Algebra va δ-algebra. O'lchovli fazolar
![2MUNDARIJA:
KIRISH ...................................................................................................................3
I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY
MA'LUMOTLAR .................................................................................................... ........ 5
1.1. Algebra va δ -algebra .......... ...............................................................................5
1.2. L emma ....................................................... ................................................... ..11
KIRISH ................................................................................................................................................ 3
Tarkib ................................................................................................................................................... 6
Dinkinning p-l teoremasi [ tahrir ] ............................................................................................................. 9
s-algebralarni birlashtirish [ tahrirlash ] ................................................................................................... 10
pastki fazolar uchun s-algebralar [ tahrir ] ............................................................................................... 11
s-ringga munosabat [ tahrir ] .................................................................................................................... 11
Elektron resurslar ................................................................................................................................... 27](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_1.png?v=1)
![5I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY
MA'LUMOTLAR
1.1. Algebra va δ -algebra
Matematik tahlil va ehtimollar nazariyasida X to'plamidagi s-
algebra (shuningdek, s-maydon ) X ning kichik to'plamlarining S
to'plami bo'lib , to'ldiruvchi ostida yopiladi va sanaladigan birlashmalar va
sanab o'tiladigan kesishmalar ostida yopiladi . Juftlik ( X , S) o'lchanadigan bo'shliq deb
ataladi .
s-algebralar to'plam algebralarining kichik to'plamidir ; ikkinchisining elementlari faqat
chekli ko'p kichik to'plamlarning birlashishi yoki kesishishi ostida yopilishi kerak , bu
zaifroq holat. [1]
s-algebralarning asosiy qo'llanilishi o'lchovlarni belgilashda ; Xususan, ma'lum bir
o'lchov aniqlangan kichik to'plamlar to'plami, albatta, s-algebra hisoblanadi. Ushbu
kontseptsiya matematik tahlilda Lebeg integratsiyasining asosi sifatida va ehtimollar
nazariyasida muhim ahamiyatga ega bo'lib , u ehtimolliklarni belgilash mumkin
bo'lgan hodisalar to'plami sifatida talqin qilinadi. Bundan tashqari, ehtimollik nuqtai
nazaridan, s-algebralar shartli kutishning ta'rifida muhim ahamiyatga ega .
Statistikada (kichik) s - algebralar etarli statistik ma'lumotni rasmiy matematik ta'rifi
uchun kerak bo'ladi [2]
, ayniqsa statistik funktsiya yoki tasodifiy jarayon bo'lsa
va shartli zichlik tushunchasi qo'llanilmaydi.
Agar X = { a , b , c , d } bo lsa,ʻ X da bitta mumkin bo lgan s-algebra ʻ S = { ∅ , { a , b },
{ c , d }, { a , b , c , d } } bo ladi,
ʻ bunda ∅ - bo'sh to'plam . Umuman olganda, chekli
algebra har doim s-algebra hisoblanadi.
Agar { A
1 , A
2 , A
3 , …} X ning hisoblanuvchi bo limi
ʻ bo lsa, bo limdagi to plamlarning ʻ ʻ ʻ
barcha birlashmalari yig ilishi (shu jumladan bo sh to plam ham) s-algebra
ʻ ʻ ʻ
hisoblanadi.
Yana foydali misol - barcha ochiq intervallardan boshlanib, barcha sanaladigan
birlashmalarga, sanaladigan kesishmalarga va nisbiy to'ldiruvchilarga qo'shish va bu
jarayonni (barcha sanaladigan tartiblar orqali transfinite iteratsiya orqali) tegishli](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_4.png?v=1)
![8va faqat qisman ma'lumotlar bilan belgilanadigan kichik to'plamlar to'plamidan
iborat. Bu fikrni isbotlash uchun oddiy misol yetarli.
Tasavvur qiling-a, siz va boshqa bir kishi tangani qayta-qayta ag'darish va uning bosh
( H ) yoki quyruq ( T ) paydo bo'lishini kuzatishni o'z ichiga olgan o'yinga pul
tikishmoqda . Siz va sizning raqibingiz cheksiz boy bo'lganingiz uchun o'yin qancha
davom etishi uchun hech qanday cheklov yo'q. Bu shuni anglatadiki, Ō namuna
maydoni H yoki T ning barcha mumkin bo'lgan cheksiz ketma-ketliklaridan iborat
bo'lishi kerak :
Biroq, tangani n marta aylantirgandan so'ng, keyingi aylantirishdan oldin tikish
strategiyangizni aniqlab olishingiz yoki qayta ko'rib chiqishingiz mumkin. O'sha
nuqtada kuzatilgan ma'lumotni birinchi n burilish uchun 2 n
imkoniyat bilan tavsiflash
mumkin . Rasmiy ravishda, siz Ō ning pastki to'plamlarini ishlatishingiz kerak
bo'lganligi sababli, bu s-algebra sifatida kodlangan.
Keyin buni kuzating
qayerda barcha boshqalarini o'z ichiga olgan eng kichik s-algebra. X bir nechta
to'plam bo'lsin va ruxsat bering uning quvvat to'plamini ifodalaydi . Keyin
kichik to'plam quyidagi uchta xususiyatni qanoatlantirsa, s -algebra deyiladi : [3]
1. X S da, X esa quyidagi kontekstda universal to‘plam hisoblanadi.
2. S to'ldiruvchi ostida yopiladi : Agar A S da
bo'lsa , uning to'ldiruvchisi X \ A bo'ladi.
3. S hisoblanuvchi birlashmalar ostida yopiladi : Agar A
1 , A
2 , A
3 , ... S da
bo'lsa, A = A
1 ∪ A
2 ∪ A
3 ∪ … .
Bu xossalardan kelib chiqadiki, s-algebra ham hisoblanuvchi kesishmalar ostida
yopiladi ( De Morgan qonunlarini qo'llash orqali ).
Bundan tashqari, bo'sh ∅ to'plam S da bo'ladi, chunki (1) X ning S da va (2) uning
to'ldiruvchisi bo'sh to'plam ham S da ekanligini tasdiqlaydi. Bundan tashqari, { X ,
∅ } (3) shartni ham qanoatlantirganligi sababli, { X , ∅ } X da mumkin bo'lgan eng](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_7.png?v=1)
![9kichik s-algebra ekanligi kelib chiqadi . X da mumkin bo'lgan eng katta s-algebra
.
s -algebraning elementlari o'lchanadigan to'plamlar deyiladi . Tartiblangan juftlik ( X ,
S ) , bu erda X to'plam va S X dan s -algebra bo'lib , o'lchanadigan fazo deyiladi . Har
bir o'lchanadigan to'plamning oldingi tasviri o'lchanadigan bo'lsa , ikkita o'lchanadigan
bo'shliq orasidagi funktsiya o'lchanadigan funktsiya deb ataladi. O'lchanadigan
bo'shliqlar to'plami morfizm sifatida o'lchanadigan funktsiyalari bilan bir toifani tashkil
qiladi . O'lchovlar s dan ma'lum turdagi funktsiyalar sifatida aniqlanadi-algebradan [0,
∞] gacha.
s-algebra ham p-tizim , ham Dinkin tizimi (l-tizim). Dinkin teoremasi bo'yicha (quyida)
buning aksi ham to'g'ri.
Dinkinning p-l teoremasi [ tahrir ]
Bu teorema (yoki tegishli monoton sinf teoremasi ) o'ziga xos s-algebralarning
xossalari bo'yicha ko'plab natijalarni isbotlash uchun muhim vositadir. U ikkita
oddiyroq to'plamlar klassi, xususan, quyidagilarning tabiatiga asoslanadi.
p - tizim P - chekli ko'p kesishmalar ostida yopilgan X ning kichik to'plamlari
to'plami va
Dynkin tizimi ( yoki l-tizim) D - X ni o'z ichiga olgan va to'ldiruvchi ostida
va ajratilgan kichik to'plamlarning hisoblanuvchi birlashmalari ostida yopilgan
X ning kichik to'plamlari to'plami.
Dinkinning p-l teoremasida aytilishicha, agar P p-tizim bo'lsa va D P ni o'z
ichiga olgan Dynkin tizimi bo'lsa, P tomonidan yaratilgan s-algebra
s( P ) D tarkibida mavjud bo'ladi . Ba'zi p-tizimlar nisbatan sodda sinflar
bo'lganligi sababli, P dagi barcha to'plamlar ko'rib chiqilayotgan
xususiyatdan foydalanishini tekshirish qiyin bo'lmasligi mumkin , boshqa
tomondan, barcha kichik to'plamlarning D to'plami Dynkin tizimi ekanligini
ko'rsatishi mumkin. ham to'g'ri bo'ling. Dinkinning p-l teoremasi shundan
dalolat beradiki, s( P ) dagi barcha to‘plamlar s( P ) da ixtiyoriy to‘plamni
tekshirish vazifasidan qochib, xususiyatdan foydalanadi.).](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_8.png?v=1)
![10p-l teoremasining eng asosiy qo'llanilishidan biri alohida belgilangan o'lchovlar yoki
integrallarning ekvivalentligini ko'rsatishdir. Masalan, X tasodifiy o'zgaruvchining
ehtimolini odatda ehtimollikni hisoblash bilan bog'liq bo'lgan Lebesgue -Stieltjes
integrali bilan tenglashtirish uchun ishlatiladi:
R dagi Borel s-algebrasidagi barcha A uchun ,
Bu erda F ( x ) R da aniqlangan X uchun kümülatif taqsimot funksiyasi , esa
ehtimollik o'lchovi bo'lib, ba'zi bir namuna fazosi Ō kichik to'plamlarining s-
algebrasida aniqlanadi .
s-algebralarni birlashtirish [ tahrirlash ]
Faraz qilaylik X fazodagi s-algebralar to'plamidir .
s-algebralar to'plamining kesishishi s-algebradir. Uning s-algebra sifatidagi
xarakterini ta'kidlash uchun u ko'pincha quyidagi bilan belgilanadi:
Isbotning eskizi: S ∗ kesmani
belgilasin. X har bir S
a da bo'lgani uchun S ∗
bo'sh
emas. Har bir S
a uchun to'ldiruvchi va sanaladigan birlashma ostidagi
yopilish S ∗
uchun ham xuddi shunday bo'lishi kerakligini bildiradi . Demak, S ∗
s-
algebra hisoblanadi.
s-algebralar to'plamining birlashuvi odatda s-algebra yoki hatto algebra emas, lekin
u odatda birlashma deb ataladigan s-algebrani hosil qiladi .
Birlashishni hosil qiluvchi p-tizim
Isbotning eskizi: n = 1 holatdan ko'rinib turibdiki, har biri , shunday
Bu nazarda tutadi
kichik to'plamlar to'plami tomonidan yaratilgan s-algebra ta'rifi bilan . Boshqa
tarafdan,](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_9.png?v=1)
![11Bu Dinkinning p-l teoremasi bo'yicha, nazarda tutadi
pastki fazolar uchun s-algebralar [ tahrir ]
Faraz qilaylik , Y X ning kichik to'plami va ( X , S) o'lchanadigan fazo bo'lsin.
{ Y ∩ B : B ∈ S to plami Y ning kichik to plamlarining s-ʻ ʻ algebrasidir .
Faraz qilaylik ( Y , L) o'lchanadigan fazo. { A ⊂ X : A ∩ Y
∈ L} to plami ʻ X ning
kichik to plamlarining s-algebrasidir
ʻ .
s-ringga munosabat [ tahrir ]
s -algebra S shunchaki X universal to'plamini o'z ichiga olgan s -halqadir . [4]
s -
halqa s -algebra bo'lishi shart emas , masalan, haqiqiy chiziqdagi nol Lebeg
o'lchovining o'lchanadigan kichik to'plamlari s - halqadir, lekin s -algebra emas, chunki
haqiqiy chiziq cheksiz o'lchovga ega va shuning uchun bu mumkin emas. ularning
hisoblash birlashmasi orqali olinadi. Agar nol o'lchov o'rniga chekli Lebesg
o'lchovining o'lchanadigan kichik to'plamlari olinadigan bo'lsa, ular halqa bo'ladi ,
lekin s - halqa emas , chunki haqiqiy chiziqni ularning sonli birlashuvi orqali olish
mumkin, lekin uning o'lchovi chekli emas.
1.2. L emma
Lemma - bu so'z [lug'atda] kiritilgan va uning o'rnini belgilaydigan asosiy
shakldadir: odatda, "ildiz" yoki eng oddiy shakl
( yagona ism , hozirgi / infinitive fiil va boshqalar). agar ular oldindan taxmin
qilinadigan bo'lsa (masalan, bu erda keltirilgan ko'plik ayıları kabi) kiritilsa,
fe'llarning noto'g'ri o'tmishdagi shakllari berilgan (ular odatdagi qo'shimchani qo'shib
qo'yishning odatiy tartib- qoidasiga rioya qilmaslik uchun tartibsiz) va kesishning bir
belgisi kesish singari chizilgan shakldagi matnlarni ikki marta takrorlash kerakligini
ko'rsatib turibdi.Bu noyob shakl, o'zaro mos yozuvlar bilan alohida lemma sifatida
paydo bo'lishi mumkin [Bu ikki lug'at , Nyu-Shorter Oxford English Dictionary , 1993]
"AAR" ning "vujudga kelishi" va "vujudga keladigan", "fe'lning o'tmishdagi](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_10.png?v=1)
![teng ). X topologik fazo bo'lsin . X bilan bog'langan Borel fazosi juft ( X , B ), bu
erda B - X ning Borel to'plamlarining s-algebrasi .
Jorj Makki Borel fazosini biroz boshqacha ta'riflab, bu "borel to'plamlari deb
ataladigan alohida s-maydoniga ega bo'lgan to'plam" deb yozgan. [1]
Biroq, zamonaviy
foydalanish ajralib turadigan sub-algebrani o'lchanadigan to'plamlar va bunday
bo'shliqlarni o'lchanadigan bo'shliqlar deb atashdir . Bu farqning sababi shundaki,
Borel to'plamlari ochiq to'plamlar (topologik fazoda) tomonidan yaratilgan s-
algebradir, Makkey ta'rifi esa ixtiyoriy s-algebra bilan jihozlangan to'plamga ishora
qiladi . Pastki fazoda topologiyani tanlash uchun Borel bo'shliqlari bo'lmagan
o'lchanadigan bo'shliqlar mavjud. O'lchanadigan bo'shliqlar kategoriyani tashkil qiladi,
unda morfizmlar o'lchanadigan bo'shliqlar orasidagi
o'lchanadigan funktsiyalardir . Funktsiya Agar u o'lchanadigan to'plamlarni orqaga
tortsa, o'lchanadi, ya'ni Y dagi barcha o'lchanadigan B to'plamlari uchun to'plam
X da o'lchanadi .
Teorema . X Polsha fazosi bo'lsin , ya'ni Xda X topologiyasini aniqlaydigan
va X to'liq ajratiladigan metrik fazoga aylantiruvchi d metrikasi mavjud bo'lgan
topologik fazo bo'lsin. U holda X Borel fazosi sifatida ulardan biriga izomorf bo'ladi
1. R ,
2. Z ,
3. cheklangan makon.
(Bu natija Maharam teoremasini eslatadi .)
Borel bo'shliqlari sifatida qaralsa, haqiqiy chiziq R , R ning sanaladigan to'plam
bilan birlashishi va R n
izomorfdir.
Standart Borel maydoni Polsha makoniga bog'langan Borel maydonidir . Standart
Borel fazosi izomorfizmgacha o'zining kardinalligi bilan tavsiflanadi [3]
va har qanday
son-sanoqsiz standart Borel fazosi kontinuumning kardinalligiga ega.
Polsha bo'shliqlarining kichik to'plamlari uchun Borel to'plamlari Polsha bo'shliqlarida
aniqlangan doimiy in'ektsion xaritalar diapazonlari bo'lgan to'plamlar sifatida
16](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_15.png?v=1)
![tavsiflanishi mumkin. Shuni yodda tutingki, doimiy bo'lmagan xarita diapazoni Borel
bo'lmasligi mumkin. Analitik to'plamga qarang .
Standart Borel maydonidagi har bir ehtimollik o'lchovi uni standart ehtimollik
maydoniga aylantiradi . Lusin [4]
tufayli Borel bo'lmagan reallarning kichik to'plamiga
misol quyida tasvirlangan. Bundan farqli o'laroq, o'lchovsiz to'plamning misolini
ko'rsatish mumkin emas, lekin uning mavjudligi isbotlanishi mumkin. Har
bir irratsional son cheksiz davomli kasr bilan yagona tasvirga ega qayerda ba'zi
bir butun va boshqa barcha raqamlardir musbat butun sonlardir . Mayli
ketma-ketliklarga mos keladigan barcha irratsional sonlar to'plami bo'lsin
quyidagi xususiyatga ega: cheksiz pastki ketma- ketlik mavjud Shunday qilib,
har bir element keyingi elementning bo'luvchisi bo'ladi. Bu to'plam Borel
emas. Aslida, bu analitik va analitik to'plamlar sinfida to'liq. Qo'shimcha ma'lumot
olish uchun tavsiflovchi to'plam nazariyasiga va Kechris kitobiga qarang , ayniqsa 209-
betdagi Mashq (27.2), 169-betdagi Ta'rif (22.9) va 14-betdagi (3.4) (ii) mashqlari.
Shuni ta'kidlash kerakki, ayni paytda ZFda tuzilishi mumkin, faqat ZFda Borel
bo'lmaganligini isbotlab bo'lmaydi. Aslida, bu ZF bilan mos keladi sanaladigan
to'plamlarning sanaladigan birlashmasi bo'lib, [5]
ning istalgan kichik to'plami
Borel to'plamidir.
Borel bo'lmagan boshqa to'plam - bu teskari tasvir cheksiz paritet funksiyasi
. Biroq, bu aniq misol emas, mavjudlikning isboti (tanlov aksiomasi orqali).
2.2. O'lchovli fazolar
17](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_16.png?v=1)
![1)x+y= y+x(kommutativlik );
2)x+(y+z)=(x+y)+z(assotsiativlik );
3)L da shunaqa 0 element mavjud bo 'lib ,∀ x∈L uchun x+0= x(no ln ing mavjud −
ligi ),
4)∀ x∈L uchun shunaqa − x element mavjudki ,x+(− x)=0 (teskari elementning mavjudligi ).II. Ixtiyoriy
α son va ixtiyoriy x∈L element uchun shunaqa αx ∈L element aniqlangan
(
x elementning α songa ko’paytmasi) bo’lib,
1)α(βx )= (αβ )x ,
2)1⋅x= x,
3)(α+β)x= αx +βx ,
4)α(x+y)= αx +αy
munosabatlar bajariladi.
Misollar. 1.1. To’g’ri chiziq
−R1− barcha haqiqiy sonlar to’plami odatdagi
qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazoni hosil qiladi.
1.2.
n ta sonlar (haqiqiy yo’ki kompleks) ning mumkin bo’lgan barcha sistemasi
x=(x1,x2,⋯ ,xn)
to’plami
(x1,x2,⋯ ,xn)+(y1,y2,⋯ ,yn)= (x1+ y1,x2+ y2,⋯ ,xn+ yn),
α (x1,x2,⋯ ,xn)= (αx 1,αx 2,⋯ ,αx n)
kabi aniqlangan qo’shish va songa ko’paytirish amallariga nisbatan ham chiziqli fazoni
tashkil giladi. Bu fazo
n -o’lchovli arifmetik fazo deyiladi va Rn belgilanadi.
1.3.
[a,b] oraliqda uzluksiz (haqiqiy yo’ki kompleks) barcha funksiyalar to’plami
odatdagi qo’shish va songa ko’paytirish amallari bo’yicha
C[a,b] –chiziqli fazoni
tashkil qiladi. Bu fazo analizning eng muhim fazolaridan biri sifatida keyingi
mavzularda tez-tez uchrab turadi.
1.2. Chiziqli bog’langanlik.
Ta’rif 1.2.
L chiziqli fazoning x,y,⋯ ,w elementlari uchun hammasi bir vaqtda
nolga teng bo’lmagan
α,β,⋯ ,λ sonlar mavjud bo’lib,
αx +βy +⋯ +λw = 0
( ¿ )
tenglik bajarilsa, u holda bu elementlar chiziqli bog’langan deyiladi. Aks holda, ya’ni
agar (
¿ ) tenglikdan α= β= ⋯ = λ= 0 munosabat kelib chiqsa, u holda bu elementlar
22](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_21.png?v=1)
![chziqli bog’lanmagan deyiladi.
Agar L fazoning chelsiz x,y,⋯ elementlari sistemasining ixtiyoriy chekli qism-
sistemasi chiziqli bog’lanmagan bo’lsa, u holda bu elementlar sistemasi chiziqli
bog’lanmagan deyiladi.
Agar
L fazoda n ta chiziqli bog’lanmagan elementlar sistemasi topilib, bu
fazoning ixtiyoriy
n+1 ta elementlari chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda L fazo n -
o’lchovli deyiladi. Agar
L fazoda ixtiyoriy chekli sondagi chiziqli bog’lanmagan
elementlar sistemasi topilsa, u holda
L fazo cheksiz o’lchovli deyiladi. n -o’lchovli L
fazoning bazisi deb ixtiyoriy
n ta chiziqli bog’lanmagan elementlari sistemasiga
aytiladi. Oson ko’rsatish mumkinki,
Rn ning o’lchovi n ga teng. Haqiqattan, n ta
chiziqli bog’lanmagan elementlar sistemasi sifatida
e1=(1,0 ,⋯ 0),e2=(0,1,0 ,⋯ 0),⋯ ,en(0,0 ,⋯ 0,1 )
ni olish mumkin. Agar ixtiyoriy
α1,α2,⋯ ,αn
sonlar sistemasini olib, α1e1+α2e2+⋯ +αnen=0 tenglikni tuzsak, u holda
uning bajarilishi ushbu
α1⋅1+α2⋅0+α3⋅0+⋯ +αn⋅0= 0,
α1⋅0+α2⋅1+α3⋅0+⋯ +αn⋅0= 0,
……………………………………..
α1⋅0+α2⋅0+α3⋅0+⋯ +αn⋅1= 0
n
ta tengliklar sistemasining bajarilisgiga tengkuchlidir. Bu sistema esa yagona
α1= α2=⋯ = αn= 0
yechimga ega bo’lganligi uchun e1,e2,⋯ ,en∈Rn sistema chiziqli
bog’lanmagandir. U
Rn fazoning bazisi bo’ladi, chunki ∀ x=(x1,x2,⋯ ,xn)∈ Rn elementni
x= x1e1+x2e2+⋯ +xnen
ifodalash uchun quyidagi teoremadan foydalanamiz ([3], 53-54).
Teorema 1.1. Agar chiziqli fazo bazisga ega bo’lsa, u holda uning o’lchovi bazis
elementlari soniga teng bo’ladi.
Demak,
Rn fazoning o’lchovi n ga teng.
C[a,b] fazoning o’lchovi esa cheksizga teng ekanligini ko’rsating.
Ta’rif 1.3.
L chziqli fazoning bo’ch bo’lmagan qism-to’plami L' unda aniqlangan
qo’shish va songa ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazoni tashkil etsa, u holda
u
L fazoning qism-fazosi deyiladi. Boshqacha aytganda, L'⊂ L bo’lib, x∈L',y∈L'
23](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_22.png?v=1)
![dan ixtiyoriy α,β sonlar uchun αx +βy ∈L' kelib chiqsa, u holda L' L ning qism-
fazosi deyiladi.
Misol. 1.4.
C[a,b] – [a,b] oraliqda uzluksiz funksiyalar fazosida P[a,b]− barcha
algebraik ko’phadlar to’plami cheksiz o’lchovli qism-fazoni hosil qiladi (isbotlang).
Ta’rif 1.4. Agar haqiqiy chziqli
L fazoda aniqlangan manfiymas p funksional
quyidagi
1)
p(x+y)≤ p(x)+p(y)∀ x,y∈L;
2)
p(αx )=αp (x)∀ α>0 shartlarni qanoatlantirsa, u holda u qavariq deyiladi.
1.5. Normalashtirilgan fazolar.
Ta’rif 1.5. Faraz qilaylik,
L− chiziqli fazo bo’lsin. L da aniqlangan chekli
qavariq
p funksional quyidagi
1)
p(x)= 0 ⇔ x= 0,
2)
p(αx )=|α|p(x)∀ α
qo’shimcha sartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Ta’rif 1.6. Biror norma berilgan
L chiziqli fazo normalashtirilgan fazo deb
aytiladi.
Agar istalgan normalshtirilgan fazoda
ρ(x,y)=‖x−y‖ masofa kiritilsa, u holda u
metric fazoga aylanadi.
Misollar:
1.5. Elementlari
x=(x1,x2,⋯ ,xn) dan iborat haqiqiy n -o’lchovli Rn fazo uchun
‖x‖=(∑k=1
n
xk2)1/2
deb olsak, u normalashtirilgan fazoga aylanadi.
1.6. Uzluksiz funksiyalarning
C[a,b] fazosida normani ‖f‖=maxa≤t≤b|f(t)| formula
orqali aniqlaymiz. Norma shartlari bajarilishini ko’rsating. Unda metrika qanday
aniqlanadi?
1.6. Normalashtirilgan fazoning chekli o’lchovli qism-fazosi.
Normalashtirilgan fazolarda yopiq qism-fazolar (ya’ni barcha limitik nuqtalarini
24](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_23.png?v=1)
![o’zida saqlaydigan) asosiy qiziqish uyg’otadi. Chekli o’lchovli normalashtirilgan
fazolarda har qanday qism-fazo avtomatik ravishda yopiqdir (buni isbotlang). Cheksiz
o’lchovli holda bu unaqa emas.
Masalan, C[a,b] fazoda barcha algebraik ko’phadlar fazosi qism-fazoni tashkil etadi.
Lekin u yopiq emas. Nima uchun? Shu sababli, normalashtirilgan fazoning qism-
fazosi deb endi faqat yopiq qism-fazoni atashga kelishib olamiz.
X U L O S A
O`quvchi doimo o`z oldiga ― darslikdagi o`quv mat е riali o`quvchiga qanday
tarbiyalarni b е radi d
‖ е gan savol qo`yish k е rak . Darslikdan b е rilgan ko`pchilik
mazmun va matinli masalalar faqat ta‘lim maqsadlarini hal qilishi k е rak , d е gan fikr
mutloqo noto`g`ri. Balki, bu va mashqlar ko`pgina tarbiyaviy ishlarni ham amalga
oshiradi .Masalan : kishilarning turmush va m е hnatlari xalq xo`jaligi r е jalari , rejalarni
bajarishdagi kurashish , tadbirkorlikning moxiyati , mustaqillik uchun mehnat qilish va
kurashish , unumdorligi , xom – ashyo , vaqtni tejash , narx , savdo , texnika va
boshqalar to`g`risida ma‘lumotlar b е radi. Darslikda tavsiya qilingan har xil turdagi
mashqlar boshlang`ich sinfda mat е matika o`qitish orqali amalga oshiriladigan
tarbiyaviy masalalarning bajarilishi uchun imkoniyat yaratadi. O`qitishing е ffiktivligi
ana shu imkoniyatlarni hisobga olish orkali amalga oshiriladi. Bunday ko`p sondagi
mashqlar turli xil ifodalarni taqoslash bilan bogliqdir .Masalan , amal kompan е ntlari va
amal natijalari orasidagi bog`lanishni aniqlash uchun jadvallar orqali bu
kompan е ntlarning o`zgarish sabablarini bilib oladilar. Tarbiyaviy vazifalarni y е chish
uchun darslikdan il‘yustirativ (kursatma) mat е riallar ko`rsatilgan. Bular
o`quvchilarning konkrеt va abstrakt fikrlashining rivojlanishiga yordam bеradi.
Prеdmеt ko`rgazmasidan shartli ko`rgazmaga ( sxеma , chizma ) o`tish har xil
formadagi matеmatik munosabatlarni modеllashtirish bilan o`quvchilarni tanishtirish
ta‘minlanadi. Darslikdagi il‘yustirativ ko`rgazmalar matematik o`qitish bilan turmushni
mustahkam bog`lashda katta rol o`ynaydi, ular matеmatik bog`lanishlar bilan
tanishadilar va ularga amaliy qo`llanish imkoniyatlarni ko`rishda yordam
25](https://docx.uz/documents/36b3041d-91bb-460a-8935-835fb482bb52/page_24.png?v=1)
KURS ISHI TALABALAR UCHUN
-
Похожие документы
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq