Информация о документе

Цена 60000UZS
Размер 2.4MB
Покупки 0
Дата загрузки 28 Март 2026
Расширение doc
Раздел Дипломные работы
Предмет Алгебра

Продавец

Rajabov Yorbek

Дата регистрации 19 Март 2026

0 Продаж

Aniq integrallar nazariyasining ba’zi tatbiqlari haqida

Купить
Aniq integrallar nazariyasi ning ba’zi tatbiqlari haqida BITIRUV MALAKAVIY ISHI MUNDARIJA Kirish …………………..…… ................. ……………………… 3 I боб Аниқ интеграллар ........... … . … . … . … . . .............. ….... 5 1.1. Риман интегралларининг таърифи ва уларнинг хоссалари …… ........................... ………...… 11 1.2. Аниқ интегралларни ҳисоблаш усуллари ... ……...… 16 II боб Аниқ интегралларнинг татбиқлари ҳақида ........ ….... 2 1 2.1. Валлис ва Тейлор формулаларидаги татбиқлари ...... 2.2. Интерполяцион формулалар ....................................... 2.3. Геометрик масалалардаги татбиқлар .......................... 3 2 Xulosa …………………………………...……………. Adabiyotlar ro’yxati …………… …. .. . ………..…….… 3 5 КИРИШ Классик анализда аниқ интеграллар (уларни Риман интеграллари деб ҳам аташади) назарияси амалий масалаларнинг ечимини топишга бўлган эҳтиёж туфайли пайдо бўлган. Бундай масалалар сифатида биз Лейбницнинг геометрик ва Ньютоннинг механик масаласини биламиз. I боб АНИҚ ИНТЕГРАЛЛАР 1.1. РИМАН ИНТЕГРАЛЛАРИНИНГ ТАЪРИФИ ВА УЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ Классик анализда аниқ интеграллар (уларни Риман интеграллари деб ҳам аташади) назарияси амалий масалаларнинг ечимини топишга бўлган эҳтиёж туфайли пайдо бўлган. Бундай масалалар сифатида биз Лейбницнинг геометрик ва Ньютоннинг механик масаласини биламиз. Биз бу масалаларга тўхталмасдан аниқ интегралларнинг математик таърифини келтирамиз ва хоссаларини батафсил ўрганамиз. Бизга бирор функция сигментда аниқланган бўлсин. Бу сигментни ихтиёрий равишда бўлинишини олайлик. Бу бўлиниш натижасида қаралаётган сигмент бўлакчаларга ажралади. Бу бўлакчалардан нуқта оламиз ва функциянинг бу нуқтадаги қийматини ҳисоблаб, ушбу суммани тузиб оламиз. Бу Риман йиғиндиси деб аталади. Бундан ташқари дейлик. Агар бўлганда йиғинди сигментнинг бўлиниши ва ҳар бир бўлакчаларда нуқталарнинг танлаб олинишига боғлиқ бўлмаган ҳолда ҳар доим ягона битта сонига интилса, бу сонни бу сон йиғиндининг лимити деб аталади. Бу ҳолда, таърифга кўра, сони олинганда ҳам шундай сон топиладики, йиғинди сигментнинг бўлган ҳар қандай бўлиниши олинганда ҳам, тенгсизлик бажарилади. Агар бўлса, уни функциянинг дан гача бўлган оралиқдаги Риман интеграли деб аталади ва у каби белгиланади. Шундай қилиб, . Риман интеграли мавжуд бўлган ҳолда функция Риман маъносида интегралланувчи функция деб аталади. Аниқланган интегралнинг Риман интеграли деб номланишига сабаб уни дастлаб Б.Риман (B.Riemann) таърифлаган. Кўриниб турибдики, интегралнинг таърифи фақат чегараланган функциялар учун келтирилиши мумкин. Ҳақиқатдан ҳам агар функция сигментда чегараланмаган бўлса, бўлиниш усулининг ихтиёрийлигига бўлинишларнинг кўра ҳеч бўлмаганда бирор қисмида бу функция чегараланмаганлик хоссасини сақлайди. Оқибатда йиғинди чегараланмаган бўлади ва унинг лимити чексиз, демак, функция интегралланувчи бўлмайди. Шундай қилиб, интегралланувчи функция чегаралангандир. Шу боис, бундан кейинги мулоҳазаларимизда биз қаралаётган функцияни чегараланган деб фараз қиламиз, яъни шундай ва сонлари топиладики, , бу ерда ва сонлар мос равишда, функциянинг аниқ қуйи ва аниқ юқори чегаралари. Риман интегралини Дарбу йиғиндилари деб аталувчи йиғиндилар орқали ҳам таърифлаш мумкин. Шартимизга кўра функция чегараланган. У ҳолда у ҳар бир сигментчаларда чегараланган ва функциянинг бу сигментчалардаги аниқ қуйи ва аниқ юқори чегараларини ва деб белгилаймиз: . (1.1) Ушбу ва (1.2) йиғиндиларни тузиб оламиз. Булар Дарбу йиғиндилари деб номланади. Юқоридаги (1.1) тенгсизликларни миқдорга кўпайтириб, бўйича йиғсак, (1.2) белгилашларга кўра тенгсизликларни ҳосил қиламиз. Тайинланган бўлиниш доирасида ва йиғиндилар ўзгармас сонлар, эса қийматларнинг ихтиёрийлиги туфайли ўзгарувчи миқдордир. Бу қийматларни шундай танлаб олиш мумкинки, натижада сонни ёки га исталганча яқинлаштириш мумкин. Натижада Риман йиғиндиси ёки йиғиндиларга исталганча яқин қилиб танлаб олиниши мумкин. Шундай қилиб, сигментнинг ҳар қандай бўлинишида Дарбунинг қуйи ва юқори йиғиндилари ва Риман йиғиндиси учун аниқ қуйи ва аниқ юқори йиғинди бўлиб хизмат қилади . Деярли равшанки, Дарбунинг барча қуйи йиғиндилари тўплами юқоридан, масалан, ихтиёрий йиғинди билан чегараланган. У ҳолда бу тўплам чекли аниқ юқори чегарага эга: . Худди шу каби учун ҳам чекли аниқ қуйи чегара мавжуд: . Айтилганларга кўра ҳар қандай Дарбу йиғиндилари учун . Юқоридаги ва сонлар Дарбунинг қуйи ва юқори интеграллари дейилади. Энди интегралнинг мавжудлик шартини текширамиз. Тасди қ 1.1. Риман интегралининг мавжуд бўлиши учун (1.3) шартнинг бажарилиши зарур ва етарли. Ҳақиқатдан ҳам, юқоридаги шарт бажарилишининг зарурийлигини исботлаш учун ва сонларнинг хоссаларидан фойдаланамиз. Агар интеграл мавжуд б ў лса, у ҳолда ҳар қандай учун шундай сон топиладики, бўлган ҳар қандай бўлиниш учун ёки . Иккинчи томондан айтиб ўтилганидек, ва Риман йиғиндиси учун аниқ қуйи ва аниқ юқори йиғинди бўлиб хизмат қилади. Шунинг учун ва демак, ва 0 lim S I l ® = . Бу эса, (1.3) шартга тенг кучли. Етарлилиги. (1.3) шарт бажарилсин. У ҳолда равшанки, у ҳолда . Ўз навбатида бизга маълумки, s S £ s £ . Олинган иккита тенгсизликлар ёрдамида бўлишини топамиз. Бу эса эканлигига тенг кучли. Қуйидаги тасдиқ бизга (1.3) шарт ёрдамида интегралланувчи функциялар синфини ажратиб беради. Тасдиқ 1.2. Агар функция: 1) тўпламда узлуксиз; 2) тўпламда монотон чегараланган бўлса, у ҳолда у интегралланувчидир. Исбот . Биринчи тасдиқнинг исботи учун бўлакчаларда функциянинг тебранишини деб белгилаймиз ва (1.3) шартни қуйидагича ёзиб оламиз: . (1.4) Кантор теоремасининг натижасига кўра олдиндан берилган ҳар қандай сонга кўра шундай сон топиладики, берилган оралиқнинг бўлган ҳар қандай бўлиниши учун бажарилади. Бу ердан эса, . Тасдиқнинг иккинчи қисмини исботлаймиз. Шартга кўра функция монотон ўсувчи. У ҳолда унинг бўлакчалардаги тебранишини . Ихтиёрий равишда 0 e > сонини оламиз ва бу сонга кўра деймиз. У ҳолда бўлганда ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 0 0 ( ) n n i i i i i ix f x f x f b f a - - + = = é ù w D < d× - = d - = e ë ûå å . Бу ердан эса берилган функциянинг интегралланувчи эканлиги келиб чиқади. Ю қ оридаги Тасди қ 1.1 дан интегралланувчи функцияларнинг қуйидаги хоссалари келиб чиқади:  Агар функция бирор сигментда интегралланувчи бўлса, ва ( ) функциялар ҳам шу сигментда интегралланувчи бўлади.  Агар ва функциялар бирор сигментда интегралланувчи бўлса, уларнинг йиғиндиси, айирмаси ва кўпайтмаси ҳам шу сигментда интегралланувчи бўлади.  Агар функция бирор сигментда интегралланувчи бўлса, у шу сигментнинг ҳар қандай қисми бўлган сигментда ҳам интегралланувчи бўлади. Ва аксинча, агар тўплам қисмларга бўлинган бўлиб, бу қисмларнинг ҳар бирида функция интегралланувчи бўлса, бу функция бутун сигментда интегралланувчи бўлади.  Агар интегралланувчи функциянинг қийматлари чекли сондаги нуқталарда ўзгартирилса, унинг интегралланиш хоссаси ўзгармайди. Энди аниқ интегралларнинг асосий хоссаларини санаб ўтамиз. 1-хосса . Агар функция бирор сигментда интегралланувчи бўлса, у ҳолда бу функция сигментда ҳам интегралланувчи бўлади ва . Бундан ташқари . 2-хосса. Агар ва функциялар бирор сигментда интегралланувчи бўлиб, ҳар доим бўлса, у ҳолда тенгсизлик бажарилади. Дарҳақиқат , ва таърифга кўра . Бу тенгсизликдан хоссанинг тасдиғи келиб чиқади. Охирги 2-хоссани ушбу тенгсизликка қўлласак: 3-хосса. Агар функция бирор сигментда интегралланувчи бўлса, у ҳолда тенгсизлик ўринли бўлади. 4-хосса (Ўрта қиймат ҳақидаги теорема). Агар функция бирор сигментда интегралланувчи бўлиб, бўлса, у ҳолда тенгсизлик бажарилади. Исбот . Хусусан, бўлсин. У ҳолда бизга маълум бўлган ушбу тенгсизликларда деб лимитга ўтсак, . Агар деб олсак, у ҳолда бўлади ва тасдиқ бажарилади. Ҳозир исботланган хоссанинг тасдиғи узлуксиз бўлган ҳолда бироз соддароқ ҳолга келади. Ҳақиқатдан ҳам бу ҳолда ва сонлари Вейершрасс теоремасига кўра функциянинг энг катта ва энг кичик қийматлар бўлади. Больцано-Кошининг биринчи теоремасига кўра эса сигментнинг ички нуқтаси бўлган шундай нуқта топиладики, бўлади ва . Ўрта қиймат ҳақидаги теореманинг геометрик маъноси шундан иборатки, охирги тенгликнинг чап томонидаги интегралнинг қиймати сон жиҳатдан асоси ва баландлиги бўлган тўртбурчакнинг юзасига тенг. 1.1. АНИҚ ИНТЕГРАЛЛАРНИ ҲИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ Ушбу парарафда аниқ интегралларни (Риман интегралини) ҳисоблашнинг баъзи усулларини ўрганамиз. Фараз қилайлик, функция бирор сигментда интегралланувчи бўлсин. У ҳолда интегралланувчи функцияларнинг хоссаларига кўра у сигментда ҳам интегралланувчи ва ушбу интеграни қараш маънога эга. Бу интеграл ўзгарувчининг функцияси сифатида узлуксиз . Ҳақиқатдан ҳам, ўзгарувчининг ихтиёрий қийматини олиб, унга мусбат орттирма берамиз, у ҳолда фуекция ҳам мос равишда орттирма олади. Бу ердан . Бу тенгликка 4-хоссани қўллаймиз ва топамиз: , (1.4) бу ерда – функциянинг оралиқдаги аниқ қуйи ва аниқ юқори чегаралари орасида ва демак, ва лар орасида ётувчи ўзгармас миқдор. Бу ерда, агар, десак, . Бу эса функциянинг узлуксиз эканлигини исботлайди. Агар функцияни ну қ тада узлуксиз деб фараз қ илсак, у ҳолда бу нуқтада . Бу фактни исботлаш учун функциянинг оралиқдаги аниқ қуйи ва аниқ юқори чегараларини ва деб (1.4) тенгликка кўра қуйидагини ҳосил қиламиз: . (1.5) функцияни нуқтада узлуксиз эканлигидан эса, ҳар қандай олинганда ҳам шу сонга мос шундай сони топиладики, бўлганда брча қийматлар учун тенгсизлик бажарилади. У ҳолда . Бу тенгсизликлардан муносабатни ёзамиз, яъни . (1.6) (1.5) ва (1.6) муносабатларни биргаликда қарасак, . Шундай қилиб, интеграл функциянинг бошланғич функцияси экан. Бизга маълумки, агар иккита функциянинг ҳосилалари тенг бўлса, у ҳолда улар бир биридан ўзгармас сонга фарқ қилади. Шу нга кўра, агар функциянинг бошқа бирор бошланғич функцияси ни олсак, у ҳолда . функциянинг аниқланишига кўра . У ҳолда охирги тенгликка кўра . Бу ердан эканлигини топамиз. Бу қийматдан фойдаланиб, қуйидагини ёзамиз: . Хусусан, бўлганда (1.7) формулани ҳосил қиламиз. Бу ҳосил қилинган формула интеграл ҳисобнинг асосий формуласи деб аталади. Шундай қилиб, узлуксиз функциянинг аниқ интеграли бу функция ихтиёрий бошланғич функциясининг ва нуқталардаги қийматлари айирмаси орқали ифодаланади. Бу формуланинг яна бир жиҳатига эътибор қаратайлик. Дифференциал ҳисобнинг асосий формулаларидан бири бўлган Лагранж формуласида эканлигини ҳисобга олсак, (1.7) асосий формулани қуйидагича ёзамиз: . Шундай қилиб, (1.7) асосий формула ёрдамида дифференциал ва интеграл ҳисобнинг ўрта қиймат ҳақидаги теоремалари орасидаги боғланишни топдик. Ҳосил қилинган (1.7) асосий формула интегралланаётган функция узлуксиз бўлганда унинг Риман интегралини ҳисоблаш учун жуда қулай инструмент бўлиб хизмат қилади. Бундай функциялар синфи етарлича кенгдир. Чунки, аксарият ҳолларда интегралланувчи функцияларнинг бошланғич функциясини элементар функциялар орқали ёзиб олиш имконига эга бўламиз. Бу ҳолларда интеграл (1.7) формула орқали осон ҳисобланади. Соддалик учун, кўп ҳолларда, бу формуланинг ўнг томонидаги айирмани деб белгилаш қабул қилинган. Яъни, . (1.7*) Қуйида биз асосий формулани умумийроқ усул билан келтириб чиқарамиз. Бунинг учун фараз қилайлик, функция сигментда интегралланувчи ва бу сигментда узлуксиз аниқланган функциянинг ҳосиласи интервалда бўлсин: . сигментнинг ихтиёрий бўлинишини оламиз: . Бу ҳолда, деярли равшанки, . Бу тенгликнинг ўнг томонидаги йиғинди белгиси остидаги айирмага Лагранж формуласини қўллаймиз. У ҳолда , бу ерда миқдорлар ва сонлар орасида ётувчи катталик. Шартга кўра . Шунинг учун охирги тенгликни қуйидагича ёзиб оламиз: Бу тенгликнинг ўнг томонда функция учун Риман йиғиндисини ҳосил қилдик. Шартга кўра бу функция интегралланувчи. У ҳолда бу йиғинди чекли ва у бўлганда сонга яқинлашади. Шундай қилиб, биз яна асосий формула тенгликни ҳосил қилдик. Таъкидлаб ўтиш ўринлики, асосий формула ёрдамида лимитга ўтиш орқали (чунки аниқ интеграл бу лимитга ўтиш натижасидир) функцияни унинг ҳосиласи орқали тиклаш мумкин. Ҳақиқатан ҳам, (1.7) формулада сонни ўзгарувчи билан алмаштирсак, эканлигидан, бўлишини топамиз. Юқорида кўриб ўтганимиздек, етарли шартларда асосий формула орқали аниқ интегралнинг қийматини осонгина топамиз. Лекин кўпчилик ҳолларда, яъни интегралланаётган функция мураккаб бўлганда, асосий формула ёрдамидаги ҳисоблашлар ҳам бироз ноқулайликлар ҳосил қилади. Шунинг учун турли хил келтириш формулалари ёрдамида бундай ноқулайликлар бартараф этилади. Биз қуйида битта келтириш формуласига тўхталамиз. Умумий ғояга кўра тенгликни ёзамиз. Бу ерда ва формулалар узлуксиз деб ҳисоблаймиз. Хусусий ҳолда бўлсин. Дифференциаллаш қоидасига кўра эканлиги маълум. Бу тенгликнинг иккала томонидаги интегралланувчи функциялар деб фараз қилдик ва тенгликни дан гача оралиқда интеграллаймиз. У ҳолда (1.8) формулани ҳосил қиламиз. Бу келтириш формуласи бўлаклаб интеграллаш формуласи деб аталади. Аниқ интегрални ҳисоблашнинг яна бир усулини ўрганайлик. Бизга сигментда аниқланган бирор функция берилган бўлиб, оралиқ бўйича ушбу Риман интегралини ҳисоблаш талаб этилаётган бўлсин. Бу ерда деймиз ва функция қуйидаги шартларни бажаришини талаб қиламиз:  бу функция бирор сигментда аниқланган ва узлуксиз бўлиб, миқдор сигментда ўзгарганда бу функциянинг қийматлари сигментдан чиқиб кетмасин;  ва ;  сигментда узлуксиз ҳосилага эга. У ҳолда қуйидаги формула ўринли: . Олинган формула аниқ интегралларда ўзгарувчиларни алмаштириш формуласи дейилади. Санаб ўтилган усуллардан ташқари аниқ интеграллар баъзи тақрибий формулалар ёрдамида ҳам ҳисобланади. Бундай усулларга биз кейинги бобда тўхталамиз. II боб АНИҚ ИНТЕГРАЛЛАРНИНГ ТАТБИҚЛАРИ ҲАҚИДА Мазкур бобда биз Риман интегралларининг баъзи татбиқларига тўхталамиз. Хусусан, асимптотик анализдаги элементлари ва геометрик масалалар диққатимиз марказида бўлади. 2.1. ВАЛЛИС ВА ТЕЙЛОР ФОРМУЛАЛАРИДАГИ ТАТБИҚЛАР Классик анализда сонини ҳисоблаш билан боғлиқ қатор формулалар топилган. Ҳозирги компьютерлар имконияти доирасида бундай ҳисоблаш формулалари ўзининг амалий аҳамиятини йўқотган бўлсада, назарий томондан бу формулалар муҳим аҳамиятга эга. Бундай формулалардан бири Валлиснинг асимптотик формуласидир. Дастлаб ихтиёрий учун ушбу интегрални ҳисоблайлик. (1.8) формулага кўра топамиз: Бу тенгликда алмаштириш бажариб, қуйидаги рекуррент формулани ҳосил қиламиз: . Бу ердан эса интегралнинг қиймати учун қуйидаги формулани топамиз: . Олинган формула ёрдамида қаралаётган интеграл кетма кет ёки нинг қийматларига келтириб олинади. Хусусан, жуфт бўлган ҳолда ; тоқ бўлган ҳолда . Бу икки тенгликни биргаликда қуйидагича ёзамиз: (2.1) Энди функция учун унинг хоссаларига кўра бўлганда ушбу тенгсизликларни ёзиб оламиз. Бу тенгсизликларни дан гача бўлган оралиқда интеграллаймиз: . Бу тенгсизликларга (2.1) формулани қўллаб, топамиз: . Бу тенгсизликларни сонга кўпайтирамиз ва натижада миқдор учун ушбу . Кўриниб турибдики, бу тенгсизликларда четки ифоданинг айирмаси . Шунинг учун сони уларнинг умумий лимит қиймати бўлади. Яъни . Бу тенгликни қуйидаги шаклда ҳам ёзиш мумкин: . Олинган формула Валлис формуласи дейилади. Бу формула сони учун олинган дастлабки формула сифатида тарихий аҳамиятга эга. Назарий жиҳатдан аҳамиятларидан бири шуки, бу формуладан, масалан, Стирлинг типидаги формулаларни ҳосил қилишда фойдаланилади. Энди (1.8) формуланинг умумлашмаси сифатида қуйидаги формуланинг тўғрилигига ишонч ҳосил қилишимиз мумкин: (2.2) Бу тенгликда барча ва ҳосилалар узлуксиз функциялар деб ҳисоблаймиз. Хусусий ҳолда ва деймиз ва бу ҳол учун умумлашган бўлаклаб интеграллаш формуласини қўллаймиз. У ҳолда функциянинг ҳосилалари ва уларнинг барчаси бўлганда нолга айланишади. Буларни (2.2) формулаларга қўямиз ва натижани ёзамиз: Бу тенгликни ихчамласак, Тейлор формуласининг аниқ интеграл кўринишдаги қолдиқли шаклини ҳосил қиламиз: Бу формулани бизга маълум бўлган анъанавий белгилашлар тилида ёзиш учун ва деб белгилаймиз: Топилган Тейлор формуласининг биз билган шакллардан фарқли томони шундаки, унинг қолдиқ ҳадида ҳеч қандай номаълум катталиклар йўқ. Шу нуқтаи назардан айтиш мумкинки, бу формула Лагранж кўринишдаги Тейлор формуласининг умумлашмасидир. Ҳақиқатдан ҳам бу формуладаги қолдиқ ҳади учун биз ўрганган ўрта қиймат ҳақидаги теореманинг умумлашган кўринишини қўлласак, натижада бу ерда миқдор оралиқда ётувчи катталик. Шундай қилиб, биз Лагранж кўринишдаги қолдиқ ҳадини ҳосил қилдик. 2.2. ИНТЕРПОЛЯЦИОН ФОРМУЛАЛАР Геометрик нуқтаи назардан аниқ интегралнинг сон қиймати интегралланаётган функция билан чегараланган эгр чизиқли трапециянинг юзасига тенг. Физик нуқтаи назардан қаралганда аниқ интегралнинг татбиқлари янада кенгроқ аҳамиятга эга эканлигини кўрамиз. Биз олдинги биринчи бобда аниқ интегрални ҳисоблашнинг баъзи усулларини кўриб ўтдик. Бироқ, биз ўрганган усуллар ёрдамида ҳисобланиши мумкин бўлган интеграллар нисбатан анча тор функциялар синфини қамраб олади. Шу муносабат билан интегралларни ҳисоблашнинг тақрибий формулалари маълум аҳамият касб этади. Биз қуйида ўрганмоқчи бўлган тақрибий ҳисоблаш формулалари аниқ интегралнинг татбиқлари нуқтаи назаридан универсал характерда бўлиб, қатор амалий масалаларни ечиш жараёнида муҳим аҳамиятга эга. Биз бундай формулаларга битта муайян масала доирасида эмас, умумий математик мулоҳазалар доирасида ёндашамиз. Бундай формулалар интерполяцион формулалар деб аталади. Бизга бирор функцияни сигментда интеграллаш талаб этилаётган бўлсин. Аниқ интеграл тушунчасига олиб келувчи дастлабки мулоҳазалар асосида берилган сигментни та тенг узунликдаги бўлакчаларга бўлиб оламиз. Бу бўлакчаларни каби белгилаймиз. Асослари бундай бўлакчалардан иборат бўлаган соҳачаларни баландлиги бирор бўлган тўртбурчаклар билан алмаштирамиз. Бу ерда . Бунинг натижасида биз қуйидаги содла формулага келамиз: . Олинган формула тўртбурчак формуласи дейилади. Амалий масалаларда одатда деб танлаб олинади. Агар бу қийматга мос ординаталарни каби белгиласак, тшртбурчак формуласини қуйидаги кўринишда ёзишимиз мумкин: . Агар бўлиниш натижасида ҳосил бўлган бўлакчаларни тўртбурчак эмас, трапециялар билан алмаштирилса, интегралнинг қиймати яна аниқроқ бўлишини кўриш осон. Бунинг учун деймиз ва эгри чизиқли трапеция ўрнига нуқталарни туташтиришдан ҳосил бўлган синиқ чизиқни қараймиз. Бўлиниш усулини юқоридаги каби олсак, бу трапецияларнинг юзалари кетма-кетликдан иборат бўлади. У ҳолда биз қуйидаги формулага келамиз: . Олинган формула трапеция формуласи номи билан маълум. Энди биз юқорида олинган формулалардан кўра аниқроқ бўлган бир формулани ҳосил қилиш мумкин. Бунинг учун дастлаб, берилган сигментда аниқланган функцияни бирор кўпҳад билан алмаштирамиз. Бундай жараён назарий жиҳатдан мумкин (масалан, Вейершрасс теоремасини эслайлик). У ҳолда бўлади ва (2.3) тенгликни оламиз. Хусусий ҳолда, бўлганда кўпҳад параболани ифодалайди. Шу муносабатдан аниқ интегралларни ҳисоблашнинг бу жараёни параболик интерполяция деб номланади. кўпҳад эса интерполяцион кўпҳад деб аталади. Интерполяцион кўпҳадни ҳосил қилишнинг қатор усуллар мавжуд. Шулардан бири Лагранжнинг интерполяцион кўпҳади. Уни аниқлаш жараёни қуйидагича. Берилган сигментда ўзаро боғлиқсиз эркли ўзгарувчиларни оламиз ва кўпҳадни шундай танлаймизки, қийматларда тенгликлар бажарилсин. Маълумки кўпҳад бу шартлар билан бир қийматли аниқланади. Бу кўпҳадни Лагранжнинг интерполяцион формуласи деб атаймиз. Унинг кўриниши Бу кўпҳадни интеграллаш натижасида сонларга нисбатан чизиқли ифодани ҳосил қиламиз. Бу ифодадаги коэффициентлар энди сонларга боғлиқ бўлмайди. Бу коэффициентларни бир марта ҳисоблаб топиб, улардан сигментда берилган ихтиёрий учун фойдаланиш мумкин. Хусусан, бўлган ҳолда , бу ерда – сигментнинг ихтиёрий нуқтаси. Масалан, деб олиш мумкин. У ҳодда (2.3) формуладан . Ўз навбатида бўлган ҳолда, агар деб олсак, ва . У ҳолда тақрибий тенгликка келамиз. Агар десак, ва , , деб танласак, интерполяцион кўпҳаднинг кўриниши Интеграллаш натижасида қуйидагиларни топамиз: , , . Олинган натижаларни жамласак, олдингиларидан кўра аниқроқ бўлган қуйидаги формулага келамиз: . Албатта олинган формулаларда хатолик жуда катта. Бироқ уларнинг аҳамияти шундаки, оралиқнинг бўлинишлари сони ортиб бориши билан хатоликлар ҳам мос равишда камайиб боради. Ва биз интегралнинг ҳақиқий қийматига тобора яқинлашиб бораверамиз. Қуйидаги келтирилаётган теорема айтиб ўтилган мулоҳазаларимизни умумлаштиради. Теорема 2.1. Бирор оралиқда функция интегралланувчи ҳамда унинг ҳосиласи чекли ва интегралнувчи бўлсин. деб белгилайлик. У ҳолда ушбу муносабат ўринли. Исбот. Бу ҳолда оралиқ та тенг бўлакларга бўлинган, яъни бўлсин. Кейинги мулоҳазаларимизда соддалик учун деб белгилайлик. Юқоридаги белгилашларни сақлаган ҳолда Риман интегралининг хоссаларидан фойдаланамиз. Уларга кўра тенгликни ёзиб оламиз. Классик анализдан бизга қуйидаги тасдиқ яхши маълум: агар функция тўпламда берилган ва узлуксиз бўлиб, у бу тўпламнинг ички нуқталарида биринчи тартибли ҳосилага эга бўлса, у ҳолда шундай нуқта топиладики, ушбу тенглик ўринли бўлади. Бу тасдиқ математик анализ курсида Лагранж теоремаси деб номланади. Бу формулани оралиққа қўллаб, қуйидаги тенгликни ёзамиз: , бу ерда . Охирги мулоҳазаларимизни жамлаб, қуйидаги тенгликларни ҳосил қиламиз: Бу тенгликдан эса (2.4) Охирги тенгликдан кўриниб турибдики, . Кейинги мулоҳазаларимизда усбу миқдорнинг ҳолдаги асимптотик қийматини баҳолашдан иборат. Агар ва лар орқали оралиқдаги функциясининг мос равишда энг кичик ва энг катта қийматларини белгиласак, (2.5) Муносабатларнинг тўғри эканлигига ушонч ҳосил қиламиз. Ўз навбатида осон ҳисоблаш мумкинки, Бу тенгликдан (2.5) тенгсизликларда фойдаланиб, топамиз : . Бу муносабатларни бошқача шаклда ёзиб оламиз: . (2.6) Бу тенгсизликларнинг четки йиғиндилари функция учун бизга яхши маълум бўлган Дарбунинг қуйи ва юқори йиғиндиларидир. Уларни мос равишда ва дейлик: . Бу йиғиндилар учун, бизга маълум бўлган қуйидаги муносабатлар ўринли: . (2.7) Юқоридаги (2.6) тенгсизликларни миқдорга кўпайтирсак, (2.8) тенгсизликлар ҳосил бўлади. Энди (2.7) ва (2.8) тенгсизликларни таққослайлик. Маълумки, интеграл мавжудлигининг зарурий ва етарли шартига кўра у ҳолда (2.7) ва (2.8) тенгсизликлардан деб лимитга ўтсак, муносабатга келамиз. Бу тенгликдан қуйидаги асимптотик формулани оламиз: . Охирги формула теорема тасдиғига тенг кучли. Теорема исбот бўлди. Исботланган теоремадаги чексиз кичик миқдорни қўшимча шарт талаб қилиш ҳисобига аниқлаштириш мумкин. Хусусан, агар функция иккимарта дифференциалланувчи бўлса, Тейлор формуласидан фойдаланимиз ва (2.4) тенгликда энди учта йиғинди иштирок этади. Ҳисоблашлардан сўнг учинчи йиғиндининг тартибда бўлишини кўриш қийин эмас. 2.3. ГЕОМЕТРИК МАСАЛАЛАРДАГИ ТАТБИҚЛАР YOY UZUNLIGI Yoy uzunligi tushunchsining ta’rifi. Tekislikda parametrik (1) Tenglamalar bilan berilgan AB egri chiziqni qaraylik. Bunda va funksiyalar u z l u k s i z deb faraz qilinadi. Hozircha yopiq bo’lmagan chiziqni qaraymiz. A nuqta qiymatga, B nuqta esa qiymatga mos kelsin. SHu bilan birga egri chiziqda karrali nuqtalar deb faraz qilaylik, demak t parametrning turli qiymatlariga egri chiziqda ham turli nuqtalar mos keladi. Agar egri chiziq nuqtalarini t parametrning o’sishiga qarab joylashgan deb hisoblasak,(ya’ni ikki nuqtadan qaysi biri parametrning kattaroq qiymatiga mos kelsa, o’shani keyingi, nuqta deb qabul qilsak), shunda chiziq ma’lum yo’nalishga ega bo’ladi. (1-chizma) Endi AB egri chiziqda ko’rsatilgan yo’nalish bo’yicha biri ikkinchisining ketidan keladigan qator nuqtalar olaylik: ularga parametrning o’sb boruvchi qator qiymatlari to’g’ri keladi: AB egri chiziqqa ichki siniq chiziq ni chizib, uning perimetrini p orqali belgilaymiz. ( p ) siniq chiziqning tamonlaridan eng kattasi nolga intilgandagi p perimetrining ichki siniq chiziqning chizilish qonuniga bog’liq bo’lmagan chekli s limiti mavjud bo’lsa, u holda bu limit AB yoyning uzunligi deyiladi. Agar shunday limit mavjud bo’lsa, egri chiziqning o’zi tug’rilanuvchi deb ataladi. Bu ta’rifning mazmnini quyidagicha bayon qilinadi: egri chiziqqa ichki chizilgan har qanday siniq chiziqlar (bu yerda n ning o’sishi bilan siniq chiziq tamonlaridan eng kattasi nolga intilishi shart) ketma-ketliklarning perimetrlari doimo s limitga intiladi. Bu ta’rifni “ tilida “ ham ifodalash mumkin: har qanday uchun shunday topilishi kerakki, siniq chiziq tamonlari tengsizlikni qanoatlantirgan tengsizlik bajariladi. Ikkala ta’rifning bir-biriga teng kuchli ekanligi odatdagicha isbotlanadi. Yoy uzunligining muhim xossasidan biri uning additivligidir. Agar AB yoyda yana biror C nuqta olinsa, AB yoyning ikkala A C tug’rilanuvchanligidan,va CB yoyning ham tug’rilanuvchanligi kelib chiqadi va shu bilan birga: Bu tasdiqni biz bu yerda isbotsiz qabul qilamiz: odatda o’r ganila y otgan egri chiziqlar uchun yoy uzunligini integral orqali ifodalanishidan yoy uzunligining mavjudligi ta’minlanadiva , shu bilan birga, hatto uning aktivligi ham kelib chiqadi. Endi yopiq egri chiziq berilgan holga, ya’ni A va B nuqtalar ustma-ust tushgan holga murojat qilaylik (ammo karrali nuqtalar mavjud emas, ya’ni dan farqli har qanday nuqta t parametrning faqat bitta qiymatiga tug’ri keladi). yoy uzunligining ta’rifini bun day holda qo’shimcha shartsiz qo’llanib bo’lmaydi, chunki ko’rsatilgan shart saqlanganda ham siniq chiziqning nuqtaga aylanib ketishiga va parametrning nolga intilishiga hech narsa halaqit bermaydi (2-chizma) . Gap shundaki, yopiq bo’lmagan egri chiziqni olganda, (p) siniq chiziqqa qarashli barcha bo’g’inlarning nolgacha kamaya borishining o’zi, ularning qism yoylariga tobora yaqinlashib ketishini ta’minlaydi; shuning uchun ham uning p perimetrinini butun yoy uzunligi sifatida qabul qilish tabiiydir. Yopiq egri chiziqni olganda ahvol o’zgaradi. Yopiq egri chiziq berilgan holni ham o’z ichiga oladigan qilib, bu ta’rifni (albatta murakkablashtirish hisobiga) bir qadar o’zgartirish mumkin edi. Soddalik uchun biz boshqa yo’lni afzal ko’ramiz, ya’ni yopiq chiziq ustida biror ixtiyoriy C nuqta olib, uni ikki yoyga ajralgan deb tasavvur etamiz va ular uzunliklarining yig’indisi butun egri chiziq uzunligi deb qabul qilamiz. Yoy uzunligining additivlik xossasiga asoslanib, bu yig’indining aslida A va C nuqtalarining tanlanishiga bog’liq emasligini isbotlash osondir . 2-chizma 1-lemma. Agar va nuqtalar parametrining va qiymatlariga tug’ri kelsa ( bu yerda ), har qanday uchun shunday topiladiki , bo’lganda vatar uzunligi tengsizlikni qanoatlantiradi . Haqiqatan ham, (1) dagi va funksiyalar tekis uzluksiz bo’lgani uchun bo’yicha shunday topiladiki, tengsizlik bajarilishi bilan bir vaqtning o’zida tengsizliklar va shu bilan birga tengsizlik ham bajariladi. Quyidagi lemma ham o’rinlidir. 2-lemma. Har qanday uchun shunday mavjudki, vatar uzunligi bo’lganda, parametrning vatar uchlariga mos keluvchi qiymatlarining ayirmasi dan kichik bo’ladi. Teskarisini faraz qilaylik: bunday holda q a n d a y d i r va istalgan uchun shunday ikkita va nuqtalar topiladiki, bo’lib, ayni vaqtda bajariladi. Nolga yaqinlashuvchi ketma- ketlikni olib, navbatma-navbat deb faraz qilib, nuqtalarning ikkita ketma-ketligini olamiz; ular uchun lekin bo’ladi. Bolsano-Veyirshtrass lemmasiga ko’ra umumiylikka zarar keltirmasdan Deb faraz qilish mumkin. Ma’lumki: Bundan va, shu bilan birga, tegishli va nuqtalar uchun bo’ladi, ya’ni bu nuqtalar ustma-ust tushadi, egri chiziqning karrali nuqtalari bo’lmagani va egri chiziq ochiq bo’lmagani uchun bu holning yuz berishi mumkin emas. Demak, qabul qilingan farazimiz noto’g’ri va buning natijasida xulosamizdagi zidlik isbotni yakunlaydi. Bu ikki lemma yopiq bo’lmagan egri chiziq uzunligini ta’riflashda, yuqorida ta’kidlangan ikki talabdan qaysi birini qabul qilishning qhamiyati yo’q ekanligini ko’rsatadi: ichki chizilgan siniq chiziqning tamonlarining eng kattasi nolga intilishini yoki ayirmalar eng kattasining nolga intilishini talab qilish mumkin, chunki bu talablarning biri ikkinchisidan kelib chiqadi. YOY UZUNLIGINI INTEGRAL ORQALI IFOQALASH. Endi yopiq bo’lmagan egri chiziqning (1) tenglamalarida ishtirok etuvchi va funksiyalar uzluksiz va hosilalarga ega deb qo’shimcha shartlar kiritaylik. Bunday shartlar bajarilganda biz egri chiziqning tug’rilanuvchi ekanligi va yoy uzunligining ushbu (2) formula bilan ifodalanishi isbotlaymiz. Biz oraliq Nuqtalar bilan uzunlikdagi qismlarga bo’linadi deb faraz etaylik. ning bu qiymatlariga: yoyga ichki chizilgan siniq chiziqning uchlari tug’ri keladi. Bu yoyning s uzunligi deb siniq chiziq p perimetrining dagi limitini ta’riflash mumkin. va deb olsak, ichki chizilgan siniq chiziqning i- bo’lagi ning uzunligi bilan ifodalanadi: (10) funksiyalarning va orttirmalariga chekli orttirmalar formulasini ayrim-ayrim qo’llanib, quyidagilarni hosil qilamiz: ning qiymatlariga kelganda, ularning bilan orasida bo’lishinigina bilamiz. Endi quyidagiga egamiz: demak, butun siniq chiziqning perimetri uchun ushbu ifoda hosil bo’ladi; Agar radikal ostidagi ikkinchi qo’shiluvchida o’rniga olinsa, hosil qilingan ifoda (2) integral uchun yig’indini ifodalaydi. nolga intilganda, bu yig’indining limiti o’sha yuqoridagi integralning uzi bo’ladi. Shuning uchun bu ayirmani baholaymiz: Ushbu elimentar: tengsizlik yuqorida yozilgan yig’indidagi har bir qo’shiluvchiga ayrim qo’llanilsa, quyidagini beradi: funksiya uzluksiz bo’lgani sababli, har qanday berilganda ham shunday topiladiki, bo’lganda tengsizlik o’rinli bo’ladi. Agar hamma ni dan kichik qlib olsak, u holda ; demak, va bo’ladi. Bu esa yuqoridagi fikrimizni isbotlaydi. Agar egri chiziq tug’ri burchakli koordinatalarda oshkor tenglama bilan berilgan bo’lsa, x ni parametr deb qabul qilib, (2) formulaning xususiy holi bo’lgan ushbu formulani topamiz: (2a) Nihoyat, egri chiziq qutb sistemasida tenglama bilan berilgan holda ham odatdagi o’tish formulalari yordami bilan: parmetrik tenglamalarga keltiriladi; bu yerda parametr rolida olingan. Bu hol uchun d emak, (3) va (2b) bo’ladi. Eslatma. (2) formula egri chiziq yopiq bo’lgan holga ham bevosita tatbiq etiladi. Bu holga t 0 va T orasida ixtiyoriy olib, berilgan yopiq (1) egri chiziqni mos nuqta bilan ikkita yopiq bo’lmagan va egri chiziqqa ajratiladi va ularning har biriga (2) formulani ayrim-ayrim tatbiq etiladi: Bu natijalarni qo’shib, butun yopiq chiziq uchun ushbu ifodani hosil qilamiz: Fazoviy egri chiziq yoyining uzunligi. Karrali nuqtalari bo’lmagan fazoviy egri chiziqqa nisbatan yoy uzunligining ta’rifini tekis egri chiziq yoyi uzunligiga berilgan ta’rif singari berish mumkin. Yoy uzunligi uchun bu yerda ham (2) ga o’xshash formua hosil qilinadi: va h.k. Tekis egri chiziq ustida olib borgan muhokamalarimizning hammasini bu holga ham o’zgarmasdan takrorlay olamiz. MISOLLAR 1) P a r a b o l a: Yoylarni hisoblash uchun boshlang’ich nuqta sifatida ni qabul qilib, absissali ixtiyoriy M nuqta uchun ushbu formulani hosil qilamiz 2) Sikloida: Bu yerda Sikloida bir tarmog’i uzunligi (2) formulaga binoan:
Купить