Algebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy ildizlarining mavjudligi va yagonaligi shartlari
![Isboti. Bu ycrda ham x > 1 deb olamiz. Manfiy boimagan a
0 ,a
1 ,…a
k-1 larni
nol bilan almashtiramiz, a
k ,a
k+1, …,a
n larni csa B ga almashtirsak f(x ) ko‘phadning
qiymati kamayishi mumkin.
Shuning uchun
f(x) a
0 x n
-B(x n-k
+x n-k-1
+…+1)=a
0 x n
-B
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan esa x> 1 bo’lganda
f(x) a
0 x n
-B >a
0 x n
- =
= [a
0 x k-1
(x-1)-B]> [a
0 (x-1) k
-B]
kelib chiqadi. Demak,
x>1+ =R
musbat ildizlari x +
< R tengsizlikni qanoatlantiradi.
Teorema 3. (Nyuton teoremasi.) Agar x = c> 0 uchun f (c)
≥0, k = 0,1,...,n
shart o‘rinli boisa, R = c ni (l)ning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb olish
mumkin.
Isboti . Teylor fbrmulasiga ko‘ra
Shartga ko‘ra, x > c bo’lganda summaning har bir hadi musbatdir. Demak,
(l)ning barcha x musbat ildizlari x +
< c tengsizlikni qanoatlantiradi. Agar quyidagi
ko‘phadlarga
f
1 (x) = (-1) n
f(-x) =a
0 x n
-a
1 x n-1
-a
2 x n-2
-…-(-1) n
a
n ,
f
2 (x)=x n
f =a
n x n
+a
n-1 x n-1
+…+a
0 ,
7](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_7.png?v=1)
![1.3 Nyuton metodi
Faraz qilaylik,
f(0) = 0 (1)
tenglamaning [a,b] oraliqdagi yagona ildizi, boisin. f ’( x ) va f ” ( x ) lar noldan
farqli bo‘lib, [ a,b ] da ishora saqlasin. bo’lib, ning taqribiy qiymati
bo’lsin, ya’ni
(2)
xatolik va uni kichik miqdor bo’lsin deb hisoblaymiz. Teylor formulasiga
asosan
taqribiy tenglikka ega bo ’ lamiz . Bundan bo ‘ lganligi uchun (2) dan
ildizning navbatdagi taqribiy qiymatiga ega bo ’ lamiz :
(n=0,1,2…) (3)
(3) ketma-ketlikni qurishda boshlang‘ich yaqinlashish bo‘lib,
shartni qanoatlantirishi maqsadga muvofiqdir. (3) ketma-
ketlikning geometrik talqini quyidagidan iborat:
ning qiymati y = f(x) funksiya grafigining nuqtasiga
o‘tkazilgan urinmaning OX o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasiga tengdir.
Shuning uchun ham Nyuton metodi urinmalar metodi deb ham ataladi. Nyuton
metodining yaqinlashish tezligini quyidagicha baholash mumkin. Teylor
formulasidan
bu yerda , va x
n oralig‘ida joylashgan.
12](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_12.png?v=1)
![Bundan
Demak,
Agar [a,b] x
0 va , ni o‘z ichiga olgan
hamda f ’(x), f ’’(x) ishorasini o‘zgartirmaydigan oraliq bo’lsa, u holda
ga ega bo’lamiz. Bu Nyuton metodining yaqinlashish tezligini ko‘rsatadi.Eslatma.
Agar iteratsiya usulida
deb olsak, Nyuton metodi hosil bo’ladi. Agar [a,b] da f ’ (x) kam o‘zgarsa, u holda
(3) formulada
deyish mumkin va natijada Nyuton metodining modifikatsiyasi
(n=0,1,2,…) (4)
hosil bo’ladi. (4) formula bilan hisoblash jarayoni o’tkazilsa, har bir qadamda f ’
(x) ning qiymatini hisoblanmaslik qulaylik tug‘diradi. Bu qulaylik, ayniqsa f ' (x)
murakkab bo’lganda yaqqol seziladi.
1.4 Yuqori tartibli iteratsion metod qurishda Chebishev metodi
Faraz qilaylik, f(x ) = 0 tenglamani [a,b] da yagona ildizi x = , mavjud
bo’lsin va f(x ) funksiya hamda uning yetarlicha yuqori tartibli hosilalari uzluksiz
bo’lsin. Bundan tashqari, da f ' (x ) ≠ 0 bo’lsin. U holda f '(x ) bu oraliqda
13](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_13.png?v=1)
![ishora saqlaydi va f (x )monoton funksiya bo’lib, x = g(y) teskari funksiyaga ega
bo’ladi. Teskari funksiya g(y) f (x)ning o‘zgarish sohasi [c,d] da aniqlangan bo’lib,
f(x) qancha uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u ham shuncha uzluksiz hosilaga ega
bo’ladi. Teskari funksiya ta’rifiga ko‘ra,
x = g(y) , y = f(g(y)) .
Demak,
. (1)
Agar bo’lsa, u holda Teylor formulasidan
(2)
bu yerda . (2) da y = f (x ) va g(y) = x ni nazarda tutib,
ni hosil qilamiz. Agar
deb belgilasak, u holda
tenglama uchun x = , yechim bo’ladi, chunki
Bundan
, n=0,1,2,…,p-1
bo’lganligi sababli
, n=0,1,2,…; (4)
14](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_14.png?v=1)
![VATARLAR USULI
Algebraik va transtsendent tenglamalarni echishda vatarlar usuli keng
qo`llanadigan usullardan biridir. Bu usulni ikki xolat uchun kurib chiqamiz.
1- x o l a t . Faraz kilaylik f(x) =0 tenglamaning ildizi [a,b] kesmada
ajratilgan va kesmaning chekka nuqtalarida f(a) × f(b) <0 bo`lsin. Bundan
tashqari birinchi va ikkinchi hosilalari bir xil ishorali qiymatlarga ega bo`lsin,
ya`ni f'(x) × f ''(x) > 0 yoki f(a) <0; f(b)>0; f'(x) >0; f''(x)>0 (5-racm).
f(x) =0 — tenglamaning aniq echimi, f(x) funktsiya grafigining Ox uki bilan
kesishgan nuqtasi x
0 . A va V nuqtalarni turri chiziq (vatar) bilan tutashtiramiz.
Oliy matematikadan ma`lumki, A va V nuqtalarda (5- racm) utgan to`g’ri
chiziqning tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(2.3)
Utkazilgan vatarning Ox uki bilan kesishgan nuqtasi x
1 ni taqribiy echim deb
qabul kilamiz va uning koordinatasini aniqlaymiz. (2.3) tenglikda x=x
1 , u= 0 deb
hisoblab uni x
1 ga nisbatan echamiz:
23x xy y
a
0 0
ax
1
x
2 x
0 b b
x
0 x
2
x
1B(b;f(b))
B(b;f(b))A(a;f(a))
5- раcм 6- ра c м](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_23.png?v=1)
![(2.4)
Izlanayotgan echim x
0 e ndi [x
1 ; b] kesmaning ichida. Agar topilgan x
1 echim bizni
kanoatlantirmasa yuqorida aytilgan muloxazalarni [x
1 ; b] kesma uchun
takrorlaymiz va x
2 nuqtaning koordinatini aniqlaymiz:
(2.5)
Agar x
2 ildiz ham bizni kanoatlantirmasa, ya`ni avvaldan berilgan e aniqlik uchun
| x
2 - x
1 |
£ e shart bajarilmasa, x
z ni hisoblaymiz:
(2.6)
yoki umumiy xolda
(2.7)
ya`ni hisoblashni | x
n+1 - x
n | £
e shart bajarilgunga qadar davom ettiramiz.
Yuqorida keltirilgan formulalarni f(a) > 0; f(b) < 0; f'(x) < 0; f''(x) < 0
uchun ham qo`llash mumkin.
2- x o l a t . f(x) funktsiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari turli ishorali
qiymatlarga ega deb faraz kilaylik, ya`ni f'(x)
× f''(x) < 0 yoki f(a) > 0, f(b) < 0, f'
(x) < 0, f'' (x) > 0 (6-rasm).
A va V nuqtalarni turri chiziq (vatar) bilan tutashtirib uning tenglamasini
yozamiz
(2.8)
Bu tenglamada y = 0 va x = x
1 deb qabul kilib, uni x
1 ga nisbatan echsak,
(2.9)
Topilgan x
1 ni taqribiy echim deb olish mumkin. Agar topilgan x
1 ning aniqligi
bizni kanoatlantirmasa, yuqoridagi muloxazani [ a, x
1 ] kesma uchun takrorlaymiz,
ya’ni x
2 ni hisoblaymiz:
24](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_24.png?v=1)
![(2.10)
Agar | x
2 -x
1 | £ e shart bajarilsa, taqribiy echim sifatida x
2 olinadi, bajarilmasa x
3 ,
x
4, … lar hisoblanadi, ya`ni
(2.11)
Xisoblash jarayoni | x
n+1 - x
n | £ e bulgunga qadar davom ettiriladi.
f(a) < 0 , f(b) > 0 , f'(x) > 0, f''(x) <0 bo`lgan xol uchun ham taqribiy ildiz (2.9) –
(2.11) formulalar bilan hisoblanadi. Demak, agar f'(x) × f''(x) >0 bo`lsa taqribiy
echim (2.4-2.7) formulalar bilan, f'(x)
× f''(x) < 0 bo`lsa (2.9) - (2.11) formulalar
bilan hisoblanadi.
Misol. x 3
+ x 2
- 3 = 0 tenglama
e = 0,005 aniqlikda vatarlar usuli bilan
hisoblansin.
E c h i s h . Ildizlarni ajratsak, 0,5<x<1,5 ga ega bo`lamiz; bu erda
f(0,5)=-2,625<0 ; f(1,5) = 2,600 > 0 ; f'(x)=3x 2
+ 2x; f''(x) = 6x + 2 .
Kidirilayotgan taqribiy ildiz [ 0,5; 1,5 ] kesmada ekan. Bu kesmada esa f'(x) > 0 ;
f''(x) >0 . Demak biz taqribiy ildizni (2.4) - (2.7) for mulalar yordamida
hisoblaymiz (1- xolat). (2.4) dan x
1 = 1,012 ni, (2,5) dan x
2 = 1,130 ni; (2.6) dan
x
3 = 1,169 ni, (2.7) dan (n=3) x
3 =1,173 ni topamiz. Bu erda |x
4 - x
3 | = 1, 173 -
1,169 = 0,004 < e . Demak shart 4-kadamda bajarildi. Shuning uchun x
4 =1,173
yuqoridagi tenglamaning e = 0,005 aniqlikdagi ildizi bo`ladi.
25](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_25.png?v=1)
![2. URINMALAR (N’YUTON) USULI
Urinmalar usulini N’yuton usuli deb ham ataydilar. Bu usulni ham ikki xolat
uchun kurib chiqamiz.
1- x o l a t . Faraz kilaylik, f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) > 0 yoki f(a)>0,
f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) < 0 (7-rasm).
7- racm 8 - racm
y = f(x) egri chiziqka V nuqtada urinma o’tkazamiz va urinmaning Ox uki
bilan kesishgan nuqtasi x
1 ni aniqlaymiz.
Urinmaning tenglamasi quyidagicha:
y - f(b) = f'(b) (x-b), (2.12)
bu erda y=0, x=x
1 deb , (2.12) ni x
1 nisbatan echsak,
(2.13)
Shu muloxazani [ a;x
1 ] kesma uchun takrorlab, x
2 ni topamiz:
(2.14)
26 Ay
xB
a = x
0 x
1 x
2
00 a
x
2 x
1
x y
B(b;f(b))
A(a;f(a)) b=x
0y =f(x)
f(a) b](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_26.png?v=1)
![Umuman olganda
(2.15)
Hisoblashni | x
n+1 - x
n | £ e shart bajarilganda tuxtatamiz.
2- x o l a t . Faraz kilaylik f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) < 0 yoki f(a)>0 ,
f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) > 0 (8- rasm). y = f(x) egri chiziqka A nuqtada urinma
o’tkazamiz, uning tenglamasi:
y - f(a) = f' (a) (x – a), (2.16)
Bu erda y=0, x=x
1 decak,
(2.17)
[ x
1 ;b ] kesmadan
(2.18)
Umuman
(2.19)
(2.13) va (2.17) formulalarni bir-biri bilan solishtirsak, ular bir-birlaridan
boshlangich yaqinlashishi ( a yoki b ) ni tanlab olish bilan farqlanadilar.
Boshlangich yaqinlashishni tanlab olishda quyidagi koidadan fondalaniladi;
boshlangich yaqinlashish tarzida [a;b] kesmaning shunday chekka ( a yoki b)
qiymatini olish kerakki, bu nuqtada funktsiyaning ishorasi uning ikkinchi
hosilasining ishorasi bilan bir xil bo`lsin.
Misol. x-sinx=0,25 tenglamaning ildizi e =0,0001 aniqlikda urinmalar usuli
bilan aniqlansin.
E c h i s h . Tenglamaning ildizi [0,982; 1,178] kesmada ajratilgan (buni
tekshirishni kitobxonga xavola kilamiz); bu erda a=0,982 ; b=1,178 ;
f'(x)=1-cosx; f''(x) = sin x>0 .
27](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_27.png?v=1)
![[0,982; 1,178] kesmada f (1,178) .
f''(x) > 0 , ya`ni boshlangich
yaqinlashishda x
0 =1,178. Hisoblashni (2.13)-(2.15) formulalar vositasida
bajaramiz . Hisoblash natijalari quyidagi 2.1- jadvalda berilgan .
2.1-jadval
n
x
n - sin x
n f(x
n )=x
n -sinx
n -0,25 f ¢ (x
n )=1- s osx
n
0 1,178 - 0,92384 0,00416 0,61723 - 0,0065
1 1,1715 - 0,92133 0,00017 0,61123 - 0,0002
2 1,1713 - 0,92127 0,00003 0,61110 - 0,0005
3 1,17125
Jadvaldan kurinadiki, x
3 -x
2 = |1,17125 – 1,1713| = 0,00005 < e . Demak
echim deb x = 1,17125 ni ( e =0,0001 aniqlikda) olish mumkin.
5-8 – rasmlarga dikkat bilan e`tibor kilsak shuni ko`ramizki, f(x)=0
tenglamaning taqribiy echimlarini vatarlar va urinmalar usuli bilan topganda aniq
echimga ikki chekkadan yaqinlashib kelinadi. Shuning uchun ikkala usulni bir
vaktning o`zida qo`llash natijasida maqsadga tezrok erishish mumkin. Bu usulni
k o m b i n a t s i y a l a n g a n u s u l deb ataydilar. Kombinatsiyalangan usul
yuqorida keltirilgan usullarning umumlashmasi bo`lgani tufayli bu to`g’rida ko`p
tuxtalmaymiz.
3. KETMA - KET YAQINLASHISH USULI
Bizdan f(x) =0 tenglamaning ildizini aniqlash talab etilsin. Bu tenglamani
quyidagi (teng kuchli) ko`rinishda yozamiz
x = j (x) ( 2.20)
f(x) =0 tenglamani x =
j (x) ko`rinishga keltirishni juda engil amallar bilan istalgan
vaktda amalga oshirish mumkin. (2.20) ning ildizi [a,b] kesmada ajratilgan
bo`lsin. [a,b] ning ichida ixtiyoriy x nuqtani olamiz ( a
£ x
0 £ b ) va bu nuqtani
28](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_28.png?v=1)
![boshlangich (nolinchi) yaqinlashish deb qabul kilamiz. x ni (2.20) ning ung
tarafidagi x ning o`rniga kuyib, hosil bo`lgan natijani x desak,
x
1 = j (x
0 ) (2.21)
x
1 ni birinchi yaqinlashish buyicha (2.20) ning ildizi deyiladi. Keyingi
yaqinlashishlar kuiidagicha topiladi:
x
2 =
j (x
1 ),
x
3 =
j (x
2 ),
. . . . . . . . .
x
n =
j (x
n-1 )
. . . . . . . . . .
Buning natijasida quyidagi ketma-ketlikni to`zamiz
x
0 , x
1 , x
2 , … , x
n (2.22)
Agar (2.22) ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lsa ( ) , u xolda x (2.20)
ning ildizi bo`ladi. Buning isboti juda sodda. Agar
j (x) ni uzluksiz funktsiya
desak,
ya`ni x = j (x) bo`lib, x (2.20) ning ildizi bo`ladi.
Agar (2.20) ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lmasa, u xolda ketma-ket
yaqinlashish usulining ma`nosi bo`lmaydi.
Yuqorida aytilganlardan xulosa shuki, biz bu usul bilan f(x) =0, [ x=
j (x) ]
tenglamaning echimini topmokchi 5ulsak, quyidagi ketma-ket bajarilishi lozim
bo`lgan jarayonni hisoblashimiz kerak bo`ladi:
(2.23)
bu erda x
0 ,x
1 ,x
2 , …, x
n … ketma-ket yaqinlashishlar; x
0 - boshlangich yaqinlashish;
x
1 - birinchi yaqinlashish; x
2 - ikkinchi yaqinlashish va x.k.
29](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_29.png?v=1)
![(2.23) jarayon yaqinlashuvchi bo`lishining etarlilik shartlarini quyidagi
teorema ifodalaydi (teoremani isbotsiz keltiramiz).
Teorema. x= j (x) tenglamaning ildizi [a, b] kesmada ajratilgan bo`lib,
bu kesmada quyidagi shartlar bajarilsa:
1) j (x) funktsiya [a, b] da aniqlangan va differentsiallanuvchi;
2) barcha x Î [a;b] uchun j (x) Î [a;b];
3) barcha x Î [a;b] da |j¢ (x) | £ M < 1 bo`lsa, u xolda (2.23) jarayon
yaqinlashuvchi bo`ladi
Bu erda shuni ta`kidlash lozimki, teoremaning shartlari faqat etarli bo`lib,
zaruriy emasdir, ya`ni (2.23) jarayon bu shartlar bajarilmaganda ham yaqinla -
shuvchi bo`lishi mumkin. (2.23) ni hisoblaganimizda, hisoblashni avvaldan
berilgan aniqlik uchun quyidagi tengsizlik bajarilgunga qadar davom ettiramiz:
|x
n -x
n-1 |
£ e (n=1,2,3,4, … )
Misol. 4x-5lnx =5 tenglama e =0,0001 aniqlikda ketma-ket yaqinlashish
usuli bilan echilsin.
E c h i s h . Tenglamani ko`rinishda yozamiz va y
1 = lnx ;
chiziqlar kesishgan nuqtani aniqlaymiz. Bular x
0 = 2,28; x
0 = 0,57 .
Bularni boshlangich yaqinlashish nuqtalari deb olamiz. Berilgan tenglamani
x=1,25(1+lnx) ko`rinishda yozsak,
j (x)=1,25(1+lnx) bo`ladi, bundan,
. Bu xolda x
0 =2,28 uchun ketma-ket yaqinlashish jarayoni yaqinlashuvchi
bo`ladi:
Hisoblash natijalari quyidagi 2.2- jadvalda keltirilgan:
2.2-jadval
(1) (2) (3)
x ln (1) +1 1,25(2)
2,28 1,82418 2,28022
30](https://docx.uz/documents/763953af-da4f-42c0-8984-cb352e316973/page_30.png?v=1)
-
Похожие документы
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq