algebraik sistemalar

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	1.3MB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Алгебра

algebraik sistemalar

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
Algebra va geometriya kafedrasi
ASOSIY ALGEBRAIK SISTEMALAR
«Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish
uchun uslubiy tavsiyalar
« 5 460100 MATEMATIKA »
ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun
(Uslubiy qo‘llanma)
SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan
2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan.
Samarqand – 2011
1

А sosiy algebraik sistemalar . «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy
mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand:
SamDU nashri, 2011. – 73 bet.
Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani bo‘yicha
«5460100 – matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va «5A460100 – Matematik
mantiq, Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan
bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, ф sosiy algebraik
sistemalar nazariyasi ning usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning
taqbiqiga oid namunaviy misollar yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa
tarqatma materiallar keltirilgan. Bular talabalarga shu fanni yanada chuqurroq
o‘ zlashtir ishga yaqindan yordam beradi degan umiddamiz .
Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev
Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Ro’zimuradov H.X.
Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori,
professor Ikromov I.A.
fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Yaxshiboyev M.Y.
2

Tayanch iboralar: n -ar algebraik amal ; kompozitsiya ; algebraik
sistema, algebraik struktura; algebraik tizim ; gruppoid ; assosiativ amal ;
polugruppa ; neytral (birlik) element ; monoid ; teskari element ; gruppa ; Keli
jadvali ; kommutativ amal ; Abel gruppa ; additiv gruppa ; multiplikativ gruppa ;
gruppa tartibi ; olmoshlar lar gruppasi ; simmetrik gruppa ; to’liq chiziqli
gruppa ;maxsus chiziqli gruppa; qismgruppa ; trivial qismgruppa; siklik
gruppa; gruppa elementining tartibi ; gruppalar izomorfizmi ; gruppalar
avtomorfizmi ; ishora almashinuvchi gruppa ; gruppaning davri; gruppaning
davriy qismi; elementning sentralizatori; gruppa markazi; Keli teoremasi;
gruppaning ichki avtomorfizmi; chap (o’ng) qo’shni sinf; Lagranja
teoremasi ; qismgruppaning gruppadagi indeksi; Koshi teoremasi ;
gruppaning qismgruppa bo’yicha chap (o’ng) tomonli yoyilmasi; normal
bo’luvchi; qo’shma elementlar; qo’shmalangan qismgruppalar; faktor-
gruppa ; gruppalar gomomorfizmi ; gomomorfizm yadrosi ; tabiiy
gomomorfizm; gruppalar gomomorfizmi teoremasi; qismgruppaning
normalizatori; gruppalar monomorfizmi; gruppalar epimorfizmi; halqa;
assosiativ halqa; birlik elementli halqa; Li halqasi (liyaviy halqa); nolning
bo’luchilari; halqaning additiv va multiplikativ gruppalari; birning
bo’luvchilari; trivial halqa; butunlik soxasi; jism; maydon; maydon
xarakteristikasi; qismhalqa; chegirmalar halqasi; halqalar izomorfizmi;
halqaning chap (o’ng) ideali; ikkitomonlama ideal; bosh ideal; ; faktor-
halqa; maksimal ideal; halqalar gomomorfizmi; halqalar monomorfizmi;
halqalar epimorfizmi; halqa gomomorfizmi yadrosi; halqalar gomomorfizmi
haqidagi teorema; nilpotent element; halqaning radikali; yevklid halqasi.
§ 1 . Algebraik amallar
– ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan to’plam bo’lsin. Agar to’plamning
ma’lum tartibda olingan ta elementi mos qilib qo’yilgan bo’lsa, da n -ar
algebraik amal aniqlangan deyiladi. Boshqacha qilib aytganda n - ar algebraik
amal

akslantirishdir. soni amalning arligi deyiladi.
0–ar (nular) amal ning qandaydir elementini doimiylashtiradi (ya’ni
bu amal ning hamma elementlarini bitta elementga o’tkazadi);
1-ar (unar) amal har bir elementga elementni mos
qilib qo’yadi.
2-ar (binar) amal elementlarning har bir tartiblangan juftiga
elementni mos qilib qo’yadi.
3-ar (ternar) amal elementlarning har bir tartiblangan
uchligiga elementni mos qilib qo’yadi va h.k. А А
п А
A A f n  :
п f
А
А Aа 
A а f ) (
A b а  ,
Abаf ),(
A с b а  , ,
A c b а f ) , , (
3

Biz asosan binar algebraik amallarni qarab chiqamiz. Binar algebraik
amal ko’pgina hollarda umumiy shaklda * belgi bilan, bu amalning a va b
elementlarga tadbiq etilishi natijasi esa shaklda belgilanadi. Bunday
belgilashda (bu amalni qandaydir biror aniq amal, masalan, va h.k.
bilan almashtirganda) * amalning o’zi kompozitsiya, uning va
elementlarga tadbiq etilishi natijasi, ya’ni element va elementlar
kompozitsiyasi deyiladi. Algebraik amallar majmo’i (ular istalgan arlik
bo’lishi mumkin) aniqlangan bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam algebraik
sistema (algebraik struktura, algebraik tizim) deyiladi.
Shuni qayd qilamizki, da binar algebraik amal ta’rifi va
elementlarning kompozitsiyasi; birinchidan ga tegishli, ikkinchidan
bu kompozitsiya bir qiymatli va uchinchidan va elementlar tartibiga
bog’liq bo’lishini talab qiladi.
* algebraik amalli to’plam shaklda belgilanadi va gruppoid
deyiladi.
1-m i s o l. Agar (natural sonlar to’plami),
 – esa oddiy ma’nodagi qo’shish bo’lsa, u holda gruppoid
bo’ladi. ■
2-m i s o l. ham gruppoid (bu yerda  – sonlarni ko’paytirish).
■
3-m i s o l. lar gruppoid emas. ■
4-m i s o l. va -- lar gruppoid emas,
chunki birinchi o’nlik sonlarini qo’shish va ko’paytirish uning chegarasidan
tashqariga chiqarib yuborishi mumkin:
bo’lsa hamki . ■
5-m i s o l. Agar kompozitsiya bo’lsa u holda
gruppoid bo’ladi. Unda oldingi misollardan farqli ravishda hamma vaqt ham
bo’lavermaydi (masalan, ). ■
6-m i s o l. bo’lsin. Kompozitsiyani quyidagi jadval bilan
beriladi:
* a b e
a a e a
b e a b
e a b e
Ko’rinib turibdiki, - gruppoid. ■
7-m i s o l. bo’sh bulmagan to’plam bo’lsin. Almashtirishlar
kompozitsiyasi (ko’paytmasi):
a) to’plamning hamma almashtirishlari;
b) to’plamning hamma inyektiv almashtirishlari;b a
:,, ,   
а b
b a а b
A а b
b a A
а b
A ),( A
,...}3,2,1{  N A
)( 
 ) , (N
 ), (N
  :), ( ), , ( N N
) }, 10 ,...,2,1({  ) }, 10 ,...,2,1({ 
} 10 ,...,2,1{ 4,3,8,7  } 10 ,...,2,1{ 4 3 }, 10 ,...,2,1{ 8 7    
b a b
a  ) , (N
abba 
2 3 3 2 
},,{ ebaA 
),( A
 X
X
X
4

s) to’plamning hamma suryektiv almashtirishlari;
d) to’plamning hamma biyektiv almashtirishlari
to’plamlarida binar algebraik amamllar bo’ladi. Demak, a ), b ), c ), va d )
hollardagi algebraik sistemalar gruppoidlardir. ■
Agar ixtiyoriy lar uchun bo’lsa,
dagi * binar algebraik amallar assosiativ deyiladi.
Agar * kompozitsiya assosiativ bo’lsa, gruppoid polugruppa
(yarimgruppa) deyiladi.
8-m i s o l. va polugruppalardir, chunki hamma vaqt
va . ■
9-m i s o l. amalli sistema polugruppa emas,
chunki tenglik hamma vaqt ham to’g’ri bo’lavermaydi, masalan,
■
10-m i s o l. Hamma rasional amallarning to’plami uchun
amalli gruppoid polugruppa emas, chunki ixtiyoriy
elementlar uchun va
qiymatlar hamma vaqt ham mos tushavermaydi. ■
Agar har qanday element uchun va bo’lsa,
gruppoidning elementi neytral element deyiladi.
11-m i s o l. Har qanday gruppoidda ham neytral element mavjud
bo’lavermaydi. da neytral element yo’q; da bor, u
0 sonidir; da neytral element 1 dir. bo’lgan da
ixtiyoriy a element uchun bo’lishini ko’ramiz. Ammo bu yerda 1
faqat bir tomondan (o’ngdan) neytrallik vazifasini bajaradi, biroq (
bo’lganda). Shuning uchun 1 neytral element bo’lmaydi. (boshqa hyech
bir element ham neytral element bo’lolmaydi) ■
Neytral elementga ega bo’lgan polugruppa monoid deyiladi. Agar bu
neytral element oshkor ko’rsatilgan bo’lsa monoid binar amalli (*
kompozitsiya) va har bir elementni o’zgarishsiz qoldiradigan nulyar
amallardan iborat ikki ammalli algebraik sistemaniifodalaydi, ammo umumiy
holda bu monoidniundagi nulyar amalni oshkor ko’rsatmay ko’rinishda
ifodalaydilar. ■
12-m i s o l. da ixtiyoriy lar uchun EKUB(a,
b) bo’lsa, monoid bo’ladi. Bu yerda . ■X
X
A с b а  , , с b a с b a      ) ( ) ( A ),( A
) , (  N  ), (N
с b a с b a      ) ( ) ( с ab bс a ) ( ) ( 
   ba b a ) , (  N
c b b a a
c ) ( ) ( 
. ) 3( 3 2 1 )1(
2 
 Q
2
b a b a    *), (Q
Q с b а , ,
2 2
)( cb
a
cba 


22
)( cba
cba 

Aa 
a e a   a a e  
), (  A e
 ),( N
 ) }, ,...,2,1,0 ({
 ),( N
ba b a   ) , (  N
aa  1
aa  1
1 а
e
),,( eA 
e
), (  A
) , (  N N , ,b a  b a
 ) , (N 1e
5

$13-m i s o l. to’plam, uning hamma qism to’plamlari to’plami bo’lsin. U holda a ) to’plamlar kesishmasi da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal assosiativ, ning o’zi neytral element bo’ladi. Shuning uchun monoid. b ) to’plamlar birlashmasi da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal assosiativ. Bo’sh to’plam neytlar element bo’ladi. Demak, monoid. ■ Agar bo’lsa, element monoidning elementiga teskari element deyiladi. Monoidning har bir elementi ham teskarilanuvchi (ya’ni teskari elementga ega) bo’lavnrmaydi. Ammo agar -- teskarilanuvchi bo’lsa, u holda, unga teskari element faqat bitta bo’ladi va orqali belgilanadi. Teskari elementning ta’rifiga asosan bo’lgani uchun ga teskari element bo’lib a xizmat qiladi , ya’ni  kompozitsiyaning assosiativligidan (ko’paytuvchilar soni istalgancha bo’lishi mumkin) ifodaning ma’noga ega ekanligi kelib chiqadi, chunki qavslarning ixtiyoriy tartibda joylashtirilishi bir xil natijaga keltiradi. Monoidning ixtiyoriy sanoqdagi teskarilanuvchi elementlari kompozitsiyasi teskarilanuvchidir. Har bir monoidda bitta teskarilanuvchi element albatta mavjud. Bu uning neytral elementi. Hamma elementi teskarilanadigan monoid gruppa (guruh) deyiladi. 14-m i s o l. gruppalardir ■ 15-m i s o l. gruppa emas, chunki dan boshqa hamma butun sonlar teskarilanmaydilar. ■ 16-m i s o l. monoidlar, gruppa emas, chunki mavjud emas. ■ 17-m i s o l. gruppalar. ■ M A S H Q L A R 1 . Natural sonlarning N to’plamida binar algebraik amallar quyidagi tengliklar bilan berilgan. a ) b ) c ) d ) e ) f )  X ) (X P ) (X P X ) ), ( (  X P ) (X P ) ), ( (  X P eabba  b ,*)( A Aa  Aa  1a e a a a a       1 1 1a . ) ( 1 1 a a    f d c b a     .e  ),(),,(),,(),,( CRQZ ). ,0 ( 1 a a e      ), (Z 1     ), ( ),, ( ),, ( C R Q 1 0     ) },0{\ ( ), },0{\ ( ), },0{\ ( C R Q );( ЭКУБ a, bba  );( ЭКУБ a, bba  ;2 * b aba  ;2 2 b a b a   ); ( max a, b b a   );( min a, bba  6$ $g ) h ) Har bir algebraik sistemani xarakterlab bering, ya’ni gruppoid, polugruppa, monoid yoki gruppa ekanligini aniqlang. 2. Hamma musbat haqiqiy sonlarning algebraik amallar quyidagi tengliklar bilan berilgan. a ) b ) c ) d ) e ) Har bir algebraik sistemani xarakterlab (tavsiflab) bering. 3 . bo’lsin. ning barcha qismto’plamlari to’plami da algebraik amallar quyidagi tengliklar bilan berilgan. a ) b ) Har bir algebraik sistemani xarakterlab bering. 4 . to’plamda (bu yerda ixtiyoriy to’plam)  amal qoida bilan aniqlangan. to’plam shu amalga nisbatan polugruppa bo’ladimi? da neytral element mavjudmi? 5 . matritsaning hamma darajalaridan iborat polugruppa nechta elementga ega? Bu polugruppa gruppa bo’la oladimi? 6* . Polugruppaning ixtiyoriy elementi uchun bo’lsa polugruppaning o’ng (chap) noli deyiladi. Agar polugruppada ham o’ng, ham chap nollar mavjud bo’lsa, ularning hammasi bitta element bo’ladi, ya’ni yagona ikki tomonlama nol mavjud bo’ladi. Shuni isbot qiling. 7* . Polugruppaning o’ng (chap) biri deb shunday elementga aytiladiki, har qanday element uchun bo’ladi. Agar polugruppada ham o’ng, ham chap birlar mavjud bo’lsa, ularning hammasi bitta element bo’lishini, ya’ni yagona bitta ikki tomonlama bir mavjud bo’lishini isbot qiling. 8 . Polugruppaning elementi bir vaqtning o’zida o’ng nol va chap bir bo’laoladimi? 9* . O’ng qisqartirishli (ya’ni dan hosil bo’ladigan) va aqalli bitta chap birga ega bo’lgan chekli (ya’ni elementlari soni chekli bo’lgan) polugruppa gruppa bo’lishini isbot qiling. 10 . Gruppa bo’laolmaydigan o’ng qisqartirishli chekli polugruppaga misol tuzing. 11 . Chekli to’plamda  binar amal Keli jadvali bilan aniqlangan bo’lsin. Bu ta satr va ta ustundan iborat bo’lib, uning satri;1 | |     b a b a .a b a   0 R;a bba  ;3 a bba  ;b aba  ; b a ba  1. b a    X X ) (X P ; \B A B A   ). \ ( ) \ ( A B B A B A    2A  A ) , ( ) , ( ) , ( d a d c b a   2A 2A      000 100 001 a ) ( z za z az   z u a ) ( a ua a au   caba  cb  } ,..., { 1 na a A  n n i 7$

bilan ustuni kesishgan joyda ning ga teng elementi turadi. Bu
jadval ko’paytirish jadvali ham deyiladi. Quyidagi amallar uchun Keli
jadvallari tuzing:
a ) to’plamda eng kichik umumiy karralini topish;
b ) to’plamda eng katta umumiy bo’luvchini topish;
c ) da to’plamlarning birlashmasini topish;
d ) da to’plamlarning kesishmasini topish;
funksiyalar kompozitsiyasini topish.
12. to ’ plamda algebraik amallarni quyidagiga
aniqlaymiz :
a ) son ni ga bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiq. Bu
amalni modul bo’yicha qo’shish deb atab bilan belgilaymiz;
b ) son ni ga bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiq. Bu
amalni modul bo’yicha ko’paytirish deb atab belgi bilan belgilaymiz.
va algebraik sistemalarni xarakterlang.
hollar uchun ularning Keli jadvallarini tuzing.
§2. Gruppalar. Qismgruppalar. Izomorfizm.
Gruppa tushunchasining alohida ahamiyatga egaligini hisobga olib
uning «gruppoid», «polugruppa» va «monoid» iboralaridan foydalanilmay
beriladigan ta’rifini keltiramiz.
Bo’sh bo’lmagan to’plamda * binar algebraik amal aniqlangan
bo’lib,
1) har qanday elementlar uchun element bir
qiymatli aniqlangan;
2)  amal assosiativ;
3) da neytral element mavjud;
4) ning barcha elementlari teskarilanuvchi,
shartlar bajarilsa, sistema gruppa deyiladi. Bu holatda to’plam *
amalga nisbatan gruppa tashkil etadi deb ham aytadilar.
Har qanday gruppoidning ixtiyoriy elementlari uchun
bo’lsa, * amal kommutativ amal , gruppoidning o’zi esa
kommutativ gruppoid deyiladi.
Kommutativ gruppa abel gruppa ham deyiladi. j A j i a a 
} 12,6,4,3,2,1{
} 12,6,4,3,2,1{
})2,1({P
})2,1({P.,1
,
11 ,
1 1
,
1 1
,
11
,1
,)
876 54321
xf
xf
x x
f xx
f
xx
f
x x
f
xfxfe


  



 

}1 ,...,1,0{   m mZ
 ba
b a  m
m 
 ba ab
m
m 
) , (  mZ ) , (  mZ 4,3,2  n
G
G g g 
21 , G g g   2 1
G
G
),( G
G
,*)( A
A b a  ,
abbа 
8

Ko’pgina hollarda algebraik amalni ko’paytirish yoki qo’shish deb atash
qulaylik qiladi. Agar amalni ko’paytirish deb atasak, va elementlarning
kompozitsiya ko’paytma deb ataladi va ko’rinishda yoziladi. Bu holda
neytral element birlik element deb ataladi va 1 yoki bilan, g teskari element
esa bilan belgilanadi.
Agar amal qo’shish deb atalsa va elementlar kompozitsiyasi
yig’indi deb ataladi va bilan; neytral element nol deb ataladi va 0
simvol bilan; ga teskari element esa qarama-qarshi element deyiladi va
bilan belgilanadi.
Gruppadagi amal ko’paytirish deb atalganda, gruppaning o’zi
multiplikativ gruppa, qo’shish deb atalganda esa additiv gruppa deyiladi.
Agar gruppa elementlari soni chekli bo’lsa, chekli gruppa , aks holda
cheksiz gruppa deyiladi. Chekli gruppa elementlari soni uning tartibi
deyiladi.
1-m i s o l. gruppada ixtiyoriy elementlar uchun
tenglamalarning har biri bir qiymatli yechiladi.
Yechish. Avval birinchi tenglamani qanoatlantiradigan element
mavjud deb faraz qilamiz va uning qanday element ekanligini aniqlaymiz
(ya’ni yagonaligini isbot qilamiz), keyin topilgan element haqiqatan berilgan
tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz (ya’ni mavjudligini isbot qilamiz).
element bo’ladigan konkret element bo’lsin. U holda
, bundan 2 11 2 11 2 11 2 11 , , ) ( g g x g g x e g g x g g             
.
Demak, izlanayotgan element faqat ko’rinishda bo’lishi
mumkin. Shu element berilgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz:
Ikkinchi tenglama uchun ham
xuddi shunday muhokama yuritiladi. ■
2-m i s o l. (olmosh ( o’rniga qo’yish ) lar gruppasi).
barcha ta darajali olmoshlar to’plami bo’lsin.
olmoshlarning ko’paytmasi deb olmoshga
aytiladi.
1 g 2g
2 1g g
e
-1
g
1
g 2g
2 1
gg 
g
) ( a
) , (  G G g g 2 1,
2 1 2 1 , g g y g x g    
G х
х 2 1 g x g  
2 11 1 11 ) ( g g x g g      
21
1 ggx  
2 2 2 11 1 2 11 1 ) ( ) ( g g e g g g g g g          
nS !n n
n
nn
n
n S
jjj iii
S
iii n











......
,
......21
21 21
21
 

n
n S
jjj n






......21
21

9

Ixtiyoriy uchun to’plam olmoshlarni ko’paytirishga
nisbatan gruppa tashkil etishni ko’rsatamiz. Shu bilan birga n= 1; 2 bo’lgan
hollarda bu Abel gruppasi, n  3 bo’lganda esa Abel gruppasi emas.
sistema uchun gruppa ta’rifining to’rt shartining hammasini
tekshiramiz:
1. bo’lsa bo’lishi olmoshlar ko’paytmasining
ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
2. – ixtiyoriy son va
bo’lsin.
U holda . Shunday
qilib, dagi qanday i sonni olmaylik har ikkala va
olmoshlarning har biri uni bitta son ga o’tkazadi. Bu o’z navbatida
va -- podstanovkalar dagi bitta podstanovkaning o’zi
ekanligini ko’rsatadi., ya’ni = = .
3. da neytral element bo’lib ayniy olmosh
xizmat qiladi: ixtiyoriy uchun bo’lishini
ko’rish oson.
4. Agar bo’lsa, u holda
bo’ladi. Haqiqatan .
Shunday qilib - gruppa.
faqat bitta elementdan iborat. esa ikkita
elementlardan iborat:
va gruppalarning har ikkalasi
abel gruppalardir.
Endi bo’lsin.
olmoshlarni olib qaraylik. U holda
N n nS
 ,nS
nS    ,   nS 
, , , nS    } ,...,2,1{ n i , ) )( ( j i  
l k k j   ) ( , ) )( (  
l i k i l i l j     )( ) ( , )( , ) )( ( , ) (      
} ,...,2,1{ n i )(     ) (
)( l
)(
    ) ( nS
)(
    ) (
nS 




 
n
n
l


2 1
2 1





 
n
i i i
n

21 2 1

     e e





 
n
i i i
n

21 2 1
 




  
n
i i i n


2 1
2 1 1 
e        1 1
 ,nS
1S 




 
1
1
е
2S





  




 
2
2
1
1
,
2
2
1
1
 е
. , , , 1             e е е е ее 1S 2S
3 n 





  




 
n
n
n
n




4 3 1 2
4 3 2 1
,
4 2 3 1
4 3 2 1
 
10

ya ’ ni bo ’ lganda - abel gruppa emas . ■
n-darajali simmetrik gruppa deyiladi.
2-m i s o l. Elementlari R to’plamdan olingan -tartibli barcha
maxsusmas kvadrat matritsalar to’plami matritsalarni ko’paytirishga nisbatan
gruppa tashkil etishini isbot qiling. Bu gruppa R da - darajali to’liq chiziqli
gruppa deyiladi va bilan belgilanadi.
Yechish. Mustaqil bajaring. ■
3-m i s o l. Elementlari R to’plamdan olingan va determinanti 1 ga
teng bo’lgan barcha -tartibli matritsalar to’plami matritsalarni ko’paytirish
amaliga nisbatan gruppa tashkil etishini isbot qiling. Bu gruppa maxsus
chiziqli gruppa deyiladi va bilan belgilanadi.
Yechish. 2-misol kabi bajariladi. ■
Geometrik figuraning nuqtalari orasidagi masofani o’zgartirmaydigan
almashtirishi shu figuraning simmetriyasi deyiladi.
4-m i s o l. Muntazam uchburchakning barcha simmetriyalari to’plami
simmetriyalarni akslantirishlar singari ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil
etishini isbot qiling. Uning Keli jadvalini tuzing.
Yechish muntazam uchburchak bo’lsin, - uning
medianalari. Ushbu oltita almashtirishlarni qarab chiqamiz.
Bunda: aynan almashtirish; uchburchakni nuqta atrofida
– uni ga burish; lar mos ravishda medianalarga
nisbatan almashtirishlar. Bu oltita almashtirish to’plami gruppa bo’lishini
ko’rish qiyin emas.
Uning Keli jadvali quyidagicha bo’ladi:
ye a b c d f
e ye a b c d e
a a b e f c d
b b ye a d f c
c c d f e a b
d d f c b e a
f f c d a b e
B
l
3 l
2
A C
l
1 ■,
4 2 1 3
4 3 2 1
,
4 1 3 2
4 3 2 1
   




  




 
n
n
n
n




3 n  nS
nS
n
n
) , ( R n GL
п
) , ( R n SL
 AB С 3 2 1
,, lll
f d c b a e , , , , ,
e  a O ; 120 0 b
0 240
fdc ,, 3 2 1
,, lll
11

Agar ixtiyoriy elementlar uchun bo’lsa,
to’plamning bo’sh bo’lmagan qismto’plami * algebraik amalga nisbatan
yopiq deyiladi. bundan keyingi muhokamalarda (agar boshqa amal
takidlangan bo’lmasa) gruppaviy amalni ko’paytiruv deb ataymiz.
gruppa berilgan bo’lsin. Agar to’plamning bo’sh bo’lmagan
qismto’plamining o’zi gruppada aniqlangan amalga nisbatan gruppa tashkil
etsa uni gruppaning qismgruppasi deyiladi. to’plamning bo’sh
bo’lmagan qism to’plami gruppaning qismgruppasi bo’lishi uchun
uning ko’paytirish va elementlarning teskarilanishi amallariga nisbatan yopiq
bo’lishi, ya’ni
1)
2)
shartlarning bajarilishi yetarli.
Agar gruppada biror element olinsa, u holda to’plam
ning qismgruppasi bo’ladi (tekshirib ko’ring!). Bu qism gruppa siklik qism
gruppa, element esa uning yasovchisi (yoki yaratuvchisi) deyiladi.
Yasovchisi bo’lgan siklik qismgruppani < g > bilan belgilaymiz.
O’zining biror < g > siklik qismgruppasi bilan mos tushadigan
gruppa siklik gruppa deyiladi. Bu holda element uning yasovchi (yoki
yaratuvchi)si deyiladi. Agar gruppaning elementining hamma har xil
bo’lgan butun darajalari har xil, ya’ni , bo’lsa
element cheksiz tartibga ega deyiladi. Aks holda, ya’ni elementning butun
darajalari orasida tenglari mavjud, bo’lib, uchun
bo’lsa, n natural son elementning tartibi deyiladi.
Agar gruppaning g elementi cheksiz tartibga ega bo’lsa < g >
siklik gruppa cheksiz bo’ladi. Agar elementning tartibi bo’lsa, < g >
qism ham -tartibga ega bo’ladi, shu bilan birga
Cheksiz siklik gruppa < g > da ham yasovchi bo’ladi, va
dan boshqa yasovchilar mavjud emas. Agar < g > – siklik gruppaning tartibi
bo’lsa, u holda element faqat va faqat va sonlar o’zaro tub
bo’lgandagina yasovchi bo’ladi.
va lar mos ravishda  va amallarga nisbatan gruppalar
bo’lsin. Agar ixtiyoriy lar uchun
bo’lsa biyektiv akslantirish gruppaning gruppaga
izomorfizmi deyiladi. Bu holda gruppa gruppaga izomorf ham deyiladiH b a  , H b a   G
Н
 G
G H
G G
H G
; , 2 1 2 1 H h h H h h   
. 1 H h H h    
Gg } | { Z k gk
G
g
g
G
g
G
g
l k g g l k    Z l k,
g
1ng n m  0 1 mg
g
G
g
п
п
}. ,..., ,1 { 1 1 0     ng g g g
1
g g 1
g
п
k g k n
1G
2 G

1 2 1, G g g  ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 g f g f g g f   
2 1 : G G f 
1G 2 G
1G
2 G
12

va shaklda yoziladi. Gruppaning o’ziga izomorfligi uning
avtomorfizmi deyiladi .
5-m i s o l. Ixtiyoriy gruppada va ning o’zidan iborat ikkita
qismgruppa mavjud. Ular ning trivial qismgruppalari deyiladi.■
6-m i s o l. Simmetrik gruppada barcha juft olmosh (o’rniga
qo’yish) lar to’plami qismgruppadir. (Tekshirib ko’ring!) Bu qismgruppa
- darajali ishora almashinuvchi gruppa deyiladi. Uning tartibi
ga teng. ■
7-m i s o l. gruppa gruppaning qismgruppasidir.
8-m i s o l. Olmoshlarning ushbu

to’plami gruppada qismgruppa ekanligini ko’rsating.
Yechish. ning Keli jadvalini tuzamiz:
.
Bu jadvaldan ning qismgruppa ekanligi kelib chiqadi. ■
9-m i s o l. Agar element gruppaning -tartibli elementi bo’lsa
son ga bo’lganda va faqat shu holdagina bo’ladi.
Yechish. bo’lsin. son ning tartibi bo’lgani uchun . U
holda . Bundan
element tartibi ta’rifiga asosan son shartni qanoatlantiruvchi eng
kichik natural sondir. bo’lgani uchun yuqoridagi muhokamada faqat
bo’lishi mumkin. Demak, son ga bo’linadi.
Aksincha, agar son ga bo’linsa, va shuning
uchun: ■2 1 G G 
G } {е G
G
nSnA
n
!
2
1n
) , ( R n SL ) , ( R n GL















 










1243 4321
,
3412 4321 ,
2134 4321
,
4321 4321
32 10
 
 
H
4S
H
0
 1 2  3 
0
 0  1 2  3 
1 1
2  3  0 
2
 2  3  0  1
3
 3  0  1 2 
 H
 g G n
k n e gk
e gk n
g n k 
n r r nq k     0 , . ) ( e a a a a a r r q n r nq k      .e an
n
eg n 
n r
0r
k n
k n Z   1 1, q nq k
. ) ( 1 1 e g g g q n nq k   
13

$10-m i s o l. gruppaning elementi -tartibga ega bo’lsa element tartibga ega bo’ladi. Bunda Shuni isbot qiling. Yechish. Bu yerda va bo’lganda bo’lishini ko’rsatish kerak. Eng avvalo Endi shunday son bo’lsinki, bo’lsin. U holda 9-misolga ko’ra bundan ning ning tartibi bo’lgan ga bo’linishi kelib chiqadi. Demak, son ga bo’linadi. Ammo va lar o’zaro tub. Shuning uchun son ga bo’linishi kelib chiqadi, bundan ■ 11-m i s o l. Multiplikativ gruppada elementning tartibi 150 ga teng. Shunga ishonch hosil qiling. ■ 12-m i s o l. Birning 15-darajali ildizlarining har biri uchun uning tartibini ko’rsating. Yechish. Birning 15-darajali ildizlari bilan ifodalanadi. Bundan ning tartibi birga; larning tartiblari uchga; larning tartiblari beshga; larning tartiblari 15 ga tengligini ko’ramiz.■ 13-m i s o l. Tartibi 100 bo’lgan siklik gruppada tartibi 20 bo’lgan hamma elementlarini toping. Yechish. elementning tartibini bilan belgilaymiz va shunday elementlarni izlaymizki, bo’lsin. 10-misolga asosan yoki bizning misolimizda bu esa o’z navbatida ga teng kuchli. Shunday qilib yechilayotgan masala ushbu masalaga keltiriladi: shunday butun sonlarni topingki bo’lsin. Bunday sonlar 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 bo’ladi. Demak, izlanayotgan elementlar: bo’ladi. ■Gg n kg d n ). , ( k n ЭКУБ d  e g d n k  ) ( d n m  0 e g m n  ) ( . ) ( ) ( e g g g d n n d kn d n k    0  m e g g km m k   ) ( km a n m d k d n d k d n m d n . d n m  }0{\ С С  7513 sin 7513 cos   iz  152 sin 152 cos k ik k     0 ,5 10 12 9 6 3 , , ,     14 13 11 8 7 4 2 1 , , , , , , ,          gG k g ) ( kg ord k g   20  k k g ordg ) , ( ) ( k n ЭКУБ n g ord k  ) , 100( 100 20 k ЭКУБ  5),100( k k )5,100( k 95 85 65 55 45 35 15 5 , , , , , g g g g g g g g 14$ $14-m i s o l. Barcha butun sonlarning additiv gruppasi cheksiz siklik gruppadir. U 1 ning barcha karralilaridan iborat bo’ladi. ■ 15-m i s o l. Birning darajali barcha ildizlari qiymatlari -tartibli multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi. U birning ixtiyoriy darajali boshlang’ich ildizi orqali yaratilishi mumkin. ■ 16-m i s o l. Barcha butun sonlarning additiv gruppasi barcha juft sonlarning additiv gruppasiga izomorfligini isbot qiling. Yechish. Ixtiyoriy uchun qoida bilan berilgan akslantirish olamiz. izomorfizmdir. ■ 17-m i s o l. Barcha musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi barcha haqiqiy sonlarning additiv gruppasiga izomorfligini isbot qiling. Yechish. formula bilan aniqlangan akslantirish olamiz. shart ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lgani uchun izomorfizmdir. ■ 18-m i s o l . Kompleks sonlarning multiplikativ gruppasi ko’rinishdagi maxsusmas (ya’ni, kamida, yoki ) matrislarning multiplikativ gruppasiga izomorfligini isbot qiling. Yechish. formula bilan aniqlangan akslantirishni olamiz. bo’lsin. U holda Shu bilan birga agar bo’lsa, u holda Demak, izomorfizm. ■ 19-m i s o l. gruppaning barcha avtomorfizmlarini toping. Yechish. to’liq yozamiz:) , (  Z n n n ) , (  Z ) , 2(  Z Z k Z22)(  kkf Z Z 2  :f f ), ( 0   R ) , (  R 'ln)( aaa   R R   0 :  R       ' ' ln ln ln ) ( b a b a b a b a  0 ,   R b a   }0{\ * С С         a b b a 0  a 0 b  )( bia         a b b a           c d d c di c ) ( ).()( )( ])()[()])([( dicbia cd dc ab ba bdacbcad bcadbdac ibcadbdacdicbia                       di c bi a    .              c d d c a b b a   3S 3S 15$

bo’lsin. U holda ni quyidagi ko’ri-nishda
yozish mumkin bo’ladi.
Bu holda: bo’lishi bevosita tekshiriladi. Bu
tengliklarga asoslanib gruppaning ixtiyoriy ikki elementi ko’paytmasini
topaolamiz. Masalan,

va h. k.
gruppa quyidagi har xil avtomorfizmlarga ega. Qulaylik uchun
ularni olmoshlar shaklida yozamiz:
Bu akslantirishlar ko’paytirishni saqlab qoladi. Masalan,
demak, yoki
demak,
va h.k.
M A S H Q L A R
13 . Quyidagi to’plamlarning har biri ko’rsatilgan amallarga nisbatan
gruppa tashkil etishini aniqlang. Gruppalardan qaysilari abel gruppa? .
123 321
,
213 321
,
312 321
,
132 321
,
231 321
,
321 321
3


























S




  




 
2 3 1
3 2 1
,
1 3 2
3 2 1
b a
3S
   . , , , , , , , , , 2 2 2 2 3 b a ab b a a e ab a b a a b e S  
b a ba e b e a 2 2 3 , ,   
3S
, 3 2 b eb b a ab a     ,2 2 2 a a e a a ab ba ab b a ab        
b a ba eba ba a ba aa abaa a ab 2 3 2 2       
3S
;
22 22





baabbaae baabbaae

;
22 22





bbaabaae baabbaae

;
22 22





abbbaaae baabbaae

;
22 22





abbabaae baabbaae

;
22 22





babbaaae baabbaae

.
22 22





bаbabaae baabbaae

, ) ( , ) ( : 2 2 b a ab a a b      b a a ab a 2 2 ) (    
, ) ( , ) ( ; ) ( 2 2 ab b a b a ab b b       , ) ( 2 2 ab b a b a ab    
a a bb a a abba   ) ( , ) ( 2 2 2  
16

a ) barcha toq sonlar to’plami, qo’shishga nisbatan.
b ) barcha juft sonlar to’plami, qo’shishga nisbatan;
c ) barcha musbat rasional (haqiqiy) sonlar to’plami ko’paytrishga
nisbatan;
d ) maxraji ikkining darajalaridan iborat barcha rasional sonlar to’plami
qo’shishga nisbatan;
e ) rasionaln ы ye chisla, znamenateli kotor ы x - ravn ы proizvedeniyam
prost ы x chisel iz dannogo (konechnogo ili beskonechnogo) s sel ы mi
neotrisateln ы mi pokazatelyami, lish konechnoye chislo kotor ы x otlichno ot
nulya, otnositelno slojeniya;
f ) to’plamning barcha podstanovkalari to’plami podstanovkalarni
akslantirishlar sifatida ko’paytirishga nisbatan;
g ) to’plamning barcha juft podstanovkalari to’plami
podstanovkalarni ko’paytirishga nisbatan;
h ) tekislikning belgilangan nuqta atrofida barcha burishlari to’plami
burishlarni akslantirishlar sifatida ko’paytirishga nisbatan;
i ) o’zgaruvchining butun (rasional, haqaqiy va kompleks)
koeffisiyentli 1) n -darajali, 2) darajasi n dan katta bo’lmagan (nolinchi
darajalari ham) barcha ko’phadalri to’plami ko’phadlarni qo’shishga
nisbatan;
j ) tekislik (fazo)dagi barcha erkli vektorlari to’plami vektorlarni
qo’shishga nisbatan;
k ) tartibli elementlari rasional (kompleks) sonlar bo’lgan barcha
maxsusmas matritsalar to’plami 1) qo’shish; 2) ko’paytrish amalga nisbatan;
l ) tartibli elementlari rasional (kompleks) son bo’lgan
determinanti 1) 1 ga; 2) 1 ga teng barcha matritsalar to’plami matritsalarni
ko’paytirishga nisbatan;
m ) birning darajali (haqiqiy va shuningde kompleks) barcha
ildizlari to’plami ko’paytirishga nisbatan;
n ) moduli 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlar to’plami
ko’paytirishga nisbatan;
o ) barcha sof mavhum kompleks sonlar to’plami kompleks sonlarni
1) qo’shish; 2) ko’paytirish amaliga nisbatan;
p ) 3 ga qoldiqsiz bo’linadigan barcha sonlar to’plami qo’shishga
nisbatan.
14 . Quyidagi qonuniyatlar bilan aniqlangan almashtirishlar
to’plamlaridan qaysilari almashtirishlarni qo’paytirishga nisbatan gruppa
ekanliginianiqlang. Ularning qaysilari abel gruppa :
a )
b )
c )
d ) X },...,2,1{ nX 
х
1 n
1 n

п
R R  :f
; , , , ) ( 0    a b a b ax x f R
; , ) ( R    b b x x f
; , , , ) ( 0    a b a b ax x f R
; , , , ) ( 0    a b a b ax x f R
17

e )
f )
g )
h )
15 . Quyidagicha berilgan matritsalar to’plamlari matritsalarni
ko’paytirishga nisbatan gruppa ekanligini isbot qiling. Ularning qaysilari abel
a )
b )
c )
d )
e ) har bir satri va har bir ustunida faqat bitta elementi 1 ga qolganlari
noldan iborat barcha -tartibli kvadrat matritsalar to’plami.
f )
g ) ko’rinishdagi barcha
uchburchakli maxsusmas matritsalar to’plami.
h ) belgilangan maxsusmas simmetrik (kososimmetrik) matritsa
uchun shartni qanoatlantiradigan barcha tartibli matritsalar
to’plami ?
16 . Berilgan figuraning barcha simmetriyalari to’plami
simmetriyalarni akslantirishlar kabi ko’paytirishga nisbatan gruppa bo’lishini
isbot qiling. Ushbu figuralarning simmetriya gruppasini tuzing:
a ) kvadratning;
b ) kvadrat bo’lmagan rombning;
c ) kvadrat bo’lmagan to’g’ri to’rtburchakning.
Ularning har biri uchun Keli jadvali tuzing.
17*. Agar ikki burishning ko’paytmasi sifatida ularning birin-ketin
bajarilishi qabul qilinsa, muntazam n -burchakning va besh muntazam; , , , ) ( 0    a b a b ax x f Q
; , , , ) ( 0    a b a b ax x f Q
; , , , ) ( 0    a b a b ax x f Z
? , 2 ) ( Z   k x x f k
; , , |





    





 0 3 2 2 b a b a a b
b a Q
; , , |





    




  0 3 2 2 b a b a a b
b a Q;|
cossin sincos






 
R

 
 
;,...,,|
cossin sincos












110
22 22
nk
n k
n k n k
n k
 
 
n
; 0 , |
0 0 0
0
0
22 21
12 11
22 21
12 11








 










a a
a a
a a a
a a
ij R
R




ij
nn nn
an
aaa aaa
,1,
...00 ............ ...0 ...
222 11211
 A
A AS ST  1 n
S
18

ko’pyoqlardan har birining n -burchakni va ko’pyoqlini uning o’ziga
o’tkazadigan markaz atrofida burishlarning barchasi gruppa tashkil etishini
isbot qiling. Bu gruppalar tartibini aniqlang.
18 . , bunda - tub son, to’plam modul bo’yicha
ko’paytrishga nisbatan gruppa tashkil etishini isbot qiling. bo’lgan hol
uchun bu gruppaning Keli jadvalini tuzing.
19 . Rasional (haqiqiy, kompleks) sonlarning hamma tartiblangan
juftlari to’plami (bunda ): qoida
bo’yicha aniqlangan ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etishini isbotlang.
20. 13-misoldagi gruppalarning qaysilari shu misoldagi boshqa
gruppalarning qismgruppasi bo’ladi?
21 . Gruppaning qismgruppalari kesishmasi uning qismgruppasi
bo’lishini isbot qiling.
22 . Ushbu olmoshlar to’plamlarining qaysilari gruppaning
qismgruppasi bo’ladi?
a )
b )
c )
d )
23 . Agar gruppaning qismgruppasi ikkitadan kam bo’lmagan
elementlardan iborat bo’lib bilan ustma-ust tushmasa qismgruppa
ning xos qismgruppasi deyiladi. Quyidagi gruppalarning xos
qismgruppalarini ko’rsating:
a ) butun sonlarning additiv gruppasi;
b ) noldan farqli rasional sonlarning multiplikativ gruppasi;
s ) simmetrik gruppa;
d ) simmetrik gruppa;
e ) musbat rasional sonlarning multiplikativ gruppasi.
24 . Agar butun sonlar additiv gruppasining qismgruppasi 2 ni o’z
ichiga olsa, u holda hamma juft sonlarni o’z ichiga oladi. Shuni isbot
qiling. }1 ,..,2,1{  p p p 5p
) , ( b a
0  a ) , ( ) , )( , ( 1 2 1 2 1 2 2 1 1 b ba a a b a b a  
4
S
;
3421 4321
,
4312 4321
,
3412 4321
,
4321 4321


















;
1234 4321
,
3421 4321
,
2134 4321
,
4321 4321


















;
4 3 1 2
4 3 2 1
,
4 3 2 1
4 3 2 1


















.
3421 4321
,
3241 4321
,
4231 4321 ,
2341 4321
,
2431 4321
,
4321 4321

















 











G Н
G H G
3S
4S
Н
Н
19

$25. Agar butun sonlar additiv gruppasining qismgruppasi 1 yoki –1 ni o’z ichiga olsa, u bilan ustma-ust tushishini isbot qiling. 26 . Noldan farqli haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasida quyidagilarni o’z ichiga oladigan eng kichik (o’z ichiga olish ma’nosida) qismgruppa toping. a ) 2; b ) c ) d ) e ) 27 . gruppasining hamma chekli qismgruppalarini toping. 28 . – gruppa va bo’lsin. to’plam ning qismgruppasi ekanligini isot qiling. ( gruppa gruppaning markazi deyiladi). 29 . Multiplikativ gruppada quyidagi elementlarning tartibini toping: a ) , bo’lganda; b ) , bo’lganda; c ) , bo’lganda. 30 . Birning tartiblari 5, 7, 8, 12 ga teng bo’lgan barcha n- darajali ildizlarini toping, agar: a ) b ) bo’lsa. 31 . Agar a ) n = 18; b ) n = 25 bo’lsa, birning har bir n- darajali ildizi uchun uning tartibini ko’rsating. 32 . Podstanovkalarning uchinchi darajali gruppasida hamma elementlar tartibini aniqlang. gruppa siklik gruppa bo’ladimi? 33 . Elementlari kompleks sonlar bo’lgan ikkinchi tartibli maxsusmas matritsalarning gruppasida quyidagi elementlar tartibini aniqlang: a ) b ) c ) d ) e ) 34 . gruppaning ixtiyoriy elementlari uchun: a ) b ) c ) elementlar birxil tartibli ekanligini isbot qiling. 35 . 17 – 18 masalalardagi gruppalarning qaysilari siklik gruppa? 36 . Isbot qiling: a ) agar gruppada birlik bo’lmagan har bir elementning tartibi 2 ga teng bo’lsa, u holda u abel gruppa bo’ladi; b ) agar shu bilan birga chekli gruppa bo’lsa u elementdan iborat bo’ladi.Н Z }; {\ 0 Z }; {\ 0 Q ;0Z .0 Q ) },0{\ (  R G } | { ) ( G x xg gx G g G Z      ) (G Z G )( GZ G }0{\ * C C  150 2 sin 150 2 cos k ik z k    25,15k 882 sin 882 cos k ik z k    7 , 12,4  k 192 sin 192 cos k ik z k    10,6 ,2  k ; 24  п 28  п 3S 3S ) , ( С 2 GL ; 10 01     ; 1 0 0 1        ; 10 11     ; 1 0 0        i . 1 0 0        i G b a, ; ва 1a a ; ва 1ab b a  baab ва G G п2   N n 20$

37 . Podstanovkalarning ixtiyoriy chekli tartibli siklik gruppalari
mavjudligini isbot qiling.
38 . element multiplikativ gruppaning n- tartibli elementi bo’lsin.
Quyidagilarni isbot qiling:
a ) elementlar juft-jufti bilan har xil;
b ) to’plam ning qismgruppasi.
39 . element gruppaning elementi va natural son bo’lsin.
Quyidagi tasdiqlar ekvivalent (teng kuchli) ekanligini isbot qiling:
a ) ning tartibi n ;
b ) gruppa n -tartibli;
40 . gruppa elementi tub son) tartibli bo’lsin. Ixtiyoriy
butun uchun yo yoki ning tartibi ga teng bo’lishini isbot
qiling.
41 . gruppaning elementi n -tartibli bo’lsin. Quyidagilarni isbot
qiling:
a ) va lar o’zaro tub bo’lganda va faqat shu holda ning tartibi
ga teng bo’ladi;
b ) agar va o’zaro tub bo’lsalar u holda da mavjud
bo’ladi, ya’ni element G da biror elementning k -darajasi bo’ladi, va
aksincha;
s ) agar toq bo’lsa, u holda dagi har bir element dagi
biror elementning kvadrati bo’ladi.
42 . Siklik gruppaning:
a ) 5; b ) 10; s ) 12 tartibli hamma yasovchilarini yozing.
43 . Ixtiyoriy gruppada va o’zaro tub deb hisoblanadigan bo’lsa
tartibli har bir element bir qiymatli aniqlangan r- tartibli va bir qiymatli
aniqlangan -tartibli elementlarning ko’paytmasidan iborat bo’ladi.
Shuni isbot qiling.
44 . Gruppaning va - elementlari o’rin almashinuvchi va chekli
o’zaro tub r va tartiblarga ega bo’lsin. Ularning ab ko’paytmasi tartibga
ega bo’lishini isbotlang.
45 . Har anday cheksiz gruppa cheksiz ko’p qism gruppalarga ega
bo’lishini isbot qiling.
46 . a ) gruppaning; b ) siklik gruppaning;
tartibli hamma qismgruppalarini toping.
47 . gruppaning elementining tartibi cheksiz ekanligini isbot
qiling.
48 . Ushbu gruppalarning har birida nechta 6-tartibli elementlar
mavjud:a G
1 1 0 ,..., , na a a
} ,..., , { 1 1 0   na a a H G
 a G n
 a  a
G  a  p p(
m 1ma
m
a p
G  a
n s sa n
n k
 a ka
a
n
 a  a
 a
r s
rs
а s a
s z a
a b
s
rs
3S
 a
100 ) ; 24 ) 6; )   
* С
i
5
4
5
3 
21

a ) ; b ) c )
49*. gruppada ushbu tasdiqlarni isbot qiling:
a ) toq podstanovkaning tartibi juft sondir;
b ) ixtiyoriy podstanovkaning tartibi uning yoyilmasiga kiradigan
mustaqil sikllarning eng kichik umumiy karralisi bo’ladi.
50*. -tartibli siklik gruppada shartni qanoatlantiradigan
hamma elementlarni va quyidagi hollar uchun hamma tartibli
elementlarni toping:
a ) b ) c )
d ) e ) f )
51*. -tartibli siklik gruppa berilgan bo’lsin. Quyidagilarni
isbot qiling:
a ) bo’lganda va faqat shu holdagina va
elementlar bir xil tartibga ega bo’ladi;
b ) element va o’zaro tub bo’lganda va faqat shu holdagina
ning yaratuvchi elementi bo’ladi;
s ) har qanday qismgruppa ko’rinishdagi element bilan
yaratiladi, bu yerda son ning bo’luvchisi;
b ) ning har qanday d bo’luvchisi uchun d- tartibli yagona
qismgruppa mavjud .
52*. chekli gruppa va son har qanday element
uchun bo’ladigan natural sonlarning eng kichigi bo’lsin ( son
gruppaning davri deyiladi). Quyidagilarni isbot qiling:
a ) davr gruppa tartibi ning bo’luvchisi bo’lib, G gruppa
elementlari tartiblarining eng kichik umumiy karralisiga teng;
b ) agar abel gruppa bo’lsa, u holda tartibli element
mavjud;
s ) chekli abel gruppa = bo’lganda va faqat shu holdagina
siklik gruppa bo’ladi .
b ) va s ) tasdiqlar noabel gruppalar uchun ham o’rinlimi?
53. Qamma elementlari chekli tartibga ega bo’lgan cheksiz gruppa
mavjudmi?
54. gruppaning barcha chekli tartibli elementlari to’plami uning
davriy Hismi deyiladi.
a ) abel gruppaning davriy qismi qismgruppa bo’lishini isbot qiling;
b ) masalaning a ) sharti noabel gruppa uchun to’g’rimi?
s ) gruppaning davriy qismini toping.* С ;5S ?5A
nS
п  a e gk
g
k
;6 , 24   k n
;4,24  kn ;5 , 100   k n
; 30 , 360   k n
;12,360  kn .7,360  kn
п    a G
) ,( ) , ( nl ЭКУБ n k ЭКУБ  ka
la
ka k n G
G H  da
 d n
n G H 
 G ) (G d
Gg 
e gs s ) (G d
G
) (G d G | |G
G ) (G d
Gg 
G ) (G d | |G
G
* С
22

$d ) abel gruppada tartibi cheksiz bo’lgan elementlar bor va ularning hammasi qismgruppaga tegishli bo’lsa, qismgruppa gruppa bilan ustma-ust tushishini isbot qiling. 55 . Abel gruppada tartiblari belgilangan sonning bo’luvchilari bo’lgan elementlar to’plami qismgruppa bo’lishini isbot qiling. Bu tasdiq noabel gruppa uchun to’g’rimi? 56 . gruppaning berilgan element bilan o’rin almashinuvchi hamma elementlar ( g elementning sentralizatori) ni toping, agar: a ) b ) c ) bo’lsa. 57 . Ushbularni isbot qiling: a ) muntazam uchburchakning simmetriyalari gruppasi podstanovkalar gruppasiga izomorfdir; b ) ixtiyoriy ikki cheksiz siklik gruppalar izomorfdir; c ) berilgan tartibdagi ixtiyoriy ikki chekli siklik gruppalar izomorfdir. 58 . Quyidagi additiv gruppalar izomorfligini isbot qiling: a ) Mos ravishda 2 va 3 sonlariga karrali sonlarning va gruppalar; b ) va s ) va 59 . Ushbu gruppalarning izomorfligini isbot qiling: a ) va b ) va s ) birning darajali ildizlari gruppasi va d ) 14- a ) misoldagi va 19 misoldagi gruppalar; G Н Н G п G Gg  ); 34)( 12( ,4   g S G ; 0 0 ), ,2(         b a g SL G R ) ... 123( , n g S G n   3S Z2 Z3        Ra aa | 0 0 ;R              R b a b a , | 0 0 .,| 00        Ryxyx                     , | R x x 1 0 1 ); , (  R             ,,| 0 0 0 xx xx R ). }, {\ (  0 R n ), (  n U ;,1,...,1,0| 2 cos2 sin 2 sin2 cos                  nk n k n k n k n k     23$ $ye ) va f ) va g ) va . 60*. Quyidagi gruppalar izomorf emasligini isbot qiling: a ) va ; b ) va c ) va d ) va e ) va f ) va 61 . Quyidagi tartibli hamma gruppalar (izomorfizm aniqligigacha) ni toping: a ) uch; b ) to’rt; c ) olti. 62 . va gruppalarning izomorfizmb berilgan bo’lsin. Quyidagilarni isbot qiling: a ) b ) c ) va elementlarning tartiblari bir xil bo’ladi. 63 . ( Keli teoremasi ) -tartibli ixtiyoriy chekli gruppa S n ning biror qismgruppasiga izomorfdir. Shuni isbot qiling. 64 . Quyidagilarni isbot qilang: a ) ixtiyoriy gruppaning hamma avtomorfizmlari to’plami kompozitsiyaga nisbatan gruppadir; b ) ushbu (bu yerda element ning belgilangan elementi) akslantirish ning avtomorfizmidir. (Bu ichki avtomorfizm deyiladi). s ) ixtiyoriy gruppaning barcha ichki avtomorfizmlari to’plami kompozitsiyaga nisbatan gruppadir. 65 . Quyidagi gruppalarning avtomorfizm gruppalarini toping: a ) butun sonlarning additiv gruppasi; b ) tartibli siklik gruppalar.            ,0,,|3 22 baba ab ba Q   ; , 0 , , |3 22      b a b a b a Q              ,0,,|3 22 baba ab ba Q    ; , 0 , , |3 22      b a b a bi a Q              ,| cossin sincos R      ) },1 | |\ ({    z z C ) , (  Q ) },0{\ (  Q ) },0{\ (  Q );, ( 0   Q ), ( 0   Q );, ( 0   R ), ( 0   R ); },0{\ (  R ) , (  R ); },0{\ (  R ), (   R ). , (  Q ), ( 1  G ),( 2 G f ;1 )1(  f ; )) ( ( ) ( 1 1    a f a f g ) (g f n 1 :   axa x s  a G G 10 ) ;6 ) ;5 ) ;4 )      a 24$

66 . rasional sonlarning additiv gruppasi va bo’lsin.
Quyida-gilarni isbot qiling:
a ) akslantirish avtomorfizmdir;
b ) ning boshqa avtomorfizmlari mavjud emas.
§3. Qo’shni sinflar. Normal bo’luvchilar.
Faktor-gruppa. Gruppalar gomomorfizmi
Multiplikativ gruppa, uning qismgruppasi va bo’lsin.
to’plam gruppaning H qismgruppa bo’yicha chap
qo’shni sinfi, to’plam gruppaning H qismgruppa
bo’yicha o’ng qo’shni sinfi deyiladi .
1-m i s o l. Simmetrik gruppada va
elementlardan iborat A qismgruppani olib qaraymiz va
elementni olamiz. U holda chap qo’shni sinf va
elementlardan, o’ng qo’shni sinf esa
va elementlardan iborat bo’ladi. ■
Chap qo’shni sinflarning quyidagi xossalarini ko’rsatib o’tamiz:
1)
2) yoki ; 3)
Xuddi shunday xossalar o’ng qo’shni sinflar uchun ham o’rinli.
Berilgan gruppaning H qismgruppa bo’yicha hamma har xil chap
qo’shni sinflari soni uning shu podgruppa bo’yicha hamma har xil o’ng
qo’shni sinflari soni bilan bir xil bo’ladi. (Gruppa cheksiz bo’lganda buning
ma’nosi shuki, gruppaning H qismgruppa bo’yicha hamma chap qo’shni
sinflari to’plamining quvvati, o’ng qo’shni sinflar to’plamining quvati bilan
bir xil bo’ladi). Bu son (cheksiz to’plam uchun -- quvvat) H qismgruppaning
dagi indeksi deyiladi.
Agar gruppa chekli bo’lsa, u holda uning tartibi uning ixtiyoriy H
qismgruppasi tartibi bilan shu qismgruppaning dagi indeksi
ko’paytmasiga teng bo’ladi ( Lagranj teoremasi ). Bundan chekli gruppaningGQ   r 0
 raaGG )(,:
 
G
 G  H
Gg 
} | { H h gh gH   G
}|{ HhhgHg 
G
3S 




 
3 2 1
3 2 1
e 




 
2 3 1
3 2 1
a





 
1 3 2
3 2 1
g
gA 




  
1 3 2
3 2 1
g ge





 
1 2 3
3 2 1
ga
 Ag





  
1 3 2
3 2 1
g eg 




 
3 1 2
3 2 1
ag
; 1 H b a aH bH aH b      
bHaH 
  bH aH  . aH a
G
G
G
G
G
25

ixtiyoriy qismgruppasining tartibi shu gruppa tartibining bo’luvchisi bo’lishi
kelib chiqadi. Shuningdek, ixtiyoriy chekli gruppa ixtiyoriy elementning
tartibi ham shu gruppa tartibining bo’luvchisi bo’ladi. Aksincha, agar chekli
tartibi r tub songa bo’linsa , gruppa r tartibli elementlarga ega bo’ladi
( Koshi teoremasi ).
gruppa elementlarini H qismgruppa bo’yicha bitta chap qo’shni
sinfga tegishlilarini bir to’plamga birlashtirib o’zaro kesishmaydigan
sinflarga ajratish gruppaning H qismgruppa bo’yicha chap tomonli
yoyilmasi deyiladi. Agar chap qo’shni sinflar o’rniga qismgruppa bo’yicha
o’ng qo’shni sinflar olinsa, gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng
tomonli yoyilmasi hosil qilinadi .
2-m i s o l. Elementlari
bo’lgan gruppada e= , dan iborat H qismgruppani olamiz. U holda
ning H bo’yicha chap tomonli yoyilmasi quyidagi sinflarga ajraladi:
1) e, qo’shni sinf
2) qo’shni sinf
3) qo’shni sinf
o’ng tomonli yoyilmada esa:
1) e , qo’shni sinf
2) qo’shni sinf
3) qo’shni sinf
H qismgruppaning gruppadagi indeksi 3 ga teng. ■
Agar gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng tomonli va chap
tomonli yoyilmalari sinflari bir xil bo’lsa, H qismgruppa gruppaning
normal bo’luvchisi ( normal qismgruppasi, invariant qismgruppasi ) deyiladi.
3-m i s o l. Agar H qismgruppaning G gruppadagi indeksi 2 ga teng
bo’lsa, N – qismgruppa ning normal bo’luvchisi bo’lishini isbot qiling.
Yechish. gruppaning H qism bo’yicha o’ng tomonli va chap tomonli
sinflar yoyilmalarida qo’shni sinflardan biri H ning o’zi bo’ladi , ikkinchi
qo’shni sinf esa G gruppaning H da mavjud bo’lmagan hamma elementlardan
iborat bo’ladi . ■
4-m i s o l. Ishora almashinuvchi gruppa simmetrik gruppaning
normal bo’luvchisi bo’lishini isbot qiling.G G
G
G
G
,
3 1 2
3 2 1
,
2 3 1
3 2 1
,
3 2 1
3 2 1
3 2 1 




  




  




      e





  




  




 
1 2 3
3 2 1
,
2 1 3
3 2 1
,
1 3 2
3 2 1
6 5 4   
3S 1 6 
3S
6 ; H eH 
5 2,  ; 2H 
4 3,  , 3H 
6 ; H H е
4 2,  ;2  H
5 3,  .3H
3S
G
G
G
G
пА nS
26

Yechish. ning dagi indeksi 2 ga teng bo’lgani uchun 3-misolga
asosan ning ning normal bo’luvchisi ekanligini hosil qilamiz. ■
H qismgruppa G gruppaning ixtiyoriy elementi uchun
bo’lganda va faqat shu holdagina ning normal bo’luvchisi bo’ladi.
tenglik H ning ixtiyoriy elementi uchun H da
tengliklarni qanoatlantiradigan va elementlar
topish mumkinligini bildiradi.
5-m i s o l. Agar abel gruppa bo’lsa, u holda uning har qanday H
qismgruppasi normal bo’luvchi bo’ladi.
Yechish. Buning uchun deb olish kifoya. ■
Agar G gruppada bo’ladigan element mavjud bo’lsa, G
gruppaning va elementlari shu gruppada qo’shma elementlar deyiladi.
Bu holda element dan ni transformirlashtirish bilan hosil qilingan
deydilar.
Agar H – G ning qisgruppasi va – element G ning belgilangan
elementi bo’lsa, ko’rinishdagi hamma elementlar to’plami yana G
ning qismgruppasi bo’ladi, bu yerda qiymat sifatida H ning hamma
elementlarini qabul qiladi. Bu qismgruppa G da bilan qo’shmalangan
qismgruppa deyiladi .
G ning H qismgruppasi har bir element bilan birga G da bilan
qo’shmalangan har bir elementni ham o’z ichiga olganda va faqat shu
holdagina G ning normal bo’luvchisi bo’ladi .
G gruppaning normal bo’luvchilari va faqat shulargina ular bilan
qo’shmalangan hamma qismgruppalar bilan mos (ustma-ust) tushadi.
6-m i s o l. gruppa ning normal bo’luvchisi
bo’lishini isbot qiling.
Yechish. bo’lsin. U holda
Shuning uchun ham . Shuni isbot qilish kerak edi. ■
Agar G gruppaning H normal bo’luvchilari bo’yicha hamma qo’shni
sinflar to’plamida qoida bo’yicha amal kiritsak
(additiv yozuvda esa ). Bu amal binar
algebraik amal bo’ladi. Shu amalga nisbatan G gruppaning N normal
bo’luvchisi bo’yicha hamma qo’shni sinflari to’plamining o’zi ham gruppa
bo’ladi. Bu gruppa G gruppaning N normal bo’luvchisi bo’yicha faktor-
gruppasi deyiladi va G/H shaklda belgilanadi . G/H faktor-gruppaning birlikпА
nSпА
nS
g
Hg gH 
G
Hg gH  h
'' , ' gh hg g h gh   'h ''h
 G
h h h   '' '
g g g g 1 1 2  
g
1g
2g
2g
1g g
g
h h h , 1
h
Н
h h
),( RnSL
) , ( R n GL
) , ( ), , ( R R n GL B n SL A  
det det det ) det( 1 1 A B AB B    .1 det   A B
) , ( 1 R n SL AB B  
H g g H g H g ) ( ) )( ( 2 1 2 1 
H g g H g H g       ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1
27

elementi N qo’shni sinf faktor-gruppaning elementiga teskari element
N va G/H faktor-gruppaning tartibi N ning G dagi indeksiga teng bo’ladi.
7-m i s o l. 5 ga bo’linadigan sonlarning additiv G gruppasining 15 ga
bo’linadigan sonlar to’plamidan iborat N ismgruppa bo’yicha faktor-
gruppasini toping.
Yechish. G – abel gruppa bo’lgani uchun H uning normal bo’luvchisi
bo’ladi. G gruppaning H bo’yicha qo’shni sinflarga yoyilmasini topamiz.
ning va elementlari bitta qo’shni sinfga tegishli bo’lishlari uchun -
son N ga tegishli bo’lishi zarur va yetarli . Boshqacha qilib aytganda va b
15 ga bo’linganda bir xil qoldiq berishlari kerak. Ammo 5 ga bo’linadigan
sonlar 15 ga bo’lishganda faqat 0, 5, 10 qoldiqlar hosil bo’lishi mumkin.
Shunday qilib, G gruppa uchta qo’shni sinflar hosil bo’ladi: 15 ga
bo’linadigan sonlardan iborat , 15 ga bo’lganda 5 qoldiq hosil bo’ladigan
sonlardan iborat va 15 ga bo’lganda 10 qoldiq hosil bo’ladigan sonlardan
iborat .
Bundan G/H ning tartibi uch ekanligi kelib chiqadi. uning tuzilishini
aniqlash uchun sinfni topamiz. Ammo . Shuning
uchun Shuningdek, Shunday
qilib - to’plam G/H faktor-gruppaning yasovchisidir. G/H gruppa
uchinchi tartibi siklik gruppadir. ■
8-m i s o l. Noldan farqli hamma kompleks sonlarning G multiplikativ
gruppasining modullari birga teng barcha kopleks sonlardan iborat N
qismgruppasi bo’yicha faktor-gruppasini toping.
Yechish. N - qismgruppa G ning normal bo’luvchisi ekanligini ravshan.
G ning N bo’yicha qo’shni sinflarini topamiz. G dagi har bir ni
trigonometrik ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda
N qismgruppa moduli 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks
sonlardan iborat bo’lgani uchun bitta qo’shni sinfga tegishlikompleks
sonlarning hammasi ning moduliga teng, ya’ni moduliga ega bo’ladi.
Haqiqatdan, agar son ga tegishli bo’lsa, u holda bo’ladi, bunda
Shuning uchun
Aksincha moduli ning moduliga teng bo’lgan har qanday
kompleks son qo’shni sinfga tegishli bo’ladi, chunki shuning
uchun bunda N, ya’ni Boshqacha qilib aytganda son
ning elementi. Bundan faktor-gruppa qo’shni sinflardan
iborat ekanligini hosil qilamiz, bu yerda r - ixtiyoriy haqiqiy son. ShuninggH1
g
G
а b а b
а
0 K
1K
2 K
2 1 1 2 K K K   H K   5 1
. 10 )5 5( 2 2 1 K H H K       . 3
01 K K 
1K
z
) sin (cos     r z
. ,0 R   r r
zH
z r
u zH z u 
. H   . | || || | r z u   
z 1u
zH
1
z
u
,
z
u
 
. zu  u
zH H G / rH
28

$bilan birga har xil musbat va haqiqiy sonlar uchun har xil va N qo’shni sinflar hosil bo’ladi . Shunday qilib, o’zaro bir qiymatli moslikka ega bo’lamiz. Musbat haqiqiy sonlarning to’plami ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu gruppa ning qismgruppasidir. gruppa faktor- gruppaga izomorfligini ko’rsatamiz. Haqiqatan, agar va - ikkita dan olingan qandaydir sonlar bo’lsa, u holda, yuqorida aytib o’tganimizdek va Ammo ( )( N )= N. Demak Shunday qilib, . ■ lar mos ravishda va binar algebraik amallarga nisbatan gruppalar bo’lsin. Agar bo’lsa, akslantirish gruppaning ga gomomorfizmi deyiladi. to’plam, bu yerda - element ning neytral elementi, gomomorfizmning yadrosi bo’ladi va aksincha, gruppaning har qanday gomomorfizmining yadrosi ning normal bo’luvchisi bo’ladi. Agar har bir elementga gruppaning biror N normal bo’luvchisi bo’yicha qo’shni sinf mos qilib qo’yilsa, gruppaning faktor-gruppaga gomomorf akslantirish hosil bo’ladi. Bu ning ga tabiiy gomomorfizmi deyiladi. uning yadrosi N normal bo’luvchining o’zi bo’ladi. Tabiiy gomomorfizmda gruppaning gruppaning bitta belgilangan elementiga o’tadigan barcha elementlari to’plami gruppaning N normal bo’luvchi bo’yicha qo’shni sinfi bo’ladi . Agar - gruppa gomomorfizmi bo’lsa, u holda ( gruppalar gomomorfizmi teoremasi ). 9-m i s o l. Multiplikativ gruppa va butun sonlarning - additiv gruppasi berilgan bo’lsin. Agar har bir juft songa ni, har bir toq songa ni mos qilib qo’ysak, additiv gruppaning multiplikativ gruppaga gomomorfizmini hosil qilamiz. ■ 10-m i s o l. agar elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgan - tartibli har bir maxsusmas matritsaga uning determinantini mos qilib qo’ysak, multiplikativ gruppaning multiplikativ gruppaga gomomorfizmini hosil qilamiz. ■ 11-m i s o l. qoida bilan berilgan akslantirish (bu yerda ) gomomorfizm bo’lishini aniqlang. 1r 2r Hr1 2r rHr  0 R G 0 R H G / 1r 2r 0 R , 2 1 Hr r  Hr r 2 2 . 21 21 Hrr rr  Hr1 2r 1r 2r ). )( ( 2 1 21 Hr Нr rr  0 /   R H G 2 1,G G   1 , ) ( ) ( ) ( G b a b f a f b a f      2 1 : G G f  1G 2 G })(|{ 21 GeafGa  2Ge 2 G f G G Gg  G gH G H G / G H G / G H G / G 2 1 : G G f  f Кer G G f / ) ( 1 1     }1 ,1{ H Z 1 )1(  ),( Z )},1,1{( H n ),( RnGL ) },0{\ (  R 2 ) ( z z f  * R * :G f }0{\ },0{\ * * R R   G G 29$

Yechish. Gomomorfizm shartini tekshiramiz. bo’lsin, u holda
ya’ni
gomomorfizmdir. ■
12-m i s o l. Oltinchi tartibli siklik gruppaning o’n sakkizinchi
tartibli siklik gruppaga hamma gomomorfizmlarni toping.
Yechish. va - mos ravishda va gruppalarning yasovchilari
va biror gomomorfizm bo’lsin.
U holda bo’lgani uchun va
gomomorfizmda birlik element birlik elementga (bu yerda ning birliik
elementi) o’tishi hisobga olinsa, gruppada faqat beshta:
element bunday xususiyatga ega bo’lib gruppada
boshqa hyech qanday elementning oltinchi darajasi birga aylanmasligini
ko’ramiz. Shunday qilib ko’rilayotgan misolda gomomorfizmlar oltita. Bular:

Bulardan birinchisida gruppa to’laligicha birlik elementga o’tadi. ning
gomomorfizm ekanligini tekshiraylik. dan olingan va (
) elementlarni olib qaraylik.
,
ya’ni gomo-morfizm. larning gomomorfizmligi ham
xuddi shundaay tartibda ko’rsatiladi. ■
Faktor-gruppalarni hisoblashda gomomorfizmlar haqidagi teorema
katta foyda berishi mumkinligini ta’kidlab o’tamiz. Agar G gruppa berilgan
bo’lib N uning normal bo’luvchichi bo’lsa, faktor-gruppani topish
uchun G ning biror shunday gruppaga gomomorfizmini tuzish kerakki,
uning yadrosi N ga teng bo’lsin. U holda gomomorfizmlar haqidagi
teoremaga ko’ra faktor-gruppa G ga izomorf bo’ladi .
13-m i s o l. gruppaning normal qismgruppa
bo’yicha faktor-gruppasini toping.
Yechish. 10-misoldagi ushbu gomomorfizmni olib
qaraymiz. Agar har bir qo’shni sinfga shu qo’shni sinfga kiruvchi hamma
matritsalarning determinantiga teng sonni mos qilib qo’yilsa, u holda bu
gomomorfizmning yadrosi bo’ladi. Bundan
■
14-m i s o l. 8-misolni gomomorfizmlar haqidagi teoremaga asoslanib
yechamiz. * 2 1, G z z 
, , ) ( ) ( ) , ( ) , ( * 2 1 2 1 22 21 2 2 1 2 1 G z z z f z f z z z z z z f      f 1H
2 H
1h 2h 1 H
2H
  2 1 : H H 
e h 61 ,' ) ( ( ) ( 6 1 61 e h h    
'e
2H
2 H
152 122 92 62 32 , , , , ,' h h h h h e
2H
, ) ( , ) ( , ) ( ,' ) ( 92 1 4 62 1 3 32 1 2 1 1 h h h h h h e h         . ) ( , ) ( 152 1 122 1 h h h h    
2
1H k
g
1
1g 6 , 0    k
)()()()(
12123
23
2)(3
212112 
gggggggg kkkkk
   
 
2 6 5 4 3 , , ,    
H G /
' G
H G /
),( RnGL ),( RnSL
*
),(: RR nGLf
),( RnSL
. ) , ( /) , (
* R R R  n SL n GL
30

Yechish. Har bir kompleks songa uning modulini mos qilib
qo’yamiz. tenglikdan moslik gruppaning
gruppaga gomomorfizmi ekanligi kelib chiqadi. Uning yadrosi bo’yicha 1 ga
teng bo’lgan barcha kompleks sonlarning qismgruppasining xuddi o’zi
bo’ladi. Demak, ■
15-m i s o l. Moduli 1 ga teng bo’lgan barcha kompleks sonlarning
multiplikativ gruppasining 1 va –1 sonlardan iborat N qismgruppa bo’yicha
faktor-gruppasini toping.
Yechish. Ushbu moslikni qarab chiqamiz.
bo’lgai uchun bu akslantirish gruppaning o’zida gomomorfizmi bo’ladi.
Aslida esa, bu gruppaning o’ziga gomomrfizm bo’ladi, chunki har bir
kompleks son boshqa biror sonning kvadrati shaklida ifodalanadi. Bu
gomomorfizmning yadrosi faqat va faqat shunday sonlardan iborat
bo’ladiki, . Ko’rinib turadiki, bular 1 va –1 sonlar bo’ladi, ya’ni yadro
N bilan ustma-ust tushadi. Demak, gomomorfizmlar haqidagi teoremaga
asosan ■
16-m i s o l. Oldingi misolda G gruppaning 1 ga teng bo’lmagan N
normal bo’luvchisi bo’yicha faktor-gruppasi gruppaning o’ziga izomorf
bo’lishi ko’rindi. Bu hol chekli gruppa bo’lganda ham sodir bo’lishi
mumkinmi?
Yechish. Bo’lishi mumkin emas, chunki Lagrnj teoremasiga asosan bu
holda faktor-gruppaning tartibi ning tartibining N ning tartibiga
bo’linmasi, ya’ni gruppaning tartibidan kichik bo’ladi. ■
M A S H Q L A R
66 . gruppada
a ) har bir qismgruppa bo’yicha o’ng qo’shni sinflarni toping;
b ) qismgruppalarning qaysilari normal bo’luvchilar bo’lishini
ko’rsating.
67 . ko’rinishdagi podstanovkalarning N to’plami
gruppada qismgruppa tashkil etishini ko’rsating. ning H bo’yicha qo’shni
sinflari sonini toping .
68 . Tekislikning belgilangan O nuqtasidan chiquvchi vektorlarning
additiv gruppasining shu O nuqtadan o’tuvchi belgilangan to’g’ri chiziqda
yotuvchi vektorlar qismgruppasi bo’yicha qo’shni sinflarini toping. Qo’shni
sinflarni tekislikda tasvirlang. z| |z
| || || | 2 1 2 1 z z zz 
|| zz  G 0
R
H
. / 0  R H G
G
2z z 22 21 2 2 1 ) ( z z zz 
G
G

1 2 
. / 0  G H G
G
G
H G / G
G
3S






n
i i
п

2
1
2 1
nS
nS
31

69*. Faqat birlik elementdangina iborat bo’lmagan G gruppa uning
tartibi tub son bo’lganda va faqat shu holdagina xos qismgruppalarga ega
bo’lmasligini isbot qiling.
70*. Tartibi ( tub son) bo’lgan ixtiyoriy gruppa siklik gruppa
bo’lishini isbot qiling.
71*. G – birning barcha n -darajali ildizlarining multiplikativ gruppasi,
ya’ni har qanday butun n>0 uchun birning barcha n -darajali ildizlarini o’z
ichiga olsin. Har qanday butun musbat m uchun G gruppa o’z ichiga bitta va
faqat bitta m- tartibli qismgruppani olishini va bu qismgruppa siklik gruppa
bo’lishini isbotlang.
72*. Ixtiyoriy butun musbat n uchun birning n -darajali ildizlari
gruppasi da yagona n- tartibli qismgruppa bo’lishini isbotlang.
73 . Quyidagi gruppalar uchun qo’shni sinflar toping va
hollarda ular dekart tekisligida qanday figuralar bilan tasvirlanishini
ko’rsating:
a ) butun sonlarning additiv gruppasining berilgan songa karrali
bo’lgan sonlarning qismgruppasi bo’yicha;
b ) haqiqiy sonlarning additiv gruppasining butun sonlardan iborat
qismgruppasi bo’yicha;
c ) kompleks sonlar additiv gruppasining gausiy butun sonlar, ya’ni
butun a va b uchun ko’rinishdagi sonlar qismgruppasi bo’yicha ;
d ) tekislikning koordinatalar boshidan chiqadigan vektorlari additiv
gruppasining o’qda yotuvchi vektorlar qismgruppasi bo’yicha;
e ) multiplikativ gruppaning moduli bo’yicha birga teng bo’lgan
sonlar qismgruppasi bo’yicha;
f ) multiplikativ gruppaning musbat butun sonlar qisgruppasi
bo’yicha;
g ) multiplikativ gruppaning noldan farqli haqiqiy sonlar
qismgruppasi bo’yicha;
h ) simmetrik gruppaning sonni o’z o’rnida qoldiruvchi
podstanovkalar qismgruppasi bo’yicha;
i ) simmetrik gruppaning juft podstanovkalar qismgruppasi
bo’yicha;
j ) o’n ikkinchi tartibli siklik gruppaning qismgruppa
bo’yicha;
k ) cheksiz tartibli siklik gruppaning qismgruppa
bo’yicha;
l ) sakkizinchi tartibli siklik gruppaning qisgruppa
bo’yicha;р р
), (  * С
) ) g d 
n Zn
bi a 
Ox
* С
* С
* С *R
nS
n
nS
nA
  a   3a
  a   3a
  a   3a
32

m ) cheksiz tartibli siklik gruppaning qismgruppa
bo’yicha;
n ) to’liq chiziqli gruppaning maxsus chiziqli
gruppa bo’yicha. ■
74. Ixtiyoriy gruppaning birlik qisgruppa bo’yicha va shu
gruppaning o’zi bo’yicha chap (o’ng) yoyilmasi nimadan iborat? Ularning
har biri ning normal bo’luvchisi bo’laoladimi?
75 . gruppada birlik qismgruppadan va shu gruppaning o’zidan
farqli barcha normal qismgruppalarni toping.
76 . gruppa misolida gruppaning N normal qismgruppaning K
normal qismgruppasi da albatta normal qismgruppa bo’lishi shart emas
ekanligini ko’rsating.
77 . a ) determinanti ga teng bo’lgan matritsalar qismgruppasi to’liq
chiziqli gruppaning normal qismgruppasi bo’lishini isbot qiling;
b ) determinanti musbat bo’lgan matritsalar qism to’plami to’liq chiziqli
gruppaning normal qismgruppasi bo’lishini isbot qiling.
78 . Gruppaning normal bo’luvchilari kesishmasi normal bo’luvchi
bo’lishini isbot qiling.
79 . Agar gruppaning qismgruppa bo’yicha ixtiyoriy ikki chap
qo’shni sinflari ko’paytmasi chap qo’shni sinf bo’lsa - qismgruppa normal
bo’luvchi bo’lishini isbot qiling.
80 . Gruppaning markazi uning normal bo’luvchisi bo’lishini isbot
qiling.
81 . Bu uch matritsaning
qaysilari da o’zaro qo’shma?
82 . Gruppa elementining sentralizatorini (shu element bilan o’rin
almashtiriluvchi elementlar to’plamini) toping:
a ) gruppada o’rin almashtirishning;
b ) gruppada o’rin almashtirishning.
83 . gruppada ushbu matritsalar sentrolizatorlarini toping:
a ) b ) c ) d )
84 . a ) b ) gruppalarning qo’shma elementlar sinflariga
tarqatmalarini toping.
85 . Qo’shma sinflari soni a ) b ) 2 ga teng bo’lgan hamma chekli
gruppalarni toping.  a   4a ),( RnGL ),( RnSL
G
G
3S
nA G
G
1
),( RnGL
),( RnGL
G Н
Н





  







 




 
1 2
0 1
,
2 0
0
2
1
,
1 0
1 1
3 2 1 A A A
) ,2( C GL
4S )4 3)(2 1(
4S
) 3 2 1( n 
) ,2( R GL
;
1 0
0 1







;
20 02




;
4 3
2 1





 .
1 0
1 1






;3S
4A
;1
33

86 . gruppada
a ) o’rin almashtirishning;
b ) o’rin almashtirishning qo’shma sinflarini toping.
87*. gruppada ikki o’rinalmashtirish ular bir xil siklik tuzilishga
ega (ya’ni ularning mustaqil sikllarga yoyilmasi ixtiyoriy uchun bir xil
miqdordagi uzunlikdagi sikllardan iborat) bo’lganda va faqat shu
holdagina o’zaro qo’shma bo’lishini isbot qiling.
88*. a ) b ) ; s ) gruppalarda qo’shma sinflari sonini toping.
89 . a ) agar N va K chekli gruppaning qo’shma qismgruppalari va
bo’lsa, bo’lishini;
b ) qismgruppalar
gruppada qo’shma va bo’lishini isbot qiling.
90 . Agar a ) H qismgruppa da dioganal matritsalar
qismgruppasi bo’lsa;
b ) H qismgruppa da ko’rinishdagi
matritsalar qismgruppasi bo’lsa, H qismgruppaning N(H) normalizatori ( H
normal bo’ladigan eng katta qismgruppa) ni toping.
91*. qimsgruppaning G dagi indeksi 2 ga teng, G gruppadagi
qo’shma elementlar sinfi S bo’lib, bo’lsa, S yo H da qo’shma bo’lgan
elementlar sinfi yoki bir xil miqdordagi elementlardan iborat H da qo’shma
elementlarning ikki sinfining birlashmasidan iborat bo’lishini isbot qiling.
92*. gruppada qo’shma sinflari sonini va sinflarning har birida
elementlar sonini aniqlang.
93 . a ) butun sonlar additiv gruppasining berilgan p natural songa
karrali bo’lgan sonlar qismgruppasi bo’yicha;
b ) to’rtga karrali butun sonlar additiv gruppasining 24 ga karrali butun
sonlar qismgruppasi bo’yicha;
c ) noldan farqli haqiqiy sonlar multiplikativ gruppasining musbat
sonlar qismgruppasi bo’yicha, faktor-gruppalarini toping.
94 . akslantirish haqiqiy sonlar additiv gruppasining
moduli bo’yicha birga teng bo’lgan kompleks sonlar multiplikativ gruppasiga
gomomorfizmi ekanligini ko’rsating. Shu gomomorfizm yadrosini toping.
95 . Haqiqiy koeffisiyentli hamma ko’phadlarning G additiv gruppasi
berilgan bo’lsin. Har bir ko’phadga 4S
)4 3)(2 1(
)4 2 1(nS
k
k
;4S 5S 6S
H K  H K 















 ZZ nn
Knn
H /
10 21
,/
101
H K 
) ,2( R GL G 
) ,2( R GL G 
R  




 a
a
,
1 0
1
 H
HС 
5A
* R
0 R
  
sincos i
G x f ) (
34

satrni mos qilib qo’yamiz, bu yerda
juft-jufti bilan har xil bo’lgan berilgan sonlar. Bu akslantirish additiv
gruppaga gomomorfizm ekanligini isbot qiling va uning yadrosini toping.
96*. Multiplikativ abel gruppa G , k – belgilangan butun son,
bo’lsin.
a ) to’plam G ning qismgruppasi ekanligini;
b ) akslantirish G ning ga gomomorfizmi
ekanligini, isbot qiling. Bu gomomorfizm yadrosini toping.
97 . Agar f - gruppaning gruppada gomomorfizmi bo’lsa,
quyidagi tasdiqlarni isbot qiling:
a ) b)
c) agar G ning qismgruppasi bo’lsa, ning qismgruppasi
bo’ladi;
d ) agar ning normal bo’luvchisi bo’lsa, ning
normal bo’luvchisi bo’ladi;
e *) hamma vaqt ham ning normal bo’luvchisi bo’lganda
ning bo’luvchisi bo’lavermaydi;
f ) ning normal bo’luvchisi bo’ladi;
g) bo’lganda va faqat shu holdagina akslantirish
monomorfizm (inyektiv gomomorfizm) bo’ladi;
i ) agar ning qismgruppasi bo’lsa, to’plam ning
qismgruppasi bo’ladi;
j ) agar to’plam ning normal bo’luvchisi bo’lsa,
to’plam ning normal bo’luvchisi bo’ladi .
98. ham siklik gruppa bo’lib, uning tartibi tartibining
bo’luvchisi bo’lganda va faqat shu holdagina gruppa chekli siklik
gruppaning gomomorf obrazi bo’lishini isbot qiling.
99 . - chekli gruppa, akslantirish ning gruppada
epimorfizm (syuryektiv gomomorfizm) bo’lsa, quyidagilarni isbot qiling;
a ) elementning tartibi ning tartibiga bo’linadi;
b ) ning tartibi ning tartibiga bo’linadi.
100 . Quyidagilar uchun hamma gomomorfizmlarni toping:
a ) p- tartibli siklik gruppaning o’ziga gomomorfizmlarini;
b ) 18-tartibli siklik gruppaning 6-tartibli gruppada;
c) 12-tartibli siklik gruppaning 15-tartibli siklik gruppada;
d ) 6-tartibli siklik gruppaning 25-tartibli siklik gruppada. )) ( ),..., ( ), ( ( 2 1 n f f f    n   ,..., , 2 1
n R
} | { G a a H k  
 H  k
aaHG )(,:
  H
1 G 2 G
;1 )1(  f
;))(()( 11 
 afaf
 H ) (H f 2G
 H 1G ) (H f
fIm
 H 1G
) (H f 2 G
 f Кеr 1 G
}1{ f Кеr
f
' H 2 G   )' (1H f 1 G
' H 2 G   )' (1H f
1 G
2 G 1 G
2 G 1 G
1 G
f 1 G 2 G
) (a f
1 G 2 G
 a
 a
  b
  a   b
  a
35

101*. Rasional sonlarning additiv gruppasini butun sonlarning additiv
gruppasiga gomomorf akslantirish mumkin emasligini isbotlang.
102*. argumenti bo’lgan sonlar to’plami bo’lsin.
Quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
a ) R / Z U ( U - moduli bir bo’lgan kompleks sonlar gruppasi ) ;
b )
c ) 1 ning -darajali ildizlari gruppasi);
d )
e )
f )
g )
103 .

bo’lsin. Quyidagilarni isbotlang:
a)
b)
c)
d)
e)
104 . uch o’lchovli fazoning hamma harakatlari gruppasi, N –
parallel ko’chirishlardan iborat qismgruppa va K – berilgan nuqta atrofida
burishlar qismgruppasi bo’lsin.
a ) N ning normal bo’luvchisi, ammo K – normal bo’luvchi
emasligini;
b ) bo’lishini, isbot qiling.
105*. gruppada
a ) har bir element chekli tartibga ega ekanligini;
b ) har bir n natural son uchun roppa-rosa bitta n- tartibli qismgruppa
mavjudligini, isbot qiling .
106*. gruppaning ichki avtomorfizmlari gruppasi gruppaning
uning markazi bo’yicha faktor-gruppasiga izomorfligini isbot qiling.
107. Noabeli gruppaning uning markazi bo’yicha faktor-gruppasi siklik
gruppa bo’laolmasligini isbotlang.
§ 4 . Halqa. Jism. Maydonп Н ) ( 2 Z k
n
k

; / U * R C *
  n n U U U U ( / n
; / * * C C n U
; / U H n * C
; / n n U Н  0 R
.0  R n n U Н / };1|det||),({  XnGLXA R
};1|det||),({  XnGLXB C
};0det|),({  XnGLXM R
}0 det/) , ( {    X n GL X N C
; ) , ( /) , ( * C C C  n SL n GL
; / /) , ( Z Z R 2  M n GL
; /) , ( U N n GL  C
; /) , ( 0  R R A n GL
. /) , ( 0  R C B n GL
G
G
K H G  /
Q/Z
G G
36

Bo’sh bo’lmagan to’plamda ikkita binar algebraik amal
aniqlangan bo’lsin. Ulardan birini qo’shuv deb ataymiz va additiv tarzda
belgilaymiz, ikkinchisini esa ko’paytiruv deb atab multiplikativ tarzda
belgilaymiz. Bu amallar aslida qo’shish va ko’paytirish deb ataladigan oddiy
arifmetik amallar bilan bir mazmunli bo’lishi shart emas. Agar:
a ) abel gruppa; b ) gruppoid;
s ) qo’shish va ko’paytirish ikkita:
distributivlik qonunlari bilan bog’langan
shartlar qanoatlantirilsa, algebraik sistema halqa deyiladi.
Agar ko’paytirish amali assosiativ, ya’ni polugruppa bo’lsa,
assosiativ halqa deyiladi.
Ko’paytirish amali kommutativ bo’lganda esa halqa
kommutativ halqa deyiladi. Bu holda ikki distributivlik qonunlaridan bittasini
tekshirish yetarli, chunki boshqasi undan kelib chiqadi.
Ko’paytirishga nisbatan neytral 1 element mavjud bo’lganda
halqa birlik elementli halqa deyiladi.
1-m i s o l. Ushbu algebraik sistema (bu yerda + va oddiy
ma’nodagi arifmetik amallar) uchun a ) va s ) shartlar bajariladi. Hatto
ko’paytirish kommutativ va assosiativ birlik element ham mavjud. Shunga
qaramay halqa emas, chunki - gruppa emas. ■
2-m i s o l. birlik elementli assosiativ-kommutativ halqa. Bu
yerda ni juft butun sonlar to’plami 2 bilan almashtirib birlik elementsiz
assosiativ-kommutativ halqa misolini hosil qilamiz. ■
3-m i s o l. lar birlik assosiativ-kommutativ
halqalar. ■
4-m i s o l. Uch o’lchovli Yevklid fazosining hamma geometrik
vektorlari to’plamini bilan, vektorlarni qo’shishni +, vektorlarni vektorli
ko’paytirishni bilan belgilasak, sistema halqa bo’ladi. Ammo
vektorlar algebrasining asosiy qonunlaridan ko’ramizki, bu halqa assosiativ
ham emas, kommutativ ham emas, shuningdek birlik elementga ham ega
emas. Unda kommutativlik qonuni o’rniga -- anti
kommutativlik qonuni bajariladi. Shu qonun tufayli bu yerda distributivlik
qonunlarining ikkalasi ham bir-biridan kelib chiqadi. Noassosiativ halqalarda
assosiativlikning o’rnini to’ldiradigan qandaydir boshqa qonunlar mavjud
bo’lmasa ularda algebraik ifodalarning birini boshqalariga shakl
almashtirishlar ma’nosida «deyarli hyech narsa qilib bo’lmaydi». Geometrik
vektorlarga oid yuqoridagi misolda bunday «to’ldiruvchi» sifatida: K ) , (K  ), (K



  
  
 
. ) (
, ) (
: , ,
zx yx x z y
xz xy z y x
K z y x
),,( K
 ), (K
),,( K
),,( K
),,( K
 ),,( N

 ),,( N
) , (  N
   ), , (Z
Z Z
 ),,(),,,(),,,( CRQ
M

 ) , , (   M

)( xyyx 

37

munosabat xizmat qiladi. ■
Agar va bo’lsa
halqa liyaviy halqa ( Li halqasi) deyiladi.
munosibatdan antikommutativlikning kelib chiqishini
tekshirib ko’rish qiyin emas.
5-m i s o l. F - to’plam haqiqiy sonlar o’qida aniqlangan va haqiqiy
qiymatlar qabul qiladigan funksiyalar to’plami bo’lib shu bilan
birga ixtiyoriy funksiyalar uchun funksiya har bir
ga qiymatni funksiya esa qiymatni mos
qilib qo’ysin. U holda birli assosiativ-kommutativ halqa bo’ladi. Bu
yerda bir rolini hamma lar uchun faqat 1 qiymat qabul qiladigan
nol rolini esa funksiya bajaradi. Bu yerda funksiyalarni
qo’shish va ko’paytirish uchun kommutativlik, assosiativlik va distributivlik
qonunlari haqiqiy sonlar uchun bajariladigan shunday qonunlardan bevosita
kelib chiqadi. ■
Oxirgi ikki misol (vektorlar va funksiyalar misollari) sonli halqalar
(elementlari sonlar, amallar oddiy ma’nodagi qo’shish va ko’paytirish) da
mavjud bo’lmagan shunday bir ajoyib bir imkoniyatni namoyish etadi:
umumiy holda halqalarda shunday ikki element mavjud bo’lishi mumkinki,
ularning har biri noldan farqli bo’lgani holda ko’paytmasi nolga teng bo’ladi.
Ikkita misol keltiramiz.
6-m i s o l. halqada hatto nolmas vektor bo’lganda ham
. ■
7-m i s o l. halqada ko’paytmasi nol bo’lgan ikki:
noldan farqli funksiyalar mavjud. ■
, ammo bo’lsa halqaning x va u
elementlari nolning bo’luvchilari deyiladi. Bu holda x – nolning chap , u – esa
o’ng bo’luvchisi (kommutativ halqalarda bunday farqlash o’rinli emas)
deyiladi.
nolning bo’luvchilarisiz halqalar,
va lar esa nolning bo’luvchilarili halqalardir.
Halqaning ta’rifiga ko’ra uning hamma elementlari to’plami
qo’shishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu gruppa halqaning additiv
gruppasi deyiladi. Birli halqaning a elementi uchun ham bo’lsa a
element K ning teskarilanuvchi elementi deyiladi. Assosiativ birli 0 ) ( ) ( ) (
                   y x z z z y z y x
K z y x   , , 0  x x 0)()()(  yzxxyzzxy
),,( K
0  x x
R R  :f
F f f 2 1, 2 1 f f  R x
) ( ) ( 2 1 x f x f  2 1f f ) ( ) ( 2 1 x f x f
), , (   F
R x
1 ) (  x f
0)( xf
),,( M 
x
0
     x x
),,( F



 

  





  
,0 булганда
,0 булганда 0
2
| | ) (
,0 булганда 0
,0 булганда
2
| | ) ( 2 1 x x
x x x x f
x
x x x x x f
0,0  yx
0  xy ),,( К
 ),,(),,,(),,,( CRQ
) , , (   M

),,( F
K a  1
*
К
38

$to’plami ko’paytirishga nisbatan gruppadir. Bu gruppa halqaning multiplikativ gruppasi deyiladi. Birli halqada teskarilanuvchi element birning bo’luvchisi ham deyiladi. 8-m i s o l. Agar halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lmasa ixtiyoriy uchun yoki dan kelib chiqadi, ya’ni tenglikning ixtiyoriy tomondan noldan farqli umumiy ko’paytuvchiga qisqartirish mumkin. Shuni isbot qiling. Yechish. bo’lsin. U holda ammo . Shu sababdan nolning bo’luvchilari mavjud bo’lmagani sababli: ya’ni Xuddi shunday tartibda tenglikdan hosil qilinadi. ■ 9-m i s o l. Birli assosiativ halqada nolning hyech qanday bo’luvchisi birning bo’luvchisi bo’laolmaydi. Yechish. Masalan bo’lib, x esa teskari elementga ega bo’lsin ( u esa teskari elementga ega bo’lgan hol ham xuddi shunday tarzda qarab chiqiladi. Ammo u holda . Bundan assosiativlik qonuniga ko’ra, . Bu esa degan farazimizga ziddir. ■ Yagona elementdan iborat halqa (bu yagona element halqaning ham biri ham noli bo’lib xizmat qiladi) trivial halqa deyiladi. Agar halqada tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bu halqa trivial halqa bo’ladi; haqiqatan u holda ixtiyoriy uchun bo’ladi. Nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan birli notrivial assosiativ- kommutativ halqa butunlik sohasi (yoki butunlik halqasi) deyiladi. Masalan, shunday halqadir. Har bir noldan farqli elementi teskarilanadigan birli assosiativ halqa jism deyiladi. Agar shu bilan birga ko’paytirish amali kommutativ ham bo’lsa, maydon deyiladi. Maydon tushunchasining juda muhim ekanligini nazarda tutib uning halqa tushunchasiga asoslanmaydigan ta’rifini keltiramiz. Agar: a ) abel halqa; b ) gruppoid, abel gruppa; s ) qo’shish bilan ko’paytirish amallari distributivlik qonuni bilan bog’langan (uni ikki formasining ixtiyoriy bittasi bilan ifodalash mumkin), bo’lsa algebraik sistema maydon deyiladi. 10-m i s o l. sistema maydon (hatto telo ham) emas, chunki noldan farqli ham butun sonlar ham ko’paytirishga nisbatan teskarilanuvchi emas. Birning bo’luvchilari bo’lib bu yerda faqat 1 va –1 elementlar xizmat qilishadi. ■ 11-m i s o l. - maydonlardir. ■0 z yz xz  zy zx yx  yzxz  ,0  yz xz ,0)(  zyx 0 z ,0  y x .yx  zy zx  yx  ),,( K 0 xy ,0  y 1x ,0  x 1 y 0 0 ) ( 1 1     x xy x 0 ,0 1 ,0 ) ( 1      y y y x x 0y ) , , (   K 0 1 Kx  0 0 1      x x x )01(  ), , (   Z  ) , (K  ), (K  ) },0{\ (K ) , , (   K    ) , , (Z ),,(),,,(),,,(  CRQ 39$

12-m i s o l. Vektorlar halqasi ning va funksiyalar halqasi
ning maydon, hatto telo ham bo’laolmasligini ko’rsating. ■
Yechish. 8-misolga ko’ra hyech qanday maydon nolning bo’luvchilariga
ega emas. va halqalar esa nolning bo’luvchilariga ega.
Shundan ko’rsatilishi kerak bo’lgan tasdiq hosil bo’ladi. ■
13-m i s o l. lar maydonning ixtiyoriy elementlari va
bo’lsin. ni isbot qiling. ■
Yechish. Maydonda ko’paytirish kommutativ bo’lgani uchun ixtiyoriy
uchun va bu ifodalarning har birini kasr shaklida
ifodalash hyech qanday aniqsizlikka olib kelmaydi. Shuning uchun
isbotlanayotgan tenglikning chap tomoni
ya’ni
o’ng tomoniga teng. Shu bilan birga nolning bo’luvchilari mavjud emasligi
sababidan va dan kelib chiqadi. ■
Agar maydon biri (birlik elementi) ning hamma butun
karralilari P ning elementlaridan iborat bo’lsa , ya’ni uchun
bo’lsa R maydon nol xarakteristikaga ega deyiladi va shaklda
yoziladi. Aks holda uchun ammo bo’lsa, r
natural son R maydonning xarakteristikasi deyiladi va qilib
yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, maydonning biri uning additiv
gruppasida cheksiz tartibli element bo’lsa, maydonning xarakteristikasi nolga
teng deyiladi, aks holda maydonning xarakteristikasi deb maydon birining
uning additiv gruppasidagi tartibiga aytiladi.
14-m i s o l . Agar bo’lsa:
a ) r – tub son; b ) ixtiyoriy uchun bo’lishini isbot qiling.
Yechish.a ) Teskarisini faraz qilamiz. R ning tartibi tub emas, ya’ni
m va n – va bo’lgan natural sonlar bo’lsin. R ta
birning yig’indisi nolga teng: bu yig’indining
qo’shiluvchilarini har biri n ta birdan iborat m ta gruppaga ajratish mumkin.
U holda distributivlik qonuniga asosan
), , (  

M
), , (   F
), , (  

M ), , (   F
t z y x , , , ), , (   P
0 ,0   t y yt
yz xt
t
z
y
x   0y
x y xy 1 1    y
x
, ) )( ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1                 yt yz xt yt yz yt xt yy zt tt xy zt xy
0y
0 t 0  yt
), , (   P
k
11  lk
0  charP
pm 1
,0 1 р
01 m
р charP 
0   р charP
P a 0  pa
,nmp 
p m  1 pn 1
.0 1 ... 1 1    
                                       
n n n p
)1 ... 1 1( ... )1 ... 1 1( )1 ... 1 1( 1 ... 1 1
            n m
)1 ... 1 1()1 ... 1 1(
)1 ... 1 1( 1 ... )1 ... 1 1( 1 )1 ... 1 1( 1
      
                
40

$Endi r – yig’indi nolga teng bo’ladigan birlarning eng kichik miqdori hamda va bo’lgani uchun va ni hosil qilamiz, ammo Buning bo’lishi mumkin emas, chunki maydon nolning bo’luvchilariga ega emas. b ) Haqiqatan, , bo’lgani holda. Ta’rifga asosan nolta qo’shiluvchilarning yig’indisi nolga teng deb hisoblanadi. ■ Agar halqa elementlarining bo’sh bo’lmagan qismto’plami halqada aniqlangan amallarga nisbatan halqa bo’lsa halqa ning qismhalqasi deyiladi. Bunda hamma joyda «halqa» so’zini «maydon» so’zi bilan almashtirilsa qismmmaydon tushunchasi hosil bo’ladi. 15-m i s o l. Hamma juft sonlar halqasi butun sonlar halqasining qismhalqasi bo’ladi, hamma toq sonlar to’plami esa qismhalqa bo’lmaydi. ■ 16-m i s o l. Maydon, va shu sababli halqa ham o’z ichiga qismmaydon bo’laolmaydigan qismhalqani oladi. ■ 17-m i s o l. to’plam modul bo’yicha qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadi (§1 dagi 12-masalaga qarang). Bu halqa m modul bo’yicha chegirtmalar halqasi deyiladi . ■ 18-m i s o l. m> 1 bo’lganda chegirtmalarning hyech qanday halqasi da qismhalqa bo’laolmaydi, chunki to’plam ning qismto’plami bo’lsa hamki unda aniqlangan qo’shish amali ( bo’lganda ko’paytirish amali ham) dagi bir xil ismli amallar bilan moslashmaydi. ■ Agar to’plam halqa elementlaridan iborat bo’sh bo’lmagan qismto’plam bo’lsa, ning qismhalqa bo’lishi uchun quyidagilarni ko’rsatish yetarli: a ) va - gruppoidlar, ya’ni hamma vaqt dan va kelib chiqadi; b ) agar bo’lsa, bo’ladi. maydon bo’lgani holda ning qismmaydon ekanligini tekshirish uchun a ) va b ) shartlardan tashqari yana c ) agar bo’lsa, bo’lishini ko’rsatish yetarli. Agar ixtiyoriy lar uchun: pm  pn ,0 1 ... 1 1          n .0 1 ... 1 1          p 0 0 )1 ... 1 1( 1 ... 1 1 ...                  a a a a a a a a p       0p ),,( K К  ), ,' (   K ),,( K ),,( Z ), , (   Q ), , (   Z }1 ,...,2,1,0{   m mZ m m Z ),,( Z  }1,...,2,1,0{' mK Z  M  2m ),,( K ' K ),,( K ), ,' (   K ) ,' (  K ),' (  K ', Kyx  ' K y x   ' K xy  ' K x ' K x     ), , (K ),,'( K }0 '\{ K x }0 '\{ 1 K x   K y x  , 41$ $bo’ladigan biyeksiya mavjud bo’lsa, va halqalar izomorf deyiladi. Shuni ham ta’kidlaymizki, hatto bo’lganda ham ikkala halqadagi + va amallari bir xilda belgilansa hamki, albatta bir xil bo’lishi shart emas. bo’lganda esa «bir xil amallar» deyishning o’zi ma’noga ega bo’lmay qoladi. Agar akslantirish K halqaning halqaga izomorfizmi bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun . Shuningdek, agar bo’lsa, va ixtiyoriy uchun . Halqaning o’ziga izomorfizmi shu halqaning avtomorfizmi deyiladi. Agar K halqa butunlik sohasi yoki maydon bo’lsa uning izomorf obrazi ham butunlik sohasi yoki maydon bo’lishi shubhasiz. Agar K halqaning L halqaning biror qismhalqasiga izomorf akslanishi mavjud bo’lsa, K halqa L halqaga joylashadi deymiz. 19-m i s o l . a ) juft sonlarning 2 Z halqasi butun sonlar halqasi Z ga joylashadi; b ) butun sonlar halqasi Z rasional sonlar halqasi Q ga joylashadi. ■ M A S H Q L A R 108 . Ushbu to’plamlardan qaysilari ko’rsatilgan qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa va qaysilari maydon tashkil etishini aniqlang. Maydon bo’lmagan birli halqalar uchun hamma teskarilanuvchi elementlar to’plamini toping. ( a ) – 0) misollarda sonlarning oddiy ma’nodagi qo’shish va ko’paytirish amallari qaraladi): a ) b ) c ) d ) e ) f ) g ) h) i ) j ) k ) l ) m ) n ) maxraji berilgan r tub songa bo’linmaydigan barcha rasional sonlar to’plami; ).()()( ),()()( yfxfyxf yfxfyxf   KKf ~ :  ),,( K ),,~ ( KK K  ~    K K ~  f K~ Ka  )()(,0)0( afaff  K 1 1 )1(  f }0{\ * K K a   1 1 )) ( ( ) (    a f a f }; , | 2 { Z   b a b a }; , | 2 { Q   b a b a }; , | 3 { Z   b a b a }; 2 , | 3 { Z   b a b a }; , | 3 { Q   b a b a }; , | 2 { 3 Q   b a b a }; , , | 4 2 { 33 Q    c b a c b a };,|{ Z babia };,|{ Q babia }; , | 2 { Z   b a i b a }; , | 2 { Q   b a i b a }; , | 3 { Z   b a i b a }; , | 3 { Q   b a i b a 42$

o ) ko’rinishdagi barcha yig’indilar to’plami. Bu
yerda lar esa birning kompleks ildizlari;
p ) ko’rinishdagi kompleks sonlar to’plami. Bu yerda D –
kvadratlardan xoli (tub sonning kvadratiga bo’linmaydigan) belgilangan
butun son; a va b juft-toqligi bir xil bo’lgan butun sonlar;
q ) oddiy ma’noda matritsalarni ko’paytirish va qo’shish amallariga
nisbatan tartibli elementlari butun (rasional, haqiqiy, kompleks) son
bo’lgan matritsalar to’plami;
r ) x o’zgaruvchining koeffisiyentlari butun (rasional, haqiqiy,
kompleks) sonlar bo’lgan ko’phadlari to’plami ko’phadlarni ko’paytirish va
qo’shish (oddiy ma’noda) amallariga nisbatan;
s ) qo’shish va ko’paytirish:
tengliklar bilan aniqlangan barcha haqiqiy sonlarning R to’plami:
t ) funksiyalarni akslantirishni ko’paytirish va qo’shish kabi qo’shish va
ko’paytirish amallariga nisbatan barcha chiziqli funksiyalar to’plami.
109. 1. Quyidagi matritsalar to’plamlarining har biri matritsalarni
ko’paytirish va qo’shish amallariga nisbatan halqa bo’lishini ko’rsating.
2. Bu halqalardan qaysilari kommutativ, qaysilari maydon ekanligini
ko’rsating.
3. Maydon bo’lmagan birli halqalarda hamma teskarilanuvchi
elementlarni toping.
4. Nolning bo’luvchilari halqalarda nolning hamma bo’luvchilarini
toping:
a ) b )
c ) d )
e ) f )
g ) h )
i ) j )
k ) h ) n nz a z a z a    ... 2 2 11
  n n z z z a a a ,..., , , ,..., , 2 1 2 1 R
2
D b a 
1 n
ab b a a b b a b a        ,1;,|3







Zba
ab ba
; , |
3





  




 Q b a
a b
b a
;2,|3







Zba
ab ba
;,|






 
Zba
ab ba
;3,|






 
Zba
ab ba
;,|






 
Qba
ab ba
;,|3






 
Zba
ab ba
;,|3






 
Qba
ab ba
; , |





  




 Z b a
a b
b a
;,|
0 0







Zba
ba
; , , |
0 0
0



















Z c b a
a
b a
c b a
; , , |
0 0
0



















Q c b a
a
b a
c b a
43

m ) tartibi bo’lgan elementlarni haqiqiy sonlardan iborat hamma
diagonal matritsalar;
n ) da matritsa bilan o’rin almashtiriluvchi hamma
matritsalar to’plami;
o ) da matritsa bilan o’rin almashtiriluvchi hamma
matritsalar to’plami.
110. Ushbu matritsalar to’plamlarining qaysilari matritsalarni
ko’paytirish va qo’shishga nisbatan halqa tashkil etadi?
a ) -tartibli elementlari haqiqiy sonlar bo’lgan barcha simmetrik
matritsalar to’plami;
b ) barcha haqiqiy -tartibli ortogonal matritsalar to’plami;
s ) -tartibli yuqori uchburchakli matritsalar to’plami;
d ) oxirgi ikki satri nollardan iborat tartibli matritsalar to’plami;
ye ) ko’rinishdagi matritsalar to’plami, bu yerda
belgilangan son,
f ) ko’rinishdagi matritsalar to’plami, bu yerda
halqaning belgilangan elementi,
g ) ko’rinishdagi matritsalar to’plami, bu yerda
belgilangan kvadratlardan ozod son, va bir xil juft-toqlikdagi sonlar;
h ) ko’rinishdagi kompleks matritsalar to’plami;
i ) ko’rinishdagi haqiqiy matritsalar to’plami.
111. Ushbu funksiyalar to’plamlarining qaysilari funksiyalarni
qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadi?
a ) kesmada uzluksiz bo’lgan haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar
to’plami;
b ) intervalda ikkinchi hosilaga ega bo’lgan funksiyalar to’plami;
s ) haqiqy o’zgaruvchining butun rasional funksiyalari to’plami;1 n
Q 



02 10   )2 2(
R






 0 1
1 0
  )2 2(
п
п
п
2 n






x dy
y x
 d
; , Z y x






x dy
y x
 d K
;, Kyx 






x dy
y x
2
1
 d
x y






 z w
w z




  
xytt yxtz ztxy tzyx
] , [ b a
) , ( b a
44

d ) haqiqiy o’zgaruvchining rasional funksiyalari to’plami;
ye ) haqiqiy o’zgaruvchining biror qismto’plamda nolga
aylanadigan funksiyalari to’plami;
f ) haqiqiy koeffisiyentli trigonometrik
ko’phadlar to’plami, bu yerda
g ) haqiqiy koeffisiyentli trigonometrik ko’phadlar
to’plami, bunda
h ) haqiqiy koeffisiyentli ko’rinishdagi trigonometrik
ko’phadlar to’plami, bunda
i ) biror to’plamda aniqlangan va qiymatlari biror halqaga
tegishli funksiyalar to’plami.
112. Ushbu tasdiqlarni isbotlang:
a ) to’plam modul bo’yicha qo’shish va
ko’paytirish amallariga nisbatan birli kommutativ halqa (§ 1 dagi 12-misolga
qarang);
b ) agar -- murakkab son bo’lsa, -- nolning bo’luvchilarili halqa
bo’ladi;
c ) va o’zaro tub bo’lganda va faqat shu holdagina element
teskarilanuvchi bo’ladi;
d) halqalarning hamma teskarilanuvchi elementlarini
toping.
e) tub son bo’lganda va faqat shu holdagina maydon bo’ladi;
f) agar tub son bo’lsa, .
113. Elementlari dan olingan ushbu
matritsalar matritsalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan maydon
tashkil etishini ko’rsating. Shu maydon elementlarini ko’paytirish va qo’shish
amallarining Keli jadvalini tuzing.
114. Ushbu to’plam to’qqiz elementdan
iborat maydon tashkil etishini va uning multiplikativ gruppasi siklik
gruppaligini isbot qiling. R  H

 
n
k k k kx b kx a a
1 0 sin cos
N; n


n
k k kx a a
1 0 cos
N; n

n
k k kx a
1
sin
N; n
Н K
}1 ,...,1,0{   n n N n
n n N
a n nZ a
7 12 10 Z Z Z , ,
n nZ
n n nZ char
2Z





  




  




  




 
1 1
1 0
,
0 1
1 1
,
1 0
0 1
,
0 0
0 0
T S E O 






 3,| Zba
ab ba
45

$115. Elementlari dan olingan matritsaning hamma darajalari nol matritsa bilan birgalikda to’qqiz elementdan iborat maydon tashkil etishini isbot qiling. 116. Ushbu tenglamalarni halqada yeching: a ) b ) c ) d ) e ) f ) g ) h ) i ) j ) k ) l ) 117. Ushbu tenglamalar sistemasini a) maydonda; b) maydonda yeching: . 118. Ushbu tenglamalarni maydonda yeching: a ) b ) c ) d ) 119. Ushbu tenglamalardan qaysilari maydonda yechiladi?: a ) b ) c ) 120. Elementlari soni ta bo’lgan maydonda ayniyat bajarilishini isbot qiling. 121. lar uchun maydonning multiplikativ gruppasida 2 elementning tartibini aniqlang. Bu gruppalardan qaysilarida 2 yaratuvchi element bo’ladi? 122. Ushbu multiplikativ gruppalarda hamma yaratuvchi elementlarni toping: a ) b ) 123. to’plam barcha qismto’plamlarining to’plami amallarga nisbatan birli halqa tashkil etadi. Uning elementlari tenglamani qanoatlantiradi. Shuni isbot qiling. 124 * . – chekli halqa bo’lsin. Ushbularni isbotlang: a ) agar da nolning bo’luvchilari bo’lmasa uning birlik elementi mavjud va uning hamma nolmas elementlari teskarilanuvchan bo’ladi; b ) agar birlik elementga ega bo’lsa uning har bir bir tomonlama teskari elementga ega bo’lgan elementi teskarilanuvchi bo’ladi; 3Z        1 2 1 1 A 6Z ;1 2   x ;5 4   x ;0 5   x ;1 2 x ;5 4 x ;0 5 x ;3 3 x ;2 3 x ;2 4 x ;1 5 x ;3 4 x .1 4 x 3Z 5Z 1 2 ,2 2 ,1 2       z x z y z x Q} Q    b a, | 2 b {a )2 ( ;0 2 2 3 )2 2 4( 2      x x ;0 3 2    x x ;02672  xx .0 2 1 2 2     x x 11Z ;5 2 x ;7 7 x a x 3 n x xn 11,7,5,3p pZ ; 7Z .11Z M ) (M p ), \ ( ) \ ( A B B A B A B A     ,BABA  ) ( , M p B A  x xn K K K 46$

s ) agar birlik elementga ega bo’lsa, unda nolning har bir chap
bo’luvchisi nolning o’ng bo’luvchisi bo’ladi.
125 *
. Birli va nolning bo’luvchisisiz halqada bir tomonlama teskari
elementga ega har bir element teskarilanuvchi bo’lishini isbot qiling.
126. – birli halqa va bo’lsin. Ushbu tasdiqlarni isbot qiling:
a ) agar va ko’paytmalar teskarilanuvchi bo’lsa, va
elementlar ham teskarilanuvchi bo’ladi;
b ) agar nolning bo’luvchilariga ega emas va ko’paytma
teskarilanuvchi bo’lsa, va elementlar teskarilanuvchi bo’ladi;
s ) agar chekli va ko’paytma teskarilanuvchi bo’lsa va
teskarilanuvchi bo’ladi;
d ) halqa to’g’risida qo’shimcha shartlarsiz ko’paytmaning
teskarilanuvchanligidan va elementlarning teskarilanuvchanligi kelib
chiqadi.
127. Har bir elementi tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy
halqaning kommutativligini isbot qiling. shartda ham shunday
bo’ladimi?
128. Bittadan ortiq elementli nolning bo’luvchilarisiz chekli
kommutativ halqa maydon bo’lishini isbotlang.
129. halqa qismhalqalarining kesishmasi ning qismhalqasi
bo’lishini isbotlang.
130. 108-masaladagi halqa (maydon) larning qaysilari boshqalarining
qismhalqasi (qismmaydoni) bo’ladi?
131. Ushbu to’plamlarning har biri kompleks sonlar halqasining
qismhalqasi bo’lishini isbotlang:
a )
b )
c )
Bu halqalarning har birida funksiya uchun quyidagi shartlar
bajarilishini ko’rsating:
1) nolmas butun son;
2) ;
3) bo’lganda va faqat shu holdagina teskarilanuvchi
bo’ladi.
4) bo’lganda va faqat shu holdagina teskarilanuvchi
bo’ladi.
Har bir halqaning multiplikativ gruppasini toping.
132. va halqalarning hamma qismhalqalarini toping.
133. Maydon bo’lmagan halqada biror maydon joylashishi mumkinmi?K
K K y x  ,
xy yx x y
K xy
x
y
K xy x
y
K xy
x
y
x x 2
x x 3
K K
}; , | { ][ Z Z    b a bi a i
}; , | 3 { ]3 [ Z Z    b a bi a i
}. , | 5 { ]5 [ Z Z    b a bi a i
2| | ) ( Z Z N 
)( ZN
) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 Z N Z N Z Z N 
0 z 0 ) (  z N
1 ) (  z N z
12 10,Z Z 7Z
47

134. R maydonda eng kichik birli qismhalqa va: a ) b )
c ) sonni o’z ichiga olgan qismmaydonni toping.
135. S maydonda: a ) b ) c ) sonni o’z ichiga olgan eng
kichik qismhalqa va qismmaydon toping.
136. akslantirish halqaning halqada izomorfizmi bo’lsin,
agar bo’lsa larni isbotlang.
137. ko’rinishdagi matritsalar kompleks sonlar
maydoniga izomorf maydon tashkil etishini isbotlang.
138 . ko’rinishdagi matritsalar bunda
ko’rinishdagi sonlar maydoniga izomorf maydon tashkil etishini
isbotlang.
139. bunda ko’rinishdagi matritsalar
bunda ko’rinishdagi sonlar maydoniga izomorf maydon tashkil
etishini isbotlang.
140. 1) 108 0 ) va 110 g ); 2) 110 h ) va 110 i ) misollardagi
halqalarning izomorfligini isbotlang.
141. Xarakteristikasi p bo’lgan ixtiyoriy R maydon o’z ichiga ga
izomorf bo’lgan L qismmaydonni olishini va R ni L da aniqlangan chiziqli
fazo sifatida qarash mumkinligini isbotlang .
142*. Ixtiyoriy chekli maydon elementlarining soni biror p tub sonning
darajasiga tengligini isbotlang .
143*. Nol xarakteristikali har qanday maydon Q ga izomorf
qismmaydonni o’z ichiga olishini isbotlang .
144. H alqa (maydon) ning hamma avtomorfizmlari to’plami
avtomorfizmlarni akslantirishlar kabi ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa
bo’lishini isbotlang.
a ) butun sonlar halqasining;
b ) rasional sonlar maydonining;
c ) haqiqiy sonlar maydonining avtomorfizmlari gruppalarini toping.
145. Kompleks sonlar maydonining har bir haqiqiy sonni o’z o’rniga
qoldiradigan hamma avtomorfizmlarini toping.
146. va maydonlar
izomorfmi?
147. K — to’plam halqalarning bevosita ko’paytmasi
bo’lsin: ;2;3
32
;i ; 1 i
i2
f 1K 2 K
1 1 K ,1 )1( , ) ( ) ( ,0 )0(      f a f a f f k
,





 a b
b a
R b a,
,
3






a b
b a
Q b a, ,3 b a
Q b a,
,
2 





a b
b a
Q b a, ,2 3 b a 
Q b a,
pZ
} , | 2 { Q   b a b a } , | 5 { Q   b a b a
m K K ,...,1
48

a ) qanday shartlarda K kommutativ, birlik elementga ega; nolning
bo’luvchilarisiz bo’ladi?
b ) K da hamma teskarilanuvchi elementlarni, nolning hamma
bo’luvchilarini va hamma nilpotent elementlarni toping.
148. Quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
a ) agar k va l o’zaro tub bo’lsa,
b ) agar bunda har xil tub sonlar bo’lsa, u
holda
§5. Halqa ideali. Faktor halqa. Halqalar gomomorfizmi
K halqaning quyidagi:
a)
b) ixtiyoriy va lar uchun ko’paytma I ga tegishli:
, shartlarni qanoatlantiruvchi bo’sh bo’lmagan I qismto’plami
uning chap (o’ng) ideali deyiladi.
K halqaning bir vaqtning o’zida ham chap ham o’ng ideali bo’ladigan
qismto’plami halqaning ikki tomonlama ideali deyiladi.
Agar K halqada biror M to’plam berilgan bo’lsa M to’plamning hamma
elementlarini o’z ichiga olgan eng kichik (o’z ichiga saqlash ma’nosida)
(chap, o’ng, ikki tomonlama) ideal M to’plam bilan yaratilgan (mos ravishda
chap, o’ng yoki ikki tomonlama) ideal deyiladi va (M) bilan belgilanadi. Bu
ideal K halqaning hamma (mos ravishda chap, o’ng yoki ikki tomonlama)
ideallari kesishmasidan iborat bo’ladi. Bitta a element bilan yaratilgan ideal
bosh ideal deyiladi. a element bilan yaratilgan chap bosh ideal bilan,
o’ng bosh ideal bilan, iki tomonlama bosh ideal esa (a) bilan
belgilanadi. Agar K – birli kommutativ halqa bo’lsa, (a) bosh ideal hamma
ko’rinishdagi elementlardan iborat bo’ladi, bunda . Har bir ideali
bosh ideal bo’lgan birli, nolning bo’luvchilarisiz kommutativ halqa (butunlik
sohasi) bosh ideallar halqasi deyiladi.
ideal halqaning ikki tomonlama ideali, bo’lsin. Agar
bo’lsa a element b element bilan ideal moduli bo’yicha (yoki
qisqacha I ideal bo’yicha) taqqoslanadi deydilar va shaklda
belgilaydilar. Ideal bo’yicha taqqoslamalrni hadlab qo’shish, ayirish va
ko’paytirish mumkin.
Xususiy holda , bunda bo’lsa,
o’rniga yozadilar va bu holda a son b son bilan modul
bo’yicha taqqoslanadi deydilar.;l k kl Z Z Z  
, ...11 sk
s
k p p n    sp p n ,...,1
. ... 1 11 sk k p p n Z Z Z   
I b a I b a     ,Ka 
I i ) (ia ai
) ( I ia I ai  
I
l a) (
r а) (
ka
Kk 
I
К K b a  ,
I b a   ) ( I
)(mod Iba 
) ( , m I K   Z 0  m )) (mod( m b a 
) (mod m b a  m
49

halqaning additiv gruppasining qismgruppa bo’yicha
qo’shni sinfi ideal moduli bo’yicha (yoki qisqacha ideal bo’yicha)
chegirtmalar sinfi deyiladi.
halqaning modul bo’yicha hamma chegirtmalar sinflari
to’plamida qo’shish va ko’paytirishni quyidagi tengliklar bilan aniqlash
mumkin:

Bu amallarga nisbatan chegirtmalar sinflari to’plami halqa bo’ladi. Bu
halqa halqaning ideal bo’yicha faktor halqasi deyiladi va shaklda
belgilanadi.
birli kommutativ halqa bo’lsin. Agar va dan
yoki kelib chiqsa K halqaning P ideali sodda ideal deyiladi. Agar
va (tegishlilik qat’iy) shartni qanoatlantiruvchi I ideal
mavjud bo’lmasa M ideal K halqaning maksimal ideali deyiladi.
Sodda va maksimal ideallarning ahamiyati quyidagi teoremada
ifodalangan: agar birli kommutativ halqa bo’lsa u holda 1) agar
sodda ideal bo’lsa faktor halqa butunlik sohasi bo’ladi;
2) maksimal ideal bo’lganda va faqat shu holdagina faktor-halqa
maydon bo’ladi.
Ushbu halqalar berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy lar uchun
shartlarni qanoatlantiruvchi
akslantirish halqaning halqada gomomorfizmi
deyiladi. Inyektiv gomomorfizm monomorfizm , syuryektiv gomomorfizm
epimorfizm va biyektiv gomomorfizm izomorfizm deyiladi.
halqaning halqada gomomorfizmining yadrosi deb
to’plamga aytiladi. gomomorfizmning yadrosi
bilan belgilanadi. U halqaning ikki tomonlama ideali bo’ladi.
Agar -- akslantirish halqalar gomomorfizmi bo’lsa u
holda bo’ladi (halqalar gomomorfizmi haqidagi
teorema).
1-m i s o l. halqaning har qanday ideali halqaning (umuman
olganda e birlik elementni o’z ichiga olmaydigan) qismhalqasi bo’lishi
qismhalqaning ta’rifidan kelib chiqadi. ■
2-m i s o l. Har qanday qismhalqa ham ideal bo’lavermaydi.
Haqiqatan, butun koeffisiyentli ko’phadlar halqasi haqiqiy
koeffisiyentli ko’phadlar halqasi ning qismhalqasi. Ammo halqa
ning ideali emas, chunki masalan ko’phad ga tegishli,
unga karrali bo’lgan K I I a
I I
K I ,)()()( IbaIbIa 
. ) )( ( I ab I b I a    
K I I K /
 K K P  P xy 
Px 
P y
K M  K I M  
 K P
P K /
 M M K /
2 1,K K 1 , K b a 
) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( b f a f ab f b f a f b a f    
2 1 : K K f  1K 2 K
1K 2 K f
}0 ) ( | { 1   a f K a f f Кеr
1K
2 1 : K K f 
f Кеr K K f / ) ( 1 1 
K K
] [x Z
] [x R ] [x Z
] [x R х3 2 ] [x Z
50

ko’phad kasr koeffisiyentlarga ega va shuning uchun ga tegishli emas.
■
3-m i s o l. Ozod hadi nol bo’lgan ko’phadlarning to’plami va
o’zgaruvchilarning haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlari halqasi ning
ideali bo’lishini ko’rsating.
Yechish. Haqiqatan, agar va ko’phadlarning ozod
hadlari nolga teng bo’lsa ko’phadning ozod hadi va shuningdek
(bu yerda ) ko’rinishdagi har qanday
ko’phadning ham ozod hadi nolga teng bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda
agar va bo’lsa, bo’ladi; va
bo’lganda esa, bo’ladi. Demak, to’plam halqada ideal. Bu
ideal bosh ideal emas. Haqiqatan va ko’phadlar ga tegishli bo’lgani
holda da ham, ham karrali bo’ladigan birorta ham ko’had mavjud
emas. ■
4-m i s o l. halqaning ikkita chap ideallarining
kesishmasi halqaning chap ideali bo’lishini isbotlang.
Yechish. va bo’lsin. U holda .
da ideal bo’lgani uchun bo’ladi. Xuddi shu tarzda
ko’rsatiladi va shuning uchun Va yana, agar
va bo’lsa, bo’ladi va to’plam da chap ideal
bo’lgani uchun bo’ladi. Xuddi shu tarzda hosil qilinadi.
Shuning uchun Bundan ning da chap ideal ekanligi
kelib chiqadi. ■
5-m i s o l. Kommutativ halqaning bosh ideali har qanday
uchun mavjud va:
a) agar bo’lsa,
b) agar bo’lsa,
Yechish. a) ko’rinishdagi ikki ifodaning ayirmasi ham, shubhasiz,
shunday ko’rinishga ega. Karralisi esa: ya’ni
yoki ko’rinishda bo’ladi.
Shubhasizki, ideal elementni o’z ichiga oladigan ideallar
orasida eng kichigi, chunki har bir ideal har holda o’z ichiga hamma
karralilarni va hamma ko’rinishdagi yig’indilarni va shuning
uchun hamma ko’rinishdagi yig’indilarni olishi kerak. Shunday qilib 2
23
32
231
)32( xx
x 




] [x Z
I x
y
] , [ y x R
),( yx
  y x, 
 

) , ( y x f
),( yx  ) , ( y x f ] , [ y x R 
I  
I  I    I   ],[ yxf R
I f   I ] , [ y x R
x
y I
I x
y
K 2 1 ва I I 2 1 I I 
K
2 1 I I a   2 1 I I b   2 1 ва I b I a  
1 I K 1I b a  
2I b a   .2 1 I I b a   
2 1 I I a   K k 1I a
1 I K
1I ka  2I ka 
.
21 I I ka   2 1 I I  K
K
)( а
K a
K 1
};,|{)( Z nKknakaa
K 1
}.|{)( Kkkaa 
naka 
, ) ( ) ( a ns sk na ka s    a k'
a a k   0 '
)( a
а
ka
na a   
)( a
51

ideal elementni o’z ichiga oladigan hamma ideallar kesishmasi kabi
aniqlanadi.
b) agar halqa 1 birlik elementga ega bo’lsa uchun
yozuvdvn foydalanish mumkin. Demak, bu
holda ideal hamma karralilardan iborat bo’ladi. ■
6-m i s o l. Agar halqaning ideali teskarilanuvchi elementni o’z
ichiga olsa, bo’lishini isbotlang.
Yechish. to’plam ning ideali bo’lgani uchun Boshqa
tomondan, agar teskarilanuvchi bo’lsa, bundan
Demak, ■
Agar shartni qanoatlantiradigan natural son mavjud bo’lsa
halqaning elementi nilpotent element deyiladi. Barcha nilpotent
elementlarning to’plami halqaning radikali deyiladi.
7-m i s o l. Kommutativ halqaning radikali ideal bo’lishini
isbotlang.
Yechish. Ta’rifga asosan bo’lsa, va bo’ladigan
va natural sonlar mavjud bo’ladi. U holda =0 bo’ladi , chunki
tenglikning chap tomonidagi ifoda yoyilmasida har bir had
ko’paytuvchiga ega va shu sababli yo va yoki
va shuning uchun ■
8-m i s o l. - maydondagi ko’phadlar halqasi bo’lsin.
bo’lishini isbotlang. Bu yerda ga tegishli eng kichik
darajali ko’phad, ya’ni bosh ideallar halqasidir.
Yechish. bo’lsin. ni ga qoldiqli bo’lamiz:
agar bo’lsa va
Bu esa ning eng kichik darajali ekanligiga
ziddir.
Demak, va va shuning uchun
esa ko’rinib turgan tasdiq. ■
Ushbu :
1) har bir noldan farqli a elementiga manfiy bo’lmagan son mos
qilib qo’yilgan;
2) ixtiyoriy bunda elementlar uchun shunday
topiladikki, bo’ladi. Shu bilan birga yo yoki ,
shartlarni qanoatlantiradigan butunlik sohasi Yevklid halqasi deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda yevklidiy halqalarda qoldiqli bo’lish amalining
o’xshashi bor. a
K naka 
akankanka ')1(1 
)( a
ka
K I
K I
I K .I K 
 IU
,I uK 
.
1I I u K   .I K 
0 nx п K
0x
N
K
K
N
N b a  , 0 ka 0 lb
k l lk b a   ) (
slk sb a 
k s ,0 sa
l s l k k s     , .0   slkb
] [x K K
)) ( ( x f I ) (x f I
] [x K
I x g ) ( ) (x g ) (x f
). ( ) ( ) ( ) ( x r x q x f x g  
0)( xr ) ( deg ) ( deg x f x r 
. ) ( ) ( ) ( ) ( I x q x f x g x r    ) (x f
0)( xr ))(()()()( xfxqxfxg 
)).(( xfI 
I x f  )) ( (
) (a N
, , K b a  0 b K r q  ,
r bq a   ,0 r ) ( ) ( b N r N 
K
52

9-m i s o l. Butun sonlar halqasi va bitta x o’zgaruvchining haqiqiy
koeffisiyentli ko’phadlari halqasi yevklidiy fazolardir. halqada
da esa uchun ning darajasini olish kerak. ■
10-m i s o l. Har qanday yevklidiy halqa bosh ideallar halqasi
bo’lishini isbot qiling.
Yechish. halqaning nolmas idealida shunday a elementni
tanlaymizki, eng kichik musbat qiymat qabul qilsin. (Bunday element
mavjud chunki hamma qiymatlar nomanfiy butun sonlar). U holda
dagi hamma elementlarni ifodalash mumkin. Chindan ham, aks
holda, bo’lar edi. Shu bilan birga va
bo’lgani uchun ham bo’ladi. Shunday qilib biz da
shunday element topdikki, Bu esa a ning tanlab
olinganiga ziddir. Demak, b ni shaklda ifodalash mumkin. Shuning
uchun , bu yerda ning hamma sonlarini qabul qiladi. Shunday
qilib bosh idealdir. ■
11-m i s o l. Oldingi misoldan va halqalar bosh ideallar
halqalari ekanligi kelib chiqadi. ■
12-m i s o l. Butun gaussiy sonlar halqasi
ning yevklidiy halqa ekanligini isbot qiling.
Yechish. Bu halqa kompleks sonlar halqasining qismhalqasi
bo’lganligi uchun butunlik sohasidir. Shuning uchun yoki
bo’lganda va faqat shu holdagina bo’ladi.
uchun bo’lsin. Shubhasizki
va
son yevklidiy fazo ta’rifining ikkinchi shartini ham
qanoatlantirishini isbot qilamiz. va
bo’lsin. bo’ladigan son mavjud bo’lishini isbot
qilamiz. Avval ni ga bo’lamiz:
bo’ladigan ga yaqinroq sonlarni
va bilan belgilaymiz va deymiz. ayirmani bilan
belgilasak bo’ladi.
va sonlarning tanlanishiga ko’ra: Z] [x R
Z
|, | ) ( a a N  ] [x R
))(( xN  ) (x 
K
K I
) (a N
) (a N I
K q qa b   ,
,r qa b   ) ( ) ( 0 a N r N   I b
I qa  I qa b r    I
r ). ( ) ( 0 a N r N  
aq b 
} {aq I q K
I
Z
] [x R
}1 , , | { ][ 2      i Z b a bi a i Z
C
0 z 0  
0  z
biaz 
2 2 ) )( ( ) ( b a bi a bi a z N     
0 ) (  z N ). ( ) ( ) (   N z N z N  
) (z N
][i bi a z Z    0 ],[       i di c Z
) ( ) (   N q z N   ][i q Z 
z 
.i
dic biaz
 


 

2
1 | | ва
2
1 | |     у x    
ва
x
y iy x q   qz
  t
i y x iy x i t ) ( ) ( ) ( ) (            
x
y
53

va
bo’lgani uchun
. Demak, bu yerda
Shuning uchun yevklidiy halqa va
shu sababli bosh ideallar halqasi ham. ■
13-m i s o l. Har bir haqiqiy koeffisiyentli ko’phadga uning ozod
hadini mos qilib qo’yuvchi akslantirish gomomorfizm
bo’lishini isbotlang. Uning yadrosini toping.
Yechish. bo’lsin. U holda .
Ma’lumki, ko’phadlarni qo’shishda ularning ozod hadlari qo’shiladi,
ko’paytirilganda esa, ozod hadlari ko’paytiriladi. Shuning uchun
gomomorfizmdir: agar bo’lsa,

bo’ladi.
O’z-o’zidan ko’rinib turibdiki, bu akslantirishda nolga faqat ozod hadi
nol bo’lgan ko’phadlar o’tishi mumkin. Shuning uchun
ning ideali. ■
14-m i s o l. , ko’rinishdagi sonlar
to’plamini bilan belgilaymiz. Osongina ko’rsatish mumkinki,
akslantirish halqaning avtomorfizmi bo’ladi. ■
15-m i s o l. ideal halqaning ozod hadlari nol bo’lgan
ko’phadlaridan iborat bo’lsin. munosabat
ni, ya’ni ayirmaning ozod hadi nolga tengligini
bildiradi. Ammo bu holda larning ozod hadlari bir xil bo’lsa,
ayirmaning ozod hadi nol bo’ladi va shuning uchun
Shunday qilib, halqaning ideal bo’yicha chegirtmalari sinflari
bir xil ozod hadlarga ega bo’lgan ko’phadlardan iborat bo’ladilar. Bu
sinflarning har biri ozod hadning qiymati bilan berilishi mumkin. 2
1
2
1
2
1 ) ( ) ( )(
2 2
2 2  

 

  

 

      y x t N  
 

 t q z q z  

 

   
) (
2
1 ) ( )( ) ( ) (     N N t N t N q z N      ,r q z   
). ( ) (
2
1 ) ( ) (    N N q z N r N    ][i Z RR ][: xf
n n n a x a x a х       1 1 0 ) ( na х f  )) ( (
f
b х f a х f   )) ( ( , )) ( (  
, )) ( ) ( ( b a x х f    
abxхf ))()((  
  ) (x f Кеr ] [x R
3 3 4 2 c b a   Z c b a , ,
]2 [3 Z
3333
2 4 )4 2 ( c b a c b a f     
]2 [3 Z
I ] [x R
) )(mod ( ) ( I x х   
I x х   ) ( ) (   ) ( ) ( x х   
)( ва )( xх
 
) ( ) ( x х   
.)()( Ixх 
 
] [x R I
) (х 
54

Har bir ko’phadga uning ozod hadini mos qilib qo’yuvchi
akslantirish ning ga gomomorf akslanishini ifodalaydi. Bunda
har bir ko’phadga xuddi shunday ozod hadli ko’phadlar to’plami mos
qo’yiladi. ■
M A S H Q L A R
149. Berilgan to’plamlar ko’rsatilgan halqalar additiv gruppasining
qismgruppasi, qismhalqasi yoki ideali bo’lishini aniqlang:
a) halqada ga karrali sonlarning to’plami;
b) halqada to’plam;
s) halqada to’plam;
ye) butun koeffisiyentli ko’phadlarning halqasida Z to’plam;
f) butun koeffisiyentli ko’phadlarning halqasida ozod hadlari juft
bo’lgan ko’phadlarning to’plami;
g) butun koeffisiyentli ko’phadlarning halqasida bosh
koeffisiyent juft bo’lgan ko’phadlarning to’plami;
h) halqada butun koeffisiyentli ko’phadlarning to’plami;
i) halqada to’plam;
j) halqada to’plam.
150. maydondagi hamma n tartibli ( ) kvadrat matritsalar
halqasi da quyidagilarni isbotlang:
a) Oxirgi ustuni nollardan iborat matritsalar to’plami chap ideal bo’ladi
va o’ng ideal bo’lmaydi;
b) oxirgi satri nollardan iborat matritsalar to’plami o’ng ideal bo’ladi
va chap ideal bo’lmaydi;
s) oxirgi ta ( ) ustuni nollardan iborat matritsalar to’plami
chap ideal bo’ladi va o’ng ideal bo’lmaydi;
d) oxirgi ta ( ) satri nollardan iborat matritsalar to’plami o’ng
ideal bo’ladi va chap ideal bo’lmaydi;
e) nol ideal va halqaning o’zidan boshqa ikki tomonlama
ideallar yo’q.
151. Maydonda nol ideal va shu maydonning o’zidan boshqa
ideallar yo’qligini isbot qiling.) (х 
] [x R I x R /] [ Z
1 n Zn
} , |3 { Z   b a b a } 2 , | 3 { Z   b a b a
} , | { Z   b a bi a
}3,|{ Z babia
] [x Z
] [x Z
I
] [x Z
I
] [x Q ] [x Z







Zba
ab ba
,|







Za
aa aa
|











Zcba
aba cba
,,/
000



















Z c b b
c b
, |
0 0 0
0 0
0
P
1n
) , ( P n M
r
nr 1
r
nr 1
}0{ ) , ( P n M
}0{
55

152. Kommutativ halqaning to’plam orqali
yaratilgan ideali quyidagi ko’rinishdagi hamma chekli yig’indilardan iborat
bo’lishini isbotlang:
a) agar bo’lsa, , bunda ;
b) agar bo’lsa, bunda .
153. to’plam orqali yaratilgan idealini toping:
a) halqada ;
b) halqada ;
s) halqada ;
d) halqada ;
e) i halqalarda .
154. Kommutativ K halqaning ideallari yig’indisi deb
halqaning ko’rinishda ifodalanadigan hamma
elementlari to’plamiga aytiladi va qilib yoziladi. Agar
ixtiyoriy uchun bu ifodalanish yagona bo’lsa, summa
ideallarning bevosita yig’indisi deyiladi . Bu holda
yozuv qo’llaniladi. Ushbu tasdiqlarni isbotlang:
a) chekli miqdordagi ideallar yig’indisi idealdir;
b) ikki idealning yig’indisi ularning kesishmasi faqat nol elementdan
iborat bo’lganda va faqat shu holdagina bevosita yig’indi bo’ladi.
155. Z halqada quyidagi ideallarning yaratuvchi elementini toping:
a) b) c) d)
e) f)
156*. halqaning ideallari berilgan bo’lsin . yoki
bo’lganda va faqat shu holdagina bo’lishini
isbotlang.
157. modul bo’yicha chegirtmalar sinflari halqasi ning additiv
gruppasining ixtiyoriy qismgruppasi ning ideali va ning har qanday
ideali bosh ideal bo’lishini isbotlang:
a) b) c) d) halqalarning hamma ideallarini toping.
158. halqaning hamma ikki tomonlama
ideallarini toping.
159. ni isbotlang.К } ,..., , { 2 1 sa a a M 
K 1
i ii ak K ki
K 1   
i i iiii a n a k , Z   i i n K k ,
M
Z
}5,3{ M
Z
} 10,4{ M
[x]R }1 ,1 { 4 6    x x M
[x]R }1 , {   x x M
[x]Q [x]R }4 3 ,2 7 4 { 2 3 2 4       x x x x x M
mI I I ,..., , 2 1 K
mx x x x     ... 2 1 x
mI I I I     ... 2 1
I x I mI I I ,..., , 2 1
mI I I I     ... 2 1
);4( )3(  );4( )3(  );6( )4(  );6( )4( 
);30,25,10()15,9,6( 
). 30, 25, 10( ) 15,9,6( 
K 2 1
IваI 2 1 I I 
1 2 I I  2 1 2 1 I I I I   
n
nZ
nZ
nZ
;4Z ;6Z ; 10Z
12Z







 Zba
cba
K ,|
0
)1 ( ) ( )( )1( ][       i i i Z
56

160. Ushbu sonlarning qaysilari gausiy
sonlarning idealiga tegishli? Ulardan qaysilari shu idealni yaratadi?
161. va larda (2) idealni toping.
162. Butun sonlar halqasi ning ushbu

ideallarida qanday tegishliliklar o’rinli ekaniligini ko’rsating.
163*. halqa sodda, ya’ni xos (ikki tomonlama) ideallarga ega
emasligini isbot qiling.
164*. Agar maydon bo’lsa, sodda halqa bo’lishini
isbotlang.
165. halqaning: a) b) (4) ideallar bo’yicha chegirtmalar
sinflarini va ularga mos faktor halqalarni toping. Bu faktor halqalardagi
qo’shish va ko’paytirish amallari uchun Keli jadvallari tuzing va ulardan
qaysilari maydon ekanligini aniqlang.
166. halqaning ideal bo’yicha chegirtmalar sinflarini
toping. faktor halqa ga izomorfligini isbotlang.
167. halqaning mos faktor halqalari maydon bo’ladigan hamma
ideallarini toping.
168. Agar:
a)
b)
bo’lsa, halqaning ideali ekanligini ko’rsating, halqaning ideal
bo’yicha chegirtmalar sinflarini toping, faktor halqadagi qo’shish va
ko’paytirish amallari uchun Keli jadvallari tuzing va faktor halqa
maydon bo’lish bo’lmasligini aniqlang.
169. ning halqaning ideali ekanligini ko’rsating, halqaning
ideal bo’yicha chegirtmalar sinflarini toping va faktor halqaning
maydon bo’lish bo’lmasligini aniqlang:
a)
b)
s)
d)
e)
f)
g) i i i i 3 5, 9 15 , 6 4, 5 3     
) 5 3( i 
;Z ];[i Z ] [x Z ] [x Q Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 12, 33, 13, )4 (, 24, ) 11 (, 6, 5, 4; 2, 3  
) , ( R n M
 P ) , ( P n M
Z
)3(
Z
Z m m ) (
Z Z m/
mZ
12Z
}; 2 , | { }, , | { Z Z       b a bi a I b a bi a K
)1 ( ], [ 2 2     x x I x K Z
I K K I
I K /
I K /
I K K
I I K /
}; 3 , | { }, , | { Z Z       b a bi a I b a bi a K
}; 2 , | 3 { }, , | 3 { Z Z       b a b a I b a b a K
}; 3 , | 2 { }, , | 2 { Z Z       b a b a I b a b a K
); ( ], [ 2 2 x x I x K    Z
);1 ( ], [ 2 3    x I x K Z
);1 ( ], [ 2   x I x K Z
);1 ( ], [ 2   x I x K R
57

h)
170. halqaning bosh ideal
bo’yicha faktor halqasi ikki butun son kvadratlari yig’indisi
shaklida ifodalanmaydigan sodda son bo’lganda va faqat shu holdagina
maydon bo’lishini isbot qiling.
171. faktor halqaning qo’shni sinfiga tegishli bir nechta
butun son ko’rsating.
172. Qo’shni sinflarning tengligi qanday shartda
o’rinli bo’ldi?
173. Qanday shartda bo’ladi? va
sonlarning bu tenglik o’rinli bo’ladigan qiymatlariga misollar keltiring.
174*. Ushbu:
sonlardan halqada (2) ideal bo’yicha bitta qo’shni sinfga tegishlilarni
ko’rsating.
175. Quyidagi tengliklarning qaysilari faktor halqada o’rinli:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
176. faktor halqaning hamma elementlarini toping. Qo’shish
va ko’paytirish ammallari jadvallarini tuzing. Bu faktor halqa butunlik sohasi
emasligini ko’rsating.
177*. faktor halqaning hamma elementlarini ko’rsating.
Qo’shish va ko’paytirish jadvallarini tuzing. ning maydonligini
isbotlang.
178. faktor halqa nechta elementni o’z ichiga oladi? U
maydon bo’laoladimi?
179. faktor halqa butunlik sohasi ekanligini isbotlang.
180 . maydon bo’lsin. Uning hamma faktor halqalarini tavsiflang.
181. qo’shni sinf halqada nolning
bo’luvchisi bo’lishini isbotlang. .,,,|,|
2221 1211














ZZ   
 
 
ija
aa aa
} , | { Z    b a bi a K
N nnI ),(
I K / n
Z Z 6/
Z62 
Z Z 6 0 6   n
Z Z Z 6 0 ) 6 )( 6 (     l k k l
i i i i i i i i 3 2 ; 2 ;1 ; 3 ; 1 ; 1 ;2 ; 10 47 ; 3 25 ; 5 3            

iZ
)2/(][ iZ
);2(21)2(21  ii
);2( )2( 1    i
);2(18)2(3  ii
);2(0)2(418  i
);2( 3 )2( 3      i i
?)2( 2 )2( 3     i i
)2/(][i Z
)3/(][ iZ
)3/(][i Z
)5/(][ iZ
)13/(][ iZ
 P
)1 ( 1 3 2     x x x )1 /(] [ 3 x x R
58

182. faktor halqaning
qo’shni sinfda darajasi 4 dan kichik bo’lgan vakillarini ko’rsating. Darajasi
mumkin qadar kichik bo’lgan vakilni toping.
183. faktor halqaning qo’shni
sinfida darajasi mumkin qadar kichik bo’lgan ko’phadni ko’rsating.
184. faktor halqaning
qo ’ shni sinfida darajasi mumkin qadar kichik bo ’ lganini ko ’ rsating . Bunday
ko’phadlari nechta?
185. faktor halqaning quyidagi elementlari orasidan
nolga tenglarini ko’rsating:
a)
b)
c)
d)
186*. va halqalarning izomorfligini isbotlang.
187. va halqalarning izomorfligini isbotlang.
188. halqaning ideali ozod hadi 3 ga karrali bo’lgan
hamma butun koeffisiyentli ko’phadlardan iborat ekanligini isbotlang.
faktor halqa nechta elementdan iborat?
189. maydon maydonga izomorfligini isbotlang.
190. ideal ning maksimal ideali ekanligini isbotlang.
ideal da maksimal bo’ladimi?
191*. butunlik halqasi, uning ideali bo’lsin. maksimal ideal
bo’lganda va faqat shu holdagina maydon bo’lishini isbotlang.
192. da maksimal bo’lmagan sodda ideallarga misollar keltiring.
193. bo’lsin. bo’ladigan
akslantirish gomomorfizm bo’lishini isbotlang. Uning yadrosini
va faktor halqani toping.
194. bo’lsin. bo’ladigan
akslantirish gomomofizm bo’lishini isbotlang. Uning yadrosini va
faktor halqani toping.)2 /(] [ 2 x x Q )2 ( 1 7 5 3 2 2 3 4       x x x x x
)1 /(] [ 2 x x R )1 ( 2 5 3 2 2 3      x x x x
)1 /(] [ 2 x x R
)1 ( 1 2 5 2 2 2 3 5       x x x x x
)1 /(] [ 2   x x x R
);1 ( 1 2 3      x x x x
);1 ( 1 2 3     x x x
);1 ( 1 2 3     x x x
). ( 1 223     x x х x x
) /(] [ x x R
R
) /(] [ x x Z
Z
] [x Z )3( ) (  x
)3,/(][ xxZ
)3,/(][ xxZ
3Z
)3,( x
] [x Z ) (х
] [x Z
K I I
I K /
] [x Z





  




  Z b a
a b
b a
K , | b a
a b
b a
f  











Z  K f:
f Кеr K /
]1,1 [  C K





21
)( ggf R  K f:
f Кеr K /
59

195. bo’lsin. ( - A matritsaning
izi) bo’ladigan akslantirish gomomorfizm bo’lishini isbotlang.
Uning yadrosi va faktor halqani toping.
196*. Halqalarning hamma o’zida gomomorfizmlarini toping:
a) b) c)
197. hamma haqiqiy funksiyalar to’plami, bo’lsin.
Quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
a ) bo’ladigan akslantirish gomomorfizmdir;
b )
c ) faktorhalqa .
198. Halqalarni xos ideallarining bevosita yig’indisiga yoying:
a) b) c) d) ye)
199. halqada va
to’plamlar chap ideallarligini va ni
isbotlang. ideallarda birlik element mavjudmi?
200. Haqiqiy sonlar maydoni da matritsa bilan
kommutirlanuvchi hamma ikkinchi tartibli matritsalar halqasi ni har biri
ga izomorf bo’lgan ikki idealning bevosita yig’indisiga yoying.
201. Huyidagi halqalarni, agar mumkin bo’lsa, xos ideallarning
bevosita yig’indisiga yoying:
a)
b)
c)
d)
202 . Agar bo’lsa quyidagilarni isbotlang:
a) ning ixtiyoriy elementining ning ixtiyoriy elementiga
ko’paytmasi nolga teng;
b) agar va mos ravishda va ning birlari bo’lsa,
element ning biri bo’ladi;
c ) 






 Rba
ba ba
K ,|
trAAf )(
trAR K f  :
f Кеr K /
;12Z ;10Z .7Z
 F
Rc
  ) ( ) ( c f f t
RFt :
};0 ) (f|F f{    c t Кеr
tКеrF /
R 
;10Z ;12Z ; 15 Z ;36Z .Z







 Rba
ba ba
K ,|





  







 R a
a a
a a
I |
1





  




  R c
c
c
|
0
0
I
2
2 1 I I К  
2 1 I ва I
R 



01 01
К
R
); /(] [ 2 x x x K   R
); /(] [ 2x x K R 
);1 /(] [ 2  x x K R
).1 /(] [ 2  x x K C
2 1 I I К  
1I 2I
1e 2e 1I 2I   2 1 e e
K
. / , / 1 2 2 1 I I K I I K  
60

J A V O B L A R, KO’RSATMALAR, YECHILISHLAR
V-Bob. Asosiy algebraik sistemalar
1-§
1. a ) – h ) gruppoidlar; a ), b ), d ), e ), f ), h ) – polugruppalar;
b ), e ) - monoidlar.
2. a ) – e ) – gruppoidlar; e ) – polugruppa.
3. b ) gruppa.
4. ha; agar bo’lsa mavjud emas.
5. 3, yo’q.
6. Ko’rsatma. ni qarab chiqish kerak; bu yerda qandaydir
chap nol, o’ng nol.
7. Ko’rsatma. ni ko’rib chiqish kerak; bunda qandaydir chap
birlik, o’ng birlik.
8. ha, faqat ko’paytma o’ng ko’paytuvchiga teng bo’lgan
polugruppada.
9. Ko’rsatma. ni qarab chiqish kerak; bunda berilgan
polugruppa, bo’lishini, ya’ni tenglama da va larning
istalgan qiymatlarida yechilishini, xususan bu yerda chap birlik
bo’lishini ko’rsatish kerak. Bir qiymatlilik ko’rinib turibdi.
10. Ko’paytma chap ko’paytuvchiga teng bo’lgan polugruppa.
11.
a )
1 2 3 4 6 12
1 1 2 3 4 6 12
2 2 2 6 4 6 12
3 3 6 3 12 6 12
4 4 4 12 4 12 12
6 6 6 6 12 6 12
12 12 12 12 12 12 12

b )
1 2 3 4 6 12
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 2
3 1 1 3 1 3 3
4 1 2 1 4 2 4
6 1 2 3 2 6 61 M Card
2 1zz 1z
2z
2 1u u 1u
2uGa
 G
GGa 
b xa  G a b
,e xa  e
61

12 1 2 3 4 6 12

e )
12. a ) gruppa; b ) monoid.

+ 0 1
0 1 + 0 1 2 0 1 2
0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
+ 0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 0 2
3 3 0 1 2 3 0 3 2 1
2-§
13 . Gruppa tashkil etadigan to’plamlar: b ), c ), d ), e ), f ), g ), h ), i ) (2), j ),
k ) (2), l) (1), m ), n ), 0 ), p ) (1), q ); xususan abel gruppalar b ), c ), d ), e ), f ), h ),
i ) (2), j ), h ), 0), p ) (1), q ), g ) bo’lsa abel gruppa.
14. Gruppa tashkil etadigan to’plamlar: a ), b ), c ), e ), f ), h ); xususan
abel gruppalar b ), h ).
15. a ), b ), c ), d ) – abel gruppalar; ye ) – agar bo’lsa abel gruppa.
16. a ) simmetriya gruppasi sakkiz almashtirishdan iborat:
bu yerda aynan almashtirish, kvadratni markazi1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f
1f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f
2f 2f 1f 5f 6f 3f 4f 8f 7f
3f 3f 4f 7f 8f 2f 1f 6f 5f
4f 4f 3f 2f 1f 7f 8f 5f 6f
5f 5f 6f 8f 7f 1f 2f 4f 3f
6f 6f 5f 1f 2f 8f 7f 3f 4f
7f 7f 8f 3f 5f 4f 3f 1f 2f
8f 8f 7f 4f 3f 6f 5f 2f 1f
  ) , ( nZ   ) , ( nZ 

3,2  n
2,1n
,,,,,,,, hgfdcbae
e  a
62

atrofida ga burish, ga, burish; kvadratni
simmetriya o’qlariga nisbatan akslantirishlar.
e a b c d f g h
e e a b c d f g h
a a ye c b f d h g
b b s a e g h f d
c c b e a h g d f
d d f h g e a c b
f f d g h a e b c
g g h d f b c e a
h h g f d c b a e
b ) Simmetriya gruppasi to’rt almashtirishdan iborat: bunda
aynan almashtirish, rombni markaz atrofida ga burish,
rombning diaganallarga nisbatan almashtirishlar.
ye a b c
ye ye a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
c ) simmetriya gruppasi to’rt almashtirishdan iborat: bunda
aynan almashtirish, to’g’ri to’rtburchakni o’z markazi atrofida ga
burish, lar to’rtburchakni qarama-qarshi tomonlarining o’rtasidan
o’tuvchi to’g’ri chiziqlarga nisbatan almashtirishlari. Keli jadvali b ) dagi
kabi.
17 . Muntazam burchakning burishlar gruppasining tartibi ga
teng; tetraedrniki 12, kub bilan oktaedrniki 24, dodekaedr bilan ikosaedrniki
60. Ko’rsatma. Ko’p yoqlilar uchun berilgan nuqtani biror ( A dan farqlih
f
gd
b
c
c
b0 180b 0 90 c 0 270  h g f d , , ,
, , , , c b a e e
 a О 0 180 c b,
, , , , c b a e e
 a 0 180
c b,
n n
А В
63

$bo’lishi shart emas) nuqtaga o’tkazuvchi burishlarni qarab chiqing va gruppaning tartibi ( uchlar soni, bir nuqtadan chiqadigan qirralar soni) ga teng. 18 . 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 20 . b ) d ) uchun; ye ), i( 2 ) ; c ) lar d ) uchun; d ) e ) uchun; i(2); ye ) uchun i(2); g ) agar bo’lsa f ) uchun va agar tekislik bo’lsa ) uchun; m ) (1), (2) lar l ) uchun; h ) esa 0 ) uchun. 22 . 26 . b ) c ) d ) e ) 27 . 29 . a ) ning tartibi 6; niki 10; b ) bilan ning tartibi 22, ning tartibi esa 88; s ) va larning tartibi 19. 30 . a ) tartibi 5 va 7 bo’lan ildizlar mavjud emas; ning tartibi sakkizga teng, ning tartibi esa 12 ga teng; b ) tartiblari besh, yetti va 12 bo’lgan ildizlar mavjud emas. ning tartibi yettiga teng. 31 . a ) qilib belgilab: ning tartibi birga, niki ikki, bilan larniki uchga, bilan larning tartibi oltiga, , larning tartibi beshga, larning tartibi 18 ga tengligini topamiz; b ) qilib belgilab: ning tartibi bir, larning tartibi besh va boshqa hamma ildizlarning tartiblari 25 ga tengligini topamiz. mk m  k },...,2,1{ nX   X f ). ), ), d c a }; | 2{ ) Z n a n }; {\ 0 Q }; {\ 0 Q ,0 Q .0 Q }.1,1{  25z 15z 4z 12z 7z 6 2,z z 10z 2 1 i   2 3 i   , 72 sin 72 cos k ik    6 ,...,2,1 k 82 sin 82 cos k ik z k    0z 9z 6z 12z 3z 15z 10 8 2 , , z z z 16 14 12 , , z z z 17 13 11 7 5 1 , , , , , z z z z z z 252 sin 252 cos k ik z k    0z 20 15 10 5 , , , z z z z 64$

32 . ning tartibi birga teng, larning tartiblari ikki,
va larning tartiblari uch, siklik gruppa emasligini
topamiz.
33 . a ) bitta; b ) ikkita; s ) d ), e ) da to’rtta.
35 . 17-masaladagi muntazam burchak burishlari gruppasi
yasovchisi, masalan, burchakka burish bo’lgan iklik gruppa; 18-
masaladagi gruppa siklik gruppa yasovchisi uchun 2 element bo’lishi
mumkin.
37 . Yasovchisi uzunligi bo’lgan sikl bo’lgan siklik gruppaning
tartibi bo’ladi.
42 . a ) b ) c )
46 . a ) b )

son 100 ning bo’luvchisi}.
48 . a ) 2; b ) 20; c ) 0.
49. Ko’rsatma. Sikl tartibi uning uzunligiga teng bo’lishidan
foydalaning.
50. Ko’rsatma. Agar va bo’lsa, bo’ladi. Bundan
va EKUB element va shuning uchun EKUB
bo’lganda shartni qanoatlantiradi.
51 . a ) Ko’rsatma . 10-misolga qarang; b ) Ko’rsatma . Œzaro tub va
sonlar uchun shunday va sonlar mavjudki, s ) Ko’rsatma .
bo’ladigan eng kichik natural sonlarni qarab chiqing. d ) s ) dan
foydalaning; agar va ning har xil bo’luvchilari bo’lsa mos
qismgruppalar har xil tartiblarga ega bo’ladi.
52 . esa elementlari tartiblarining EKUK si
bo’lsin. a ) Lagranj teoremasiga ko’ra son ga bo’linadi, bundan
shuning uchun d son gruppa ixtiyoriy elementi tartibiga bo’linadi, ya’ni ;
bo’lsin, a ) ga asosan da tartibi bo’lgan element
mavjud, bunda va o’zaro tub; u holda ning tartibi bo’ladi. Xuddi
shu tarzda ham va ko’paytma (10-misolga qarang) d tartibga
ega; b ) va c ) tasdiqlar uchun to’g’ri emas.
53 . Birning darajali kompleks ildizlari gruppasi ( tub son). е)23(),13(),12(
)3 2 1( )2 3 1( 3S
;
п
п
2
5р
п
п
; , , , 4 3 2 1 a a a a ; , , , 9 7 3 1 a a a a . , , , 11 7 5 1 a a a a
; )}, 132(, { )}, 123(, { )}, 23(, { )}, 13(, { )}, 12(, { }, { 3S e e e e e e
; , , , , , , , 1 ) 12 8 6 4 3 2                 a G a a a a a a     d ad | )
e xk a x e аkl 
n kl  l ); , ( k n ka k) (n, ЭКУБ
n
k
n n ) , ( 
k
n и v ;1  nv ku
H as s
1d 2d n
   m G d d G n ), ( |, | G
n
d ,l xd
m d
)b
sk
s
k p p d ...11  G
11
1 kk l p
l 1p lx 1p
sx x ,...,2 sx x...1
3
S
np
p
65

$54 . b ) to’g’ri emas: tekislikning o’ziga biyeksiyasi gruppasi da ikki parallel to’g’ri chiziqlarga nisbatan simmetriyalar kompozisiyasi parallel ko’chirishdan iborat; s ) 1 ning hamma darajali ildizlari to’plami; bosh dioganalida 1 ning ildizlari joylashtirilgan dioganal matrisalar to’plami. 55 . To’g’ri emas: da tartibi 2 bo’lgan elementlar gruppa tashkil eta olmaydi (54 b ) ga qarang). 56 . a ) gruppa (kvadrat harakatlari gruppasi); b ) ikkinchi tartibli diagonal matrisalar gruppasi bo’lganda, bo’lganda esa ; s ) 60 . a ) da ko’rinishdagi har qanday tenglama yechiladi; da ko’rinishdagi tenglama hamma vaqt ham yechilavermaydi. b ) da ikki yechimga ega, da esa faqat bitta; s ) da ko’rinishdagi har qanday tenglama yechiladi, da esa bunday shart bajarilmaydi. d ) b ) ga qarang; e ) a ) ga qarang; f ) da ixtiyoriy nol bo’lmagan lar uchun bo’ladigan noldan farqli butun sonlar mavjud; da ixtiyoriy butun noldan farqli lar uchun bo’ladigan larni topish mumkin. Masalan, bunda 61 . a ) bitta gruppa – uchinchi tartibli siklik gruppa; b ) ikkita gruppa: to’rtinchi tartibli siklik gruppa va algebraik amallar quyidagi jadval bilan ifodalanadigan elementlardan iborat gruppa e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e c ) ikkita gruppa: oltinchi tartibli siklik gruppa va podstanovkalar gruppasi. 65 . Siklik gruppaning avtomorfizm yaratuvchi elementning obrazi bilan to’la aniqlanadi. Šuyida yaratuvchi elementning turli avtomorfizmlardagi obrazlari ko’rsatilgan: a ) 1, -1; b ) b ) b ) 3-§G ) ,2( R GL4D ) (2 R D b a  ba  ) (2 R SL . g ) , (  Q ax 2 ) },0{\ (  Q a x 2 ) },0{\ (  Q 1 2 x    ), ( 0 Q ), ( 0   R a x 2 ), ( 0   Q ) , (  Q b a, lbka  lk , ), ( 0   R l k, l k b a  b a, , 10 , 10 Г b a   .Q r c b a e , , , 3 S ; , ) 3a a  ; , , , ) 4 3 2 a a a a  ; , ) 5a a  . , , , ) ) 9 7 3 a a a a b  66$

66 . a )
Šo’shni sinflar:

b )
67.
68 . Šo’shni sinflar oxiri berilgan to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan
to’g’ri chiziqda yotuvchi hamma vektorlardan iborat.
69. Ko’rsatma. Tartibi tub son bo’lmagan ixtiyoriy gruppada xos
qismgruppalar borligini isbot qilish uchun ushbu hollarni qarab chiqish
kerak: da cheksiz tartibli element mavjud, da hamma elementlar chekli
tartibli ammo o’zi siklik gruppa emas, -- chekli tub bo’lmagan tartibli
siklik gruppa.
70 . Ko’rsatma. Tub tartibli gruppa o’zining ixtiyoriy noldan farqli
elementi bilan yaratilishini isbotlang.
71 . Ko’rsatma. Agar ning qismgruppasi va ning tartibi
bo’lsa, ixtiyoriy uchun . Demak, birning darajali
ildizlaridan iborat.
72 . 71-masalaga berilgan ko’rsatmaga qarang.
73 . a )
b )
c )
d ) oxiri to’g’ri
chiziqda yotuvchi vektorlar to’plami.
ye ) markazi nuqtada
bo’lgan radiusli aylana.
f )
nurning to’ldiruvchisi nuqtadan
to’g’ri chiziqqacha.
g )
nuqtasiz to’g’ri chiziq; лари. кисмгруппа нинг ; )321(
; 3,2 ; 3,1 ; 2,1 ;
3 3 6 5
4 3 2 1
S S H H
H H H e H
   
       
}, {:1 e H )}; 132 {( )}, 123 {( )}, 23 {( )}, 13 {( )}, 12 {(,{:
2 eH )};123)(23{()},13)(132{()},12(
)}; 132(), 23 {( )}, 123(), 12 {( )}, 13(, {:3 e H
)}; 123(), 13 {( )}, 132(), 12 {( )}, 23(, {:4 e H
. : )}; 23(), 12)( 13 {(, )} 132)( 123(, {: 3 6 5 S H e H
. , , 6 5 1 H H H
.n
G G
G
 Н G Н m
Ha 
1ma Н  m
;1 ,...,1,0 }, | {       n a k nk a n a Z Z
;1 0 }, | {       a k k a a Z Z
;1 0 ;1 0 }, , | ) ( { ) (                  Z Z b a i b a i
}, / { R         i j H j    H j   R y
     H h h H     , },1 | || { 0 R )0,0( O

, 2 0 }, | sin cos { ) sin (cos 0 0                  R R i i
  0 ) sin (cos R i   ) ,0[ M ) sin, (cos   M
 tg x y  
chiziq; rig' to'nuqtasiz )sin(cos ,0},|sincos{)sin(cos
* **
 
R RR
 
        
i ii
)0,0( O
 xtg y
67

h ) chap qo’shni sinflar: ;

k )

l )
m )

n ) bir xil determinantli matrisalar to’plami.
74 . gruppaning birlik qismgruppa bo’yicha yoyilmasi bu gruppani
uning hamma bir elementli qismgruppalari birlashmasi ko’rinishida
yozilishidan iborat bo’ladi. gruppaning uning o’zi bo’yicha yoyilmasi
ga teng bo’lgan bitta qo’shni sinfdan iborat bo’ladi.
75 .
76 . Masalan, Kleyn gruppasi . (
o’rin almashtirishlar gruppasi va har qanday
unga izomorf gruppa).
81 . bilan qo’shma, chunki bir xil Jordon shakliga ega, bilan
esa qo’shma emas, chunki har xil Jordan shakllariga ega.
82 . a ) Kleyn qismgruppasi; b ) berilgan o’rin almashtirishlarning
hamma -darajalari.
83. a ) dioganal matrisalar qismgruppasi; b ) butun gruppa;
c ) , va ko’rinishdagi
matrisalar to’plami;
d ) ko’rinishdagi matrisalar to’plami, bunda , .
84 . a )
b )
.
85 a ) birlik gruppa; b ) ikinchi tartibli gruppa, chunki gruppaning
barcha birlik bo’lmagan elementlari qo’shma, gruppaning tartibi n son
ga bo’linishi kerak.
86 . a )
b ) i n i n i f S f n ; ,...,2,1 }, )( | {   
}; , , , {
}, , , , { }, , , ,1{ )
11 8 5 2 2
10 7 4 3 9 6 3 3
a a a a a a
a a a a a a a a a a j
  
     
}, | { 3 3 Z     k a a k
}; | { }, | { 2 3 3 2 1 3 3 Z Z          k a a a k a a a k k
}; , , , { }, , , ,1{ 7 5 3 2 6 4 2 2 a a a a a a a a a a     
}, | { }, | { 1 4 4 4 4 Z Z         k a a a k a a k k   4 2 a a
}; | { }, | { 3 4 4 3 2 4 Z Z        k a a a k a k k
G
G G
.3A
   4 )}, 34)( 12 {( V H K
)} 23)( 14(), 24)( 13(), 34)( 12(, {e
1A 3A 1A
2A
n








b a a
a b a
4 3
2
R b a, 0 2 5 2 2    a ab b






a
b a
0 R b a  , 0  a
               ; 132, 123 23 , 13, 12 3 U U e S 
), 142(), 134(), 123 {( )} 23)( 14(), 24)( 13(), 34)( 12 {( } { 4   e A 
)} 234)( 124(), 143(), 132 {( )} 243( 
1 n
)}; 23)( 14(), 24)( 13(), 34)( 12 {(
)}. 243(), 234(), 143(), 134(), 142(), 124(), 132(), 123 {(
68

87. Ko’rsatma . a o’rin almashtirishning mustaqil sikllarga yoyilmasi
. bo’lsin. o’rin almashtirishni hisoblash uchun b
ni
ko’rinishda yozish kerak. U holda bo’ladi.
88. a ) 5; b ) 7; c ) 11. Ko’rsatma . Berilgan element bilan qo’shma
elementlar sonini topish uchun uning sentralizatorining tartibini topin yetarli.
89 . a ) qo’shma qismgruppalar bir xil tartibga ega; b )
bunda
90 . a ) b ) hamma ikkinchi tartibli maxsusmas
matrisalardan iborat, ularda
91 . Yechish. va ning ikkita qo’shni sinflar
yoyilmasi bo’lsin. U holda dagi ixtiyoriy element yoki
shaklda yozilishi mumkin.
92 . 1, 15, 20, 20, 12 va 12 lardan iborat 5 ta qo’shni sinflar.
Ko’rsatma. 87- va 91-masalalarga berilgan ko’rsatmalarga qarang. gruppa
da qo’shma bo’lgan to’rtta sinfdan iborat, ularning namoyandalari
va (12345) lardir. Birinchi va ikkinchisi toq (1 va 15) sondagi
elementlardan iborat va shu sababli da ham qo’shmadirlar. Uchinchisi
ham da ikkita sinfga tarqalmaydi, chunki sifatida (91-masala
ko’rsatmasiga qarang) (45) o’rin almashtirishni olish mumkin, ammo u holda
(45) (123)(45) =(123). Nihoyat to’rtinchisi da ikkita sinfga yoyiladi,
chunki uning elementlari soni 24 gruppaning tartibiga bo’linmaydi.
94 . Yadro - ga karrali bo’lgan butun sonlar additiv gruppasi.
95 . Yadro ga bo’linadigan ko’phadlarning
additiv gruppasidan iborat bo’ladi.
96 . e ) Ko’rsatma. sifatida aniqlangan
akslantirishni olib qarash kerak. ning normal bo’luvchisi,
ammo ning normal bo’luvchisi emas.
100 . Gomomorfizm yaratuvchi elementning obrazi bilan to’la
aniqlanadi. Šuyida bu elementning mumkin bo’lgan obrazlari keltirilgan: a )
gruppaning ixtiyoriy elementi, gomomorfizmlar soni ga teng; b )
c ) d ) e. )... ... )( ... ( 1 1 l k k i i i i a   1  bab c





  
... ... ...
... ... ...
11 11
lkk lkk
j j j j
i i i i
b
)... ... )( ... ( 1 1 j j j j c k k  
,1  gHg K
).1,2( diag g 
; ) ( H H N  ) (H N
.0 21  a
Cc 
Hx H G   G
C 1 hch
H h h hxcx    ,1 1
5А
5S
) (), )( (, 124 34 12 e
5А
5А
х
1
5А
5А
2
) )...( )( ( 2 1 n x x x      





 





4
4321 321
321321
i i i i i i
4 3 : S S f 
3А
3S
)(
3 Af
4S
п
; , , , , , 5 4 3 2 b b b b b e ; , 10 5b b
69

101. Ko’rsatma . bo’lganda ning obrazini toping.
102. Ko’rsatma. Šuyidagi akslantirishlarni qarang: a )
b ) c ) d ) e )
f ) g )
103. Ko’rsatma. ko’rinishdagi izomorfizmni isbotlash
uchun yadrosi bo’lgan ning ga gomomorfizmini topish kerak:

c ) d )
e )
105. Ko’rsatma. Tartibi bo’lgan yagona qismgruppaga
ko’rinishdagi hamma qo’shni sinflar doxil bo’ladi.
106. Ko’rsatma. Har bir elementga avtomorfizmni
mos qilib qo’yuvchi akslantirishni qarab chiqish kerak.
107. Ko’rsatma. Agar bo’lsa ixtiyoriy
elementlar ko’rinishga ega bo’ladi va bu holda
bo’ladi.
4-§
108. e ) va s ) dan boshqa hamma to’plamlar halqadirlar; s ) da esa
bo’lganda halqa bo’ladi; ulardan b ), d ), f ), h ), j ), l ), n ), r ) dagi
to’plamlar maydon teskarilanuvchi elementlar to’plamlari
a ) c )
g ) i ) k ) m )
p ) agar

q ) agar
109. 1. Nokommutativ halqalar yo’q.
2. b ), f ) h ), l ), n ), o ) dagi halqalar maydondirlar. 1a2
a
; 2 sin 2 cos x i x x    
;
| |z
z z
;nz z ;nz z
;
|| n
zz
z





;
| |z
z z
.| |z z
Z Y X  /
Y X Z
;
0detесли,1 0detесли,1
)(},1,1{),(:) ;det)(,),(:) *

 
 
AA
AfnGLfb AAfnGLfa
R CC
;| | det ) ( , ) ,( : A
A A f U n GL f   C |; det| ) ( , ) ,( : 0 A A f n GL f   R R
. det ) ( , ) ,( : 0 A A f n GL f   R C
п
Z Z   k
n
k ,
Gg 
1 gxg x
  Z Z a G / G y x  ,
z a y z a x l k   ,
yxxy 
1 4   k D
};1 2 | 2 {
22     y x y x };1 3 | 3 { 22    y x y x
}; ,1 ,1{ i i  };1 ,1{  };1 ,1{ 
;1),(|


mnp
nm
},0 det| { ) , ( },1 det| { * *         A A P n GL P A A nn nnZ
; , , C R Q  P
},0)(det|][)({  xfxPxf
. , , C R Q  P
70

3. Teskarilanuvchi elementlar:
a )
d )
g ) i )
j )
k ) yoki ko’rinishdagi matrisalar;
m ) nolmas maxsus matrisalar.
4. Nolning bo’luvchilari:
i ) va ko’rinishdagi matrisalar;
j ) va ko’rinishdagi matrisalar;
k ) ko’rinishdagi matrisalar;
m ) nolmas maxsus matrisalar.
110. c ), d ), e ), f ), g ) bo’lganda, h ), i ).
111. h ) dan boshqa hammasi.
112. d )
113.
+ 0 E S T
0 0 E S T
E E 0 T S
S S T 0 E
T T S E 0
. 0 E S T
0 0 0 0 0
E 0 E S T
S 0 S T E;1 3 ,
3 2 2   




 y x
x y
y x
;
0 1
1 0
,
0 1
1 0
,
1 0
0 1
,
1 0
0 1






 




 














;
1 0
0 1
;
1 0
0 1













 ;1 , 2 2    




 y x
x y
y x
;
1 0
0 1
,
1 0
0 1
,
1 0
0 1
,
1 0
0 1




















 








100 101
b cb













1 0 0
1 0
1
b
c b






a a
a a
,







a a
a a
0  a




00 0a
,
0 00




b
0 ,0   b a
0,
000 000
22





cbb cb
1 4   k d
},9,7,3,1{ *10  Z }, 11,7,5,1{ *12  Z }.6,5,4,3,2,1{ *7 Z
71

T 0 T E S
116. a ) b ) c ) d ) yechimi yo’q; ye ) yechimi yo’q; f )
g ) h ) yechimi yo’q; i ) j ) k ) yechimi yo’q; ye )
yechimi yo’q.
117. a ) yechimi yo’q; b ) ,
118. a ) b ) yechimi yo’q ( da 13
kvadrat emas); s ) yechimi yo’q; d ) yechimi yo’q.
119. Hammasi.
120. elementli maydonning multiplikativ gruppasi ga teng
tartibga ega.
121. bo’lganda 2; bo’lganda 4; bo’lganda 3;
bo’lganda 10.
122 . a ) 3 va 5; b ) 2, 3, 8 va 9.
124. Yechish. a ) akslantirish biyeksiya,
shuning uchun qandaydir uchun bo’ladi, ixtiyoriy ni
ko’rinishda yozish mumkin va u holda ya’ni chap birlik
element; b ) o’ngdan teskarilanuvchi element nolning o’ng bo’luvchisi
bo’lolmaydi va shuning uchun elementlar juft-jufti bilan har xil va
ulardan biri 1 ga teng.
125. Yechish. Agar bo’lsa bo’ladi.
126. b ) 125-masalaning javobini qarang; s ) 124-masalaning b ) ni
qarang; d ) 124-masalaning javobini qarang.
127. shartda to’g’ri emas.
131. Halqaning multiplikativ gruppasi: a ) b ), c )
132. halqa additiv gruppasining har qanday qismgruppasi
halqaning qismhalqasi bo’ladi. Shuning uchun halqaning qismhalqalari:
halqaning qismhalqalari:
niki .
133. Ha. Masalan, halqada skalyar matrisalar
qismhalqasi maydon bo’ladi.
134. a )
b )
c )
135. a ) ;5 x ;5 x ;1x
;0 x ;1x ;2 x ;5 x
,2 x 3 у .2 z
;2 2 3 ,121      x x )2 ( Q
п 1 п
3р 5р
7  р 11 р
 )0,( aaaxx R
R x a ax  R b
yab 
,b bx  x
a x ax n ,..., 1
1ab
0 )1 (   b ba
x x 3
};,,1,1{ ii  }.1,1{ 
n Z n Z
10Z
; 0 , 5 , 2 , 1        
12Z
; 0 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1             7Z     0 , 1





  




 Q b a
b
a
, |
0
0
   ; , | 2 , , | 2 Q Z     b a b a b a b a
   ; , | 3 , , | 3 Q Z     b a b a b a b a
   . , , | 4 2 , , , | 4 2
3333 Q Z       c b a c b a c b a c b a
   ; , | , , | Q Z     b a bi a b a bi a
72

$b ) c ) 142. Ko’rsatma. 141-masaladan foydalaning, elementlar soni ga tengligini ko’rsating. Bunda maydon xarakteristikasi esa shu maydonni ga izomorf qismmaydondagi vektorli fazo sifatida qaralgandagi o’lchovi. 143. Ko’rsatma. - berilgan maydonning birlik elementi (biri) bo’lsin. U holda qismto’plam ga izomorf bo’lgan qismmaydon bo’ladi. 144. Avtomorfizmlar gruppasi faqat aynan avtomorfizmdangina iborat. 145. Aynan va har bir sonni qo’shmasiga o’tkazadigan avtomorfizm. 146. Yo’q. 148. a ) akslantirish avtomorfizmdir. 5-§ 149. g ) punkdagi to’plamdan tashqari hamma to’plamlar qismgruppa va qismqalqadirlar. a ), b ), d ), f ), i ), j ) lardagi to’plamlar ideallar bo’ladi. 153. a ) b ) (2); c ) d ) R [ x ] ; e ) 155. a ) 1; b ) 12; c ) 2; d ) 12; e ) 1; f ) 15. 156. Ko’rsatma. Agar va bo’lsa, ixtiyoriy uchun elementni qarab chiqish kerak, bunda ligini ko’rsatish kerak. 157. a ) (0), (1), (2); b ) (0), (1), (2), (3); c ) (0), (1), (2), (5); d ) (0), (1), (2), (3), (4), (6). 158. , , 160. idealga tegishli. 162. 163. Ko’rsatma . Ixtiyoriy nolmas ideal o’z ichiga teskarinaluvchi matrisani oladi.    ; , | ,)2 (mod , , | Q Z      b a bi a b a b a bi a    . , / , , / 2 4 Q Z     b a bi a b a bi a np p n pZ e      }0 , , | ) ( { 1 n n m ne me Z Q )] [, ] ([ ] [ l k kl x x x  ;Z );1 ( 2 x ).2 ( 2   x x 2 1 2 1 I I I I    2 1 I I  2I x x a  . \ 2 1 I I a 1I x              Zm    ,| 00, 00 00        Zm  | 000 , , , | 0              Zm       ,| 0        Zm     , | 0              Zm     .,| 0        Zm      ; 3 5 , 9 15 i i    . |k m m k   Z Z 73$

164. Ko’rsatma. - halqaning ideali, A matrisa I dan olingan
nolmas matrisa, satri bilan ustuni kesishmasida 1, qolgan
elementlari bo’lgan matrisa bo’lsin. matrisani chapdan va o’ngdan mos
keladigan matrisalarga ko’paytirib yig’indisi teskarilanuvchi matrisa
bo’ladigan matrislar hosil qilish mumkinligini ko’rsating.
165. a )
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
. [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2]
[2] [0] [2] [1]
maydon;
b )
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]

. [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
maydon emas;
166. bunda
167. (2), (3).
168 . a )
+ [0] [1] [i] [1+i]
[0] [0] [1] [i] [1+i]
[1] [1] [0] [1+i] [i]
[i] [i] [1+i] [0] [1]
[1+i] [1+i] [i] [1] [0]

. [0] [1] [i] [1+i]I ) , ( P n M
ijE i j
0 AijE
]},2[],1[],0 {[ )3/(  Z
)3/( Z
]},3[],2[],1[],0 {[ )4/(  Z
)4/( Z
},1 ,...,1,0 |] {[   m a a }. | { ) ( ] [ Z      k mk a m a a
74

[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [i] [1+i]
[i] [0] [i] [1] [1+i]
[1+i] [0] [1+i] [1+i] [0]
maydon emas, chunki da nolning bo’luvchisi bor;
b )
+ [0] [1] [x] [1+x]
[0] [0] [1] [x] [1+x]
[1] [1] [0] [1+x] [x]
[x] [x] [1+x] [0] [1]
[1+x] [1+x] [x] [1] [0]

. [0] [1] [x] [1+x]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [x] [1+x]
[x] [0] [x] [1+x] [1]
[1+x] [0] [1+x] [1] [x]
maydon.
169.
a ) may-
don;
b ) maydon emas;
c )
maydon;
d ) maydon emas;
e ) maydon;
f ) maydon emas;
g ) maydon;
h )
maydon emas;
174. Ko’rsatma. va bo’lganda va faqat
shu holdagina lar bir qo’shni sinfga tegishli bo’ladi.
175. 174-masalaga qarang.
177. Ko’rsatma. Hammasi bo’lib 9 ta element. I K / I K /
I K /
      ]} 2 2[], 2 1[], 2[], 2[], 1[],[],2[],1[],0 {[ / i i i i i i I K
  ]}3 1[],3 [],1[],0 {[
     ]}2 2 2[],2 2 1[],2 2[],2 2[],2 1[],2 [],2[],1[],0 {[  ]}1[],[],1[],0{[ xx
     ]} 2 2[], 2 1[], 2[], 2[], 1[], [],2[],1[],0 {[ x x x x x x
   } , |] {[ Z b a b ax
   } , |] {[ R b a b ax
,
10 10
,
10 01
,
01 01
,
00 11
,
10 00
,
01 00
,
00 10
,
00 01
,
00 00



































































11 11
,
10 11
,
11 01
,
11 10
,
01 11
,
11 00
,
01 10
)2(modca 
)2 (modd b 
di c bi a   ,
75

178. 25 ta element. Maydon emas.
184. ko’phad qo’shni sinfdagi yagona birinchi darajali ko’phad.
185. c ), d ).
186 . Ko’rsatma . Har bir qo’shni sinfga ko’phadning
ozod hadini mos qilib qo’yish kerak.
188. Faktor halqa uchta elementdan iborat.
190. Yo’q, bo’dmaydi.
191. Ko’rsatma. -- nolmas sinf bo’lsin. K halqaning
shartni qanoatlantiruvchi ideali va , demak,
bo’lishini ko’rsating va bundan qo’shni sinf uchun faktor
halqada unga teskari element borligini keltirib chiqaring.
193.
194.
195.
196. a )
b )
c ) Ko’rsatma. Izlanayotgan
gomomorfizm bir (birlik element) ning obrazi bilan to’la aniqlanadi.
Haqiqatan, bo’lsin. U holda va . Ammo
agar bo’lsa, akslantirish gomomorfizm
bo’ladi. Shuning uchun hamma gomomorfizmlarni topish uchun ning
( idempotent ) shartni qanoatlantiruvchi hamma elementlarini topish
qoladi.
198. a ) b ) c )
d ) e ) yoyilmaydi.
199. idealda birlik element yo’q, idealning birlik elementi
dir.
200.

201. a ) b ), c ) yoyilmaydi; 4 х
) ( ) ( x х f  ) (х f
I a  K A I  
     } , | { I x K r x ra A .AI 
K A  I a  I K /
,|







 Za
aa aa
fКеr
. / Z  f Кеr K
, 0
2
1 |





 

 

   g K g f Кеr
./ RfКеrK
, |





  







 R a
a a
a a
f Кеr
./ RfКеrK
; ,0 ) ( , ) ( , 9 ) ( , 4 ) ( 12 4 3 2 1 Z      x x f x x f x x f x x f
; ,0 ) ( , ) ( , 5 ) ( , 6 ) ( 10 4 3 2 1 Z      x x f x x f x x f x x f
. ,0 ) ( , ) ( 7 2 1 Z    x x f x x f
a)1(
 a a   )1( )1( 2   xa x ) (
a a 2 , : m m Z Z   xа x ) (
m Z
a a 2
);5( )2( 10   Z );4( )3( 12   Z );5( )3( 15   Z
);9( )4( 36   Z
1I 2I




01 01
,2 1 I I K  
,|
00
1







 Ra
aa
I .|00
2







 Rb
bbI
); /()1 ( ) /() ( 2 2 x x x x x x K     
76

d )
Foydalanilgan adabiyotlar
1. B.L. Van der Varden. Algebra. M., Nauka, 1976.
2. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
3. Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
4. Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
5. Faddeyev D.K., Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vysshey algebre.
M., Nauka, 1977.
6. Sbornik zadach po algebre pod redaksiyey. A.I. Kostrikina, M.,
Nauka, 1985.
7. Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi,
Toshkent, «O’zbekiston», 2001.
8. Narzullayev U.X., Soleyev A.S. Algebra i teoriya chisel. I - II chast,
Samarkand, 2002.).1 /() ( )1 /() ( 2 2       x i x x i x K
77

Mundarija
§ 1. Algebraik amallar
§ 2. Gruppalar. Qismgruppalar. Izomorfizm
§ 3. Qo’shni sinflar. Normal bo’luvchilar. Faktor-gruppa.
Gruppalar gomomorfizmi
§ 4. Halqa. Jism. Maydon
§ 5. Halqa ideali. Faktor-halqa. Halqalar gomomorfizmi
78

algebraik sistemalar

Купить

Информация о документе

Продавец

algebraik sistemalar

Похожие документы