• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 46000UZS
Размер 205.1KB
Покупки 0
Дата загрузки 19 Январь 2025
Расширение docx
Категория Алгебра

Продавец

Alisher

Дата регистрации 03 Декабрь 2024

79 Продаж

Algebraik ko’phadlarni Nyuton va Lagranj usullari yordamida interpolyatsiyalash

13Shartni quyidagicha yozib olamiz: m P n (x 0 )= m y 0 ( m= 0, n (1.2) Ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda yozib izlaymiz P n (x)= a 0 + a 1 ( x – x 0 )+ a 2 (x - x 0 )(x - x 1 )+ + a 2 (x – x 0 )(x - x 1 )( x – x 0 )+ … +a n (x - x 0 )(x - x 1 ) (x – x 2 )(x – x 3 ) …( x – x i-1 ) Umumlashgan darajadan foydalanib bu ifodani quyidagich yozamiz P n (x)= a 0 + a 1 ( x – x 0 ) [1] +a 2 ( x – x 0 ) [2] + a 2 ( x – x 0 ) [3] + + …. + a 2 ( x – x 0 ) [n] . (1.3) Masala P n ( x ) ko‘phadning a 0 ,a 2 , a 3 , .................... ,a n koeffitsientlarini topishdan iborat. (1.3) tenglikda x= x 0 deb faraz qilib quyidagiga ega bo‘lmiz P n (x 0 )= y 0 =a o bunda a 0 =y 0 a1 koeffitsientni toppish uchun P n(x) ko‘phadning birinchi chekli ayirmasini tuzamiz. P n (x)= a 1 h + a 1 2h( x - a 0 ) [1] + 3 a 1 h( x - a 0 ) [2] + … + a 1 nh( x - a 0 ) [n-1] Bu yerda x=x 0 deb faraz qilib ,quyidagiga ega bo‘lmiz: 2 P n (x 0 )= 2 y 0 =a 2 2! 2 ,bunda a 2 = Jarayoni ketma – ket takrorlab borib ,biz y 0 2! h 2 24f(x 0 ),y 1 = f(x 1 ), … ,y n = f(x n ). f(x) funksiya uchun Lagranjning L n (x) interpolyatsiya ko‘phadi tuzildi.Tuzilgan kko‘phad qolgan nuqtalarda f(x) funksiyasini hosil qiladi,yani Rn(x)=f(x)-L n(x ) qoldiq 14shundan topamiz ,bu yerda 0!=1 va 0 y 0 =y 0 deymiz. a 0 ,a 2 , a 3 , ...................... ,a n koeffitsientlarni topillgan qiymatlarni (1.3) ifodaga qo‘yib , Nyutonning interpolyatsiya ko‘phadni hosil qilamiz (1.4) ko‘phad qo‘yilgan masalaning talablari butunlay qanotlantiradi. Nyutonning (1.4) interpolyatsiya formulasini sodaroq ko‘rish uchun y yangi q= bilan yuqoridagi soddalashtirilga ko‘rinishda yoziladi.U holda x x 0 n kirtish ( x x ) [ n ] x x n x x 2 h x x 2 h x x h i 0 n ! n … n n = n =q( q - 1 )( q - 2 ) …( q – i +1 ) bu yerda i= 0, n Bu yerda (1.4) gag a qo‘yib ,quyidagiga ega bo‘lamiz P (x)=y +q y + q ( q 1) y + q ( q 1)( q 2) y + … + n q + 0 1) ( q 2! 0 2)...( q n 1) n ! 3! 0 y 0 (1.5) bu yerd a q= x x 0 n x0 nuqtadan chiqib x nuqtaga yetguncha oraliqdagi qadamlar sonini ifodalaydi.(1.5) formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidir. Bu formula funksifaning boshlang‘ich x 0 qiymatni atrofida interpolyatsialashda qo‘llaniladi ,bu yarda q – absolyut qiymati bo‘yicha olingan son. n=1bo‘lganda chiziqli interpolyatsiya formulasini tuzamiz: P n (x)= y n +q y 0 + q ( q 2 1) y 0 n=2 bo‘lganda parabolik yoki kvadratik interpolyatsiyasini tuzilmasiga ega bo‘lamiz q ( q 1) P 2 (x)= y 0 + q y 0 + 2 2 y 0 4 – misol.Jadvalda berilgan y=f(x) fuksiya uchun Nyutonni birinchi n 5 y=F(x) y=f(x) M 2 M i M 1 M n M 0 Y0 y 1 Y 2 y i y nINTERPOLYATSIYA 1.Masalaning qo‘yilish : [a;b] kesmada n+1 ta nuqta berilgan x0 , x1 , x2................................ x n Bu nuqatalar interpolyatsiya tugunlari deb ataladi.Biror f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymati quyidagiga teng bo‘ladi f(x 0 )= y0 , f( x1)= y1 , f( x2 )= y2 , ................ f( xi )= yi ,................. f( xn )= yn Malum sinfga tegishli bo‘lgan va interpolyatsiya tugunlarda f(x) funksiya qabul qilgan qiymatlarni ya‘ni : F(x 0 )= y0 , F( x1)= y1 , F( x2 )= y2 , … … … F( xi )= yi ,............ F( xn )= yn Qiymatlarni qabul qiluvchi F(x) funksiyani (interpolyatsiyalanuvchi funlsiyani) yasash talab qilinsin .Geometrik nuqtai nazardan bu berilgan nuqtalarning quyidagi tizmasi orqali o‘tuvchi biror malum turdagi y=F(x) egri chiziqni topishni anglatadi . M 0 =( x0 , y0 ) , M 1 =( x1, y1 ) , M 2 =( x2 , y2 ) , … …. , M i =( xi , yi ) , … … M n =( xn , yn ) 21+ … + ( x – x0)( x – x1 ), … ,( x – xn-1 ) ; Bu yerda x = xi ,i = 0, n deb xisoblab,quyidagiga ega bo‘lamiz:П n+1 (x i ) = ( x i - x 0 )(x i – x 1 ), … ,( x i – x i-1 )( x – - x i+1 ) ... ( x i - x n ). (1.10) va (1.11) ifodalarni (1.9) formulaga qo‘yamiz : n П ( x ) L (x) = n 1 y i (1.12) 29FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI 1. Yo. U. Soatov ― Oliy matematika ‖ 2-tom, 5-tom. 2. T. X. Xolmatov ― Informatika ‖ darslik. 3. Л. И. Турчак ― Основны численных методов .‖ Москва << Наука >> 1987 год. 4. Intern et saytla ri: www .goog le.uz www.ref.uz www.algolist.ru 26qo‘llaymiz. x i : 0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99 y i : 0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1.52386 29Nyuton interpolyatsiyasi formulasi: x i : 0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99 y i : 0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1. 52386 x=0.774 k=1 da p=p*(x-x k-1 )=1*(0.526-0.35)=0.176 i=0 da bo‘yicha =-7.3118 . . . l=l+p*y 0 bo‘lgani uchun l=2.73951+0.176*(- 7.3118)=1.452627 k=2 da p=p*(x-x k-1 )= p*(x-x 1 )=0.176*(0.526-0.41)=0.020416 i=0 da bo‘yicha =-3.9338819 . . . l=1.452627+0.020416*(-3.9338819)=1.372313 ... k= 5 da l ... natijaga ega bo‘lamiz 18( 0,6) (0,61) ( 0,6 3! 2)y n 1 y n 2 y n 3 P n (x)=y 0 + 1! q + 2! q (q + 1) + 3! q( q + 1 )( q + 2 ) + … y 1 + 1! q( q + 1 )( q + 2) + … … +( q + n – 1 ). (1.8) (1.8) formula Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya ko‘phadni ko‘rinishi. 5 – misol.y=lgx funksiyaning qiymatlari jadvalda berilganx 1000 1010 1020 1030 1040 1050 y 3,00000 3,00432 3,00560 3,01283 3,01783 3,02119 lg 1044 ni toping. Yechish.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz x Y y 2 y i 3 y i 4 y i 5 y i 1000 1010 1020 1030 1040 1050 3,00000 3,00432 3,00560 3,00883 3,01783 3,02119 0,00432 0,00428 0,00423 0,00420 0,00346 -0,00004 -0,00005 -0,00007 -0,00004 -0,00001 -0,00002 -0,00003 0,00001 -0,00001 - 0,00002 x x 0 1044 1050 q = h = 10 = -0,6, y 3,02119 + 0,00001 0,00416 1! ( -0,6 ) - 0,00004 2! ( -0,6)( -0,6+1 ) – - … 3,01829 7. Lagranjning interpolyatsiya formulasi. Nyutonning interpolyatsiya formulasi faqat teng masofalarda yotuvchi interpolyatsion tugunlari holi uchun yaroqli.Ixtiyoriy oraliqda berilgan interpolyatsialash tugunlari uchun Lagranjning interpolyatsiya formulasi deb ataluvchi anchagina umumiyroq bo‘ladigan formuladan foydalaniladi. x(n) , y(n) x , Lboshlash n i = 0 , n j = 0 , n ij L = L + p*yi L tamom 21 P = p*(x - xj)/(xi - xj)P = 1Lagranj usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish. 6Masalaning bunday umumiy qo‘yilishi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi aytib o‘tilgan nuqtalar orqali cheksiz ko‘p egri chiziq o‘tkazish mumkin ,yoki umuman yechimga ega bo;lmasligi mumkin. Biroq,agar ixtiyoriy F(x) funksiya o‘rniga quyidagi shartlarni qanotlantiruvchi n – darajaliP 0 ( x0 )=y 0 , P 1 ( x1 )=y 1 , P 2 ( x2 )=y 2, … …. , P i ( xi )=y i , ................. , P n ( xn )=y n komponent izlansa bu masala bir qiymatli bo‘lib qoladi. Hosil qilinga interpolyatsiya funksiyalari odatda berilgan f(x) funksiyaning x argumentini interpolyatsiya tugunlaridan farqli qiymatlardagi qiymatlarini taqribiy hisoblash uchun qo‘llaniladi.Bunday amal f(x) funksiyani interpolyatsiya (x [ x0 , xn ] ) bo‘lganda va ekstoropolyatsialash (x [ x0 , xn ] ) bo‘lganda deb ataladi. 2. Chekli ayirmalar: Interpolyatsiya formulalarni tuzmish haqidagi masalaga o‘tishdan oldin chekli ayirmalar tushunchasini tanishib chiqamiz: Aytaylik: y=f(x) – berilgan funksiya, argumenti x ortirmasi – tayinlagan miqdori bo‘lsin. 1 – Tarif :Ushbu y=f(x+ x) – f(x) yirma y=f(x) funksiysaning birinchi chekli ayirmasi (yoki birinchli tartibli chekli ayirma deb) ataladi. Yuqori tartibli chekli ayirma ham shunga o‘xshash tariflanidi: n y = ( n 1 y) , bu yerda n=1,2,3,… ……, 1-misol.Ikkinchi tartbili chekli ayirma hisoblang: Yechish :Tarifga ko‘ra quyidagiga ega bo‘layliz: n y= ( n 1 y) - (f(x+ x) – f(x)) - y(x+ x) + x) + f(x+ x)) - f(x+ x)- y(x+ 4Masalaning qo’yilishi : 17-Variant:Lagranj va Nyuton ko‘phadlarni interpolyatsiya usulida hisoblang . X i 0.68 0.73 0.80 0.88 0.93 0.99 Y i 0.8086 6 0.8949 2 1.0296 4 1.2096 6 1.3408 7 1.5236 8 F( 0.774) nuqtadagi qiymatni hisoblang. nn 22i 1i (xi )( x xi ) (1.12) formuladagi yi lar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb ataladi va quyidagich belgilanildi : L [i] (x) = n П ( x ) n i 0 П ( x )( x x ) n 1 i i Bunda Lagranjning (1.12) formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi : L n (x) = n y i L [i] (x) Lagranj formulalarni qo‘llash uchun xi – xn ayirmalar jadvalini tuzamiz : 0 0 1 2 3 i n D i Y i Y i /D i 0 1 2 3 … i … n x – x 0 x 0 – x 1 x 0 – x 2 x 0 – x 3 … x 0 - x i … x 0 – x n x 1 – x 0 x– x 1 x 1 – x 2 x 1 – x 3 … x 1 - x i … x 1 – x n x 2 – x 0 x 2 – x 1 x– x 2 x 2 – x 3 … x 2 - x i … x 2 – x n x 3 – x 0 x 3 – x 1 x 3 – x 2 x– x 3 … x 3 – x i … x 1 – x n x i – x 0 x i – x 1 x i – x 2 x i – x 3 … x - x i … x i – x n x n – x 0 x n – x 1 x n – x 2 x n – x 3 … x n - x i … x – x n D 0 D 1 D 2 D 3 …. D i … D n y 0 y 1 y 2 y 3 … y i … y n y 0 /D 0 y 1 /D 1 y 2 /D 2 y 3 /D 3 … y i /D i … y n /D n Jadvaldagi D 0 , D 1 , D 2 , D 3 , … , D n – mos ravishdagi satrlar ko‘paytmasi. D i = ( x i – x 1 ) ( x i – x 2 ) ( x i – x 3 ) … ( x – x i ) … ( x i – x n ) П n+1 (x) – ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi. П n+1 (x) = ( x – x 0 ) ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) … ( x – x i ) … ( x – x n ) Demak n 23 n i i 1 D i y n i i 1 D i y L [i] (x) = , i = 0, nn i va koeffsientlar i topiladi Demak, L n (x) = П n+1 (x) , bu yerda = S n+1 – jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib, L n (x) = П n+1 (x) S n+1 . 6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan X 81 85 87 88 89 90 Y 0,12346 0,11765 0,011494 0,011364 0,011236 0,011111 x i x i -x 0 x i -x 1 x i -x 2 x i -x 3 x i -x 4 x i -x 5 D i y i Y i /D i 81 85 87 88 89 90 2 4 6 7 8 9 -4 -1 2 3 4 5 -6 -2 -3 1 2 3 -7 -3 -1 -4 1 2 -8 -4 -2 -1 -5 1 -9 -5 -3 -2 -1 -6 -36287 -480 216 -168 320 -1620 0,12346 0,11765 0,011494 0,011364 0,011236 0,011111 -0,34026*10 -6 -0.2451*10 -6 -0,53219*10 -6 -0,67642*10 -6 -0,35112*10 -6 -0,68582 * 10 -6 f(84) = Пn Sn = -1080( -1)0,36676 10 -4 = 0,0112 9. Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash. Biz x 0 ,x 1 ,x 2 , … ,x n nuqtalarda berilgan y 0 ,y 1 ,y 2 , … ,y n qiymatlarni qabul qiluvchi ( bunda y 0 = D 25Bu savolga quyidagi teorema javob beradi: Teorema:Agar y=f(x) funksiya o‘zining (n+1) tartibi ((n+1) tartiblisi ham) barcha hosillari bilan birga uzluksiz bo‘lsa,u holda Lagranjning qoldiq hadi quyidagiga teng bo‘ladi. f n 1 П R n (x)= Пn 1 (x) n 1 Bu yerda f – x 0 va x nuqtalar orasida joylashgan nuqta. П n+1 (x) = ( x – x 0 ) ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) … ( x – x i ) … ( x – x n ) . Agar (x 0 – x) kesmada M – yuza (f n+1 (x)) deb belgilasak,u holda Lagranjning interpolyatsiya formulasini ifodasini absolyut qiymati uchun quyidagiga ega bo‘lamiz: |R (x)< M П n 1 ( x ) | n n 1 Agar x0,x1,x2, … ,xn interpolyatsiya tugunlari teng masofalarda joylashgan va bunda x 2 =x 1 – h bo‘lsa,u holda (1.12) formulada formulasini qoldiq hadiga ega bo‘lamiz. x x 0 h =h deb faraz qilib,Nyutonning birinchi R n (x)=h n+1 q ( q 1)...( q n ) ( n 1)! f n 1 ( ) bu yerda x 0 < <x n Shunga o‘xshash(1.13) formulada q= qoldiq hadiga ega bo;lamiz. x x 0 h deb faraz qilib Nyutonning 2 – formulasini R n (x)=h n+1 q ( q 1)...( q n ) ( n 1)! f n 1 ( ) Isbotlash mumkin agar inyerpolyatsiyakashda interpolyatsiyalash tugunlari x ning zarur qiymatlari atrofida yetarlicha zich joylashtirilsa,u holda interpolyatsiya formulasidan olingan qiymatlar,jadval malumotlar necha xonaga ega bo‘lsa shuncha xona birligida aniqlikga ega bo‘ladi. Matematik hisoblashlar: Berilgan variantdagi jadval uchun Lagranj formulasini 2 KIRISH O’zbekiston Res p ublikasida shakllangan uzluksiz ta’lim tizimi barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tayyorlash jarayonining s amarali tashkil etilishini ta’minlashga xizmat qiladi. Uzluksiz ta’lim tizimi doirasida faoliyat olib boruvchi ta’lim muassasalari ilg’or, demokratik hamda insonparvar g’oyalarga tayangan, hamda yangicha mazmunga ega bulgan t a’lim jarayonini tashkil etishda muhim o’rin tutadi. Uzluksiz ta’lim tizimini shakllantirish, shuningdek, tag’lim mazmunini yangilash ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlarning bosh g’oyasi sanaladi. Oliy ta’lim mazmunini yangilash jarayonida bo’lajak mutaxassislarning umumiy mehnat va kasbiy ko’nikma hamda malakalarga ega bo’lishlarini ta’minlash masalasining samarali hal etilishiga alohida ahamiyat qaratilishi zarur. Bozor iqtisodiyotiga o’tish sharoitida o’qituvchilarning mehnat bozoriga moslashuvini ta’minlash alohida ahamiyat kasb etmoqda. Shu o’rinda alohida ta’kidlash joizki, oliy ta’lim muassasalarida bo’lajak mutaxassislarni tayyorlash jarayoni talabalarda zaruriy ishlab chiqarish iqtisodiy mazmunga ega faoliyat, ko’nikma va malakalari sifatini sh akllantirishga e’tiborni qaratish talab etiladi. Biroq, ta’lim jarayonlarini takomillashtirishga qo’yilayotgan yangi, yanada yuqoriroq talablar, shuningdek, talabalarning kasbiy ko’nikma va malakalarini, yangi pedagogik texnologiyalarni rivojlantirish bilan yangicha fikrlovchi mutaxassisni shakllantirish imkonini beruvchi sharoitlarning ishlab chiqilmaganligi o’rtasida ob’ektiv qarama- qarshilik mavjud. Har tomonlama barkamol insonni shakllantirish bugungi jamiyatimiz oldida turgan dolzarb masalalardan biri bo’lib qolmoqda. Hozirgi maktab o’rindiqlarida o’tirgan yosh avlod ertaga bizning qo’limizdan ishimizni oladigan, hayotimizni davom ettirib, o’zidan keyingi avlodga yetkazuvchi vorislarimiz, O’zbekiston buyuk kelajagining egalaridir! Shu sababli Prezidentimiz Islom Karimov butun mamlakatimiz diqqat e’tiborini barkamol avlod tarbiyasiga qaratmoqda. “Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq. Buning uchun har qaysi ota –ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida avvalo 22Lagranj usulini C++ dasturlash tilidagi ifodasi.#include<iostre am.h> #include<coni o.h> #include<mat h.h> int main() { float x1[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99}, y1[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386}; float x,l,p; short int i,j; clrscr(); cout<<"Interpolyatsilanuvchi son, x="; cin>>x; l=0; for (i=0; i<=5; i+=1) { p=1; for (j=0; j<=5; j+=1) { if (i!=j) p=p*(x-x1[j])/(x1[i]-x1[j]); } l=l+p*y1[i]; } cout.precision(5); cout<<"Lagranj usulida Interpolyatsilangan son y="<<l; getch(); } 16Jadvaldan foydalanib ,Nyutonning (1.5) formulasini tuzamiz:P n (x)=5,2+q*2.8+ q ( q 2 ( -0.4 ) , Bu yerda q= x 0 =x.Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz 1 P n (x)=5,2+2,8x - x ( x 2! 0,4 Izlanayotgan funksiyani yakuniy ko‘rinishni quyidagicha: P 2 (x)=5,2+2,8 x - 0,2x 2 Eslatma:y=f(x) funksiya x nuqtadagi qiymatni taqribiy hisoblash uchun y=P n (x) deb faraz qilinadi,bu yerda x nuqta x 2 nuqtaga yaqin nuqta. 6. Nyutonning ikkkinchi interpolyatsiya formulasi. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi funksiyaning boshlang‘ich x 0 nuqtaga yaqin nuqtalarda interpolyatsialshga qullay, lekin oxirgi x n nuqtalar uchun esa noqulaydir.Bunday holllarda,Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi qo‘llaniladi. Funsiyaning argumenting teng masoflarda yotuvchi x p , x 1 = x 0 +h; x 2 = x 0 +2h , … , x p = x p + nh. ( bu yerda h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlarni qabul qiluvchi quyidagi qiymatlari sistamasiga ega bo‘lamiz. y 1 =f(x 0 ), y 2 =f(x 1 ) , … , y n= f(x n ) interpolyatsialanuvchi ko‘phadni yozamiz: P n ( x 0 )=a 0 +a 1 ( x – x 0 )+a 2 (x – x 0 )( x - x n-1 ) + … + … … + a n ( x – x n )( x – x n-1 )( x – x 1 ) . (1.6) Oldingi bandagiga o‘xshash sonlarni taqribiy a 0 ,a 1 ,a 2 , … … ,a n keffisiantlarni topamiz (1.6) ko‘phadni topilgan koeffisiantlari bilan yakuniy yozilishi quyidagi ko‘rinishga ega. Yangi q= x x n n 25Nyuton usulini C++ dasturlashtilidagi ifodasi.#include<iost ream.h> #include<co nio.h> void main() { float x0[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99}, y0[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386}; float x,l,p; short int i,j,n,k ; clrscr (); cout<<"Interpolyatsilanuvchi son, x="; cin>>x; l = y 0 [ 0 ] ; p = 27Dasturning natijasi: 8Buoperatorning asosiy xossalarini tekshirish 1 ) (u+v)= u+ v 2 ) (Cu)=C v, C – const. 3 ) m ( n y)= m+n y Bu yerda y,u,v – funksiyalar ,m,n – nomanfiy sonlar,bunda k y=y deb faraz qilamiz. 3. Chekli ayirmalar jadvali . Teng masofalarda yotuvchi x 0 ,x 1 ,x 2,………… x i,…………… x n,………………. ( bu yerda x1 - x0 = x 2 - x 1=…………=h=const, h ni qadam deb qaraymiz ) nuqtalar uchun ushbu y 0 ,y 1 ,y 2,………… y i,…………… y n,………………. Javal qiymatlar bilan berilgan y=f(x) funklsiyani qaraymiz bunda f(x 0 )=y 0 f(x 1 )=( x 0 +h) = y 1 f(x 2 )=f(x 2 +2h) = y 2 ……………………………………. f(x i )=f(x 0 + ih) = y i ……………………………………………….. Chekli ayirmalar quyidagi munosabatdlar bilan aniqlanadi: y n =y 1 – y 0 ; 2 y n = ( y 1 )= ( y 1 – y 0 ) = y 1 - y 0 ; 3 y 0 = ( 2 y 0 ) = ( y 1 – y 0 ) = 2 y 2 - 2 y 1 y 2 =y 2 – y 1 = 2 y 2 = ( y 2 ) = (y 2 – y 1 ) = y 2 - y 1 2 y 1 = ( 2 y 1 ) = ( y 2 – y 1 ) = 2 y 2 - 2 y 1 …………………………………………………………. 28p=-0.01461* -0,00574 l=l+p*y 1 =0+(-0.00574)* 2.73951= -0,01573 2) p=1 p=1* 2,9333 .... l ... 1MUNDARIJA KIRISH I.BOB. NYUTON VA LAGRANJNING INTERPOLYATSIYALASH USULLARI 1.1 Masalaning qo‘yilishi. 1.2 Nyuton va Lagranjning interpolyatsiyalash usullari . II.BOB. NYUTON VA LAGRANJNING INTERPOLYATSIYALASH MASALALARINING YECHIMLARI BLOK SXEMASI 2.1 Nyuton va Lagranjning interpolyatsiyalash usullari. 2.Masalaning yechimi blok sxemasi. 2.2Paskal dasturlash tilida qo‘llash. XULOSA. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. 27x = 0 . 7 7 4 1 ) p = 1 p = 1 * p=-1.93* p=0.902* p=-0.0902* -0,01461 i 0 19(xx 0 ) (xx 1 ) (xx 2 ) ... (xx i 1 ) (xx i ) ... (xx n ) (x j x0 ) (x jx1 ) (x jx2 ) ... (x jx i 1 ) (x j x i ) ... (x j x n ) i 1 xx2 x3x2xx1 x2x1 (x (x2 x1 ) (x x0 ) (x2 x2 ) x1 )Aytaylik argumentning n+1 ta turlix 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 … … ,x n qiymatlari va f(x) funksiyasi uchun malum unga mos f(x 0 ) = y 0 f(x 1 ) = y 1 f(x 2 ) = y 2 , … … ,f(x n ) = y n Qiymatlar berilgan berilgan bo‘lsin.Darajasi n dan yuqori bo‘lgan va berilgan xi tugun nuqtalarda f(x) funksiya qabul qilgan qiymatlarga ega bo‘lsa,yani L n (x i ) = x i ( i = bo‘lgan Ln (x i) ko‘phadni topish talab etiladi, 0, n ) Lagranjning izlanayotgan Ln (x i) ko‘phadnikeltirib chiqarganini qabulqilamiz n L n (x i ) = y i (1.9) Agar interpolyatsiyani tugunlari teng masofalarda yotsa u holda Lagranjning (1.9) interpolyatsiya formulasi Nyutonning interpolyatsiya formulasi bilan ustma – ust tushadi. Xususan ,(1.9) formula n=1 bo‘lga nda L i y 0 y 1 ; L y(x x 1 ) ( x x 2 ) y (x x 2 )( x x 3 ) n = 2 bo‘lgan da ( x 2 y x 1 ) ( x 3 x2 ) 1 ( x x 1 ) ( x 3 + x2 ) + 2 ; ko‘rinishni oladi. 8. Lagranj koeffisientlarni hisoblash. (1.4) formulani soddalashtiramiz.Bunda belgilash kiritamiz: П n+1 (x) = ( x – x 0 )( x – x 1 )( x - x 2 )( x – x 3 ), … ,( x – x n ) ; 3 10Va hakozo n y i = n-1 y i-1 - n-1 y i . Turli tartibli chekli ayirmalarni ikki xil ko‘rinishgi jadvallar shaklida joylashtirish qulay: ayirmalari gorizantal jadval ( 1 va 2 – jadvallar ) va ayirmalari diognal jadvallar (3 - jadval). dasturlash tilida qo‘llash. 1 – jadval.x y y 2 y 3 y 4 y x 0 y 0 y 0 2 y 0 3 y 0 4 y 0 x 1 y 1 y 1 2 y 1 3 y 1 4 y 1 x 2 y 2 y 2 2 y 2 3 y 2 4 y 2 x 3 y 3 y 3 2 y 3 3 y 3 4 y 3 x 4 y 4 y 4 2 y 4 3 y 4 4 y 4 Jadvani to‘ldirish n – chekli ayirmalar o‘zgarmas bo‘lib qolguncha yoki ular bir – biridan absolyut qiymatlar bo‘yicha e dan ham songa farq qiluvchi davom ettiriladi, bu yerda e – berilgan aniqlik. 3 – misol. Ushbu y = 2x 3 – 2x 2 + 3x – 1 Chekli ayirmalar jadvalini boshlang‘ichi x0 = 0 qiymat bo‘yicha va qadami h=1 deb qabul qilib tuzing. Yechish : x 0 =0 , x 1 =1, x 2 =2 deb faraz qilib funksiyaning qiymatlarni topamiz y 0 =- 1, y 1 =2, y 2 =13.Berilgan funksiyani uchunchi darajali ko‘pxad bo‘lgani uchun uchunchi chekli ayirma o‘zgarmas va 3 y=2*3! h 2 =12 ga teng ,yuqori tartibli barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz. 17 boshla k x(n) , y(n) x , N i = 0 , k j = 0 , k i = j N = N + z*yi N = ? tamom 24 z = z*(x - xj)/(xi - xj)P = 1Nyuton usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish. 3shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda, farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobiliyatiga ega bo’lgan, ongli yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining asosiy maqsadi va vazifasi bo’lishi lozim, deb qabul qilishimiz kerak. Bu esa ta’lim va tarbiya ishini uyg’un holda olib borishni talab etadi” Ta’lim jarayoniga pedagogik texnologiyalarni olib kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning ikkinchi bosqich vazifalaridan biridir. Ta’lim - kelajakdagi muvaffaqiyatlar kaliti ekan, uning mahsuli sifatida bugungi o’quvchi kelajakda huquqiy-demokratik jamiyat a’zosi sifatida bu jamiyat hayotida to’laqonli ishtirok eta olishi, zamonning bozor iqtisodiyoti qo’yayotgan talablariga to’la javob bera olishi kerak. Axborot oqimi keskin ortgan,turli yangiliklar hayotimizga shitob bilan kirib kelayotgan davrda mustaqil tanqidiy fikrlash ko’nikmalariga ega bo’lgan,yangilikni o’rganishga doim tayyor bo’lgan, hamkorlikdan cho’chimaydigan , muloqotga erkin kirisha oladigan shaxsni tarbiyalash ta’lim-tarbiya jarayonining asosiy maqsadi bo’lishi kerak va bu borada ta’limda yangi texnologiyalarning qo’llanishiga yo’l ochilishi maqsadga erishish yo’lidagi to’g’ri qadamdir. Hozirgi kunda yangi texnologiya elementi bo’lgan interfaol usullardan keng foydalanilmoqda. Oliy talim dargohlarida ilg’or pedagogik texnologiyadan foydalanib dars o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana shu bilan asoslanadi. Kurs ishi maqsadi: Algebraik ko’phadlarni Nyuton va Lagranj usullari yordamida interpolyatsiyalash usullarini o’rgatishda pedagogik texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish. Kurs ishi obyekti: Oliy ta’limning boshlang’ich sinflaridagi o’quv-tarbiyaviy jarayoni . Kurs ishi predmeti: B oshlang’ich sinflarda a rifmetik amallarni o’rgatishda pedagogik texnologiyalardan foydalanish. Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. k k 12h=0 bo‘lganda umumlashgan daraja odatdagi mos bo‘ladi x [n] = x nx=h deb faraz qilib umumlashgan darajalar uchun chekli ayirmalarni hisoblaymiz: Birinchi ayorma uchun quyidagiga egamiz y= x [n] y= x [n] – ( x+h ) [n] – x [n] – ( x+h )x( x-h )( x-2h )……( x- ( n-2 )h – x( x –h ) (x— 2h)….( x – ( n-2 )h( x – 1 )h) – x( x – h )( x - 2h )………( x-( n – 2 )h (x+h – x+( n – 1 ) - x [n-1] n h . ya‘ni x [n] =n h x [n] Nyuton ayirmasini hisoblab quyidagiga ega bo‘lamiz: n x [n] = ( n h x [n-1] )=nh x [n-1] – n h ( n-1 )h k 2 [n-1] – n h ( n-1 )h [n-1] – n( n – 1 ) h [n-2] – n( n – 1 ) h [n-k] ya‘ni n x [n] =n( n – 1 )h [n-1] . Amalarni takroran bajarib quydagiga ega natijani olamiz n x [n] =h t n( n – 1 )……………….( n – k+t ) x [n-1] Xususan h=n bo‘lganda n x n =n!h n ,h>0 bo‘lganda n x n =0 bo‘ladi 5. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi: Aytaylik y=f(x) funksiyaning erkli o‘zgaruvchilari teng uzoqlikda yotuvchi x 0, x 1, x 2……………… x n ( bunda x 1 = x 0 +h , x 2 = x 1 +2h.....................x n = x n- 1 +nh va h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlari uchun ushbu y 0 ,y 1 ,y 2 .................................................................................. y n Qiymatlari berilgan bo‘lsin xi nuqtalarni yi =P n ( xi ) ( i= 0, n ) (1.1) Qiymatlarni qabul qiluvchi darajasi n dan katta bo‘lgan P n ( x i ) ko‘phadni tanlash talab etiladi. 9y i = y i+1 – y i 2 y i+1 - 3 y i = 2 y i+1 - 2 y i 28XULOSAUshbu kurs ishimda men ko‘phadlarni interpolyatsiya usulida yechishning Lagranj va Nyuton usullarni o‘rgandim va amaliy ko‘nikmalarga ega bo‘ldim. Berilgan qiymatlardagi ko‘phadlarni paskal tilidan (interpolyatsiyani Lagranj usuli) natijalarim ko‘phadlarni ayni shu oraliqda chiqqan natijasiga taqriban teng chiqdi. Lagranj va Nyuon usullari to‘g‘ri keltirib chiqarilganiga guvoh bo‘ldim. Yana shuni takidlab o‘tish kerakki Lagranj usulida chiqarilgan yechim Nyuton usulida chiqarilgan yechimdan aniqroq bo‘ldi, chunki Lagranj usulida ko‘phadlarni interpolyatsion tugunlari oralig‘i funksiya qiymatini aniqligiga katta tasir qilmaydi. Demak bizga samaraliroq bo‘lgan Lagranj usulida keng ravishda dasturda qo‘llasak o‘zni talab darajasida oqlay oladi. Nyuton usuli esa o‘zaro teng oraliqdagi ko‘phadlarni hisoblashda yaxshi foydasini beradi. Paskal ancha murakkab va ko‘p vaqt oladigan hisob ishlarini bajarishda mo‘ljallangan tarkiblashtirilgan dasturlar tuzishda imkon beradi.Yana bir avzalligi shundan iboratki foydalanuvchi xatolikga yo‘l qo‘ymasligi uchun yoki xato yechib qo‘ygan bo‘lsa , tez tuzatib olish uchun dasturda ishlatilgan o‘zgaruvchilar oldindan qaysi turga mansubligi belgilab qo‘yilgan bo‘ladi.Shu bilan birga dasturning barcha elementlari haqida ma‘lumot tavsiflash bo‘limida mujasamlashganbo‘ladi operatorlar esa imkon darajasda kamaytirilgandir. 7x)-f(x)] - y(x+ x-f(x))- f(x+2 x)-2 f(x+ x)+f(x). Shunday qilib ikkinchi tartibli chekli ayirmalar uchun quyidagi formulaga ega bo‘lamiz: n y =f(x+2 x)-2f(x+ x)+f(x)Uchinchi tartibli chekli ayirmani ham shunga o‘xshashhosil qilish mumkin: n y =f(x+3 x) - 3f(x+2 x) + 3f(x+ x) + f(x) va xokazo. 2. Misol. P(x)=x n funksiya uchun chekli ayirmani tuzing :bunda x=1 deb hiosoblang. Yechish P(x)=x n ga egamoz,bundan P(x)=P(x+ x) – P(x) – (x+ x) n – x n - (x+1) n – x 3 - 3x 2 + 3x-1. 2 P(x)=[3(x+ x) n + 3(x+ x)+1] – [3x n + 3x – 1] – [(3x+1) n + 3(x+1)+1] – (3x 2 +3x+1)-6x+6) – 6 . 3 P(x)=[6(x+ x) +6] – [6x+6] – [6(x+1) +6 ] – (6x+6) – 6. n P(x)=0 bunda n>4 uchun Uchunchi darajali ko‘pxadning tartibli chekli ayirmasi har doim x ga bog‘liq bo‘lmasligni takidlab o‘tadi. Umumiy darajali ko‘pxadlar uchun tartibi undan yuqori bo‘lgan barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Va umuman quyidagi tasdiq o‘rinli : Teorema: Agar P n (x) n - darajali ko‘phad bo‘lsa, u holda uning n – darajali chekli ayirmasi o‘zgarmas va u qiyidagiga teng. n P n (x)=a 0 n!( x) n Tartibi n dan katta barcha chekli ayirmalari esa nolga teng ( bu yaerda x - o‘zgarmas son a 0 - esa ko‘phadni boshelementi ,n – ko‘phadni daraja ko‘rsatkichi) 2 – tarifga. ortirma simvoli y=f(x) funksiya uning quyidagi chekli ayirma funksiyasiga mos qo‘yuvchi operator sifatida qarash mumkin: y=f(x+ x) –f(x), Bu yerda x – o‘zgarmas 261 ; n = 5 ; for (k=1; k<=n; k+=1){ p=p*(x-x0[k-1]); for (i=0; i<=n-k; i+=1) { y0[i]=(y0[i+1]-y0[i])/(x0[i+k]-x0[i+k]-x0[i]); } l=l+p*y0[0]; } cout.precision(5); cout<<"Interpolyatsilangan son N="<<l; getch(); } 20 (1.10) Hosobini tuzamiz:Пn+1 (x) = ( x – x0)( x – x1), … ,( x – xi) + ( x – x1 )( x-x 2), … ,( x – xn ) + + ( x - x0)( x - x1 )( x – x2 ), … ,( x – xn ) + … + ( x – x0 )( x – x1), … ,( x – xi-1 )( x – xi ), … ,( x – xn ) + 23Dasturning natijasi: 15interpolyatsiya formulasini yozing: X i0 1 2 3 4 5 y i 5,2 8 10,4 12,8 14,0 15,2 Yechish: Chekli ayirmalar jadvalini tuzmiz x Y y 0 y 1 y 3 0 5,2 2,8 -0.4 0 1 8 2,4 -0.4 0 2 10,4 2 -0.4 0 3 12,8 1,4 -0.4 4 14,0 1,2 5 15,2 112 – jadvalx Y y 2 y 3 y 4 y 0 -1 2-(-1)=3 11-3=8 11 0 1 2 13-2=11 20 11 0 2 13 31 32 11 3 44 63 44 4 107 107 5 214 Jadvalni bunda buyon to‘ldirishni endi qo‘shish yordamida amalga oshirish mumkin. Tuzilgan jadvalni diognal shaklida ham yozish mumkin: 3 – jadval x Y y 2 y 3 y 4 y 0 -1 3 1 2 11 8 2 13 31 20 11 0 3 44 63 32 11 0 4 107 107 44 11 5 214 4. Umumlashgan daraja. Kelgusida bizga umumlashgan daraja kerak bo‘ldi.Shu tushuncha bilan tanishishimizga x va h berilgan bo‘lsin. 3.Tarif: x sonining umumlashgan n – darajasi deb birinchisi x gat eng bo‘lib har bir keyingisi o‘zidan oldingisidan n qadar kichik bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasiga aytiladi: x [n] =x( x – h )( x – 2h )…………………..( x – ( n – 1 )h ). bu yerda x[n] umumlashgan n – daraja x[0] = 1 deb faraz qilamiz.

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Купить