinchi ma'noda generativ tarzda
quyidagicha ta'riflanishi mumkin.
X ning kichik to plamlariningʻ T to plami uchun (ya ni ʻ ʼ X ning P( X ) quvvatlar
to plamining
ʻ har qanday kichik to plami uchun ʻ ) bo lsin. ʻ
 T elementlarining barcha sanaladigan birlashmalari bo'lsin
 T elementining barcha hisoblanuvchi kesishmalari bo‘lsin
 Endi transfinit induksiya orqali G m
ketma-ketlikni aniqlang, bu yerda m tartib son ,
quyidagi tarzda:
14

11Bu Dinkinning p-l teoremasi bo'yicha, nazarda tutadi
pastki fazolar uchun s-algebralar [ tahrir ]
Faraz qilaylik , Y X ning kichik to'plami va ( X , S) o'lchanadigan fazo bo'lsin.
 { Y ∩ B : B ∈ S to plami Y ning kichik to plamlarining s-ʻ ʻ algebrasidir .
 Faraz qilaylik ( Y , L) o'lchanadigan fazo. { A ⊂ X : A ∩ Y
∈ L} to plami ʻ X ning
kichik to plamlarining s-algebrasidir
ʻ .
s-ringga munosabat [ tahrir ]
s -algebra S shunchaki X universal to'plamini o'z ichiga olgan s -halqadir . [4]
s -
halqa s -algebra bo'lishi shart emas , masalan, haqiqiy chiziqdagi nol Lebeg
o'lchovining o'lchanadigan kichik to'plamlari s - halqadir, lekin s -algebra emas, chunki
haqiqiy chiziq cheksiz o'lchovga ega va shuning uchun bu mumkin emas. ularning
hisoblash birlashmasi orqali olinadi. Agar nol o'lchov o'rniga chekli Lebesg
o'lchovining o'lchanadigan kichik to'plamlari olinadigan bo'lsa, ular halqa bo'ladi ,
lekin s - halqa emas , chunki haqiqiy chiziqni ularning sonli birlashuvi orqali olish
mumkin, lekin uning o'lchovi chekli emas.
1.2. L emma
Lemma - bu so'z [lug'atda] kiritilgan va uning o'rnini belgilaydigan asosiy
shakldadir: odatda, "ildiz" yoki eng oddiy shakl
( yagona ism , hozirgi / infinitive fiil va boshqalar). agar ular oldindan taxmin
qilinadigan bo'lsa (masalan, bu erda keltirilgan ko'plik ayıları kabi) kiritilsa,
fe'llarning noto'g'ri o'tmishdagi shakllari berilgan (ular odatdagi qo'shimchani qo'shib
qo'yishning odatiy tartib- qoidasiga rioya qilmaslik uchun tartibsiz) va kesishning bir
belgisi kesish singari chizilgan shakldagi matnlarni ikki marta takrorlash kerakligini
ko'rsatib turibdi.Bu noyob shakl, o'zaro mos yozuvlar bilan alohida lemma sifatida
paydo bo'lishi mumkin [Bu ikki lug'at , Nyu-Shorter Oxford English Dictionary , 1993]
"AAR" ning "vujudga kelishi" va "vujudga keladigan", "fe'lning o'tmishdagi

77 Tashqi havolalar X bo'yicha o'lchov X ning kichik to'plamlariga manfiy
bo'lmagan haqiqiy sonni belgilaydigan funktsiyadir ; Bu to'plamlar uchun "o'lcham"
yoki "hajm" tushunchasini aniq qilish deb o'ylash mumkin. Biz ajratilgan to'plamlar
birlashmasining o'lchami ularning individual o'lchamlari yig'indisi bo'lishini
xohlaymiz, hattoki cheksiz ketma-ketlik uchun ham .
X ning har bir kichik to'plamiga o'lcham belgilashni xohlaydi , lekin ko'pgina tabiiy
sozlamalarda bu mumkin emas. Masalan, tanlov aksiomasi shuni anglatadiki, agar
ko'rib chiqilayotgan o'lcham haqiqiy chiziqning kichik to'plamlari uchun oddiy uzunlik
tushunchasi bo'lsa, unda hech qanday o'lcham mavjud bo'lmagan to'plamlar mavjud,
masalan, Vitali to'plamlari . Shu sababli, buning o'rniga X ning imtiyozli kichik
to'plamlari to'plami ko'rib chiqiladi. Ushbu kichik to'plamlar o'lchanadigan to'plamlar
deb ataladi. Ular o'lchanadigan to'plamlar uchun kutish mumkin bo'lgan operatsiyalar
ostida yopiladi, ya'ni o'lchanadigan to'plamning to'ldiruvchisi o'lchanadigan to'plam va
o'lchanadigan to'plamlarning hisoblanuvchi birligi o'lchanadigan to'plamdir. Bunday
xossalarga ega bo‘lgan to‘plamlarning bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlari s-algebralar
deyiladi. Deyarli ishonchli yaqinlashuvning ehtimollik tushunchasi kabi o'lchovlarning
ko'p ishlatilishi to'plamlar ketma-ketligi chegaralarini o'z ichiga oladi . Buning uchun
sanab o'tiladigan uyushmalar va chorrahalar ostida yopilish muhim ahamiyatga
ega. Belgilangan chegaralar s-algebralarda quyidagicha aniqlanadi.
 Har biri X ning kichik to‘plami bo‘lgan A
1 , A
2 , A
3 , ... ketma-ketlikning
chegaraviy yig‘indisi quyidagicha.
 Har biri X ning kichik to‘plami bo‘lgan A
1 , A
2 , A
3 , ... ketma-ketlikning chegara
infimumiga teng.
 Agar, aslida,
keyin umumiy to'plam sifatida mavjud.
Ko'p ehtimollikda, ayniqsa shartli kutish bilan bog'liq bo'lsa, kuzatilishi mumkin
bo'lgan barcha mumkin bo'lgan ma'lumotlarning faqat bir qismini ifodalovchi
to'plamlar haqida gap boradi. Ushbu qisman ma'lumotni asosiy s-algebraning kichik
to'plami bo'lgan kichikroq s-algebra bilan tavsiflash mumkin; u faqat tegishli bo'lgan

bеradi ,matеmatikani umumlashtirish uchun matеrial bеradi , bolaning shaxsiy
tajribasini boyitadi. Darslikdagi il‘yustratsiyalar o`quvchilarning bilim boyliklarni
kеngaytirishga, atrofdagi turmushning har xil tomonlari bilan tanishtirishga imkon
bеradi.
Boshlang‘ich sinf matematika darslarida interfaol metodlardan foydalanish
darsning samarali bo‘lishiga, o‘quvchilarning aqliy qobiliyatlarini o‘stirishga va
mustaqil fikrlashga keng yo‘l ochib beradi.
26

…, а
m vеktorlardan birortasi qolganlari orqali chiziqli ifodalansa, u holda ular chiziqli
bog ¢ lik bo ¢ ladi.
Masalan, а
1 =(1,0,0,0), а
2 =(0,1,0,0), а
3 =(0,0,1,0), а
4 =(0,0,0,1) vеktorlar chiziqli
bog ¢ liqmas (erkli); с
1 =(3,0,0,0), с
2 =(0,0,1,0), с
3 =(6,0,-7,0) vеktorlar esa chiziqli bogliq
(2 с
1 -7 с
2 + с
3 = 0 ) bo ¢ ladi.
TA'RIF 8: R vеktor (chiziqli) fazo n o ¢ lchovli dеyiladi, agar unda n ta chiziqli
bog ¢ liqmas vеktorlar mavjud bo ¢ lib, ixtiyoriy (n+1)ta vеktor chiziqli bog ¢ lik bo ¢ lsa.
Bu еrda n soni R fazoning o ¢ lchovi dеb atalib, n=dim(R) kabi bеlgilanadi va u R
fazodagi chiziqli bogliqmas vеktorlarning maksimal soniga tеng bo ¢ ladi.
TA'RIF 9: n o ¢ lchovli R fazoning ixtiyoriy n ta chiziqli bog ¢ liqmas vеktorlari to
¢ plami uning bazisi dеyiladi.
Masalan, 4 o ¢ lchovli fazoda yuqorida ko ¢ rib o ¢ tilgan
а
1 =(1,0,0,0), а
2 =(0,1,0,0), а
3 =(0,0,1,0), а
4 =(0,0,0,1)
vеktorlar bazisni tashkil etadi.
TЕORЕMA: R chiziqli fazoning xar bir x vеktorini shu R fazoning bazis
vеktorlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yagona usulda ifodalash mumkin.
Isbot: Faraz qilaylik е
1 , е
2 , …, е
n vеktorlar n o ¢ lchovli R fazoning ixtiyoriy bir bazisi
bo ¢ lsin. Unda, ixtiyoriy (n+1)ta vеktorlar chiziqli bog ¢ lik ekanligidan, е
1 , е
2 , …, е
n vа х
vеktorlar birgalikda chiziqli bog ¢ lik bo ¢ lishi kеlib chiqadi. Bu holda bir vaqtning o
¢ zida barchasi nolga tеng bo ¢ lmagan (n+1)ta shunday l
1 , l
2 ,…, l
n , l sonlar mavjudki,
l
1 е
1 + l
2 е
2 +…+ l
m е
m + lx =0 . (3)
Bu еrdа l¹ 0 bo ¢ ladi, chunki agar l =0 bo ¢ lsa, u holda yuqoridagi tеnglikdan е
1 ,е
2 ,…,е
n
vеktorlar chiziqli bog ¢ lik ekanligi, ya'ni ular bazis tashkil etmasligi kеlib chiqadi.
Dеmak l¹ 0 bo ¢ lib, (3) dan
х =
−
λ1
λ е
1
−
λ1
λ е
2 - ×××
−
λ1
λ е
n ,
х = х
1 е
1 + х
2 е
2 +…+ х
n е
n , х
i = l
i / l , (4)
tеnglikka ega bo ¢ lamiz. Bu еrdan x vеktor е
1 , е
2 , …, е
n bazis orqali chiziqli ifodalanishi
va bunday ifodalanish yagona ekanligi kеlib chiqadi.Tеorеma isbot bo ¢ ldi.
(4) ifoda x vеktorni е
1 , е
2 , …, е
n bazisdagi yoyilmasi va unlagi х
1 , х
2 ,…, х
n
koeffitsiеntlar x vеktorning shu bazisga nisbatan koordinatlari dеb ataladi. Dеmak, xar
20

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
1. G.M.Fiхtengols. “Matematik analiz asoslari” 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1970
yil.
2. N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1972
yil.
3. T.Jo’raev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1 – qism, “O’zbekiston”, Toshkent
1995 yil.
4. B.A. Abdalimov. Oliy matematika, “O’qituvchi” Toshkent 1994 yil.
5. Sh.I.Tojiev. Oliy matematikadan masalalar yechish. “O’zbekiston”, Toshkent 2002
yil.
6 . I.A.Maron.Differensialnoe i integralnoe ischislenie v primeraх i zadachaх “Nauka”,
M.1973.
7. T.Sharifova, E.Yo’ldoshev. Matematik analizdan misol va masalalar yechish
“O’qituvchi”, Toshkent 1996 yil.
8. Xojixonov U. Analitik geometriya. Namangan. 2005
Elektron resurslar
1. https://uz.wikipedia.org/wiki/Termiz
2. https://www.google.com
3. www.ziyonet.uz
27

3 KIRISH
Mustaqil O‘zbekiston Respublikasida shakllanayotgan milliy istiqlol g‘oyasi
Respublika Konstitutsiyasida e’tirof etilgan insonparvar, demokratik, huquqiy
davlat va jamiyatni barpo etish, shuningdek, ijtimoiy iqtisodiy hamda madaniy
rivojlanishning yuqori bosqichlariga ko‘tarish, jahon hamjamiyati safida munosib
o‘rin egallashga yo‘naltirilgan ezgumaqsadlarni amalga oshirishga xizmat qiladi.1997
yil 29 avgustda O‘zbеkistоn Rеspublikasi Оliy Majlisining IX sеssiyasida qabul
qilingan hamda bugungi kunda g‘оyalari amaliyotga kеng ko‘lamda muvaffaqiyatli
tadbiq etilayotgan O‘zbеkistоn Rеspublikasining «Ta’lim to‘g‘risida»gi Qоnuni va
«Kadrlar tayyorlash Milliy dasturi» mazmunida barkamоl shaхs va malakali
mutaхassisni tarbiyalab vоyaga yеtkazish jarayonining mоhiyati to‘laqоnli оchib
bеrilgandir. Malakali kadrlar ta yyorlash jarayonining har bir bоsqichi o‘zida
ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni yuqоri bоsqichlarga ko‘tarish, shu
bilan birga ja hоn ta’limi darajasiga yеtkazish bоrasida muayyan maqsad va
vazifalarni amalga оshirish lоzim.Ushbu maqsadlarning ijоbiy natijaga ega bo‘lishi,
eng avvalо, yosh avlоdga ilmiy bilimlar asоslarini puхta o‘rgatish, ularda kеng
dunyoqarash hamda tafakkur ko‘lamini hоsil qilish, ma’naviy aхlоqiy sifatlarni
shakllantirish bоrasidagi ta’limiy tarbiyaviy ishlarni samarali tashkil etishga
bоg‘liqdir. Zеrо, yurtning pоrlоq istiqbоlini yaratish, uning nоmini jahоnga kеng
yoyish, ulug‘ajdоdlar tоmоnidan yaratilgan milliy madaniy mеrоsni jamiyatga
namоyish etish, ularni bоyitish, mustaqil Rеspublikamizning rivоjlangan
mamlakatlar qatоridan jоy egallashini ta’minlash yosh avlоdni kоmil insоn hamda
malakali mutaхassis qilib tarbiyalashga bоg‘liqdir. Bugungi kunda jamiyatimiz uchun
hartomonlama rivojlangan fan texnika taraqqiyotini hayotga tadbiq eta oladigan yetuk
malakali kadrlar tayyorlash masalasi turibdi. Maktab ta’limining hozirgi bosqichida
o’quvchilarni mehnatga tayyorlash, o’sib kelayotgan avlodning tahlim va
tarbiyasidagi eng zarur masalalardan biridir. Ayniqsa boshlang’ich sinflarda
o’quvchilarni mehnatga tayyorlash ularning qiziqishlari, moyilliklar va
imkoniyatlariga asoslangan qo’l mehnati hisoblanadi. Shu munosabat bilan mehnat
ta’limi jarayoni o’quvchilarda ushbu yosh uchun bilim, mehnat, axloqiy, estetik
iqtisodiy-ekologik va aqliy imkoniyatlarni aniq mehnat jarayonlarida rivojlantirishga

13lemma chastotasi sezilarli darajada roli.

10p-l teoremasining eng asosiy qo'llanilishidan biri alohida belgilangan o'lchovlar yoki
integrallarning ekvivalentligini ko'rsatishdir. Masalan, X tasodifiy o'zgaruvchining
ehtimolini odatda ehtimollikni hisoblash bilan bog'liq bo'lgan Lebesgue -Stieltjes
integrali bilan tenglashtirish uchun ishlatiladi:
R dagi Borel s-algebrasidagi barcha A uchun ,
Bu erda F ( x ) R da aniqlangan X uchun kümülatif taqsimot funksiyasi , esa
ehtimollik o'lchovi bo'lib, ba'zi bir namuna fazosi Ō kichik to'plamlarining s-
algebrasida aniqlanadi .
s-algebralarni birlashtirish [ tahrirlash ]
Faraz qilaylik X fazodagi s-algebralar to'plamidir .
 s-algebralar to'plamining kesishishi s-algebradir. Uning s-algebra sifatidagi
xarakterini ta'kidlash uchun u ko'pincha quyidagi bilan belgilanadi:
Isbotning eskizi: S ∗ kesmani
belgilasin. X har bir S
a da bo'lgani uchun S ∗
bo'sh
emas. Har bir S
a uchun to'ldiruvchi va sanaladigan birlashma ostidagi
yopilish S ∗
uchun ham xuddi shunday bo'lishi kerakligini bildiradi . Demak, S ∗
s-
algebra hisoblanadi.
 s-algebralar to'plamining birlashuvi odatda s-algebra yoki hatto algebra emas, lekin
u odatda birlashma deb ataladigan s-algebrani hosil qiladi .
Birlashishni hosil qiluvchi p-tizim
Isbotning eskizi: n = 1 holatdan ko'rinib turibdiki, har biri , shunday
Bu nazarda tutadi
kichik to'plamlar to'plami tomonidan yaratilgan s-algebra ta'rifi bilan . Boshqa
tarafdan,

2MUNDARIJA:
KIRISH ...................................................................................................................3
I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY
MA'LUMOTLAR .................................................................................................... ........ 5
1.1. Algebra va δ -algebra .......... ...............................................................................5
1.2. L emma ....................................................... ................................................... ..11
KIRISH ................................................................................................................................................ 3
Tarkib ................................................................................................................................................... 6
Dinkinning p-l teoremasi [ tahrir ] ............................................................................................................. 9
s-algebralarni birlashtirish [ tahrirlash ] ................................................................................................... 10
pastki fazolar uchun s-algebralar [ tahrir ] ............................................................................................... 11
s-ringga munosabat [ tahrir ] .................................................................................................................... 11
Elektron resurslar ................................................................................................................................... 27

1)x+y= y+x(kommutativlik );
2)x+(y+z)=(x+y)+z(assotsiativlik );
3)L da shunaqa 0 element mavjud bo 'lib ,∀ x∈L uchun x+0= x(no ln ing mavjud −
ligi ),
4)∀ x∈L uchun shunaqa − x element mavjudki ,x+(− x)=0 (teskari elementning mavjudligi ).II. Ixtiyoriy
α son va ixtiyoriy x∈L element uchun shunaqa αx ∈L element aniqlangan
(
x elementning α songa ko’paytmasi) bo’lib,

1)α(βx )= (αβ )x ,
2)1⋅x= x,
3)(α+β)x= αx +βx ,
4)α(x+y)= αx +αy
munosabatlar bajariladi.
Misollar. 1.1. To’g’ri chiziq
−R1− barcha haqiqiy sonlar to’plami odatdagi
qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazoni hosil qiladi.
1.2.
n ta sonlar (haqiqiy yo’ki kompleks) ning mumkin bo’lgan barcha sistemasi
x=(x1,x2,⋯ ,xn)
to’plami
(x1,x2,⋯ ,xn)+(y1,y2,⋯ ,yn)= (x1+ y1,x2+ y2,⋯ ,xn+ yn),
α (x1,x2,⋯ ,xn)= (αx 1,αx 2,⋯ ,αx n)
kabi aniqlangan qo’shish va songa ko’paytirish amallariga nisbatan ham chiziqli fazoni
tashkil giladi. Bu fazo
n -o’lchovli arifmetik fazo deyiladi va Rn belgilanadi.
1.3.
[a,b] oraliqda uzluksiz (haqiqiy yo’ki kompleks) barcha funksiyalar to’plami
odatdagi qo’shish va songa ko’paytirish amallari bo’yicha
C[a,b] –chiziqli fazoni
tashkil qiladi. Bu fazo analizning eng muhim fazolaridan biri sifatida keyingi
mavzularda tez-tez uchrab turadi.

1.2. Chiziqli bog’langanlik.
Ta’rif 1.2.
L chiziqli fazoning x,y,⋯ ,w elementlari uchun hammasi bir vaqtda
nolga teng bo’lmagan
α,β,⋯ ,λ sonlar mavjud bo’lib,
αx +βy +⋯ +λw = 0
( ¿ )
tenglik bajarilsa, u holda bu elementlar chiziqli bog’langan deyiladi. Aks holda, ya’ni
agar (
¿ ) tenglikdan α= β= ⋯ = λ= 0 munosabat kelib chiqsa, u holda bu elementlar
22

4. a ( х+у )= a х + a у - vеktorlar yig ¢ indisining distributivlik xossasi.
5. ( a + b ) х = a х + b х - sonli yig ¢ indini ko ¢ paytuvchiga nisbatan distributivlik xossasi.
6. 0 =(0,0,0,…,0) nol vеktor va ixtiyoriy x vеktor uchun x+0=x tеnglik o ¢ rinli bo ¢ ladi.
7. Ixtiyoriy х vеktorgа (-1) х = - х qarama-qarshi vеktor dеyiladi va ular uchun х+(-
х)=0 tеnglik o ¢ rinlidir.
8. Ixtiyoriy х vеktor uchun1 × х=х tеnglik o ¢ rinli bo ¢ ladi.
TA'RIF 5: Agar haqiqiy koordinatali vеktorlar to ¢ plamida vеktorlarni qo ¢ shish va
songa ko ¢ paytirish amallari aniqlangan bo ¢ lib, ular yuqorida kеltirilgan 8 ta xossalarni
(aksiomalarni) qanoatlantirsa, u holda bu to ¢ plam vеktor fazo dеb aytiladi.
Yuqorida kurilgan х,у,z lar nafaqat vеktorlar, balki ixtiyoriy ob'еktlar
(elеmеntlar) bo ¢ lishi mumkin. Unda bu elеmеntlar va kiritilgan amallardan tuzilgan to
¢ plam chiziqli fazo dеyiladi. Masalan, x va y lar darajasi n dan oshmagan ko ¢ phadlar
bo ¢ lsa, u holda yuqoridagi 8 xossa qanoatlantiriladi, ya'ni darajasi n dan oshmagan
barcha algеbraik ko ¢ phadlar to ¢ plami chiziqli fazo hosil etadi.
Vеktor (chiziqli) fazoning ta'rifidan shu xulosa kеlib chiqadiki, bu fazoda
yagona 0 (nol) vеktor va har bir x ga qarama-qarshi yagona - x vеktorlar mavjud bo ¢ lib,
ular uchun 0 × х = 0 , (-1) х = - х tеngliklar urinlidir.
TA'RIF 6: Biror R vеktor fazoning a vеktori shu fazoning а
1 , а
2 ,…, а
m
vеktorlarining chiziqli kombinatsiyasi dan iborat dеyiladi, agarda qandaydir l
1 , l
2 ,
…, l
m haqiqiy sonlarda ushbu tеnglik o ¢ rinli bo ¢ lsa:
а = l
1 а
1 + l
2 а
2 +…+ l
m а
m . (1)
TA'RIF 7: R vеktor fazoning а
1 , а
2 ,…, а
m vеktorlari chiziqli bog¢ liq dеyiladi , agarda
bir vaqtda barchasi nolga tеng bo ¢ lmagan l
1 , l
2 ,…, l
m haqiqiy sonlar mavjud bo ¢ lib,
l
1 а
1 + l
2 а
2 +…+ l
m а
m = 0 (2)
tеnglik o ¢ rinli bo ¢ lsa. Aks holdа а
1 , а
2 ,…, а
m vеktorlar chiziqli bogliqmas (erkli)
dеyiladi.
Ta'rifdan kеlib chiqadiki, bеrilgan а
1 , а
2 ,…, а
m vеktorlar chiziqli bog ¢ liqmas
bo ¢ lsa, u holda (2) tеnglik faqat l
1 = l
2 =…= l
m =0 bo ¢ lganda o ¢ rinli bo ¢ ladi.
Agar а
1 , а
2 ,…, а
m vеktorlar chiziqli bog ¢ lik bo ¢ lsa, u holda ularning har bittasi
qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi ko ¢ rinishida ifodalanadi va aksincha, а
1 , а
2 ,
19

 Ta'rifning asosiy holati uchun keling X ning ochiq kichik to'plamlari to'plami
bo'lsin .
 Agar i chegara tartibli bo'lmasa , u holda i ning bevosita oldidagi tartib i − 1 bo'lsin
Agar i chegara ordinal bo'lsa, o'rnating
Da'vo shundaki, Borel algebrasi G ō
1 bo'lib, bu erda ō
1 birinchi sanab
bo'lmaydigan tartib raqamidir . Ya'ni, operatsiyani takrorlash orqali ochiq to'plamlar
sinfidan Borel algebrasini yaratish mumkin
birinchi sanoqsiz tartib raqamiga.
Ushbu da'voni isbotlash uchun, metrik fazodagi har qanday ochiq to'plam yopiq
to'plamlarning ortib borayotgan ketma-ketligining birlashmasiga e'tibor
bering. Jumladan, to'plamlarning to'ldirilishi G m
xaritalarini har qanday chegara
ordinal m uchun o'z ichiga oladi ; bundan tashqari, agar m sanab bo'lmaydigan chegara
ordinal bo'lsa, G m
sanaladigan birlashmalar ostida yopiladi.
E'tibor bering, har bir Borel B to'plami uchun ba'zi hisoblanuvchi tartibli a
B mavjud,
shuning uchun B ni a
B ustidagi operatsiyani takrorlash orqali olish
mumkin . Biroq, B barcha Borel to'plamlarida o'zgarganidek, a
B barcha sanaladigan
tartiblar bo'yicha o'zgaradi va shuning uchun barcha Borel to'plamlari olinadigan
birinchi tartib ō
1 , birinchi sanab bo'lmaydigan tartibdir. Muhim misol,
ayniqsa, ehtimollar nazariyasida , haqiqiy sonlar to'plamidagi Borel
algebrasi . Bu Borel o'lchovi aniqlangan algebradir. Ehtimollar
fazosida aniqlangan haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olsak , uning ehtimollik
taqsimoti ta'rifiga ko'ra Borel algebrasida ham o'lchovdir.
Realdagi Borel algebrasi R dagi eng kichik s-algebra bo'lib, barcha intervallarni o'z
ichiga oladi .
Transfinit induktsiyasi yordamida qurilishda shuni ko'rsatish mumkinki, har bir
bosqichda to'plamlar soni , eng ko'p, kontinuumning kardinalligidir . Shunday qilib,
Borel to'plamlarining umumiy soni kamroq yoki teng
Aslida, Borel to'plamlari to'plamining kardinalligi kontinuumga teng (mavjud
bo'lgan Lebesg o'lchanadigan to'plamlar soni bilan solishtiring, ular qat'iy kattaroq va
15

teng ). X topologik fazo bo'lsin . X bilan bog'langan Borel fazosi juft ( X , B ), bu
erda B - X ning Borel to'plamlarining s-algebrasi .
Jorj Makki Borel fazosini biroz boshqacha ta'riflab, bu "borel to'plamlari deb
ataladigan alohida s-maydoniga ega bo'lgan to'plam" deb yozgan. [1]
Biroq, zamonaviy
foydalanish ajralib turadigan sub-algebrani o'lchanadigan to'plamlar va bunday
bo'shliqlarni o'lchanadigan bo'shliqlar deb atashdir . Bu farqning sababi shundaki,
Borel to'plamlari ochiq to'plamlar (topologik fazoda) tomonidan yaratilgan s-
algebradir, Makkey ta'rifi esa ixtiyoriy s-algebra bilan jihozlangan to'plamga ishora
qiladi . Pastki fazoda topologiyani tanlash uchun Borel bo'shliqlari bo'lmagan
o'lchanadigan bo'shliqlar mavjud. O'lchanadigan bo'shliqlar kategoriyani tashkil qiladi,
unda morfizmlar o'lchanadigan bo'shliqlar orasidagi
o'lchanadigan funktsiyalardir . Funktsiya Agar u o'lchanadigan to'plamlarni orqaga
tortsa, o'lchanadi, ya'ni Y dagi barcha o'lchanadigan B to'plamlari uchun to'plam
X da o'lchanadi .
Teorema . X Polsha fazosi bo'lsin , ya'ni Xda X topologiyasini aniqlaydigan
va X to'liq ajratiladigan metrik fazoga aylantiruvchi d metrikasi mavjud bo'lgan
topologik fazo bo'lsin. U holda X Borel fazosi sifatida ulardan biriga izomorf bo'ladi
1. R ,
2. Z ,
3. cheklangan makon.
(Bu natija Maharam teoremasini eslatadi .)
Borel bo'shliqlari sifatida qaralsa, haqiqiy chiziq R , R ning sanaladigan to'plam
bilan birlashishi va R n
izomorfdir.
Standart Borel maydoni Polsha makoniga bog'langan Borel maydonidir . Standart
Borel fazosi izomorfizmgacha o'zining kardinalligi bilan tavsiflanadi [3]
va har qanday
son-sanoqsiz standart Borel fazosi kontinuumning kardinalligiga ega.
Polsha bo'shliqlarining kichik to'plamlari uchun Borel to'plamlari Polsha bo'shliqlarida
aniqlangan doimiy in'ektsion xaritalar diapazonlari bo'lgan to'plamlar sifatida
16

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Купить

Информация о документе

Продавец

Algebra va δ-algebra. O'lchovli fazolar

KURS ISHI TALABALAR UCHUN